102030123102030123Matemticas Bsicas y FinancierasFUNCIONESLacomprensindelosconceptosmatemticos; constantesyvariables, esbsicaparael estudio de las funciones.Constantes. Son cantidades que tienen un valor fijo y determinado al intervenir en un proceso matemtico, generalmenteseexpresan conlasprimeras letrasdelabecedarioa,b,c,dy algunas letras tales como r, , k,etc. llamadas constantes literales y por cualquier nmero, por ejemplo, 2, 1/2, -5, etc. llamadas constantes numricas.Variables.Son cantidades que toman diversos valores al intervenir en un proceso matemtico, generalmente se expresan con las ltimas letras del abecedario u, v, w, x, y, z.La variable independiente es aquella a la cual se le pueden asignar valores a voluntad dentro de lmites que dependen del problema en cuestin, convencionalmente se usa para representarla la letra x. La variable dependiente es aquella cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, convencionalmente se utiliza la letra y.Pares ordenados que forman una funcinUn conjunto de pares ordenados forma una funcin cuando, el conjunto de todos sus valores deentradallamadodominioyelconjunto de todos sus valoresdesalida llamadorango1, cumplen con las tres condiciones siguientes: 1.- Condicin de sentido: que exista un solo sentido.Dominio Rango DominioRango (x)(y) (x) (y) Si cumpleNo cumple1 Ms adelante se detalla este concepto.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1'NumricasLiteralesConstantes') () (y e Dependientx nte IndependieVariables123102030401020301231020301234102030123Matemticas Bsicas y Financieras2.- Condicin de existencia: todos los elementos del dominio se tienen que relacionar con algn elemento del rango.Dominio Rango Dominio Rango(x)(y) (x) (y)

Si cumpleNo cumple3.- Condicin de unicidad: a cada primer elemento del dominio le corresponde uno y solo un segundo elemento del rango. Dominio RangoDominioRango(x)(y)(x) (y).Si cumple No cumpleCuando no se cumplen las tres condiciones, se dice que los pares ordenados forman una relacin.Lasfunciones inversasseoriginancuandoseintercambian, el dominioporel rango, y viceversa.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal2Matemticas Bsicas y FinancierasDEFINICIONES DE FUNCINDada la importancia del concepto Funcin se transcriben a continuacin varias definiciones de distintos autores:Una funcin es una asignacin, para cada valor de una variable x en un cierto conjunto, de exactamente un valor de otra variabley. La variableyse llama entonces la variable dependiente y la variable x la variableindependiente.AYRESSiempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es funcin de esta ltima.BALDORUnafuncinesunarelacintalquea cada elementodeldominio le correspondeuno y solamente un elemento del rango. BRITTONLa funcines una regla matemtica que asigna a cada valor de entrada un y solo un valor de salida.BUDNICKCuando2variablesestnrelacionadosdetal maneraqueel valor delaprimeraqueda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es funcin de la segunda. GRANVILLEUna funcin es una regla que asigna a cada nmero de entrada exactamente unnmero de salida. El conjunto de todos los nmeros de entrada a los cuales se aplica se le denomina dominiodelafuncin. Al conjuntodetodoslosnmerosdesalidaselellamambito (contradominio).HAUSSLERUna funcin es una reglaque asocia a cada objeto de un conjunto A, uno y solo un objeto de un conjunto B.HOFFMANUna funcin es un conjunto de parejas ordenadas de nmeros (x, y) en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer nmero. El conjunto de todos los valoresposiblesdexsellamadominio delafuncin,y elconjunto detodos los valores posibles de y se denominacontradominio. LEVIS Si acadaelementodeunconjuntodeAselehacecorresponderdealgnmodoun elemento nico de un conjunto B, se dice que esa correspondencia es una funcin.SEYMOUR Una funcin es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y solo un elemento de un conjunto B. TANSi una relacin es tal que en ella a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del contradominio, se dice que esta relacin es unafuncin. Las funciones constituyen un subconjunto de las relaciones; todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. WEBERCLASIFICACIN DE LAS FUNCIONES___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal3Matemticas Bsicas y FinancierasDebidoasuspropiascaractersticasestructurales, lasfuncionestienendiversostiposde clasificacin las cuales no son necesariamente excluyentes.El siguiente cuadro muestra de manera enunciativa una clasificacin general de las funciones. El nmero que apareceenalgunas funciones representa la pgina en que se presenta dicha funcin en el presente texto.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal4ConstanteLinealCuadrticaCbicaPolinomial de n gradoRacionalCompuestaExplcitaImplcitaAlgebraicasFuncionesMatemticas Bsicas y FinancierasGENERALIZACIN DE FUNCIONES CON UNA VARIABLELasformasmscomunesparageneralizarlasfuncionesconunavariablesondos:sin subndices ycon subndices.Sin subndices Los coeficientes se representan por las primeras letras del abecedario: a, b,c, d, etc.Con subndices Los coeficientes se representan por la letra a, marcada con subndices en forma descendente,siendo su ltimo coeficiente .En las dos formas la variable se representa por la letra x.A continuacin se presentan algunos ejemplos:Caso especficoForma generalsin subndicesForma generalcon subndicesLinealy = 2x + 5 y = ax + b y = a1x + a0Cuadrticay = 5x2 + 3x + 2 y = ax2 + bx + c y = a2x2 + a1x + a0Cbicay = 4x3 + 8x2 +7x + 3 y = ax3 + bx2 + cx + d y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0GENERALIZACION DE FUNCIONES LINEALES DE n VARIABLES(MULTIVARIADAS)Las formasms comunesparageneralizar alas funciones denvariables sondos:Sin subndices y con subndices.Sin subndicesLoscoeficientesserepresentanporlasprimerasletras delabecedario(a, b, c, etc.)ylas variables por las ultimas letras del abecedario (x, y, z, etc.).Con subndicesLoscoeficientesserepresentansolamenteconlaletraaponindolesubndicesenforma ascendente y las variables se representan solamente con la letra x con subndices en forma ascendente.Nmero deVariablesCaso especficoForma generalsin subndicesForma generalcon subndices2 2x + 3y + 12 = 0 ax + by + c = 0 a1x1 + a2x2 + c = 03 2x + 3y + 4z + 20 = 0 Ax + by + cz + d = 0a1x1 + a2x2 + a3x3+ c = 04 2w + 3x + 2y + 5z + 10 = 0 Aw + bx + cy + dz + k = 0a1x1 + a2x2 + a3x3+ a4x4 + c =0NOTA: c, d y krepresentan constantes.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal5ExponencialLogartmicaTrigonomtricaTrascendentes0axxx f2) (+) ( ) ( ) 3 ( ), ( ), 3 ( ), 1 ( a f a x yf x f a f f f + + Matemticas Bsicas y FinancierasCLCULO DE IMGENESTomando como base las definiciones anteriores se pueden calcular las imgenes o sea los segundos elementos de las funciones que se presentan a continuacin. El proceso consiste en sustituir los nuevos valores y despus efectuar las operaciones posibles.El uso del clculo de imgenes es bsico en el presente texto y en problemas de la vida real.EJEMPLO 1Si4 ) (2 3+ x x x f yCalcular Solucin EJEMPLO 2SiCalcular:Solucin No definido

___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal6222 2) 2 ( + f0202 0) 0 ( + f022 2) 2 ( + f) (22 2) ( ) (a x x axxa xa xax f a x f++++ + +ax f a x ff f f) ( ) (y) 2 ( ), 0 ( ), 2 ( +( ) ( )( )( )2 3 2 22 3 2 32 32 32 32 32 32 32 3 3 ) ( ) () 4 ( 4 ) ( ) ( ) ( ) (22 21 8 ) 3 (4 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (4 ) (4 ) ( ) ( ) (32 ) 3 (4 36 ) 3 (4 ) 9 ( ) 27 ( ) 3 (4 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (4 14 1 1 14 1 1 ) 1 (x ax x x a ax a f a x fa a a x a x a f a x fx x x x fx x x fa a a fa a a ffffffff + + ++ + + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + Matemticas Bsicas y FinancierasEJEMPLO 3Si f(x) =x 6 + 3x5-2x2+ x+ 5Calcularf(x+2) =(x+2)6+ 3(x+2)5-2(x+2)2 + (x+2) + 5Solucin = [x6+ 6x5 (2) +15x4 (2)2+ 20x3 (2)3 + 15x2 (2)4+ 6x (2)5 + 26] +3[x5 + 5x4 (2) + 10x3 (2)2 + 10x2 (2)3 + 5x (2)4 + 25]-2(x2 + 4x + 4) + (x + 2) + 5= [x6 + 12x5 + 60x4+ 160x3+ 240x2+ 192x + 64(3x5 + 30x4 + 120x3 + 240x2+ 240x + 96) + (-2x2 - 8x 8) + x + 2 + 5= x6 + 15x5+ 90x4 + 280x3 + 478x2 + 425x + 159.

EJEMPLO 4 ( ) 2 8 2 32 3 4 5+ + + + x x x x x x f Si Calcular:f(2),f(-3)y f(x + 2)Solucin: 50 92 88 45 112 ) 2 ( 8 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (85 2 ) 3 ( 8 ) 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (50 2 ) 2 ( 8 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (2 3 4 52 3 4 52 3 4 52 3 4 5+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x x x x xx x x x x x fffEJEMPLO 5 Si f(x) = x + 1/x, calcular: f(x 1/x) y x f(x) f(1)Solucin:

___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal7) 1 (111 1 122 4+ +

,_

x xx xxxxxxx fMatemticas Bsicas y FinancierasCLCULO DE IMGENES UTILIZANDO SOFTWARE ESPECIALIZADOLas imgenes en el programa de derive se obtienen con la siguiente metodologa. Primerpaso: Se escribe la funcin y se da Enter. En la pantalla aparece la funcin.

Seccin de escritura.

Segundo paso: En el men simplificar se selecciona la opcinsustitucin de variable.Se da simplify.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal8Matemticas Bsicas y FinancierasTercer paso: Se ingresa el nuevo valor de x para calcular la imagen. Se da Enter. Nuevo valor

Cuarto paso: Se selecciona simplificar.Quinto paso: Se obtiene la imagen requerida.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal9134

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Matemticas Bsicas y FinancierasCONTRADOMINIO ORANGO DE UNA FUNCIN?A los primeros elementos se les denomina elementos del dominio. A los segundos elementos o elementos de salida se les denomina, contradominio, rango, mbito etc.A continuacin se explica lo antes mencionado.Sea la funcin:El dominio est formado por todos los primeros elementos es decir los valores de entrada { } 3 , 2 , 1 xD . El contradominio est formado por todos los segundos elementos: Las imgenes son: El rango (o recorrido) est formado por el conjuntode todas lasimgenes, lo cual se puede generalizarasy = f(x) En la mayora de los casos el contradominio y el rango coinciden por lo cual hay personas que los utilizan de manera indistinta. Para efectos delpresente texto se hace uso de la palabra rango y no de contradominio.En la siguiente funcin se ejemplifica El contradominio y el rango es el mismo{10, 20, 30}.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal101231020304050x y} { 50 , 40 , 30 , 20 , 10 yC30 ) 3 (20 ) 2 (10 ) 1 (fff{ } 30 , 20 , 10 yR123102030x y134

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Matemticas Bsicas y FinancierasCLCULO DEL DOMINIO Y RANGOA continuacin se presentan algunos ejemplos en donde se calculan el dominio y el rango.EJEMPLO 1En la siguiente relacin, establecer el dominio y el rango e indicar sila relacin es una funcin. S = {(1,3), (2,3), (2,4), (3,2), (4,1), (5,5)}.Solucin Dx = {1, 2, 3, 4, 5} Ry = {3, 4, 2, 1, 5}

No es una funcin, es una relacinEJEMPLO2Para lasiguienterelacin, establecer el dominio y el rango e indicar si la relacines una funcin. A = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3)}. Solucin Dx = {1, 2, 3, 4} Ry ={ 3 }

El conjunto A de nmeros, si es una funcin y recibe el nombre de funcin constante. ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal11x y1 32 32 43 24 15 5x y1 32 33 34 351234

51234

31234

xyx yMatemticas Bsicas y FinancierasEJEMPLO3 Calcular el dominio, rango para el siguiente conjunto de nmeros y verificar si forman una funcin. A = { (1,5) , (2,6) , (3,7) , (4,8) }.Solucin:Dx = {1, 2, 3, 4}Ry = {5, 6, 7, 8}Si es funcin___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal12y x12345678Matemticas Bsicas y FinancierasINTERVALOSEnalgunasocasionessolamenteinteresaunnmeroounapartedel sistemadenmeros llamado intervalo, tema obligado para la comprensin del dominio y rango restringidos. A continuacinsepresentanalgunosejemplos generales deintervalos enunsegmentodel campo de los nmeros reales.a) El intervalo cerrado contiene a los extremos.La x contiene todos los valoresde 2 a 8.b) El intervalo abierto no contiene a los extremos.La x contiene todos los valores mayores de 2 pero menores de 8.c) El intervalo semiabierto contiene a solo uno de los extremos.La x contiene todos los valores desde el 2 hasta antes del 8.La x contiene todos los valoresmayores que2 hasta el 8.d) El intervalo infinito no tiene finLa x contiene todos los valores mayores que 2.La x contiene todos los valores mayores o iguales a 2.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 x 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 < x < 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 x < 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 < x 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x > 2Matemticas Bsicas y FinancierasDOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOSEl conocimiento del dominio y rango son fundamentales en el estudio de las funciones. Algunas funciones como x + y = 12 tiene su dominio y rango formados por todos los nmeros reales. En las funciones que tienen restringidos su dominio y su rango, es decir, cuando la funcin estlimitadaaundeterminadointervaloopartedel sistemadelosnmerosreales, las variables toman solo determinados valores. Se recomienda identificar primero el dominio restringido y con base en l, calcular el rango restringido en caso de que se requiera este ltimo. Para determinar el dominio restringido formado por todos los valores de entrada (x) se recomienda identificar en primer lugar todos los valores que no estn en el dominio. No se puede dividir entre ceroPara calcular el dominio restringido se debe tener presente que la divisin entre cero no est definida lo anterior se puede comprender si se analizan los ejercicios que se presentan en la tabla siguiente:12 2 = 6 ya que 6 2 = 1210 5 = 2 ya que 5 2 = 102 0 = no definido ya queNo existe un nmero que, al multiplicarlo por cero, de como resultado 2.Por esto, los valores de la variable del denominador que dan cero se tienen que excluir del dominio porque la divisin entre cero no est definida. Es comn ver que algunas personas cuandose les presenta una divisinentre cero ponencomocociente cero cometiendo obviamente un error.No se le puede extraer raz par a una cantidad subradical negativa. Tambin se debe tener presente que se est trabajando en el campo de los nmeros reales: naturales, enteros, racionales, irracionales y no en el campo de los nmeros imaginarios.Poresto, lavariableindependiente(x)solopuedeasumirvaloresparaloscualeslaraz cuadrada o cualquier raz par, sea positiva o cero.Ejemplos: 4=2Comprobacin: si se multiplica (+2) por (+2)=4 y tambin si se multiplica (-2)*(-2)=4 -4No tiene solucin en el campo de los nmeros reales ya que (-2) por (-2) no da como resultado-4 y (+2) por (+2)= no da como resultado -4En algunos casos la divisin entre cero se puede presentar de manera inadvertida y tambin se puede extraer indebidamente raz cuadrada o par, a una cantidad negativa.A continuacin se presentan ejemplos en donde, de manera inadvertida se cometieron estos errores por lo cualse llegaron a resultados absurdos ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal14Matemticas Bsicas y FinancierasCUIDADO CON DIVIDIR ENTRE CERO DE MANERA INADVERTIDA!Los valores de la variable del denominador que dan cero se tienen que excluir del dominio ya que la divisin entre cero no esta definida.Calcular el dominio restringido de la funcin:

El dominio de la funcin est formado por todos los nmeros reales menos el de x = 3 porque se presenta una divisin entre cero, o sea,Dx = { x | x Ryx 3 }En muchos casos en el denominador la divisin entre cero es obvia sin embargo hay que tener cuidado cuando la divisin entre cero se presenta de manera inadvertida como en el siguiente ejemplo: Por ser una igualdad se le puede dar cualquier valor, en este caso si c = 3 entonces d = 3cd c 2 Multiplicando ambos miembros por c

2 2 2d cd d c Restando d2 a ambos miembros2

) ( ) )( ( d c d d c d c +Factorizando Dividiendo ambos miembros entre (c-d)

d d c + ) (Simplificando3 3 3 + Sustituyendo los valores dados 3 6 Resultado absurdoSe lleg a un resultadoabsurdo por haber dividido de manera inadvertida entre cero.

0 3 3 d cCUIDADO CON EXTRAERLE A UNA CANTIDAD NEGATIVA, UNA RAIZ PAR!2 El axioma fundamental de las ecuaciones permite realizar operaciones iguales con cantidades iguales___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1532) ( xx f y) () () () )( (d cd c dd cd c d c +d c Matemticas Bsicas y FinancierasLa variable independiente (x) solo puede asumir valores para los cuales la raz cuadrada o cualquier raz par sea positiva o cero.Calcular el dominio restringido de la funcin:Enestecasoxpuedeasumircualquier nmeroreal queseamayoroiguala2,esdecir, Dx = { x | x R y x 2}Ya que si: En algunos casos de manera inadvertida se le puede extraer indebidamenteraz cuadrada a unacantidadnegativadentrodel campodelosnmeros reales, tal comosepresentaa continuacin: 20 20 Identidad 45 25 36 16 Propiedad de los nmeros enteros Propiedad aditiva Factorizando los trinomios cuadrados perfectos Extrayendo raz cuadrada a ambos miembrosCancelando 9/2en ambos miembros 5 4 Se llega a un resultado absurdoSe lleg a un resultado absurdoPorque: Sele extrajo incorrectamente la raz cuadrada a una cantidad negativa.

Tanto las funciones como el dominio y rango restringidos tienen aplicaciones directas en los negocios, comopor ejemploel pagodesalariosydepliza, etc. Conel findequese comprenda plenamente su aplicacin y utilidad en los negocios se presentan a continuacin varios ejemplos algunos de ellos con datos reales tales como los tomados de Telmex, CFE y de la JAPAY entre otros.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1620 2 xx48145 2548136 16 + + 2 2)295 ( )294 ( 2 2)295 ( )294 ( 2 ) ( x x f y295294 2)294 ( 2)295 ( 2121Matemticas Bsicas y FinancierasDOMINIO Y RANGO RESTRINGIDO EN EL MUNDO DE LOS NEGOCIOSEjemplo 1Un vendedor tiene un salario base de $ 2,000 mensuales, cuando sus ventas son de hasta $40,000, ms una comisin del 4% de las ventas totales que realiza por arriba de $ 40,000.Se pide:a) Encontrar la funcinque se generab) Calcular el salario total del vendedor, cuando realiza ventas mensuales de$ 40,000c) Calcular el salario total del vendedor, cuando realiza ventas mensuales de$ 80,000Solucina) Encontrar la funcin de ingreso.La expresin 400 + 0.04x se obtiene como sigue:Otro mtodo Para obtener la misma expresin se puede seguir el siguiente razonamiento:Si a los primeros $40,000 se les aplica el 4% resulta $1,600 pero como el salario basees de $2,000solo hay $400 adicionales entonces 400 600 , 1 000 , 2 Al calcular el salario total al 4% el ingreso del vendedor esy = 0.04xpero al sumarle los $400 adicionales el salario total se calcula por medio de la funcin y = 400 + 0.04x.b)Calcular el salario del vendedor, cuando realiza ventas mensuales de $ 40,000El salarioes de $2,000por estar dentro de la primera parte del dominio restringido.c)Calcularel salario totaldelvendedorcuandorealiza ventas mensuales de $80,000

ComprobacinPor los primeros 40,000 recibe$2,000Por los siguientes 40,000 recibe$1,600En total recibe$3,600___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal17'> + 000 , 40si04 . 0 400000 , 40 0si000 , 2) (x xxx f yx yx yx y04 . 0 400600 , 1 04 . 0 000 , 2) 000 , 40 ( 04 . 0 000 , 2+ + + 600 , 3 200 , 3 400) 000 , 80 ( 04 . 0 400 ++Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 2Un vendedor tiene un salario base de $ 1,2093 mensuales, ms una comisin del 2% de las ventas totales que realiza por arriba de $ 50,000 cada mes.Se pide:a) Encontrar la funcin que se generab) Calcular el salario total del vendedor cuando realiza ventas mensuales de $ 50,000c) Calcular el salario total del vendedor cuando realiza ventas mensuales de $ 80,000Solucina) Encontrar la funcinque se generaLa expresin 209 + 0.02x se obtiene como sigue:x 50,000 = cantidad arriba de 50,000Otro mtodo

Para obtener esta ultima expresin se puede seguir el siguiente razonamiento:Si a los primeros $50,000 se le aplica el 2% resulta $1,000 pero como el salario basees de $1,209solo hay$209 adicionales.x209 000 , 1 209 , 1 cantidad a la que hay que sumarle el 0.02x b) Calcular el salario total del vendedor cuando realiza ventas mensuales de $ 50,000El salario es de $1,209 por estar dentro del primer dominio restringido.c) Calcular el salario total del vendedor cuando realiza ventas mensuales de $ 80,000Comprobacin.Por los primeros $ 50,000 recibe$1,209Por los siguientes $ 30,000 recibe$ 600 En totalrecibe$1,809Ejemplo 33Es conveniente tratar deaveriguar siempre queseaposible, por quesepresentaunaconstante enun problemadado. Porejemploenesteproblema1,209/30=40.30representaelsalariomnimovigenteen Yucatn durante el ao 2003.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal18'> + 000 , 50 si02 . 0 209000 , 50 0 si209 , 1x xxyxxx02 . 0 209000 , 1 02 . 0 209 , 1) 000 , 50 ( 02 . 0 209 , 1+ + +809 , 1 600 , 1 209 ) 000 , 80 ( 02 . 0 209 ) 000 , 80 (02 . 0 209 ) ( + + + fx x fMatemticas Bsicas y FinancierasUn vendedor tiene un salario base de $1,000aunque no vendanadao sus ventas sean hasta de $6,000 al mes, ms una comisin del 8% por las ventasque realiza por arriba de $6,000. a) Expresar sus ingresos mensuales como una funcin de x, en donde xson las ventas mensuales totales en pesos. b) Cul ser su salario cuando realiza ventas por $5,000?c) Cul sersu salario cuando realiza ventas por $9,000? Solucina)Los datos son:Salario base $1,000Comisin 8% total de ventas por arriba de $6,000Por lo tanto, los ingresos mensuales como una funcin de x, en donde x son las ventas mensuales totales en pesos son: '> + 000 , 6si 08 . 0 520000 , 6 0 si 000 , 1) (Dominiox xxx f ILa expresin 520 + .08 x se obtuvo como sigue:xxx08 . 520 ) 3480 08 . 000 , 1 ) 2) 000 , 6 ( 08 . 000 , 1 ) 1+ + +b) Cul ser su salario, cuando realiza ventas por $5,000?El salario por ventas de $5,000 es de $1,000 por encontrarse en la primera parte del dominio. d) Cul ser su salariocuando realiza ventas por $9,000? El salario por ventas de $9,000 se calcula de la siguiente manera 520 + 0.08 (9,000) = 520 + 720 = e) $1,240___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal19Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 4Una aseguradora cobra un cargo anual de $ 1,000 por pliza, ms $ 3 por cada mil pesos del importe de la pliza.a) Determinar la funcin para calcular las primas anuales.b) La pliza mas pequea que se ofrece es de $50,000 y la mas grande de$5,000,000. Determinar el dominio y el rango restringido.c) Cuanto costar la prima de una pliza cuyo valor nominal es de $1,000,000?d) Cuanto costar la prima de una pliza de $ 8,000,000?Solucina) La funcin para calcular las primas anuales es: b) El dominio y el rango restringido.Dominio Rango

c)La pliza por 1000,000 tiene un costo de:d) No hay plizas de este valor por estar fuera del dominio.Ejemplo 5___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal2000 , 16 150 , 1000 , 000 , 5 000 , 50 yx000 , 4 $000 , 1) 000 , 000 , 1 ( 3000 , 1 + yx yxy 003 . 0 000 , 1 as escribirse puede n tambi000 , 13000 , 1 + + Matemticas Bsicas y FinancierasEste ejemplo presenta una parte del listado de las tarifas de Telmex registradas en el 2,0024 para las cuales se calculan las funciones que se generan y el dominio restringido del estrato tarifa lada normal, especficamente lada ahorro, con destino nacional.Tarifas LADA NormalDestinoTarifas LADALADA AHORROLADA NICA $0 a $74.99$75 a $149.99$150 a $499.99$500 o msBase 12% 17% 34% 39%TARIFA NICANacional 2.58 2.27 2.14 1.70 1.57 1.48EUA Frontera - Frontera 3.20 2.82 2.66 2.11 1.95 1.83EUA Frontera - Resto 7.88 6.93 6.54 5.20 4.81 4.57EUA Resto Resto 9.48 8.34 7.87 6.26 5.78 4.57Canad10.71 9.42 8.89 7.07 6.53 5.71Centroamrica 7.15 6.29 5.93 4.72 4.36 4.00Sudamrica, Caribe y Alaska15.50 13.64 13.87 10.23 9.46 9.00Europa, frica y Cuenca del Mediterrneo14.88 13.09 12.35 9.82 9.82 8.00Resto del Mundo 16.85 14.83 13.99 11.12 10.28 10.00SolucinLasfuncionesylosdominiosrestringidosrespectivos, considerandosolamenteel estrato: Tarifa LADA normal, especficamente LADA ahorro, con destino nacional, son:Tarifas LADAy = f(x)Consumo mensual en pesosDominios (x)y =[2.58-.12(2.58)] = 2.27x 0 < x < 74.99y =[2.58-.17(2.58)] = 2.14x 75 < x < 149.99y =[2.58-.34(2.58)] = 1.70x 150 < x < 499.99y =[2.58-.39(2.58)] = 1.57x x > 500Ejemplo 64verapndice A___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal21Matemticas Bsicas y FinancierasEsteejemplopresenta una parte del listado de las tarifas de la CFE registradas en el ao 2,0025.Se requiere calcular las funciones y los dominios y rangos restringidos de febrero a noviembre de dicho ao.Solucin Observando la tabla de datos y sustituyendo los valores adecuados se obtienen los resultados presentados a continuacin.5 ver apndice B___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal22PERIODO DE VERANO CALIDO RANGO DIC-ENE FEB-MAR ABR-MAY JUN-JUL AGO-SEP OCT-NOVKwH 37257.00 2002.00 2002.00 2002.00 2002.00 2002.000-50 27.96 28.27 25.08 25.44 25.08 29.7675.00 41.94 42.42 37.62 38.16 38.70 44.64100.00 55.92 56.57 50.16 50.88 51.60 59.52Dominio Funcin RangoConsumo en KWH (x) Perodo Pagoen pesos (y)0-50 0< x < 5050-75 50 < x < 7575-100 75 < x < 100Febrero-Marzoy = 28.27xy = 42.42xy = 56.57x0 < y < 14132121 < y < 31814242 < y < 56570-500 < x < 5050-75 50 < x < 7575-100 75 < x < 100Abril-Mayoy = 25.08xy = 37.62xy = 50.16x0 < y < 12541881 < y < 28213762 < y < 50160-500 < x < 5050-75 50 < x < 7575-100 75 < x < 100Junio-Julioy = 25.44xy = 38.16xy = 50.88x0 < y < 12721908 < y < 28623816 < y < 50880-50 0 < x < 5050-75 50 < x < 7575-10075 < x < 100Agosto-Septiembrey = 25.08xy = 38.70xy = 51.60x0 < y < 12541935 < y < 29023870 < y < 51600-500 < x < 5050-75 50 < x < 7575-10075 < x < 100Octubre-Noviembrey = 29.76xy = 44.64xy = 59.52x0 < y < 14882232 < y < 33484464 < y < 5952Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 7Este ejemplo presenta una parte de las tarifas del impuesto sobre la renta y solamente una parte del proceso para determinar el impuesto en el ao 2003. Serequierecalcularel impuestoapagarcuandoelingresoesde$3,000ycuandoes de $50,000.SolucinA continuacin se calcula el impuesto neto a pagar cuando el ingreso es de $ 3,000.00 y cuando es de $ 50,000.00Impuesto por pagarIngreso Procedimiento Impuesto sin subsidio$ 3,000 y = 15.32+.10 (3,000-509.03) 264.41$ 50,000 y = 1,816.61+.34 (50,000-10,566.11) 15,224.13Subsidio fiscalIngreso Procedimiento Subsidio$ 3,000 y = 15.32 (.40)+.3480 [.10(3,000-509.03)] 92.81$ 50,000 y = 1,816.61 (0.056) 101.73Impuesto netoIngreso Impuesto sin subsidio (-) subsidio Impuesto neto$ 3,000 264.41- 92.81 171.6$ 50,000 15,224-101.73 15,122.27___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal23Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 8Este ejemplo presenta las tarifas de agua potable vigentes en el ao 2003. Se requieren calcular las funciones, as como los consumos y el pago para quienes consumen entre 21 m3 y 150 m3. (CONSUMO DOMESTICO)SolucinUtilizando los datos proporcionados en la lista, se pueden obtener los resultados presentados en la siguiente tabla. Funciones y = f(x) Consumo en m3 (x) Precio en pesos (y)y = 2.10x 21 x 30 44.10 y 63y = 2.15x 31 x 40 66.65 y 86y = 2.55x 41 x 60 104.55 y 153y = 2.75x 61 x 100 167.75 y 275y = 3.40x 101 x 150 343.40 y 510___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal24Matemticas Bsicas y FinancierasFORMA DE REPRESENTAR A LAS FUNCIONES Las formas mas utilizadas para representar a las funciones son las siguientes: Literal,Frmula, Tabulacin y Grfica.LITERALEs la redaccin por medio de una frase que especifica la relacin que existe entre determinadas variables, es decir, es la forma habitual que tienen las personas para describir el problema dado. FRMULAEs una expresin general, formada por letras y smbolos en la que se ponende manifiesto las leyes que ligan entre si a los datos que forman un problema con el fin de obtener el resultado de alguna de sus incgnitas, siendo tambin til pararesolver problemas anlogos. En forma genrica se puede decir que se trata de un modelo.TABULACINSon tablas que se presentan por medio de filas o columnas en donde se asientan los valores o determinados valores que satisfacen a una frmula dada.GRFICACon elfinde facilitar la comprensin de un problema dado, es til describir el problema mediante una figura, es decir, mediante la grafica de la funcin o funciones representativas de dicho problema. En esta unidad se grafican rectas en el plano cartesiano, primero mediante tabulacin manual y posteriormente se describe el procedimiento para graficar mediante el software Derive. En caso de que se desee o necesite utilizar Excel u otro asistente matemtico se est en plena libertad de hacerlo.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal25Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 1 A continuacin se presenta una funcin de acuerdo a las cuatro formas mencionadas.Solucin LITERAL.Si una coca cola de 2 litros no retornable cuesta $14.00, el costo de un pedido de coca colas depender del nmero de coca colas de 2 litros que se requieran. Sisecomprancuatro, el costoserde$56.00. Porlotantoel costoesten funcindel nmero de coca colas que se compren.FRMULAy = 14xTABULACIN.Nmero de coca-colas (x) 1 2 3 4 5Costo (y)14 28 42 56 70GRFICA ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal26Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 2A continuacin se presenta una funcin de acuerdo a las cuatro formas mencionadas.SolucinLITERAL.Unapersonapercibe50pesosporda, trabajandoxdas. Lapercepcindel trabajador depender del nmero de los das trabajados.FRMULAy =50xTABULACIN. Das trabajados (x) 1 2 3 4 5Percepcin (y) 50 100 150 200 250GRFICA___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal27Matemticas Bsicas y FinancierasGRFICA DE FUNCIONES UTILIZANDO SOFTWARE ESPECIALIZADOLas grficas del planocartesiano, seobtienenenel programaderiveconlasiguiente metodologa. Primerpaso: Clic en el botn 2D plot window en el panel.Segundo paso: Escribir la funcin y dar ENTER. ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal28Matemticas Bsicas y FinancierasTercer paso: Clic en el botn Plot expresin en el panel.Cuatro paso:Modifica los ejes de la grfica segn tu conveniencia entrando a SetPlot Region. Se abrir un cuadro de dialogo llamada Set 2D plot region.En este cuadro la opcin Length (longitud) determina la longitud del eje correspondiente; la opcin Center (centro) determina que punto sobre los valores de cada eje ser el centro de la imagen; la opcin Intervals determina en cuantos intervalos se dividir cada eje.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal29Por ejemplo, con valores de Length = 10Center = 4Intervals = 10paraambos ejes seobtienela grfica de la derecha.Matemticas Bsicas y FinancierasGRFICASEN APLICACIONES DEL DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOEjemplo 1Una empresa yucateca le paga a sus vendedores de tarjetas de telfonos 30 pesos diarios, vendan o no vendan y el 1% sobre el monto de sus ventas. Se requiere:a) Determinar la ecuacin que se generab) Siuno de los empleados vendi en un da $5,000Cunto gan?c) Graficar Solucina) La funcin que se genera es:

x x f y 01 . 30 ) ( + b) El empleado que vendi $5,000 gan:Sustituyendo en la funcin 80 $50 30) 000 , 5 ( 01 . 0 3001 . 0 30+ + + yyyx yc) La grfica se presenta a continuacin.Con dos puntos que satisfagan a la ecuacin, se puede obtener la grfica.X y0 305,000 80___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal30Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 2.LafotocopiadoraCopyUADY queseencuentra auncostadodenuestra facultad cobra $ 0.30 por cada copia hasta cien y en pedidos de arriba de 100 (volumen) cobrapor cada copia $ 0.20.a) Determinar la funcin que se genera y su rangob) Cual es la mejor decisin si se requieren sacar 100 copias?c) Graficar.Solucina) La funcin que se genera es: DominioRangob)La mejor decisin es:Si se sacan 100 copias se pagaran $30, pero si se sacan 101 copias se pagaran solamente $20.20, por lo tanto es mejor sacar 101 copias.c) Graficar. La primera parte de la grfica se obtiene sustituyendo los extremos del dominio en la funcin y = .30x, dando por resultado los puntos (0, 0) y (100, 30).La segunda parte de la grfica se obtiene sustituyendo en la ecuacin y = .20x el punto x = 100, sin olvidar que no lo contiene, obteniendo el punto P (100, 20) y cualquier otro punto que satisfaga a la ecuacin v.gr. P (200, 40)___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal31'> > 20 100 20 .30 30 . 0 100 1 30 .) (y x x yy x x yx f yMatemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 3Si el nmero de unidades (x) vendidas durante una semana es menor o igual que 30, unvendedor recibeunbonode$200yunacomisinde$5por unidad vendida. Si el nmerodeunidadesvendidasenunasemanaesdemsde30 unidades recibe un bono adicional de $50 y la comisin en todas las unidades se incrementa a $6. a) Obtener la respectiva funcin y su rangob) La grfica.Solucin. a) La funcin que se genera es:b) La grfica se obtiene as:Se toman dos puntos que satisfagan a la ecuacin Primera parte de la recta:x y0 20030 350Segunda parte de la recta:X yms de 30 ms de 43050 550___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal32'> > + + 43030si 250 6350 20030 0si 200 5) (RangoDominioy x xy x xx f yMatemticas Bsicas y FinancierasINTRODUCCIN A LA FUNCIN RECTILINIA.Lafuncindelalnearectaqueacontinuacinserel temadeestudio, es demucha importancia por su gran nmero de aplicaciones.Muchas funciones que implican cantidades se pueden representar mediante rectas.Para definir lo que es la lnea recta se requiere el concepto de pendiente.La pendiente es una medida de la inclinacin de una recta. Para calcular la pendiente si se conocen dos de sus puntos, se utiliza la siguiente frmula:La frmula puede obtenerse utilizando la siguiente figura:___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal33l) (horizonta en xCambio (vertical) yenCambioabcisas las de Diferenciaordenadas las de Diferencia1 21 2a tg x xy yCACOmMatemticas Bsicas y FinancierasLa inclinacin de una recta determina su pendiente, la cual se define en trminos del ngulo que forma la recta con el ejexy semideen contradel movimientodelasmanecillasdel reloj. Lapendientedeunalnearectaesla tangente trigonomtricade su ngulo de inclinacin, y generalmente se denota porm. La determinacin de la pendiente de una recta es equivalente a la determinacin de la tangente de su ngulo de inclinacin.Utilizando las propiedades de los tringulos semejantes, se puede demostrar que la pendiente de una recta no depende de cuales dos puntos se hayan escogido para calcularla.Poresto, latangentedeunnguloeslamisma, independientementedelpuntoenquela perpendicular corte al lado adyacente. Puesto que:La pendiente de una recta se interpreta como la razn del cambio algebraico en el incremento vertical, al cambio algebraico correspondiente en el incremento horizontal, a medida que un punto se mueve a lo largo de una recta en uno u otro sentido.Ejemplo 1Calcular la pendiente conocidos los puntos P1(2, 3) y P2(7, 8)SolucinDefinicin de lnea recta

La recta es el lugar geomtrico de los puntos, que al tomar dos o ms puntos diferentes cualesquieradel lugar geomtrico, resultasiempreconstantesu pendiente.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal34 12 34 5 6 71552 73 81 21 2 x xy ym1 21 2x xy ym2 12 11 21 2x xy yx xy yax1 x2y2y1x2 x1y2 y1a0P2 (x2, y2)P1(x1, y1)y2 y1x2 x1Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 2Verificar si los puntos(-1,0), (0,2), (1,4), (2,6), (3,8) y (4,10) forman una recta.SolucinUtilizando la frmula Sustituyendo:Solamentesecalcul la pendiente de algunas combinaciones de los puntos pero se puede seguir trabajando y la pendiente en este caso siempre ser2.Una recta, que es la lnea geomtrica ms simple, puede especificarse por cualquiera de los mtodos siguientes: a).-Dos puntos de dicha lnea,b).-La pendiente de la recta y un punto de ella. Existen varias formas dela ecuacin de una recta las cuales se presentan mas adelante; lascondiciones que se tengan paracalcular la lneadeterminarn cul es la ms conveniente a utilizar, en el caso de un problema particular.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal35 12 34 5 6 71 21 2x xy ymetc. , , , 2123 48 102121 24 62121 00 2 +Matemticas Bsicas y FinancierasPENDIENTE POSITIVAPara hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (5, 10), se utiliza la frmula respectiva de pendiente.

1 21 2x xy ymAl sustituir los puntos dados se obtiene la pendiente: Para obtener el ngulo de inclinacin se va a 2 inverso tangente en una calculadora e inverso grados. Por lo tanto el ngulo = 63 26 No hay que olvidar que el ngulo se mide en contra del movimiento de las manecillas del reloj; tomando como lados el eje de las abcisas y la recta que pasa por los puntos dados.Si la pendiente es positiva m= +, como en este ejercicio,entonces el ngulo que se forma con el eje x se encuentra en el intervalo siguiente: 0 0 la segunda derivada es positiva (+) y por clculo diferencial se sabe que se trata de un mnimo.Si a < 0 la segunda derivada es negativa (-) y por clculo diferencial se sabe que se trata de un mximo___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal128Matemticas Bsicas y FinancierasTERCERA PROPIEDAD: COORDENADAS DEL VERTICE.Las coordenadas del vrtice son: EJEMPLOS: ab acy442ParbolaAbcisa del vrticeabx2Ordenada del vrticeab acy442VrticeY = 3x2 - 12x + 4a = 3b = -12 2612 xc = 4) 3 ( 4) 12 ( ) 4 )( 3 ( 42 y V (2, -8)y = x2 + 4a = 1b = 0 0) 1 ( 20 xc = 4) 1 ( 4) 0 ( ) 4 )( 1 ( 42 y V (0, 4)Y = -3x2 + 12x + 4a = -3b = 122) 3 ( 212 xc = 4) 3 ( 4) 12 ( ) 4 )( 3 ( 42 y V (2, 16)y = -x2 4a = -1b = 00) 1 ( 20 xc = -4) 1 ( 4) 0 ( ) 4 )( 1 ( 42 V (0, -4) Si no se quiere utilizar la frmulaab acy442para calcular la ordenada del vrtice una vez conocida la abcisa del vrtice (x), este valor puede sustituirse en la ecuacin dada para calcular la ordenada del vrtice (y).Ejemplo: y = 3x2 12x + 4 si se sabe que x = 2 , entonces: y = 3(2)2 12(2) + 4 y = 12 24 + 4 y = -8En caso de no haber llevado clculo diferencial no se hace necesaria la demostracin de esta propiedadperosi sedebentenerpresentelasfrmulasparacalcular lascoordenadasdel ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal129ab acabf tambien donde Enab acabv442 44,22 2

,_

,_

Matemticas Bsicas y Financierasvrtice .Mas adelante, en el capitulo cuatro se explica detalladamente. Sin embargo para los lectores que han llevado clculo diferencial se les recuerda que:Siy = ax2 + bx + ces el modelo cuadrtico dado.Entonces y= 2ax + bes la primera derivada.2ax + b = 0igualando la derivada a cero se puede encontrar el mximo o el mnimo.2ax = -bdespejando xabx2es el valor de la abcisa del vrtice de la parbolaSi se sabe que abx2es el valor de la abcisa del vrtice entonces para obtener la ordenada y , basta sustituir el valor de x en el modelo cuadrtico y = ax2+ bx + c quedando de la siguiente manera:c bx ax y + + 2c xabbabaabf y + ,_

+ ,_

,_

2 2 22 sustituyendo=cab+ 2 4aab222 efectuando las operaciones= 22 2 244 2ac a ab ab + + pasando todo, a un comn denominador= 22 24] 4 2 [aac b b a + factorizando y simplificando= ab ac442 sumando el numerador y conmutando los trminos.CUARTA PROPIEDAD:INTERCEPCION CON EL EJE DE LAS ABCISAS (X)No todas las parbolas interceptan o tienen que interceptar al eje de las abcisas x.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal130Matemticas Bsicas y FinancierasEn caso de que una parbola dada intercepte al eje x, las intercepciones se obtienen haciendo que y = 0 y se resuelve la ecuacin obtenida ya seapor factorizacin o utilizando la frmula: aac b bx242 + PRIMER METODO POR FACTORIZACIONa) Puede ser de la forma : x2+bx+cV.Gr. 12 82+ x x y modelo dado ) 6 )( 2 ( 0 x xfactorizando y haciendo y = 0por lo tanto 6 2 x y x resolviendo la ecuacinb) Puede ser de la formaax2 + bx + c4537tan) 5 4 )( 7 3 ( 035 13 122 + x y x to lo Porx xx x ySEGUNDO METODO POR FORMULA02 + + c bx ax Dndole en el modelocuadrtico el valor de y = 0. acxabx +2 Dividiendo entre a y sacando al trmino que contiene c. acababxabx + +222224 4Sumando a ambos el miembros 224ab. 222442 aac babx ,_

+ Factorizando el primer miembro y sumando el segundo miembro. aac b bx242 + Extrayendo a ambos miembros raz cuadrada y despejando x.Ejemplo:y = x2 - 8x + 12 y = x2 - 8x + 12=0Ecuacin dada 1281 cba ) 1 ( 2) 12 )( 1 ( 4 ) 8 ( ) 8 (2 + x

248 64 8 + x

24 8 + xPor lo tanto las intercepciones son x1=2yx2=6___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal131Matemticas Bsicas y FinancierasQUINTA PROPIEDAD: INTERSECCION CON EL EJE DE LAS ORDENADAS (Y).No todas las parbolas interceptan o tienen que interceptar el eje de la ordenada (y).Encasodequeunaparboladada, intercepteal eje(y), lasintercepciones seobtienen haciendo que la (x) tenga un valor igual a cero, en otras palabras la intercepcin es el valor de la constante c".A continuacin se presentan algunos ejemplosPARABOLA INTERCEPCION CON EL EJE DE LAS ORDENADAS Yy = 3x2 - 4x + 2 y =2y = x2 2 y = -2y = -3x2 - 12x + 4 y =4y = +x2 4 y = -4y = -8x2 + 16 y =16RESUMEN DE LAS PROPIEDADES DEL MODELO y = f(x) = ax2 + bx + cTipo de grfica PRIMERA.- La grfica con solucin real siempre es un parbola vertical y su dominio est formado por todos los nmeros realesHacia donde se abre la parbolaSEGUNDA.-Si a < 0 es decir, a es negativa.Setratadeunaparbola que se abre hacia abajo generando en su vrtice un valor mximo Si a >0 es decir es positiva. Se trata de una parbola que se abre hacia arriba generando en su vrtice un valor mnimoCoordenadas del vrticeTERCERA.- Las frmulas para calcular las coordenadas del vrtice son)44,2(2ab acabV Tambin ab accbf4422 ,_

por lo tanto se puede seguir el camino que se desee.

abx2Es su eje de simetra.Intercepciones conel ejedelas abcisas (x)CUARTA.- En caso de que la parbola intercepte al eje x, las intercepciones se obtienen haciendo que y = 0 o por la frmula aac b bx242 + Intercepcin con el eje de las ordenadas (y)QUINTA.- En caso de que la parbola intercepte al eje Y, las intercepciones se obtienen haciendo que x = 0En la prctica es el valor de del modelo.A continuacin se presentanejemplos en donde se obtienen las propiedades de los modelos de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, y con estas propiedades se bosqueja la grfica respectiva___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal132Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 1:Dada la ecuacin8 62+ x x y , obtener las propiedades estudiadas y la grfica correspondiente.Solucin:a) Tipo de Grfica:Es una parbola vertical Su dominio esta formado por todos los nmeros reales.b)Hacia donde se abre la parbola.En este caso a = 1, por ser a > 0, se trata de una parbola que se abre hacia arriba generando en su vrtice unvalor mnimo en x.c)Coordenadas del vrtice.Las frmulas para calcular las coordenadas del vrtice son)42 4,2(ab acabV sustituyendo en las frmulas, los valores de a = 1, b = -6, c = 8.

)) 1 ( 42 ) 6 ( ) 8 )( 1 ( 4,) 1 ( 2) 6 (( V= Vrtice (3, 1)d) Intercepcin con el eje x.4 2) 4 )( 2 ( 08 6 02 + x y xx xx xe)Intercepcin con el eje y Como el valor de c = 8, entonces 8es la intercepcin con el eje y.X 3 2 4 0 6Y -1 0 0 8 8Se han obtenido algunos puntos de la grfica, se pueden aadir otros que satisfagan a la funcin dada para una mayor exactitud___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal133Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 2:Dada la ecuacin y = -x2 + 5x 6, obtener las propiedades estudiadas y la grfica correspondiente.Solucin:a) Tipo degrfica: Es una parbola vertical. Su dominio esta formado por todos los nmeros reales.b) Hacia donde se abre la parbola: En este caso a = -1, por ser a < 0. Se trata de una parbola que se abre haciaabajo generando en su vrtice unvalor mximo en x.c) Coordenadas del vrtice: La frmula para calcular las coordenadas del vrtice son:)42 4,2(ab acabV Sustituyendo en las formulas los valores de a = -1, b = 5, c = -6)) 1 ( 42 ) 5 ( ) 6 )( 1 ( 4,) 1 ( 2) 5 (( VVrtice (2.5, -.25)d) Intercepcin con el eje X. 0= -x2 + 5x 6 ; a = -1, b = 5,c = -6Utilizando la frmula aac b bx24 2 + Sustituyendo: ) 1 ( 224 25 5 + x x1=2,x2=3e) Intercepcin con el eje y.Como el valor de c =-6 entonces -6 es la intercepcin con el eje y.Puntos utilizadosVrtice V(2.5, -.25)Intercepciones con el eje x (2,0)y (3,0)Intercepcin con el eje y (0, 6)Otro punto que satisface a la ecuacin y completa la simetra es (5, -6)___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal134Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 3:Dadalaecuaciny=-6x2+7x+5obtener laspropiedadesestudiadasyel bosquejo de la grfica correspondienteSolucin:a) Tipo de parbola: Es una parbola verticalSu dominio est formado por todos los nmeros reales.b) Hacia donde se abre la parbola: En este caso a =-6,por ser a < 0 se trata de una parbola que se abre haciaabajo generando en su vrtice un valor mximo en x.c) Coordenadas del vrticeSustituyendo a las frmulas los valores de:a = -6, b = 7, c = 5)) 6 ( 42 ) 7 ( ) 5 )( 6 ( 4,) 6 ( 27( VV = (.58 , 7.4)04 . 724169d)Intercepcin con el eje x. -6x2 + 7x + 5) 12 ( 2) 5 )( 6 ( 4 49 7 + x = 1213 7 + 3512201 xy 212 xe)Intercepcin con el eje y: Como el valor de c = 5 entonces 5 es la intercepcin con el eje y.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal135Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 4:Dadalaecuaciny=7x2-33x10, obtenerlaspropiedadesestudiadasyla grfica correspondiente.Solucin:a)Tipo de grfica: Es una parbola vertical Su dominio est formado por todos los nmeros reales b)Hacia donde abre la parbola: En este caso a > 7, por ser a > 0 se trata de una parbola que se abre hacia arriba generando en su vrtice un valor mnimo en x.c)Coordenadas del vrtice: Las frmulas para calcular las coordenadas del vrtice son:)42 4,2(ab acabV Sustituyendo en las frmulas los valores de:a = 7,b = -33, c = -10)) 7 ( 42 ) 33 ( ) 10 )( 7 ( 4,) 7 ( 2) 33 (( VV = (2.35 , 48.8)d)Intercepciones con el eje x: Factorizando: ) 7 ( ) 7 (70 ) 33 ( 7 4910 33 722x xx xx x Multiplicando todo por 7 7) 2 7 )( 35 7 (70 ) 7 ( 33 ) 7 (2 x xx x Dividiendo todo entre 7 7) 2 7 )( 5 ( 7 + x x Cancelando los 7. x =5 y x = 72e) Intercepcin con el eje y: Como el valor de c = -10, entonces -10 es la intercepcin con el eje y.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal136Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 5:Dada la ecuacin y=x2, obtener las propiedades estudiadas ylas grficas correspondientes.Solucin:a) Tipo de grfica:Es una parbola vertical.Su dominio est formado por todos los nmeros reales.b) Hacia donde abre la parbola:En este caso a = 1, por ser a > 0 se trata de una parbola que se abre haciaarriba generando en su vrtice un valor mnimo de x.c) Coordenadas del vrticeSustituyendo en las frmulas los valores de:a = 1, b = 0 y c = 0 1]1

ab acabV44,22 1]1

) 1 ( 4) 0 ( ) 0 )( 1 ( 4,) 1 ( 202V ) 0 , 0 ( Vd)Intercepciones con el eje x 0 = x2por lo tanto x = 0e) Intercepciones con el eje y.Como y = 02Entonces y = 0 por lo tanto la intercepcin con el eje y = 0.Puntos utilizadosIntercepcin con el eje x (0,0)x 1 2 3 4y 1 4 9 16 Intercepcin con el eje y (0, 0) otros puntos que satisfacen a la ecuacinTASA PROMEDIO DE CAMBIO___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal137Matemticas Bsicas y FinancierasUn pequeo vehculo motorizado, llamado, El Travieso recorre determinada distancia la cual puede describirse en funcin del tiempo (T) de la siguiente manera: d = f(T) = 6T2 + 14T 4 0 TLa distancia se mide en kilmetros y el tiempo en horas.Anlisis de la velocidad promedioDistancia recorrida TotalVelocidad promedio (partiendo del inicio)Velocidad promedio (hora por hora)Primera hora de viaje20En la primera hora la velocidad promedio es:hr Kmf fTd2010 200 1) 0 ( ) 1 (Segunda hora de viaje52La velocidad promedio durante las dos primeras horas:hr Kmf fTd2620 520 2) 0 ( ) 2 (La velocidad promedio de la 1ra. a las 2da. hora es:hr Kmf fTd32120 521 2) 1 ( ) 2 (Tercera hora de viaje96La velocidad promedio durante las tres primeras horas es:hr Kmf fTd3230 960 3) 0 ( ) 3 (La velocidad promedio de la 2da. a la 3ra. hora es:hr Kmf fTd44152 962 3) 2 ( ) 3 (Cuarta hora de viaje152La velocidad promedio durante las cuatro horas es:hr Kmf fTd3840 1520 4) 0 ( ) 4 (La velocidad promedio de la 3ra. a la 4ta. hora es:hr Kmf fTd56196 1523 4) 3 ( ) 4 (La velocidad promedio de la segunda a la cuarta hora es:hr Kmf fTd502100252 1522 4) 2 ( ) 4 ( De donde se puede inferir que:( )xx f x x fTd + ) (TASA PROMEDIO DE CAMBIOEjemplo 1: En los ltimos aos, una empresa obtuvo las siguientes ventas:Ao 1,999 2,000 2,001 2,002 2,003___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal138Matemticas Bsicas y FinancierasVentas en miles 1,000 1,200 1,500 2,400 2,640Solucin:A que tasa promedio se incrementaron sus ventas anuales enlos casosque se presentan a continuacin?a) De 2,000 a 2,002 600000 , 2 002 , 2200 , 1 400 , 2b) De 1,999 a 2,003 410999 , 1 003 , 2000 , 1 640 , 2c) De 1,999 a 2,000 200999 , 1 000 , 2000 , 1 200 , 1d) De 2,001 a 2,003 570001 , 2 003 , 2500 , 1 640 , 2e) De 2,002 a 2,003 240002 , 2 003 , 2400 , 2 640 , 2Comprobacin:a) De 2,000 a 2,002 : Tasa promedio = 600 2,000 2,001 2,0021,200 1,200 + 600 = 1,800 1,800 + 600 = 2,400b) De 1,999 a 2,003 : Tasa promedio = 4101,999 2,000 2,001 2,002 2,0031,000 1,000 + 410 = 1,4101,410 + 410 = 1,8201,810 + 410 = 2,2302,230 + 410 = 2,640c) De 1,999 a 2,000 : Tasa promedio = 2001,999 2,0001,000 1,000 + 200 = 1,200d) De 2,001 a 2,003: Tasa promedio = 5702,001 2,002 2,0031,500 1,500 + 570 = 2,070 2,070 + 570 = 2,640e) De 2,002a 2,003: Tasa promedio = 2402,002 2,0032,400 2,400 + 240 = 2,640Ejemplo 2:Durante un perodo de 6 das la asistencia para ver jugar a los Leones de Yucatn en el parque Kukulkn fue la siguiente:Das 1 2 3 4 5 6___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal139Matemticas Bsicas y FinancierasAsistencia 4,000 5,000 6,500 7,600 9,200 12,000Utilizando ( ) ( )xx f x x fxy +Calcular la tasa promedio de cambio en la asistencia de los das siguientes:a) Del da 1 al da 2b) Del da 1 al da 4c) Del da 2 al da 5d) Del da 1 al da 6e) Del da 5 al da 6Solucin:30001000 , 35 6200 , 9 000 , 12)600 , 15000 , 81 6000 , 4 000 , 12)400 , 13200 , 42 5000 , 5 200 , 9)200 , 13600 , 31 4000 , 4 600 , 7)000 , 11000 , 11 2000 , 4 000 , 5) edcbaComprobacin: a) Del da 1 al da 2:b)Del da 1 al da 4:c) Del da 2 al da 5:d) Del da 1 al da 6:

e) Del da 5 al 6:5 69,200 9,200 + 2,800 = 12,000Es conveniente comparar los resultados con los datos proporcionados.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1401 24,000 4,000 + 1,000 = 5,0001 2 3 44,000 4,000+1,200=5,200 5,200+12,000=6,400 6,400+1,200=7,6002 3 4 55,000 5,000+1,400=6,400 6,400+1,400=7,800 7,800+1,400=9,2001 2 3 4 5 64,000 5,600 7,200 8,800 10,400 12,000Matemticas Bsicas y FinancierasOBTENCION GRAFICA DE LA TASA PROMEDIO DE CAMBIOLatasapromediodecambio, tambinllamadacocientedeladistancia, puedeobtenerse haciendo uso de la siguiente figura:

y

x Aplicando la definicin de pendiente tambin puede obtenerse el cociente de la diferencia:xx f x x fx x xx f x x fxym + + +) ( ) () () ( ) (Por lo tanto la razn de cambio es la pendiente y la ecuacin xx f x x fxy + ) ( ) ( es tambin llamada, por algunos autores, cociente de la diferencia.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1412 2) ( ), (y xx x f x x + +1 21 2x xy y1 1) ( ), (y xx f xMatemticas Bsicas y FinancierasEjemplo:Si y = f(x) = x2: a) Encontrar la tasa de cambio del cociente de la diferencia de la funcin.b) Calcular la pendiente de la lnea que une a los puntos (1, 1) y (5, 25).c) Encontrar la pendiente del inciso (b) utilizando la tasa promedio de cambio o cociente de la diferencia que se obtuvo en el inciso (a). d) Para comprender mejor este ejercicio, graficar la funcin dada y = f(x) = x2 localizando los puntos relevantes y la secante.Solucin:a) La frmula a utilizar es:xx f x x fxy + ) ( ) (En este ejemplo f(x) = x2:( )[ ]x xxyxx x xxyxx x xxyxx x x x xxyxx x xxy + + + + + +22) ( 2) ( 222 2 22 2b) Calcular la pendiente de la lnea que une los puntos (1, 1) y (5, 25):641 251 5) 1 ( ) 5 () ( ) ( +f fxyxx f x x fxyTambin 1 21 2x xy ym64241 51 25 y___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal142Matemticas Bsicas y Financierasc) Encontrar la pendiente del inciso (b) utilizando la tasa promedio o cociente de la diferencia que se obtuvo en el inciso (a):En el inciso(a) se obtuvo que: x xxy + 2 .Se requiere saber el valor de x yx .Pero se sabe que x = 1 y que x +x = 541 55 xxx

Los puntos son ( ) ( ) [ ]25 5 1 1, )) ( , ( x x f x x y x f x + + se obtienen:6 4 ) 1 ( 2 2 + + x xxySe obtuvo el mismo resultado del inciso (b).d) Para comprender mejor este ejercicio graficar la funcin y = f(x) = x2, localizando los puntos relevantes y la secante:

2) ( x x f y 24 1 25 y

1]1

1 1) ( , x f xComprobar la primera derivada haciendo uso de las frmulas adecuadas. Comprobarlasderivadasquesepresentanacontinuacinsinolvidarquehay varios caminos.TASA INSTANTNEA DE CAMBIO___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal1431]1

+ +25 5) ( ), ( x x f x x f4 1 5 xMatemticas Bsicas y FinancierasDeterminarlavelocidadinstantneaen que elpequeo vehculomotorizadoeltravieso (mencionado anteriormente) se esta desplazando cuando T= 2. La velocidad instantnea se obtiene examinando la velocidad promedio durante los intervalos de tiempo cercanos a T = 2.Se sabe que: d = f(T) = 6T2 + 14 T 4 0 TDando los valores a T que se acercan a 2 por ejemplo: T 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.01 2.001 2.000001: Ser T 1 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 .01 .001 .000001Se obtiene:Acercando a cero (respecto 2)( ) ( )TT f T T fTd +( ) ( )( ) ( )hrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf fTd8 . 393 .94 . 113 .52 94 . 632 3 . 2) 2 ( ) 3 . 2 (4 . 404 .16 . 164 .52 16 . 682 4 . 2) 2 ( ) 4 . 2 (415 .5 . 205 .52 5 . 722 5 . 2) 2 ( ) 5 . 2 (6 . 416 .96 . 246 .52 96 . 762 6 . 2) 2 ( ) 6 . 2 (2 . 427 .54 . 297 .52 54 . 812 7 . 2) 2 ( ) 7 . 2 (8 . 428 .24 . 348 .52 24 . 862 8 . 2) 2 ( ) 8 . 2 (4 . 439 .06 . 399 .52 06 . 912 9 . 22 9 . 244144152 962 32 3 ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal144Matemticas Bsicas y FinancierashrKmf fhrKmf fhrKmf fhrKmf f006 . 38001 .038006 .001 .038006 . 522 001 . 22 ( ) 001 . 2 (06 . 3801 .3806 .01 .52 3806 . 522 01 . 2) 2 ( ) 01 . 2 (6 . 381 .86 . 31 .52 86 . 551 . 2) 2 ( ) 1 . 2 (2 . 392 .84 . 72 .52 84 . 592 . 2) 2 ( ) 2 . 2 ( Por lo tanto la velocidad instantnea del pequeo vehculo motorizado El Travieso cuando T = 2 es de 38Km/hr.Por lo tanto en este caso particular38) ( ) (0 +TT f T T fTdLimTDe esta manera se ha obtenido La derivada. Generalizando con x y y que son los smbolos de las variables ms utilizadas, queda as:xx f x x fxyLimx + ) ( ) (0Dada la importancia algunos autores han creado tambin para expresar la derivada los siguientes smbolos:' ), ( , ), ( ' , , y y Dx y Dx x f ydxddxdyConsiderando que y es un smbolo muy sencillo para representar a la derivada, en el presente texto, es el que se utiliza con mayor frecuencia. Como algunos de los lectores saben derivar directamente, con el fin de que comprendan quela derivada obtenida es la misma que la que se obtiene, al hacer uso de las frmulas respectivas, a continuacin se deriva tal y como se va a presentarms adelante cuando se utilicen dichas frmulas.Si f(T) = 6T2 + 14T , Su derivada es = 12T + 14.Como se sabe que T= 2,f(2)= 12(2) + 14 = 38 Se obtiene el mismo resultado.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal145Matemticas Bsicas y FinancierasOBTENCION DE LA DERIVADA: CASO PARTICULAR.xyLimx 0Siendo el valor de x= 2Si y = x3 calcular Valor Inicial de x (1)x (2)Valor final de x(3)2 1 32 .9 2.92 .5 2.52 .1 2.12 .01 2.012 .001 2.001Valor inicial de y(4)y (5)Valor final de y(6)8 19 278 16.389 24.3848 7.625 15.5258 1.261 9.2618 .120601 12.06018 .012006001 .012006001xyLimx 0 (7)1911921 . 189 .389 . 1625 . 155 .625 . 761 . 121 .261 . 1601 . 1201 .1206101 .006 . 12001 .012006001 .Solucin = 12___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal146Matemticas Bsicas y Financieras (1) Por ser la xuna variable independiente, se le puede dar cualquier valor, en este ejemplo, se le da el valor dex = 2.(2) La x se incrementa con valores que se van acercando a cero.(3) Se obtiene sumndole al valor inicial de x los incrementos.(4) Se sustituye el valor inicial de x = 2 en la funcin dada y = x3.y = (2)3=8(5) Se sustituye el valor final de x en la funcin dada y = x3, y se resuelven las operaciones(6) Al valor final de y se le resta el valor inicial de y para conocer el incremento de y(7) Se calcula xyLimx 0. En caso de haberle dado ms valores al incremento de x se podr observar que se acerca ms a 12.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal147Matemticas Bsicas y FinancierasDEFINICIN DE DERIVADAComparando incrementos (Regla de los cuatro pasos)Enel ejemploanterior siguiendotodounprocesoseobtuvoladerivadadeunafuncin particulary = x3para el valor de x= 2. Utilizando los mismos pasos a continuacin se va a utilizar la definicin de la derivada.y = x3 Sea la funcin dada.1er. Paso:Al valor fijo inicial de x se le da un incrementox . Es obvio que la y tambin se incrementa y (La x se sustituye porx x +y la y por y y +).( )3 2 2 33) ( 3 3 3 x x x x x y yx y + + + + Desarrollado de esta manera.2do.Paso: Se resta la funcin dada o se obtiene el incremento y y su funcin x yx .3 2 233 2 2 3) ( ) ( 3 3) ( ) ( 3 3x x x x x yx yx x x x x x y y + + + + + +3er.Paso:Se dividen ambos miembros entrex . De esta manera se obtiene la razn de los incrementos.( )2 23 2 2) ( 3 3) ( 3 3x x x xxyxxxx xxx xxy + + ++4to.Paso: Se calculaen el xy ellmite cuando el incremento de x tiende a cero.202 203) 0 ( ) 0 ( 3 3xxyLimx xxyLimxx+ + Para resolver el caso particular anterior basta sustituir en 3x2 el valor inicial de x = 2 por lo tanto 3(2)2 = 12.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal148Matemticas Bsicas y FinancierasDefinicin de Derivada:Es el lmite de la razn del incremento de la funcin entre el incremento de lavariable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.RESUMEN DE LAS FORMULAS PARA DERIVARA continuacin se presentan las frmulas para derivar funciones algebraicas, las cuales no tienen ningn tipo de jerarqua e incluso algunos autores las simplifican y otros autores las amplifican, sin embargo se llega al mismo resultado.LITERAL SIMBOLOGIAEJEMPLOSDERIVAR DERIVADA1.-La derivada de una constantes es igual a ceroSi y = C0 ' yy = ay = 3y = 0y = 02.-La derivada de una variable independiente es igual a unoSi y = x1 ' yy = T y = 13.-La derivada de una constante por una variable independiente es igual a la constante.Si y = CxC y 'y = 5xy = -axy = 5y = -a4.-La derivada de la potencia de una variable de exponente constante es igual al producto del exponente por la variable elevada a un exponente disminuido en una unidadSi y = xn1' nnx yy = x4y = x-6y = x1/2y = 4x3y = -6x-7y = 1/2x-1/25.-La derivada de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcinSi y = CuCu y 'y = 4x3y = 5x-2y = 4(3x2)=12x2y = 5(-2x-3)=-10x-36.-La derivada de una suma algebraica de un nmero finito de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las *funcionesSi y = u + v' ' ' v u y + y = x3-4x2 + 8x4 7 / 3821+ x x yy = 3x2-8x+85 7 / 432143' x x y___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal149Matemticas Bsicas y Financieras7.-La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera funcin de la derivada dela segunda, mslasegundafuncin, por la derivada de la primera.Si y = UV' ' ' VU UV y + En caso de derivar 3 factores:Si y = UVW' VWU UWV' UVW' y' + + y = (x2-3)(5x3-4)) 2 )( 435 ( )215 )( 32( ' x x x x y + Resolviendo:x x x x y 8 10 15 15 '4 2 4 + Sumando:x x x y 8 15 252 4 8.-La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menosel numeradorpor la derivada del denominador. Todo lo anterior dividido por el cuadrado del denominador.Si VUy 2' ''VUV VUy 532+xxy( ) ( ) ( )( )( )( )2222 222) 5 (3 10'53 10 2'5 x1 3 2 5'++ +++ ++ +xx xyxx x xyx x xy9.-La derivada de la potenciadeunafuncin de exponente constante, es igual al productodel exponente por la funcin elevada aunexponente disminuido en una unidad. Todoloanterior por la derivada de la funcin dada.Si y = Un1 1' U nU yn y = (x3 4)5( ) ( )( )43 22434 15 '3 4 5 ' x x yx x y10.-La derivada de un radical de n orden, es igual a la derivada de la cantidad subradical dividido entre el ndice del radical multiplicado por el radical elevada a la cantidadsubradical a una potencia igual al radical menos 1 unidad.SinU y i nU nUy ''Raz cuadradaSi nUUy2'37x y x y 7 ( )5 23249 57'7 37'xyxyxy7 27' ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal150Matemticas Bsicas y FinancierasEJERCICIOS RESUELTOS( ) ( )3 / 2 3223 / 23 3 / 1 344342222 222 22 3 32 / 3 223 2 4 4 2 43 2 2 3 23 / 4 3 / 53 / 4 3 / 5 3 / 1 3 / 22 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 33 / 106 3 / 10 6 3 / 7 72 4 2 3 55 35 34 24 22213 22 3) 2 (3 231' ) 2 ( ) 1524'8) 14) 2 (10 4') 2 (1 5 10 5 4 2) 2 () 1 5 ( ) 5 2 )( 2 ('25) 1320 21 2 ' ) 4 )( 7 5 ( ) 1223 20 5' ) 3 )( 5 ( ) 11) 4 15 5 ( 4 15 5 4 2 15 3 ') 2 )( 2 ( ) 3 )( 5 ( ' ) 2 )( 5 ( ) 1034310'34310' 7 4 5 ) 95276 ' 1 5 7 4 ) 863287 63287 ' 6 4 ) 72' 8 ) 66 4 24 25 ' 4 6 2 8 5 ) 524 61 6 24 6 1 '6 36 3) 421 2 1 '22) 32'33) 21 3 ' 2 ) 1: ,_

++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + xxx x y x yxxyxxyxx xyxx x x x xxx x x xyxx xyx x y x x yxx xy x x yx x x x x x x x x x yx x x x y x x yx xyx x y x x yx x y x x x yxx x x y x x x yxy x yx x x y x x x x yx xx x yx x x yx xx yxx yx x yxx yxyxyx y x x yEjercicios___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal151Matemticas Bsicas y Financieras( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ]( )2 / 32 222 22 2 22 / 12 22 22 / 12 2 22 / 12 22 22 22 / 1 2 22 222 2222 23 2 3 222 22 2 2 22 22 213334323 / 43 / 2 3 / 834 233237 / 5 5 / 23 27 22 / 324 2 2 2 32 22 23 223 23 / 22 / 73 2 5 331 33 32 23 / 53 / 5 3 / 23 2 3 2 4 22 2 2 2'2 2 22) 2 ( ) 2 ( ) ('2) 294'2 2 2 2 2 2' ) 2812' ) 2721' ) 263 35311' ) 2529' ) 24716524'85 ) 23] [ 22 3 2' ) 2223' ) 213409 '8 2) 2032' ) 2 2 ( ) 1911 2 2' ) ( ) 18) 1 2 ( 342 1 232' ) 1 2 ( ) 17) 5 ( 8 ) 2 ( ) 5 ( 4 ) 5 ( ) 16x aax ax x a x ayx ax a x x ax ax axx x ayx axyx bx byx bx x b x x bx bx x b x x byx bx byxb ax byxba yxbx xybxbbx yxa bx cxyxcx bx ayxbx cxyxa bx cxyx xyxxx yb x xb x b x b xyx bx byx bxy x b yxx yxxxxyxy x x yx xxy x x yxx y x yx x x x y x y++ + +++ ++

,_

+ + ++++ + + ++ ,_

+ + + + ++ ++ + ++ + + + + + + + + + ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal152Matemticas Bsicas y Financieras( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2 7 2 1 ' ) 1 ( ) 2 ( ) 358 216 5' 8 ) 3423'3) 332 ' ) 3243 '2) 311 5 1 1 ' ) 1 ( ) 1 ( ) 303 2 3 433322 2 2 2 2 2 23222332 2 3+ + + ++ + + + + + + x x x y x x yxxy x x yaxax axy axaxyx b y b a x b y a yxax yxax yx x x y x x y( )( )( )( )( )( )( )2 / 35 4 3 2 4 3 2322 332232 3324'22) 4016 24 4 8'4 8 2 8) 3926' ) 2 ( ) 3811 4'11) 3711 2 2 3'12 3) 36++ ++ + + ++ + + ,_

++ + +xxyxxyx x x xyx x x xyxx xy x x yxxyxxyxx xyxxyDERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal153Matemticas Bsicas y FinancierasPararesolver algunosproblemasesnecesarioderivar variasveces. Cuandosolosepide derivar lo que se hace es obtener la primera derivada. Si la funcin obtenida se puede seguir derivandoentoncesseobtienenla segunda derivada,despusla tercera, la cuarta, etc., al procesodeobtenerestas derivadas se le da el nombre de derivadas sucesivas o de orden superior.Funcin Primera derivadaSegunda derivadaTercera derivada Cuarta derivadaf(x) y y y yIVx44x312x224x 24x3 - 8x2 + 4 3x2 - 16x 6x 16 6 0x9 + 8x29x8 + 16x 72x7 + 16 504x63024x5ax2 + bx + c 2ax + b 2 0Calcular derivadas sucesivas o de orden superior no siempre es tan sencillo, por ejemplo:Si 2 / 1 2) 1 ( + x yobtener la tercera derivada.( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ]( ) ( )( )2 / 522 / 522 / 3 22 22 / 322 / 122 / 322 / 122 / 121 3 ' ' '2 123' ' ') 1 ( ' '1 1 ' '1 121' '1 '121' + + + + ,_

+ + x x yx x yx yx x x yx x x x yx x yx x ySi bx abx ay+obtener la tercera derivada.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal154Matemticas Bsicas y Financieras( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )4362 2 3232222222 2212' ' '3 4 0' ' '4' '2 2 ) 0 (' '2'''x aabybx ab bx a ab bx aybx aabybx ab bx a ab bx aybx aabybx ax b ab x b abybx ab bx a b bx ay+++ ++++ ++ ++ + +DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITASEn el captulo 3 se defini a la funcin implcita como aquella funcin de la forma f(x, y).En algunos casos una funcin implcita puede transformarse en funcin explcita como en el siguiente ejemplo:( )4 355 4 35 4 30 5 4 32222+ + + + +xyx yy y xy y xEn otros casos la funcin implcita no puede transformarse en funcin explcita. Por ejemplo:0 85 4 3 5 + y y xy x x Con el fin de derivar funciones implcitas se asientan a continuacin una tabla con algunos ejemplos que es necesario tener presente para derivar funciones implcitas: CASODERIVARDERIVADACuando no aparece y.X 1___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal155Matemticas Bsicas y FinancierasSe deriva, utilizando las reglas estudiadas.3x58-4ax15x40-4aCuando aparece solita la y. Sederiva poniendo y.Y yCuando en un trmino no aparece la x.Se deriva utilizando las reglas estudiadas aadindole la y.y6-8y4-ay56y5y-32y3y-5ay4yCuando aparecen tanto la x como la y en un trminoSe deriva utilizando la frmula del producto.Xy3x2y5-8xy4xy+y3x2(5y4y)+y5(6x)=15x2y4y+6xy5-8x(4y3y)+y4(-8)=-32xy3y-8y4___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal156Matemticas Bsicas y FinancierasMETODOLOGA PARA DERIVAR FUNCIONES IMPLICITASPrimer paso: Se deriva trmino a trmino utilizando los procedimientos descritos enla tabla anterior.Segundopaso:Sedespejay. Casi siempreseutilizalafactorizacinporfactorcomn, ejemplo:Derivar252 2 + y x :yxyyxyx yyyy xy x + +'22'2 ' 20 ' 2 2252 2Estafuncintambin sepuededejar desde el inicio en forma explcita y despus derivar utilizando las frmulas estudiadas:yxyx yx yy x +'25252522 22 2Se llega al mismo resultado y se comprueba que se puede seguir cualquiera de los dos mtodos.Ejemplo:Derivar02 + xy x ySolucin:

( ) ( )( )xyyyy xy yy xyy yy xyy yy yy x y2 11'1 2 1 '1 ' 2 '0 ' 2 1 '0 1 ' 2 1 '22222+ + + + + + + ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal157Matemticas Bsicas y FinancierasDERIVADAS SUCESIVAS DE FUNCIONES IMPLICITASSe recomienda utilizar la siguiente metodologa:1.- Derivar trmino a trmino utilizando el procedimiento presentado en la tabla correspondiente.2.- Despejar y utilizando generalmente el mtodo de factor comn.3.- Desde la segunda derivada se sustituye la y por su valor respectivo.Ejemplo:Obtener la tercera derivada de la funcinpx y 42Solucin: Primera derivada:ypyypyp yy2'24'4 ' 2Segunda derivada:( ) ( )2 2' 2 ' 2 0' 'yyyy p yy Sustituyendo3224' '22' 'ypyyyppy

,_

Tercera derivada:( ) ( )4262 2 3' 12 ' 3 4 0' ' 'yy pyy y p yy Sustituyendo3352 342 224' ' '24212' ' 'ypyyy y pyypy py

,_

___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal158Matemticas Bsicas y FinancierasCRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOSA continuacin se presenta la metodologa para calcular mximos y mnimos aplicando el criterio de la primera derivada. Tambin se presenta un ejemplo en donde se va aplicando este criterio.Primer paso: Se calcula la primera derivada de la funcin dada.Seax x x y 2252 3 una funcin dada, calcular la primera derivada:2 5 3 '2 x x ySegundo paso:Se iguala a cero la derivada y se resuelve la ecuacin obteniendo de estamaneralosvalorescrticos, loscualespuedensermximos, mnimosopuntos estacionarios. 0 2 5 32 x xIgualando a cero( )( ) 0 1 3 2 x xFactorizando 312 x y x Son los valores crticosTercer paso: Se toma un valor un poco menor del valor crtico y despus un valor un pocomayor. Estosvaloressesustituyenenlaprimeraderivada, si el signodela derivada en primer lugar es positivo (+) y despus negativo (-) el valor crtico es un mximo. Por lo contrario si en primer lugar es negativo (-) y despus es positivo (+) el valor crtico es unmnimo. En caso de que no haya cambio de signo en la derivada, se trata de un punto estacionario.Considerando el valor crtico x = 2.Un valor menor v.gr x = 1 por lo tanto f(1) = 3(1)2 5(1) 2 = -4 (-)Un valor mayor v.gr x = 3 por lo tanto f(3) = 3(3)2 5(3) 2 = +10 (+)El valor crtico 2 es un mnimo por que el signo de la derivada pas de (-) a (+)Considerando el valor crtico 31 xUn valor menor que -1/3 v.gr x = -1 por lo tanto f(-1) = 3(-1)2 5(-1) 2 = +6 (+)Un valor mayor que -1/3 v.gr x = 0 por lo tanto f(0) = 3(0)2 5(0) 2 = -2 (-)El valor crtico x = -1/3 es un mximo ya que el signo de la derivada pas de (+) a (-)Criterio de la primera derivadaMximo Pasa de (+) a (-).Mnimo Pasa de (-) a (+).Punto estacionario No cambia de signo.Cuarto paso: Las ordenadas de los mximos y mnimos se obtienen sustituyendo los valores crticos de la funcin dada al inicio. Las ordenadas de los mximos y mnimos se calcula a continuacin:( ) ( ) ( )5419312313531316 2 2 2252 ) 2 (22532 32 3 ,_

,_

,_

,_

ffx x x y ( )

,_

5419,316 , 2es mximo punto Eles mnimo punto El___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal159Matemticas Bsicas y FinancierasCRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS.A continuacin se presenta la metodologa para calcular mximos y mnimos aplicando el criterio de la segunda derivada. Tambin se presenta un ejemplo en donde se aplica otro criterio.Primer paso: Se calcula la primera y la segunda derivada. Sea2 4 22 3+ + x x x yuna funcin dada. 4 4 3 '2 + x x yPrimera derivada.

4 6 ' ' + x ySegunda derivada.Segundo paso: La primera derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuacin obteniendo de esta manera los valores crticos, los cuales pueden ser mximos, mnimos o puntos estacionarios.0 4 4 32 + x x Igualando a cero la y.( ) ( ) 0 2 3 2 + x x Factorizando.322 x y xValores crticos.Tercer paso: Los valores crticos se sustituyen en la segunda derivada si resulta negativo(-) el valor crtico es un mximo, en caso de resultar positivo (+) el valor crtico es un mnimo, si el valor es cero se trata de un punto estacionario.4 6 ' ' + x yEs la segunda derivada( ) 8 4 2 6 ' ' + ySustituyendo el valor crtico x = -2 se obtiene -8, el signo es (-) por lo tanto el valor crtico x= -2 es un mximo.8 4326 ' ' + + ,_

y Sustituyendo el valor crtico 32 xse obtiene +8, el signo es (+) por lo tanto el valor crtico x = 2/3 es un mnimo. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADASegunda derivada PuntoNegativo (-) MximoPositivo (+) MnimoCero (0) EstacionarioCuarto paso: Las ordenadas de los mximos y mnimos se obtienen sustituyendo los valores crticos en la funcin dada al inicio Las ordenadas de los mximos y mnimos se calculan a continuacin:2 4 22 3+ + x x x yFuncin dada al inicio( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 2 4 2 2 2 22 3 + + f14 232432232322 3 + ,_

,_

+ ,_

,_

f El punto mximo es (-2, 10) y el punto mnimo es,_

2714,32___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal160Matemticas Bsicas y FinancierasMETODOLOGA PARA RESOLVER PROBLEMAS UTILIZANDO MXIMOS Y MINIMOSHaydiversoscaminospararesolverundeterminadoproblemaqueimpliqueoptimizacin (mximos y mnimos) A continuacin se presenta un camino1.- El problema a resolver debe leerse con mucho cuidado las veces que sea necesario hasta lograr su comprensin2.-El problema se debe tratar de resolver en la forma ms elemental posible utilizando un arreglo de datos y cuando sea posible dibujar una figuracon la informacin que se tiene.3.-Del segundo paso que es fundamental, se generaliza el problema por resolver, evitando utilizar ms de una variable; representndola preferentemente con la letra x. Aesta generalizacin se le da el nombre de modelo matemtico del problema4.-Seresuelveelproblemaplanteadoutilizandoel criteriodelaprimeraodelasegunda derivada paraobtener los valores crticos5.-Serespondentodaslaspreguntasdel problemaqueseestresolviendoutilizandolos resultados obtenidos en el paso anterior6.-El resultadoobtenidodebecomprobarseconel findeestar segurodehaberresuelto correctamente el problema.___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal161Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 1: Una rentadora de camiones descuenta el 2% por cada camin que sobrepasa los 6 camiones (por ejemplo, si rentan 7 camiones la rentadora, cobra a cada uno de los sietecamiones el 98%) Si laempresarentadoradeseaobtener los mximos ingresos: Cuntos camiones se deben de rentar por flotilla y que porcentaje debe pagarcada camin? de camiones No. de camiones Costo por camin (%) Ingresos (%)0 6 100 6001 7 98 6862 8 96 768Generalizando de camiones No. de camiones Costo por camin (%) Ingresos (%)x 6+x 100 2x (6 + x) (100-2x)

Solucin:I(x) = (6 + x ) (100 2x)I(x) = 600 -12x +100x -2x2I(x) = -2x2 + 88x +600 Este es el modelo matemtico del problemaPrimera derivada:I(x) = -4x + 88 -4x + 88 = 0 -4x = -88x = 22 Valor crtico.Segunda derivada:-4 Por ser negativo el valor crtico es un Mximo.Sustituyendo:Nmero de camiones6 + x = 6 + 22 = 28 camionesCosto por camin100 2 (22) = 100 44 =56% Comprobacin En caso de que la renta inicial de cada camin seade $1,500 entonces

No. de camiones Costo por camin ($) Ingresos ($)6 1,500 6 (1,500) = 9,00028 1,500 (.56) = 840 28 (840) = 23,52029 1,500 (.54) = 810 29 (810) = 23,490En caso de plantear el problema con nmeros decimales es decir (6 + x)(1 - .02x) el resultado no se altera. Este problema estil para cualquier precio, en la renta.Ejemplo 2:___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal162Matemticas Bsicas y FinancierasUnparquetursticotipoXcaret ofrece unplandepaseodeacuerdoalos siguientesprecios: $50 de entrada por persona para grupos de hasta 40 personas. Engruposqueexcedanlas40personassereducelatarifaen$5porpersona adicional. Se quiere saber:Cual debe ser el tamao del grupo para que el parque obtenga su mayor ingreso?a) Cul es el pago por persona?b) Cul es el ingreso mximo del parque?Incremento Tamao del grupo Tarifa Ingreso0 40 500 20,0001 41 496 20, 336GeneralizandoIncremento Tamao del grupo Tarifa IngresoX 40 + x 500 5x(40+x) (500-5x)Solucin:Ingreso (40 + x)(500 -5x)I(x) = 20,000 + 500x - 200x - 5x2I(x) = -5x2 + 300x + 20,000 Este es el modelo matemtico del problemaPrimera derivada:I(x) = -5x2 + 300x + 20,000-10x + 300 -10x + 300 = 0-10x = -300 x = 30 Valor crticoSegunda derivadaLa primera derivada es -10x + 300Por lo tanto la segunda derivada es -10 Por dar signo negativo -10, el valor crtico es un mximo.Sustituyendo:Tamao del grupo 40 + 30 = 70Tarifa 500 -150 = 350Comprobacin69 355 24,49570 350 24,50071 345 24,495Ejemplo 3: Unbarcodecargatieneenlaactualidad800toneladasdeunproductopara transportar del puerto de Progreso al puerto de Chicxulub, cobrando $40 pesos ___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal163Matemticas Bsicas y Financieraspor tonelada.Le proponen al administrador del barco incrementar la carga con 100 toneladas por cada hora de espera. En este caso tambin le piden que les cobre $2 menos por cada hora esperada, en todaslas toneladas por transportar. Qutiempoleconvieneal administrador del cargueroretrasar el viajepara obtener el mximo ingreso?Hora de espera Peso Precio por tonelada Ingreso0 800 40 32,0001 900 38 34,2002 1,000 36 36,000GeneralizandoIncremento Peso Precio por tonelada IngresoX (800 + 100x) (40 2x) (800+100x)(40-2x)Solucin:I(x) = 32,000 + 4,000x 1,600x 200x2I(x) = -200x2 +2,400x + 32,000 Este es el modelo matemtico del problemaI(x) = -400x + 2,400 Es la primera derivada-400x + 2,400 = 0 Se iguala a cero para obtener los valores crticos- 400x = - 2400x = 6 Es el valor crticoSegunda derivada I(x) = -400, por ser negativa la segunda derivada el valor crtico es un mximo.Por lo tantoal administrador del barco le conviene retrasar el viaje 6horas.Comprobacin:___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal164Horas Peso Precio Ingreso5 1,300 30 39,0006 1,400 28 39,2007 1,500 26 39,000Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 4:Conunadensidadde60matasdelimnpor mecate(medidadesuperficie utilizada en Yucatn que equivale a un rea de 20mx 20m=400m2) la produccin de cada mata de limn es de $80. Por cadados matas adicionales que se siembrenen cada mecate, la cosecha de cada mata de limn disminuye en un peso.Cul es el nmero de matas de limn que debern plantarse para maximizar el valor de la cosecha?Incremento Matas Precio ($) Ingreso0 60 80 4,8001 62 79 4,8982 64 78 4,992GeneralizandoIncremento Matas Precio Ingresox 60 + 2x 80 x (60+2 x)(80-x)Solucin:I(x) = (60 + 2x)(80 x)I(x) = -2x2 + 100x + 4,800 Este es el modelo matemtico del problema = -4x + 100 Derivando-4x + 100 = 0 Igualando a cero para obtener el valor crtico -4x = -100x = 25 es valor crtico La segunda derivada es -4 por ser negativa el valor crtico es un mximoSustituyendo:60 + 25 (2) = 110 Es el nmero de matas que deben sembrarse80 25 = 55 Es el valor de la cosecha por mata sembrada Comprobacin 60 + 2(25) 80 25 (110)(55)110 55 6050112 54 6048___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal165Matemticas Bsicas y FinancierasEjemplo 5:Porimprimir hasta 2,000 volantes una imprenta cobra $100 por millar.Si el nmerodevolantes rebasa los 2,000entonces rebaja $5por cada millar adicional. Cuntos volantes le darn alimpresor su mximo ingreso?Millares de volantes Precio por millar Ingreso2 100 2003 95 2854 90360Solucin:I(x) = (2+ x) (100-5x)I(x) = 200-10x+100x-5x2 = 0I(x) = -5x2 + 90x = 0 Este es elmodelo matemtico del problemaI(x)= -10x+90 Derivando -10x = -90 Despejandox = 9 Es el valor crticoLa segunda derivadaes -10 por ser negativa elvalor crtico es un mximoSustituyendoVolantes en millares 2 + x 2 + (9) = 11 Por lo tanto son 11 millares de volantes o 11,000 volantes los que se deben de imprimirPrecio por millar 100 -5 (9) =55Se deben de cobrar $55 por cada millarComprobacinEl ingreso mximo del impresor es de $75___________________________________________________________________________________L. M. Pedro Pablo Canto Leal16614 55 77015 50 750