1

2

TRIGONOMETRI

A.Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku

A

Sinus

Perbandingan sisi Δ :

Δ

= = =

= = = = Sin

Kosinus

Perbandingan sisi Δ :

Δ

3

= Besar sudut A

= = =

= = = = Cos

Tangen

Perbandingan sisi Δ :

Δ

= = =

= = = = Tan

Selain perbandingan di atas, terdapat pula perbandingan trigonometri yang

lain yang merupakan kebalikan dari sinus, kosinus, dan tangen yaitu :

Cosec =

sec =

Cotan =

Contoh Soal :

4

Jembatan Keledai

Sin = Cos =

Tan =

Sebuah segitiga siku-siku ABC , seperti yang terlihat di gambar :

A

B C

memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm. Hitung Sin , Cos , dan Tan ,

Bila adalah besar sudut C.

Jawab :

AC =

=

=

= = 5

Sin =

Cos =

Tan =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai sin A, cos A, dan tan A pada setiap segitiga berikut ini:

5

a. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 5 cm, CB= 12 cm, dan AB= 13 cm.

b. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 4 cm, CB= 3 cm, dan AB= 5 cm.

c. Segitiga ABC siku-siku di B, jarak AC= 17 cm, CB= 8 cm, dan AB= 15 cm.

d. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 40 cm, CB= 9 cm, dan AB= 41 cm.

2. Gunakan theorema phytagoras untuk menentukan panjang sisi yang belum diketahui,

kemudian tentukan nilai sinus, kosinus, dan tangent sudut P dan Q segitiga berikut ini:

a. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PQ= 6 cm, RQ= 8 cm.

b. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PR= 3 cm, RQ= 1 cm.

c. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PQ= 61 cm, RQ= 60 cm.

d. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PR= 3 cm, PQ= cm

3. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku cos A = . Jika panjang sisi AB=10

cm, tentukan panjang siisi AB dan BC.

4. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Jika panjang sisi AB =

cm, tentukan panjang sisi AC dan BC.

5. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Tentukan nilai cos A dan tan

A.

6. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku tan A = . Tentukan nilai sin A dan

cos A.

7. Pada segitiga PQR yang siku-siku di Q berlaku sin P = . Tentukan nilai sin R.

8. Pada segitiga PQR yang siku-siku di R berlaku cos P = . Tentukan nilai tan P dan tan

Q.

9. diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 20 cm, QR= 16 cm, dan PR = 24 cm

seperti terlihat pada gambar. Hitunglah cos Q dan tan R! R

P Q

6

10. Tentukan nilai trigonometri dalam sudut-sudut radian berikut.

a. Sin ᴨ b. Cos ᴨ

c. Tan ᴨ d. Cos ᴨ

11. Sebuah segitiga siku siku, seperti pada gambar :

C

B A

merupakan besar sudut A, AC = 15 cm dan BC = 12 cm

Hitunglah : Sin , Cos , Tan , Sec , Cosec , Cotan !

B. Aplikasi Trigonometri

B.1 Aturan Sinus

Kita telah mempelajari dan mengetahui cara menghitung unsurS-unsur yang ada

pada segitiga siku-siku. Pada pembelajran berikut ini, kita akan membahas tentang aturan

sinus pada segitiga sembarang.

Misalkan segitiga ABC, dengan panjang AC = 4, < A = 30o, dan < B = 70o. Kita

akan mencari panjang sisi BC. Tentu kita kita tidak dapat menghitung panjang BC secara

langsung dengan perbandingan trigonometri karena segitiga ABC bukan segitiga siku-

siku. Untuk itu kita bagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku, yaitu dengan

menarik garis tinggi CD.

7

Pada Segitiga siku-siku ACD berlaku :

Atau

CD = (4)

CD = 2

Pada Segitiga siku-siku BCD berlaku :

Atau

Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah di atas, pada segitiga sembarang kita

gunakan aturan sinus. Perhatikan Gambar berikut :

Pada gambar tersebut, segitiga ABC yang ada adalah segitiga lancip dan tumpul.

Pada masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h.

< CAD = 180o – A dan sin < CAD = sin (180o – A ) = sin A.

8

Untuk kedua segitiga kita dapatkan:

atau h = b sin A

Dan

atau h = a sin B

Sehingga a sin B = b sin A

Dengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B diperoleh :

Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan cara yang sama diperoleh :

Gabungan dari kedua persamaan di atas kita peroleh aturan sinus berikut ini yaitu :

Contoh Soal :

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC jika A = 30o , B = 70o , dan a = 4 .

Penyelesaian :

9

Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a,b, dan c berlaku :

Sketsa segitiga ABC, dengan menentukan sudut C dengan mudah ditentukan, yaitu

C = 180o – A – B = 180o – 30o – 70o = 80o .

Untuk mencari b, kita gunakan pasangan pertama dan kedua dalan aturan sinus, yaitu :

Atau

Kita gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c,

Atau

Jadi, C = 80o , b = 7,52 , dan c = 7,88 .

Latihan Soal :

1. Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika diketahui hal berikut ini ?

a. A = 110o , C = 20o , b = 6

b. C = 70,5 , b = 30,7 , B = 28,97o

c. A = 12 , b = 5 , B = 24o

d. a+b+c = 100 , A = 42o , B = 106o

e. a+b = 40, C = 68o , A = 75o

2. A dan B merupakan 2 titik yang terletak pada tepian sungai yang lurus dengan jarak A ke B adalah 50 m . Titik C terletak pada tepian lain sehingga <CAB = 43o dan <CBA = 71o

. Tentukan jarak titik C ke A , jarak titik C ke B, dan lebar sungai ?

B.2 Aturan Kosinus

Misalkan dketahui Segitiga ABC seperti gambar (a) dibawah ini, dapatkah kita

menghitung besarnya A dengan aturan sinus yang telah kita pelajari sebelumnya? dan

10

pada gambar (b) , Dapatkah kita menghitung panjang sisi a dengan aturan sinus yang telah

kita pelajari sebelumnya?

Ternyata kita tidak dapat menggunakan aturan sinus secara langsung untuk

menjawab kedua masalah diatas, sehingga kita perlu aturan lain yang disebut aturan

kosinus.

Perhatikan Segitiga ABC ini :

Dari titik C kita tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dan

segitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

ADC, maka diperoleh :

atau

AD = AC x cos A = b cos A

Selain itu, berdasarkan teorema Phytagoras, berlaku :

DC2 = AC2 – AD2

= b2 –( b cos A )2

= b2 – b2 cos 2 A

11

Pada Segitiga siku-siku ABC berlaku :

BC2 = DC2 + BD2

= b2 – b2 cos2 A + ( BA-AD )2

= b2 – b2 cos2 A + ( c-b cos A)2

= b2 – b2 cos2 A + c2 – 2 bc cos A + b2 cos2 A

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus :

b2 = a2 + c2 – 2ac cos A

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Sehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini :

Contoh Soal :

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika c = 10, b = 40 , dan A = 120o .

Penyelesaian :

Dengan aturan Kosinus ,

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

12

Pada Segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A,B, dan C sera sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a,b, dan c berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos A

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

= 402 + 102 – 2(40) (10) cos 120o

= 1600 + 100 – 800 (-0,5)

= 2100

a = 45,825 .

Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih mudah jika kita

gunakan aturan sinus . Untuk C kita cari dengan rumus , sehingga

Jadi, C = 10,89o ( sudut C harus lancip karena A sudut tumpul ). Selanjutnya B = 180o – A – C = 180o – 120o – 10,89o = 49,11o.

Latihan Soal :

1. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC, jika diberikan data berikut ini ?

a. a = 10, c = 15 , B = 120o

b. a = 20 , b = 40, C = 28o

c. b = 7, c = 13, A = 135o

d. a = 7, b = 4, c = 1

e. a = 15, b = 8, c =16

f. a = 7, b = 8, c = 9

g. a = 10, c = 9, B = 62o

h. a = 5, b = 7, c = 9

i. a = 2, c = 3, B = 60o

j. b = 5, c = 8, A = 40o

2. Sisi –sisi pada segitiga ABC berbanding sebagai 6:5:4 . Tentukan kosinus sudut yang

terbesar dari segitiga tersebut ?

13

B.3 Luas Segitiga

Kita mengetahui bahwa luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus

½ x a x t . Selanjutnya dari rumus tersebut kita kan menurunkan rumus untuk menghitung

luas segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri. Perhatikan Segitiga lancip

ABC di bawah ini.

Luas Sigitiga ABC tersebut dapat ditulis sebagai

Pada Segitiga siku-siku ADC berlaku atau t = b sin A, sehingga

luas segitiga ABC menjadi .

Pada segitiga siku-siku BDC berlaku atau t = a sin B , sehingga

Luas segitiga ABC menjadi

Selanjutnya dari aturan sinus pada segitiga ABC, yaitu atau

maka persamaan terakhir menjadi

Dari hasil di atas, kita peroleh rumus luas segitiga sebagai berikut :

Contoh Soal :

Diketahui segitiga ABC dengan a = 10, b = 8, dan C = 60o. Tentukan luas segitiga ABC tersebut ?

14

Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A,B dan C serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c, maka berlaku :

Penyelesaian :

Dari rumus L = ½ ab sin C , diperoleh :

Latihan Soal :

1. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui data berikut ini ?

a. a = 5, b = 7, A = 45o

b. a = 5, A = 60o, C = 45o

c. b = 6, c = 8, A = 20o

d. a = 25, b = 12, A = 120o

e. a = 7, b =8, c = 9

f. a = 10, b = 12, c = 14

2. Diketahui luas segitiga ABC adalah 5/2 √15 cm2. Misalnya panjang sisi AC = 5 cm, AB

= 4 cm, dan <BAC lancip. Tentukan panjang BC ?

3. Panjang sisi jajargenjang adalah 8 cm dan 13 cm, serta salah satu sudutnya 120o. Tentukan luas jajargenjang tersebut ?

4. Diketahui segi empat ABCD dengan <A = 90o, AB = 12 cm, AD = 6√2 cm, CD = 18 cm, dan <BDC = 45o. Tentukan Luas segi empat tersebut ?

B.4 Koordinat Kutub

Kordinat kartesius suatu titik

Koordinat kartesius dari titik A dinyatakan sebagai titik A(x,y) di mana x disebut

absis yaitu jarak A ke sumbu y dan y disebut ordinat yaitu jarak A ke sumbu x.

15

Koordinat kutub suatu titik

Koordinat kutub suatu titik A dinyatakan sebagai A (r, αo).

Dimana: r : OA = jarak A ke titik O (0,0)

αo = sudut yang dibentuk antara OA dengan sumbu x positif.

Hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius

a. Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat kutub

P (x,y) = P (r,αo)

r = √x2 + y2

tan α = y /x

b. Mengubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius

P (r, αo) = P (x,y)

x = r cos α

y = r sin α

C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Khusus

Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut yang nilai perbandingan

trigonmetrinya dapat ditentukan secara eksak (tepat). Beberapa sudut khusus antara lain

16

0°, 30°, 45°, 60° dan 90°. Ada beberapa macam cara untuk menentukan besar sudut

khusus, antara lain:

C.1 Sudut 30°, 45°, dan 60° menggunakan segitiga siku-siku atau segitiga samakaki

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30°, 45°, atau 60° dihitung dengan

memperhatikan segitiga khusus yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku samakaki.

A

c b c

B a C a D

Gambar diatas menunjukkan segitiga ABC siku-siku di C, dengan sudut BAC =

30° dan sudut ABC = 60°. Apabila segitiga ABC dicerminkan terhadap sisi AC, maka

diperoleh segitiga ACD. Gabungan segitiga ABC dan segitiga ACD, yaitu segitiga ABD

merupakan segitiga sama sisi denganc =2a. berdasarkan dalil phytagoras, dalam segitiga

ABC berlaku:

c ² = a² + b²

(2a) ² = a² + b²

b² = 3a²

b = a

Dengan demikian, dapat diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagau berikut:

Sin = = sin 30° = =

Cos = = cos 30° = =

17

Tan = = cos 30° = =

Sin 60° = =

Cos 60° = =

Tan 60° = = =

C.2 Sudut 0° dan 90° menggunakan koordinat kartesius

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0° dan 90° dihitung dengan

memperhatikan perbandingan trigonometri dalam koordinat kartesius.

Y

O P(a,0) X

Agar sudut XOP = 0°, maka titik P terletak di sumbu X positif. Misalkan koordinat

titik P adalah (a, 0). Maka x = a, y = 0, r = = a

sin 0° = = = 0 cos 0° = = = 1

tan 0° = = = 0 (coba hitunglah nilai cot 0°, sec 0°, dan csc 0°)

Y

P(0,b)

18

O X

Agar sudut XOP = 90°, maka titik P terletak di sumbu Y positif. Misalkan

koordinat titik P adalah (0, b). maka x = 0, y = b dan r = b

Sin 90° = = = 1

Cos 90° = = = 0

Tan 90° = = = undefined / ta terdefinisi

(cobalah hitung nilai cot 90°, sec 90°, dan csc 90°)

Dari uraian diatas, kita memperoleh nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusu

yang dapat dilihat dalam table berikut.

α 0° 30° 45° 60° 90°

Sin α 0 1

Cos α 1 0

Tan α 0 1 Tak

terdefinisi

C.3 Nilai trigonometri sudut di berbagai kuadran

Y

Kuadran II Kuadran I

O X

19

Kuadran III Kuadran IV

Bidang koordinat XOY dibagi menjadi empat kuadran adalah sebagai berikut.

Kuadran I : 0° < α ≤ 90°

Kuadran II : 90° < α ≤ 180°

Kuadran III : 180° < α ≤ 270°

Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°

Kuadran Pertama:

Segitiga OPP’ siku-siku di P’. Y

P(x,y)

r y

O x P’ X

r² = x² + y² cos α =

tan α = sin α =

Kuadran kedua:

Segitiga OPP’ siku-siku di P’

Sin (180° – α) = = sin α P 180° - α (x,y)

Cos (180° – α) = = - cos α y r

20

Tan (180° – α) = = -tan α P’ -x O X

Kuadran ketiga: Y

Segitiga OPP’ siku-siku di P’ (x,y)

Sin (180° + α) = = -sin α 180° + α

Cos (180° + α) = = -cos α P’ O X

Tan (180° + α) = = tan α -y r

P

Kuadran keempat: (x,y)

Sin (360° - α) = = - sin α 360° - α

Cos (360° - α) = = cos α O P’ X

Tan (360° - α) = = - tan α r -y

P

Contoh Soal

21

Jembatan Keledai

Semua sindikat tangan kosong (dikuadran pertama semua +, kuadran kedua sin (+), kuadran ketiga tan (+), dan kuadran keempat cos (+)

1. Jika P(-5,12) dan sudut XOP = α, maka tentukan nilai dari sin α, cos α, dan tan α

Jawab:

Y

r

X

Sin α = =

Cos α = =

Tan α = =

Latihan Soal

1. Diketahui sin α = dan α berada di kuadran II. Tentukan nilai cos α dan tan α.

2. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP dan:

a. P (8,6)

b. P (-3,-4)

c. P (-8,15)

d. P (12, -5)

3. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika :

a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I,

22

b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran III,

c. Sin α = dan sudut α terletak di kuadran IV,

d. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II.

4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut ini positif atau negative!

a. Sin 140° e. tan 208° i. cos

b. Cos 240° f. sin 215° j. cos

c. Tan 120° g. sin k. tan

d. Cos 113° h. tan l. sin

5. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP. Nyatakan jawabanya dalam

bentuk akar yang paling sederhana!

a. P (1,1) d. P (-3, -1)

b. P (-2 , -2) E. P (-1,

c. P (-3,3)

6. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika:

a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I,

b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II,

c. Tan α = -2 dan sudut α terletak di kuadran II,

d. Sin α = dan sudut α terletak di kuadram III,

23

e. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran III.

7. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut positif atau negative!

a. Cos 640° b. Sin 820°

c. Tan 520° d. Cos 714°

e. Tan 910° f. Sin 1.089°

8. Tentukan letak sudut β jika:

a. Sin β dan cos β bernilai negatif

b. Sin β bernilai negatif dan cos β bernilai positif

c. Sin β dan tan β bernilai negatif

d. Cos β dan tan β bernilai tanda

9. Diketahui tan α = dan α berada dikuadran III. Tentukan nilai sin α dan cos α.

10. Cocokkan trigonometri sudut berikut dengan hasil yang ada di sampingnya

Sin (-150°) 1

Cos 135°

Tan 225°

Cos 300°

Sin 330°

Cos 450° 0

Tan 660°

-

Sin 870°

-

Sin(-45°)

-

Cos (-135°)-

Tan (-390°) - 1

24

Sin (-1.260°)-

D. Fungsi Trigonometri dan Grafik Fungsi Trigonometri

D.1 Fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri adalah fungsi-fungsi yang berhubungan dengan ilmu trigonometri, yaitu antara lain :

sin(sudut), mencari nilai sinus sebuah sudut

cos(sudut), mencari nilai cosinus sebuah sudut

tan(sudut), mencari nilai tangen sebuah sudut

Bentuk umum fungsi trigonometri adalah f(x)= sin x, f(x)= cos x, dan f(x)= tan x

Contoh soal :1. Jika f (x) = siin x tentukan :

a. f( )=b. f( )=Jawab :

a. f( ) =

b. f( ) =

2. Jika f(x) = cos x tentukan f( )Jawab : F( )= 1

3. Diketahui sin α = berapakah sin α cos α – 3 cot(90 + α)

Jawab :

1

Sin α cos α- 3 cot α (90 + α)

Sin α cos α + 3 tan α = ( + + (3 x x )

25

=

Latihan Soal :

1. Tentukan nilai dari f( , jika f(x)=tan x

Tentukan nilai dari

Berdasarkan definisi dari trigonometri dan rumus-rumus trigonometri yang berelasi

dapat digambarkan beberapa grafik yaitu:

A. y = sin x

B. y = cos x

C. y = tan x

Pada pembahasan kali ini untuk memudahkan kita dalam menggambarkan grafik kita

menggunakan lingkaran satuan dengan menggunakan sudut-sudut istemawa yang ada pada

lingkaran yaitu antara –

D.2 Grafik y = sin x , 0 ≤ x ≤ 360o

Langkah langkah membuat gafik fungsi y = sin x antara lain:

1. Buatlah table yang berisikan nilai sudut-sudut istimewa

x 0 Π 2

Sin x 0 1 0- - -

-

1

- - 0

26

2. Buat lingkaran satuan dengan sebuah sumbu koordinat dengan abisisnya X dimana r

= 1 dan untuk setiap sudut X , sin x = = = y

3. Buat titik-titik pada sumbu x berdasarkan nilai sudut-sudut istimewa nya seperti

yang ada pada table.

4. Buatlah titik-titik ujung jari-jari berdasarkan sudut istimewanya.

5. Jika sepanjang sumbu X diletakkan nilai-nilai sudut istimewa padainterval 0 ≤ x≤ 2π 

kemudian dibuat garis-garis vertikal sejajar sumbu-Y kemudian dibuat garis-garis

vertikal sejajar sumbu-Ydiperoleh hasil sebagai berikut

6. Dengan menentukan titik-titik potong antara garis-garis pada langkah1) dan langkah

2) yang bersesuaian, dan melalui titik-titik tersebutdilukis kurva mulus, diperoleh

grafik fungsi sinus pada interval[0, 2π] 

Contoh Gambar grafik Fungsi y = sin x dengan lingkaran satuan

D.3 Grafik y = cos x , 0 ≤ x ≤ 360o

1. Buatlah table yang berisikan sudut – sudut istimewa

x 0 π 2

Cos x 1 0 - -

1

-- -

0 1

27

2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti langkah membuat table y = sin x

Contoh gambar grafik fungsi y = cos x menggunakan lingkaran satuan.

D.4 Grafik y= tan x, 0 ≤ x ≤ 360o

1. Buatlah table yang berisikan sudut-sudut istimewa tan x

x 0 π 2

Tan x 0 1 ~ -1 0-

1- - 0

2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti pada y = sin x

Contoh gambar y = tan x menggunakan lingkran satuan.

D. 5 Grafik fungsi y = b +a (sin/ cos/ tan) kx

Langkah-langkah membuat grafik :

1. Tentukan nilai max dan min dari fungsi di atas, dengan rumus :

Max = b + ӀaӀ Min = b – ӀaӀ

28

2. Tentukan nilai 1 perioda dari fuungsi di atas, dengan rumus :

1 perioda =

3. Buat grafik sumbu x dan ya. Pada sumbu x dibagi menjadi beberapa titik dan setiap titik di tuliskan angka-angka sudut istimewa sedangkan pada sumbu y dituliskan nilai max dan min.

4. Setiap titik yang di isikan sudut istimewa pada sumbu x dimasukkan nilai dari sudut istimewa tersebut setelah itu akan di dapatka titik-titik dari nilai sudut, kemudian titik tersebut kita hubungkan menjadi maka akan terbentuklah sebuah grafik,

Contoh Soal:

1. Lukislah grafik y = sin x pada interval

Jawab :

2. Gambarlah grafik fungsi y = cos x pada interval ≤ x ≤

Jawab :

29

3. Gambarlah grafik dengan y = 2 + sin 3x pada interval

Jawab :

Latihan Soal :

1. Lukislah setiap grafik fungsi pada interval –π ≤ x ≤ π

a. y = sec θ

b. y = tan θ

2. Lukislah grafik dengan interval 0 ≤ θ ≤ 2π

a. Y = cot θ

b. Y = sec θ

c. Y = cosec θ

3. Lukislah grafik dengan y = tan x pada interval -

4. Lukislah grafik cos x dengan y = 4 – cos 5x

30

E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

E.1 Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi

trigonometri.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah :

    a. sin x = sin α, maka  = α + k. 360  

                                          = (180 - α) + k. 360  

 

    b. cos x = cos α, maka  = ±α +  k. 360  

     c. tan x = tan α, maka  x = α + k.  180 

E.1.1 Persamaan trigonometri sederhana

Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan trigonometri yang nilainya

mempunyai batasan nilai atau rentang nilai.

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan sin x = , 0 x 360°

Jawab :

Dengan menggunakan aljabar

sin x =

sin x = sin α

sin x = sin 30

 = α + k. 360  

Untuk k = 0 maka

31

 = 15 + 0. 360  

 = 15

  = (180 - α) + k. 360  

Untuk k = 0 maka

  = (180 - α) + k. 360  

  = (180 - 30) + k. 360  

  = 150

HP = { 15, 150}

Menggunakan grafik trigonometri

Gambar grafik y = sin x, adalah

Dari gambar dapat di lihat bahwa yang memenuhi sin x = adalah

dan atau sama dengan 15 dan 150.

Jadi HP= { 15,150}

E.1.2 Persamaan Trigonometri Kompleks

Persamaan trigonometri kompleks adalah persamaan trigonometri yang nilainya

mempunyai batasan nilai atau rentang nilai.

Contoh:

32

Tentukan nilai x dari persamaan Sin x = , x R

Jawab :

Gambar grafik fungsi y = sin x untuk x R adalah

Jadi himpunan penyelesaiannya tak terhingga karena kurva bisa di perpanjang.

Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah semua anggota x yang dilewati .

Latihan Soal

Tentukan penyelasaian persamaan di bawah ini untuk 0 360

1. 2 cos 2x = 1

2. Sin x = 1

3. 2 sin x =

4. Cos x = -

5. Sin 2x =

6. Cos x =

7. Tan x = 1

8. Tan 2x =

33

9. 2cos x + = 0

10. tan x + 1 = 0

11.

12. sin² x + 3 sin x + 2 = 0

13. cos 2x = cos x

14.

15.

Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 2

1.

2.

3.

4. Sin 2x = sin x

5. Sin x =cos x

6.

7. Tan x = cot 20°

8.

9.

10. Sec x = csc x

E. 2 Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan 2 cara,

yaitu:

1.Cara aljabar

2. Dengan trigonometri/grafik

Contoh :

34

Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x < , 0 x < 180

Jawab :

1. Cara aljabar

Pembuat nol

Sin 2x =

Sin 2x = sin 30

2x = α + k. 360  

2x = 30 + k.360

x = 15 + k.180

untuk k = 0

x = 15

2x = (180 - α) + k. 360  

2x = (180 – 30) + k.360

2x = 150 + k.360

x = 75 + k.180

untuk k = 0

x = 75

- + -

0 15 75 180

Jd HP = { 0 x < 15 dan 75 < x 180 }

35

2. Dengan grafik

Grafik y = sin2x adalah

1

0 15 45 75 90 135 180

-1 Jadi, HP = 0 x < 15 75 < x 180

Latihan Soal

1. Untuk 0 360

1. 2 cos 2x – 1 0

2. Cos x <

3. Sin 2x < 1

4. Tan x < 1

5. 2 Sin x

6. Cos 2x <

7. Tan 2x >

8. Sin x

9. 2 Cos x >

10. Cos x

2. Untuk 0 360

a. 2 cos 2x = 1

36

b. Sin x =

c. 2 sin x =

3. Untuk 0 360

a. 2 cos 2x – 1 0

b. Cos x <

c. Sin 2x < 1

F. Identitas Trigonometri

Pada pembelajaran sebelumnya, kita telah memperoleh hubungan dasar dari fungsi

trigonometri berikut ini :

Setiap persamaan di atas desebut identitas trigonometri, yaitu setiap persamaan di

atas bernilai benar untuk setiap θ dengan kedua ruasnya terdefinisi.

Untuk mendapatkan identitas trigonometri yang lain dapat dicari dengan kita

misalkan θ adalah sembarang sudut pada posisi standar dan titik (x,y) terletak pada kaki

sudut θ, maka :

θ

37

x2 + y2 = r2 ......... (1)

Jika kedua ruas dari persamaan (1) di atas berturut-turut kita bagi dengan r2 , x2 , dan y2 ,

maka diperoleh :

1.

2.

3.

Jadi identitas trigonometri di atas sebagai identitas trigonometri dasar yang akan

digunakan untuk menyederhanakan pernyataan yang memuat fungsi trigonometri atau

untuk membuktikan identitas trigonometri lainnya.

Contoh Soal :

Buktikan identitas sec θ – tan θ . sin θ = cos θ

Pembuktian :

38

Karena ruas kiri lebih kompleks, maka kita ubah rus kiri tersebut menjadi ruas kanan .

Sec θ – tan θ . sin θ =

Latihan Soal :

Buktikan identitas berikut ini ?

a. Cot x . tan x = 1

b.

c.

d.

e.

G. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

G.1 Sin (α ± β)

Pada gambar 1.1 disamping, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC, diketahui BAC = α, ABC = β, ABC = , dan panjang sisi-sisi AB = c, BC = α,

dan AC = b serta jari-jari OA = ½ , α + β ˂ .

Pada ∆ADO siku-siku di D:

OA = ½, AD = , dan AOD = Maka:

Sin = =

Sin = c Sehingga dengan cara yang sama diperoleh,sin α= a,sin β =b.

Pada ∆AEC, EA = b cos α, dan pada ∆BEC, EB = a cos βEA + EB = c

39

c = b cos α + a cos β

α + β + = Sehingga:

Sin = sin ( ) = sin = cSin

= sin β cos α + sin α cos βJadi,

Sin = sin α cos β + cos α sin β

Sedangkan untuk rumus sin (α – β), dapat dilakukan dengan mensubstitusikan bentuk α – β = α + (-β).Sin (α – β) = sin [ α + (-β)]

= sin α cos (-β) + cos α sin (-β) = sin α cos β – cos α sin β

Jadi,Sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Rumus sin (α – β) dapat juga diperoleh dari gambar 1.2 berikut :

G.2

G.2 Cos (α ± β)

40

1.1

1.2

1.3

Luas ∆ABC = Luas ∆ADC + Luas ∆BDC

½ab sin (

Jadi,

Cos ( α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Pada gambar 1.4 (i), misalkan titik A(1,0). Jika α dan β menentukan letak

titik B(x1, y1), C(x2,y2) dan D(x33.y3) pada lingkaran, 0 ˂ β ˂ α ˂ 2 , maka :

X1 = cos β, y1 = sin β

X2 = cos (α – β), y2 = sin (α – β)

X3 = cos α, y3 = sin α

Pada gambar 1.4 (ii), panjang busur AC = panjang busur BD. Sehingga panjang tali busur AC dan BD sama panjang.

|AC| = |BD|

41

1.4

1+1-2 = 1 + 1 - 2

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai diperoleh:

Cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Untuk mendapatkan rumus cos ( α + β ), dapat dilakukan dengan mensubstitusikan

α + β = α –(-β).

Cos (α+β) = cos [α – (-β)]

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)

= cos α cos β + sin α (-sin β),

Cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

G.3 Tan (α ± β )

42

1

Latihan Soal :

43

1.

2

3

4

Soal :

44

5

2.

4.

3.

G.4 Rumus-Rumus Sudut Ganda

Untuk setiap sudut α berlaku rumus – rumus :

1. Sin 2α = 2 sin α cos α

2. Cos 2α =

= 2

= 1-

3. Tan 2α =

Bukti:

1. Sin 2α = sin (α + α)

= sin α cos α + cos α sin α= 2 sin α cos α

2. Cos 2α = cos (α + α)

45

5.

6.

= cos α cos α – sin α sin α

=

Dengan menggunakan rumus, dan rumus

maka akan kita peroleh:

=

= = 2Atau

= 1 - 2

3. Tan 2 = tan (

=

=

Contoh Soal :

46

1

G.5 Rumus Sudut Paruh

Rumus untuk Sin θ

Perhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:

cos 2α = 1 - 2 sin²α

47

3

2

2 sin²α = 1 - cos 2α

sin²α =

sin α = ±

Dengan mensubtitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh:

Rumus untuk Cos θ

Perhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:

cos 2α = 2cos² α – 1

2cos² α = 1 + cos 2α

cos² α =

Cos α = ±

Dengan mengganti atau mensubstitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh:

Rumus untuk tan θ

48

sin θ = ±

Cos θ = ±

Substitusi sin θ = ± dan Cos θ = ± pada tan θ = ± ,

maka diperoleh tan θ = ±

Jadi,

Contoh Soal:

Hitunglah nilai eksak dari Sin ?

Jawab:

Sin = Sin =

= =

Jadi, nilainya

Latihan Soal

1. Dengan menggunakan rumus sin θ Cos θ tan θ , hitunglah nilai eksak dari tiap

bentuk berikut.

a. cos

49

tan θ = ±

b. Tan

c. Sin

d. Sin 112 °

e. Cos 112 °

f. Tan 112 °

2. Misalkan α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = dan tan β =

hitunglah:

a. sin α

b. Cos α

c. tan α

d. sin β

e. Cos β

f. tan β

G.6 Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri

Untuk setiap sudut α dan β berlaku rumus –rumus berikut :2 sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α – β ) ... (1)2 cos α sin β = sin ( α + β ) – sin ( α – β ) ...(2)2 cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α – β ) ...(3)2 sin α sin β = -cos (α + β ) + cos ( α – β) ...(4)

50

Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan rumus – rumus yang telah dipelajari.

Perhatikan rumus (1) berikut.Ruas kanan

Sin ( α + β) + sin ( α - β )= (sin α . cos β + cos α. Sin β) + ( sin α . cos β – cos α . sin β )= sin α . cos β + cos α . sin β + sin α . cos β – cos α . sin β= 2 sin α . cos β= Ruas kiri

Kegiatan :Agar lebih memahami rumus (2),(3),(4) di atas, buktikanlah secara berpasangan atau individual dan bandingkan hasilnya dengan yang lain.

Contoh soal :

51

Latihan Soal :

G.7 Rumus Jumlah dan Selisih Sin dan Cos Fungsi Trigonometri

Bukti :

Untuk rumus perkalian (5), misalkan α + β = x dan α – β = y.

α + β = x dan α + β = x

α – β = y + α – β = y +

α = ½(x + y) β = ½( x – y)

52

1

2

3

Sin x + sin y = 2 sin ½ ( x + y) cos ½(x – y) ... (5)Sin x – sin y = 2 cos ½ ( x + y ) sin ½ ( x – y ) ... (6)Cos x + cos y = 2 cos ½( x + y ) cos ½( x – y ) ... (7)Cos x – cos y = -2 sin ½( x + y ) sin ½ ( x – y) ... (8)

Sehingga dari rumus (1),2 sin α cos β = sin (α + β) + sin ( α – β)

Kita peroleh,2 sin ½ ( x + y ) cos ½ ( x – y ) = sin x + sin y

Untuk rumus – rumus (6), (7), dan (8) silahkan buktikan sendiri.

Contoh Soal :

Latihan Soal :

53

1.

2.

3.

4.

DAFTAR PUSTAKA

Johannes, dkk. 2003. Kompetesi matematika. Jakarta: Yudhistira.

Kartini, dkk. 2005. Matematika. Klate: Intan Pariwira.

Narminingsih. 2009. Siap UN matematika. Sukaoharjo: Seti Aji.

Noormandiri, B.K. 2006. Matematika Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Erlangga.

Sembiring, dkk. 2007. Matematika Bilingual. Bandung: Yrama Widya.

Sukino. 2007. Jakarta: Erlangga.

Untoro, joko. 2007. Rumus Lengkap matematika sma. Depok: Wahyu Media.

Wirodikromo. Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta: Erlangga.

54