M 11 Trigonometrische Funktionen

0. Das Bogenmaß

Um die trigonometrischen Funktionen im kartesischen Koordinatensystem darstellenzu können, benötigt man ein zum Winkelmaß (in Grad) proportionales Längenmaß(in L.E.), das sogenannte Bogenmaß.

Es ist die im Einheitskreis (r = 1) zum Winkel α gehörende Bogenlänge x.

Merke: 180° � π oder auch 1° = π/180

1. Die Sinusfunktion x �� y = sin(x)

Definitionsbereich: D = �

Wertebereich: W = [–1 ; 1]

Symmetrie zum KoSy: sin(–x) = –sin(x) Punktsymmetrie zum Ursprung

Periodizität: sin(x + k·2π) = sin(x) ; k ∈ � Periodenlänge 2π

Nullstellen: sin(k·π) = 0 ; k ∈ � xk = k·π ; k ∈ �

Hochpunkte: sin(π/2 + k·2π) = 1; k ∈ � Hk(π/2 + k·2π | 1) ; k ∈ �

Tiefpunkte: sin(–π/2 + k·2π) = –1; k ∈ � Tk(–π/2 + k·2π | –1) ; k ∈ �

2. Die Kosinusfunktion x �� y = cos(x)

Definitionsbereich: D = �Wertebereich: W = [–1 ; 1]

Symmetrie zum KoSy: cos(–x) = cos(x) Achsensymmetrie zur y-Achse

Periodizität: cos(x + k·2π) = cos(x) ; k ∈ � Periodenlänge 2π

Nullstellen: cos(π/2 + k·π) = 0 ; k ∈ � xk = π/2 + k·π ; k ∈ �

Hochpunkte: cos(k·2π) = 1; k ∈ � Hk(k·2π | 1) ; k ∈ �

Tiefpunkte: cos(π + k·2π) = –1; k ∈ � Tk(π + k·2π | –1) ; k ∈ �

Die Kosinusfunktion lässt sich auf viele Arten aus der Sinusfunktion erzeugen.

Beispiele:

cos(x) = sin(x + π/2) oder auch cos(x) = sin(π/2 – x)

M 11 Trigonometrische Funktionen

3. Die Tangensfunktion x �� y = tan(x) = sin(x)/cos(x)

Definitionsbereich: D = � \{π/2 + k·π} ; k ∈ �Wertebereich: W = �Symmetrie zum KoSy: tan(–x) = –tan(x) Punktsymmetrie zum Ursprung

Periodizität: tan(x + k·π) = tan(x) ; k ∈ � Periodenlänge π

Nullstellen: tan(k·π) = 0 ; k ∈ � xk = k·π ; k ∈ �

4. Die allgemeine Sinusfunktion x �� y = a·sin(b·(x – c)) + d

Sie geht aus der Funktion y = sin(x) durch folgende nacheinander ausgeführte Veränderungen hervor:�

y-Dehnung mit Faktor a (>0) ⇒ neuer Wertebereich W = [–a ; a]�

x-Stauchung mit Faktor b (>0) ⇒ neue Periodenlänge 2π/b�

Verschiebung in x-Richtung um c�

Verschiebung in y-Richtung um d ⇒ neuer Wertebereich W = [ d – a ; d + a]

Üben und wiederholen kannst du mit Materialien, die du im Internet findest:

http://klement.heim.at

http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/index.html