Lista 2- O.M. I ( límpiada de Matemática do Integral )-2015

Equipe de Matemática

Série: 2º ano

Questões:

1. Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte determinante:

2cos(x) 2f(x) para 0 x

1 2cos(x)π

Observe o gráfico da função f.

Determine os valores de x para os quais f(x) 1.

2. A quantidade de soluções que a equação trigonométrica 4 4 1sen x cos x

2 admite no

intervalo [0, 3 ]π é:

a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

3. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser

expressa, em função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por

2 (t 105)T(t) 14 12sen .

364

π

Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no

mês de:

a) julho.

b) setembro.

c) junho.

d) dezembro.

e) março.

4. A tabela indica o horário do pôr do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de

cada um dos doze meses de 2013. O horário indicado na tabela (y) é dado em “minutos

depois das 18 horas”. Por exemplo, em 1 de janeiro de 2013, o pôr do sol se deu às

18h02.

Mês Horário (y) Mês Horário

Janeiro 2 2 0 Julho 2 2 0

Fevereiro 1

1,5 22

Agosto 1

2,5 22

Março 3

1,1 22

Setembro 3

2,9 22

Abril 1 2 1 Outubro 3 2 1

Maio 3

1,1 22

Novembro 3

2,9 22

Junho 1

1,5 22

Dezembro 1

2,5 22

1. Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em

função de x no intervalo x 2 .6

ππ

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

6

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π π

7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π 2π

2. Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x, cujo gráfico

passe por todos os pontos definidos pelas duas tabelas anteriores. Em seguida, use

essa função para prever o horário do pôr do sol quando x .4

π

Adote: 6 2,4 e 2 1,4

5. Seja A a matriz 1

02

2 0

Sabe-se que n

n vezes

A A A A A

Então, o determinante da matriz 2 3 11S A A A A é igual a:

a) 1

b) 31

c) 875

d) 11

6. Uma empresa da construção civil faz 3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos;

tipo 2, para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 3 ou mais filhos. A empresa

de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para

a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço.

Quantidade de Material Fornecido pela

Empresa Barateiro Umbizal

Tipo da

Casa

Ferro

(feixe)

Madeira 3(m )

Telha

(milheiro)

Tijolo

(milheiro)

Tipo 1 3 2 2 3

Tipo2 4 4 3 5

Tipo3 5 5 4 6

Preço por Unidade de Material

Fornecido em reais

Feixe de

ferro

Madeira 3(m )

Telha

(milheiro

)

Tijolo

(milheiro)

500,00 600,00 400,00 300,00

Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o

preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta

primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de:

a) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo

total

5.200,00 7.100,00 8.900,00 83.300,00

b) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo

total

4.400,00 7.100,00 9.100,00 82.700,00

c) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo

total

4.400,00 7.100,00 8.900,00 81.700,00

d) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo

total

4.400,00 7.400,00 8.900,00 82.900,00

e) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo

total

4.500,00 7.100,00 8.800,00 82.400,00

7. No quadro abaixo, observa-se o balanço de vendas das três vendedoras da Perfumaria

Soxeiro para os três perfumes mais vendidos no último sábado.

Vendedora

Perfumes (nº de

vidros) Faturamento (R$)

Alfa Beta Gama

Amanda 7 3 4 1.950

Bruna 5 10 8 3.600

Carol 4 5 6 2.350

Total 16 18 18 7.900

De acordo com esses dados, quanto custa um vidro do perfume Beta?

a) R$100,00

b) R$150,00

c) R$160,00

d) R$180,00

e) R$ 200,00

8. Analise o esquema seguinte.

Se os pratos da balança estão equilibrados, então a soma dos pesos dos objetos ,

e , em kg, é :

a) menor que 1.

b) maior que 2,5.

c) maior que 1 e menor que 1,5.

d) maior que 1,5 e menor que 2.

e) maior que 2 e menor que 2,5.

9. Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os

procedimentos a seguir.

1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos,

e o ano A, com quatro algarismos.

2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M.

3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera A 1

.4

4. Calcule a soma S = A + N + Y.

5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7.

6. Conhecendo X, consulte a tabela:

X Dia da semana

correspondente

0 sexta-feira

1 sábado

2 domingo

3 segunda-feira

4 terça-feira

5 quarta-feira

6 quinta-feira

O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é:

a) domingo

b) segunda-feira

c) quarta-feira

d) quinta-feira

10.

O Sistema Monetário Colonial do Brasil mantinha uma clássica ordem de valores

baseados nas dezenas, com seus valores dobrados a cada nível acima de moeda

cunhada, portanto com valores de 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 960 réis; o que em

grande parte minimizava a problemática do troco. No entanto, a província de Minas

Gerais produziu um problema tão grave de troco, no início da segunda década do século

XIX, que afetou diretamente os interesses da metrópole e exigiu medidas drásticas para

evitar grandes perdas ao cofre português. [...]

Para resolver o problema, em 1818, a Casa da Moeda do Rio de Janeiro, desativada

desde 1734, foi reaberta para cunhar uma das moedas mais intrigantes da história da

numismática mundial, o Vintém de Ouro. O nome sugere uma moeda de vinte réis

cunhada em ouro, no entanto é uma moeda de cobre que tem no seu anverso o valor de

37 ½ réis, batida no Rio de Janeiro para circular em Minas Gerais.

( O SISTEMA. 2013 ).

De acordo com o texto, se uma pessoa tivesse que efetuar um pagamento de 680 réis e

só possuísse moedas de Vintém de Ouro, então, ao realizar esse pagamento, ele poderia

receber de troco uma quantidade mínima de moedas, correspondente a uma moeda de:

a) 40 réis.

b) 80 réis.

c) 10 e outra de 20 réis.

d) 10 e outra de 40 réis.

e) 10, uma de 20 e uma de 40 réis.

11. Uma pessoa escolherá um plano de telefonia celular entre duas opções: A e B.

PLANO NOME DO

PLANO

MINUTOS

INCLUÍDOS

NO PLANO

VALOR

EXCEDENTE

ENTRE

CELULARES DA

MESMA

OPERADORA

PREÇO

MENSAL

A MINAS 70 70 R$ 0,68 R$ 57,00

B GERAIS 60 60 R$ 0,76 R$ 49,00

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

I. Se a pessoa exceder 30 minutos de ligações para a mesma operadora, o plano A ficará

mais vantajoso que o plano B.

II. Se a pessoa usar apenas 60 minutos no mês, o melhor plano será o B.

III. Se a pessoa exceder 10 minutos de ligações para a mesma operadora, os planos A e

B ficarão equivalentes.

Assinale a alternativa CORRETA:

a) Somente II e III são verdadeiras.

b) Somente II é verdadeira.

c) Somente I e III são verdadeiras.

d) Somente III é verdadeira.

12.Uma médica, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam

ingeridos pelo paciente, de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 3

em 3 horas, remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente

utilize os três remédios às 6 horas da manhã, o próximo horário coincidente de ingestão

dos mesmos será:

a) 12h.

b) 14h.

c) 16h.

d) 18h.

e) 20h.

13. O dia 04 de julho de um certo ano ocorreu numa sexta-feira. Então, 06 de fevereiro

do ano seguinte foi:

a) segunda-feira

b) terça-feira

c) quarta-feira

d) quinta-feira

e) sexta-feira

14. Assinale o que for correto.

01) n n

2 n 2

02) 4 4 4 4

151 2 3 4

04) A soma das soluções da equação 11 10 10

x 3 2

é 11.

08) A equação 10 10

x 2x 4

tem duas soluções distintas.

16) n n n 1

1 2 2

15.Demonstre que o determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do

determinante dessa mesma matriz. Isto é, dada uma matriz A, com determinante

diferente de zero, mostre que:

det A-1 = 1

𝑑𝑒𝑡𝐴

Gabarito/Resolução

Resposta da questão 1:

X=𝝅

𝟔 ou X=

𝟓

𝟔

Resposta da questão 2:

[D]

Resposta da questão 3:

[A]

A temperatura média máxima ocorre quando

2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen

364 364 2

2 (t 105)2k

364 2

t 105 91 364k

t 196 364k, k .

π π π

π ππ

Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias

após o início do ano, ou seja, no mês de julho.

Resposta da questão 4:

a) Considere o gráfico.

b) Suponhamos que f seja da forma f(x) a b cos(mx c), com a, b, c, m sendo

números reais. O período de f é dado por 5 2

2 2 .3 3

π ππ

Logo, temos m 1.

Como a imagem de f é o intervalo [1, 3], vem

[a b, a b] [1, 3] a 2 e b 1.

Em consequência, tomando o ponto , 2 ,6

π

encontramos

2 2 cos c cos c cos6 6 2

c .3

π π π

π

Portanto, uma função possível é f(x) 2 cos x .3

π

Se x ,4

π temos

f 2 cos4 4 3

2 cos cos sen sen4 3 4 3

2 1 2 32

2 2 2 2

2 62

4

1,4 2,42

4

2 0,25

1,75.

π π π

π π π π

Daí, como 1,75min 1min 0,75 60 s 1min 45 s, segue-se que o horário do pôr do sol é

18 h 1min 45 s.

Resposta da questão 5:

[D]

Resposta da questão 6:

[C]

Resposta da questão 7:

[B]

Resposta da questão 8:

[E]

Resposta da questão 9:

[D]

Resposta da questão 10:

[E]

Resposta da questão 11:

[B]

Resposta da questão 12:

[D]

Resposta da questão 13:

[E]

Resposta da questão 14:

01 + 02 + 04 + 16 = 23.

VVVFV

Resposta da questão 15:

Demonstração. Dica: Utilize a definição A.A-1 =I e o teorema de Binet.