DOS 2 - Z-Transformacija

5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 1/20

Z -TRANSFORMACIJA



Laplaceova transformacija

• Omoguduje lakši rad sa analognim signalima i

sistemima

• Laplaceova transformacija impulsnog odziva LVN

analognog sistema je njegova prenosna funkcija

j γ

j γ

st

st

dses X j π

s X t x

dt et x t x s X

)(2

1)(L)(

)()(L)(

}{

}{

1

PIERRE-SIMON LAPLACE

(1749-1827)

2



Z -transformacija

• Z -transformacija predstavlja preslikavanjediskretnog signala u kompleksni red

• Postoji i unilateralna z-transformacija

0

)()(Z)( }{n

n

uzn x n x z X

3



Region konvergencije

0,32)(

)2()1(3)(2)(

21zzzz X

nδnδnδn x

5,0,5,01

1

5,0)(

)(5,0)(5,0)(

01

0

zzzz X

nuk nδn x

n

nn

k

nk

n

x(n)

0 1 4 532

1

2

3

−1−2

n

x(n)

0 1 4 532

1

−1−2

• Region konvergencije je skup tačaka u kojima

definiciona suma z-transformacije konvergira

4



Nule i polovi z-transformacije

• Za široku klasu signala z-transformacija se možedovesti u oblik

•Nule ZT su one vrednosti z za koje

• Polovi ZT su one vrednosti z za koje

• Ako je signal realan, nule i polovi su ili realni ili se javljaju u konjugovano kompleksnim parovima

N

i

i

i

M

i

i

i

n

n

za

zb

zn x z X

1

0

1)()(

)(z X 0)(z X

5



Osobine z-transformacije

Linearnost

Vremenski pomeraj

Množenje eksponencijalnim nizom

)()()()(Z }{ zbY zaX nby nax

)()(Z }{ z X zmn x m

)()(Z1}{ za X n x

na

6



Osobine z-transformacije

Inverzija u vremenu

Množenje sa n

Transformacija konvolucije

)(Z1)}({ z X n x

dz

zdX zn x n

)()(Z }{

)()()()(Z }{ zY z X ny n x

7



Inverzna z-transformacija

• Inverzna z-transformacija data je izrazom

• C je bilo koja kriva koja leži u oblasti konvergencije a obuhvata

koorinatni početak

• Signal x (n) se češde nalazi tabelarno ili primenom teorije

reziduuma

i

i

pz

nm

i m

m

pz

nzz X pz

dz

d

m

zz X 1

1

1

1)()(

)!1(

1})(Res{

0,})(Res{

0,})(Res{

)( 1

1

nzz X

nzz X

n x

C van p pz

nC unutar p

pz

n

i

i

i

i

8



Prenosna funkcija

• Z -transformacija impulsnog odziva LVN sistema

• Ako RUI ima oblik linearne iferencne jenačine s

konačnim koeficijentima, H(z) se može ovesti u oblik

racionalne funkcije:

)()()(

)()()(

zY zHz X

ny nhn x

n

nznhzH )()(

N

i

i

i

M

i

i i

n

n

za

zbznhzH

1

0

1

)()(

9



Izgled regiona konvergencije

1,1

11

)()(

)()(

10

1

1

zz

z

zz

znuz X

nun x

n

n

n

n

1,11

11

1

)1()(

)1()(

01

1

2

2

zz

z

z

zz

zznuz X

nun x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u(n)

1 . . .

1Re

Im

n

−u(−n−1)

−1. . .

1Re

Im

10




• Ko signala konačnog trajanja beskonačna suma prelazi u konačnu

Ova suma može a ne konvergira jeino za

ili

Ove polove nazivamo trivijalnim polovima

z-transformacije

2

1)()()(

N

Nn

n

n

n

zn x zn x z X

0z z

11




• Ko kauzalnih signala beskonačnog trajanja

)(...)()()(2211

nu p Anu p Anu p An x n

NN

nn

Re

Im

p5 p1

p3

p2

p4

12




• Ko antikauzalnih signala beskonačnogtrajanja

)1(...)1()1()(2211

nuqBnuqBnuqBn x n

MM

nn

Re

Im

q2

q3

q1

q4

q5

13




• U opštem slučaju

)1(...)1()1(

)(...)()()(

2211

2211

nuqBnuqBnuqB

nu p Anu p Anu p An x

n

MM

nn

n

NN

nn

Re

Im

q2

q3

q1

p1 p2

p4

p3

q4

q5

14



Stabilnost

• BIBO (Bounded Input Bounded Output) Sistem je stabilan akko je oziv na svaku ograničenu

pobuu takođe ograničen

•LVN sistem je stabilan akko je njegov impulsniodziv apsolutno sumabilan

• LVN sistem je stabilan akko jeinična kružnica u

z-ravni leži u regionu konvergencije

n

nh )(

15



Stabilnost

• Kod FIR sistema Impulsni odziv je apsolutno

sumabilan, pa su uvek stabilni

Nema povratnih veza ukanonskoj blok- šemi realizacije

Nema polova u prenosnoj

funkciji (osim moža trivijalnih)

M

i

i

i N

i

i

i

M

i

i

i

zb

za

zb

zH0

1

0

1

)(

0

M

i i

i n x bny 0

)()(

x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

bM−1

z−1

bM

. .

.

.

.

.

y (n)

16



Stabilnost

• Kod kauzalnih IIR sistema

)(...)()()(2211

nu p Anu p Anu p Anh n

NN

nn

1Re

Im

p1 p2

p4

p3

Re

Im

p1 p2

p4

p3

1

stabilan nestabilan

17



Stabilnost

• Kod antikauzalnih IIR sistema

)1(...)1()1()(2211

nuqBnuqBnuqBnh n

MM

nn

1Re

Im

q2

q3

q1

Re

Im

q2

1

stabilan nestabilan

q1

q3

18



Stabilnost

• U opštem slučaju

)1(...)1()1(

)(...)()()(

2211

2211

nuqBnuqBnuqB

nu p Anu p Anu p Anh

n

MM

nn

n

NN

nn

1 Re

Im

q2

q3

q1

Re

Im

q2

1

stabilan nestabilan

q1

q3

p1 p2

p4

p3

p1

p2

19



Granična stabilnost

• Ako jeinična kružnica prestavlja rub regionakonvergencije

• Ovakvi sistemi nisu stabilni u BIBO smislu

•Primer granično stabilnog sistema je sistem čiji je impulsni odziv h(n)=u(n)

n

u(n)

1 . . .

1Re

Im

20

DOS 2 - Z-Transformacija

Documents

Transcript of DOS 2 - Z-Transformacija