23/07/2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência II –Torção

Aula Expositiva Baseada e com Figuras Retiradas do Livro

Resistência dos Materiais / BEER E JOHNSTON

Introdução

Introdução

Momento Torçor

( )∫ ∫== dAdFT τρρ

Componentes de Cisalhamento

Deformação

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2

Deformação

maxmax e γργφγcL

c ==

LL

ρφγρφγ == ou

Tensão em Regime Elástico

∫∫ == dAc

dAT 2max ρτρτ

e max J

T

J

Tc ρττ ==

maxγργ Gc

G = maxτρτc

=

γτ G= maxγργc

=

( )∫ ∫== dAdFT τρρ

Jcmaxτ=

421 cJ π=

( )41

422

1 ccJ −= π

Tensão Normal

( )

max

0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o ττσ

ττ

===

=°=

A

A

A

F

AAF

Modos de Ruptura por Torção

A barra BC é vazada com diametros internos e externos de 90 mm e 120mm, respectivamente. As barras AB e CD são sólidas de diâmetro d. Determine(a) a mínima e máxima tensão de cisalhamento em BC, (b) o diametro d dos eixosAB e CD para que a tensão máxima não exceda a 65 MPa.

Problema Resolvido

( )

CDAB

ABx

TT

TM

=⋅=

−⋅==∑

mkN6

mkN60 ( ) ( )mkN20

mkN14mkN60

⋅=

−⋅+⋅==∑

BC

BCx

T

TM

Problema Resolvido

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3

( ) ( ) ( )[ ]46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

−×=

−=−= ππccJ

( )( )

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

=×

⋅=== −J

cTBCττ

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

=

==

τ

τττ

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

=

=

τ

τ

m109.38

mkN665

3

32

42

max

−×=

⋅===

c

cMPa

c

Tc

J

Tcππτ

mm8.772 == cd

Problema Resolvido

Exercício

Para um valor de To = 50 N.cm, determinar o ângulo naextremidade livre do eixo e a tensão máxima de cisalhamentonas barras. Adotar G = 50 kPa.

Substituir a unidade in por cm

Seções Diferentes

L

cφγ =max

JG

Tc

G== max

maxτγ

JG

TL=φ

∑=i ii

ii

GJ

LTφ

max L

cφγ =

Exercício

Determine a tensão máxima e a rotação da extremidade livreda barra em balanço. (G=800 tf/cm²).

20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm

10 c

m

8 c

m

P=0,5 tfP P P P P P

AB C D E F G

Barras Estaticamentes Indeterminadas

ftlb9012

21 ⋅=+ AA TJL

JLT

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0 ==−=+= φφφ

ftlb90 ⋅=+ BA TT

Exemplo

L 4 L

T

x

A C B

x D d

Determine a relação D/d para que a capacidade do eixoseja máxima. (G=800 tf/cm²; τ ≤ 1 tf/cm²)

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Deformações Plásticas

J

Tc=maxτ

( ) ∫=∫=cc

ddT0

2

022 ρτρπρπρρτ

Materiais Elastoplásticos

Tensão Residual

( ) 0=∫ dAτρJ

Tcm =′τ

Torção em Elementos não-circulares

Gabc

TL

abc

T3

22

1max == φτ

Torção em paredes finas

( ) ( )qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

===

∆−∆==∑τττ

ττ0

( ) ( )

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

=

===

====

∫∫

τ

τ

∫=t

ds

GA

TL24

φ

Exemplo

4 m

m

4 mm

3 m

m

5 mm

4 m

m

4 mm

100 mm

60 m

m

B

D

A

C

BA

DC

Um tubo de alumínio de seção retangular de 60x100 mm foi fabricado por extrusão. Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes do tubo, quando este fica submetido a um momento de torção de 3 kNm, adotando:

• Espessura da parede constante de 4mm

• Que por defeito no processo de fabricação as paredes AB e AC são de 3 mm de espessura, e as paredes BC e CD são de 5 mm.

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Projeto de Transmissão de Eixos

f

PPT

fTTP

πω

πω

2

2

==

==

Exemplo:

11 - Determine o diâmetro de um eixo que deve transmitir uma potência de 200 HP, girando a 250 rpm, sendo a tensão admissível de 900 kgf/cm².

Quais as dimensões de um eixo vazado com diâmetro interno igual a d=0,75D; mantidas as demais condições. Qual a relação entre os ângulos unitários de torção, correspondentes a esses eixos.

f

PPT

fTTP

πω

πω

2

2

==

==

max J

Tc=τ

Cavalo-Vapor - CV (735,5W) e Horse-Power - HP (745,7W)Cavalo-Vapor - CV (735,5W) e Horse-Power - HP (745,7W)