LA PARABOLA

Secciones cónicas.

En matemáticas, la parábola (del griego παραβολή) es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz. Se puede caracterizar también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje) y un punto fijo (foco) dados.

La trayectoria de una pelota que rebota recorre parábolas.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria de caída de cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Historia La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,1 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.2

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,3 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el

cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola

Apolonio de Perge

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

Propiedades geométricas

Diferentes partes de una parábola.

Construcción de puntos de una parábola.

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada eje, y

un punto fijo que se denomina foco.

Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la mediatriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son similares, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad e igual a 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma salvo escala. Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.

Un argumento geométrico informal es que que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva salvo escala que depende de la distancia del punto a la directriz.

Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

En lo sucesivo, F denotará el foco de una parábola, P un punto de la misma y T su proyección sobre la directriz. Retomando la construcción dada para encontrar puntos de una parábola, sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles y por tanto biseca al ángulo FPT. Lo único que hay que verificar ahora es que MP también es la tangente en el punto P. Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz.

Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Una consecuencia de mucho más importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco, y diversas lámparas tienen espejos parabólicos para enfocar los haces de luz emanados de una fuente en la posición focal.

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el

punto de tangencia y su proyección, así como

refleja sobre el foco rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran

la señal en un receptor colocado

en el foco.

Y el mismo principio

aplicado a una

antena de radar.

Ecuaciones de la parábola

Parábolas de la forma y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola cuyo eje sea vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical, su vértice es y su foco es

tiene la forma .

agrupando los términos y reordenando la ecuación se tiene de forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Parábola

 Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que

la gráfica de una función cuadrática con , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una

función, como podemos concluir de la siguiente definición.

 

   Definición

 Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1).

 

Figura 1.

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

 

 Teorema (ecuación canónica de la parábola)

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y

directriz es

El eje de la parábola es vertical y el foco está a unidades

(orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia arriba y el foco

está en ; si ,  la parábola abre hacia abajo y el foco está

en .

Si la directriz es (eje horizontal), la ecuación es

El eje de la parábola es horizontal y el foco está a unidades

(orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia la derecha y el

foco está en ; si ,  la parábola abre hacia la izquierda y el

foco está en .

Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que

 

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que y el vértice , por lo tanto, la

parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en , la recta directriz es . La gráfica se muestra en la figura 2.

Figura 2.

Ejemplo 2

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice

en y foco en .

Solución

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es

vertical, además abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:

La directriz es .La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto y recta

directriz .

Solución

Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y

debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación . Para hallar

el valor de debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

y calcular la distancia al vértice.

Puesto que la solución es , entonces y el foco sería

Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

La solución de este sistema es

con lo cual la ecuación de la parábola es

Figura 4.

 

Propiedades de la parábola

 Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella

pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas.

 

  Teorema (propiedad de reflexión)

La tangente a una parábola en un punto forma ángulos iguales con :

La recta que pasa por y por el foco (ángulo de reflexión).

La recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola (ángulo de incidencia).

  

La propiedad de reflexión se muestra en la figura 5.

Figura 5.

 

Ejercicios

1. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y foco en .

2. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos

3. Determine la ecuación canónica de la parábola

4. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la

dirección del eje y pasa por los puntos

Respuesta:

5. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje

vertical y pasa por los puntos .

6. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los

puntos .

7. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en

y directriz .

8. Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones

a.) vértice en .

b.) contiene al punto con

c.) la distancia de a la directriz es 10.

9. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y directriz .

Ecuación de la parábola. Ejercicios

1. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

2. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

3. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

4. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.

Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:  

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0) 

c. F(2, 3), directriz: x = 6 

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 

5. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 

a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0 

b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0 

c. y2 + 4x + 4y = 0 

d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0 

e. 8y2 + 22x – 24y – 128 = 0 

f. x2 – 6x – 12y – 15 = 0 

g. x2 + 4x + 4y – 4 = 0 

h. x2 – 8x + 3y + 10 = 0 

i. 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0 

j. 5x2 – 40x + 4y + 84 = 0 

6. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 

7.  a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q)

de la curva, viene dada por:  . 

b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de

la curva, viene dada por:  .