Kola u ustaljenom prostoperiodi čnom režimutnt.etf.bg.ac.rs/~si1oe/Vezbe/Vezbe_13S041OE_3.pdf ·...
Transcript of Kola u ustaljenom prostoperiodi čnom režimutnt.etf.bg.ac.rs/~si1oe/Vezbe/Vezbe_13S041OE_3.pdf ·...
Kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
svi naponi i sve struje u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne)
funkcije vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučaju različitim fazama
)cos()( θω += tXtx m , gde su:
o )(tx – struja ili napon u vremenskom domenu
o mX – amplituda
o ω – kružna učestanost
o θ – faza
o t – vremenska promenljiva
važi jednakost: T
fπ
πω2
2 == , gde je:
o f – frekvencija
o T – perioda (f
T1
= )
Fazori
34. Dati su vremenski oblici napona i struja. Odrediti odgovarajuće fazore.
a) )45377cos(V224)(1 °−= ttu .
b) )120377cos(A12)(2 °+= tti .
c) )425377cos(V212)(3 °−= ttu .
d) )2,42513sin(A218)(4 °+= tti .
e) kHz50),2sin(V2)(5 == ffttu π .
f) kHz20),1352sin(A8)(6 =°−−= fftti π .
Rešenje:
a) ⇒°−= )45377cos(V224)(1 ttu °−∠= 45V241U
b) ⇒°+= )120377cos(A12)(2 tti °∠= 120A262I
c) ⇒°−= )425377cos(V212)(3 ttu °−∠=°−∠= 65V12425V123U
d) ))2,42513(90cos(A218)2,42513sin(A218)(4 °+−°=°+= ttti
)8,852513cos(A218)8,852513cos(A218)(4 °−=°+−= ttti
°−∠= 8,85A184I
e) )902cos(V2)290cos(V2)2sin(V2)(5 °−=−°== ftftfttu πππ
°−∠= 90V25U
f) )452sin(A8)1801352sin(A8)1352sin(A8)(6 °+=°+°−=°−−= ftftftti πππ
)452cos(A8)452cos(A8))452(90cos(A8)(6 °−=°+−=°+−°= ftftftti πππ
°−∠= 45A246I
35. Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovarajućih napona i struja ako je poznato da
je Hz60=f .
a) °∠= 20V161U .
b) °−∠= 75A102I .
Rešenje:
a) ⇒°+=⇒°∠= )202cos(V216)(20V16 11 fttuU π )20120cos(V216)(1 °+= ttu π
b) ⇒°−=⇒°−∠= )752cos(A210)(75A10 22 fttiI π )75120cos(A210)(2 °−= tti π
36. Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovarajućih napona i struja ako je poznato da
je Hz400=f .
a) °∠= 120V101U .
b) °−∠= 60A122I .
Rešenje:
a) ⇒°+=⇒°∠= )1202cos(V210)(120V10 11 fttuU π )120800cos(V210)(1 °+= ttu π
b) ⇒°−=⇒°−∠= )602cos(A212)(60A12 22 fttiI π )60800cos(A212)(2 °−= tti π
Konverzija napona i struja iz vremenskog domena u kompleksni
(frekventni) domen i obratno
konverzija napona i struja iz vremenskog domena ( )cos()( θω += tXtx m ) u kompleksni
(frekventni) domen ( jbaX += ):
θθθθω jmm eXXX
XfazortXtx ⋅=→∠→∠→+=
2)cos()( , gde je:
2
mXX =
( ) jbaXjXjXeXXj +=+=+⋅=⋅= θθθθθ sincossincos , gde su:
θcosXa = , θsinXb = , −j imaginarna jedinica ( 12 −=j ).
konverzija napona i struja iz kompleksnog (frekventnog) domena ( jbaX += ) u
vremenski domen ( )cos()( θω += tXtx m ):
θjeXjbaX ⋅=+= , pri čemu je:
22baX +=
+°
=
kvadrantizaa
barctg
kvadrantizaa
barctg
.3.2;180
.4.1;
θ
Dalje se dobija:
)cos()( θωθθ +=→∠→⋅ tXtxXfazoreX m
j
pri čemu je: 2XX m = .
37. Konvertovati date napone i struje iz vremenskog u kompleksni domen ako je poznato da je
kHz5=f .
a) )2cos(V6)(1 fttu π= .
b) )452cos(V2)(2 °+= fttu π .
c) )2sin(A2)(3 ftti π= .
d) )2cos(A23)(4 ftti π−= .
Rešenje:
a) ( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosV23V230V23)2cos(V6)( 0
111 jeUUfttujπ
( ) ⇒+⋅= 01V231 jU V231 =U
Re
Im
0
θX
a
bX
kvadrant.1kvadrant.2
kvadrant.3 kvadrant.4
b)
( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 45sin45cosV2V245V2)452cos(V2)( 45
222 jeUUfttujπ
⇒
+⋅=
2
2
2
2V22 jU V)1(2 jU +=
c) )902cos(A2)290cos(A2)2sin(A2)(3 °−=−°== ftftftti πππ°−⋅=→°−∠=→°−= 90
333 1A90A1)902cos(A2)( jeIIftti π
( ))90sin()90cos(A13 °−+°−⋅= jI
( ) ⇒−⋅= 101A3 jI A3 jI −=
d) ( )°+°⋅−=⋅−=→°∠−=→−= ° 0sin0cosA3A30A3)2cos(A23)( 0
444 jeIIfttijπ
( ) ⇒+⋅−= 01A34 jI A34 −=I
38. Konvertovati date napone i struje iz vremenskog u kompleksni domen ako je poznato da je
krad/s6=ω .
a) )150sin(V2)(1 °−−= ttu ω .
b) )135sin(A2)(2 °−= tti ω .
Rešenje:
a) )240cos(V2))150(90cos(V2)150sin(V2)(1 ttttu ωωω −°−=°−−°−=°−−=°−⋅−=→°−∠−=→°−−=−°−= 240
111 1V240V1)240cos(V2)240cos(V2)( jeUUtttu ωω
( ))240sin()240cos(V11 °−+°−⋅−= jU
⇒
+−⋅−=
2
3
2
1V11 jU V
2
3
2
11
−= jU
b) )225cos(A2))135(90cos(A2)135sin(A2)(2 tttti ωωω −°=°−−°=°−=°−⋅=→°−∠=→°−=−°= 225
222 A2225A2)225cos(A2)225cos(A2)( jeIIttti ωω
( ))225sin()225cos(A22 °−+°−⋅= jI
⇒
+−⋅=
2
2
2
2A22 jI ( )A12 jI +−=
39. Konvertovati date napone i struje iz kompleksnog u vremenski domen ako je poznato da je
kHz2=f .
a) ( )V551 jU += .
b) ( )A432 jI +−= .
Rešenje:
a) ( ) °∠=→⋅=⋅+=→+= ° 45V25V25V55V55 1
455
5
22
11 UeeUjUj
jarctg
⇒°+=→°∠= )452cos(V10)(45V25 11 fttuU π )454000cos(V10)(1 °+= ttu π
b) ( ) ( ) °°−°
−+°
⋅=⋅=⋅+−=→+−= 87,12613,53180)3(
4180
22
22 A5A5A4)3(A43 jjarctgj
eeeIjI
°∠=→⋅= ° 126,87A5A5 2
87,126
2 IeIj
⇒°+=→°∠= )87,1262cos(A25)(126,87A5 22 fttiI π )87,1264000cos(A25)(2 °+= tti π
40. Konvertovati date napone i struje iz kompleksnog u vremenski domen ako je poznato da je
krad/s10=ω .
a) ( )V271 jU −−= .
b) ( )A522 jI −= .
Rešenje:
a)
( ) ( ) °°+°
−
−+°
⋅=⋅=⋅−+−=→−−= 95,19595,15180)7(
)2(180
22
11 V53V53V)2()7(V27 jjarctgj
eeeUjU
°∠=→⋅= ° 195,95V53V53 1
95,195
1 UeUj
⇒°+=→°∠= )95,195cos(V106)(195,95V53 11 ttuU ω )95,19510000cos(V106)(1 °+= ttu
b) ( ) °−∠=→⋅=⋅−+=→−= °−
−
68,2A29A29A)5(2A52 2
2,682
)5(
22
22 IeeIjIj
jarctg
⇒°−=→°−∠= )2,68cos(A58)(68,2A29 22 ttiI ω )2,6810000cos(A58)(2 °−= tti
Rešavanje kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Rešavanje kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu se vrši u četiri koraka:
konverzija svih napona i struja iz vremenskog u kompleksni domen
konverzija otpornosti otpornika, induktivnosti kalemova i kapacitivnosti kondenzatora u
odgovarajuće impedanse ( RZR = , LjZL ω= , Cj
ZCω
1= )
rešavanje kola u kompleksnom domenu primenom zakona i metoda koje su rađene kod
kola sa jednosmernim strujama
konverzija dobijenog rezultata (struje i/ili napona) iz kompleksnog u vremenski domen
41. Za kolo sa slike je poznato )30cos(V250)( °+= ttu ω , Ω= 25R , mH20=L i µF50=C .
a) Izračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i
kondenzatora), kao i struju )(ti ako kolo radi na frekvenciji Hz60=f .
b) Izračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i
kondenzatora) ako kolo radi na frekvenciji Hz400=f .
Rešenje:
a) Ω== 25RZR
Ω=⋅⋅⋅== 54,7mH20Hz602 jjLjZL πω
Ω−=⋅⋅
−=−== 05,53µF50Hz602
1j
j
C
j
CjZC
πωω
( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 30sin30cosV50V5030V50)30cos(V250)( 30jeUUttu
jω
⇒
+⋅=
2
1
2
3V50 jU V)3(25 jU +=
⇒++= LCREKV ZZZZ Ω−= )51,4525( jZEKV
A16,2696
64,259522,55
)51,4525(
)51,4525(
)51,4525(
V)3(25
)51,4525(
V)3(25
+−=
+
+⋅
Ω−
+=
Ω−
+==
j
j
j
j
j
j
j
Z
UI
EKV
( )
−+°
⋅+−=→+−=)0205,0(
9627,0180
22 A9627,0)0205,0(A9627,00205,0arctgj
eIjI
( ) °∠=→⋅=⋅= °°−° 91,22A96,0A96,0A96,0 22,9178,88180 IeeI jj
⇒°+=→°∠= )22,912cos(A296,0)(91,22A96,0 fttiI π )22,91120cos(A36,1)( °+= tti π
b) Ω== 25RZR
Ω=⋅⋅⋅== 27,50mH20Hz4002 jjLjZL πω
Ω−=⋅⋅
−=−== 96,7µF50Hz4002
1j
j
C
j
CjZC
πωω
+ −
R L C
)(tu
)(ti
+ −
RZ LZ
U
I
CZ
⇒++= LCREKV ZZZZ Ω+= )31,4225( jZEKV
42. Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .
Rešenje:
22
22
22
4
22
)2(2)2(||21
j
j
j
j
j
jjZ
+
+⋅Ω
−
−=Ω
−
−⋅=Ω−Ω=
( )Ω−=Ω−
= jj
Z 18
881
( )Ω+=−+= 422622 jjjZ
( )Ω−= 243 jZ
( ) ( )( ) ( )
Ω+
+=Ω
+
+=Ω
−++
−⋅+=
+
⋅==
j
j
j
j
jj
jj
ZZ
ZZZZZ
3
68
26
1216
2442
2442||
32
32
3223
( )Ω+=−
−⋅Ω
+
+= j
j
j
j
jZ 3
3
3
3
6823
A
B
Ω2
Ω2j− Ω2
Ω4Ω2j−
Ω2j−
Ω6j
A
B
Ω2
Ω2j− Ω2
Ω4Ω2j−
Ω2j−
Ω6j
1Z
2Z3Z
A
B
1Z
2Z 3Z
23Z
( ) ⇒Ω++−=+= jjZZZEKV 31231Ω= 4EKVZ
43. (Zadatak za vežbu) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .
Rešenje:
Ω+= )08,138,3( jZEKV
44. a) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .
b) Ako je Hz50=f , realizovati dobijenu ekvivalentnu impedansu korišćenjem minimalnog
broja pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora) i odrediti njihove
vrednosti.
A
B
Ω2
Ω4j−Ω2
Ω4
Ω6j
Ω2j
A
B
1Z
23Z
A
B
Ω2
Ω2
Ω2
Ω1 Ω1j
Ω4j
Ω1j−
Ω2j−
Rešenje:
a)
Ω+=Ω+
=Ω−
−⋅
+=Ω
+=
Ω++Ω+Ω
Ω⋅Ω= )67,067,0(
18
1212
33
33
33
4
33
4
)1(22
221 j
j
j
j
j
j
j
j
jj
jZ
Ω=Ω+
+=
Ω++Ω+Ω
Ω+⋅Ω= 67,0
33
22
)1(22
)1(22
j
j
jj
jZ
Ω=Ω−
⋅−=Ω−
−⋅
+
+−⋅=Ω
+
+−=
Ω++Ω+Ω
Ω+⋅Ω= 67,0
2
2
3
2
1
1
1
1
3
2
33
22
)1(22
)1(23 j
j
j
j
j
j
j
j
jj
jjZ
( )Ω−+++= 48,081,067,067,02 jjZEKV
( )Ω+= 19,048,3 jZEKV
A
B
Ω2
Ω2
Ω2
( )Ω11 j+
Ω2j
Ω1j−
A
B
Ω2
Ω2
Ω2
( )Ω11 j+
Ω2j
Ω1j−
1Z
2Z 3Z
B
Ω67,0
Ω2
( )Ω67,067,0 j+
Ω67,0j
Ω1j−
AΩ2
( )Ω167,0 j− ( )Ω67,02 j+
( ) ( )( ) ( )Ω−=+− 48,00,81Ω67,02||167,0 jjj
B
( )Ω67,067,0 j+
AΩ2
( )Ω48,081,0 j−
b) ( ) ⇒+=+=Ω+= fLjRLjRjZEKV πω 219,048,3 Ω= 48,3R µH8,604=L
45. (Zadatak za vežbu) a) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i
B .
b) Ako je Hz100=f , realizovati dobijenu ekvivalentnu impedansu korišćenjem minimalnog
broja pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora) i odrediti njihove
vrednosti.
Rešenje:
a) Ω−= )44( jZEKV
b) ( ) ⇒−=−=Ω−=fC
jR
C
jRjZEKV
πω 244 Ω= 4R µF398=C
R L
A
BΩ2
Ω2
Ω2j
Ω3j−
Ω2j−
Ω2j−
Ω4j
R C
46. Direktnom primenom Kirhofovih zakona i Omovog zakona odrediti napone )(1 tu , )(2 tu i
struje )(1 ti , )(2 ti i )(3 ti u kolu sa slike. Poznato je )150sin(V224)( °+= ttuG ω i krad/s10=ω .
Rešenje:
Ω=⋅⋅==→= 6µH600krad/s10µH600 jjLjZL L ω
Ω−=⋅
−=−==→= 4µF25krad/s10
1µF25 j
j
C
j
CjZC C
ωω
)60cos(V224))150(90cos(V224)150sin(V224)( ttttuG ωωω −°−=°+−°=°+=
( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 60sin60cosV24V2460V24)60cos(V224)( 60jeUUttu
j
GGG ω
⇒
+⋅=
2
3
2
1V24 jUG V)31212( jUG +=
Kontura 1K : 0)31212(46 12 =+−⋅+⋅ jIjI
Kontura 2K : 068)4( 233 =⋅−⋅+−⋅ jIIjI
Čvor A : 321 III +=
+=
+−⋅=
+
+⋅
−⋅=
−⋅=
⋅−+=⋅−+⋅=
321
2223
221
10
63
48
48
48
6
48
6
2
3333)631212(
4
1
III
jI
j
j
j
jI
j
jII
jIjjIjI
+
−
+
−
+
−
)(tuG
Ω4 Ω8
)(1 tu )(2 tu
)(1 ti )(3 ti
)(2 ti
µH600 µF25
+
−
+
−
+
−
GU
Ω4 Ω8
1U 2U
1I 3I
2I
Ω6j Ω− 4j
+
−
+
−
+
−
GU
Ω4 Ω8
1U 2U
1I 3I
2I
Ω6j Ω− 4j
A
1K2K
)31(
)31(
)31(7
)31(30
)31(7
)31(30
5
3
10
3
2
3333 22222
j
j
j
j
j
jIIjIIjIj
−
−⋅
+⋅
+⋅=
+⋅
+⋅=⇒+−=⋅−+
°−∠=−=−++⋅= 11,56A71,2A)543,0655,2())33(331(7
32 jjI
⇒°−∠= 11,56A71,22I )56,1110000cos(A83,3)(2 °−= tti
°∠=+=−⋅−+= 29,05A5,2A)214,1186,2()543,0655,2(2
33331 jjjjI
⇒°∠= 29,05A5,21I )05,2910000cos(A54,3)(1 °+= tti
°∠=+−=+−
⋅−= 105,01A82,1A)756,1471,0(10
63)543,0655,2(3 j
jjI
⇒°∠= 105,01A82,13I )01,10510000cos(A57,2)(3 °+= tti
°∠=+=⋅−=⋅= 78,44V26,16V)93,15258,3(6)543,0655,2(621 jjjjIU
⇒°∠= 78,44V26,161U )44,7810000cos(V23)(1 °+= ttu
°∠=+=−⋅+−=−⋅= ,0151V27,7V)884,1024,7()4()756,1471,0()4(32 jjjjIU
⇒°∠= ,0151V27,72U )01,1510000cos(V28,10)(2 °+= ttu
47. Za kolo sa slike je poznato )2cos(V212)( fttuG π= , )2cos(A22)( fttiG π= i kHz5=f .
Odrediti struju )(0 ti :
a) primenom metode potencijala čvorova;
b) primenom metode superpozicije;
c) primenom metode transformacije izvora;
d) primenom Tevenenove teoreme;
e) primenom Nortonove teoreme.
Rešenje:
Ω=⋅⋅⋅==→= 1µH83,31000Hz52µH83,31 jjLjZL L πω
Ω−=⋅⋅
−=−==→= 1µF83,31000Hz52
1µF83,31 j
j
C
j
CjZC C
πωω
( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosV12V120V12)2cos(V212)( 0jeUUfttu
j
GGG π
( ) ⇒+⋅= 01V12 jUG V12=GU
( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosA2A20A2)2cos(A22)( 0jeIIftti
j
GGG π
( ) ⇒+⋅= 01A2 jIG A2=GI
+
−
)(tuG
Ω1
Ω1
)(0 ti
µH83,31
µF83,31
)(tiG
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j
a)
−=+++−
+=
−=++−
=−
−=
Ω−+
Ω+
Ω−−
Ω=
Ω−−
Ω−+
Ω+
Ω
2)1()12(
12
2)1(
12
A21
1
1
1
1
1
1
V12
1
1
1
1
1
1
1
1
22
21
21
21
21
21
VjVjj
VjV
VjVj
VjV
Vj
Vj
Vj
Vjj
( )V2,56,1V5
26
5
8
2
2
2
j122
2
j1222 jj
j
j
jjV +=
+=
−
−⋅
+
+−=
+
+−=
( )V6,18,6V5
8
5
3412 21 jjVjV +=
+=+=
( ) ⇒°∠=+=Ω
= 9,72A44,5A2,56,11
2
0 jV
I )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π
b)
( ) Ω+=−+
−=−= )1(
1
)1(1||1 j
jj
jjjjZEKV
5
123612
2
2
2
112
11
1
11
1
1
j
j
j
j
j
j
jU
Z
ZU G
EKV
EKV +=⋅
−
−⋅
+
+=⋅
++
+=⋅
Ω+=′
A5
24
5
12
1
1
)1(5
1236
)1(5
1236
1
1
0
+=
+
+⋅
−
+=
−
+=
−
′=′ j
j
j
j
j
j
j
j
UI
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j1V 2V
+
−
Ω1
GU1EKVZ
+
−
1U ′
+
−
Ω1
Ω1
0I ′GU Ω1j
Ω− 1j
+
−
1U ′
1EKVZ
( ) Ω−
=+
⋅+−=+−=
2
1
1
1||12
j
j
jjjjZEKV
A5
2
5
4
3
3)2(
3
1)2(
3
1)2(
12
12
1
)(12
2
0
+−=
+
+⋅−⋅
−
−=−⋅
−
−=−⋅
+−
−
=−⋅Ω+
=′′ jj
j
j
j
j
j
j
j
IZ
ZI G
EKV
EKV
A5
26
5
8A
5
2
5
4A
5
24
5
12000
+=
+−+
+=′′+′= jjjIII
( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π
c)
GIΩ1
0I ′′2EKVZ
GI
Ω1
Ω1
0I ′′
Ω1j
Ω− 1j
2EKVZ
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j
A121
V12=
ΩΩ1
Ω
+=
2
1
2
1||1 jj
GIΩ1 Ω1
0I
A12 Ω1j
Ω− 1j
Ω
+
2
1
2
1j
+
−V)66(
2
1
2
1A12 jj +=Ω
+⋅
GIΩ1
0I
Ω− 1j
+
−
V)66( j+
( )Ω+ 5,05,0 j
( )Ω− 5,05,0 j
A)1(
)1212(
)5,05,0(
V)66(
j
j
j
j
−
+=
Ω−
+( )Ω− 5,05,0 j
GIΩ1
0I
( )Ω− 5,05,0 jA)1(
)1212(
j
j
−
+
A5
26
5
8
1
1410
)5,05,0(1
5,05,00
+=
−
+⋅
−+
−= j
j
j
j
jI
( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π
d)
Kontura 1K : 011V12 21 =Ω⋅−Ω⋅− jII
Čvor D : A221 += II
A)1(51
100212 222 j
jIjII −=
+=⇒=⋅−−−
V)75(2)55(2)(2 jjjjjIjUU OVT +=+−⋅=⋅−−⋅==
( ) Ω−
=+
⋅+−=+−=
2
1
1
1||1
j
j
jjjjZT
Ω1
0I
( )Ω− 5,05,0 jA)1(
)1410(
j
j
−
+
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j
A
B
+
−
Ω1
V12 Ω1j
Ω− 1j
+
−
OVU
A
B
D
1K
1I
2I
A2
Ω1
Ω1j
Ω− 1j
TZ
A
B
+
−
A
B
TZ
TU
A5
26
5
8
5,05,1
75
15,05,0
750
+=
−
+=
+−
+= j
j
j
j
jI
( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π
e)
Kontura 1K : 011V12 21 =Ω⋅−Ω⋅− jII
Kontura 2K : 0)1(1 32 =Ω−⋅−Ω⋅ jIjI
Čvor A : A23 += KSII
Čvor D : A221321 ++=⇒+= KSIIIIII
jI
IIjIjI
jIII
jIjI
jIII
KS
KSKS
KSKSKS
KS
KS 122
2)()2(
0)2(2212
0)()2(
0212
222
22
−−=
−−=⇒−⋅+=⋅
=⋅++−−++
=−⋅+−⋅
=⋅−−−−
A)122( jII KSN +−==
+
−
A
B
Ω
−
2
1
2
1j
V)75( j+ Ω1
0I
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j
A
B
+
−
Ω1
V12 Ω1j
Ω− 1j
A
B
D
1K
1I
2I
A2KSI
3I
2K
( ) Ω−
=+
⋅+−=+−=
2
1
1
1||1
j
j
jjjjZN
A5
26
5
8)122(
15,05,0
5,05,00
+=+−⋅
+−
−= jj
j
jI
( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π
48. Za kolo iz prethodnog zadatka odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i
prividnu snagu koja se razvija na otporniku kroz koji protiče struja 0i .
Rešenje:
Kompleksna snaga: ⇒+⋅=⋅Ω=⋅⋅Ω=⋅= ∗∗ )2,56,1(111 222
00000 IIIIUS 6,29=S
jQPS +=
Aktivna snaga: W6,29=P Reaktivna snaga: VAr0=Q
Prividna snaga: ⇒+== 22QPSS VA6,29=S
Faktor snage: ⇒=S
Pφcos 1cos =φ
Ω1
Ω1j
Ω− 1j
NZ
A
B
A
B
NI NZ
Ω1
0I
A
B
A)122( j+− Ω
−
2
1
2
1j
+
−GI
Ω1
Ω1
0I
GU Ω1j
Ω− 1j
+
−
0U
49. Za kolo sa slike odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu koja
se razvija na potrošaču PZ .
Rešenje:
V)21(6 jUT +−=
Ω−= )105( jZT
+
−
Ω+ )1(5,2 j
Ω+= )43( jZP
Ω5j
Ω− 5jV12j− A)1(6,0 j+−
+
−
Ω+ )1(5,2 j
Ω+= )43( jZP
Ω5j
Ω− 5jV12j− A)1(6,0 j+−
B
A
+
−
A
B
TZ
TU
+
−
A
B
Ω+= )43( jZPV)21(6 j+−
Ω− )105( j
+
−
Ω+= )43( jZPV)21(6 j+−
Ω− )105( j
+
−
PU
PI
)A6,02,1(A5
)2(3
)43()105(
V)21(6j
j
jj
jIP +−=
+−=
Ω++Ω−
+−=
Kompleksna snaga:
⇒+−⋅+=⋅=⋅⋅=⋅= ∗∗ )6,0)2,1(()43( 222
jIZIIZIUS PPPPPPP2,74,5 jS +=
jQPS +=
Aktivna snaga: W4,5=P
Reaktivna snaga: VAr2,7=Q
Prividna snaga: ⇒+== 22QPSS VA9=S
Faktor snage: ⇒=S
Pφcos 6,0cos =φ
50. Kolo naizmenične struje sa slike radi u ustaljenom prostoperiodičnom režimu na frekvenciji
kHz50=f . Poznato je da je )452cos(V2)(1 °+= fttug π , )2sin(V22)(2 fttug π−= ,
)452cos(A2)(1 °−= fttig π i )2sin(A2)(2 fttig π−= .
a) Odrediti parametre ekvivalentnog Tevenenovog generatora u kompleksnom domenu za deo
kola levo od tačaka A i B.
b) Odrediti elemente (i vrednosti elemenata) koji treba da sačinjavaju potrošač PZ , tako da se na
njemu razvija maksimalna aktivna snaga.
c) Pod uslovom iz tačke b) odrediti struju ( )tiP .
µF59,1
)(1 tug )(1 tig
)(2 tig
)(2 tug
µH18,3
+
−
+
−
A
B
PZ
)(tiP
µH54,9Ω3
Rešenje:
V)1(2)452cos(V2)( 45
11 jeUfttuj
gg +=⋅=⇒°+= °π
V22)2sin(V22)( 90
22 jeUfttuj
gg =⋅−=⇒−= °−π
A)1(2)452cos(A2)( 45
11 jeIfttij
gg −=⋅=⇒°−= °−π
A11)2sin(A2)( 90
22 jeIfttij
gg =⋅−=⇒−= °−π
Ω=⋅⋅⋅==→= 1µH18,3000Hz502µH18,3 111 jjLjZL L πω
Ω=⋅⋅⋅==→= 3µH54,9000Hz502µH54,9 222 jjLjZL L πω
Ω−=⋅⋅
−=−==→= 2µF59,10000Hz52
1µF59,1 j
j
C
j
CjZC C
πωω
a)
2)3( jjjUU OVT ++⋅−==
V)1( jUT −=
A)1( j−
+
−
+
−
A
B
PZ
PI
Ω3
Ω− 2j
Ω3j
Ω1j
A1j
V)1( j+
V2j
A)1( j−
+
−
+
−
A
B
Ω3
Ω− 2j
Ω3j
Ω1j
A1j
V)1( j+
V2j +
−
OVU
Ω+= )3( jZT
b)
⇒= ∗
TP ZZ Ω−= )3( jZP
Ω= 3PR µF18,3=PC
c) °−⋅=−=−
=+
= 45A6
2)A
6
1
6
1(A
6
1 j
PT
T
P ejj
ZZ
UI
⇒°−= )452cos(A3
1)( fttiP π )45100000cos(A
3
1)( °−= ttiP π
A
B
Ω3
Ω− 2j
Ω3j
Ω1j
+
−
TZ
+
−
A
B
TZ
TU
+
−
A
B
TZ
TUPZ
PI
PR PC