Kapitel 1

FOURIER Transformation

Definition:

F [f(x)] = F (s) = 12

eixf(x)dx

1. Lemma von Riemann-Lebesgue:

Es existiere F () = F [f(x)]. Dann gilt:

lim||

|F ()| = 0.

2. Eigenschaften der Faltung:

Die Faltung f g besitzt die folg. algebraischen Eigenschaften:

f g = g f . . . Kommutativitat

f (g h) = (f g) h . . . Assoziativitat

f (g + h) = f g + f h . . . Distributivitat

3. Formel von Plancherel bzw.Parseval:

Setzen wir im Faltungssatz fur die inverse Fourier Transformation

[f g](x) =

f()g(x )d = F1[

2F ()G()] =

eixF ()G()d

x = 0, so folgt zunachst die Beziehung

f()g()d =

F ()G()d. (1.1)

Speziell fur g() = f() folgt dann aus (1.1) unter Verwendung des Konjugationssatzes:F [f(x)] = F [f(x)]:

|f(x)|2dx =

|F ()|2d.

Als Anwendung der Formel von Plancherel betrachten wir das Integral 0

sin2 x

x2dx.

1

Dazu wahlen wir in der Formel von Plancherel f(x) = sinxx

mit der Fourier Transformierten

F () =/2 fur || < 1 und F () = 0 sonst (vergleiche Vorlesung). Damit erhalt man:

0

sin2 x

x2dx =

1

2

sin2 x

x2dx =

4

11d =

2.

1.1 BEISPIELE

1. Bestimme die Fourier Transformierte der Funktion f(x) = (1 + x)e|x|.

Losung:

(a) Direkt:

2F () =

(1 + x)e|x|eixdx =

0

(1 + x)ex(1i)dx+

0

(1 + x)ex(1+i)dx =

= (1 + x)ex(1i)

1 i

0 1

1 i

0

ex(1i)dx (1 + x)ex(1+i)

1 + i

0

+1

1 + i

0

ex(1+i)dx

=1

1 i 1

(1 i)2ex(1i)

0

+1

1 i 1

(1 + i)2ex(1+i)

0

=2

1 i+

1

(1 i)2+

1

(1 + i)2.

D.h.: F () =12

1 2i+ 2

(1 + 2)2

(b) Berechnung unter Verwendung gewisser Eigenschaften der Fourier Transformation

Wegen der Linearitat der Fourier Transformation gilt:

F [(1 + x)e|x|] = F [e|x|] + F [xe|x|]

Weiters gilt fur g(x) = e|x| (siehe Vorlesung):

G() := F [g(x)] =

2

1

1 + 2.

Von F [xg(x)] = iG() erhalt man

F [(xe|x|] = i

2

d

d

(1

1 + 2

)=

2

2i(1 + 2)2

.

Addition der beiden Resultate liefert

F [(1 + x)e|x|] = 12

1 2i+ 2

(1 + 2)2.

2. Bestimme die Fourier Transformierte der Funktion

f(x) =

{ex fur x < 0

ex fur x > 0.

Losung:

2F [f(x)] =

2F () =

0

exeixdx

0

exeixdx =

0

ex(1i)dx+

0

ex(1+i)dx =

=ex(1i)

1 i

0 e

x(1+i)

1 i

0

=1

1 i 1

1 + i=

2i

1 + 2.

Ergebnis:

F [f(x)] =

2

i

1 + 2

Hinweis:Wegen f(x) = (e|x|) folgt das Ergebnis auch mittels des Differentiationssatzes aus der Bezie-hung

F [e|x|] =

2

1

1 + 2

3. Bestimme die Fourier Transformierte von

f(x) =x

(1 + x2)2.

Losung:

Es gilt:

f(x) = 12

d

dx

(1

1 + x2

).

Wegen F [g(x)] = iF [g(x)] gilt mit g(x) = x1+x2

und F [ 11+x2

] =

2e|| :

F [f(x)] = i

2

2 e||

4. Bestimme die Fourier Transformierte von

f(x) =x

x2 + 2x+ 2.

Losung:

Es ist: f(x) = x(x+1)2+1

. Aus F [ 1t2+1

] =

2e|| und dem Verschiebungssatz folgt

F [f(x)] =

2

ei e||.

5. Bestimme die Fourier Transformierte der Funktion

f(x) = cos (ax2), a > 0.

Losung:

Es gilt:

F [cos(ax2)] = 12

cos (ax2)eixdx =12

cos (ax2) cos (x)dx+ 0.

Mit der Relation

cos cos =1

2[cos( + ) + cos( )]

erhalt man

F [f(x)] = 12

2

[cos (ax2 + x) + cos (ax2 x)]dx.

Quadratische Erganzung

ax2 x =[

ax 2a

]2

2

4a

und anschliessende Substitution

=ax+

2a

bzw. =ax

2a

liefert

F [f(x)] = 12

2a

{

cos

(2

2

4a

)d +

cos

(2

2

4a

)d

}=

=12a

cos

(2

2

4a

)d =

12a

[cos (2) cos

(2

4a

)+ sin (2) sin

(2

4a

)]d.

Daraus folgt wegen der FRESNEL Integrale

cos (2)d =

2

2bzw.

sin (2)d =

2

2:

F [cos(ax2)] = 12a

[cos

(2

4a

)+ sin

(2

4a

)]=

12a

cos

(2

4a

4

).

6. Bestimmef(x) = F1

[ie||

].

Losung:

Mit dem Integralsatz F[ x

f()d

]=F ()

ifolgt fur F () = ie|| :

F[ x

f()d

]= e|| d. h.

x

f()d = F1[e||] =

2

1

1 + x2

(siehe Vorlesung). Differentiation nach x liefert:

f(x) =

2

2x

(1 + x2)2.

7. Bestimme f(x) so, dass gilt:

F () := F [f(x)] =

{24

(2 2) fur < x < 0 sonst

Losung:

Es gilt:

f(x) =12

F ()eixd =1

42

0

(2 2) cos (x)d,

woraus durch zweimalige partielle Integration folgt

f(x) =1

2x

[(2 2) sin (x)|0 + 2

0

sin (x)d

]=

=1

x2

[ cos (x)

0

+

0

sin (x)d

]=

1

x2

[ cos (x) + 1

xsin (x)

0

].

Ergebnis:

f(x) =sin(x) x cos(x)

x3

8. Bestimme unter Verwendung der Fourier Transformation eine Losung der Dgl.

y + a2y = g(x), y = y(x), < x

Setzt man Y () := F [y(x)] und G() := F [g(x)], so folgt daraus wegen F [y(x)] = (i)2F [y(x)]

(2 + a2)Y () = G() bzw. Y () =G()

2 + a2.

Die Umkehrtransformation unter Berucksichtigung von

F1[

1

2 + a2

]=

2

1

aea|x|

und des Faltungssatzes liefern:

y(x) =1

2a

g()ea|x|d.

9. Berechne unter Verwendung der Fourier Transformation das Integral

I(a, b) :=

dx

(x2 + a2)(x2 + b2).

Losung:

Nach dem Faltungssatz gilt

(f g)(x) =

2F1[F ()G()] =

F ()G()eixd.

Speziell fur x = 0 folgt daraus

f()g()d =

F ()G()d (1.2)

Mit f(x) =1

x2 + a2und g(x) =

1

x2 + b2folgt wegen F () =

a

2ea||und G() =

b

2eb|| :

I(a, b) =

2ab

e(a+b)|| d =

ab

0

e(a+b) d =

ab(a+ b)

10. Berechne unter Verwendung der Fourier Transformation das Integral

I(a) :=

0

dxx(x2 + a2)

a > 0.

Losung:

Die Fourier Transformationen von f(x) =1|x|

und g(x) =1

x2 + a2sind F () =

1||

und

G() =

a

2ea|| (siehe Vorlesung). Unter Verwendung von Formel (1) erhalt man nach

symmetrischer Erweiterung des gegebenen Integrals auf die gesamte reelle Achse

I(a) =1

2

dx|x|(x2 + a2)

=

2

1

2a

1||ea||d =

2

1

a

0

1||ea||d.

Die Substitutionen = 2 und = /a liefern

I(a) =

2

2

a

0

ea2

d =

2

a3

0

e2

d =

2

a3

2=

2a3

.