Fourier Transformation

Sinusschwingungen

• Jede Sinusfunktion ist beschreibbar durch

mitA = Amplitudev = Frequenzϕ = Phase

• Das funktioniert natürlich auch mit Cosinusfunktionen, da

( ) sin(2 )f n A vnπ ϕ= +

sin(2 ) cos(2 )2

A vn A vn ππ ϕ π ϕ+ = + +

ϕ v

A

Zerlegung von Funktionen in Wellen

Jede Funktion kann durch eine (ggf. unendliche) Folge von Sinus-funktionen unterschiedlicher Frequenzen dargestellt werden.

Fourier-Reihen

• Die Fourier Reihe ist die Summe der Schwingungen, die eine Funktion beschreiben

• Der Phasenwinkel kann durch eine Phasenverschiebung (DCT*) oder durch eine zweite Winkelfunktion (DFT**) ersetzt werden

*DCT = Diskrete Cosinus Transformation**DFT = Diskrete Fourier Transformation

),sin()(1

0v

N

vvv nAnf ϕω +=∑

−

=

[ ]∑−

=

+=1

0)sin()cos()(

N

vvvv ninAnf ωω

vπω 2=

Diskrete Fouriertransformation

• Wegen der Euler Identität

gilt

• Schreibt man nun die Amplituden als Funktion F(v) ergibt sich die inverse Fouriertransformation

)sin()cos( xixeix +=

∑−

=

=1

0)exp()(

N

vvv N

niAnf ω

,)2exp()()(1

0∑−

=

=N

v NinvvFnf π Nn ..0=

Diskrete Fouriertransformation (cont.)

• Die Fouriertransformation ergibt sich nun als Umkehrung der inversen Fouriertransformation

• Der Realteil der komplexen Zahlen sind dabei die Cosinus-schwinungen, der Imaginaerteil die Sinusschwinungen, also

,)2exp()()(1

0∑−

=

−=N

n NinvnfvF π Nv ..0=

∑−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

1

0)2sin()2cos()()(

N

nnv

Ninv

NnfvF ππ

Diskrete Fouriertransformation (cont.)

• Die Fouriertransformation ergibt sich nun als Umkehrung der inversen Fouriertransformation

• Der Realteil der komplexen Zahlen sind dabei die Cosinus-schwinungen, der Imaginaerteil die Sinusschwinungen, also

1

0

1 2( ) ( ) exp( ),N

n

invF v f nNNπ−

=

= −∑ Nv ..0=

1

0

1 2 2( ) ( ) cos( ) sin( )N

nF v f n nv i nv

N NNπ π−

=

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Beispiel

Fouriertransformation auf Bildern

• Bei der n-dimensionalen Fouriertranformation wird einfach die Transformation sukzessive auf alle Dimensionen hintereinander angewandt, also im zweidimensionalen Fall

für alle u=0,..,M und alle v=0,..,N

• Das kann zusammengefasst werden zu

,)2exp()2exp(),(),(1

0

1

0∑ ∑−

=

−

=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

M

m

N

n Ninv

MimunmfvuF ππ

∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

1

0

1

0)(2exp),(),(

M

m

N

n Nnv

MmuinmfvuF π

Fouriertransformation auf Bildern

• Bei der n-dimensionalen Fouriertranformation wird einfach die Transformation sukzessive auf alle Dimensionen hintereinander angewandt, also im zweidimensionalen Fall

für alle u=0,..,M und alle v=0,..,N

• Das kann zusammengefasst werden zu

1 1

0 0

1 2 2( , ) ( , ) exp( ) exp( ),M N

m n

imu invF u v f m nM NMNπ π− −

= =

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

1 1

0 0

1( , ) ( , ) exp 2 ( )M N

m n

mu nvF u v f m n iM NMN

π− −

= =

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑

Beispiel

Beispiel