Kleiner Ausflug in die Balkentheorie

Die Durchbiegung als zentrales Element

Dipl.- Ing. Bjrnstjerne Zindler, M.Sc.www.Zenithpoint.de

Erstellt: 28. Mrz 2014 Letzte Revision: 17. Mrz 2016

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 3

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie 42.1 Einleitung - der Euler- Bernoulli- und der Timoshenko- Balken . . . . . . . . . . . . 42.2 Der Euler- Bernoulli- Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Der Timoshenko- Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Der Balken in der Plattentheorie 113.1 Einleitung der Plattenstreifen als Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Der Plattenstreifen als Kirchhoff- Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Der Plattenstreifen als Mindlin- Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Der Balken in der Scheibentheorie 16

5 Der Balken in der Schalentheorie 195.1 Berechnung eines Biegebalken ber die Kesselformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Berechnung eines Biegebalken ber die Membrantheorie . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Die Durchbiegung als zentrales Element 256.1 Vergleich der Durchbiegungen der verschiedenen Balkentypen . . . . . . . . . . . 256.2 Die Verhltnisse der Durchbiegungen der verschiedenen Balkentypen . . . . . . . 26

7 Anhang 277.1 Zum Thema Balkenbreite b = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Nachweis, dass rm >> h gilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Literatur[Bara] Thorsten Bartel. Hhere Festigkeitslehre. Technische Universitt Dortmund. Seite 66 - 70.

[Barb] Thorsten Bartel. Hhere Festigkeitslehre. Technische Universitt Dortmund. Seite 71 - 75.

[JP] Uwe Starossek Jrgen Priebe. Stahlbau I. Technische Universitt Hamburg- Harburg,Institut fr Baustatik und Stahlbau. Seite 3-33.

[Mat] Friedrich U. Mathiak. Ebene Flchentragwerke II. Hochschule Neubrandenburg. Seite 133- 137 , 183 - 207.

[Vid05] Dr.-Ing. Inna Videkhina. Einfhrung in die Theorie der Platten. Universitt Mnchen,2005. Seite 9, 26.

1

Literatur

Gewidmet im Allgemeinen

dem ungarischen Lande

Gewidmet im Speziellen

Familie und FrauVajda Bln

und der GemeindeZalasznt

MagyarorszgUngarn

2

1 Einleitung

1 EinleitungWie immer, gleich zu Anfang meiner Arbeitsbltter, hier ist nichts vollstndig und nichts perfekt.Auch (Schreib)Fehler knnen vorkommen. Arbeitsbltter dien(t)en mir lediglich zur tieferen Einar- Einleitung Ibeitung in ein Thema. Hier vorliegend ein sehr kleiner Einblick in die Balkentheorie. Die Arbeits-bltter sind oftmals schon sehr alt. Doch erst jetzt komme ich dazu, diese aufzuschreiben.

Vorliegend wird, wie schon gesagt, die Balkentheorie beleuchtet. Als zentrales Element die Durch-biegung des betrachteten Balken. Einen Balken zu beschreiben ist gar nicht so einfach. Viele Wissen-schaftler und Ingenieure haben Modelle entwickelt, um einen Balken mathematisch zu beschreiben.Mehr oder weniger aufwendig sind dann die Berechnungsgrundlagen. Am Ende ergeben sich oftsehr hnliche Werte, weshalb man sich oftmals fragt, ob das verwendete Modell optimal fr den vor-liegenden Anwendungsfall ist - ... wegen eines Millimeter weniger Durchbiegung diesen Aufwandbetreiben? ....

Arbeitswerkzeug allen Handelns ist das Biegemoment. Dort begann all das Leben im gekrmmtenBalkenuniversum. Denn ...

M = EI

... am Anfang war das Moment.

3

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

2.1 Einleitung - der Euler- Bernoulli- und der Timoshenko- BalkenDie Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken bei Auftreten einer Last. Die technische Me-Balkentheoriechanik ist die ihr zugrunde liegende Theorie.

Von Interesse sind Lngs-, Biege- und Querverformung und die Biegelinie.

Zur Berechnung erforderlich ist die Biege- und Schubsteifigkeit EI bzw. GA mit dem Elastizitts-modul E, dem Trgheitsmoment I , dem Gleitmodul G und die Querschnittsflche A.

Ein Balken ist biegesteif. Wird ein Balken nur entlang seiner Lngsachse belastet nennt man denBalken ein Stab. Bei gengend hoher Belastung wird der Stab erwartungsgem ausknicken undwird dann Knickstab genannt.

Im Allgemeinen wird als Balken einen Euler- Bernoulli- Balken (EBB) verstanden. Fr den EBBgilt - Querschnitte, die im unbelasteten Zustand rechtwinklig zur Nulllinie ausgerichtet sind, bleibenauch bei der Verformung eben. Fr die erweiterte Balkentheorie wird das nicht mehr angenommen,dort ist die Querschnittsebene um einen Schubwinkel gedreht. Dieser Balken ist der Timoshenko-Balken (TB). Die TB- Theorie bercksichtigt die Schubverformung der Querschnittsebene.

Fr die Berechnung der Belastungsgren des Balkens knnen 3 Theorien angewandt werden, wel-che sich aufsteigend durch angenommene oder reale Imperfektionen und Verformungen verkompli-zieren und so das wirkliche Abbild immer besser darstellen. Das bedeutet jedoch nicht, dass nur dieTheorie III. Ordnung nutzbare Ergebnisse liefert.

Die Berechnungstheorien I. bis III. Ordnung

Fr die Definition der einzelnen Theorie ist Unterscheidungsmerkmal die Verformung des Balkens.

Theorie I. Ordnung: Es werden am unverformten Balken die Krfte und Momente ermittelt.

Theorie II. Ordnung: Es werden am verformten Balken die Krfte und Momentelementermittelt. Bei deren Betrachtung wird jedoch ein lineares, mathematisches Modell genutzt.

Theorie III. Ordnung: Es werden am verformten Balken die Krfte und Momente ermittelt.Bei deren Betrachtung werden auch nichtlineare, mathematische Modelle genutzt.

Im weiteren Verlauf gilt EI = const. ber den gesamten Querschnitt.

Ein Beispielsmodell fr die unterschiedliche Betrachtungsweise innerhalb der Theorien.

Theorie I. Ordnung

Fr einen auermittig e0 gedrckten Stab gilt beispielshalber:

IM = F e0

4

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

Theorie II. Ordnung

Vorverformung f mit e = e0 + f :

IIM = F (e0 + f)

IIM = IM +M0

Theorie III. Ordnung

Vorverformung f mit e = e0 cos+ f :

IIIM = F (e0 cos+ f)

IIIM = IM cos+M0

IIIM = IM (cos 1) + IIM

5

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

2.2 Der Euler- Bernoulli- Balken[Bara]

Die bernoullischen Annahmen sind nach Jakob I. Bernoulli benannte Vereinfachungen der Balken-theorie, die sich mit dem Verhalten belasteter Balken beschftigt.Euler- Bernoulli

Annahmen

1. Die Lnge ist viel grer als der Querschnitt.

2. Der Schwerpunkt des Querschnitts unterliegt lediglich einer Verschiebung.

3. Die Verformungen sind klein.

4. Es tritt keine Verwlbung auf.

5. Nur ein eindimensionaler Spannungszustand tritt auf.

Im weiteren Verlauf gilt EI = const. und GA = const.

Gegeben sind zwei Differentialgleichungen:1,2

M = EI Q = k GA ( + )

[Nm] =

[Nm2

][m1

][N ] = [1] [N ] [1 + 1]

Mit k einem Korrekturfaktor um die Ungleichverteilung der Schubspannungen im Balken ausglei-chen zu knnen. G dem Gleitmodul und A der Querschnittsflche. kGA selbst ist dann die Schub-steifigkeit. ist die Verdrehung und die Verzerrung.

Fr den EBB gilt Schubstarrheit. Bedeutet:

+ = 0

=

Der EBB ist damit definiert.3

M = EI Q = 0

EI IV q = 0 EI + F = 0 EI M = 0

Mit den Einheiten:[Nm2

][m3

][Nm1

]= 0

[Nm2

][m2

]+ [N ] = 0

[Nm2

][m1

] [Nm] = 0

=

[m0]

= [1] =[m+1

]1Zur Ermittlung der folgenden Differentialgleichungen siehe unter Naviersche Gleichung.2Winkel in Uhrzeigerrichtung werden hier positiv und Winkel entgegen negativ definiert.3Zur Ermittlung der folgenden Differentialgleichungen siehe unter Naviersche Gleichung.

6

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

Berechnung der Durchbiegung fr den EBB. So ist gegeben

E I IV q = 0

So soll hier q eine Flchenlast darstellen, zum Beispiel die Eigenlast des Balkens, dann gilt fr diefolgenden Integrale

=q

E Idx

=

q

E I

dx =q

E I

(x+ C1) dx

=

q

E I(

1

2 x2 + C1 x+ C2

)Die bekannten Randbedingungen bestimmen die Integrationskonstanten.

(0) = 0 C2 = 0

Und fr C1 (L) = 0 C1 = 12 L

= M =

q

2 E I(x2 x L

)Es wird weiter integriert.

=q

2 E I (

x2 x L) dx

= EBB =

q

2 E I (

x2 x L) dx

EBB =

q

2 E I (

1

3 x3 1

2 x2 L+ C3

) dx

EBB =

q

2 E I(

1

3 1

4 x4 1

2 1

3 x3 L+ C3 x+ C4

)Die bekannten Randbedingungen bestimmen die Integrationskonstanten.

(0) = 0 C4 = 0

Und fr C3 (L) = 0 C3 = 112 L

3

EBB =

q

2 E I(

1

12 x4 1

6 x3 L+ 1

12 L3 x

)

EBB =q L4

24 E I(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)Wobei L die Auflagerlnge des Balkens darstellt. Die Eigenlast q wird mit 1 angenommen. DasTrgheitsmoment I mit dem eines rechteckigen Querschnitts belegt.

I =b h3

12

Fr die Balkenbreite gilt hier b = 1.

EBB =1

2 L

4

E h3(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)

7

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

2.3 Der Timoshenko- Balken[Barb]

Die Theorie um den TB stellt eine Erweiterung der klassischen EBB- Theorie dar, bei der zustz-lich neben der vernderten Trgheit eines verformten Balkens auch Schubverformung bercksichtigtTimoshenkowird.

Damit erweitert sich die Bernoullischen- Annahme um eine weitere.

1. Die Lnge ist viel grer als der Querschnitt.

2. Der Schwerpunkt des Querschnitts unterliegt lediglich einer Verschiebung.

3. Die Verformungen sind klein.

4. Es tritt keine Verwlbung auf.

5. Nur ein eindimensionaler Spannungszustand tritt auf.

6. Die Querschnittsnormale ist nicht unbedingt parallel zur Tangente der Biegelinie.

Durch das Zulassen zustzlicher Balkendeformation infolge Schub verringert sich die Steifigkeit desBalkens. Die Folge sind hhere Deformationen und geringere Eigenfrequenzen (werden nicht be-trachtet).4

Die Aussage, dass Deformationen sich grundstzlich erhhen infolge Schub, gilt nur fr den Ver-gleich innerhalb einer Theorienfamilie. Benutzt man mathematische Beschreibungen und Anstze,welche immer feiner die physikalische Realitt eines Balkens beschreiben, so kann sich durchaus imEndergebnis eine kleinere Deformation ergeben.

+ = 0

= + =

= + =

Der Timoshenko- Balken ist damit definiert.

M = EI Q = k GA ( + )

M = EI ( ) Q = k GA

Mit den Einheiten:

[Nm] =[Nm2

][m1 m1

][N ] = [1] [N ] [1]

4Winkel in Uhrzeigerrichtung werden hier positiv und Winkel entgegen negativ definiert.

8

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

Die Verzerrung ist ermittelbar.5

k GA + q = 0 k GA F = 0

[1] [N ]

[m1

]+[Nm1

]= 0 [1] [N ] [1] [N ] = 0

Eine Verbindung zwischen Schub- und Biegesteifigkeit steht nun auch zur Verfgung.

k GA EI ( ) = 0

[1] [N ] [1]

[Nm2

][m2 m2

]= 0

Der Euler- Bernoulli- Balken ist ein Sonderfall des Timoshenko- Balkens.

M = EI lim0

( ) Q = k GA lim0

M = EI Q = 0

Zum Schluss ein Vergleich fr die Durchbiegungen. Der Wert der Durchbiegung beluft sich aufdie (Grund)Durchbiegung nach Euler und zustzlich durch die Verzerrung . So gilt fr vorliegendeDefinition der Drehwinkelvorzeichen:

TB = EBB

TB = EBB

Mit obig getroffener Annahme:Q

k GA=

TB = EBB

1

k GA

Q (x) dx

Bei einem angenommenen, gleichmig, flchenbelasteten Balken (z. B. durch Eigengewicht q)kann der Querkraftverlauf folgendermaen dargestellt werden:

ddxQ (x) q Q (x)

q dx

TB = EBB +

1

k GA

q dx2

Fr die Flchenlast, das Eigengewicht wird q = 1 gesetzt.

TB = EBB +1

k GA

(x+ C1) dx

TB = EBB +

1

k GA 1

2 x2 + 1

k GA C1 x+

1

k GA C2

Die Integrationskonstante C2 wird ber die Randbedingung am Auflager bestimmt.

x = 0 TB = 0 EBB = 0

0 = C2

TB = EBB +

1

k GA 1

2 x2 + 1

k GA C1 x

5Zur Ermittlung der folgenden Differentialgleichungen siehe unter Naviersche Gleichung.

9

2 Der Balken in der klassischen Balkentheorie

Die Integrationskonstante C1 wird ber die Randbedingung am Auflager bestimmt.

x = L TB = 0 EBB = 0

L

2= C1

TB = EBB +

x

2 k GA (x L)

Die Querdehnungszahl wird eingefgt und G eliminiert.

=E

2 G 1

2 G = E

1 +

TB = EBB +

x (1 + )k A E

(x L)

Die Flche A des TB wird explizit angegeben.

TB = EBB +x

k b h E (x L) (1 + )

Fr den TB wird eine verallgemeinerte Breite von b = 1 angenommen.

TB = EBB +(1 + )

k h E (x L) x

Der Korrekturfaktor k fr den Querschubeinfluss ist bei einem rechteckigen Balken in etwa 5/6, freinen kreisfrmigen Querschnitt in etwa 9/10.

TB = EBB +6

5 (1 + )h E

(x L) x

10

3 Der Balken in der Plattentheorie

3 Der Balken in der Plattentheorie

3.1 Einleitung der Plattenstreifen als BalkenDie Plattentheorie beschreibt die Eigenschaften von Platten unter Belastung.

Um die Berechnungen innerhalb der Plattentheorie pragmatischer zu gestalten, bedient man sich ei- Plattentheorieniger Vereinfachungen und legt fest, unter welchen Randbedingungen sie gltig sind. Unter anderen:

1. Die Dicke der Platte ist klein im Vergleich zu den anderen geometrischen Ausdehnungen.

2. Die Verformungen und Durchbiegungen sind klein gegenber der Plattendicke.

3. Gerade Linienabschnitte, die orthogonal auf der Mittelflche stehen bei Abwesenheit einerBelastung werden auch im verformten Zustand als gerade und orthogonal zur verformten Mit-telflche angenommen.

Platten werden ausschlielich normal zur Mittelebene beansprucht, was das wesentliche Unterschei-dungsmerkmal zur Scheibe ist.

Besonders die dritte Randbedingung lsst vermuten, dass die Plattentheorie eine verallgemeinerteTheorie der Balkentheorie beinhaltet.

Platten sind eine Sonderform von Schalen neben der Scheibe und der rotationssymmetrischen Scha-le.

Verformungen werden als klein angenommen und daher ber die Theorie I. Ordnung ermittelt, essei, eine endliche Verformung ist abzusehen, dann muss ber die Theorie II. Ordnung gerechnetwerden. [Vid05]

Platteneigenschaften

sehr kleineDurchbiegungen

kleineDurchbiegungen

groe Durchbiegungen

weniger dnn dnn sehr dnn

Lh {8 . . . 10} {8 . . . 10}

Lh {80 . . . 100}

Lh

{80 . . . 100}

h

{0, 2 . . . 0, 5}biegesteif

(Stahlbetonplatte)

h

{0, 2 . . . 0, 5}biegeweich(Stahlplatte)

Querschub-verzerrungen

vorhanden

Querschub-verzerrungen

nicht vorhanden

Querschub-verzerrungen

nicht vorhanden

Membran-

wirkung

Platten-theorie

ReissnerMindlin

Kirchhoff von Karman

Balken-theorie

Timoshenko Euler, Bernoulli Theorie II.Ordnung

11

3 Der Balken in der Plattentheorie

3.2 Der Plattenstreifen als Kirchhoff- Balken[Mat]

Die Plattentheorie nach Kirchhoff beschreibt eine Differentialgleichung 4. Ordnung.

4

x4 + 2

2

x2

2

y2 +

4

y4 = p

K

Dabei ist 4

x4 ;4

y4 die Durchbiegung,2

x2 2

y2 die Verwindung der Platte entlang den entsprechen-Kirchhoffden Achsen, p die flchige Belastung und K die Plattensteifigkeit.

K =E

12 h

3

1 2

[K] =

[Nm2

][m3]

[1]= [Nm]

In der Plattensteifigkeit ist zu finden, die Querdehnungszahl.

=E

2 G 1

K =

h3

3 G

2

4 G EDie Kirchhoffsche Differentialgleichung lsst sich umschreiben.(

4

x4+ 2

2

x2

2

y2+

4

y4

) = p

K

(2

x2+

2

y2

)2 = p

K

K 2 = p

Wobei der Laplace- Operator darstellt. Die Kirchhoffsche Differentialgleichung in dieser Schreib-weise wird Inhomogene Bipotential- Gleichung genannt.

Um eine Platte als einen Balken beschreiben zu knnen, wird die Platte als Plattenstreifen definiert.Bedeutet die Breite (und die Hhe) der Platte wird als klein angesehen (entlang der y- Achse). Damitvereinfacht sich die Kirchhoffsche Differentialgleichung zu:

4

x4 = IV = p

K

K IV p = 0

Ist p bekannt, knnen durch einfaches Integrieren die Lsungen ermittelt werden. Fr den allgemei-nen Fall gilt im Vergleich vom Kirchhoffschen- Balken (KB) zum EBB:

K IV p = 0 EI IV q = 0

[Nm]

[m3

][Nm2

]= 0

[Nm2

][m3

][Nm1

]= 0

Die Belastung qy bzw. F :

K + qy = 0 EI + F = 0

[Nm]

[m2

]+ [Nm] = 0

[Nm2

][m2

]+ [N ] = 0

Die Belastung qx:qx = 0

12

3 Der Balken in der Plattentheorie

Das Moment myy bzw. My:

K myy = 0 EI My = 0

[Nm]

[m1

] [N ] = 0

[Nm2

][m1

] [Nm] = 0

Das Moment mxx bzw. Mx:

K mxx = 0 Mx = 0

[Nm] [1]

[m1

] [N ] = 0 []

Das Moment mxy:mxy = 0 Mxy = 0

Die Durchbiegung KB und EBB :

KB = EBB (1 2

) EBB = EBB

Die Durchbiegung des KB- Plattenstreifens ist demnach(1 2

)- fach kleiner als die Durchbiegung

des EBB- Balkens.KB = EBB

(1 2

)Der Grund, die Annahme eines Balkens als brettfrmiges Konstruktionselement mit der Konsequenzeiner behinderten Querdehnung fhrt zu einer numerischen Erhhung des Elastizittsmoduls. Dahersollten fr E folgende Relationen in den Berechnungen zugrunde gelegt werden.

EKB =(1 2

) E EEBB = E

Die numerische Erhhung von E betrgt etwa 9/8 fr Stahl.

Eine Deutung dieser Abschtzung ist mglich ber folgenden Zusammenhang:

1 2 ?= EIK

Fr den Plattenstreifen wird eine verallgemeinerte Breite von b = 1 angenommen.

1 2 ?= EG(

1 14 EG

)

1 2 ?= EG 1

4 E

2

G2= 1 1

4 E

2

G2+E

G 1 = 1

(1

4 E

2

G2 EG

+ 1

)= 1

(1

2 EG 1)2

1 2 != 1 2

13

3 Der Balken in der Plattentheorie

3.3 Der Plattenstreifen als Mindlin- Balken[Mat]

Die klassische Plattentheorie nach Kirchhoff ist im Endergebnis eine Differentialgleichung 4. Ord-nung. Bedeutet letztendlich, das die Randbedingungen der Platte auf zwei pro Randpunkt beschrnktMindlinsind, obwohl drei erst eine physikalisch sinnvolle Beschreibung des Plattenproblems ermglichen.Die kleine Ordnung des Kirchhoffschen Ergebnisses ist geschuldet der Tatsache, dass Querschub-verzerrungen (wie beim EBB) wiederum vernachlssigt werden. Neben Reissner und Panc wurdenviele Beitrge zur erweiterten Plattentheorie verffentlicht. Genutzt wird hier letztendlich die Theo-rie entwickelt von Mindlin. Ein System aus Differentialgleichungen 6. Ordnungermglicht dann dieBeschreibung von Randpunkten mit 3 Bedingungen. Eine Herleitung wird hier nicht aufgezeigt undist an entsprechender Stelle selbst nachzulesen.

Die Berechnungsgrundlagen fr der schubelastischen Platte nach Mindlin.

= 2 P

Mit:

Durchbiegung [m] Querkontraktionszahl [1]s Bogenlnge [1]h Plattendicke [m] Winkelvektor [m]P = P P planarer Laplace- Operator []P planarer Nabla- Operator []2 = 16

h2

s 1

1 Hilfsgre[m2]

Die nun anstehende Konvertierung einer angenommenen schubweichen Platte zu einem Plattenstrei-fen beschreibt den Mindlin- Balken - MB. Dann ergibt sich:

P d2

dx2

MB = 2 KB

Wobei KB den Kirchhoff- Balken bezeichnet und MB den Balken nach Mindlin.

Nach Mindlin sind 2 Fallunterscheidungen mglich.

In der Balkenmitte gilt = 0 und KB = 2 KB .

MB = KB

Bedeutet, die Berechnungsgrundlagen zwischen KB und MB unterscheiden sich nicht.

An den Rndern des Balkens gilt = KB und KB 6= 2 KB .

MB = KB 2 KB

Durch Substitution von KB durch MB lassen sich nun die Ableitungen von sowie M und qberechnen.

Die Fallunterscheidung bedeutet jedoch, dass eine Biegelinie, betrachtet ber die ganze Lnge desPlattenstreifens in 3 Intervalle aufgeteilt werden muss (linker Lagerbereich, Mitte, rechter Lagerbe-reich). Auerdem ist zu erwarten, dass selbst in den Auflagern des Plattenstreifens eine numerischeDurchbiegung zu beobachten ist, falls nicht KB (xA) = 0 gilt, fr den Fall, die Abszisse x befindetsich in den Auflagepunkten (z.B xA = 0 oder xA = L mit L der Lnge des Plattenstreifens). BeiMindlin wird dann von einen nicht ausgebogenen Zustand gesprochen. Um das alles zu umgehenwird eine Konstante eingefgt, welche den Beitrag von KB (xA) 6= 0 eliminiert.

MB = KB 2 KB + 2 KB (xA)

14

3 Der Balken in der Plattentheorie

MB = KB +

2 (KB (xA) KB)

Bleibt nun die Betrachtung von 2.

2 =1

6 h

2

s 1

1

Fr den Plattenstreifen werden bei Mindlin aus energetischen berlegungen unter dem Ansatz qua-dratisch verteilter Schubspannungen angegeben, dass:

s =5

6

2 =

1

5 h

2

1 Die Hhe h ist bekannt und die Querkontraktionszahl materialabhngig. Fr Stahl ergbe sichdaher.

= 0, 3

2 =

2

7 h2 0, 3 h2

Dadurch, dass der Wert h2 im Nenner steht, ist ersichtlich, dass die Berechnung einer Platte nachMindlin eine dicke Platte voraussetzt, whrend die Kirchhoff- Theorie eine dnnwandige Platteannimmt. Der bergang zwischen beiden Theorien ist mittels Grenzwertbildung aufzeigbar.

MB = KB +1

6 1s 1

1 (KB (xA) KB) lim

h0h2

MB = KB

Die Lsung der DGL zur Berechnung von MB :

MB = KB 2 KB + 2 KB (xA)

Mit:KB =

6 xE h3

(L x) (1 2

)

KB (xA) = KB (0) = 0

So ergibt sich letztendlich:

MB (x) =x (1 2

)2 E h3

(12 2 (x L) (x 2 L) x2 L3

)

15

4 Der Balken in der Scheibentheorie

4 Der Balken in der Scheibentheorie[JP]

Die Scheibentheorie beschreibt die Berechnung der Spannungen und Verformungen von Scheiben.

Unter Scheiben werden dabei ebene Flchentragwerke verstanden, die ausschlielich durch KrfteScheibentheoriebelastet werden, die in ihrer Ebene wirken.

Im Unterschied dazu werden ebene Flchentragwerke, die allein durch Krfte orthogonal zu ihrerEbene belastet werden, als Platten bezeichnet.

Als Hilfsmittel zur analytischen Berechnung des Scheibenspannungszustandes dient die AiryscheSpannungsfunktion.

4

x4 + 2

2

x2

2

y2 +

4

y4 = 0

Die Voraussetzungen der Scheibentheorien verbieten die Nutzung Ihrer Erkenntnisse in der Balken-theorie. Dennoch ist es interessant zu zeigen, zu welchen Ergebnissen die Scheibentheorie fhrt,wenn man sie dennoch als Berechnungsgrundlage der Durchbiegung nutzt. So wird festgelegt, dassder Scheibenstreifen keine Verwindung erfhrt und das keine Verformungen in y- Richtung zu er-warten sind. Die Airysche Spannungsfunktion reduziert sich dann zu

4

x4 = IV = 0

Der Unterschied zu Kirchhoff ist demnach hier das Verschwinden der Inhomogenitt p/K. Damitdiese zu Null reduziert werden kann, gibt es die Mglichkeit p 0 oder K . Wobei dasVerschwindenlassen der Last p nicht sinnvoll ist fr die Berechnung einer Durchbiegung.

Die Durchbiegung des Balkens nach Kirchhoff war berechnet mit

KB = EBB (1 2

)Wobei ermittelbar ist durch

1 2 = E IK

Der Grenzwert K dazu

limK

(1 2

)= K = lim

K

E IK

K = 1

ST = 0

Was durchaus mit der Bedingung der Krafteinleitung korreliert. Gibt es keine Eigenlast, welche or-thogonal zur Scheibenebene wirkt, dann gibt es auch keine Durchbiegung in der Balkenmitte.

Wenn die Kraft nur in der Scheibenebene wirken darf, dann kann unter Umstnden ein Scheiben-streifen als Knickstab angesehen werden und dessen Berechnungsgrundlagen so ermittelt werden.Ausgangsgleichung ist dann

analog(!) Eulerfall 1 Fall 16

4

x4 = d

4

dx4 = IV = 0

=

dx = C0

=

C0 dx = C0 x+ C1

6Hier wird nicht der betreffende Eulerfall beschrieben, lediglich ein hnliches . Mindestrandbedingungen: (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0

16

4 Der Balken in der Scheibentheorie

Die Randbedingungen sind bekannt und bestimmen die Integrationskonstanten C0 und C1.

(L) = 0 = C0 L+ C1

= C0 (x L)

Sowie: (0) = M

E I= C0 (0 L)

E I = M

( xL 1)

Es wird weiter integriert.

E I = E I dx = M

(x2

2 L x+ C2

)Die Verdrehung am Fue des Knickstabes ist Null, daher:

E I (0) = 0 = 02

2 L 0 + C2

C2 = 0

E I = M

(x2

2 L x)

Die letzte Integration liefert die Biegelinie.

E I = E I dx = M

(x3

6 L x

2

2+ C3

)Die Integrationskonstante C3 ist erfragt.

E I (0) = 0 = 03

6 L 0

2

2+ C3

C3 = 0

E I = M

(x3

6 L x

2

2

)

=M

E I x

2

6( xL 3)

Eine Nebenbedingung ist bekannt. + 2 = 0

Fr eine wahre Aussage ist dann 2 definiert mit:

2 =2

x (2 L x)

An der Stelle x = L.2 (L) =

2

L2

Die allgemeine Berechnungsgrundlage der Knickkraft ist definiert.

NK = 2 (L) E I

NKST =

2

L2 E I

17

4 Der Balken in der Scheibentheorie

Fr den Eulerfall 1 ist gegeben.

NKE =2

4 L2 E I

Das Verhltnis beider Knickkrfte.

NKENKST

=2

8 1, 234

Der Eulerfall ist demnach etwas gnstiger.

analog(!) Eulerfall 2 Fall 27

Mit der Forderung der ScheibentheorieIV = 0

ergibt sich nach der zweiten Integration eine lineare Funktion. Diese kann jedoch die Randbedin-gungen

(0) = 0 (L) = 0

nicht erfllen. Daher existiert kein Fall 2 analog Eulerfall 2.

analog(!) Eulerfall 3 Fall 38

Mit der Forderung der ScheibentheorieIV = 0

ergeben sich nach der vierten Integration vier Integrationskonstanten C0, C1, C2 und C3. Mit denMindestrandbedingungen (L) = 0, (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0 und der Bedingung

(L) = ME I

kann eine Bedingung nicht erfllt werden. Daher existiert kein Fall 3 analog Eulerfall 3.

analog(!) Eulerfall 4 Fall 49

Mit der Forderung der ScheibentheorieIV = 0

ergeben sich nach der vierten Integration vier Integrationskonstanten C0, C1, C2 und C3. Mit denMindestrandbedingungen (L) = 0, (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0 und der Bedingung

(L/2) = ME I

kann eine Bedingung nicht erfllt werden. Daher existiert kein Fall 4 analog Eulerfall 4.

7Hier wird nicht der betreffende Eulerfall beschrieben, lediglich ein hnliches . Mindestrandbedingungen: (L) = 0, (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0

8Hier wird nicht der betreffende Eulerfall beschrieben, lediglich ein hnliches . Mindestrandbedingungen: (L) = 0, (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0

9Hier wird nicht der betreffende Eulerfall beschrieben, lediglich ein hnliches . Mindestrandbedingungen: (L) = 0, (L) = 0, (0) = 0 und (0) = 0

18

5 Der Balken in der Schalentheorie

5 Der Balken in der SchalentheorieEine Schale ist ein flchiges Tragwerk, das einfach oder doppelt (rumlich) gekrmmt ist und das SchalentheorieBelastungen sowohl senkrecht als auch in seiner Ebene aufnehmen kann.

Bei Schalen, deren Dicke klein gegenber der Spannweite ist, kann die Biegung vernachlssigt wer-den. Diesen Zustand bezeichnet man als Membranspannungszustand.

Annahmen:

Die Schalendicke ist klein im Vergleich zu den brigen Abmessungen.

Die Verformungen sind klein im Vergleich zur Schalendicke.

Punkte die auf einer Normalen zur Mittelebene liegen, befinden sich auch nach einer Verfor-mung wieder auf einer solchen Geraden.

Senkrecht zur Mittelebene wirkende Normal- und Schubspannungen sind vernachlssigbarklein.

Der Werkstoff ist homogen und isotrop und folgt dem Hookeschen Gesetz.

Abweichungen von den genannten Voraussetzungen bedingen in der Regel weit hheren Be-rechnungsaufwand.

Hhere Schalentheorien:

Multi- Direktor- Schalentheorien

Mehrschichten- Schalentheorien

Berechnungstheorien

Membrantheorie:Die Membrantheorie geht im Gegensatz zur Biegetheorie von einigen weiteren Vereinfachun-gen aus. Sie ergibt keine genauen Lsungen, jedoch ist sie fr viele Anwendungsflle ausrei-chend. Durchbiegungen werden vernachlssigt. Die maximalen Biegemomente treten in denRandbereichen auf. Formnderungen werden vernachlssigt. Das Tragwerk wird im unver-formten Zustand untersucht. Die Krfte an den Schalenrndern sind tangential zur Mittelebe-ne gerichtet. Der Rand einer Membranschale ist frei oder tangential abgesttzt. Es treten nurNormal- und Schubspannungen auf, die innerhalb der Ebene liegen und ber die Wandstrkekonstant sind.

Biegetheorie:Die Biegesteifheit der Schale muss bercksichtigt werden. Manchmal gengt es die Einwir-kungen der Biegetheorie lokal nachtrglich zu bercksichtigen. Das gilt vor allem, wenn derRand der Schale gelenkig oder eingespannt abgesttzt ist und damit die Bedingungen derMembrantheorie nicht erfllt sind.

19

5 Der Balken in der Schalentheorie

5.1 Berechnung eines Biegebalken ber die KesselformelDie Kesselformel nach DIN2413 ist eine Ansammlung von Berechnungsgrundlagen fr die Ausle-gung von Kesseln, Behltern unter Druck und Rohrleitungen. Per Vorschrift gilt die KesselformelKesselformelnicht fr dickwandige Bauteile und Platten. Daher ist die Kesselformel nicht geeignet um einenBiegebalken zu dimensionieren. Dennoch ist es interessant zu schauen, zu welchen Ergebnissen dieSchalentheorie ber die Kesselformel fhrt, wenn man sie als Berechnungsgrundlage der Durchbie-gung nutzt.

Nach Holzmann, Meyer, Schumpich - Technische Mechanik gilt fr die Radialverformung einesunendlich langen Rohrs:

r (x) =p

E rx

r2ir2a r2i

(r2ar2x (1 + ) + 1

)Wobei ri der Innenradius ist und ra der Auenradius. Beide Radien sind miteinander verknpft berdie Wandstrke (als Rohr) / Balkenhhe (als Balken) h.

ra = ri + h

Weiterhin ist die Lage der neutralen Faser bekannt.

ri + ra2

= rm

ri = rm

h

2ra = rm +

h

2

Das wird in die obige Berechnungsgrundlage eingearbeitet und diese umgestellt.

r (x) =p

E rx

2(rm h2

)2h rm

((rm +

h2

)2r2x

(1 + ) + 1

)

Die betrachtete Stelle rx soll die von rm sein.

r =p

E 1

2 h(rm

h

2

)2

((rm +

h2

)2r2m

(1 + ) + (1 )

)

Bei der bertragung des Modells Rohr auf einen Biegebalken kann davon ausgegangen werden, dasszuknftig rm >> h gilt. Daher kann weiter vereinfacht werden.

rm h

2 rm rm +

h

2

r =

p

E 1h r2m

Der nchste Schritt ist die Ermittlung von rm. Dazu wird die allgemeine Berechnungsgrundlage derBiegelinie des Euler- Bernoulli- Balkens als Basis herangezogen.

EBB =q

24 L

4

E I(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)Der Radius rm ist nun ermittelbar ber eine differentialgeometrische Vorgabe. Der Rechenweg wirdnicht aufgezeigt. Das Ergebnis fr die Stelle x = L/2 (Biegebalken, beidseitig gelenkig gelagert)ist von Interesse.

rm =

2EBB + 1

3

EBB

rm = 8

E Iq L2

20

5 Der Balken in der Schalentheorie

Das Ergebnis wird eingesetzt, die Berechnungsgrundlage von r ist von nun an die von SSB derSchalenstreifenbalken.

SSB

(L

2

)= 64 p

q2 E I

2

h L4

Der Quotient von p und q ist von Interesse. Fr die Linien- bzw. Flchenlast gilt:

p =F

L bq =

F

L

p

q2=

1

b LF

=1

q b

SSB

(L

2

)=

64

q E I

2

b h L4

Das Flchentrgheitsmoment I wird ersetzt.

I =b h3

12

SSB

(L

2

)=

4

9 E b h

5

q L4

In allen Herleitungen wird b = 1 und q = 1 genutzt.

SSB

(L

2

)=

4

9 E h

5

L4

Damit ist die Durchbiegung des Schalenstreifenbalkens ermittelt.

EBB =q

24 L

4

E I(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)SSB =

64

q E I

2

b h L4(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)

EBB =1

2 L

4

E h3(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)SSB =

4

9 E h

5

L4(x4

L4 2 x

3

L3+x

L

)Das Verhltnis der Durchbiegungen.

SSBEBB

= 1536 E2 I3

q2 L8 b h=

8

9 E

2 b2 h8

q2 L8

Wann ergibt das Verhltnis den Wert von rund 1?

1536 E2 I3

q2 L8 b h= 1

8

9 E

2 b2 h8

q2 L8= 1

I =1

8 3

1

3 L8 q

2

E2 b h h = L 4

38 qE b

I =1

8 L3 12

1

54 1

2 q

9

E9 b3 0, 0871 L3 4

q3

E3 b

Fr Stahl mit E = 210 109[N/m2]

und b = 100mm 0, 1m sowie q = 5000N/m (rundq = 1000N/m davon Eigenlast fr die zuknftigen Mae) wre dann eine Balkenhhe bzw. Trgheitgefordert von:

I =1

8 3

1

3 L8 5000

2

(210 109)2 0, 1 h h = L 4

38 5000

210 109 0, 1

21

5 Der Balken in der Schalentheorie

I[m4] 332, 9 109 3

L8 h

[m4]

h [mm] 0, 0224 L [mm]

I[mm4

] 93, 85 106 L3

[mm4

]Bedeutet, bei einer Spannweite des Balkens von L = 5000mm eine geforderte Profilhhe bzw.Flchentrgheitsmoment von:

h = 112, 1 112 [mm]

I = 93, 85 106 50003 = 100 112, 1

3

12 11, 73 106

[mm4

]Fr den Spannungsnachweis gilt an der uersten Faser (vorliegend ein qL2/8- Balken):

q L2

I h

16= vorh zul

74, 6

[N

mm2

] 240

[N

mm2

]Der Balken ist nur zu etwa 30% ausgelastet.

Fr den im gesamten Skript genutzten Vergleichsbalken soll gelten:

L = 1 q = 1

E = 1 b = 1

SSBEBB

=8

9 0, 889

22

5 Der Balken in der Schalentheorie

5.2 Berechnung eines Biegebalken ber die MembrantheorieNach Dr.- Ing. Raecke Schalentheorie ist die Radialaufweitung einer Membran gegeben mit: Membranzustand

r (x) = rx =rxE h

(n nS) + rx T

Der Einfluss einer mglichen Temperaturnderung wird nicht betrachtet.

r (x) =rxE h

(n nS)

Wobei:n = h nS = S h

r (x) =

rxE ( S)

Die Tangentialspannung :

=p rmh

Die Axialspannung S :

S =p rm2 h

r (x) =

rxE(p rm

h p rm

2 h

)

r (x) =rx p rmE h

(

1 2

)Die betrachtete Stelle rx soll die von rm sein.

r =p

E r

2m

2 h (2 )

Die berechnete Aufweitung r nach der Membrantheorie unterscheidet sich nur durch den Faktor2 von den Berechnungsgrundlagen des unendlich langen Rohres. Letztendlich ergibt sich frrm:

rm = 8 E Iq L2

MTH

(L

2

)= 32 p

q2 E I

2

h L4 (2 )

MTH

(L

2

)=

32

q E I

2

b h L4 (2 )

MTH

(L

2

)=

2

9 E b h

5

q L4 (2 )

Damit sind alle weiter folgenden Formeln kompatibel mit der Berechnungsgrundlage nach SSB (L/2),wenn man das Elastizittsmodul modifiziert und mit E weiter rechnet.

E (2 ) = E

EBB =q24

L4

EI (x4

L4 2 x3

L3 +xL

)MTH =

64q

EI2bhL4 (2 )

(x4

L4 2 x3

L3 +xL

)

EBB =12

L4

Eh3 (x4

L4 2 x3

L3 +xL

)MTH =

49

Eh5L4 (2 )

(x4

L4 2 x3

L3 +xL

)23

5 Der Balken in der Schalentheorie

Damit dann aber auch mit = 0, 3 ansonsten den gleichen Beispielswerten:

I =1

8 3

1

3 L8 q

2

E2 b h h = L 4

38 qE b

I[m4]

=1

8 3

1

3 L8 5000

2

(210 109 (2 0, 3))2 0, 1 h

[m4]

h [mm] = L 4

38 5000

210 109 (2 0, 3) 0, 1[mm]

I[mm4

]= 63, 0 106 L3

[mm4

]h [mm] = 0, 0196 L [mm]

I = 7, 875 106

[mm4

]h = 98 [mm]

Die Auslastung des Beispielbalkens.

q L2

I h

16= vorh zul

97, 3

[N

mm2

] 240

[N

mm2

]Der Balken ist nur zu etwa 40% ausgelastet.

Fr den im gesamten Skript genutzten Vergleichsbalken soll gelten:

L = 1 q = 1E = 1 b = 1

MTHEBB

=SSBEBB

(2 ) = 89 (2 ) 1, 512

24

6 Die Durchbiegung als zentrales Element

6 Die Durchbiegung als zentrales Element

6.1 Vergleich der Durchbiegungen der verschiedenen BalkentypenFolgend die Ausgangsgleichungen der Durchbiegungen zur Zusammenfassung und Vergleich. Durchbiegungen

EEB = x2Eh3 (2 x2 L x3 L3

) TB = x2Eh3

(2 x2 L x3 L3

)+ 65Eh (1 + ) x (x L)

KB = x2Eh3 (1 2

)(2 x2 L x3 L3

) MB = x2Eh3

(1 2

)(

2 x2 L x3 L3 + 125 h2

1 (x L))

SSB = 49 Eh5L4

(2 x

3

L3 x4

L4 xL

)10

MTH = 49 Eh5L4 (2 )

(2 x

3

L3 x4

L4 xL

)11

Es folgt eine Proportionierung mit E = 1 und L = 1 und h = 1 und = 0, 3 und anschlieendeVereinfachung.

EBB 12 x (2 x2 x3 1

) TB 12 x

(2 x2 x3 1

)+ 3925 x (x 1)

KB 91200 x (2 x2 x3 1

) MB 91200 x

(2 x2 x3 + 247 x

317

) SSB 23 x

(2 x2 x3 1

) MTH 3445 x

(2 x2 x3 1

)Der Wert der maximalen Durchbiegung ist bei x = L/2 = 1/2 zu erwarten. Ohne Nachweis wirddies so bernommen.

EBB(L2

) 532 0, 156

TB(L2

) 437800 0, 546

KB(L2

) 91640 0, 142

MB(L2

) 17033200 0, 532

SSB(L2

) 524 0, 208

MTH(L2

) 1772 0, 236

10Aus Grnden des Modellansatzes wird die Berechnungsgrundlage der Durchbiegung des SSB- Balkens mit negativemVorzeichen versehen, damit alle Balkenbiegungen in die gleiche Richtung zeigen.

11Aus Grnden des Modellansatzes wird die Berechnungsgrundlage der Durchbiegung des MTH- Balkens mit negativemVorzeichen versehen, damit alle Balkenbiegungen in die gleiche Richtung zeigen.

25

6 Die Durchbiegung als zentrales Element

6.2 Die Verhltnisse der Durchbiegungen der verschiedenen BalkentypenFolgend eine Eingruppierung der Balkentypen nach der Durchbiegung ohne Prfung der Allgemein-gltigkeit.Verhltnisse

Gruppe 1: EBB KB

Gruppe 2: TB MB

Gruppe 3: SSB MTH

Eine grafische Darstellung der Durchbiegungen aus den Proportionen zur Information.

KB- Balken (grn),EBB- Balken (rot),SSB- Balken (grau),MTH- Balken (schwarz),MB- Balken (braun),TB- Balken (blau)

Eine weitere Abhngigkeit ist bekannt als die Konsistenz der Durchbiegungen.

TB + KB = MB + EBB

EBB KB = TB MB

Setzt man die allgemeine Berechnungsgrundlagen fr die einzelnen ein, wird man eine wahreAussage bekommen. Der Nachweis ist einfachste Umstellarbeit und wird deshalb hier nicht durch-gefhrt.

26

7 Anhang

7 Anhang

7.1 Zum Thema Balkenbreite b = 1Warum darf man hier fr b = 1 annehmen?

Man darf nicht nur, man muss. Aufgezeigt an . Anhang I

2 =1

6 h

2

s 1

1 Neben dieser ist noch die Plattensteifigkeit N nach Mindlin bekannt.

N =G

6 h

3

1 N =

E

12 h

3

1 2

Das Gleitmodul G wird eingefgt.

2 =1

h s NG

Das Elastizittsmodul E wird eingefgt.

2 =h2

12 s EG 1

1 2

Die Plattensteifigkeit K vom KB wird eingefgt.

K =E

12 h

3

1 2

2 =1

h s KG

Die Plattensteifigkeit K vom KB wird substituiert.

K =EI

1 2

2 =1

h s EG I

1 2Die Module E und G werden substituiert.

E

G= 2 1

2

1

2 =2

h s I

1 Das Flchentrgheitsmoment I wird substituiert als Balken.

I =b h3

12

2 =1

6 s b h

2

1 Zum Vergleich, am Anfang war gegeben:

2 =1

6 h

2

s 1

1 Daher: Fr den Plattenstreifen (und den anderen Balkentypen) wird eine verallgemeinerte Breite vonb = 1 angenommen.

Grund ist die Nutzung der Plattensteifigkeit K vom KB.

K =E

12 h

3

1 2

Dort ist von vornherein b = 1 angenommen. Diese Annahme zieht sich durch alle Berechnungs-grundlagen.

27

7 Anhang

7.2 Nachweis, dass rm >> h giltEs ist zu zeigen, dass gilt:Anhang II

rm >> h

Fr rm ist eine Berechnungsgrundlage bekannt.

rm = 8 E Iq L2

8 E I

q L2>> h

Der Nachweis erfolgt dann am konkreten Beispiel. Vorliegend (siehe Schalentheorie) ist der Nach-weis erfllt.

8 210000 11, 73 106

5000 103 50002= 157651 >> 112

LATEX 2

28