Fourier +ÿ+¦-ë-ü+»+¦

Περιεχόμενα

1 Σειρές Fourier 31.1 Εισαγωγή - Γενικοί ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Συναρτήσεις και αρμονική ανάλυση . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Σχέσεις ορθογωνικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Συντελεστές αναπτυγμάτων Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων . . . . . 131.6 Μιγαδικό ανάπτυγμα Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Αρμονική ανάλυση στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Αρμονική ανάλυση στον κύκλο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα - Σφαιρικές αρμονικές . . . . . . . . 211.11 Γενικευμένες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Μετασχηματισμοί Fourier 452.1 Συνοπτική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1 Ιδιότητες μετασχηματισμών Fourier και αποδείξεις . . . . . 482.1.2 Μετασχηματισμός Fourier στις δύο και τρεις διαστάσεις . . 542.1.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Συνέλιξη - Θεωρήματα συνέλιξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.1 Θεώρημα της συνέλιξης ως προς το χρόνο . . . . . . . . . 652.2.2 Θεώρημα συνέλιξης ως προς τη συχνότητα . . . . . . . . . 662.2.3 Θεώρημα Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.4 Σήματα ενέργειας - Συναρτήσεις συσχέτισης - Σήματα ισχύος 68

2.3 Οι μετασχηματισμοί Fourier στις γεωεπιστήμες . . . . . . . . . . . 732.3.1 Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier (CFT) σε μία διάσταση 732.3.2 Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier (CFT) σε δύο διαστά-

σεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.3 Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) σε δύο δια-

στάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.4 Το τετραγωνικό παράθυρο συνημιτόνου . . . . . . . . . . . 772.3.5 Διακριτή συνέλιξη και συσχέτιση . . . . . . . . . . . . . . 812.3.6 Ιδιότητες του DFT στις δύο διαστάσεις . . . . . . . . . . . 82

1

2 Σειρές Fourier

2.3.7 Η συνάρτηση συσχέτισης, η συνάρτηση συμμεταβλητότηταςκαι η συνάρτηση πυκνότητας φάσματος . . . . . . . . . . . 83

2.3.8 Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier (FFT) . . . . . . . . . . 862.4 Γραμμικά συστήματα και φίλτρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.5 Εφαρμογές διακριτού μετασχηματισμού Fourier . . . . . . . . . . . 95

Κεφάλαιο 1

Σειρές Fourier

1.1 Εισαγωγή - Γενικοί ορισμοί

Η ανάλυση Fourier ή αρμονική ανάλυση Fourier, από το όνομα του Γάλλου μα-θηματικού Jean Baptiste Joseph Fourier που την επινόησε, είναι μία μεθοδολογίαανάπτυξης σε σειρά μιας συνεχούς συνάρτησης ή ενός διακριτού δείγματος τιμών.Η σειρά, ή διαφορετικά το άθροισμα που προκύπτει από την ανάλυση αυτή, είναιένας συνδυασμός τριγωνομετρικών όρων ή εκθετικών μιγαδικών συναρτήσεων.Τα αθροίσματα ημιτονικών ή συνημιτονικών όρων, ή οι συνδυασμοί αυτών, ο-

νομάζονται τριγωνομετρικές σειρές ή τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Στις διάφορεςεφαρμογές των φυσικών επιστημών και των γεωεπιστημών, τα διάφορα μεγέθη ήσήματα εκφράζονται συνήθως είτε ως απλές συναρτήσεις ενός ημιτόνου ή συνη-μιτόνου, είτε ως αθροίσματα τριγωνομετρικών όρων. Και στη μία και στην άλληπερίπτωση ο συναρτήσεις αυτές παρουσιάζουν στο πεδίο ορισμού τους μία συγκε-κριμένη περίοδο. Η απλή λοιπόν συνάρτηση f(t) ενός μεγέθους που ορίζεται στοδιάστημα (0, T ) και δίνεται με τη μορφή

f(t) = A sin2πt

T(1.1)

έχει περίοδο Τ και πλάτος A (βλέπε σχήμα 1.1). Το αντίστροφο της περιόδου fονομάζεται συχνότητα

f =1

T. (1.2)

΄Οταν η συχνότητα πολλαπλασιασθεί με 2π, ώστε να εκφρασθεί σε γωνιακό μέγε-θος, προκύπτει η γωνιακή συχνότητα ω (angular frequency)

ω = 2πf =2π

T. (1.3)

Εάν η συνάρτηση f(t) μελετηθεί σε ένα διαφορετικό τμήμα του πεδίου ορι-σμού της (προκειμένου για χρονοσειρά μετά την παρέλευση χρόνου ∆t), μπορείνα γραφεί και με τη μορφή

3


t

y

A

T

-A

Σχήμα 1.1: Περιοδική συνάρτηση

t

T

Δ φ(t= t)T

Δt

t

Σχήμα 1.2: Περιοδική συνάρτηση, γωνία φάσης

f(t) = A sin

(2πt

T+ ϕ

)

, (1.4)

όπου ϕ είναι η φάση ή διαφορετικά η γωνία φάσης (βλέπε σχήμα 1.2).Κατά τη μελέτη πιο σύνθετων συναρτήσεων, η αναλυτική μορφή των οποί-

ων είναι γνωστή, η αναπαράστασή της πραγματοποιείται μέσω ενός αθροίσματοςτριγωνομετρικών όρων, όπως ήδη αναφέρθηκε, το οποίο έχει τη μορφή

f(t) =1

2a0 + a1 cosω0t+ a2 cos 2ω0t+ ....+ b1 sinω0t+ b2sin2ω0t+ ....

=a0

2+

∞∑

n=1

(

an cos2πnt

T+ bn sin

2πnt

T

)

. (1.5)

Κεφάλαιο 1 5

και είναι γνωστό ως ανάπτυγμα Fourier. Τα ζεύγη της μορφής

an cos2πnt

T+ bn sin

2πnt

T

ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις και περιλαμβάνουν έναν ακέραιο αριθμό n συ-χνοτήτων ωn, που δίνονται από τη σχέση

ωn = nω0 =2πn

T. (1.6)

Οι συχνότητες ωn των αρμονικών συναρτήσεων είναι ακέραια πολλαπλάσια τηςβασικής ή θεμελιώδους συχνότητας ω0

ω0 =2π

T. (1.7)

Ο σταθερός όρος a0 στη σχέση (1.5) είναι μία αρμονική συνάρτηση μηδενικήςσυχνότητας. Στα διάφορα αναπτύγματα Fourier οι όροι an μπορεί να είναι μηδενικοίκαι ο σταθερός όρος διάφορος του μηδενός και αντιστρόφως. Σε σειρές Fourierμπορεί να αναπτυχθούν και μη περιοδικές συναρτήσεις και μάλιστα όταν δεν είναισυνεχείς αλλά διαθέσιμες με τη μορφή διακριτών τιμών, όπως περιγράφεται σεεπόμενη ενότητα. Στις περιπτώσεις αυτές υπολογίζεται συνήθως το γραμμικόφάσμα της συνάρτησης και για τον λόγο αυτό η αντίστοιχη ανάλυση ονομάζεταιφασματική ανάλυση.Η αρμονική και φασματική ανάλυση παρουσιάζουν πολλές εφαρμογές στις γε-

ωεπιστήμες και ειδικότερα τη γεωδαισία, τη γεωφυσική, τη γεωλογία, τη δορυ-φορική αλτιμετρία, κ.λπ. Στις εφαρμογές αυτές τα γεω-δεδομένα συνιστούν κά-ποια χρονοσειρά με μία συγκεκριμένη περίοδο, ή περιγράφουν κάποιο φαινόμενομε συγκεκριμένη περιοδικότητα στην εξέλιξή του, όπως συμβαίνει στην ανάλυσητων θαλάσσιων παλιρροιών ή των παλιρροιών του στερεού φλοιού της γης και σεπολλά άλλα παραδείγματα.

1.2 Συναρτήσεις και αρμονική ανάλυση

Μία συνάρτηση f(t) ονομάζεται περιοδική με περίοδο Τ, όταν ισχύει

f(t) = f(t+ T ) , (1.8)

ή στη γενικότερη μορφή, όταν ισχύει η σχέση

f(t) = f(t+ nT ) , n = 0,±1,±2, ..... (1.9)

Μία βασική ιδιότητα των περιοδικών συναρτήσεων δίνεται μέσω της σχέσης

α+T∫

α

f(t)dt =

β+T∫

β

f(t)dt . (1.10)


0 t

t

f(t)

0

f(t)

Σχήμα 1.3: (α) ΄Αρτια, (β) περιττή συνάρτηση

Σύμφωνα με την τελευταία εξίσωση το ολοκλήρωμα μιας περιοδικής συνάρτησηςσε ένα διάστημα ίσο με την περίοδό της είναι σταθερό και αμετάβλητο, οποιοδήποτεκαι αν είναι το κάτω όριο του διαστήματος αυτού.Δύο ακόμη ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων εκφράζονται μέσω των σχέ-

σεων

β∫

α

f(t)dt =

β+T∫

α+T

f(t)dt , (1.11)

T∫

0

f(t)dt =

γ+T∫

γ

f(t)dt , (1.12)

για πραγματικές τιμές των α, β, γ.΄Οταν η περίοδος της συνάρτησης f(t) είναι T = 2π, το ανάπτυγμα της σχέσης

(1.5) έχει την απλοποιημένη μορφή

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

(

an cosnt+ bn sinnt

)

. (1.13)

Στην περίπτωση μιας άρτιας συνάρτησης f(t) = f(−t) (βλέπε σχήμα 1.3) μεπερίοδο και πάλι T = 2π, η σχέση (1.10) λαμβάνει τη μορφή

π∫

−π

f(t)dt = 2

π∫

0

f(t)dt . (1.14)

Στην περίπτωση μιας περιττής συνάρτησης f(t) = −f(−t) (βλέπε σχήμα 1.3)με ανάλογο τρόπο προκύπτει:


π∫

−π

f(t)dt = 0 . (1.15)

t

f(t)

t1 t2

Σχήμα 1.4: Τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις

Αρκετές φορές η αρμονική ανάλυση Fourier εφαρμόζεται και σε συναρτήσειςσυνεχείς κατά τμήματα σε ένα ορισμένο διάστημα (βλ. σχ. 1.4). Προϋπόθεσηαποτελεί το διάστημα αυτό να είναι δυνατόν να διαιρεθεί σε πεπερασμένο πλήθοςυποδιαστημάτων, σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και επιπρό-σθετα τα όρια κάθε διαστήματος αποτελούν όρια της συνάρτησης. Για τα αναπτύγ-ματα συναρτήσεων συνεχών κατά τμήματα αξιοποιούνται οι συνθήκες Dirichlet.Σύμφωνα με τις συνθήκες αυτές, εάν

1. μία συνάρτηση f(t) είναι συνεχής σε ένα διάστημα (−l, l) εκτός από έναπεπερασμένο πλήθος σημείων (πεπερασμένο πλήθος ακροτάτων, δηλ. τοπικάμέγιστα και ελάχιστα),

2. η f(t) είναι περιοδική με περίοδο 2l και τμηματικά συνεχής στο (−l, l),

τότε το ανάπτυγμα Fourier της f(x) (σχέση 1.5) με συντελεστές an, bn συγκλίνειστην

1. f(t), εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο t.

2. [f(t+ 0) + f(t− 0)]/2, εάν το t είναι σημείο ασυνέχειας.

Στα σημεία ασυνέχειας t η συνάρτηση στο αριστερό μέλος του αναπτύγματος τηςσχέσης (1.5) πρέπει να αντικατασταθεί με την τιμή ([f(t+ 0) + f(t− 0)]/2) και ησειρά στο σημείο αυτό συγκλίνει στη μέση τιμή των f(t+ 0) και f(t− 0).Οι συνθήκες Dirichlet είναι ικανές αλλά όχι και αναγκαίες. Αυτό σημαίνει, ότι

στην περίπτωση που ικανοποιούνται οι συνθήκες, η σειρά συγκλίνει, όταν όμως


δεν ικανοποιούνται η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει. Πρέπει να τονιστείότι μόνον η συνέχεια μιας συνάρτησης δεν συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνειαπαραίτητα.

1.3 Σχέσεις ορθογωνικότητας

Ο υπολογισμός των συντελεστών του αναπτύγματος Fourier της (1.5) γίνεται μετη βοήθεια ορισμένων σχέσεων ορθογωνικότητας, οι οποίες δίνονται στη συνέχειακαι ισχύουν για τους ημιτονικούς και συνημιτονικούς όρους. Οι ίδιες σχέσειςορθογωνικότητας χρησιμοποιούνται και σε άλλες εφαρμογές της ανάλυσης Fourier.΄Ενα σύνολο συναρτήσεων φk(t) είναι ορθογωνικό στο διάστημα a < t < b,

όταν για δύο τυχαίες συναρτήσεις φm(t) και φn(t) που ανήκουν στο σύνολο αυτό,ισχύει η σχέση

β∫

α

φm(t)φn(t)dt =

{0 m 6= nrn m = n

. (1.16)

Για συνημιτονικές και ημιτονικές συναρτήσεις ισχύουν οι σχέσεις:

T/2∫

−T/2

cos(mωot)dt = 0 m 6= 0 (1.17)

T/2∫

−T/2

sin(mωot)dt = 0 ∀m (1.18)

(1.19)

Ισχύουν επίσης οι ακόλουθες σχέσεις ορθογωνικότητας:

T/2∫

−T/2

sin(mω0t)sin(nω0t)dt =

{T/2 m = n 6= 00 m 6= n

(1.20)

T/2∫

−T/2

cos(mω0t) cos(nω0t)dt =

{T/2 m = n 6= 00 m 6= 0

(1.21)

T/2∫

−T/2

sin(mω0t) cos(nω0t)dt = 0 ∀m,n (1.22)

όπου ω0 = 2π/T . Οι προηγούμενες σχέσεις, που είναι γνωστές και ως σχέσειςορθογωνικότητας του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δείχνουν ότι οι συναρτήσεις


{1, cosω0t, cos 2ω0t, ..., cosnω0, ..., sinω0t, sin 2ω0t, ..., sinnω0t, ...} αποτελούν έ-να σύνολο ορθογωνικών συναρτήσεων στο διάστημα −T/2 < t < T/2. Αποδείξειςγια τις σχέσεις ορθογωνικότητας δίνονται στην ενότητα των ασκήσεων.

1.4 Συντελεστές αναπτυγμάτων Fourier

Στη συνέχεια δίνεται μία σειρά σχέσεων, μέσω των οποίων είναι δυνατόν να υπολο-γισθούν οι συντελεστές ενός αναπτύγματος Fourier, για διαφορετικές περιόδουςκαι είδη συναρτήσεων.

Γενική περίπτωση

Περίοδος T στο διάστημα α ≤ t ≤ α+ T

Ισχύουν για τους συντελεστές οι σχέσεις:

a0 =2

T

α+T∫

α

f(t)dt , (1.23)

an =2

T

α+T∫

α

f(t) cos(nω0t)dt , (1.24)

bn =2

T

α+T∫

α

f(t) sin(nω0t)dt . (1.25)

1η ειδική περίπτωση

α = 0 0 ≤ t ≤ T

Ισχύουν για τους συντελεστές οι σχέσεις:

a0 =2

T

T∫

0

f(t)dt , (1.26)

an =2

T

T∫

0


bn =2

T

T∫

0



α = −T/2 − T/2 ≤ t ≤ T/2


a0 =2

T

T/2∫

−T/2

f(t)dt , (1.29)

an =2

T

T/2∫

−T/2


bn =2

T

T/2∫

−T/2


Στην περίπτωση αυτή, όταν η συνάρτηση f(t) είναι άρτια, οι συντελεστές δί-νονται από τις σχέσεις:

a0 =4

T

T/2∫

0

f(t)dt , (1.32)

an =4

T

T/2∫

0


bn = 0 (1.34)

΄Οταν η συνάρτηση f(t) είναι περιττή, οι συντελεστές δίνονται από τις σχέσεις:

an = 0 (1.35)

bn =4

T

T/2∫

0



α = 0 T = 2π 0 ≤ t ≤ 2π

a0 =1

π

2π∫

0

f(t)dt , (1.37)

an =1

π

2π∫

0

f(t) cos(nt)dt . (1.38)


bn =1

π

2π∫

0

f(t) sin(nt)dt . (1.39)


α = −π T = 2π − π ≤ t ≤ π

a0 =1

π

π∫

−π

f(t)dt , (1.40)

an =1

π

π∫

−π

f(t) cos(nt)dt . (1.41)

bn =1

π

π∫

−π

f(t) sin(nt)dt . (1.42)

Στην περίπτωση αυτή, όταν η συνάρτηση f(t) είναι άρτια, οι συντελεστές δί-νονται από τις σχέσεις:

a0 =2

π

π∫

0

f(t)dt , (1.43)

an =2

π

π∫

0

f(t) cos(nt)dt . (1.44)

bn = 0 (1.45)

΄Οταν η συνάρτηση f(t) είναι περιττή, οι συντελεστές δίνονται από τις σχέσεις:

an = 0 (1.46)

bn =2

π

π∫

0

f(t) sin(nt)dt . (1.47)


Γραφική αναπαράσταση όρων σειράς Fourier


1.5 Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορι-σμένο αριθμό όρων

΄Εστω η σειρά Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων

Sk(t) =ao

2+

k∑

n=1

(an cosnωot+ bn sinnωot) (1.48)

στο −T/2 < t < T/2. Για τη σειρά αυτή ορίζονται οι (2k + 1) πρώτοι όροι στοσυγκεκριμένο διάστημα.Ισχύει:

f(t) =ao

2+

k∑

n=1

[

an cos(nωot) + bn sin(nωot)

]

+ ǫk(t) (1.49)

και

ǫk(t) = f(t) − Sk(t) , (1.50)

όπου ǫk(t) το σφάλμα ανάμεσα στη συνάρτηση f(t) και την προσέγγισή της.Ορίζεται ως μέσο τετραγωνικό σφάλμα η ποσότητα Ek(t), που δίνεται από τη

σχέση:

Ek =1

T

T/2∫

−T/2

[ǫk(t)]2dt =1

T[f(t) − Sk(t)]2dt , (1.51)

και

Ek =1

T

T/2∫

−T/2

[f(t)]2dt− a2o

4− 1

2

k∑

n=1

(a2n + b2

n). (1.52)

Για τους συντελεστές του αναπτύγματος Fourier ao, an,bn μιας περιοδικήςσυνάρτησης f(t) με περίοδο T ισχύει επίσης η σχέση:

1

T

T/2∫

−T/2

[f(t)]2dt =a2o

4+

1

2

∞∑

n=1

(an2 + b2

n) (1.53)

Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα Parseval.

1.6 Μιγαδικό ανάπτυγμα Fourier

Από το τριγωνομετρικό ανάπτυγμα Fourier προκύπτει το αντίστοιχο μιγαδικό α-νάπτυγμα, σύμφωνα με την ακόλουθη διαδικασία.


Πολλαπλασιάζεται και διαιρείται το αρχικό ανάπτυγμα της εξίσωσης (1.5) με√

a2n + b2n οπότε είναι

an cos(nω0t) + bn sin(nω0t) =

√

a2n + b2n

[

an√

a2n + b2n

cos(nω0t) +bn

√

a2n + b2n

sin(nω0t)

]

(1.54)

Εφαρμόζοντας τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει

an cos(nω0t) + bn sin(nω0t) = cn

[

cos θn cos(nω0t) + sin θn sin(nω0t)

]

= cn cos(nω0t− ϕn) , (1.55)

όπου (βλ. και σχήμα 1.5)

an

bn

φn

a +b n

n2

2

Σχήμα 1.5: Γεωμετρική ερμηνεία των συντελεστών an και bn

cn =√

a2n + b2n (1.56)

cosϕn =an

√

a2n + b2n

(1.57)

sinϕn =bn

√

a2n + b2n

(1.58)

ϕn = tan−1

(

bnan

)

(1.59)

Θέτοντας επίσης c0 = 12a0, προκύπτει:

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

[

an cos(nω0t + bn sin(nω0t)

]


= c0 +

∞∑

n=1

cn cos(nω0t− ϕn) . (1.60)

Οι αρμονικοί συντελεστές cn είναι τα αρμονικά πλάτη της συνάρτησης και οι γωνίεςϕn οι γωνίες φάσης.

Μιγαδική μορφή αναπτύγματος Fourier

Η τριγωνομετρική μορφή λοιπόν μιας συνάρτησης f(t) σε σειρά Fourier δίνεται,όπως είδαμε, από τη σχέση

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

[

an cos(nω0t) + bn sin(nωot)

]

. (1.61)

Λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική σχέση για μια οποιαδήποτε γωνία θ,

e±jθ = cos θ ± j sin θ , (1.62)

οι όροι ημιτόνου και συνημιτόνου δίνονται σε όρους μιγαδικών εκθετικών συναρ-τήσεων μέσω των σχέσεων

cosnω0t =1

2(ejnω0t + e−jnω0t) , (1.63)

sinnω0t =1

2j(ejnω0t − e−jnω0t) . (1.64)

Με αντικατάσταση των (1.61), (1.63) στην (1.64) και έχοντας υπόψη 1/j = −jπροκύπτει

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

[an

2(ejnω0t + e−jnω0t) +

bn2j

(ejnω0t − e−jnω0t)]

(1.65)

και σε ισοδύναμη μορφή

f(t) =ao

2+

∞∑

n=1

[an − jbn2

ej 2πntT +

an + jbn2

e−j 2πntT

]

(1.66)

Αντικαθιστώντας με

co =ao

2(1.67)

cn =an − jbn

2(1.68)

c−n =an + jbn

2(1.69)

η (1.66) γράφεται στην ακόλουθη συνεπτυγμένη μορφή:


f(t) = c0 +∞∑

n=1

(cn2ejnω0t + c−ne−jnω0t) (1.70)

Επειδή ισχύουν οι σχέσεις

∞∑

n=1

cne−jnω0t =

−∞∑

n=1

cnejnω0t =

−1∑

n=−infty

cnejnω0t (1.71)

ej0ω0t = ej0 = 1 (1.72)

προκύπτει τελικά

−1∑

n=−∞

cnejnω0t + c0e

j0ω0t +

∞∑

n=1

cnejnω0t =

∞∑

n=1

cnejnω0t (1.73)

Οι μιγαδικοί συντελεστές Fourier cn σε αναλογία με τους συντελεστές an, bn

δίνονται από τις σχέσεις

c0 =2

T

T/2∫

−T/2

f(t)dt , (1.74)

cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t)e−jnω0tdt , (1.75)

c−n =1

T

T/2∫

−T/2

f(t)ejnω0tdt , (1.76)

Οι τρεις τελευταίες σχέσεις μπορεί να συνδυασθούν στην ακόλουθη σχέση:

cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t)e−jnω0tdt n = 0,±1,±2, .... (1.77)

Επειδή η συνάρτηση f(t)e−jnω0t είναι περιοδική με περίοδο Τ και ισχύει

T/2∫

0

f(t)dt =

T/2∫

−T/2

f(t)dt (1.78)

προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τους μιγαδικούς συντελεστές cn

cn =1

T

T∫

0

f(t)e−jnω0tdt . (1.79)


Η αναπαράσταση (γραφική) των μιγαδικών συντελεστών cn ως προς τη συχνό-τητα ω ονομάζεται φάσμα εύρους της περιοδικής συνάρτησης f(t). Η αναπαράστα-ση της γωνίας φάσης ϕn των cn ως προς ω ονομάζεται φάσμα φάσης της f(t).Καθώς ο δείκτης n προϋποθέτει μόνον ακεραίους, το εύρος και η φάση φάσματοςδεν είναι συνεχείς καμπύλες αλλά έχουν τιμές σε αντίστοιχες διακρικές τιμές τηςσυχνότητας nωo. Γι΄ αυτό πολλές φορές αναφέρονται και ως διακριτά φάσματασυχνότητας ή γραμμικά φάσματα.Για μία πραγματική περιοδική συνάρτηση με περίοδο T ισχύει η σχέση

1

T

T/2∫

−T/2

[f(t)]2dt =∞∑

n=−∞

|cn|2 (1.80)

όπου cn είναι οι μιγαδικοί συντελεστές της f(t). Η τελευταία αυτή σχέση είναιγνωστή και ως θεώρημα Parseval.Στην περίπτωση μιας πραγματικής συνάρτησης f(t) οι μιγαδικοί συντελεστές

δίνονται από τις σχέσεις

cn =| cn | ejϕn , (1.81)

c−n = c∗n =| cn | e−jϕn , (1.82)

όπου ο αστερίσκος συμβολίζει το συζυγή μιγαδικό. Η σχέση ανάμεσα στους συν-τελεστές cn και τους τριγωνομετρικούς συντελεστές του αναπτύγματος Fourierεκφράζεται μέσω των εξισώσεων

| cn |= 1

2

√

a2 + b2 , (1.83)

ϕn = tan−1

(

− bnan

)

∀n 6= 0 . (1.84)

για n = 0 ο όρος c0 είναι πραγματικός και ισχύει c0 = a0/2.

1.7 Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών

΄Οπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η ανάλυση Fourier δεν εφαρμόζεται μόνον σεσυναρτήσεις των οποίων η αναλυτική μορφή είναι γνωστή, αλλά και σε συναρτήσειςγια τις οποίες είναι γνωστές ορισμένες διακριτές τιμές fi = f(ti) για συγκεκριμέ-νες τιμές ti της μεταβλητής t στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Προϋπόθεση γιατη δυνατότητα εφαρμογής ενός αναπτύγματος Fourier σε διακριτές τιμές μιας συ-νάρτησης είναι οι τιμές ti να είναι ισαπέχουσες, να απέχουν δηλαδή ίσα διαστήματαμεταξύ τους (ισαπέχοντα σημεία ti στον άξονα t). Στόχος της ανάλυσης Fourierδιακριτών τιμών είναι ο εντοπισμός των περιοδικών συνιστωσών της συνάρτησηςτης διακριτής συνάρτησης.Στην ανάλυση Fourier διακριτών συναρτήσεων χρησιμοποιείται συνήθως το

θεμελιώδες μήκος κύματος λ (χωρική περίοδος) της συνάρτησης f(t). ΄Ετσι λοιπόν


μια συνάρτηση f(t) με μήκος κύματος λ μπορεί να αναπτυχθεί σε ένα άθροισμααρμονικών συναρτήσεων, οι οποίες έχουν μήκη κύματος ακέραια υποπολλαπλάσιατου θεμελιώδους μήκους κύματος λ (δηλαδή λ, λ/2, λ/3, λ/4, ...).Το ανάπτυγμα Fourier διακριτών συναρτήσεων έχει τη μορφή

f(t) =ao

2+

N∑

n=1

(

an cos2πntiλ

+ bn sin2πntiλ

)

, (1.85)

ενώ οι συντελεστές an, bn δίνονται από τις σχέσεις

an =2

N

N∑

i=1

fi cos2πntiλ

, (1.86)

bn =2

N

N∑

i=1

fi sin2πntiλ

, (1.87)

όπου N είναι τα διακριτά ζεύγη τιμών (ti, fi) για i = 1, 2, ..., N .Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση των διακριτών τιμών, το εύρος της

συνάρτησης fi στο σημείο ti προσδιορίζεται από ένα άθροισμα ημιτονικών καισυνημιτονικών κυμάτων, που εκφράζουν τις n αρμονικές που περιλαμβάνει η συγ-κεκριμένη συνάρτηση. Η πρώτη αρμονική ή θεμελιώδης συχνότητα έχει μήκοςκύματος λ, η δεύτερη λ/2 κ.ο.κ. Οι συντελεστές an, bn των αρμονικών που δενυπάρχουν στο δείγμα των διακριτών τιμών είναι πολύ κοντά στο μηδέν, ενώ έχουνμεγάλες τιμές για τις αρμονικές που αντιστοιχούν σε μήκη κύματος που κυριαρχούνστο δείγμα των διακριτών τιμών.Ο συντελεστής a0, σε αναλογία με τον αντίστοιχο συντελεστή της ανάλυσης

Fourier συνεχών συναρτήσεων, υπολογίζεται από τη σχέση

a0 =∑ fi

N, (1.88)

είναι δηλαδή ο συντελεστής a0 ο μέσος όρος των τιμών της συνάρτησης fi.Στην ανάλυση των διακριτών τιμών το θεμελιώδες μήκος κύματος λ συνδέεται

με τη γωνιακή χωρική συχνότητα k (angular spatial frequency) μέσω της σχέσης

k =2π

λ= 2πκ , (1.89)

όπου

κ =1

λ, (1.90)

είναι ο κυματαριθμός ή αρμονικός αριθμός. Η γραφική (γεωμετρική) αναπαράστασητης ισχύος (βλ. εξίσωση 1.93) συναρτήσει του κυματαριθμού κ είναι το φάσμαισχύος (power spectrum) (βλ. π.χ. Davis 1973).Οι αρμονικοί συντελεστές an, bn μπορεί να εκφρασθούν συναρτήσει του εύρους

A των αρμονικών που υπολογίζεται από το δείγμα των διακριτών τιμών και τωναντιστοίχων γωνιών φάσης ϕn μέσω των σχέσεων


An =1

2

√

a02 + b2n , (1.91)

ϕn = tan−1

(

− bnan

)

. (1.92)

Από τους συντελεστές an, bn υπολογίζεται επίσης η μεταβλητότητα ή ισχύς,που δίνεται από τη σχέση

s2n = a2n + b2n . (1.93)

Αν θεωρήσουμε και τη μεταβλητότητα sf των fi τιμών της συνάρτησης f(t),τότε μπορεί να υπολογιστεί και η επί της εκατό συνεισφορά της n αρμονικής στοανάπτυγμα Fourier από τη σχέση (Davis 1973)

επί τοις εκατό συνεισφορά =s2ns2f

x100 (1.94)

Στα αναπτύγματα των διακριτών τιμών η αναπαράσταση των συναρτήσεωνπραγματοποιείται με N/2 ζεύγη συντελεστών an, bn, όπου το όριο N/2 ονομάζεταισυχνότητα Nyquist (βλ. και ενότητα 2.3.4). Το μήκος κύματος της συχνότηταςNyquist είναι 2∆, όπου ∆ είναι η απόσταση μεταξύ δύο ισαπεχουσών διακριτώντιμών.Μία τελευταία παρατήρηση αφορά τις μονάδες των μεγεθών που εμπλέκονται

στην ανάλυση διακριτών αλλά και συνεχών συναρτήσεων. Στην ανάλυση συνε-χών συναρτήσεων η συνάρτηση χρόνου f(t) έχει περίοδο (διάρκεια) T που δίνεταισε second [s]. Η θεμελιώδης συχνότητα ω0 και οι αρμονικές της θεμελιώδουςσυχνότητας 2ω, 3ω, 4ω κ.ο.κ. έχουν μονάδες [rad/s]. Στην ανάλυση διακριτώντιμών που αναπτύχθηκε στην ενότητα αυτή και βασίζεται στο μήκος κύματος λπου δίνεται σε μονάδες μήκους, οι διάφορες ποσότητες στη διακριτή ανάλυση έ-χουν ανάλογες μονάδες. Για παράδειγμα η γωνιακή χωρική συχνότητα k δίνεται σε[rad/m] και ο κυματαριθμός σε [cycles/m] ή γενικότερα σε [rad/μονάδα μήκους]και [cycles/μονάδα μήκους] αντιστοίχως.

1.8 Αρμονική ανάλυση στο επίπεδο

Η αρμονική ανάλυση στο επίπεδο αντιστοιχεί στην εύρεση του αναπτύγματος Fou-rier μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών f(x, y) στο πεδίο ορισμού της. Αν θεωρή-σουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται στα διαστήματα (0 ≤ x ≤ Tx, 0 ≤ y ≤ Ty),τότετο ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης έχει τη μορφή

f(x, y) =∞∑

n=0

∞∑

m=0

[

αnm cosnx cosmy + bnm sinnx cosmy +

+cnm cosnx sinmy + dnm sinnx sinmy]

. (1.95)


Οι συντελεστές του αναπτύγματος δίνονται επίσης από τις ακόλουθες σχέσεις:

αnm =4

TxTy

Tx∫

0

Ty∫

0

f(x, y) cosnx cosmydxdy (1.96)

bnm =4

TxTy

Tx∫

0

Ty∫

0

f(x, y) sinnx cosmydxdy (1.97)

cmn =4

TxTy

Tx∫

0

Ty∫

0

f(x, y) cosnx sinmydxdy (1.98)

dmn =4

TxTy

Tx∫

0

Ty∫

0

f(x, y) sinnx sinmnydxdy (1.99)

Η ανάλυση που παρουσιάστηκε προηγουμένως αντιστοιχεί στην πράξη στο ανά-πτυγμα της συνάρτησης f(x, y) σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που ορίζεταιμε (0 ≤ x ≤ Tx, 0 ≤ y ≤ Ty).

1.9 Αρμονική ανάλυση στον κύκλο

Η ανάλυση στον κύκλο, όπου το πεδίο ορισμού είναι εξ ορισμού περιοδικό, ισχύουνοι παρακάτω σχέσεις για την περίοδο και την κυκλική συχνότητα (η μεταβλητή tαντικαθίσταται από τη γωνία θ)

T = 2π (1.100)

ωn =2πn

T=

2πn

2π= n (1.101)

και η σειρά στον κύκλο έχει τη μορφή

f(θ) = ao +

∞∑

n=1

[a cos(ωnθ) + bn sin(ωnθ)] ⇒ (1.102)

f(θ) = ao +

∞∑

n=1

[ao cos(nθ) + bn sin(nθ)] (1.103)

Οι συντελεστές της σειράς δίνονται μέσω των σχέσεων

ao =1

2π

2π∫

0

f(θ)dθ (1.104)

an =1

π

2π∫

0

f(θ) cos(nθ)dθ (1.105)


bn =1

π

2π∫

0

f(θ) sin(nθ)dθ (1.106)

1.10 Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα - Σφαι-

ρικές αρμονικές

Η αρμονική ανάλυση Fourier στη σφαίρα σχετίζεται με τον κατάλληλο μετασχη-ματισμό συντεταγμένων από καρτεσιανές σε σφαιρικές

x = r sin θ cosλ (1.107)

y = r sin θ sinλ (1.108)

z = r cos θ (1.109)

και 0 ≤ λ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της σφαιρικήςσύναρτησης f(λ, θ) δίνεται από τη σχέση

f(λ, θ) =

∞∑

m=0

[

Am(θ) cos(mλ) +Bm(ϕ) sin(θλ)

]

(1.110)

Am(θ) =

∞∑

n=0

[

CAnm cos(nθ) + SA

nm sin(nθ)

]

(1.111)

Bm(θ) =∞∑

n=0

[

CBnm cos(nθ) + SB

nm sin(nθ)

]

(1.112)

f(λ, θ) =

∞∑

n=0

∞∑

m=0

[

CAnm cos(nθ) cos(mλ) + SA

nm sin(nθ) cos(mλ)

+CBnm cos(nθ) sin(mλ) + SB

nm sin(nθ) sin(mλ)

]

(1.113)

Οι συντελεστές CAnm, S

Anm, C

Bnm και S

Bnm υπολογίζονται εκ των προτέρων με μια

χωριστή διαδικασία ανάλογα με το είδος της εφαρμογής.

1.11 Γενικευμένες συναρτήσεις

Συνάρτηση μοναδιαίας ώσης - συνάρτηση δέλτα του Dirac

Ορισμός:

δ(t) =

{0 t 6= 0∞ t = 0

(1.114)

∞∫

−∞

δ(t)dt =

ǫ∫

−ǫ

δ(t)dt = 1, ǫ > 0 (1.115)


Γενικευμένη μορφή:

∞∫

−∞

δ(r)ϕ(t)dt = ϕ(0) (1.116)

Η συνάρτηση δέλτα του Dirac έχει μεγάλη σημασία για ένα πλήθος εφαρμογώντων γεωεπιστημών. Δεν είναι μια αυστηρή μαθηματική συνάρτηση με την κλασικήέννοια, αλλά ανήκει σε μία κατηγορία «ομαλών συναρτήσεων».Η γενικευμένη συνάρτηση δ(t) μπορεί να θεωρηθεί ως «γενικευμένη» παράγω-

γος της βηματικής συνάρτηση

u(t) =

{0 t < 01 t > 0

(1.117)

Στη συνέχεια δίνονται ορισμένες ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα με τις αποδείξειςτους.Θεώρημα ισότητας: Είναι g1(t) = g2(t) εάν και μόνο εάν

∞∫

−∞

g1(t)ϕ(t)dt =

∞∫

−∞

g2(t)ϕ(t)dt (1.118)

Ιδιότητες της δ(t)

∞∫

−∞

δ(t− to)ϕ(t)dt = ϕ(to) (1.119)

δ(at) =1

|α|δ(t) (1.120)

δ(−1) = δ(t) (1.121)

f(t)δ(t) = f(0)δ(t), (1.122)

όπου f(t) συνεχής στο t = 0.Απόδειξη ιδιοτήτων1.

∞∫

−∞

δ(t− to)ϕ(t)dt = ϕ(to) (1.123)

΄Εστω t− to = r, t = r + to, dt = dr οπότε

∞∫

−∞

δ(t− to)ϕ(t)dt =

∞∫

−∞

δ(r)ϕ(r + to)dr =

∞∫

−∞

δ(t)ϕ(t+ to)dt (1.124)

και εξ ορισμού

∞∫

−∞

δ(t)ϕ(t+ to)dt = ϕ(t+ to)∣∣t=0

= ϕ(to) (1.125)


2.

δ(at) =1

|a|δ(t) (1.126)

at = r, t = r/a, dt = (1/a)dr

Για a > 0 ισχύει:

∞∫

−∞

δ(at)ϕ(t)dt =1

a

∞∫

−∞

δ(r)ϕ( r

a

)

dr =1

a

∞∫

−∞

δ(t)ϕ( t

a

)

dt

=1

aϕ( t

a

)∣∣∣t=0

=1

|a|ϕ(0) (1.127)

Για a < 0 ισχύει:

∞∫

−∞

δ(at)ϕ(t)dt =1

a

∞∫

−∞

δ(r)ϕ(r

a)dr

=1

−a

∞∫

−∞

δ(t)ϕ(t

a)dt =

1

−aϕ(0) =1

|a|ϕ(0) (1.128)

Για κάθε a ισχύει:∞∫

−∞

δ(at)ϕ(t)dt =1

|a|ϕ(0) (1.129)

Με αντικατάσταση της σχέσης∞∫

−∞

δ(t)ϕ(t)dt = ϕ(0) στην προηγούμενη σχέση

προκύπτει∞∫

−∞

δ(at)ϕ(t)dt =1

|a|ϕ(0) =1

|a|

∞∫

−∞

1

|a|δ(t)ϕ(t)dt (1.130)

για κάθε ϕ(t). Τελικά, εφαρμόζοντας το θεώρημα της ισότητας αποδεικνύεται

δ(at) =1

|a|δ(t) (1.131)

3.

δ(−t) = δ(t) (1.132)

Θέτοντας a = −1 στην δ(at) = (1/|a|)δ(t) προκύπτει δ(−t) = (1/| − 1|)δ(t) πουφανερώνει δ(−t) = δ(t) (δηλ. δ(t) άρτια συνάρτηση)

4.

f(t)δ(t) = f(0)δ(t) (1.133)


Αν η f(t) είναι συνεχής, τότε ισχύει

∞∫

−∞

[f(t)δ(t)]ϕ(t)dt =

∞∫

−∞

δ(t)[f(t)ϕ(t)]dt = f(0)ϕ(0)

= f(0)

∞∫

−∞

δ(t)ϕ(t)dt

=

∞∫

−∞

[f(0)δ(t)]ϕ(t)dt (1.134)

για κάθε ϕ(t). Με βάση το θεώρημα της ισότητας καταλήγουμε ότι ισχύει

f(t)δ(t) = f(0)δ(t) (1.135)

Η αναπαράσταση των συναρτήσεων δ(t) και δ(t− to) δίνεται και στο σχήμα 1.6.

Σχήμα 1.6: Η συνάρτηση μοναδιαίας ώσης


1.12 Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f(t) = cos 2t

ΛΥΣΗ: Είναι cos(θ + 2πm) = cos θ cos 2πm− sin θ sin 2πmκαι cos(θ + 2πm) = cos θ για κάθε ακέραιο mκαθώς cos 2πm = 1 και sin 2πm = 0 για κάθε ακέραιο mΕπομένως

cos 2(t+ T ) = cos 2t

cos(2t+ 2T ) = cos 2t

και επειδή cos(θ + 2πm) = cos θ προκύπτει

2T = 2πm→ T = πm

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f(t) = cos(t/3)+cos(t/4)

ΛΥΣΗ: Ισχύει

cos1

3(t+ T ) + cos

1

4(t+ T ) = cos

t

3+ cos

t

4

Επειδή cos(θ + 2πm) = cos θ για κάθε ακέραιο m, όπως αποδείχθηκε στην προη-γούμενη άσκηση, προκύπτει (m και n ακέραιοι)

1

3T = 2πm

1

4T = 2πn

Επομένως T = 6πm = 8πn. ΄Οταν m = 4 και n = 3 έχουμε τη μικρότερη τιμήτου T . Επομένως η περίοδος είναι T = 24π.

ΑΣΚΗΣΗ 3: Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f(t) = cosω1t+ cosω2t(Γενίκευση της προηγούμενης)

ΛΥΣΗ: Για να είναι περιοδική η συνάρτηση με περίοδο T πρέπει να ισχύει:

ω1T = 2πm ω2T = 2πn

και τελικά ω1/ω2 = m/n, δηλαδή ο λόγος των συχνοτήτων ω1 και ω2 πρέπει ναείναι λόγος ακεραίων αριθμών.

ΑΣΚΗΣΗ 4: Να βρεθεί αν η συνάρτηση f(t) = cos 10t + cos(10 + π)t είναιπεριοδική.


ΛΥΣΗ: Είναι ω1 = 10, ω2 = 10 + πω1/ω2 = 10/(10 + π) ο λόγος των συχνοτήτων δεν είναι λόγος ακεραίων

αριθμών, άρα δεν ικανοποιείται η σχέση f(t) = f(t + T ), άρα η f(t) δεν είναιπεριοδική.

ΑΣΚΗΣΗ 5: Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f(t) = | sinω1t| και ηβασική της κυκλική συχνότητα, όταν ω1 = 2π/T1 και T1 είναι η περίοδος τηςσυνάρτησης sinω1t.

ΛΥΣΗ: Σχεδιάζουμε τις sinω1t και | sinω1t|

Σχήμα 1.7: Γραφική παράσταση 5ης άσκησης

Η περίοδος της f(t) = | sinω1t| είναι T1/2 και η θεμελιώδης κυκλική συχνότητατης είναι 2π/(T1/2) = 4π/T1 = 2ω1

ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν f(t+ T ) = f(t) και

g(t) =

∞∫

0

f(r)dr

να δειχθεί ότι g(t+ T ) = g(t) εφόσον ισχύει

T/2∫

−T/2

f(t)dt = 0.

ΛΥΣΗ: Επειδή

g(t) =

T∫

0

f(r)dr


είναι

g(t+ T ) =

t+T∫

0

f(r)dr =

T∫

0

f(r)dr +

T+t∫

T

f(r)dr

και από τις ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων

β∫

α

f(t)dt =

β+T∫

α+T

f(t)dt

T∫

0

f(t)dt =

α+T∫

α

f(t)dt

ισχύει

T∫

0

f(r)dr =

T/2∫

−T/2

f(r)dr =

T/2∫

−T/2

f(t)dt

T+t∫

T

f(t)dt =

t∫

0

f(t)dt

οπότε

g(t+ T ) =

T/2∫

−T/2

f(t)dt+

t∫

0

f(t)dt

και

g(t+ T ) = g(t)

εάν

T/2∫

−T/2

f(t)dt = 0

ΑΣΚΗΣΗ 7: Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας

T/2∫

−T/2

cos(mωot) cos(nωot) =

{0, m 6= nT/2, m = n 6= 0


ΛΥΣΗ: Από την τριγωνομετρία έχουμε

cosA cosB =1

2[cos(A+B) + cos(A−B)]

Ισχύει επίσης

ωot∣∣t=±T/2

= ±T/2 =2π

T

(

± T

2

)

= ±πT/2∫

−T/2

cos(mωot) cos(nωot)dt

=1

2

T/2∫

−T/2

{cos[(m+ n)ωot] + cos[(m− n)ωot]}dt

=1

2

1

(m+ n)ωosin[(m+ n)ωot]

∣∣∣

T/2

−T/2

+1

2

1

(m− n)ωosin[(m− n)ωot]

∣∣∣

T/2

−T/2

=1

2

1

(m+ n)ωo{sin[(m+ n)π]

+ sin[(m+ n)π]}

+1

2

1

(m− n)ωo{sin[(m− n)π] + sin[(m− n)π]} = 0

Η παραπάνω ισχύει εάν m 6= n καθώς και sinkπ = 0 για κάθε k.Εάν m = n 6= 0, από την τριγωνομετρία είναι cos2 θ = (1/2)(1+cos 2θ) οπότε:

T/2∫

−T/2

cos(mωot) cos(nωot)dt =

T/2∫

−T/2

cos2(mωot)dt

=1

2

T/2∫

−T/2

[1 + cos 2mωot]dt

=1

2t∣∣∣

T/2

−T/2+

1

4mωosin 2mωot

∣∣∣

T/2

−T/2=T

2

ΑΣΚΗΣΗ 8: Να αποδειχθεί

T/2∫

−T/2

sin(mωot) cos(nωot)dt = 0

για κάθε m, n


ΛΥΣΗ:

T/2∫

−T/2

sin(mωot) cos(nωot)dt

=1

2

T/2∫

−T/2

{sin[(m+ n)ωot] + sin[(m− n)ωot]}dt

=1

2

(−1)

(m+ n)ωocos[(m+ n)ωot]

∣∣∣

T/2

−T/2

+1

2

(−1)

(m− n)ωocos[(m− n)ωot]

∣∣∣

T/2

−T/2= 0(m 6= n)

Εάν m = n 6= 0, έχοντας υπόψη sin 2θ = 2 sin θ cos θ προκύπτει

T/2∫

−T/2

sin(mωot) cos(nωot)dt =

=1

2

T/2∫

−T/2

sin(2mωot)dt = − 1

4mωocos(2mωot)

∣∣∣

T/2

−T/2= 0

Προφανώς για m = n = 0 το ολοκλήρωμα είναι μηδέν.

ΑΣΚΗΣΗ 9: ΄Ενα σύνολο συναρτήσεων {ϕn(t)}, n = 1, 2, ... ονομάζεται

ορθοκανονικό στο διάστημα (α, β) εάνβ∫

α

ϕn(t)ϕ∗m(t)dt = δmn, όπου δmn (δέλτα

του Kronecker) ορίζεται με

δmn =

{1, m = n0, m 6= n

και ο αστερίσκος σημαίνει τη συζυγή μιγαδική συνάρτηση.΄Εστω f(t) συνάρτηση που ορίζεται στο (a, b) και έστω ότι αναπαρίσταται ως

f(t) = c1ϕ1(t) + c2ϕ2(t) + · · · + cnϕn(t) =

∞∑

n=1

cnϕn(t)

σε ολόκληρο το διάστημα (a, b). cn είναι σταθερές. Να δειχθεί ότι:

cn =

b∫

a

f(t)ϕn(t)dt, n = 1, 2, ...


ΛΥΣΗ: Πολλαπλασιάζοντας f(t) με ϕ∗m(t) και ολοκληρώνοντας στο διάστημα

(a, b) προκύπτει:

b∫

a

f(t)ϕ∗

m(t)dt =

b∫

a

[∞∑

n=1

cnϕn(t)

]

ϕ∗

m(t)dt

=

∞∑

n=1

cn

b∫

a

ϕn(t)ϕ∗

m(t)dt

=

∞∑

n=1

cnδnm = cm

Αλλάζοντας m με n προκύπτει

cn =

b∫

a

f(t)ϕ∗

n(t)dt

ΑΣΚΗΣΗ 10: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης f(t)

f(t) =

{0, −T/2 < t < 0

A sinωot, 0 < t < T/2

και f(t+ T ) = f(t), ωo = 2π/T .

Σχήμα 1.8: Γραφική παράσταση της 10ης άσκησης

ΛΥΣΗ: Επειδή f(t) = 0 όταν −T/2 < t < 0

ao =2

T

T/2∫

0

A sin(ωot)dt =2A

Tωo(− cosωot)

∣∣∣

T/2

0


=A

π(1 − cosπ) =

2A

π

an =2

T

T/2∫

0

A sin(ωot) cos(nωot)dt

=A

T

T/2∫

0

{sin[(1 + n)ωot] + sin[(1 − n)ωot]}dt

n = 1 a1 =A

T

T/2∫

0

sin(2ωot)dt =A

T(− 1

2ωocos 2ωt)

∣∣∣

T/2

0

=A

4π[1 − cos(2π)] =

A

4π(1 − 1) = 0

n = 2, 3, ... an =A

T

{

− cos[(1 + n)ωot]

(1 + n)ωo− cos[(1 − n)ωot]

(1 − n)ωo

}∣∣∣

T/2

0

=A

2π

{1 − [cos(1 + n)π]

1 + n+

1 − cos[(1 − n)π]

1 − n

}

=

{0 n = περιττό

A2π

(2

1+n + 21−n

)

= − 2A(n−1)(n+1)π n = άρτιο

bn =2

T

T/2∫

0

A sin(ωot) sin(nωot)dt

=A

T

T/2∫

0

{cos[(1 − n)ωot] − cos[(1 + n)ωot]}dt

n = 1 b1 =A

T

T/2∫

0

dt− A

T

T/2∫

0

cos(2ωot)dt

=A

2− A

T

sin 2ωot

2ωo

∣∣∣

T/2

0=A

2

n = 2, 3... bn =A

T

{ sin[(1 − n)ωot]

(1 − n)ωo− sin[(1 + n)ωot]

(1 + n)ωo

}∣∣∣

T/2

0

=A

2π

{ sin[(1 − n)π] − sin 0

1 − n− sin[(1 + n)π] − sin0

1 + n

}

= 0

Τελικά

f(t) =A

π+A

2sinωot−

2A

π

( 1

1 · 3 cos 2ωot+1

3 · 5 cos 4ωot+ · · ·)

ΑΣΚΗΣΗ 11: Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(t) = sin5 t σε σειρά Fourier


ΛΥΣΗ: Ισχύουν οι ταυτότητες:

e±jnθ = cosnθ ± j sinnθ

cosnθ =ejnθ + e−jnθ

2

sinnθ =ejnθ − e−jnθ

2j

Είναι:

sin5 t =(ejt − e−jt

2j

)5

=1

32j(e15t − 5ej3t + 10ejt − 10e−jt + 5e−j3t − ej5t)

=5

8sin t− 5

16sin 3t+

1

16sin 5t

ΑΣΚΗΣΗ 12: Να αποδειχθούν οι σχέσεις ορθογωνικότητας:

T/2∫

−T/2

ejnωot · 1dt = 0, n 6= 0

T/2∫

−T/2

ejnωot(ejmωot)∗dt =

{0 n 6= mT n = m

Οι ανωτέρω σχέσεις δείχνουν ότι οι συναρτήσεις {ejnωot}, n = 0,±1,±2, . . .σχηματίζουν ένα ορθογωνικό σύνολο συναρτήσεων στο −T/2 < t < T/2. Οαστερίσκος (*) συμβολίζει το συζυγή μιγαδικό.

ΛΥΣΗ:

T/2∫

−T/2

ejnωot · 1dt =1

jnωoejnωot

∣∣∣

T/2

−T/2=

1

jnωo(ejnπ − e−jnπ) = 0, n 6= 0

καθώς ejnπ = e−jnπ = (−1)n

T/2∫

−T/2

ejnωot(ejmωot)∗dt =

T/2∫

−T/2

ejnωote−jmωotdt

=

T/2∫

−T/2

ej(n−m)ωotdt


=1

j(n−m)ωoej(n−m)ωot

∣∣∣

T/2

−T/2

=1

j(n−m)ωo(ej(n−m)π − e−j(n−m)π) = 0

για n 6= m καθώς ej(n−m)π = e−j(n−m)π = (−1)n−m

Για n = m ισχύει:

T/2∫

−T/2

ejnωot(ejnωot)∗dt =

T/2∫

−T/2

ejnωote−jnωotdt

=

T/2∫

−T/2

e0dt =

T/2∫

−T/2

dt = T

ΑΣΚΗΣΗ 13: Να δειχθεί ότι: (α) tδ(t) = 0, (β) etδ(t) = δ(t), (γ) sin tδ(t) =0, (δ) cos δ(t) = δ(t).

ΛΥΣΗ: (α) tδ(t) = 0 δ(t) = 0(β) etδ(t) = e0δ(t) = 1δ(t) = δ(t)(γ) sin tδ(t) = sin 0δ(t) = 0δ(t) = 0(δ) cos tδ(t) = cos 0δ(t) = 1δ(t) = 1

ΑΣΚΗΣΗ 14: Να δειχθεί ότι: f(t)δ(t− to) = f(to)δ(t− to)

ΛΥΣΗ:

∞∫

−∞

f(t)δ(t− to)ϕ(t)dt =

∞∫

−∞

δ(t− to)[f(t)ϕ(t)dt]

= f(to)ϕ(to)∞∫

−∞

f(t)δ(t− to)ϕ(t)dt = f(to)

∞∫

−∞

δ(t− to)ϕ(t)dt

=

∞∫

−∞

f(to)δ(t− to)ϕ(t)dt

Καθώς ϕ(t) τυχαία συνάρτηση, καταλήγουμε στο:

f(t)δ(t− to) = f(to)δ(t− to)


ΑΣΚΗΣΗ 15: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης f(t)

f(t) =

{−1, −T/2 < t < 01, 0 < t < T/2

και f(t+ T ) = f(t), όπως φαίνεται και στο σχήμα.

Σχήμα 1.9: Γραφική παράσταση της 15ης άσκησης

ΛΥΣΗ: Θέτοντας

ωot∣∣∣t=±T/2

=2π

T

(

± T

2

)

= ±π

ο συντελεστής an υπολογίζεται από

an =2

T

T/2∫

−T/2

f(t) cos(nωot)dt

=2

T

[0∫

−T/2

− cos(nωot)dt+

T/2∫

0

cos(nωot)dt]

=2

T

( −1

nωosinnωot

∣∣∣

0

−T/2+

1

nωosinnωot

∣∣∣

T/2

0

)

=2

T

{ −1

nωo[sin 0 − sin(−nπ)] +

1

nωo[sin(nπ) − sin 0]

}

= 0

αφού είναι sin 0 = sin(nπ) = 0.


Για n = 0 ισχύει

1

2ao =

1

T

T/2∫

−T/2

f(t)dt = 0

αφού η μέση τιμή του f(t) σε μια περίοδο είναι 0.Λαμβάνοντας ωoT = (2π/T )T = 2π ισχύει

bn =2

T

T/2∫

−T/2

f(t) sin(nωot)dt

=2

T

[0∫

−T/2

− sin(nωot)dt+

T/2∫

0

sin(nωot)dt]

=2

T

[ 1

nωocos(nωot)

∣∣∣

0

−T/2+

−1

nωocos(nωot)

∣∣∣

T/2

0

]

=2

nωot{[1 − cos(−nπ)] − [cos(nπ) − 1]}

=2

nπ(1 − cosnπ)

Εφόσον cosnπ = (−1)n, ισχύει

bn =

{0, n άρτιος

4/(nπ), n περιττός

Επομένως

f(t) =4

π

∞∑

n=1

1

nsinωot

=4

π

(

sinωot+1

3sin 3ωot+

1

5sin 5ωot+ · · ·

)

ΑΣΚΗΣΗ 16: Να προσεγγιστεί η συνάρτηση

f(t) =

{−1 −π < t < 01 0 < t < π

με τρεις όρους σε ανάπτυγμα Fourier και να υπολογιστεί το μέσο τετραγωνικόσφάλμα.

ΛΥΣΗ: Ειναι T = 2π, ωo = 2π/T = 1 και επομένως η προσέγγιση της f(t)είναι:

S5(t) =4

π(sin t+

1

3sin 3t+

1

5sin 5t)


Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι:

E5 =1

2π

π∫

−π

[f(t)]2dt− 1

2

(16

π2

)(

1 +1

32+

1

52

)

= 1 − 8

π2

(

1 +1

9+

1

25

)

= 0.067

ΑΣΚΗΣΗ 17: Να βρεθούν τα γραμμικά φάσματα της περιοδικής συνάρτησηςf(t) του σχήματος που συνίσταται από συνεχείς όμοιους τετραγωνικούς παλμούςμεγέθους A και διάρκειας d, για (α) d = 1/20, T = 1/4 sec και (β) d = 1/20,T = 1/2 sec.

Σχήμα 1.10: Γραφική παράσταση 17ης άσκησης

ΛΥΣΗ: Η συνάρτηση f(t) εκφράζεται ως εξής (βλ. και σχήμα 1.10):

f(t) =

{A −d/2 < t < d/20 −T/2 < t < −d/2, d/2 < t < T/2

cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t)e−jnωotdt =A

T

d/2∫

−d/2

e−jnωotdt

=A

T

1

−jnωoe−jnωot

∣∣∣

d/2

−d/2

=A

T

1

jnωo(ejnωod/2 − e−jnωod/2)

=Ad

T

1

(nωod/2)

1

2j(ejnωod/2 − e−jnωod/2)

=Ad

T

sin(nωod/2)

(nωod/2)


Επειδή nωod/2 = nπd/T είναι:

cn =Ad

T

sin(nπd/T )

(nπd/T )

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι οι cn είναι πραγματικοί. Το εύρος φάσμα-τος προκύπτει από τη γραφική παράσταση των |cn| ως προς τις διακριτές συχνό-τητες nωo. Η τελική εξίσωση έχει τιμές μόνο για τις διακριτές συχνότητες nωo.Δηλαδή το εύρος φάσματος υπάρχει μόνο στις τιμές ω = 0, ±2π/T , ±4π/T ,...(α) Για d = 1/20 και T = 1/4 sec, ωo = 2π/T = 8π, d/T = 1/5Το εύρος φάσματος υπάρχει στις τιμές συχνότητας ω = 0, ±8π, ±16π, ...,

όπως φαίνεται στο σχήμα. Επειδή d/T = 1/5, το εύρος φάσματος γίνεται μηδένγια τις τιμές nωo για τις οποίες είναι:

nωo(d/2) = mπ

ή

nπ(d/T ) = nπ(1/5) = mπ

για m = ±1,±2, .... Δηλαδή για ω = ±5ωo = ±40π, ±10ωo = ±80π, ±15ωo =±120π,...

Σχήμα 1.11: Εύρος φάσματος d = 1/20, T = 1/4, d/t = 1/5, ω0 = 2π/T = 8π

(β) Για d = 1/20 και T = 1/20 sec, ωo = 2π/T = 4π, d/T = 1/10.Το εύρος φάσματος υπάρχει στις συχνότητες ω = 0,±4π,±8π, ... και γίνεται

μηδέν στις συχνότητες nωo για τις οποίες

nωo(d/2) = mπ

ή

nπ(d/T ) = nπ(1/10) = mπ

για m = ±1,±2, .... Δηλ. για ω = ±10ωo = ±40π, ±20ωo = ±80π, ±30ωo =±120π,...


Σχήμα 1.12: Εύρος φάσματος d = 1/20, T = 1/2, d/t = 1/10, ω0 = 2π/T = 4π

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εάν στη γενική σχέση που δόθηκε προηγουμένως για το cnθέσουμε nω0d/2 = nπ/T = xn, τότε προκύπτει

cn =Ad

T

sinxn

xn

Η συνάρτηση

Sa(x) =sinx

x

ονομάζεται συνάρτηση δειγματοληψίας και η γραφική της παράσταση δίνεται στοσχήμα 1.13.

Σχήμα 1.13: Η συνάρτηση δειγματοληψίας

ΑΣΚΗΣΗ 18: Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x) = x2 (−π ≤ x ≤ π) σεσειρά Fourier.

ΛΥΣΗ: Η συνάρτηση είναι άρτια καθώς f(−x) = f(x) και έχει περίοδο (T =2π). Για τον υπολογισμό των συντελεστών του αναπτύγματος θα χρησιμοποιηθούνοι σχέσεις (1.43), (1.44), (1.45).Είναι επομένως


x

y

-π π 3π 5π

Σχήμα 1.14: Γραφική παράσταση της συνάρτησης της 18ης άσκησης

ao =2

π

π∫

0

x2dx =2

π

[

x3

3

]π

0

=2π2

3

an =2

π

π∫

0

x2 cosnxdx

Για τον υπολογισμό των συντελεστών an θα χρησιμοποιηθεί η ολοκλήρωση κατάμέρη μέσω καταλλήλων αντικαταστάσεων, όπως θα περιγραφεί στη συνέχεια.Η βασική σχέση για την ολοκλήρωση κατά μέρη είναι

∫

u(dv

dx

)

dv = uv −∫

v(du

dx

)

du

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος για τους συντελεστές an για n =1, 2, ... εφαρμόζεται η ολοκλήρωση κατά μέρη δύο φορές μέσω των ακόλουθωναντικαταστάσεων και είναι διαδοχικά:

u = x2

dv

dx= cosnx⇒ v =

∫

cosnxdx⇒ v =1

nsinnx

an =2

πn

[

x2sinnx

]π

0

− 4

πn

π∫

0

x sinnxdx


u = xdv

dx= sinnx⇒ v =

∫

sinnxdx⇒ v = − 1

ncosnx

an =2

πn

[

x2 sinnx

]π

0

+4

πn2

[

x cosnx

]π

0

− 4

πn2

π∫

0

cosnxdx

=4

πn2cosnπ =

(− 1)n 4

n2

Το τελικό ανάπτυγμα Fourier λοιπόν έχει τη μορφή

x2 =π2

3− 4(cosx− cos 2x

22+

cos 3x

32− ...)

ΑΣΚΗΣΗ 19: Να βρεθεί το ανάπτυγμα της συνάρτησης f(x) = x, (−π ≤x ≤ π) σε σειρά Fourier.

x

y

-π π 3π 5π


ΛΥΣΗ:

f(x) περιττή άρα an = 0

bn =2

π

π∫

0

x sinnxdx = − 2

nπ

[

x cosnx

]π

0

+2

nπ

π∫

0

x cosnxdx

= − 2

n=

2

n

(− 1)n+1


Το τελικό ανάπτυγμα Fourier είναι:

x = 2

(

sinx− sin 2x

2+

sin 3x

3− ...)

ΑΣΚΗΣΗ 20: Να αναπτυχθεί η συνάρτηση f(x) = x, (0 < x < 2π) σε σειράFourier.

ΛΥΣΗ: Η συνάρτηση f(x) δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια. Αν δημιουργηθείτο περιοδικό ανάπτυγμα της f(x), σύμφωνα με τις συνθήκες Dirichlet η σειρά συγ-κλίνει στα σημεία ασυνέχειας, στο μέσο όρο των τιμών από αριστερά και δεξιά (βλ.και σχήμα 1.16). Για τον υπολογισμό των συντελεστών an, bn χρησιμοποιούνταιοι σχέσεις (1.37), (1.38), (1.39).

x

y

2π

π

6π0 4π


ao =1

2π

2π∫

0

xdx =1

π

[

x2

2

]2π

0

= 2π

an =1

π

2π∫

0

x cosnxdx =1

πn

[

x sinnx

]2π

0

− 1

πn

2π∫

0

sinnxdx = 0 (n = 1, 2, ...) (1.136)

bn =1

π

2π∫

0

x sinnxdx = − 1

πn

[

x cosnx

]2π

0

+1

πn

2π∫

0

cosnxdx = − 2

n(n = 1, 2, ...)


Το τελικό ανάπτυγμα Fourier είναι:

x = π − 2

(

sinx+sin 2x

2+

sin 3x

3− ...

)

στο (0 < x < 2π)

ΑΣΚΗΣΗ 21: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης

f(x) =

{8 0 < x < 2−8 2 < x < 4

.

ΛΥΣΗ: T = 4. Για n = 0, 1, .... είναι διαδοχικά:

an =2

T

4∫

0

f(x) cos2πnx

Tdx =

2

T

2∫

0

8 cos2πnx

Tdx+

2

T

4∫

2

(−8) cos2πnx

Tdx

=16

T

T

2πn

[

sin2πnx

T

]2

0

− 16

T

T

2πn

[

sin2πnx

T

]4

2

=8

πn

[

sin2πnx

T

]2

0

− 8

πn

[

sin2πnx

T

]4

2

=8

πn

[

sin2πn2

T− sin

2πn0

T

]2

0

− 8

πn

[

sin2πn4

T− sin

2πn2

T

]4

2

=8

πn

[

sinπn− sin 0 − sin 2πn+ sinπn

]

=8

πn[0 − 0 − 0 + 0] = 0

Για n = 1, 2, .... είναι διαδοχικά:

bn =2

T

4∫

0

f(x) sin2πnx

Tdx =

2

T

2∫

0

8 sin2πnx

Tdx+

2

T

4∫

2

(−8) sin2πnx

Tdx

=16

T

T

2πn

[

− cos2πnx

T

]2

0

− 16

T

T

2πn

[

− cos2πnx

T

]4

2

=8

πn

[

− cos2πnx

T

]2

0

− 8

πn

[

− cos2πnx

T

]4

2

=8

πn

[

− cos2πn2

T+ cos

2πn0

T

]2

0

− 8

πn

[

− cos2πn4

T+ cos

2πn2

T

]4

2

=8

πn

[

− cosπn+ cos 0 + cos 2πn− cosπn

]

=8

πn[− cosπn+ 1 + 1 − cosπn] =

16

πn[1 − cosπn]


f(x) =

∞∑

n=1

16

πn(1 − cosπn) sin

2πnx

T=

16

π

∞∑

n=1

1 − cosπn

nsin

πnx

2

cosπn =

{1 n = άρτιο−1 n = περιττό

.

και επομένως

1 − cosπn =

{0 n = άρτιο2 n = περιττό

.

Παραμένουν μόνον οι όροι bn με n περιττό (n = 1, 3, 5, ...)

f(x) =16

π

∑

n=1,3,..

2

nsin

πnx

2

=16

π

(

2

1sin

πx

2+

2

3sin

3πx

2+

2

5sin

5πx

2+

2

7sin

7πx

2+ ...

)

=32

π

(

sinπx

2+

1

3sin

3πx

2+

1

5sin

5πx

2+

1

7sin

7πx

2+ ...

)

Στη συνέχεια δίνονται ορισμένες ασκήσεις με τις απαντήσεις τους.

ΑΣΚΗΣΗ 22: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης f(x) = |x|(−π ≤ x ≤ π).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

|x| =π

2− 4

π(cosx+

cos 3x

32+

cos 5x

52+ ...)

ΑΣΚΗΣΗ 23: Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση:

f(x, y) = xy, (−π < x, y < π)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

xy = 4∞∑

m,n=1

(−1)m+n sinmx sinny

mn


ΑΣΚΗΣΗ 24: Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση:

f(x, y) = xy, (0 < x, y < 2π)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

xy = π2 − 2π

∞∑

m=1

sinmx

m− 2π

∞∑

n=1

sinny

n+ 4

∞∑

m,n=1

sinmx sinny

mn

ΑΣΚΗΣΗ 25: Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ημιτονικών όρων η συνάρτη-ση:

f(x) = 1, (0 < x < π)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1 =4

π

(

sinx+sin 3x

3+

sin 5x

5+ ...

)

ΑΣΚΗΣΗ 26: Να βρεθεί το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης

f(x) =

{0 −5 < x < 03 0 < x < 5

.

Πώς πρέπει να οριστεί η συνάρτηση στα σημεία ασυνέχειας x = 5, x = 0, x = 5,ώστε η σειρά Fourier να συγκλίνει στην f(x) για (−5 ≤ x ≤ 5).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

f(x) =3

2+

6

π

(

sinπx

5+

1

3sin

3πx

5+

1

5sin

5πx

5+ ...

)

f(x) =

3/2 x = −50 −5 < x < 0

3/2 x = 03 0 < x < 5

3/2 x = 5

.

Κεφάλαιο 2

Μετασχηματισμοί Fourier

2.1 Συνοπτική θεωρία

Η σειρά Fourier μιας συνάρτησης f(t) σε μιγαδική μορφή δίνεται από τη σχέση

f(t) =

∞∑

n=−∞

cnejnω0t , (2.1)

όπου

cnejω0t + c−ne

jω0t =1

2(an − jbn)

[

cos(nω0t) + j sin(nω0t)

]

+1

2(an + jbn)

[

cos(nω0t) − j sin(nω0t)

]

= an sin(nω0t) + bn cos(nω0t) . (2.2)

Σε μιγαδική μορφή οι συντελεστές cn δίνονται από το ολοκλήρωμα

cn =1

T

T∫

0

f(t)e−jnω0tdt . (2.3)

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(t) και τις αντικαταστάσεις cn = ωF (ωn) καιnω0 = ωn προκύπτει η σχέση

f(t) =1

2π

∑

ωn

F (ωn)ejωntω . (2.4)

Ολοκληρώνοντας στο διάστημα [0, T ] για τις διακριτές συχνότητες ωn έχουμε

F (ωn) =

∫ T

0

f(t)e−jωntdt . (2.5)

45


Αν τώρα από τις δικριτές συχνότητες ωn περάσουμε στις συνεχείς ω και αντικατα-στήσουμε το διάστημα [0, T ] με το [−∞,∞] και την άθροιση με ολοκλήρωση, κα-ταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για το μετασχηματισμό Fourier (Fourier transform),που είναι γνωστό και ως ευθύς μετασχηματισμός Fourier

F (ω) =

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt (2.6)

καθώς και στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier μέσω του ολοκληρώματος

f(t) =1

2π

∞∫

−∞

F (ω)ejωtdω . (2.7)

Ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier της f(t) συμβολίζεται με F, είναι δηλαδή

F (ω) = F[f(t)] =

∞∫

−∞


και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της F (ω) συμβολίζεται με F−1, είναι

δηλαδή

f(t) = F−1[F (ω)] =

1

2π

∞∫

−∞

F (ω)ejωtdω . (2.9)

Οι συναρτήσεις λοιπόν που συνδέονται μέσω των προηγουμένων σχέσεων συνι-στούν ένα ζεύγος Fourier, δηλαδή:

f(t) ↔ F (ω) . (2.10)

Το φάσμα Fourier

F (ω) = F[f(t)] (2.11)

είναι γενικά μιγαδικό και ισχύουν οι σχέσεις

F (ω) = R(ω) + jI(ω) = |X(ω)|ejϕ(ω) , (2.12)

R(ω) =

∞∫

−∞

x(t) cos(ωt)dt , (2.13)

I(ω) = −∞∫

−∞

x(t) sin(ωt)dt , (2.14)

όπου R(ω), I(ω) είναι αντίστοιχα το πραγματικό και φανταστικό μέρος του φάσμα-τος.


Με βάση τη μιγαδική μορφή του φάσματος F (ω)

F (ω) = |F (ω)|ejϕ(ω) , (2.15)

ορίζεται το φάσμα εύρους (amplitude spectrum)

|F (ω)| =√

R2(ω) + I2(ω) , (2.16)

το φάσμα ενέργειας (energy spectrum)

|F (ω)|2 = R2(ω) + I2(ω) (2.17)

και το φάσμα φάσης (phase spectrum)

ϕ(ω) = arctanI(ω)

R(ω). (2.18)

Οι αντίστροφες των σχέσεων (2.16), (2.18) είναι οι σχέσεις:

R(ω) = |F (ω)| cos[ϕ(ω)], (2.19)

I(ω) = |F (ω)| sin[ϕ(ω)]. (2.20)

Τα φάσματα που ορίσθηκαν προηγουμένως απεικονίζονται στο σχήμα (2.1).

Σχήμα 2.1: Φάσμα εύρους, φάσμα ενέργειας, φάσμα φάσης


2.1.1 Ιδιότητες μετασχηματισμών Fourier και απο-δείξεις

Γραμμικότητα ή επαλληλία: Εάν f1(t) ↔ F1(ω) και f2(t) ↔ F2(ω) τότε a1f1(t)+a2f2(t) ↔ a1F1(ω) + a2F2(ω) όπου a1 και a2 σταθερές.

Απόδειξη:

F[a1f1(t) + a2f2(t)] =

∞∫

−∞

[a1f1(t) + a2f2(t)]e−jωtdt

= a1

∞∫

−∞

f1(t)e−jωtdt+ a2

∞∫

−∞

f2(t)e−jωtdt

= a1F1(ω) + a2F2(ω) (2.21)

Συμμετρία: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε F (t) ↔ 2πf(−ω)

Απόδειξη:Από τον ορισμό είναι

2πf(t) =

∞∫

−∞

F (ω)ejωtdω. (2.22)

Αλλάζοντας t με −t

2πf(−t) =

∞∫

−∞

F (ω)e−jωtdω (2.23)

και αλλάζοντας t με ω προκύπτει

2πf(−ω) =

∞∫

−∞

F (t)e−jωtdt = F[F (t)] (2.24)

Χρονική μετάθεση: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε f(t− to) ↔ F (ω)e−jωto

Απόδειξη:

F[f(t− to)] =

∞∫

−∞

f(t− to)e−jωtdt (2.25)

και θέτοντας t− to = x⇒ dt = dx

F[f(t− to)] =

∞∫

−∞

f(x)e−jω(to+x)dx = e−jωto

∞∫

−∞

f(x)e−jωxdx = e−jωtoF (ω)

(2.26)


Φασματική μετάθεση: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε f(t)ejωot ↔ F (ω − ωo)

Απόδειξη:

F[f(t)ejωot] =

∞∫

−∞

[f(t)ejωot]e−jωtdt =

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω−ωo)tdt = F (ω−ωo) (2.27)

Μεταβολή κλίμακας χρόνου: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε f(at) ↔ (1/|a|)F (ω/a)

Απόδειξη:Για a > 0 ισχύει:

F[f(at)] =

∞∫

−∞

f(at)e−jωtdt (2.28)

΄Εστω at = x⇒ adt = dx⇒ dt = (1/a)dx

F[f(at)] =1

a

∞∫

−∞

f(x)e−j(ω/a)xdx (2.29)

F[f(at)] =1

a

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω/a)tdt =1

|a|F(ω

a

)

(2.30)

Για a < 0 ισχύει:

F[f(at)] =

∞∫

−∞

f(at)e−jωtdt (2.31)

Θεωρώντας at = x προκύπτει

F[f(at)] =1

a

∞∫

−∞

f(x)e−j(ω/a)xdx

= −∣∣∣1

a

∣∣∣

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω/a)tdt

=1

|a|F( ω

|a|)

(2.32)

Τελικά ισχύει:

F[f(at)] =1

|a|F( ω

|a|)

(2.33)

Αν στην αρχική εξίσωση τεθεί a = −1 τότε προκύπτει:

f(−t) ↔ F (−ω) (2.34)


Θεώρημα της διαμόρφωσης: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε

f(t) cosωot↔1

2F (ω − ωo) +

1

2F (ω + ωo) (2.35)

Απόδειξη:

Με βάση τη σχέση cosωot = (1/2)(ejωot+e−jωot) και τις ιδιότητες της φασματικήςμετάθεσης και της γραμμικότητας προκύπτει

F[f(t) cosωot] = F[1

2f(t)ejωot +

1

2f(t)e−jωot]

=1

2F[f(t)ejωot] +

1

2F[f(t)e−jωot]

=1

2F(ω − ωo) +

1

2F(ω + ωo) (2.36)

Θεώρημα παραγώγισης ως προς το χρόνο: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε ισχύει

f ′(t) =dx

dt(t) ↔ jωF (ω) (2.37)

λαμβάνοντας υπόψη ότι f(t) → 0 καθώς t→ ±∞Απόδειξη:

Ολοκληρώνοντας κατά μέρη έχουμε

F[f ′(t)] =

∞∫

−∞

f ′(t)e−jωtdt = f(t)e−jωt∣∣∣

∞

−∞

+ jω

∞∫

−∞


Επειδή f(t) → 0 όταν t→ ±∞

F[f ′(t)] = jω

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt = jωF (ω) (2.39)

Επαναλαμβάνοντας την ολοκλήρωση τελικά προκύπτει:

F[f (n)(t)] =dnx

dtn(t) = (jω)nF (ω) = (jω)n

F[f(t)], n = 1, 2, ... (2.40)

Η τελευταία σχέση δεν εγγυάται την ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier της f (n)(t).Δείχνει απλά, ότι εάν υπάρχει ο μετασχηματισμός δίνεται από τη σχέση (jω)nF (ω).

Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα: Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε

(−jt)f(t) ↔ F ′(ω) =dF

dω(ω) (2.41)

Απόδειξη:


F (ω) =

∞∫

−∞


και διαφορίζοντας

dF (ω)

dω=

d

dω

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt. (2.43)

Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:

dF (ω)

dω=

∞∫

−∞

f(t)∂

∂ω(e−jωt)dt =

∞∫

−∞

[−jtf(t)]e−jωtdt = F[−jtf(t)] (2.44)

Θεώρημα ολοκλήρωσης: Εάν f(t) ↔ F (ω) και

∞∫

−∞

f(t)dt = F (0) = 0 (2.45)

τότε[

t∫

−∞

f(x)dx]

↔ 1

jωF (ω) (2.46)

Απόδειξη:Θεωρούμε τη συνάρτηση

ϕ(t) =

t∫

−∞

f(x)dx. (2.47)

Είναι ϕ′(t) = f(t). Καθώς F[ϕ(t)] = Φ(ω) από το θεώρημα της διαφόρισηςπροκύπτει:

F[ϕ′(t)] = F[f(t)] = jωΦ(ω) (2.48)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι

limt→∞ϕ(t) =

∞∫

−∞

f(x)dx =

∞∫

−∞

f(t)dt = F (0) = 0 (2.49)

είναι

Φ(ω) =1

jωF[f(t)] =

1

jωF (ω) (2.50)

δηλαδή ισχύει τελικά:

F[

t∫

−∞

f(x)dx] =1

jωFω =

1

jωF[f(t)] (2.51)


Εξίσωση του Parseval: Εάν f(t) ↔ F (ω), g(t) ↔ G(ω) τότε

∫ ∞

−∞

f(t)G(ω)dt =

∞∫

−∞

F (ω)g(t)dt (2.52)

Απόδειξη:

F (ω) =

∞∫

−∞


G(ω) =

∞∫

−∞

g(t)e−jωtdt (2.54)

Επομένως:∞∫

−∞

f(t)G(ω)dt =

∫ ∞

−∞

f(t)[ ∫ ∞

−∞

g(t)e−jωtdt]

dt (2.55)

Αλλάζοντας σειρά ολοκλήρωσης:

∞∫

−∞

f(t)G(ω)dt =

∞∫

−∞

g(t)[

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt]

dt =

∞∫

−∞

g(t)F (ω)dt (2.56)

Ιδιότητες όταν η f(t) είναι πραγματική: Ας θεωρήσουμε το ζεύγος με-τασχηματισμού Fourier

f(t) ↔ F (ω) (2.57)

Αν η f(t) είναι πραγματική, τότε ισχύει

f(t) = fe(t) + fo(t), (2.58)

όπου fe(t) και fo(t) είναι η άρτια και περιττή συνιστώσα της f(t) αντιστοίχως.΄Εστω

F (ω) = R(ω) + jI(ω), (2.59)

όπου R(ω) και I(ω) είναι το πραγματικό και φαντστικό μέρος της F (ω) αντιστοί-χως. Τότε ισχύουν διαδοχικά:

R(ω) =

∞∫

−∞

f(t) cosωtdt, (2.60)


I(ω) = −∞∫

−∞

f(t) sinωtdt, (2.61)

R(ω) = R(−ω), (2.62)

I(ω) = −X(−ω), (2.63)

F (−ω) = F ∗(ω), (2.64)

fe(t) ↔ R(ω), (2.65)

fo(t) ↔ jI(ω) (2.66)

F ∗(ω) είναι η συζυγής μιγαδική συνάρτηση της F (ω).

Αποδείξεις των ιδιοτήτων όταν η f(t) είναι πραγματική: Εφόσον ηf(t) είναι πραγματική, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα

e−jωt = cosωt− j sinωt (2.67)

μπορούμε να διαμορφώσουμε τη βασική σχέση του ολοκληρώματος του μετασχη-ματισμού Fourier ως εξής:

F (ω) =

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt

=

∞∫

−∞

f(t) cosωtdt− j

∞∫

−∞

f(t) sinωtdt

= R(ω) + jI(ω) (2.68)

Εξισώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη προκύπτουν οι δύο πρώτες προςαπόδειξη ιδιότητες που ορίσθηκαν προηγουμένως, δηλαδή

R(ω) =

∞∫

−∞

f(t) cosωtdt (2.69)

I(ω) = −∞∫

−∞

f(t) sinωtdt (2.70)

Στη συνέχεια, επειδή f(t) είναι πραγματική, έχουμε

R(−ω) =

∞∫

−∞

f(t) cos(−ωt)dt =

∞∫

−∞

f(t) cos(ωt)dt = R(ω) (2.71)


I(−ω) = −∞∫

−∞

f(t) sin(ωt) =

∞∫

−∞

f(t) sin(−ωt)dt = −I(−ω) (2.72)

F (−ω) = R(−ω) + jI(−ω) = R(ω) − jI(ω) = F ∗(ω) (2.73)

Η τελευταία σχέση αποτελεί τη βασική προϋπόθεση για να είναι η f(t) πραγματική.

2.1.2 Μετασχηματισμός Fourier στις δύο και τρειςδιαστάσεις

Ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier στις δύο διαστάσεις δίνονταιαντιστοίχως από τα ολοκληρώματα

F (u, v) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(x, y)e−j(ux+vy)dxdy, (2.74)

f(x, y) =1

(2π)2

∞∫

−∞

∞∫

−∞

F (u, v)ej(ux+vy)dudv, (2.75)

όπου u, v οι αντίστοιχες συχνότητες των x και y.Απόδειξη: ΄Εστω G(u, y) ο μετασχηματισμός Fourier της f(x, y) ως προς x (y

παράμετρος). Είναι:

G(u, y) =

∞∫

−∞

f(x, y)e−juxdx (2.76)

Από τον αντίστροφο σε μία διάσταση μετασχηματισμό Fourier προκύπτει:

f(x, y) =1

2π

∞∫

−∞

G(u, y)ejuxdu (2.77)

Υπολογίζουμε το μετασχηματισμό Fourier F (u, v) της G(u, y) ως προς y (x πα-ράμετρος). Είναι:

F (u, v) =

∞∫

−∞

G(u, y)e−jvydy (2.78)

Από τον αντίστροφο σε μία διάσταση μετασχηματισμό Fourier προκύπτει:

G(u, y) =1

2π

∞∫

−∞

F (u, v)ejvydv (2.79)

Με αντικατάσταση της (2.79) στη (2.77) έχουμε:

f(x, y) =1

(2π)2

∞∫

−∞

∞∫

−∞

F (u, v)ej(ux+vy)dudv (2.80)


Με συνδυασμό των (2.76) και (2.78) προκύπτει:

F (u, v) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(x, y)e−j(ux+vy)dxdy (2.81)

Με όμοιο τρόπο όπως προηγουμένως ορίζεται το ζεύγος μετασχηματισμού Fou-rier σε τρεις διαστάσεις, μέσω των ακολούθων τριπλών ολοκληρωμάτων:

F (u, v, w) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(x, y, z)e−j(ux+vy+wz)dxdydz (2.82)

f(x, y, z) =1

(2π)3

∞∫

−∞

∞∫

−∞

∞∫

−∞

F (u, v, w)ej(ux+vy+wz)dudvdw (2.83)

Με τον ίδιο τρόπο η γενικεύεται ο μετασχηματισμός Fourier για μεγαλύτερο αριθμόμεταβλητών.

2.1.3 Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ: Για το θεώρημα της διαμόρφωσης, όπως διατυπώνεται στη συνέ-χεια, να δοθεί μία διαφορετική απόδειξη από αυτή που δόθηκε στην ενότητα τωνιδιοτήτων των μετασχηματισμών Fourier.

Εάν f(t) ↔ F (ω) τότε:

f(t) cos(θt) ↔ (1/2)F (ω − θ) + (1/2)F (ω + θ)

f(t) sin(θt) ↔ (1/2j)F (ω − θ) − (1/2j)F (ω + θ)

ΛΥΣΗ: Ισχύουν οι σχέσεις:

ejθ = cos θ + j sin θ

e−jθ = = cos θ − j sin θ

cos θ =ejθ + e−jθ

2

sin θ =ejθ − e−jθ

2j

1. ΄Εστω y(t) = f(t) cos(θt)

Είναι

Y (ω) =

∞∫

−∞

y(t)e−jωtdt =

∞∫

−∞

f(t)[ejθt + e−jθt

2

]

e−jωtdt

=1

2

∞∫

−∞

f(t)ejθte−jωtdt+1

2

∞∫

−∞

f(t)e−jθt−jωtdt


=1

2

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω−θ)tdt+1

2

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω+θ)tdt

=1

2F (ω − θ) +

1

2F (ω + θ)

2. Για την απόδειξη της δεύτερης σχέσης θα είναι διαδοχικά:

y(t) = f(t) sin(θt) = f(t)ejθt − e−jθt

2j

Y (ω) =

∞∫

−∞

f(t)ejθt − e−jθt

2je−jωtdt

=1

2j

∞∫

−∞

f(t)ejθte−jωtdt− 1

2j

∞∫

−∞

f(t)e−jθt−jωtdt

=1

2j

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω−θ)tdt− 1

2j

∞∫

−∞

f(t)e−j(ω+θ)tdt

=1

2jF (ω − θ) − 1

2jF (ω + θ)

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε

∞∫

−∞

f(t)g(t) =1

2π

∞∫

−∞

F (t)G(−t)dt

όταν f(t) ↔ F (ω) και g(t) ↔ G(ω).

ΛΥΣΗ: Από την ιδιότητα της συμμετρίας προκύπτει:

G(t) ↔ 2πg(−ω)

και

G(−t) ↔ 2πg(ω)

Από την εξίσωση του Parsrval προκύπτει:

∞∫

−∞

f(t)2πg(t)dt =

∞∫

−∞

F (t)G(−t)dt


Διαιρώντας και τα δύο μέλη με 2π προκύπτει:

∞∫

−∞

f(t)g(t)dt =1

2π

∫ ∞

−∞

F (t)G(−t)dt

ΑΣΚΗΣΗ: Εάν F[f(x, y)] = F (u, v), να δειχθεί ότι:

F[f(x− a, y − b)] = F (u, v)e−j(au+bv)

ΛΥΣΗ: Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier σε δύο διαστάσεις είναι:

F[f(x− a, y − b)] =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(x− a, y − b)e−j(ux+vy)dxdy

Αντικαθιστώντας x − a = ξ, y − b = η ⇒ x = a + ξ και y = b + η (dx = dξ καιdy = dη) έχουμε:

F[f(x− a, y − b)] =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(ξ, η)e−j(au+uξ+bv+vη)dξdη

= e−j(au+bv)

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(ξ, η)e−j(uξ+vη)dξdη

= e−j(au+bv)F (u, v)

ΑΣΚΗΣΗ: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης f(t) πουορίζεται ως

f(t) =

{e−at, t > 0

0, t < 0

με a > 0. Επίσης να σχεδιασθούν, αφού πρώτα υπολογισθούν, το φάσμα εύρουςκαι το φάσμα φάσης της f(t).

ΛΥΣΗ:

F (ω) =

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt =

∞∫

0

e−ate−jωtdt =

∞∫

0

e−(a+jω)tdt

=1

−(a+ jω)e−(a+jω)t

∣∣∣

∞

0=

1

a+ jω

F (ω) =1

a+ jω=

a− jω√a2 + ω2

=a

a2 + ω2− j

ω

a2 + ω2.


Το φάσμα εύρους είναι:

|F (ω)| =

√

a2

(a2 + ω2)2+

ω2

(a2 + ω2)2=

1√a2 + ω2

Το φάσμα φάσης είναι:

ϕ(ω) = arctan(ω/a)

Στο σχήμα (2.2) απεικονίζεται η αρχική εκθετική συνάρτηση, το φάσμα εύρουςκαι το φάσμα φάσης.

Σχήμα 2.2: Αρχική συνάρτηση, φάσμα εύρους, φάσμα φάσης


f(t) =

{e−at, t > 0eat, t < 0

με a > 0.

ΛΥΣΗ:

F (ω) =

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt


=

0∫

−∞

eate−jωtdt+

∞∫

0

e−ate−jωtdt

=

0∫

−∞

e−(−a+jω)tdt+

∞∫

0

e−(a+jω)tdt

=−1

−a+ jω+

1

a+ jω=

2a

a2 + ω2.

Στο σχήμα (2.2) απεικονίζεται η αρχική εκθετική συνάρτηση και το φάσμα εύρους.

Σχήμα 2.3: Αρχική συνάρτηση, φάσμα εύρους


f(t) =

{2e−3t, t > 0

0, t < 0

και να υπολογισθούν το φάσμα εύρους και το φάσμα φάσης.

ΛΥΣΗ:

F (ω) =

∞∫

0

f(t)2e−jωtdt = 2

∞∫

0

e(−3+jω)tdt


=−2

3 + jω)e−(3+jω)t

∣∣∣

∞

0=

2(3 − jω)

9 + ω2

R(ω) =6

9 + ω2

I(ω) = − 2ω

9 + ω2

Το φάσμα εύρους είναι:

|F (ω)| =

√

36 + 4ω2

(9 + ω2)2=

√36 + 4ω2

9 + ω2

Το φάσμα φάσης είναι:

ϕ(ω) = arctan(−2ω/6) = arctan

(

− ω

3

)

ΑΣΚΗΣΗ: Εάν F (ω) = F[f(t)] να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier τηςσυνάρτησης f(t) sinω0t.

ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με την ιδιότητα

sinω0t =1

2j(ejω0t − e−jω0t)

και σύμφωνα με τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της φασματικής μετάθεσης,που αναφέρθηκαν προηγουμένως, έχουμε διαδοχικά:

F[f(t)sinω0t] = F

[

1

2jf(t)ejω0t − 1

2jf(t)e−jω0t

]

=1

2jF (ω − ω0) −

1

2jF (ω + ω0)

=1

2j[F (ω − ω0) − F (ω + ω0)]

ΑΣΚΗΣΗ: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης pd(t) πουορίζεται ως

pd(t) =

{1, |t| < 1

2d0, |t| > 1

2d

Η συνάρτηση pd(t) είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως συνάρτηση ορθογωνικής ήτετραγωνικής ώθησης.


ΛΥΣΗ:

F (ω) =

∞∫

−∞

pd(t)2e−jωtdt =

d/2∫

−d/2

e−jωtdt

=1

−jω e−jωt

∣∣∣

d/2

−d/2=

1

jω[ejωd/2 − e−jωd/2]

=2

ωsin(ωd/2) = d

sin(ωd/2)

(ωd/2)

Στο σχήμα (2.4) απεικονίζεται η συνάρτηση pd(t), το φάσμα της F [pd(t)] (συνεχήςγραμμή) και το φάσμα εύρους |F [pd(t)]|.

Σχήμα 2.4: Αρχική συνάρτηση, φάσμα (συνεχής γραμμή) και φάσμα εύρους (δια-κεκομένη γραμμή)

ΑΣΚΗΣΗ: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης f(t) =pd(t) cosω0t, όπου

pd(t) =

{1, |t| < 1

2d0, |t| > 1

2d

ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με το προηγούμενο πρόβλημα έχουμε:

F [pd(t)] =2

ωsin

(

ωd

2

)


Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:

F (ω) = F [pd(t) cosω0t] =sin 1

2d(ω − ω0)

ω − ω0+

sin 12d(ω + ω0)

ω + ω0

Στο σχήμα (2.5) απεικονίζεται η συνάρτηση pd(t) cosω0t και ο μετασχηματισμόςFourier.

Σχήμα 2.5: (α)Η συνάρτηση και (β) ο μετασχηματισμός Fourier


2.2 Συνέλιξη - Θεωρήματα συνέλιξης

Ορισμός: ΄Εστω f1(t) και f2(t) συναρτήσεις. Η συνέλιξη των f1(t) και f2(t)ορίζεται από τη σχέση:

f(t) =

∞∫

−∞

f1(x)f2(t− x)dx (2.84)

που συμβολικά πολλές φορές αποδίδεται ως

f(t) = f1(t) ∗ f2(t) (2.85)

Ειδική περίπτωση όταν: f1(t) = 0 για t < 0 και f2(t) = 0 για t < 0. Στηνπερίπτωση αυτή η συνέλιξη παίρνει τη μορφή:

f(t) = f1(t) ∗ f2(t) =

t∫

0

f1(x)f2(t− x)dx (2.86)

Ιδιότητες:

f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t) (2.87)

(f1(t) ∗ f2(t)) ∗ f3(t) = f1(t) ∗ (f2(t) ∗ f3(t)) (2.88)

f1(t) ∗ (f2(t) + f3(t)) = f1(t) ∗ f2(t) + f1(t) ∗ f3(t) (2.89)

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθεί η πρώτη ιδιότητα (σχέση 2.93).

ΛΥΣΗ: Από το ολοκλήρωμα της συνέλιξης

f1(t) ∗ f2(t) =

∞∫

−∞

f1(x)f2(t− x)dx

με αλλαγή της μεταβλητής t− x = y προκύπτει:

f1(t) ∗ f2(t) =

∞∫

−∞

f1(t− y)f2(y)dy

=

∞∫

−∞

f2(y)f1(t− y)dy

= f2(y) ∗ f1(y)

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθεί η δεύτερη ιδιότητα της συνέλιξης (σχέση 2.88).


ΛΥΣΗ: ΄Εστω f1(t) ∗ f2(t) = g(t) και f2(t) ∗ f3(t) = h(t) οπότε πρέπει ναδειχθεί g(t) ∗ f3(t) = f1(t) ∗ h(t). Ισχύει (ορισμός):

g(t) =

∞∫

−∞

f1(y)f2(t− y)dy

επομένως:

g(t) ∗ f3(t) =

∞∫

−∞

g(x)f3(t− x)dx

=

∞∫

−∞

[∞∫

−∞

f1(y)f2(x− y)dy]

f3(t− x)dx

Αντικαθιστώντας z = x− y και αλλάζοντας σειρά ολοκλήρωσης:

g(t) ∗ f3(t) =

∞∫

−∞

f1(y)[

∞∫

−∞

f2(z)f3(t− y − z)dz]

dy

Επειδή

h(t) =

∞∫

−∞

f2(z)f3(t− z)dz

προκύπτει

h(t− y) =

∞∫

−∞

f2(z)f3(t− y − z)dz

Παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα στις αγγύλες της σχέσης που δίνει τη συνέλιξηg(t) ∗ h(t) είναι το h(t− y) οπότε:

g(t) ∗ f3(t) =

∞∫

−∞

f1(y)h(t− y)dy = f1(t) ∗ h(t)

οπότε προκύπτει η ζητούμενη ιδιότητα:

[f1(t) ∗ f2(t)] ∗ f3(t) = f1(t) ∗ [f2(t) ∗ f3(t)]

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθούν οι ακόλουθες συνελίξεις με τη συνάρτηση δ.

ϕ(t) ∗ δ(t) = ϕ(t)

ϕ(t) ∗ δ(t− T ) = ϕ(t− T )


ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα της συνέλιξης και από τον ορισμό τηςσυνάρτησης δ είναι:

ϕ(t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ ϕ(t) =

∞∫

−∞

δ(x)ϕ(t− x)dx = ϕ(t)

Σύμφωνα με τις ιδιότητες της συνάρτησης δ είναι:

ϕ(t) ∗ δ(t− T ) = δ(t− T ) ∗ ϕ(t) =

∞∫

−∞

δ(x− T )ϕ(t− x)dx = ϕ(t− T )

2.2.1 Θεώρημα της συνέλιξης ως προς το χρόνο

Εάν F[f1(t)] = F1(ω) και F[f2(t)] = F2(ω) τότε

F[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(ω)F2(ω) (2.90)

ή

F−1[F1(ω)F2(ω)] = f1(t) ∗ f2(t) (2.91)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Είναι:

F[f1(t) ∗ f2(t)] =

∞∫

−∞

[∞∫

−∞

f1(x)f2(t− x)dx]

e−jωtdt (2.92)

Αλλάζοντας σειρά ολοκλήρωσης:

F[f1(t) ∗ f2(t)] =

∞∫

−∞

f1(x)[

∞∫

−∞

f2(t− x)e−jωtdt]

dx (2.93)

Από την ιδιότητα των μετασχηματισμών Fourier της χρονικής μετάθεσης είναι:

∞∫

−∞

f2(t− x)e−jωtdt = F2(ω)e−jωx (2.94)

Με αντικατάσταση της τελευταίας σχέσης στην (2.93) έχουμε:

F[f1(t) ∗ f2(t)] =

∞∫

−∞

f1(x)F2(ω)e−jωxdx=

[ ∞∫

−∞

f1(x)e−jωxdx

]

F2(ω)

=

[ ∞∫

−∞

f1(t)e−jωtdt

]

F2(ω) = F1(ω)F2(ω) (2.95)


2.2.2 Θεώρημα συνέλιξης ως προς τη συχνότητα

Εάν F−1[F1(ω)] = f1(t) και F

−1[F2(ω)] = f2(t) τότε

F−1[F1(ω) ∗ F2(ω)] = 2πf1(t)f2(t) (2.96)

ή

F−1[f1(t)f2(t)] =

1

2πF1(ω) ∗ F2(ω) =

1

2π

∞∫

−∞

F1(y)F2(ω − y)dy (2.97)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Από τον ορισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού Fourierέχουμε:

F−1[F1(ω) ∗ F2(ω)] = F

−1

[ ∞∫

−∞

F1(y)F2(ω − y)dy

]

=1

2π

∞∫

−∞

[ ∞∫

−∞

F1(y)F2(ω − y)dy

]

ejωtdω (2.98)

Αντικαθιστώντας ω − y = x και αλλάζοντας σειρά ολοκλήρωσης:

F−1[F1(ω) ∗ F2(ω)] =

1

2π

∞∫

−∞

F1(y)

[ ∞∫

−∞

F2(x)ej(x+y)tdx

]

dy

=1

2π

∞∫

−∞

F1(y)ejyt

[ ∞∫

−∞

F2(x)ejxtdx

]

dy

= 2π

[

1

2π

∞∫

−∞

F1(ω)ejωtdω

][

1

2π

∞∫

−∞

F2(ω)ejωtdω

]

= 2π[f1(t)f2(t)] (2.99)

ΑΣΚΗΣΗ: Αν F[f1(t)] = F1(ω) και F[f2(t)] = F2(ω) να δειχθεί

∞∫

−∞

[f1(t)f2(t)]dt =1

2π

∞∫

−∞

F1(ω)F2(−ω)dω

ΛΥΣΗ: Από το προηγούμενο θεώρημα είναι:

F[f1(t)f2(t)] =1

2π

∞∫

−∞

F1(y)F2(ω − y)dy


δηλαδή

∞∫

−∞

[f1(t)f2(t)]e−jωtdt =

1

2π

∞∫

−∞

F1(y)F2(ω − y)dy

και για ω = 0

∞∫

−∞

[f1(t)f2(t)]dt =1

2π

∞∫

−∞

F1(y)F2(−y)dy =1

2π

∫ ∞

−∞

F1(ω)F2(−ω)dω

Σημ.: Η ίδια άσκηση αποδείχθηκε προηγουμένως με τις ιδιότητες των μετασχημα-τισμών Fourier.

2.2.3 Θεώρημα Parseval

Εάν F[f(t)] = F (ω), τότε:

∞∫

−∞

|f(t)|2dt =1

2π

∞∫

−∞

|F (ω)|2dω (2.100)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Στη γενική περίπτωση η f(t) μιγαδική, τότε:

F[f∗(t)] =

∞∫

−∞

f∗(t)e−jωtdt =

∞∫

−∞

[f(t)ejωt]∗dt

=

[ ∞∫

−∞

f(t)e−j(−ω)tdt

]∗

= F ∗(−ω) (2.101)

Εάν τώρα στη σχέση που αποδείχθηκε προηγουμένως

∞∫

−∞

[

f1(t)f2(t)]

dt =1

2π

∞∫

−∞

F1(ω)F2(−ω)dω (2.102)

θέσουμε f1(t) = f(t) και f2(t) = f∗(t) προκύπτει

∞∫

−∞

f(t)f∗(t)dt =1

2π

∞∫

−∞

F (ω)F ∗[−(−ω)]dω =1

2π

∞∫

−∞

F (ω)F ∗(ω)dω (2.103)

Επειδή f(t)f∗(t) = |f(t)|2 και F (ω)F ∗(ω) = |F (ω)|2 προκύπτει:∞∫

−∞

|f(t)|2dt =1

2π

∞∫

−∞

|F (ω)|2dω (2.104)


2.2.4 Σήματα ενέργειας - Συναρτήσεις συσχέτισης- Σήματα ισχύος

Το ολοκλήρωμα E =∞∫

−∞

|f(t)|2dt εκφράζει την ενέργεια του σήματος f(t) που

είναι μη περιοδική συνάρτηση. Στο ολοκλήρωμα του Parseval η ποσότητα |F (ω)|2ονομάζεται φάσμα ενέργειας ή φασματική πυκνότητα ενέργειας.Οι συναρτήσεις

R12(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f2(t− r)dt (2.105)

R21(r) =

∞∫

−∞

f2(t)f1(t− r)dt (2.106)

ονομάζονται συναρτήσεις συσχέτισης (correlation functions) μεταξύ των f1(t) καιf2(t). Εάν f1(t) και f2(t) ταυτίζονται, τότε:

R11(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f1(t− r)dt (2.107)

και η R11 ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (auto-correlation function) τηςf1(t). Μερικές φορές χρησιμοποιείται και η ποσότητα

γ(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f1(t− r)dt

∞∫

−∞

[f1(t)]2dt

(2.108)

που ονομάζεται συντελεστής συσχέτισης. Είναι γ(0) = 1. Αντικαθιστώντας στιςπαραπάνω σχέσεις το t με (t+ r) προκύπτει:

R12(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f2(t− r)dt =

∞∫

−∞

f1(t+ r)f2(t)dt (2.109)

R21(r) =

∞∫

−∞

f2(t)f1(t− r)dt =

∞∫

−∞

f2(t+ r)f1(t)dt (2.110)

R11(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f1(t− r)dt =

∞∫

−∞

f1(t+ r)f1(t)dt (2.111)

Από τις παραπάνω προκύπτει ότι είναι άνευ σημασίας αν μετακινήσουμε τη συνάρ-τηση f1(t) κατά r προς τις αρνητικές τιμές του t και την f2(t) κατά το ίδιο ποσόr προς τις θετικές τιμές του t.


Για τις συναρτήσεις συσχέτισης δύο σημάτων (συναρτήσεων) ισχύουν οι σχέ-σεις:

R12(r) = R21(−r) (2.112)

R11(r) = R11(−r) (2.113)

R11(0) = E (2.114)

Παραλείποντας τους δείκτες για λόγους απλοποίησης θα ορίσουμε στη συνέχειαορισμένες άλλες χαρακτηριστικές ποσότητες. Ο μετασχηματισμός Fourier S(ω)της συνάρτησης συσχέτισης R(r) ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας καιδίνεται από τη σχέση:

S(ω) = F [R(ω)] =

∞∫

−∞

R(r)e−jωrdr . (2.115)

Οι συναρτήσεις S(ω) και R(r) συνδέονται με το μετασχηματισμό Fourier F (t) μιαςσυνάρτησης f(t) μέσω των σχέσεων

S(ω) = |F (ω)|2 (2.116)

R(r) =1

2π

∞∫

−∞

|F (ω)|2ejωrdω . (2.117)

Η τελευταία σχέση για r = 0 γίνεται

E = R(0) =1

2π

∞∫

−∞

S(ω)dω . (2.118)

Ονομάζεται ομαλοποιημένη μέση ισχύς P της f(t), η ποσότητα που δίνεταιαπό τη σχέση

P = limT→∞

1

T

T/2∫

−T/2

|f(t)|2dt . (2.119)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της f(t) που αναπαριστά ένα σήμα ισχύος ορίζεταιαπό τη σχέση

R(r) = limT→∞

1

T

T/2∫

−T/2

f(t)f(t− r)dt (2.120)


και ισχύουν οι ιδιότητες

R(−r) = R(r) , (2.121)

R(0) = P . (2.122)

Η συνάρτηση συσχέτισης ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις (σήματα) ισχύος f(t)και g(t), ορίζεται από τη σχέση

Rfg(r) = limT→∞

1

T

T/2∫

−T/2

f(t)g(t− r)dt . (2.123)

Ο μετασχηματισμός Fourier S(ω) της συνάρτησης συσχέτισης R(r) ονομάζεταιφασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density) και δίνεται από τη σχέση:

S(ω) = F [R(ω)] =

∞∫

−∞

R(r)e−jωrdr . (2.124)

ΑΣΚΗΣΗ: Να δειχθεί ότι η συσχέτιση των f1(t) και f2(t) σχετίζεται με τησυνέλιξη των f1(t) και f2(−t).

ΛΥΣΗ: ΄Εστω G12(t) = f1(t) ∗ f2(−t). Από τον ορισμό της συνέλιξης είναι

f1(t) ∗ f2(t) =

∞∫

−∞

f1(x)f2(t− x)dx


G12(t) =

∞∫

−∞

f1(x)f2[−(t− x)]dx =

∞∫

−∞

f1(x)f2(x− t)dx .

Αλλάζοντας τη μεταβλητή t με r

G12(r) =

∞∫

−∞

f1(x)f2(x− r)dt

και αλλάζοντας x με t

G12(r) =

∞∫

−∞

f1(t)f2(t− r)dt = R12(r).

Επομένως

R12(r) = G12(r) = f1(t) ∗ f2(−t)|t=r


ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθούν οι ιδιότητες της συσχέτισης

R12(r) = R21(−r)R11(r) = R11(−r)

ΛΥΣΗ: Από τη σχέση (2.124) είναι:

R21(−r) =

∞∫

−∞

f2(t− r)f1(t)dt =

∞∫

−∞

f1(t)f2(t− r)dt = R12(r)

Από τη σχέση (2.125) είναι:

R11(r) =

∞∫

−∞

f1(t+ r)f1(t)dt


R11(−r) =

∞∫

−∞

f1(t− r)f1(t)dt =

∞∫

−∞

f1(t)f1(t− r)dt = R11(r)

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδειχθούν οι ακόλουθες σχέσεις (μετασχηματισμοί Fourierτων συναρτήσεων συσχέτισης):

F[R12(r)] = F1(ω)F2(−ω)

F[R21(r)] = F1(−ω)F2(ω)

ΛΥΣΗ: Είναι F[f1(t)] = F1(ω), F[f2(t)] = F2(ω) και σύμφωνα με την ιδιότητατου μετασχηματισμού Fourier

F[f1(−t)] = F1(−ω)

F[f2(−t)] = F2(−ω)

Εφαρμόζοντας το θεώρημα της συνέλιξης F[f1(t)∗f2(t)] = F1(ω)F2(ω) προκύπτει:

F[R12(r)] = F[f1(t) ∗ f2(−t)] = F1(ω)F2(−ω) ⇒∞∫

−∞

R12(r)e−jωrdr = F1(ω)F2(−ω)

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει:

F[R21(r)] = F[f2(t) ∗ f1(−t)] = F2(ω)F1(−ω) = F1(−ω)F2(ω) ⇒∞∫

−∞

R21(r)e−jωrdr = F1(−ω)F2(ω)


και τελικά ισχύει:

F[R11(r)] = F[f1(t) ∗ f1(−t)] = F1(ω)F1(−ω)

Σημείωση: Οι ποσότητες S12(ω) = F[R12(ω)] και S21(ω) = F[R21(ω)] αναφέ-ρονται στη βιβλιογραφία ως διασυναρτησιακά φάσματα ενέργειας. Η ποσότηταS11 = F[R11(ω)] είναι η φασματική πυκνότητα ενέργειας, που αναφέρθηκε προη-γουμένως.

ΑΣΚΗΣΗ: Αν f1(t) είναι πραγματική τότε F[R11(r)] = |F1(ω)|2.

ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με την ιδιότητα των μετασχηματισμών Fourier για την πραγ-ματική συνάρτηση f1(t), ότι δηλ. F1(−ω) = F ∗

1 (ω), προκύπτει:

F[R11(r)] = F1(ω)F ∗

1 (ω) = |F1(ω)|2 ⇒∞∫

−∞

R11(r)ejωrdr = |F1(ω)|2

ΑΣΚΗΣΗ: Από την προηγούμενη άσκηση συνάγεται ότι ο μετασχηματισμόςFourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R11(r) δίνει το φάσμα ενέργειας |F1(ω)|2της f1(t). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R11(r) και το φάσμαενέργειας |F1(ω)|2 συνιστούν μετασχηματισμό Fourier.

ΛΥΣΗ: Ισχύουν οι προφανείς σχέσεις:

|F1(ω)|2 = F[R11(r)] =

∞∫

−∞

R11(r)e−jωrdr

R11(r) = F−1[|F1(ω)|2] =

1

2π

∞∫

−∞

|F1(ω)|2ejωrdr

Οι ανωτέρω σχέσεις είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως θεώρημα Wiener - Khin-tchine.


2.3 Οι μετασχηματισμοί Fourier στις γεω-επιστήμες

Ο μετασχηματισμός Fourier (Fourier transform) αποτελεί σήμερα ένα πολύ χρήσι-μο εργαλείο για ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών για το σύνολο σχεδόν των επιστημώντου μηχανικού και των γεωεπιστημών γενικότερα. Προσφέρει τον τρόπο (μέσο)αναπαράστασης και ανάλυσης μιας συνάρτησης της απόστασης ή του χρόνου απότον τρισδιάστατο χώρο (space domain) στο πεδίο των συχνοτήτων (frequencydomain). Δίνει επίσης τη δυνατότητα υπολογισμού ορισμένων ποσοτήτων, πουσυνδέονται με τη συγκεκριμένη συνάρτηση, πολύ ταχύτερα στο χώρο των συχνο-τήτων απ΄ ό,τι στον τρισδιάστατο χώρο. Ο μετασχηματισμός Fourier αναλύει μίασυνάρτηση σ΄ ένα άθροισμα απείρων ημιτονοειδών καμπύλων διαφορετικών συχνο-τήτων. Με τον τρόπο αυτόν η συνάρτηση αναπαρίσταται με τα εύρη και τις συχνό-τητες αυτών των καμπύλων. Στις πρακτικές εφαρμογές η συνάρτηση αποδίδεται μεδιακριτές τιμές. ΄Ετσι, αντί του συνεχούς μετασχηματισμού Fourier (ContinuousFourier Transform - CFT), εφαρμόζεται ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier(Discrete Fourier Transform - DFT), ο οποίος δίνει το μετασχηματισμό διακριτώντιμών της συνάρτησης σε διακριτές συχνότητες. Τα υπολογιστικά πλεονεκτήματατης χρησιμοποίησης μετασχηματισμών Fourier οφείλονται στις ιδιότητες του DFTκαι μάλιστα στην ειδική μορφή των εξισώσεων του DFT, που ονομάζεται ταχύςμετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform - FFT).

2.3.1 Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier (CFT) σεμία διάσταση

Ο CFT σε μία διάσταση ορίζεται από την εξίσωση

H(ω) =

∞∫

−∞

h(x)e−jωxdx (2.125)

όπου είναι:

x : η απόσταση (σε μονάδες μήκους),

ω : η κυκλική συχνότητα σε κύκλους ανά μονάδα μήκους,

j : η φανταστική μονάδα (j =√−1),

h(x) : η συνάρτηση στον χώρο των πραγματικών αριθμών και

H(ω) : ο μετασχηματισμός της h(x) στο χώρο των συχνοτήτων.

Ο αντίστροφος CFT προσδιορίζει μία συνάρτηση από το μετασχηματισμό Fou-rier της ίδιας της συνάρτησης, που δίνεται από το ολοκλήρωμα

h(x) =1

2π

∞∫

−∞

H(ω)ejωxdω. (2.126)


Δύο συναρτήσεις που συνδέονται μέσω των προηγούμενων σχέσεων συνιστούνένα ζεύγος μετασχηματισμού Fourier, που παριστάνεται ως εξής:

h(x) ↔ H(ω). (2.127)

Η κυκλική συχνότητα ω σχετίζεται με τη συχνότητα u μέσω της σχέσης

ω = 2πu. (2.128)

Το ζεύγος μετασχηματισμού Fourier μπορεί να γραφεί στη μορφή

h(x) ↔ H(u) (2.129)

όπου

H(u) =

∞∫

−∞

h(x)e−j2πuxdx = F[h(x)], (2.130)

h(x) =1

2π

∞∫

−∞

H(u)ej2πuxdu = F−1[H(u)]. (2.131)

Με F παριστάνεται ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier και με F−1 ο αντίστροφος

μετασχηματισμός Fourier. Οι προηγούμενες εξισώσεις θα χρησιμοποιηθούν στησυνέχεια για τον ορισμό ενός ζεύγους (διπλού) μετασχηματισμού Fourier (ευθύς,αντίστροφος). Τα μικρά γράμματα θα δηλώνουν συναρτήσεις στον τρισδιάστατοχώρο και τα κεφαλαία γράμματα τους μετασχηματισμούς τους στο χώρο των συ-χνοτήτων. Ο μετασχηματισμός Fourier H(u) είναι μία μιγαδική συνάρτηση καιλαμβάνοντας υπόψη ότι

e±j2πux = cos(2πux) ± j sin(2πux), (2.132)

μπορεί να γραφεί στη μορφή

H(u) = R(u) + jI(u) = |H(u)|ejϕ(u). (2.133)

Ισχύουν ακόμη

|H(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2, (2.134)

ϕ(u) = arctan[I(u)/R(u)], (2.135)

όπου είναι

R(u) : το πραγματικό μέρος της H(u),

I(u) : το φανταστικό μέρος της H(u),

|H(u)| : το φάσμα εύρους (amplitude) της H(u) και

φ(u) : είναι η γωνία φάσης (phase angle) ή φάσμα φάσης της H(u).


2.3.2 Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier (CFT) σεδύο διαστάσεις

Ο CFT μιας συνάρτησης h = h(x, y) σε δύο διαστάσεις προκύπτει με την εφαρμογήτου CFT δύο φορές σε μία διάσταση, υποθέτοντας αρχικά ότι η h είναι συνάρτησημόνο του x και στη συνέχεια θεωρώντας τη συνάρτηση που προκύπτει ως συνάρ-τηση μόνον του y. Σε αναλογία με τις εξισώσεις του μετασχηματισμού ισχύουν οιακόλουθες εξισώσεις (ευθύς και αντίστροφος μετασχηματισμός σε δύο διαστάσεις.

H(u, v) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

h(x, y)e−j2π(ux+vy)dxdy = F{h(x, y)} (2.136)

h(x, y) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

H(u, v)ej2π(ux+vy)dudv = F−1{H(u, v)} (2.137)

Σε δύο διαστάσεις το ζεύγος μετασχηματισμού Fourier παριστάνεται ως εξής:

h(x, y) ↔ H(u, v) (2.138)

2.3.3 Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) σεδύο διαστάσεις

Θα ορίσουμε το μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης h(x, y), που δίνεται απόM ×N διακριτές τιμές και αναφέρεται σ΄ ένα σύστημα συντεταγμένων xy. Για τηνπερίπτωση αυτή τα μήκη κύματος εκφράζονται ως εξής

x = k∆x, k = 0, 1, 2, . . . ,M − 1 (2.139)

y = l∆y, l = 0, 1, 2, . . . , N − 1, (2.140)

όπου ∆x, ∆y είναι τα διαστήματα μεταβολής κατά τις διευθύνσεις x και y αντι-στοίχως. Για περιόδους Tx, Ty τα διαστήματα δίνονται από τις σχέσεις:

∆x =Tx

M(2.141)

∆y =Ty

N(2.142)

Στο χώρο των συχνοτήτων οι u, v δίνονται από τις σχέσεις

u = m∆u, m = 0, 1, 2, . . . ,M − 1 (2.143)

v = n∆v, n = 0, 1, 2, . . . , N − 1 (2.144)

όπου τα διαστήματα ∆u, ∆v συνδέονται με τις περιόδους του τρισδιάστατου χώρουTx, Ty μέσω των σχέσεων (βλ. και σχήμα 2.6)

∆u =Fu

M=

1

Tx(2.145)

∆v =Fv

N=

1

Ty(2.146)


Σχήμα 2.6: Το διδιάστατο πεδίο στο χώρο των δεδομένων και στο χώρο τωνσυχνοτήτων

Η εξίσωση του διδιάστατου μετασχηματισμού, σύμφωνα με τις προηγούμενεςσχέσεις, διαμορφώνεται ως εξής:

H(m∆u, n∆v)=

M−1∑

k=0

N−1∑

l=0

h(k∆x, l∆y)e−j2π(m∆uk∆x+n∆vl∆y)∆x∆y(2.147)

=∆x∆yM−1∑

k=0

N−1∑

l=0

h(k∆x, l∆y)e−j2π(m∆uk∆x+n∆vl∆y)(2.148)

Από τις εξισώσεις (2.141) και (2.156) προκύπτει

∆x∆y =Tx

M

Ty

N(2.149)

και η εξίσωση (2.162) μετασχηματίζεται ως εξής:

H(m∆u, n∆v) =Tx

M

Ty

N

M−1∑

k=0

N−1∑

l=0

h(k∆x, l∆y)e−j2π(

mkM + nl

N

)

(2.150)

Ομοίως ο αντίστροφος μετασχηματισμός μπορεί να γραφεί στη μορφή:

h(k∆x, l∆y)=∆u∆v

M−1∑

m=0

N−1∑

n=0

H(m∆u, n∆v)ej2π(m∆uk∆x+n∆vl∆y)(2.151)


=1

Tx

1

Ty

M−1∑

m=0

N−1∑

n=0

H(m∆u, n∆v)ej2π(

mkM + nl

N

)

(2.152)

Στην περίπτωση λοιπόν των δύο διαστάσεων ο διπλός μετασχηματισμός παριστά-νεται με

h(k, l) ↔ H(m,n), (2.153)

όπου

H(m,n) =Tx

M

Ty

N

M−1∑

k=0

N−1∑

l=0

h(k∆x, l∆y)e−j2π(

mkM + nl

N

)

= F[h(k, l)], (2.154)

h(k, l) =1

Tx

1

Ty

M−1∑

m=0

N−1∑

n=0

H(m∆u, n∆v)ej2π(

mkM + nl

N

)

= F−1[H(m,n)]. (2.155)

Ο DFT έχει μία βασική ιδιότητα την περιοδικότητα και στους δύο χώρους μεπεριόδους

Tx = M∆x, Ty = N∆y (2.156)

Fu = M∆u, Fv = N∆v (2.157)

Ο DFT μπορεί να εφαρμοσθεί και για μη περιοδικά δεδομένα. Εν τούτοις, το γεγο-νός ότι η συνάρτηση αναπαρίσταται μόνον από έναν περιορισμένο αριθμό σημείων(δεδομένων), σε συνδυασμό και με την ιδιότητα της περιοδικότητας του DFT, είναιδυνατόν να εμφανισθούν φαινόμενα ασυνέχειας στις ακραίες περιοχές του πλέγμα-τος (δύο διαστάσεις) ή της γραμμής (μία διάσταση) των δεδομένων. Δύο τέτοιαπαραδείγματα ασυνέχειας δίνονται στα σχήματα (2.7) και (2.8) για μία περιοδικήσυνεχή και μία περιοδική μη συνεχή συνάρτηση σε μία διάσταση.Οι ασυνέχειες που σχολιάσθηκαν προηγουμένως εισάγουν διαταραχές στο φά-

σμα της συνάρτησης, δηλαδή εμφανίζονται νέες συχνότητες που δεν περιλαμβάνο-νται στα αρχικά δεδομένα. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως φασματική διαρροή(spectral leakage). Για να μειωθεί η επίδραση του φαινομένου αυτού στον τελικόμετασχηματισμό εφαρμόζονται στα δεδομένα διάφορες συναρτήσεισ-παράθυρα. Ταπαράθυρα λειτουργούν ως συναρτήσεις βάρους, οι οποίες εξομαλύνουν τα δεδομέ-να στις ακραίες περιοχές τους (edges). Ελαχιστοποιούνται έτσι οι ασυνέχειες καιαποδίδεται ένα φάσμα κατά το δυνατόν πιο κοντά στο αληθινό φάσμα. Αυτό επι-τυγχάνεται ασφαλέστερα, όταν η συνάρτηση παράθυρο στη γραφική της παράστασηεμφανίζεται ομαλή από γεωμετρική άποψη (δεν παρουσιάζει γωνίες). Στη συνέ-χεια παρουσιάζεται μία χαρακτηριστική συνάρτηση παράθυρο, που χρησιμοποιείταιευρύτατα σε διάφορες εφαρμογές των γεωεπιστημών.

2.3.4 Το τετραγωνικό παράθυρο συνημιτόνου

Η συνάρτηση παράθυρο συνημιτόνου (the cosine taper rectangular window) συνί-σταται από ένα επίπεδο τμήμα για το διάστημα (1− a) του πεδίου ορισμού της και


Σχήμα 2.7: Ο DFT περιοδικών συναρτήσεων με ασυνέχειες στα άκρα των δεδο-μένων. (α) Μία περιοδική συνάρτηση με M = Tx χωρίς ασυνέχειες. (β) Μίαπεριοδική συνάρτηση με M = 3/4Ty με ασυνέχειες στα άκρα.

Σχήμα 2.8: Περιοδική συνάρτηση με ασυνέχειες στα άκρα των δεδομένων. Στασημεία ασυνέχειας η συνάρτηση λαμβάνει ως τιμή το μέσο όρο των τιμών από δεξιάκαι αριστερά.


από ένα τμήμα (a/2) για καθένα από τα δύο άκρα, το οποίο αποδίδει ουσιαστικάένα συνημιτονικό λοβό (βλ. σχ. 2.9).

Σχήμα 2.9: (α) Το 50% της τετραγωνικής συνημιτονικής συνάρτησης παράθυρο.(β) Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης.

Το a είναι το ποσοστιαίο τμήμα της συνημιτονικής συνάρτησης. Για το DFT,με αρχή το αριστερό άκρο της περιοχής των δεδομένων η συνημιτονική συνάρτησηπαράθυρο ορίζεται ως εξής

w(k) =

0.5[

1.0 − cos( 2a

πkM )]

0 ≤ k ≤ (a/2)M

1.0 (a/2)M ≤ k ≤ [1 − (a/2)]

0.5[

1.0 − cos( 2a

π(M−k)M )

]

[1 − (a/2)]M ≤ k ≤M − 1

(2.158)

όπουM είναι ο αριθμός των κορυφών του πλέγματος στη συγκεκριμένη διεύθυνση.Στο σχήμα (2.9) αναπαρίσταται η παραπάνω συνάρτηση για a = 50% με αρχή

το κεντρικό σημείο του πεδίου των δεδομένων. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση εξο-μαλύνει τα δεδομένα στα άκρα, δίνοντας σ΄ αυτά τιμές που τείνουν προς το μηδένκαι δεν ελαττώνει σημαντικά το πλεονέκτημα που προκύπτει από το μετασχηματι-σμό μέσω της συνάρτησης, καθώς οι αρχικές τιμές των δεδομένων διατηρούνταιαναλλοίωτες στο επίπεδο τμήμα της συνάρτησης. Ως παράδειγμα αναφέρεται ηεφαρμογή της w(k) στη συνάρτηση h(k) του σχήματος (2.8). Ως αποτέλεσμαπροκύπτει η συνάρτηση h(k)w(k), η οποία δεν παρουσιάζει ασυνέχειες στα άκρα,όπως φαίνεται στο σχήμα (2.10).Στο DFT σε δύο διαστάσεις η συνάρτηση παράθυρο εφαρμόζεται πρώτα στη

διεύθυνση x

hwx(k, l) = h(k, l)w(k) (2.159)


Σχήμα 2.10: Εφαρμογή παραθύρου σε μία μη περιοδική συνάρτηση

με l σταθερό και στη συνέχεια στη διεύθυνση y

hwxy(k, l) = hwx

(k, l)w(l) (2.160)

Η αναπαράσταση μιας συνάρτησης με ένα δείγμα m διακριτών τιμών που λαμ-βάνονται σε διαστήματα ∆x (διαστήματα διακριτοποίησης) είναι ο συνηθισμένοςτρόπος απόδοσης μιας συνάρτησης σε πρακτικές εφαρμογές, ιδιαίτερα όταν ο α-ναλυτικός τύπος αυτής της συνάρτησης δεν είναι γνωστός. Ο μετασχηματισμόςFourier μιας τέτοιας διακριτής συνάρτησης είναι αναγκαίο να έχει περίοδο ίση (ήπερίπου ίση) μ΄ αυτή του μετασχηματισμού Fourier μιας συνεχούς συνάρτησης.Αυτό επιτυγχάνεται μόνον όταν το διάστημα διακριτοποίησης επιλέγεται ικανοποι-ητικά μικρό. Στην περίπτωση που το ∆x δεν είναι αρκετά μικρό, χάνεται χρήσιμηπληροφορία και συνακόλουθα η διακριτή συνάρτηση δεν είναι δυνατόν να ανακατα-σκευαστεί από τις διακριτές τιμές. Με άλλα λόγια, περισσότερες από μία διακριτέςσυναρτήσεις είναι δυνατόν να προσαρμοστούν στα συγκεκριμένα διακριτά δεδο-μένα. Η εκλογή ενός μη ικανοποιητικού διαστήματος διακριτοποίησης έχει ωςαποτέλεσμα ένα φάσμα της διακριτής συνάρτησης με διαταραχές και ανωμαλίες,σε αντίθεση με το επιθυμητό ομαλό φάσμα της συνεχούς συνάρτησης. Αυτή ηδιαταραχή (ανωμαλία) του φάσματος καλείται παραποίηση (aliasing). Για την απο-φυγή του φαινομένου αυτού, το διάστημα διακριτοποίησης ∆x (το οποίο είναι τοβήμα του καννάβου/πλέγματος κατά ∆x) πρέπει να επιλέγεται ίσο με το μισό τουαντιστρόφου της υψηλότερης συχνότητας uN , ή ίσο με το μισό του μικροτέρουμήκους κύματος xN , δηλαδή

∆x =1

2uN=

1

2xN (2.161)


Η συχνότητα uN καλείται αποκόπτουσα συχνότητα Nyquist και η συχνότητα

1

∆x= 2uN (2.162)

καλείται βαθμίδα διακριτοποίησης Nyquist. Και τα δύο διαστήματα ∆x και ∆y πρέ-πει να επιλέγονται με προσοχή, ώστε στις εφαρμογές του DFT σε δύο διαστάσειςνα αποφεύγεται το φαινόμενο της παραποίησης.

2.3.5 Διακριτή συνέλιξη και συσχέτιση

Η διακριτή συνέλιξη (convolution) και συσχέτιση (correlation) σε δύο διαστάσειςεισάγουν δύο συναρτήσεις h(k∆x, l∆y), g(k∆x, l∆y), οι οποίες είναι περιοδικέςμε περιόδους Tx, Ty και δίνονται από σχέσεις ανάλογες με την (2.253). Με βάσητην εξίσωση

h(k +M, l +N) = h(k, l) (2.163)

προκύπτουν οι εξισώσεις

h(k + ixM, l + iyN) = h(k, l), ix = 0,±1,±2, ...iy = 0,±1,±2, ... (2.164)

g(k + ixM, l + iyN) = g(k, l), ix = 0,±1,±2, ...iy = 0,±1,±2, ... (2.165)

Η διακριτή συνέλιξη λοιπόν των συναρτήσεων h, g σε δύο διαστάσεις συμβολίζεταιμε ∗ και ορίζεται από το διπλό άθροισμα

f(k, l) =

M−1∑

i=0

N−1∑

j=0

h(i, j)g(k − i, l − j)∆x∆y = h(k, l) ∗ g(k, l). (2.166)

Η διακριτή συσχέτιση σε δύο διαστάσεις συμβολίζεται με ⊗ και ορίζεται από τοδιπλό άθροισμα

p(k, l) =

M−1∑

i=0

h(i, j)g(k + i, l + j)∆x∆y = h(k, l) ⊗ g(k, l) (2.167)

Πρέπει να σημειωθεί ότι

h(k, l) ∗ g(k, l) = g(k, l) ∗ h(k, l) = f(k, l) (2.168)

Η συνέλιξη εκφράζει στην πραγματικότητα το φιλτράρισμα της μιας από τιςδύο συναρτήσεις με την άλλη. Η συσχέτιση είναι επίσης φιλτράρισμα, αλλά στηνπερίπτωση αυτή εισάγεται ο συμμιγής μιγαδικός της πρώτης συνάρτησης, όπωςθα σχολιασθεί στη συνέχεια. Συνέλιξη και συσχέτιση ορίζονται στο χώρο τωνσυχνοτήτων με τον ίδιο τρόπο όπως και στον τρισδιάστατο χώρο.


2.3.6 Ιδιότητες του DFT στις δύο διαστάσεις

Γραμμικότητα ή επαλληλία:

ah(k, l) + bg(k, l) ↔ aH(k, l) + bG(m,n) (2.169)

Συμμετρία:

1

Tx

1

TyH(k, l) ↔ Tx

M

Ty

Nh(−m,−n) (2.170)

Μετατόπιση στο χώρο ή χρονική μετάθεση:

h(k − λ, l − µ) ↔ H(m,n)e−j2π

(

mλM + nµ

N

)

(2.171)

Μετατόπιση στις συχνότητες ή φασματική μετάθεση:

h(k, l)ej2π

(

mλM + nµ

N

)

↔ H(m− λ, n− µ) (2.172)

Συνέλιξη συχνοτήτων:

h(k, l)g(k, l) ↔ H(m,n)G(m,n), (2.173)

Συσχέτιση:

h(k, l) ⊗ g(k, l) ↔ H∗(m,n)G(m,n), (2.174)

όπου H∗ είναι ο συμμιγής μιγαδικός του Η.

΄Αρτιες συναρτήσεις:

he(k, l) ↔ Re(m,n) = He(m,n) (2.175)

Περιττές συναρτήσεις:

ho(k, l) ↔ jIo(m,n) = Ho(m,n) (2.176)

Μιγαδικές συναρτήσεις:

h(k, l) = hi(k, l) ↔ H(m,n) = Ro(m,n) + jIe(m,n) (2.177)

Πραγματικές συναρτήσεις:

h(k, l) = hr(k, l) ↔ H(m,n) = Re(m,n) + jIo(m,n) (2.178)

Για πραγματικές συναρτήσεις σε συνδυασμό με την προηγούμενη ιδιότητα:

|H(m,n)| = άρτια, arctan[h(m,n)] = περιττή (2.179)


Θεώρημα του Parseval:

Tx

M

Ty

N

M−1∑

k=0

N−1∑

l=0

h2(k, l) =1

Tx

1

Ty

M−1∑

m=0

N−1∑

l=0

|H(m,n)|2 (2.180)

2.3.7 Η συνάρτηση συσχέτισης, η συνάρτηση συμ-μεταβλητότητας και η συνάρτηση πυκνότηταςφάσματος

Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) δύο συναρτήσεων h και g ορίζεταιως εξής:

Rhg(k, l) = E{h(i, j)g(k+i, l+j)} = limM,N→∞

1

M

1

N

M−1∑

i=0

N−1∑

j=0

h(i, j)g(k+i, l+j).

(2.181)΄Οταν οι συναρτήσεις h και g ταυτίζονται η Rhg ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυ-σχέτισης (auto-correlation function). Διαφορετικά η Rhg ονομάζεται συνάρτησηδιασυσχέτισης (cross-correlation function). Στη συνέχεια αναφέρονται ορισμένεςιδιότητες των συναρτήσεων αυτών

Rhg(−k,−l) = Rhg(k, l) (2.182)

Rhh(−k,−l) = Rhh(k, l) (2.183)

Rhg(0, 0) = ψhg = E{h(i, j)g(i, j)} (2.184)

Rhh(0, 0) = ψ2h ≥ |Rhh(k, l)| (2.185)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης περιγράφει την εξάρτηση των τιμών των δεδομένωνσε μία απόσταση (ή χρονική στιγμή) από τις ίδιες τις τιμές σε μία άλλη απόσταση (ήχρονική στιγμή). Η συνάρτηση διασυσχέτισης περιγράφει την εξάρτηση των τιμώντων δεδομένων της μιας συνάρτησης ως προς τις τιμές των δεδομένων μιας άλληςσυνάρτησης. Με τη συνάρτηση συσχέτισης προσδιορίζεται η επίδραση τιμών σεμία απόσταση (ή χρονική στιγμή) ως προς τις τιμές σε μία διαφορετική απόσταση(ή χρονική στιγμή).Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (covariance function) δύο συναρτήσεων h

και g ορίζεται με τη σχέση

Chg(k, l) = E[h(i, j) − µh][g(k + i, l + j) − µg]

= limM,N→∞

1

M

1

N

M−1∑

i=0

N−1∑

j=0

[h(i, j)−µh][g(k + i, l + j)−µg], (2.186)

όπου µh, µg είναι οι μέσες τιμές των h και g. Από τις παραπάνω εξισώσεις προ-κύπτει

Chg(k, l) = Rhg(k, l) − µhµg (2.187)

Το νόημα της προηγούμενης εξίσωσης είναι ότι ανεξάρτητα από το εάν οι συ-ναρτήσεις h και g έχουν τιμές ανηγμένες στη μέση τιμή, η συνάρτηση συμμετα-βλητότητας και η συνάρτηση συσχέτισης ταυτίζονται. Και στην περίπτωση αυτή η


C ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυμμεταβλητότητας, ή απλώς συνάρτηση συμμετα-βλητότητας, αν οι h και g ταυτίζονται και συνάρτηση διασυμμεταβλητότητας αν οιh και g είναι διαφορετικές συναρτήσεις. Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες

Chg(0, 0) = σhg = E{[h(i, j) − µh][g(i, j) − µg]} (2.188)

Chh(∞,∞) = 0 (2.189)

Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας παρουσιάζουν την ίδια πληροφορία, όπως καιοι συναρτήσεις συσχέτισης, αλλά για την περίπτωση που τα δεδομένα είναι ανηγ-μένα στη μέση τιμή (ποσότητες µh, µg), δηλαδή έχουν μέση τιμή μηδέν.Η συνάρτηση του συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient function)

ρhg ορίζεται από την εξίσωση:

ρhg(k, l) =Chg(k, l)

[Chh(0, 0)Cgg(0, 0)]1/2=Chg(k, l)

σhσg(2.190)

και|ρhg(k, l)| ≤ 1 (2.191)

Η εξίσωση (2.190) γράφεται διαφορετικά ως εξής:

ρhg(k, l) =Rhg(k, l) − µhµg

[Rhh(0, 0) − µ2h][Rgg(0, 0) − µ2

g]1/2

=Rhg(k, l) − µhµg

σhσg(2.192)

Η συνάρτηση του συντελεστή συσχέτισης μετράει το βαθμό γραμμικής εξάρτησηςανάμεσα στις τιμές δύο συναρτήσεων για διαφορετικές μεταβολές της μιας συνάρ-τησης σε σχέση με την άλλη.Η συνάρτηση πυκνότητας φάσματος (power spectral density function) Shg

είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης Rhg

Shg(u, v) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

Rhg(x, y)e−j2π(ux+vy)dxdy (2.193)

και συνήθως αναπαρίσταται με τις συναρτήσεις εύρους και φάσης που ήδη αναφέρ-θηκαν. ΄Οταν η Rhh είναι μία πραγματική περιττή συνάρτηση, είναι προφανές ότι ησυνάρτηση πυκνότητας φάσματος θα είναι επίσης μία πραγματική περιττή συνάρ-τηση και έτσι μπορεί να υπολογιστεί από έναν απλό μετασχηματισμό συνημιτόνου

Shh(u, v) = 2

∞∫

0

∞∫

0

Rhh(x, y) cos[2π(ux+ vy)]dxdy. (2.194)

Αυτό σημαίνει ότι:

Rhh(x, y) = 2

∞∫

0

∞∫

0

Shh(u, v) cos[2π(ux+ vy)]dudv. (2.195)


Στη συνέχεια δίνονται ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες των PSD συναρτήσεων σεδιακριτή μορφή

|Shg(m,n)| ≤ [Shh(m,n)Sgg(m,n)]1/2 (2.196)

Shg(−m,−n) = S∗

hg(m,n) = Sgh(m,n) (2.197)

Shg(−m,−n) = Shh(m,n) (2.198)

Shg(0, 0) = TxTyµhµg (2.199)

Shh(0, 0) = TxTyµ2h (2.200)

Οι συναρτήσεις PSD επιτρέπουν την ανεύρεση των κυρίαρχων συχνοτήτων, δηλαδήεκείνων των συχνοτήτων, στις οποίες τα δεδομένα συνεισφέρουν περισσότερο.Ο ρόλος αυτών των συναρτήσεων είναι σημαντικός στη θεωρία πρόγνωσης καιφιλτραρίσματος, όπου χρησιμοποιούνται για τον ταχύ υπολογισμό των συναρτή-σεων συμμεταβλητότητας και συσχέτισης.Η συνάρτηση συντονισμού (coherence) γ2

hg ορίζεται ως εξής

γ2hg =

|Shg(m,n)|2Shh(m,n)Sgg(m,n)

(2.201)

όπου για όλα τα m, n είναι0 ≤ γ2(m,n) ≤ 1 (2.202)

Οι εξισώσεις που συζητήθηκαν προηγουμένως αναπαριστούν με διαφορετι-κούς τρόπους τη συσχέτιση ανάμεσα στις συναρτήσεις h και g. Ορίζονται γιαM → ∞, N → ∞. Αυτό σημαίνει ότι για πεπερασμένες τιμές των M και N(περίπτωση διακριτών δεδομένων), οι προηγούμενες εξισώσεις δίνουν κάποιο συ-στηματικό σφάλμα (bias) στις υπολογιζόμενες ποσότητες. Για την απαλοιφή αυτούτου συστηματικού σφάλματος έχουν αναπτυχθεί κατάλληλες τεχνικές , για περι-πτώσεις όπου οι συναρτήσεις h και g αναφέρονται σε ένα ή περισσότερα δείγματαδεδομένων. Στην περίπτωση ενός δείγματος διακριτών τιμών, για κάθε μία από τιςσυναρτήσεις h και g επιτυγχάνεται μία εκτίμηση Rhg για τη συνάρτηση συσχέτισηςRhg, που δεν περιέχει κάποιο συστηματικό σφάλμα και δίνεται από τη σχέση

Rhg =1

M − k

1

N − l

M−1−k∑

i=0

N−1−l∑

j=0

h(i, j)g(k + i, l + j) (2.203)

Μία εκτίμηση Chg για τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας Chg δίνεται από μία πα-

ρόμοια σχέση. ΄Ετσι η συνάρτηση PSD υπολογίζεται από την εκτίμηση R′

hg

Shg(m,n) = F

[

R′

hg(k, l)]

(2.204)

όπου προηγούμενα στην Rhg εφαρμόζεται το κατάλληλο παράθυρο

R′

hg(k, l) = Rhg(k, l)w(k, l). (2.205)

Στην περίπτωση που είναι διαθέσιμα περισσότερα σύνολα διακριτών τιμών για τις hκαι g, είναι ευκολότερο να υπολογισθεί πρώτα η συνάρτηση PSD και στη συνέχεια


η συνάρτηση συσχέτισης ή συμμεταβλητότητας. Η εξίσωση (2.181), σε συνδυασμόμε την (2.168) δίνει

Rhg(k, l) = limTx,Ty→∞

1

TxTyh(k, l) ⊗ γ(k, l) (2.206)

και από τις εξισώσεις (2.174) και (2.193) προκύπτει ότι

Shg(m,n) = limTx,Ty→∞

1

TxTyH∗(m,n)G(m,n). (2.207)

Τα H και G έχουν προκύψει με εφαρμογή παραθύρου στις συναρτήσεις h και g. Οισυναρτήσεις συσχέτισης και συμμεταβλητότητας υπολογίζονται από τις σχέσεις

Rhg(k, l) = F−1

[

Shg(m,n)]

(2.208)

Chg(k, l) = F−1

[

Shg(m,n) − Shg(0, 0)δ(m,n)]

(2.209)

όπου η συνάρτηση δ(m,n) είναι η γνωστή συνάρτηση Dirac, η οποία παρουσιάζειεύρος 1 στην αρχή του πλέγματος (κανάβου).

2.3.8 Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier (FFT)

Ο FFT είναι ένας αλγόριθμος, που χρησιμοποιείται για τον ταχύτερο υπολογισμότου DFT. Στον FFT ο αριθμός των απαιτούμενων πολλαπλασιασμών με μιγαδικέςποσότητες είναι ανάλογος του MlogM , όπου M είναι ο αριθμός των διακριτώντιμών της συνάρτησης σε μία διάσταση, σε σχέση πάντοτε με το συμβατικό με-τασχηματισμό Fourier, όπου ο αριθμός των απαιτούμενων πολλαπλασιασμών μεμιγαδικές ποσότητες είναι ανάλογος του M2. Ας υποτεθεί ότι χρειάζεται να υπο-λογιστεί ο DFT μιας συνάρτησης x(k) για M = 4 σε μία διάσταση. Ισχύει:

X(m) =

M−1∑

k=0

x(k)e−j2π(km/M) =

M−1∑

k=0

x(k)W km,m = 0, 1, 2, 3. (2.210)

Η σχέση (2.210) σε μορφή πινάκων γράφεται στην ακόλουθη μορφή:

X(0)X(1)X(2)X(3)

=

W 0 W 0 W 0 W 0

W 0 W 1 W 2 W 3

W 0 W 2 W 4 W 6

W 0 W 3 W 6 W 9

x(0)x(1)x(2)x(3)

. (2.211)

Επειδή ισχύει

W km = e−j2π(km/M) (2.212)

μπορεί να γραφεί

W km = Wmod(M), (2.213)


όπου mod(M) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης km/M . Λόγω της προηγούμενηςεξίσωσης το σύστημα γίνεται

X(0)X(1)X(2)X(3)

=

1 1 1 11 W 1 W 2 W 3

1 W 2 W 0 W 2

1 W 3 W 2 W 1

x(0)x(1)x(2)x(3)

. (2.214)

Εναλλάσσοντας τους δείκτες των H(m) και με παραγοντοποίηση/ανάλυση τουπίνακα των συντελεστών τουW σε δύο πίνακες (σύμφωνα με την εξίσωση log2M =2) το σύστημα (2.214) γίνεται

X(0)X(1)X(2)X(3)

=

1 W 0 0 01 W 2 0 00 0 1 W 1

0 0 1 W 3

1 0 W 0 00 1 0 W 0

1 0 W 2 00 1 0 W 2

x(0)x(1)x(2)x(3)

. (2.215)

Επειδή W 2 = −W 0 και W 3 = −W 1 προκύπτει

X(0)X(1)X(2)X(3)

=

1 W 0 0 01 −W 0 0 00 0 1 W 1

0 0 1 −W 1

x1(0)x2(1)x3(2)x4(3)

, (2.216)

όπου

x1(0)x2(1)x3(2)x4(3)

=

1 0 W 0 00 1 0 W 0

1 0 −W 0 00 1 0 −W 0

x(0)x(1)x(2)x(3)

. (2.217)

Σύμφωνα με τις σχέσεις (2.214), (2.216) προκύπτει το διάγραμμα ροής ενεργειών(2.11).Η παραγοντοποίηση του πίνακα εισάγει μηδενικά στους υποπίνακες και αυτό

συνεπάγεται μία σημαντική μείωση των πολλαπλασιασμών. Το διάγραμμα ροήςδεν δείχνει μόνο ότι μειώνονται οι πολλαπλασιασμοί, αλλά ότι μειώνεται και οαριθμός των προσθέσεων, καθώς κάθε xi(k) υπολογίζεται μόνο μία φορά και στησυνέχεια χρησιμοποιείται για τους υπολογισμούς όλων των X(M) στους οποίουςπαίρνει μέρος. Αυτοί είναι οι βασικοί λόγοι που ο FFT είναι πολύ ταχύτερος απότο συμβατικό μετασχηματισμό Fourier.

Αναλυτικοί υπολογισμοί, πλεονεκτήματα FFT Από τη σχέση (2.211)είναι φανερό ότι για την υλοποίηση του FFT είναι απαραίτητποι 16 μιγαδικοί πολ-λαπλασιασμοί. Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του FFT που δίνονται μέσω τωνσχέσεων (2.212) και (2.213) προκύπτουν οι ακόλουθες απλοποιητικές σχέσεις:

W 0 = W 4 = 1 (2.218)

W 1 = W 9 = −j (2.219)

W 2 = W 6 = −1 (2.220)

W 3 = j (2.221)


Σχήμα 2.11: FFT - διάγραμμα ροής

Με αντικατάσταση των ανωτέρω σχέσεων στην εξίσωση πινάκων (2.211) προκύ-πτει:

H(0)H(1)H(2)H(3)

=

1 1 1 11 −j −1 j1 −1 1 −11 j −1 −j

h(0)h(1)h(2)h(3)

. (2.222)

Σύμφωνα με την ιδιότητα της συμμετρίας προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις:

H(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = [x(0) + x(2)]︸︷︷︸

g1

+ [x(1) + x(3)]︸︷︷︸

g2

(2.223)

H(1) = x(0)−jx(1)+x(2)+jx(3) = [x(0)−x(2)]︸︷︷︸

h1

−j [x(1)−x(3)]︸︷︷︸

h2

(2.224)

H(2) = x(0) − x(1) + x(2) − x(3) = [x(0) + x(2)]︸︷︷︸

g1

− [x(1) + x(3)]︸︷︷︸

g2

(2.225)

H(3) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = [x(0) − x(2)]︸︷︷︸

h1

+j [x(1) − x(3)]︸︷︷︸

h2

(2.226)

Οι τελικοί λοιπόν υπολογισμοί πραγματοποιούνται σε δύο βήματα ως εξής:

1o βήμα

g1 = x(0) + x(2) (2.227)


g2 = x(1) + x(3) (2.228)

h1 = x(0) − x(2) (2.229)

h2 = x(1) − x(3) (2.230)

2o βήμα

X(0) = g1 + g2 (2.231)

X(1) = h1 − jh2 (2.232)

X(2) = g1 − g (2.233)

X(3) = h1 + jh2 (2.234)

Από το προηγούμενο σχήμα υπολογισμών κατά βήματα προκύπτει ότι για τηντελική υλοποίηση του FFT απαιτούνται 2 μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί, που είναιένας σημαντικά μικρότερος αριθμός από τους 16, που προέβλεπε η αρχική εξίσωσησε μορφή πινάκων. Γίνεται κατανοητό το τεράστιο υπολογιστικό όφελος για τηνπερίπτωση διαχείρισης πολύ μεγάλου αριθμού δεδομένων.Στο σχήμα (2.12) απεικονίζονται παραστατικά οι διαδικασίες υπολογισμού του

παραδείγματος FFT για μία ακολουθία 4 δεδομένων.

Σχήμα 2.12: FFT - αναλυτικοί υπολογισμοί


2.4 Γραμμικά συστήματα και φίλτρα

Με τον όρο σύστημα εννοείται κάθε μηχανισμός L, ο οποίος μετατρέπει ένα σήμαx(t) σε ένα άλλο σήμα y(t) = (Lx)(t) (βλ. σχήμα 2.13). Το L είναι ένας τελεστής,δηλαδή ένας τρόπος απεικόνισης μιας συνάρτησης σε μία άλλη συνάρτηση. ΄Εναγραμμικό σύστημα (linear system) είναι ένα σύστημα που περιγράφεται από έναγραμμικό τελεστή L μέσω της ιδιότητας

L(a1x1 + a2x2) = a1L(x1) + a2L(x2) . (2.235)

L- -x(t) y(t)

Σχήμα 2.13: Γραμμικό σύστημα

΄Ενα χρονικά αμετάβλητο σύστημα (time invariant system) είναι ένα σύστη-μα L που παράγει το ίδιο αποτέλεσμα y(t) για το ίδιο αίτιο x(t) ανεξάρτητα απότην χρονική περίοδο εφαρμογής του. Για την περιγραφή ενός τέτοιου συστήματοςεισάγεται ο τελεστής χρονικής μετάθεσης Tτ , που ορίζεται μέσω των σχέσεων

xτ = Tτx , xτ (t) = x(t− τ) . (2.236)

Ο τελεστής L ενός γραμμικού συστήματος μπορεί να αποδοθεί μέσω ενός ο-λοκληρώματος με τη σχέση

y(t) = (Lx)(t) =

∞∫

−∞

h(t, s)x(s)ds . (2.237)

Η ιδιότητα του L να είναι το σύστημα χρονικά αμετάβλητο, οδηγεί στην ακόλουθηιδιότητα της συνάρτησης h:

h(t+ τ, s+ τ) → h(t, w) = h(t− s, s− s) = h(t− s, 0) ≡ h′(t− s) . (2.238)

Σύμφωνα με την τελευταία σχέση η συνάρτηση h(t, s), που είναι συνάρτηση δύομεταβλητών, μπορεί να αντικατασταθεί με μία συνάρτηση μιας μεταβλητής h′(t−s).Με τον τρόπο αυτό ο τελεστής παριστάνεται από ένα ολοκλήρωμα ειδικής μορφής,το οποίο ονομάζεται συνέλιξη (convolution), όπως ήδη έχει αναφερθεί και στιςπροηγούμενες ενότητες. Είναι δηλαδή:

y(t) = (Lx)(t) =

∞∫

−∞

h(t− s)x(s)ds ≡ (h ∗ x)(t), y = Lx = h ∗ x . (2.239)


΄Οπως αναφέρθηκε ήδη, η βασική ιδιότητα της συνέλιξης είναι η μεταθετικότητα,δηλαδή: f ∗ g = g ∗ f .Εάν X(ω), Y (ω),H(ω) είναι οι μετασχηματισμοί Fourier των συναρτήσεων

x(t), y(t), h(t), αντιστοίχως, ισχύει διαδοχικά

y = h ∗ x =⇒ Y (ω) = H(ω)X(ω) . (2.240)

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή και ως θεώρημα της συνέλιξης και είναι μία σχέσημιγαδικών συναρτήσεων. Εάν θεωρήσουμε τα φάσματα εύρους των συναρτήσεωναυτών προκύπτει η σχέση

|Y (ω)| = |H(ω)||X(ω)| , (2.241)

η οποία είναι μία σχέση ανάμεσα σε πραγματικές ποσότητες. Υψώνοντας τηντελευταία σχέση στο τετράγωνο και λαμβάνοντας υπόψη ότι μία συνάρτηση f(t),με μετασχηματισμό Fourier F (ω) έχει συνάρτηση πυκνότητας φάσματος ενέργειαςSFF (ω), που δίνεται από τη σχέση

SFF (ω) = |Z(ω)|2 , (2.242)

προκύπτει η σχέση

Syy(ω) = |H(ω)|2|Sxx(ω)| . (2.243)

Η συνάρτηση h(t) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση (impulse re-sponse function) του συστήματος που περιγράφηκε προηγουμένως και αποτελεί τηβασική συνάρτηση μιας κατηγορίας συστημάτων, τα οποία στις φασματικές μεθό-δους και στη θεωρία σημάτων είναι γνωστά ως φίλτρα.Φίλτρα λοιπόν ονομάζονται τα γραμμικά συστήματα για τα οποία η συνάρτηση

H(ω) μηδενίζεται σε ένα τμήμα του πεδίου τιμών −∞ < ω < ∞. ΄Οταν γιακάποιες τιμές της συχνότητας ω είναι H(ω) = 0, τότε και Y (ω) = H(ω)X(ω) = 0και επομένως οι συχνότητες αυτές φιλτράρονται (απομακρύνονται ή απομονώνο-νται), όπως λέγεται συνήθως και δεν υπάρχουν στην έξοδο y(t) του γραμμικούσυστήματος (βλ. και σχήμα 2.13).Η συνάρτηση H(ω) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα ή συ-

νάρτηση μετάδοσης του φίλτρου.Ορίζονται στη συνέχεια ορισμένα απλά φίλτρα σε μία διάσταση που χρησιμο-

ποιούνται συχνά στη θεωρία σημάτων και στις φασματικές μεθόδους (πηγή: Α.Δερμάνης: Διαστημική Γεωδαισία και Γεωδυναμική, 2000). Τα ίδια φίλτρα απει-κονίζονται και στο σχήμα (2.14).Φίλτρα χαμηλής διέλευσης (Low Pass Filter - LPF), τα οποία επιτρέπουν τηδιέλευση συχνοτήτων ω, που είναι μικρότερες ή ίσες από τη συχνότητα αποκοπήςω0 και ορίζονται ως εξής:

H(ω) = 0, |ω| > ωo (2.244)


Φίλτρα υψηλής διέλευσης (High Pass Filter - HPF), τα οποία επιτρέπουν τη διέ-λευση συχνοτήτων ω, που είναι μεγαλύτερες ή ίσες από τη συχνότητα αποκοπήςω0 και ορίζονται ως εξής:

H(ω) = 0, |ω| < ωo (2.245)

Φίλτρα διέλευσης εντός ζώνης (Band Pass Filter - BPF) ή φίλτρα διέλευσης εκτόςζώνης (Band Stop Filter - BSF.) Τα φίλτρα αυτά είτε επιτρέπουν τη διέλευσησυχνοτήτων ω, εντός μιας συγκεκριμένης ζώνης, που ορίζεται από τις συχνότητεςω1 και ω2 και ορίζονται με τον ακόλουθο τρόπο

H(ω) = 0, |ω| < ω1 < ω2 ή ω2 < |ω| (2.246)

είτε επιτρέπουν τη διέλευση συχνοτήτων ω, εκτός μιας συγκεκριμένης ζώνης, πουορίζεται από τις συχνότητες ω1 και ω2 και ορίζονται ως εξής:

H(ω) = 0 ω1 < |ω| < ω2 (2.247)

Σχήμα 2.14: Μονοδιάστατα γραμμικά φίλτρα

Μία ειδική κατηγορία φίλτρων είναι τα ιδανικά φίλτρα, για τα οποία ισχύει:|H(ω)| = 1 και ϕh(ω) = −tdω για το πεδίο τιμών όπου H(ω) 6= 0. Στα φίλτρα


αυτά οι συχνότητες που δεν φιλτράρονται διατηρούν το εύρος τους (μέγεθος).Επομένως η συνάρτηση H(ω) ενός ιδανικού φίλτρου, έχει, στο τμήμα εκείνο πουδεν μηδενίζεται, τη μορφή

H(ω) = e−jωtd . (2.248)

Ειδικά για ένα ιδανικό φίλτρο χαμηλής διέλευσης, η συνάρτηση απόκρισηςσε ώθηση hLPF (t) προσδιορίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό FourierHLPF (ω), είναι δηλαδή:

hLPF (t) =1

2π

∞∫

−∞

H(ω)ejωtdω =1

2π

ω0∫

−ω0

H(ω)e−jωtdω (2.249)

=sinω0(t− td)

π(t− td)=ω0

πsin c[ω0(t− td)], (2.250)

όπου sin cz = sin zz είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας, που αναφέρθηκε και στις

προηγούμενες ενότητες.Σε πολλές εφαρμογές των γεωεπιστημών και όταν τα σήματα είναι διδιάστατα,

αντί των συστημάτων και φίλτρων σε μία διάσταση χρησιμοποιούνται τα συστήμα-τα και φίλτρα στις δύο διαστάσεις. Με αναλογο τρόπο, όπως προηγουμένως, μίασυνάρτηση x(m,n) εισέρχεται σε μία συγκεκριμένη διαδικασία ενός συστήματος ήφίλτρου h(m,n) και το αποτέλεσμα είναι μία νέα συνάρτηση y(m,n), όπως φαίνεταικαι στο σχήμα (2.15). Στο χώρο των συχνοτήτων ισχύει και πάλι μία σχέσηανάλογη της (2.240)

X(u, v) = H(u, v)Y (u, v) , (2.251)

όπου ω =√u2 + v2. Η συνάρτηση H(u, v) είναι η διδιάστατη συνάρτηση απόκρι-

σης κατά συχνότητα ή συνάρτηση μετάδοσης του φίλτρου.

h(m,n)- -y(m,n) x(m,n)

Σχήμα 2.15: Γραμμικό σύστημα σε δύο διαστάσεις

Στις γεωεπιστήμες χρησιμοποιούνται ευρέως και τα διδιάστατα φίλτρα, τα ο-ποία παρουσιάζουν μία κυκλική συμμετρία και είναι γραμμικά και ομοιογενή, όπωςχαρακτηρίζονται, φίλτρα. Στα σχήματα (2.16), (2.17), (2.18) δίνονται οι απεικονί-σεις σε δύο διαστάσεις ενός φίλτρου χαμηλής διέλευσης, ενός φίλτρου υψηλής καιενός φίλτρου διέλευσης εντός ζώνης.


Σχήμα 2.16: Διδιάστατο φίλτρο χαμηλής διέλευσης

Σχήμα 2.17: Διδιάστατο φίλτρο υψηλής διέλευσης

Σχήμα 2.18: Διδιάστατο φίλτρο με διέλευση εντός ζώνης


2.5 Εφαρμογές διακριτού μετασχηματισμού

Fourier

ΕΥΘΥΣ

X(k) =N−1∑

n=0

x(n)e−j 2πN nk k = 0,±1,±2, . . . (2.252)

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ

x(n) =1

N

N−1∑

k=0

X(k)ej 2πN kn n = 0,±1,±2, . . . (2.253)

Αντικατάσταση: Wn = e−j2/pi

N

ΕΥΘΥΣ

X(k) =

N−1∑

n=0

x(n)WnkN k = 0,±1,±2, . . . (2.254)

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ

x(n) =1

N

N−1∑

k=0

X(k)W−knn n = 0,±1,±2, . . . (2.255)

ΑΣΚΗΣΗ 1: Η συνάρτηση x(n) ορίζεται ως εξής:

x(n) =

{1, 0 ≤ n ≤ 30, για οποιαδήποτε άλλη τιμή

(α) Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier της x(n).

(β) Να βρεθεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier 4 σημείων της x(n).

ΛΥΣΗ: (α)

X(ω) =3∑

0

x(n)e−jωn = 1 + e−jω + e−j2ω + e−j3ω =1 − e−j4ω

1 − e−jω

(β)

Είναι N = 4, W4 = e−j 2π4 = −j, X(k) =

∑3n=0 x(n)Wnk

4

X(0) =

3∑

n=0

x(n)(−j)0·n

= 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 = 4


X(1) =3∑

n=0

x(n)(−j)1·n

= 1 · (−j)0 + 1 · (−j)1 + 1(−j)2 + 1 · (−j)3

= 1 − j − 1 + j = 0

X(2) =3∑

n=0

x(n)(−j)2·n

= 1 · (−j)0 + 1 · (−j)2 + 1 · (−j)4 + 1 · (−j)6

= 1 − 1 + 1 − 1 = 0

X(3) =

3∑

n=0

x(n)(−j)3·n

= 1 · (−j)0 + 1 · (−j)3 + 1 · (−j)6 + 1 · (−j)9

= 1 + j − 1 − j = 0

΄Αρα X(4) = {4, 0, 0, 0}.

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να βρεθεί ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourierτης X(4) = {4, 0, 0, 0} (βλ. αποτέλεσμα 1ης άσκησης).

ΛΥΣΗ:

x(1) =1

4

3∑

k=0

X(k)(−j)−0·k =1

4

[4 · 1 + 0 + 0 + 0

]= 1

x(2) =1

4

3∑

k=0

X(k)(−j)−1·k

=1

4

[4 · (−j)0 + 0 · (−j)−1 + 0 · (−j)−2 + 0 · (−j)−3

]

= 1 + 0 + 0 + 0 = 1

x(3) =1

4

3∑

k=0

X(k)(−j)−2·k

=1

4

[4 · (−j)0 + 0 · (−j)−2 + 0 · (−j)−4 + 0 · (−j)−6

]

= 1 + 0 + 0 + 0 = 1

x(4) =1

4

3∑

k=0

X(k)(−j)−3·k

=1

4

[4 · (−j)0 + 0 · (−j)−3 + 0 · (−j)−6 + 0 · (−j)−9

]

= 1 + 0 + 0 + 0 = 1

΄Αρα: x(4) = {1, 1, 1, 1}


ΑΣΚΗΣΗ 3: Να βρεθεί ο ευθύς διακριτός μετασχηματισμός Fourier της πε-ριοδικής σειράς:

x(n) = {. . . , 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, . . .}

ΛΥΣΗ: Είναι:

N = 4

W4 = e−j 2π4 = −j

X(k) =

3∑

n=0

x(n)W k·n4 k = 0, 1, 2, 3

Επομένως:

X(0) =3∑

0

x(n)W 0·n4 =

3∑

0

x(n)

= x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 0 + 1 + 2 + 3 = 6

X(1) =

3∑

0

x(n)W 1·n4 =

3∑

0

x(n)(−j)n = −2 + 2j

X(2) =

3∑

0

x(n)W 2·n4 =

3∑

0

x(n)(−j)2n = −2

X(3) =

3∑

0

x(n)W 3·n4 =

3∑

0

x(n)(−j)3n = −2 − 2j

΄Αρα: X(4) = {6,−2 + 2j,−2,−2 − 2j}.

Κεφάλαιο 3 Φασματική ανάλυση για διακριτά δεδομένα

Περιεχόμενα 3.1. Φασματική ανάλυση διακριτών δεδομένων σε άπειρο διάστημα

3.1.1. Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και ο αντίστροφος του. Το φαινόμενο της

αλλοίωσης Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου

3.1.2 Η διακριτή συνέλιξη και το σχετικό θεώρημα

3.2. Φασματική ανάλυση διακριτών δεδομένων σε πεπερασμένο διάστημα

3.2.1. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο αντίστροφος του. Το φαινόμενο της αλλοίωσης Ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourier

Σύνοψη των μεθόδων φασματικής ανάλυσης

3.2.2. Περιοδικές συναρτήσεις και περιοδική συνέλιξη

3.2.3. Συνέλιξη διακριτών συναρτήσεων ορισμένων σε πεπερασμένο διάστημα και το σχετικό θεώρημα

3.2.4. Eφαρμογή του θεωρήματος της συνέλιξης σε πεπερασμένα διακριτά δεδομένα Μηδενική επέκταση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα

Περιοδική επέκταση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα

Μηδενική συμπλήρωση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα (zero padding)

101

Κεφάλαιο 3 Φασματική ανάλυση για διακριτά δεδομένα Τόσο οι σειρές Fourier, όσο και ο μετασχηματισμός Fourier, απαιτούν συνεχή δεδομένα και συγκεκριμένα τη γνώση των τιμών μιας συνάρτησης ( )f t για οποιαδήποτε τιμή του t , είτε σε ένα πεπερασμένο διάστημα a t a T≤ ≤ + στην πρώτη περίπτωση, είτε στο σύνολο των πραγματι-κών τιμών t−∞ ≤ ≤ +∞ στη δεύτερη. Στην πραγματικότητα δεν είναι δυνατό να γνωρίζουμε μια συνάρτηση, η οποία παριστάνει ένα υπό μελέτη φυσικό φαινόμενο, σε ένα άπειρο διάστημα τι-μών, ανεξάρτητα από τη φυσική σημασία της ανεξάρτητης μεταβλητής (χρόνος, απόσταση κατά μήκος ενός προφίλ συλλογής δεδομένων, κλπ.). Η συλλογή δεδομένων πρέπει να έχει μία αρχή και ένα τέλος, οπότε αυτά θα πρέπει να περιορίζονται σε ένα πεπερασμένο διάστημα. Έτσι το ανάπτυγμα μιας συνάρτησης σε σειρά Fourier φαίνεται να είναι ένα πιο κατάλληλο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση δεδομένων. Από την άλλη πλευρά όμως, ο μετασχηματισμός Fourier οδήγησε σε μια σειρά αποτελέσματα τα οποία μπορούν να είναι χρήσιμα στην ανάλυση δεδομέ-νων, όπως για παράδειγμα το θεώρημα της συνέλιξης, επειδή πολλές φυσικές διαδικασίες (αλλά και διαδικασίες σε συστήματα κατασκευασμένα από τον άνθρωπο) έχουν τον χαρακτήρα συνέ-λιξης. Θα μπορούσε κανείς να παρατηρήσει, όχι χωρίς κάποιο σκεπτικισμό, ότι τα θεωρητικά μαθημα-τικά, όσο απομακρύνονται από τα πολύπλοκα προβλήματα της πραγματικότητας, τόσο γίνονται πλουσιότερα σε αποτελέσματα, η εφαρμογή των οποίων, σε πιο ρεαλιστικές συνθήκες, αποτελεί μια συνεχή πρόκληση για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αλλά ούτε και η απαίτηση για συνεχή γνώση μιας συνάρτησης (έστω και σε ένα πεπερασμένο διάστημα) συνάδει με την πραγματικότητα των εφαρμογών. Ακόμα και στην περίπτωση ενός αναλογικού οργάνου το οποίο καταγράφει συνεχώς όλες τις τιμές μιας συνάρτησης ( )f t , η απο-θήκευση τους για περαιτέρω χρήση σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή απαιτεί τη μετατροπή τους σε ένα σύνολο αριθμών (δεδομένα). Έτσι, μέσα από μια διαδικασία ψηφιοποίησης, οι τιμές της συνάρτησης μετατρέπονται σε ένα διακριτό σύνολο αριθμών 1( )f t , 2( )f t , ..., οι οποίοι και πα-ριστάνουν πλέον τη συνάρτηση σε κάθε περαιτέρω διαδικασία επεξεργασίας των δεδομένων. To Το ίδιο συμβαίνει και στην περίπτωση οργάνων με ψηφιακή καταγραφή των μετρήσεων. Φροντίζουμε, όταν αυτό είναι δυνατό, να καταγράφονται τιμές της συνάρτησης για ισαπέχουσες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, δηλαδή για 2 1t t t= + Δ , ...., 1k kt t t+ = + Δ , ..., με σταθερό βήμα συλλογής δεδομένων tΔ . Επιλέγοντας ένα από τα σημεία καταγραφής ως αρχή του συστήματος αναφοράς για την ανεξάρτητη μεταβλητή t , τα δεδομένα έχουν τη μορφή

( )nf f n t= Δ όπου n είναι ένας ακέραιος αριθμός. Στη ρεαλιστική περίπτωση των δεδομένων σε πεπερασμέ-νο διάστημα είναι βολικό να αριθμήσουμε τα δεδομένα από 0 έως N , με αντίστοιχες τιμές

0 (0)f f= , 1 ( )f f t= Δ , 2 (2 )f f t= Δ , ...., ( )1 ( 1)Nf f N t− = − Δ , ( )Nf f N t= Δ . Πριν όμως εξετάσουμε τις μεθόδους φασματικής ανάλυσης για την περίπτωση αυτή, θα μελε-τήσουμε τη, λιγότερο ρεαλιστική, περίπτωση διακριτών δεδομένων σε άπειρο διάστημα,

( )nf f n t= Δ για κάθε ακέραιο n−∞ < < +∞ , από την οποία θα προκύψουν κάποια χρήσιμα αποτελέσματα, που θα αξιοποιήσουμε στη συνέχεια.

102

3.1. Φασματική ανάλυση διακριτών δεδομένων σε άπειρο διάστημα 3.1.1. Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και ο αντίστροφος του. Το φαινόμενο

της αλλοίωσης Θεωρούμε ότι γνωρίζουμε τις τιμές μιας συνάρτησης ( )f t για διακριτές ισαπέχουσες τιμές

nt n t= Δ , στο σύνολο του άξονα των πραγματικών αριθμών, δηλαδή για όλους τους ακέραιους αριθμούς n−∞ < < +∞ . Oι αντίστοιχες γνωστές τιμές ( )nf f n t= Δ , n−∞ < < +∞ (1) συνιστούν μια διακριτή συνάρτηση : :n nf Z R n f→ → από το σύνολο Z των ακεραίων αριθμών στους πραγματικούς αριθμούς R . Η αντίστοιχη άγνωστη συνάρτηση ( )f t , έχει ένα μετασχηματισμό Fourier (φάσμα)

( ) ( )i tF e f t dtωω+∞

−

−∞

= ∫ (2)

με αντίστροφο

1( ) ( )2

i tf t e F dω ω ωπ

+∞

−∞

= ∫ (3)

Το μόνο που γνωρίζουμε για το φάσμα ( )F ω , με βάση τα συγκεκριμένα δεδομένα, είναι ότι πρέπει, σύμφωνα με την παραπάνω σχέση, να ικανοποιεί τις άπειρες συνθήκες

1( ) ( )2

i n tnf f n t e F dω ω ω

π

+∞Δ

−∞

= Δ = ∫ , n−∞ < < +∞ . (4)

Το ολοκλήρωμα στην παραπάνω σχέση μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άπειρο άθροισμα επιμέρους ολοκληρωμάτων σε πεπερασμένα διαστήματα σύμφωνα με το σχήμα

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

... ... .... ....

N N N N N NN N N N

N N N N N NN N N N

m m k

km m k

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω

− − + − + ++∞ +∞

=−∞−∞ − − − − − − + − +

= + + + + + + + + = ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

όπου

2N t

πω =Δ

. (5)

Έτσι οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί το φάσμα παίρνουν τη μορφή

2

2

1( ) ( )2

NN

NN

k

i n tn

kk

f f n t e F d

ωω

ω

ωω

ω ωπ

++∞

Δ

=−∞− +

= Δ = ∑ ∫ . (6)

103

Τα μεταβλητά όρια στα αθροιζόμενα ολοκληρώματα μπορούν να αναχθούν όλα στο ίδιο διάστημα, αν χρησιμοποιήσουμε για το καθένα την αλλαγή μεταβλητής Nkω ω ω′ = − ,

οπότε Nkω ω ω′= + , ενώ τα όρια ,2 2

N NN Nk kω ωω ω⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

του ω γίνονται για το Nkω ω ω′ = −

, ,2 2 2 2

N N N NN N N Nk k k kω ω ω ωω ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

και οι συνθήκες παίρνουν τη μορφή

( )/ 22

/ 22

1 1( ) ( )2 2

NN

N N

N N

i k n t i n ti n tn N N

k k

f e F k d e e F k d

ωω

ω ω ωω

ω ω

ω ω ω ω ω ωπ π

+∞ +∞′+ Δ ′ ΔΔ

=−∞ =−∞ −−

′ ′ ′ ′= + = +∑ ∑∫ ∫ . (7)

Δεδομένου ότι ( )2

2 2 1 1Ni n t ni n t i n i nte e e eπ

ω π πΔΔ Δ= = = = = , προκύπτει ότι

/ 2

/ 2

1 ( )2

N

N

i n tn N

kf e F k d

ωω

ω

ω ω ωπ

+∞′ Δ

=−∞−

′ ′= +∑∫ . (8)

Αν εισάγουμε τη συνάρτηση

( )1( )t Nk

F F kt

ω ω ω+∞

Δ=−∞

= +Δ ∑ ,

2 2N Nω ωω− < ≤ (9)

και λάβουμε υπόψη ότι 2 / Ntπ ωΔ = , οι συνθήκες (4) παίρνουν την τελική τους μορφή

/ 2

/ 2

1 ( )N

N

i n tn t

N

f e F dω

ω

ω

ω ωω

ΔΔ

−

= ∫ , n−∞ < < +∞ , (10)

όπου το φάσμα ( )F ω έχει αντικατασταθεί από μια νέα συνάρτηση την ( )tF ωΔ . Οι σχέσεις (10) ικανοποιούνται από μία μοναδική συνάρτηση ( )tF ωΔ η οποία δίνεται από τις σχέσεις

( ) i k tt k

kF f e ωω

+∞− Δ

Δ=−∞

= ∑ , 2 2

N Nω ωω− < ≤ . (11)

Οι σχέσεις (11) αποτελούν το ανάλογο του μετασχηματισμού Fourier για την περίπτωση διακριτών συναρτήσεων. Η συνάρτηση ( )tF ωΔ ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT = Discrete Time Fourier Transform), ενώ οι σχέσεις (10) αποτελούν τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (invDTFT). O μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου ( )tF ωΔ της διακριτής συνάρτησης nf σχετίζεται με τον μετασχηματισμό Fourier (συνεχούς χρόνου) ( )F ω της αντίστοιχης συνεχούς συνάρτησης ( )f t μέσω της σχέσης (9)

104

( )1( )t Nk

F F kt

ω ω ω+∞

Δ=−∞

= + =Δ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 2 2 ...N N N NF F F F Ft

ω ω ω ω ω ω ω ω ω+ − + − + + + + + +=

Δ, (12)

όπου η τιμή ( )tF ωΔ για κάθε συχνότητα, στο διάστημα / 2 / 2N Nω ω ω− < ≤ , έχει επηρεαστεί από τις τιμές ( )NF kω ω± στις «ψηλότερες» συχνότητες , Nkω ω± έξω από το διάστημα

/ 2 / 2N Nω ω ω− < ≤ . Το φαινόμενο αυτό της αλλοίωσης του φάσματος λόγω διακριτοποίησης, όπου υψηλότερες κατά απόλυτη τιμή συχνότητες επηρεάζουν τις χαμηλότερες, ονομάζεται αλλοίωση (aliasing). Η διακριτοποίηση όχι μόνο δεν μας επιτρέπει να «δούμε» τις συχνότητες πάνω από τη χαρακτηριστική συχνότητα (συχνότητα Nyquist)

2

N

tω π

=Δ

(13)

αλλά και οι συχνότητες που «βλέπουμε» δεν είναι οι πραγματικές αλλά αλλοιωμένες από αντίστοιχες υψηλότερες συχνότητες. Απομένει να αποδείξουμε ότι η σχέση (11) είναι πράγματι η αντίστροφη της (10), ότι δηλαδή το δεξιό σκέλος της ικανοποιεί τη σχέση (10).

Απόδειξη: Πράγματι, αντικαθιστώντας το δεξιό σκέλος της (11) στο δεξιό σκέλος της (10), έχουμε

2 2 2( )

2 2 2

1 1 1( )

N N N

N N N

i n t i n t i k t i n k tt k k

k kN N N

e F d e f e d f e d

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ωω ω ω

+∞ +∞Δ Δ − Δ − Δ

Δ=−∞ =−∞

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫ ∫ . (14)

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση θα λάβουμε υπόψη ότι 2 sini ie e iθ θ θ−− = και θα ξεχωρίσουμε δύο περιπτώσεις: Για n k≠ :

( ) ( )2 2 2

( ) ( ) 2

22

1( ) ( )

N N NN

N

N

i n k t i n k ti n k t i n k t

kne eI e d e

i n k t i n k t

ω ω ωω

ω ωω

ω

ω− Δ − − Δ

− Δ − Δ

−−

−⎡ ⎤≡ = = =⎣ ⎦− Δ − Δ∫

( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 ( ) 0

( ) ( ) ( )

i n k t i n k t i n k i n kt te e e e i n ki n k t i n k t i n k t

π ππ π π

− Δ − − Δ − − −Δ Δ− − −= = = =

− Δ − Δ − Δ.

Για n k= :

[ ]2 2 2

( ) 0 2

22 2 2

2 2

N N N

N

N

N N N

i n n t N Nnn NI e d e d d

ω ω ωω

ωω

ω ω ω

ω ωω ω ω ω ω− Δ

−− − −

= = = = = + =∫ ∫ ∫ .

Τα δύο παραπάνω αποτελέσματα μπορούμε να συνοψίσουμε στη σχέση

105

2

( )

2

N

N

i n k tkn N nkI e d

ω

ω

ω

ω ω δ− Δ

−

≡ =∫ , 10nk

n kn k

δ≠⎧

= ⎨ =⎩, (15)

με την οποία η (14) γίνεται

2

2

1 1 1( )

N

N

i n tt k nk k N nk k nk n

k k kN N N

e F d f I f f f

ω

ω

ω

ω ω ω δ δω ω ω

+∞ +∞ +∞Δ

Δ=−∞ =−∞ =−∞

−

= = = =∑ ∑ ∑∫ . (16)

Η παραπάνω σχέση δεν είναι άλλη από την (10) και έτσι η σχέση (11) έχει επαληθευτεί.

Στην βιβλιογραφία συναντάμε τη συνήθη απλοποίηση 1tΔ = , για την οποία 2 2N tπω π= =Δ

,

οπότε ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου απλοποιείται σε

( ) i k tt k

kF f e ωω

+∞− Δ

Δ=−∞

= ∑ , (17)

ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου απλοποιείται σε

1 ( )2

i n tn tf e F d

πω

π

ω ωπ

ΔΔ

−

= ∫ (18)

ενώ η σχέση μεταξύ διακριτού και συνεχούς φάσματος απλοποιείται σε

( )( )t Nk

F F kω ω ω+∞

Δ=−∞

= +∑ . (19).

Το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου, δηλαδή τη σχέση ανάμεσα σε μια διακριτή συνάρτηση nf και το αντίστοιχο φάσμα συμβολίζουμε με

DTFT

( )n tf F ωΔ↔ (20)

Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου έχει μια σειρά από ιδιότητες, αντίστοιχες με

εκείνες του (συνεχούς) μετασχηματισμού Fourier. Σε όλες τις παρακάτω σχέσεις DTFT

( )n tf F ωΔ↔

και DFT

( )n tg G ωΔ↔ . Γραμμικότητα:

DTFT

( ) ( )n n t taf bg aF bGω ωΔ Δ+ ↔ + . (21)

106

Αρτιότητα: * ( ) ( )t tF Fω ωΔ Δ= − . (22) Διαφόριση:

DTFT

tn

dFi n fdω

Δ− ↔ . (23)

Χρονική μετάθεση:

0

0

DTFT( )i n

n n tf e Fω ω−− Δ↔ . (24)

Μετάθεση συχνότητας:

0DTFT

0( )i nn te f Fω ω ωΔ↔ − . (25)

Πολλαπλασιασμός:

DTFT 1

n n t tN

f g F Gω Δ Δ↔ , (26)

όπου εξ ορισμού

2

2

( ) ( )

N

N

t t t tF G F G d

ω

ω

ω ω ω ωΔ Δ Δ Δ

−

′ ′ ′≡ −∫ . (27)

Εξίσωση του Parceval:

2

22

2

1| | ( )

N

N

n tn N

f F d

ω

ω

ω ωω

+∞

Δ=−∞

−

=∑ ∫ . (28)

3.1.2 Η διακριτή συνέλιξη και το σχετικό θεώρημα Η συνέλιξη για δύο διακριτές συναρτήσεις ορίζεται σε αναλογία με εκείνη για συνεχείς συναρτήσεις ( ) ( ) ( ) ( )h t f t h s f t s ds

+∞

−∞∗ = −∫ , με τη διαφορά ότι το ολοκλήρωμα αντικαθίσταται

από ένα άθροισμα. Έτσι η συνέλιξη διακριτών συναρτήσεων ορίζεται από τη σχέση

n n n k n kk

g h f h f+∞

−=−∞

= ∗ = ∑ . (29)

Αλλάζοντας το δείκτη άθροισης από k σε k n k′ = − , οπότε k n k ′= − , προκύπτει ότι

n n k n k n k k n nk k

h f h f h f f h+∞ +∞

′ ′− −′=−∞ =−∞

∗ = = = ∗∑ ∑ . (30)

107

Με βάση την παραπάνω αντιμεταθετική ιδιότητα n n n nh f f h∗ = ∗ μπορούμε να ορίσουμε τη συνέλιξη με οποιοδήποτε από τα δύο αθροίσματα

n n n k n k n k kk k

g h f h f h f+∞ +∞

− −=−∞ =−∞

= ∗ = =∑ ∑ (31)

και να χρησιμοποιούμε σε κάθε περίπτωση εκείνο το οποίο μας είναι πιο βολικό. Η τιμή ng της διακριτής συνάρτησης g , για ένα συγκεκριμένο n , προκύπτει πολλαπλασιάζον-τας κάθε τιμή kf της διακριτής συνάρτησης f με ένα συντελεστή (βάρος) n kh − , ο οποίος εξαρ-τάται από την «απόσταση» n k− ανάμεσα στο συγκεκριμένο n και το μεταβλητό k ( k−∞ < < +∞ ), και αθροίζοντας στη συνέχεια όλα τα γινόμενα. Έτσι κάθε τιμή ng της συνάρτησης g είναι ένας «κεντροβαρικός μέσος όρος» της διακριτής συνάρτησης kf με βάρη

n kh − , τα οποία καθορίζονται από τη διακριτή συνάρτηση nh . Το άπειρο άθροισμα, στον ορισμό της συνέλιξης, σημαίνει ότι η συνέλιξη δεν ορίζεται για δύο οποιεσδήποτε διακριτές συναρτήσεις, αλλά μόνο για εκείνες για τις οποίες τα μερικά αθροίσματα N

N n k kk NS h f+

−=−=∑ συγκλίνουν σε μια πεπερασμένη ποσότητα για N →∞ , οπότε

και η συνέλιξη ορίζεται ως το όριο limn n NNh f S

→∞∗ = . Για παράδειγμα αν οι διακριτές

συναρτήσεις έχουν δύο σταθερές τιμές nf a= , nh b= , η συνέλιξη είναι άθροισμα άπειρων επαναλήψεων του γινομένου ab , το οποίο απειρίζεται και έτσι η συνέλιξη δεν ορίζεται. Η συνθήκη για την ύπαρξη της συνέλιξης είναι η «τετραγωνική αθροισιμότητα» των δύο συναρτήσεων, δηλαδή η ικανοποίηση των σχέσεων

2n n

k

f f+∞

=−∞

= < ∞∑ , 2n n

k

g g+∞

=−∞

= < ∞∑ . (32)

Για να ικανοποιούνται αυτές οι σχέσεις πρέπει οπωσδήποτε , 0n nf g → για N →±∞ , χωρίς αυτό να είναι από μόνο του αρκετό, αλλά πρέπει οι διακριτές συναρτήσεις να τείνουν στο μηδέν αρκετά γρήγορα ώστε να είναι και τετραγωνικά αθροίσιμες. Αν θεωρήσουμε την nh ως σταθερή ενώ την nf και το αντίστοιχο αποτέλεσμα n n ng h f= ∗ ως μεταβλητές, προκύπτει ένας αντίστοιχος της nh τελεστής hT ο οποίος απεικονίζει κάθε διακριτή συνάρτηση nf σε μια νέα συνάρτηση ( )n h n n ng T f h f= = ∗ . (33) Ο τελεστής (απεικόνιση με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών συναρτήσεις) hT είναι ένας γραμμικός τελεστής επειδή ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )h n n n n n n n n n h n h nT ax by h ax by a h x b h y aT x bT y+ = ∗ + = ∗ + ∗ = + . (34) Η πιο σημαντική ιδιότητα της διακριτής συνέλιξης έχει μεγάλη σημασία στις πρακτικές εφαρμογές και γι’ αυτό χαρακτηρίζεται ως «θεώρημα».

108

Το θεώρημα της διακριτής συνέλιξης Αν οι διακριτές συναρτήσεις nf , nh , ng , οι οποίες συνδέονται μέσω της διακριτής συνέλιξης n n ng h f= ∗ , έχουν αντίστοιχους μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου

tFΔ , tHΔ , tGΔ , τότε αυτοί συνδέονται με τη σχέση t t tG H FΔ Δ Δ= . Συμβολικά

n n ng h f= ∗ , DTFT

n tf FΔ↔ , DTFT

n th HΔ↔ , DTFT

n tg GΔ↔ ⇒ t t tG H FΔ Δ Δ= (35) Με απλά λόγια, η συνέλιξη στο πεδίο των αριθμών αντικαθίσταται από ένα απλό γινόμενο στο πεδίο των συχνοτήτων. Απόδειξη του θεωρήματος:

Με βάση τις σχέσεις / 2

/ 2

1 ( )N

N

i n tn t

N

f e F dω

ω

ω

ω ωω

ΔΔ

−

= ∫ , / 2

( )

/ 2

1 ( )N

N

i n k tn k t

N

f e F dω

ω

ω

ω ωω

− Δ− Δ

−

= ∫

και ( ) i k tt n

k

H h e ωω+∞

− ΔΔ

=−∞

= ∑ , η συνέλιξη γίνεται

/ 2

( )

/ 2

1 ( )N

N

i n k tn n n k n k k t

k k N

g h f h f h e F dω

ω

ω

ω ωω

+∞ +∞− Δ

− Δ=−∞ =−∞ −

= ∗ = = =∑ ∑ ∫

/ 2 / 2

/ 2 / 2

1 1( ) ( ) ( )N N

N N

i k t i n t i n tk t t t

kN N

h e e F d e H F dω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω ωω ω

+∞− Δ Δ Δ

Δ Δ Δ=−∞− −

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ .

Συγκρίνοντας με τη σχέση / 2

/ 2

1 ( )N

N

i n tn t

N

g e G dω

ω

ω

ω ωω

ΔΔ

−

= ∫ , προκύπτει ότι

( ) ( ) ( )t t tG H Fω ω ωΔ Δ Δ= . Παράδειγμα διακριτής συνέλιξης Έστω ότι 0nf = για 5n < και 10n > , με μη μηδενικές τιμές

5 3f = − , 6 2f = , 7 1f = , 8 2f = , 9 4f = , 10 1f = − Επίσης 0nh = για 2n < − και 2n > , με μη μηδενικές τιμές

2 1h− = , 1 3h− = , 0 5h = , 1 4h = , 2 2h = .

Από τη σχέση n n k kk

g h f+∞

−=−∞

= ∑ προκύπτει για 0nf ≠ μόνο για 5 10k≤ ≤ η σχέση

10

5n n k k

kg h f−

=

= ∑ .

Για 2n ≤ ή 11n ≥ , 0n k kh f− = και 0ng = για κάθε n .

109

Οι υπόλοιπες τιμές είναι

10

3 35

3k kk

g h f−=

= = −∑ :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 3 k− 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11

3 kh − 2 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 k kh f− 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10

4 45

9 2 7k kk

g h f−=

= = − + = −∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 4 k− 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

4 kh − 0 2 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0

4 k kh f− 0 0 0 0 -9 2 0 0 0 0 0 0 0 0

10

5 55

15 5 1 9k kk

g h f−=

= = − + + = −∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 5 k− 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

5 kh − 0 0 2 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0 0

5 k kh f− 0 0 0 0 -15 5 1 0 0 0 0 0 0 0

10

6 65

12 10 3 2 3k kk

g h f−=

= = − + + + =∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 6 k− 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

6 kh − 0 0 0 2 4 5 3 1 0 0 0 0 0 0

6 k kh f− 0 0 0 0 -12 10 3 2 0 0 0 0 0 0

10

7 75

6 8 5 6 4 17k kk

g h f−=

= = − + + + + =∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 7 k− 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

7 kh − 0 0 0 0 2 4 5 3 1 0 0 0 0 0

7 k kh f− 0 0 0 0 -6 8 5 6 4 0 0 0 0 0

110

10

8 85

4 4 10 12 1 29k kk

g h f−=

= = + + + − =∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 8 k− 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

8 kh − 0 0 0 0 0 2 4 5 3 1 0 0 0 0

8 k kh f− 0 0 0 0 0 4 4 10 12 -1 0 0 0 0

10

9 95

k kk

g h f−=

= ∑ :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 9 k− 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

9 kh − 0 0 0 0 0 0 2 4 5 3 1 0 0 0

9 k kh f− 0 0 0 0 0 0 2 8 20 -3 0 0 0 0

10

10 105

=4 16 5 15k kk

g h f−=

= + − =∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 10 k− 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

10 kh − 0 0 0 0 0 0 0 2 4 5 3 1 0 0

10 k kh f− 0 0 0 0 0 0 0 4 16 -5 0 0 0 0

10

11 115

8 4 4k kk

g h f−=

= = − =∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 11 k− 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

11 kh − 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 5 3 1 0

11 k kh f− 0 0 0 0 0 0 0 0 8 -4 0 0 0 0

10

12 125

2k kk

g h f−=

= = −∑

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

kf 0 0 0 0 -3 2 1 2 4 -1 0 0 0 0 12 k− 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2

12 kh − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 5 3 1

12 k kh f− 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0

111

3.2. Φασματική ανάλυση διακριτών δεδομένων σε πεπερασμένο διάστημα 3.2.1. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο αντίστροφος του. Το φαινόμενο της

αλλοίωσης Η μόνη ουσιαστικά ρεαλιστική περίπτωση ανάλυσης δεδομένων είναι εκείνη με ισαπέχοντα διακριτά δεδομένα σε ένα διάστημα [0, ]T , με σταθερό βήμα tΔ , δηλαδή δεδομένα της μορφής ( )nf f n t= Δ , 0,1,..., 1,n N N= − , (36) όπου T N t= Δ . (37) Από αυτά τα 1N + δεδομένα θα χρησιμοποιήσουμε μόνο τα N πρώτα, αφού εξασφαλίσουμε ότι 0Nf f= , οπότε η τελευταία τιμή Nf δεν περιέχει πρόσθετη πληροφορία και μπορεί να αγνοηθεί. Αν για μια αρχική συνάρτηση 0 ( )f t και δεδομένα 0 0 ( )nf f n t= Δ , ισχύει ότι

0 0 0 00 (0) ( ) Nf f f T f= ≠ = , την χωρίζουμε σε δύο μέρη 0 ( ) ( ) ( )f t f t f t= + Δ , ένα γραμμικό μέρος

( )f t A BtΔ = + και ένα υπόλοιπο μέρος ( )f t το οποίο γίνεται αντικείμενο της φασματικής

ανάλυσης. Για τις διακριτές τιμές ισχύει 0n n nf f f= + Δ , και αρκεί να επιλέξουμε

0 00N

nf ff n

N−

Δ = ,

οπότε

0 0

0 0 0Nn n n n

f ff f f f nN−

= −Δ = − (38)

και κατά συνέπεια

0 0

0 000 0 00Nf ff f f

N−

= − = , 0 0

0 000

NN N

f ff f N fN−

= − = . (39)

Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ικανοποιείται η σχέση 0Nf f= και η φασματική ανάλυση θα στηριχτεί πλέον στις N διακριτές τιμές ( )nf f n t= Δ , 0,1,..., 1n N= − . (40) Αν αναπτύξουμε τη συνάρτηση ( )f t σε σειρά Fourier στο διάστημα [0, ]T , έχουμε

( ) Ti n tn

nf t c e ω

+∞

=−∞

= ∑ (41)

και

0

1 ( ) TT i n t

nc f t e dtT

ω−= ∫ (42)

112

όπου

T N t= Δ , 2 2T T N t

π πω = =Δ

. (43)

Οι γνωστές διακριτές τιμές θέτουν περιορισμούς στις δυνατές τιμές των συντελεστών του αναπτύγματος Fourier επειδή πρέπει να ικανοποιούνται οι N συνθήκες

2 2

( ) T

Ti n k i n ki n k t T N Nk n n n

n n nf f k t c e c e c e

π πω

+∞ +∞ +∞Δ

=−∞ =−∞ =−∞

= Δ = = =∑ ∑ ∑ , 0,1,..., 1k N= − . (44)

Δεδομένου ότι 2 cos 2 sin 2 1 0 1ie i iπ π π= + = + = , μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι

( )2 2 2 2 2 2( ) 2 2i n k jN i n k i n jN i n k i n k i n knji nj iN N N N N Ne e e e e e e eπ π π π π π

π π± ± ±±= = = = , (45) έχουμε δηλαδή μια επανάληψη της ίδιας τιμής του εκθετικού όρου της σχέσης (44) κάθε N ακεραίους. Για λόγους ευκολίας θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς

2iNw eπ

= , kkw w= , (46)

οπότε η σχέση (45) γίνεται ( )k n jN knw w± = και αντίστοιχα n n jN

k kw w ±= , ή αναλυτικά 2 3 .... ...n n N n N n N n jN

k k k k kw w w w w± ± ± ±= = = = = = . (47) Με το συμβολισμό αυτό οι συνθήκες (44) μπορούν να γραφούν ως ένα αναλυτικό άθροισμα

nk n k

n

f c w+∞

=−∞

= =∑

= +L L L L L L L L 0

0jN

jN kc w− +− ++ 1

1jN

jN kc w− +− ++ ......+ jN m

jN m kc w− +− ++ ......+ 1

1jN N

jN N kc w− + −− + −+ +

+ +L L L L L L L L 0

0N

N kc w− +− ++ 1

1N

N kc w− +− ++ ......+ N m

N m kc w− +− ++ ......+ 1

1N N

N N kc w− + −− + −+ +

00 kc w+ 1

1 kc w+ ......+ mm kc w+ ......+ 1

1N

N kc w −−+ +

00

NN kc w +++ 1

1N

N kc w +++ ......+ N m

N m kc w +++ ......+ 1

1N N

N N kc w + −+ −+ +

+ +L L L L L L L L 0

0jN

jN kc w +++ 1

1jN

jN kc w +++ ......+ jN m

jN m kc w +++ ......+ 1

1jN N

jN N kc w + −+ −+ +

+L L L L L L L L (48) Λαμβάνοντας υπόψη ότι m jN m

k kw w± += , το άθροισμα αυτό γίνεται

113

nk n k

n

f c w+∞

=−∞

= =∑

= +L L L L L L L L

00jN kc w− ++ 1

1jN kc w− ++ ......+ mjN m kc w− ++ ......+ 1

1N

jN N kc w −− + −+ +

+ +L L L L L L L L

00N kc w− ++ 1

1N kc w− ++ ......+ mN m kc w− ++ ......+ 1

1N

N N kc w −− + −+ +

00 kc w+ 1

1 kc w+ ......+ mm kc w+ ......+ 1

1N

N kc w −−+ +

00N kc w++ 1

1N kc w++ ......+ mN m kc w++ ......+ 1

1N

N N kc w −+ −+ +

+ +L L L L L L L L

00jN kc w++ 1

1jN kc w++ ......+ mjN m kc w++ ......+ 1

1N

jN N kc w −+ −+ +

+ =L L L L L L L L

0 1 10 1 1... ...m N

jN k jN k m jN k N jN kj j j j

c w c w c w c w+∞ +∞ +∞ +∞

−+ + + − +

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

= + + + + + =∑ ∑ ∑ ∑

0 1 10 1 1... ...m N

k jN k jN k m jN k N jNj j j j

w c w c w c w c+∞ +∞ +∞ +∞

−+ + + − +

=−∞ =−∞ =−∞ =−∞

= + + + + +∑ ∑ ∑ ∑ . (49)

Αν εισάγουμε τους νέους συντελεστές

m m jNj

F c+∞

+=−∞

= ∑ (50)

οι συνθήκες (44) παίρνουν την τελική μορφή

1

0 1 10 1 1

0... ...

Nn m N m

k n k k k k m k N k mn m

f c w w F w F w F w F w F+∞ −

−−

=−∞ =

= = + + + + + =∑ ∑ , (51)

ή

21

0

N i kmN

k mm

f F eπ−

=

= ∑ , 0,1,..., 1k N= − , (52)

που είναι ένα άθροισμα όρων 2

cos sinmi km i kN

m me e k i kπ

ω ω ω= = + με συχνότητες 2m m

Nπω = και

συντελεστές

... ... .... ....m m jN m jN m N m m N m jNj

F c c c c c c+∞

+ − − + +=−∞

= = + + + + + + + +∑ (53)

114

Κάθε συντελεστής mF αντιστοιχεί στον mc επηρεασμένο από τους όρους m jNc ± όλων των αντίστοιχων μεγαλύτερων συχνοτήτων. Το φαινόμενο αυτό, της επίδρασης των όρων υψηλότερης συχνότητας στους όρους χαμηλότερης συχνότητας, ονομάζεται αλλοίωση (aliasing). Οι N συνθήκες

21 1

0 1 ( 1)0 1 1

0 0...

N Ni km km k k k NNk m m N

m mf F e F w F w F w F w

π− −−

−= =

= = = + + +∑ ∑ , 0,1,..., 1k N= − , (54)

αποτελούν ένα σύστημα N εξισώσεων με N αγνώστους, το οποίο μπορούμε να γράψουμε με μορφή πινάκων ως

0 0 0 1 0 ( 1)0 0

1 0 11 1 ( 1)1 1

( 1) 0 ( 1) 1 ( 1)( 1)1 1

...

...

...

N

N

N N N NN N

f Fw w wf Fw w w

f Fw w w

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ − −− −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

M MM M O M (55)

ή συνεπτυγμένα

1 1N NN N× ××=f W F , (56)

όπου ο πίνακας των συντελεστών W έχει στοιχεία ( 1)( 1)i k

ikW w − −= . (57) Το σύστημα αυτό έχει μια μοναδική λύση την 1

1 1N NN N

−

× ××=F W f (58)

όπου, όπως θα αποδείξουμε στη συνέχεια, ο αντίστροφος πίνακας 1−W έχει στοιχεία

1 ( 1)( 1)1( ) i kik w

N− − − −=W . (59)

Η λύση (58) έχει επομένως τη μορφή

0 0 00 0

0 1 ( 1)1 1

0 ( 1) ( 1)( 1)1 1

...

...1

...

N

N N NN N

F fw w wF fw w w

NF fw w w

− − −

− − − − −− −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

M MM M O M (60)

ή αναλυτικά

21 1

0 0

1 1N N i kmkm Nm k k

k kF w f e f

N N

π− − −−

= =

= =∑ ∑ , 0,1,..., 1m N= − . (61)

115

Με βάση την παραπάνω αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία, ανάμεσα στις διακριτές τιμές nf και τους «συνεπτυγμένους» φασματικούς συντελεστές mF , ορίζεται ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT = Discrete Fourier Transform)

21

0

1 N i nmN

m nn

F e fN

π− −

=

= ∑ , 0,1,..., 1m N= − (62)

και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (invDFT = Inverse Discrete Fourier Transform)

21

0

N i nmN

n mm

f F eπ−

=

= ∑ , 0,1,..., 1n N= − . (63)

Ο όρος «διακριτός μετασχηματισμός Fourier» έχει επικρατήσει στις περισσότερες εφαρμογές στη θέση του περισσότερο δόκιμου όρου «σειρές Fourier διακριτού χρόνου» (DTFS = Discrete Time Fourier Series).

Απομένει να αποδείξουμε ότι ο πίνακας με στοιχεία 1 ( 1)( 1)1( ) i kik w

N− − − −=W είναι πράγματι ο

αντίστροφος του πίνακα W . Απόδειξη

Θέτοντας j iw Q− = , όπου 2iNw eπ

= , έχουμε δύο περιπτώσεις: Για i j≠ :

1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( )

1 1 1

1 1( ) ( )N N N

i k k j k j iij ik kj

k k kw w w

N N− − − − − − − − −

= = =

= = = =∑ ∑ ∑W W W W

0 2( ) ( 1)( ) 2 11 1.... 1 ...j i j i N j i Nw w w w Q Q QN N

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + = + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 ( )( ) 2 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

i i j NN i j N i i j i jNQ w e eN Q N Q N Q N Q N Q

ππ−− − −− − − − −

= = = = = =− − − − −

Για i j= :

0 1Q w= = και

[ ]1 2 11 1( ) 1 ... 1 1 1 ... 1 1Nii

NQ Q QN N N

− −⎡ ⎤= + + + + = + + + + = =⎣ ⎦W W .

Επομένως 1− =W W I και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Aν υπολογίσουμε τον πρώτο από τους φασματικούς συντελεστές mF , η σχέση (62) για 0m = δίνει

1 1

00

0 0

1 1N N

n nn n

F e f fN N

− −

= =

= =∑ ∑ , (64)

116

οπότε ο 0F δεν είναι παρά ο μέσος όρος όλων των διαθέσιμων τιμών nf για 0 1n N≤ ≤ − . Οι συντελεστές mF είναι γενικά μιγαδικοί αριθμοί

21 1 1

0 0 0

1 1 2 1 2cos sinN N Ni nm

Nm m m n n n

n n nF R iI e f nm f i nm f

N N N N N

π π π− − −−

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ , (65)

οπότε ο αριθμός των πραγματικών συντελεστών mR , mI είναι καταρχήν διπλάσιος από τα διαθέσιμα δεδομένα. Μάλιστα, σε πραγματική μορφή, έχουμε δύο μετασχηματισμούς, τον διακριτό μετασχηματισμό «συνημίτονου»

1

0

1 2cosN

m nn

R nm fN N

π−

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (66)

και τον (αρνητικό) διακριτό μετασχηματισμό «ημιτόνου»

1

0

1 2sinN

m nn

I nm fN N

π−

=

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ . (67)

Όμως οι συντελεστές αυτοί δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, επειδή

2 2 21 1 1( ) 2

0 0 0

1 1 1N N Ni n N m i nm i nmi nN N NN m N m N m n n n

n n nF R i I e f e e f e f

N N N

π π ππ

− − −− − −− − −

= = =

= + = = = =∑ ∑ ∑

1 1

*

0 0

1 2 1 2cos sinN N

n n m m mn n

nm f i nm f R iI FN N N N

π π− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ . (68)

Ισχύουν δηλαδή οι συνθήκες *

N m mF F− = , ή αναλυτικά N m mR R− = , N m mI I− = − , 0,..., 1m N= − , (69) οι οποίες ανάγουν τον αριθμό των αγνώστων σε αριθμό ίσο με εκείνο των δεδομένων. Για να προσδιορίσουμε N ανεξάρτητους συντελεστές, πρέπει να διακρίνουμε ανάμεσα σε άρτιο

2N M= και σε περιττό αριθμό δεδομένων 2 1N M= + . Σε κάθε περίπτωση έχουμε ήδη προσδιορίσει (σχέση, 64) ότι ο συντελεστής 0F είναι πραγματικός και επομένως 0 0I = . Για 2N M= , η σχέση *

N m mF F− = δίνει για m M= , *M MF F= και επομένως 0MI = . Οι

2M ανεξάρτητοι συντελεστές είναι ο 0R , οι mR , mI για 1,..., 1m M= − , και ο MR . Οι υπόλοιποι συντελεστές mR , mI για 1,..., 2 1m M M= + − προσδιορίζονται από τις σχέσεις 2m M mR R −= και

2m M mI I −= − . Για 2 1N M= + , οι 2 1M + ανεξάρτητοι συντελεστές είναι ο 0R και οι mR , mI για 1,...,m M= , ενώ οι υπόλοιποι συντελεστές mR , mI για 1,..., 2m M M= + προσδιορίζονται από τις σχέσεις

2 1m M mR R + −= , 2 1m M mI I + −= − .

117

Ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourier Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier έχει μια σειρά από ιδιότητες, αντίστοιχες με εκείνες του (συνεχούς) μετασχηματισμού Fourier και του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σε

όλες τις παρακάτω σχέσεις DFT

n mf F↔ , DFT

n mg G↔ Γραμμικότητα:

DFT

n n m maf bg aF bG+ ↔ + . (70) Αρτιότητα: *

m N mF F −= , ( *m mF F−= ). (71)

Χρονική μετάθεση:

0

0

2DFT im nN

n n mf e Fπ

−

− ↔ . (72) Μετάθεση συχνότητας:

0

0

2 DFTim nN

n m me f Fπ

−↔ . (73) Πολλαπλασιασμός:

1DFT

0

N

n n m m m k kk

f g F G F G−

−=

↔ ≡∑ . (74)

όπου όταν 0m k− < θέτουμε m k m k NF F− − += , θεωρώντας την nF περιοδικά επαναλαμβανόμενη. Ένας σαφέστερος ορισμός του συμβόλου m mF G ως της περιοδικής συνέλιξης δύο περιοδικών συναρτήσεων nF , nG θα δοθεί παρακάτω (σχέση 85). Εξίσωση του Parceval:

1 1

2 2

0 0

1 | | | |N N

n mn m

f FN

− −

= =

=∑ ∑ . (75)

Συμμετρία:

DFT

n mf F↔ ⇒ DFT 1

n mF fN −↔ . (76)

118

Σύνοψη των μεθόδων φασματικής ανάλυσης Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι 4 περιπτώσεις φασματικής ανάλυσης ανάλογα με το αν τα δεδομένα είναι συνεχή ή διακριτά και ανάλογα με το αν είναι γνωστά για το σύνολο των πραγματικών τιμών, ή για ένα μόνο πεπερασμένο διάστημα. Στην τελευταία περίπτωση και για να γίνει ευκολότερη η σύγκριση με τις άλλες περιπτώσεις, χρησιμοποιήσαμε τους συμβολισμούς

2T T

πω = και 2N N

πΩ = για τις βασικές συχνότητες.

Πίνακας 1: Οι μέθοδοι φασματικής ανάλυση για συνεχή ή διακριτά δεδομένα σε πεπερασμένο

ή άπειρο διάστημα.

άπειρο διάστημα πεπερασμένο διάστημα

t−∞ < < +∞ 0 t T≤ ≤ , 2T T

πω =

συνεχείς συναρτήσεις

( )f t

Μετασχηματισμός Fourier (FT) ( ) ( ) i tF f t e dtωω

+∞ −

−∞= ∫

Συντελεστές σειράς Fourier

0

1 ( ) TT ik t

kc f t e dtT

ω−= ∫ , k−∞ < < +∞

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier (invFT)

1( ) ( )2

i tf t F e dωω ωπ

+∞

−∞= ∫

Σειρά Fourier (FS)

( ) Tik tk

k

f t c e ω+∞

=−∞

= ∑

n−∞ < < +∞ , 2N t

πω =Δ

0 1n N≤ ≤ − , 2N N

πΩ =

διακριτές συναρτήσεις

( )nf f n t= Δ

Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT)

( ) i k tt k

kF f e ωω

+∞− Δ

Δ=−∞

= ∑

2 2N Nω ωω− < ≤

Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) [ή σειρά Fourier διακριτού χρόνου (DTFS)]

1

0

1N

Nik n

k nn

F f eN

−− Ω

=

= ∑

0,1,..., 1k N= −

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (invDTFT)

/ 2

/ 2

1 ( )N

N

i n tn t

N

f F e dω

ω

ω

ω ωω

ΔΔ

−

= ∫

Αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (invDFT)

1

0

N

Ni k n

n kk

f F e−

Ω

=

=∑

119

3.2.2. Περιοδικές συναρτήσεις και περιοδική συνέλιξη Ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (63) ισχύει μόνο για τις τιμές

0,1,..., 1n N= − . Όμως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια σχέση για υπολογίσουμε τιμές

nf% για 1n < ή 1N n− < , οι οποίες φυσικά δεν θα συμπίπτουν με τις αντίστοιχες άγνωστες τιμές ( )nf f n t= Δ . Για παράδειγμα για n jN+ , όπου 0 1n N≤ ≤ − και 1, 2,...j = ± ± είναι

οποιοσδήποτε ακέραιος, θα πάρουμε την τιμή

2 2 2 2 21 1 1 1( ) 2

0 0 0 0

N N N Ni n jN m i nm i jNm i nm i nmi jmN N N N Nn jN m m m m n

m m m mf F e F e e F e e F e f

π π π π ππ

− − − −+

+= = = =

= = = = =∑ ∑ ∑ ∑% , (77)

δεδομένου ότι 2 2( ) 1 1i jm i jm jme eπ π= = = . Παρατηρούμε λοιπόν ότι η διακριτή συνάρτηση nf% , που προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier για n−∞ < < +∞ , είναι μια περιοδική συνάρτηση n jN nf f+ =% % , με περίοδο N , η οποία ταυτίζεται με την nf μόνο για τις τιμές

0,1,..., 1n N= − . Θα ονομάσουμε τη διακριτή συνάρτηση nf% περιοδική επέκταση στο σύνολο των τιμών n−∞ < < +∞ της αρχικής διακριτής συνάρτησης nf η οποία ορίζεται μόνο στο πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − . Με την ευκαιρία, αν μια διακριτή συνάρτηση nf ορισμένη στο σύνολο των τιμών n−∞ < < +∞ είναι από τη φύση της περιοδική με περίοδο N , αν δηλαδή ισχύει n jN nf f+ = (78) για κάθε ακέραιο j , μπορούμε να ορίσουμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier kF , 0 1k N≤ ≤ − , της περιοδικής διακριτής συνάρτησης nf , μέσω της ίδιας σχέσης (62)

21

0

1 N i nkN

k nn

F e fN

π− −

=

= ∑ (79)

αξιοποιώντας μόνο τις τιμές της nf στο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , οι οποίες και διαδοχικά επαναλαμβάνονται. Αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε τη διακριτή συνέλιξη δύο περιοδικών συναρτήσεων nh και

nf με περίοδο N μέσω της συνέλιξης, όπως ορίστηκε για διακριτές συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των ακεραίων n−∞ < < +∞ , έχουμε ένα σοβαρό πρόβλημα επειδή

1 1 1

( )0 0 0

1N N N

n n n k k n k jN k jN n k k n k kk j k j k k j

h f h f h f h f h f+∞ +∞ − +∞ − − +∞

− − + + − −=−∞ =−∞ = =−∞ = = =−∞

⎛ ⎞∗ = = = = = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ (80)

Για τις περιοδικές συναρτήσεις nh , nf με περίοδο N ( n jN nh h± = , n jN nf f± = ) είναι όμως δυνατό να ορισθεί μια νέα μορφή συνέλιξης, η περιοδική διακριτή συνέλιξη

1

0

N

n n n k kk

h f h f−

−=

= ∑ , (81)

120

αθροίζοντας όχι για το σύνολο των ακεραίων n−∞ < < +∞ , αλλά μόνο για τους ακέραιους σε διάστημα μιας περιόδου 0 1n N≤ ≤ − .Το αποτέλεσμα της διακριτής περιοδικής συνέλιξης είναι επίσης μια περιοδική διακριτή συνάρτηση (και επομένως περιοδική επέκταση ng μιας διακριτής συνάρτησης ορισμένης στο πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − ) επειδή

1 1

0 0

N N

n jN n jN n jN n k jN k jN n k k n n nk k

g h f h f h f h f g− −

+ + + − + + −= =

= = = = =∑ ∑ . (82)

Το θεώρημα της περιοδικής διακριτής συνέλιξης είναι ανάλογο εκείνου για τις διακριτές συναρτήσεις σε άπειρο διάστημα. Θεώρημα της περιοδικής συνέλιξης

Αν οι διακριτές περιοδικές συναρτήσεις nf , nh , ng , συνδέονται μέσω της περιοδικής διακριτής συνέλιξης n n ng h f= και έχουν αντίστοιχους διακριτούς μετασχηματισμούς Fourier mF , mH , mG , τότε αυτοί συνδέονται με τη σχέση m m mG N H F= . (83)

Παραλείπουμε την απόδειξη του θεωρήματος αυτού, επειδή είναι εντελώς ανάλογη της απόδειξης του σχετικού θεωρήματος για διακριτές συναρτήσεις ορισμένες σε πεπερασμένο διάστημα, την οποία θα δώσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

3.2.3. Συνέλιξη διακριτών συναρτήσεων ορισμένων σε πεπερασμένο διάστημα και το σχετικό θεώρημα

Για τη ρεαλιστική περίπτωση των διακριτών συναρτήσεων nh , nf σε πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − δεν ορίζεται η συνέλιξη. Μπορούμε όμως να αξιοποιήσουμε τη συνέλιξη και το σχετικό θεώρημα μέσω των περιοδικών επεκτάσεων τους στο σύνολο των άπειρων ακεραίων αριθμών. Έτσι μπορεί να οριστεί η διακριτή συνέλιξη δύο διακριτών συναρτήσεων σε πεπερασμένο διάστημα μέσω της σχέσης

1

0

N

n n n n n k kk

h f h f h f−

−=

≡ =∑% % % % , (84)

αποτέλεσμα της οποίας είναι μια περιοδική συνάρτηση ng% , η οποία είναι η περιοδική επέκταση μιας διακριτής συνάρτησης ng , ορισμένης στο πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − .

Λόγω του περιοδικού χαρακτήρα των συναρτήσεων nh% , nf% , δεν είναι υποχρεωτικό να χρησιμοποιήσουμε το διάστημα [0, 1]N − , γιατί το αποτέλεσμα της συνέλιξης είναι το ίδιο για οποιοδήποτε διάστημα [ , 1]L L N+ − με «μήκος» N . Έτσι έχουμε εναλλακτικά

1 1L N L N

n n n n n k k k n kk L k L

h f h f h f h f+ − + −

− −= =

= = =∑ ∑% % % % % % . (85)

Για να εκφράσουμε τη διακριτή συνέλιξη, ανεξάρτητα από τις περιοδικές επεκτάσεις, με βάση τις τιμές kh , kf στο διάστημα 0 1k N≤ ≤ − έχουμε

121

1 1 1 1

0 0 0 0 1

N N n N n N

n n n k k n k k n k k n k k n k k n k N kk k k k n k k n

h f h f h f h f h f h f h f− − − −

− − − − − − += = = = = = +

= = = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑% % % % % % % %

1

0 1

n N

n k k n k N kk k n

h f h f−

− − += = +

= +∑ ∑ . (86)

Η σχέση αυτή μας επιτρέπει να ορίσουμε απευθείας τη συνέλιξη δύο διακριτών συναρτήσεων σε πεπερασμένο διάστημα, χωρίς να καταφύγουμε στις περιοδικές προεκτάσεις τους, ως

1

0 1

n N

n n n k k n k N kk k n

h f h f h f−

− − += = +

= +∑ ∑ . (87)

Το θεώρημα της διακριτής συνέλιξης σε πεπερασμένο διάστημα είναι απλή εφαρμογή εκείνου για τις περιοδικές διακριτές συναρτήσεις. Θεώρημα της διακριτής συνέλιξης σε πεπερασμένο διάστημα

Αν οι διακριτές συναρτήσεις nf , nh , ng , έχουν περιοδικές επεκτάσεις nf% , nh% , ng% , οι

οποίες συνδέονται μέσω της περιοδικής διακριτής συνέλιξης n n ng h f= % %% και έχουν αντίστοιχους διακριτούς μετασχηματισμούς Fourier mF , mH , mG , τότε αυτοί συνδέονται με τη σχέση m m mG N H F= . (88)

Απόδειξη του θεωρήματος της διακριτής συνέλιξης σε πεπερασμένο διάστημα:

Από τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier 21

0

N i nmN

n mm

h H eπ−

=

= ∑ προκύπτει ότι

21 ( )

0

N i n k mN

n k mm

h H eπ− −

−=

= ∑ , 21 ( )

0

N i n k N mN

n k N mm

h H eπ− − +

− +=

= ∑


1

0 1

n N

n n n n k k n k N kk k n

g h f h f h f−

− − += = +

= = + =∑ ∑% %%

2 21 1 1( ) ( )

0 0 1 0

n N N Ni n k m i n k N mN N

m k m kk m k n m

H e f H e fπ π− − −− − +

= = = + =

= + =∑∑ ∑ ∑

2 2 2 2 21 1 1

0 0 0 1

N n N Ni nm i km i nm i Nm i kmN N N N N

m k m km k m k n

H e e f H e e e fπ π π π π− − −− −

= = = = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

2 2 2 21 1 1

0 0 0 1

N n N Ni nm i km i nm i kmN N N N

m k m km k m k n

H e e f H e e fπ π π π− − −− −

= = = = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

2 2 21 1

0 0 1

N n Ni nm i km i kmN N N

m k km k k n

H e e f e fπ π π− −− −

= = = +

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

122

( )2 2 2 21 1 1 1

0 0 0 0( )

N N N Ni nm i km i nm i nmN N N N

m k m m m mm k m m

H e e f H e NF NH F eπ π π π− − − −−

= = = =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

Συγκρίνοντας με τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier 21

0

N i nmN

n mm

g G eπ−

=

= ∑

προκύπτει ότι m m mG N H F= . Η μόνη διαφορά στην περίπτωση αυτή είναι η παρουσία του συντελεστή N μπροστά από το γινόμενο των συντελεστών Fourier. Κατά τα άλλα η συνέλιξη στο χώρο των αριθμών μετατρέπεται, ως συνήθως, σε ένα γινόμενο στο χώρο των συχνοτήτων. 3.2.4. Εφαρμογή του θεωρήματος της συνέλιξης σε πεπερασμένα διακριτά δεδομένα Από όλες τις 4 περιπτώσεις φασματικής ανάλυσης που εξετάσαμε και συνοψίζονται στον προηγούμενο πίνακα 1, η μόνη ρεαλιστική είναι η περίπτωση διακριτών δεδομένων σε ένα πεπερασμένο διάστημα. Στην πραγματικότητα σε μια εφαρμογή υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση

( )f t στην οποία αντιστοιχεί μια διακριτή συνάρτηση ( )nf f n t= Δ , n−∞ < < +∞ , από την οποία είναι γνωστές μόνο οι τιμές nf για 0 1n N≤ ≤ − , και χρειαζόμαστε να υπολογίσουμε τη

διακριτή συνέλιξη n n n n k kkg h f h f+∞

−=−∞= ∗ =∑ , αν όχι για όλες τις τιμές n−∞ < < +∞ ,

τουλάχιστον για τις τιμές 0 1n N≤ ≤ − . Η διακριτή συνάρτηση nh για n−∞ < < +∞ είναι γνωστή, στην περίπτωση αυτή, από τη φύση της σχετικής εφαρμογής, επειδή εκπροσωπεί μια φυσική διαδικασία ή μια διαδικασία σε ένα μηχανισμό κατασκευασμένο από τον άνθρωπο, π.χ. στα συστήματα επικοινωνίας. Η παραπάνω συνέλιξη ng δεν μπορεί να υπολογιστεί στη γενική περίπτωση, επειδή είναι άγνωστες οι τιμές της nf έξω από το διάστημα 0 1n N≤ ≤ − . Υπάρχει όμως μια κατηγορία συναρτήσεων nh , για την οποία είναι δυνατός ο υπολογισμός των τιμών της ng σε ένα

πεπερασμένο διάστημα. Γενικά πρέπει να ισχύει lim 0nnh

→±∞→ , αλλά και επιπλέον 2

nkh+∞

=−∞< ∞∑ ,

ώστε να ορίζεται η συνέλιξη. Έτσι για n πολύ μεγάλο κατά απόλυτη τιμή ισχύει η ικανοποιητική προσέγγιση 0nh ≈ . Έτσι μια ειδική αλλά συνηθισμένη περίπτωση είναι οι συναρτήσεις της μορφής

000

n

n Kh K n K

n K

= < −⎧⎪≠ − ≤ ≤⎨⎪= >⎩

, (89)

οι οποίες έχουν μη μηδενικές τιμές μόνο σε ένα πεπερασμένο διάστημα K n K− ≤ ≤ , οπότε η συνέλιξη γίνεται ένα άθροισμα πεπερασμένου αριθμού όρων

K n K

n n n k n k n k kk K k n K

g h f h f h f+ +

− −=− = −

= ∗ = =∑ ∑ , (90)

όπου το δεύτερο άθροισμα προκύπτει μέσω της αλλαγής k n k′ = − . Συνήθως ο ακέραιος K είναι κατά πολύ μικρότερος από το πλήθος των δεδομένων N και τουλάχιστον / 2K N< , οπότε

123

μπορούμε να υπολογίσουμε την ng στο διάστημα ( 1)K n N K≤ ≤ − − για το οποίο τα όρια άθροισης n K− έως n K+ της kf , στο δεύτερο άθροισμα της σχέσης (90), πέφτουν εντός του διαστήματος 0 1n N≤ ≤ − των διαθέσιμων τιμών της nf . Εκτός από την αδυναμία υπολογισμού της συνέλιξης για τις πρώτες K και τις τελευταίες K τιμές του διαστήματος των δεδομένων, δεν είναι δυνατή η απευθείας εφαρμογή του θεωρήματος της συνέλιξης, ώστε η συνέλιξη στο χώρο των αριθμών να αντικατασταθεί από γινόμενο στο χώρο των συχνοτήτων. Η συνήθης διαδικασία για να αποφευχθεί το πρόβλημα αυτό είναι η αντικατάσταση των πεπερασμένων διακριτών συναρτήσεων με αντίστοιχες διακριτές συναρτήσεις, ορισμένες για το σύνολο των δυνατών τιμών n−∞ < < +∞ , οπότε τα όρια στο άθροισμα της συνέλιξης είναι A = −∞ και B = +∞ . Τρεις είναι οι καθιερωμένες προσεγγίσεις για την αντικατάσταση αυτή:

(α) η μέθοδος της μηδενικής επέκτασης, (β) η μέθοδος της περιοδικής επέκτασης και (γ) η μέθοδος της μηδενικής συμπλήρωσης (zero padding) η οποία είναι συνδυασμός των

δύο άλλων. Μηδενική επέκταση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα Κατά τη μηδενική επέκταση δημιουργούμε από μια διακριτή συνάρτηση nf , στο πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , μια αντίστοιχη διακριτή συνάρτηση nf , στο άπειρο διάστημα όλων των ακεραίων n−∞ < < +∞ , θέτοντας μηδενικές τιμές για τους ακεραίους n για τους οποίους δεν διαθέτουμε δειγματικές τιμές, οπότε

0 0

0 10 1

n n

nf f n N

N n

−∞ < <⎧⎪= ≤ ≤ −⎨⎪ − < < +∞⎩

. (91)

Αντικαθιστώντας στην συνέλιξη την nf με τη μηδενική της επέκταση nf , προκύπτει όχι η άγνωστη n n ng h f= ∗ , αλλά μια διαφορετική συνάρτηση

K n K

n n n k n k n k kk K k n K

g h f h f h f+

− −=− = −

≡ ∗ = =∑ ∑ (92)

Πρόταση: Η διακριτή συνάρτηση n n ng h f≡ ∗ έχει τιμές

0

1

1

0 1

1

1

1

0

n K nL

n k k k n k n nk k K

n K K

n n k k k n k nk n K k K

N KR

n k k k n k n nk n K k n N

n K

h f h f g g K n K

g h f h f g K n N K

h f h f g g N K n N K

N K n

+

− −= =−

+

− −= − =−

−

− −= − = − +

−∞ < ≤ − −⎧⎪⎪ = = −Δ − ≤ ≤ −⎪⎪⎪= = = ≤ ≤ − −⎨⎪⎪

= = −Δ − ≤ ≤ − +⎪⎪⎪ + ≤ < +∞⎩

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

(93)

124

όπου

1

1

KLn n k k k n k

k n K k n

g h f h f−

− −= − = +

Δ = =∑ ∑ , 1K n K− ≤ ≤ − , (94)

n K n N

Rn n k k k n k

k N k Kg h f h f

+ −

− −= =−

Δ = =∑ ∑ , 1N K n N K− ≤ ≤ − + . (95)

Απόδειξη:

Όταν n K< − , για τα όρια του τελευταίου αθροίσματος, στη σχέση (92), ισχύει 2n K K− < − και 0n K+ < , οπότε πάντοτε 0k < με 0kf = και τελικά 0ng = .

Όταν 1n N K> − + , για τα όρια του τελευταίου αθροίσματος, στη σχέση (92), ισχύει 1n K N− > − και 1 2n K N K+ > − + , οπότε πάντα 1k N> − με 0kf = και 0ng = .

Μέσα στο διάστημα 1K n N K− ≤ ≤ − + διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις (σχήμα 1):

(1) Περίπτωση 1K n K− ≤ ≤ − : Στη περίπτωση αυτή 1n K− ≤ − , 0 2 1 1n K K N≤ + ≤ − ≤ − (επειδή 2K N≤ ) και η kf έχει τιμές 0kf = για 1n K k− ≤ ≤ − και k kf f= για 0 k n K≤ ≤ + , οπότε

1

0 0

0n K n K n K

n n k k n k n k k n k kk n K k n K k k

g h f h h f h f+ − + +

− − − −= − = − = =

= = + =∑ ∑ ∑ ∑ , (96)

ενώ 1

0

n K

n n k k n k kk n K k

g h f h f− +

− −= − =

= +∑ ∑ και η διαφορά δίνεται από τη σχέση

1

Ln n n n k k

k n K

g g g h f−

−= −

Δ = − = ∑ . (97)

(2) Περίπτωση 1K n N K≤ ≤ − − : Στην περίπτωση αυτή 0 n K≤ − , 1n K N+ ≤ − , οπότε πάντοτε 0 1k N≤ ≤ − με

k kf f= και

n K

n n k k nk n K

g h f g+

−= −

= =∑ (98)

(3) Περίπτωση 1N K n N K− ≤ ≤ − + : Στην περίπτωση αυτή 0 2 1N K n K N≤ − ≤ − ≤ − (επειδή 2K N≤ ), N n K≤ + . Για

1n K k N− ≤ ≤ − , k kf f= ενώ για N k n K≤ ≤ + , 0kf = , οπότε

1 1

0n K N n K N

n n k k n k k n k n k kk n K k n K k N k n K

g h f h f h h f+ − + −

− − − −= − = − = = −

= = + =∑ ∑ ∑ ∑ , (99)

ενώ 1N n K

n n k k n k kk n K k N

g h f h f− +

− −= − =

= +∑ ∑ και η διαφορά δίνεται από τη σχέση

n K

Rn n n n k k

k Ng g g h f

+

−=

Δ = − = ∑ . (100)

Τα δεύτερα σκέλη στις σχέσεις (93), (94) και (95) προκύπτουν εύκολα με αλλαγή του δείκτη άθροισης από k σε k n k′ = − .

125

Η συνάρτηση ng έχει μη μηδενικές τιμές μόνο μέσα στο διάστημα 1K n N K− ≤ ≤ − + με εύρος

2N K+ και αν πάρουμε υπόψη μόνο τις τιμές στο διάστημα αυτό, προκύπτει ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier mG′ , για τον οποίο ισχύει

21

212

N K i kmN K

m kk K

G g eN K

π− + −+

=−

′ =+ ∑ , 1K m N K− ≤ ≤ − + , (101)

21

2N K i km

N Kk m

m Kg G e

π− ++

=−

′= ∑ , 1K k N K− ≤ ≤ − + . (102)

Αν όμως λάβουμε υπόψη μόνο τις τιμές της ng μέσα στο διάστημα 0 1k N≤ ≤ − , έχουμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier mG , για τον οποίο ισχύει

21

0

1 N i kmN

m kk

G g eN

π− −

=

= ∑ , 0 1m N≤ ≤ − , (103)

21N K i kmN

k mm K

g G eπ− +

=−

= ∑ , 0 1k N≤ ≤ − . (104)

Για να αξιοποιήσουμε το θεώρημα της συνέλιξης, παρατηρούμε ότι οι διακριτές συναρτήσεις nf ,

nh και ng έχουν μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου

1

0

( )N

i k t i k tt k k

k k

F f e f eω ωω+∞ −

− Δ − ΔΔ

=−∞ =

= =∑ ∑ , 2 2

N Nω ωω− ≤ ≤ , (105)

( )K

i k t i k tt k k

k k KH h e h eω ωω

+∞− Δ − Δ

Δ=−∞ =−

= =∑ ∑ , 2 2

N Nω ωω− ≤ ≤ . (106)

1

( )N K

i k t i k tt k k

k k KG g e g eω ωω

+∞ − +− Δ − Δ

Δ=−∞ =−

= =∑ ∑ , 2 2

N Nω ωω− ≤ ≤ . (107)

για τις οποίες ισχύει το σχετικό θεώρημα συνέλιξης

( ) ( ) ( )t t tG H Fω ω ωΔ Δ Δ= . (108)

Αν λάβουμε υπόψη ότι 2N t

πω =Δ

και υπολογίσουμε τους παραπάνω μετασχηματισμούς Fourier

διακριτού χρόνου για 2N

m mN N t

πω ω= =Δ

, προκύπτουν οι τιμές

2 21 1

0 0

1 1 1mN Ni k t i mkN t N

t N k k mk k

mF f e f e FN N N N

π π

ω− −− Δ −

ΔΔ

= =

⎛ ⎞ = = ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , 2 2N Nm− ≤ ≤ . (109)

126

Περίπτωση 0 1n K≤ ≤ −

Περίπτωση 1K n N K≤ ≤ − −

Περίπτωση 1N K n N− ≤ ≤ −

Σχήμα 1: Η συνέλιξη με βάση την μηδενική επέκταση

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn

= μηδενικές τιμές

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn


N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn


127

2 21 1 1mK Ki k t i mk

N t Nt N k k m

k K k K

mH h e h e HN N N N

π π

ω− Δ −

ΔΔ

=− =−

⎛ ⎞ = = ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , 2 2N Nm− ≤ ≤ . (110)

2 21 11 1 1 ˆ

mN K N Ki k t i mkN t N

t N k k mk K k K

mG g e g e GN N N N

π π

ω− + − +− Δ −

ΔΔ

=− =−

⎛ ⎞ = = ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , 2 2N Nm− ≤ ≤ . (111)

για τις οποίες το θεώρημα συνέλιξης (108) εξειδικεύεται σε ˆ

m m mG H F= για / 2 / 2N m N− ≤ ≤ .

Αν λάβουμε τα τελευταία σκέλη των (109), (110), (111) ως ορισμούς των mF , mH , ˆmG ,

προκύπτει, με βάση τη σχέση 2 2( )i m N k i mkN Ne eπ π

− + −= , ότι m m NF F += , m m NH H += , ˆ ˆ

m m NG G += .

Αντικαθιστώντας, στη σχέση ˆm m mG H F= , τις αρνητικές τιμές / 2 1N m′< ≤ − με τις θετικές

m m N′= + , για τις οποίες / 2 1N m N< ≤ − , η σχέση αυτή ισχύει για 0 1m N≤ ≤ − . Στο διάστημα αυτό όμως προφανώς m mF F= , όπου mF είναι ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier της αρχικής συνάρτησης nf , περιορισμένης στο ίδιο διάστημα. Κατά συνέπεια ισχύει η σχέση ˆ

m m mG H F= , 0 1m N≤ ≤ − , (112) Από τις σχέσεις αυτές μπορούν να υπολογιστούν οι συντελεστές (σχέση 111)

211ˆ

N K i mkN

m kk K

G g eN

π− + −

=−

= ∑ , (113)

οι οποίοι όμως δεν αποτελούν τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier 21

0

1 N i kmN

m kk

G g eN

π− −

=

= ∑ της

ng στο διάστημα 0 1m N≤ ≤ − , αλλά ούτε και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier 21

212

N K i kmN K

m kk K

G g eN K

π− + −+

=−

′ =+ ∑ της ng στο διάστημα 1K m N K− ≤ ≤ − + . Ο λόγος γι’ αυτό

είναι ότι το άθροισμα στη σχέση (113) εκτείνεται από K− έως 1N K− + και όχι από 0 μέχρι 1N − , όπως συμβαίνει στο διακριτό μετασχηματισμό Fourier mG . Για το μικρό συνήθως K σε

σχέση με το πλήθος των δεδομένων N , οι λίγοι επιπλέον αυτοί όροι στο άθροισμα δημιουργούν μια σχετικά μικρή διαφορά ανάμεσα στους συντελεστές ˆ

mG και τους συντελεστές Fourier mG ,

αλλά και μια μικρή διαφορά με τους συντελεστές Fourier 2

110

i mkN Nm kN k

G g eπ

−−

== ∑ της ng , επειδή

n ng g= μόνο στο διάστημα 1K n N K− ≤ ≤ − − , ενώ Ln n ng g g= −Δ για 1K n K− ≤ ≤ − και

Rn n ng g g= −Δ για 1N K n N K− ≤ ≤ − + . Έτσι ισχύει

ˆ ˆ

m m mG G G= + Δ (114) όπου

128

2 21 1

0

1 1ˆ ˆN K Ni mk i km

N Nm m m k k

k K kG G G g e g e

N N

π π− + −− −

=− =

Δ = − = − =∑ ∑

2 21 11 1 N Ki mk i mkN N

k kk K k N

g e g eN N

π π− − +− −

=− =

= +∑ ∑ . (115)

Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές 0

n K

n n m mm

g h f+

−=

= ∑ στο διάστημα 1K n− ≤ ≤ − και 1N

n n m mm n K

g h f−

−= −

= ∑

στο διάστημα 1N K n N K− ≤ ≤ − + (σχέση 93), προκύπτει το σφάλμα

2 21 1 1

0

1 1ˆk K N N Ki mk i mk

N Nm k m m k m m

m k K m k K k NG h e f h e f

N N

π π+ − − − +− −

− −= =− = − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ , (116)

το οποίο είναι άγνωστο επειδή εξαρτάται από τις άγνωστες τιμές της mf έξω από το διάστημα [0, 1]N − . Αν εφαρμόσουμε τις σχέσεις του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στους συντελεστές ˆ

mG θα λάβουμε τη διακριτή συνάρτηση

2 21 1

0 0

ˆ ˆˆ ˆ( )N Ni mn i mn

N Nn m m m n n

m mg G e G G e g g

π π− −

= =

= = + Δ = + Δ∑ ∑ (117)

όπου η υπάρχει η μικρή διαφορά

21

0

ˆˆN i mn

Nn m

mg G e

π−

=

Δ = Δ∑ . (118)

Αγνοώντας τη μικρή αυτή διαφορά, μπορούμε να υπολογίσουμε το προσεγγιστικό αποτέλεσμα ˆn ng g≈ της συνέλιξης n n ng h f= ∗ μέσω της εξής διαδικασίας:

(α) Υπολογισμός των συντελεστών του διακριτού μετασχηματισμού Fourier

21

0

1 N i mnN

m nn

F f eN

π− −

=

= ∑ , (119)

(β) υπολογισμός των συντελεστών

21 K i mkN

m kk K

H h eN

π−

=−

= ∑ , (120)

(γ) υπολογισμός των συντελεστών ˆm m mG H F= και

(δ) υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier

21

0

ˆˆN i mn

Nn m

mg G e

π−

=

≈ ∑ . (121)

129

Περιοδική επέκταση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα Όπως είδαμε στη σχέση (77), ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier μιας διακριτής συνάρτησης nf για τιμές έξω από το διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , δημιουργεί μια

περιοδική επέκταση nf% της nf , η οποία και ταυτίζεται με την nf στο διάστημα αυτό. Για να αξιοποιηθεί το θεώρημα της διακριτής περιοδικής συνέλιξης χρειάζεται να δημιουργηθεί μια περιοδική επέκταση της nh , η οποία όμως αρχικά δεν ορίζεται στο πεπερασμένο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , αλλά στο σύνολο των τιμών n−∞ < < +∞ . Αξιοποιώντας το γεγονός ότι η nh μηδενίζεται έξω από το διάστημα K n K− ≤ ≤ , μπορούμε να δημιουργήσουμε την επιθυμητή περιοδική επέκταση λαμβάνοντας μόνο τις τιμές της nh σε ένα διάστημα N τιμών το οποίο να περιλαμβάνει όλες τις μη μηδενικές τιμές, δηλαδή σε ένα διάστημα της μορφής M n N M≤ ≤ + , όπου αρκεί να ισχύει M K K N M< − < < + , δηλαδή ( )N K M K− − < < − . Η περιοδική επέκταση nh% από το διάστημα M n N M≤ ≤ + στο σύνολο των τιμών n−∞ < < +∞ είναι

ταυτόχρονα και περιοδική επέκταση της διακριτής συνάρτησης nh)

στο πεπερασμένο διάστημα

0 1n N≤ ≤ − , με εκεί τιμές n nh h=)

% . Σε σχέση με την αρχική συνάρτηση nh η nh)

έχει τιμές

0

0 1 11

n

n

n N

h n Kh K n N K

h N K n N−

≤ ≤⎧⎪= + ≤ ≤ − −⎨⎪ − ≤ ≤ −⎩

). (122)

Από την περιοδική συνέλιξη

1 1L N L N

n n n n k k k n kk L k L

g h f h f h f+ − + −

− −= =

≡ = =∑ ∑% % % % % %% , (123)

όπου αξιοποιήθηκε η σχέση (85), προκύπτει η περιοδική διακριτή συνάρτηση ng% , η οποία καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της στο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , όπου και επιθυμούμε να προσδιορίσουμε την αρχική συνέλιξη n n ng h f= ∗ . Προσοχή: Η περιοδική διακριτή συνάρτηση ng% είναι το αποτέλεσμα της περιοδικής συνέλιξης

n n ng h f≡ % %% και όχι η περιοδική επέκταση της ng περιορισμένης στο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − . Εξάλλου όπως θα δείξουμε παρακάτω η ng% διαφέρει από την ng στα δύο άκρα του διαστήματος [0, 1]N − .

Επιλέγοντας L K= − στη σχέση (123) έχουμε 1N K

n k n kk K

g h f− −

−=−

= ∑ % %% οπότε λαμβάνοντας υπόψη τις

μηδενικές τιμές της kh% στο διάστημα 1 1K k N K+ ≤ ≤ − − , προκύπτει

K n K

n k n k n k kk K k n K

g h f h f+

− −=− = −

= =∑ ∑% %% , (124)

όπου το δεύτερο σκέλος προήλθε από την αλλαγή του δείκτη άθροισης από k σε k n k′ = − .

130

Πρόταση: Οι τιμές της περιοδικής συνάρτησης ng% στο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − δίνονται από τις σχέσεις

1

0 1

1

1

0 1

1

n K n KL

n k k N n k k k n k k n k N n nk n K k k K k n

n K K


N n K n N KR

n k k n k k N k n k N k n k n nk n K k N k K k n N

h f h f h f h f g g n K

g h f h f g K n N K

h f h f h f h f g g N K n N

− +

− + − − − −= − = =− = +

+

− −= − =−

− + −

− − − − + −= − = =− = − +

+ = + = −Δ ≤ ≤ −

= = = ≤ ≤ − −

+ = + = −Δ − ≤ ≤ −

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

%

%

% 1

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(125) όπου

1

1

( ) ( )K

Ln n n n k k k N k n k n k N

k n K k n

g g g h f f h f f−

− + − − −= − = +

Δ ≡ − = − = −∑ ∑% % , 0 1n K≤ ≤ − (126)

( ) ( )n K n N

Rn n n n k k k N k n k n k N

k N k Kg g g h f f h f f

+ −

− − − − += =

Δ ≡ − = − = −∑ ∑% % , 1N K n N− ≤ ≤ − . (127)

Απόδειξη: Διακρίνουμε 3 διαφορετικές περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή του n (σχήμα 2).

Περίπτωση 0 1n K≤ ≤ − : Προφανώς 1K n K− ≤ − ≤ − και 2 1 1K n K K N≤ + ≤ − ≤ − (επειδή 2K N≤ ). Για

1K n K k− ≤ − ≤ ≤ − k k Nf f +=% ενώ για 0 1k n K N≤ ≤ + ≤ − k kf f=% , οπότε

1

0

n K n K

n n k k n k k N n k kk n K k n K k

g h f h f h f+ − +

− − + −= − = − =

= = +∑ ∑ ∑%% , (128)

ενώ 1

0

n K

n n k k n k kk n K k

g h f h f− +

− −= − =

= +∑ ∑ και η διαφορά είναι

1

( )Ln n n n k k k N

k n Kg g g h f f

−

− += −

Δ ≡ − = −∑% % (129)

Περίπτωση 1K n N K≤ ≤ − − : Προφανώς 0 n K≤ − και 1n K N+ ≤ − , ώστε 0 1n K k n K N≤ − ≤ ≤ + ≤ − , όπου

k kf f=% και

n K n K

n n k k n k k nk n K k n K

g h f h f g+ +

− −= − = −

= = =∑ ∑%% (130)

Περίπτωση 1N K n N− ≤ ≤ − : Προφανώς 0 2 1N K n K N K≤ − ≤ − ≤ − − ( 2K N≤ ) και 1N n K N K≤ + ≤ + − . Για

1 2 1n K k N N− ≤ ≤ − < − ( K N< ), k kf f=% ενώ για N k n K≤ ≤ + , k k Nf f −=% , οπότε

1n K N n K

n n k k n k k n k k Nk n K k n K k N

g h f h f h f+ − +

− − − −= − = − =

= = +∑ ∑ ∑%% (131)

ενώ 1N n K

n n k k n k kk n K k N

g h f h f− +

− −= − =

= +∑ ∑ και η διαφορά είναι

131

( )n K

Rn n n n k k k N

k N

g g g h f f+

− −=

Δ ≡ − = −∑% % . (132)

Τα δεύτερα σκέλη των σχέσεων (125), (126) και (127) προκύπτουν από την αντικατάσταση του δείκτη άθροισης k με τον δείκτη k n k′ = − .

Σύμφωνα με το θεώρημα της περιοδικής διακριτής συνέλιξης ισχύει η σχέση m m mG N H F=% , 0 1m N≤ ≤ − , (133) όπου

21

0

1 N i mnN

m nn

G g eN

π− −

=

= ∑% % , (134)

21

0

1 N i mnN

m nn

F f eN

π− −

=

= ∑ , (135)

21

0

1 N i mnN

m nn

H h eN

π− −

=

= ∑)

. (136)

Σε σχέση με τις αρχικές τιμές (122) της nh

), η τελευταία σχέση παίρνει τη μορφή

2 2 2 21 1 1

0 0 10

N K N K Ni mn i mn i mn i mnN N N N

m n n n Nn n n K n N K

NH h e h e e h eπ π π π− − − −− − − −

−= = = + = −

= = + + =∑ ∑ ∑ ∑)

2 21

0

K Ni mn i mnN N

n n Nn n N K

h e h eπ π−− −

−= = −

= +∑ ∑ . (137)

Αλλάζοντας τη μεταβλητή άθροισης από n σε n n N′ = − , το τελευταίο άθροισμα παίρνει τη μορφή

2 2 21 1 1( )N i mn i m n N i mnN N N

n N n nn N K n K n K

h e h e h eπ π π− − −′− − + −

′−′= − =− =−

= =∑ ∑ ∑ . (138)

Συνδυάζοντας τα δύο αθροίσματα σε ένα, οι συντελεστές mH γίνονται

21 K i mnN

m nn K

H h eN

π−

=−

= ∑ , 0 1m N≤ ≤ − , (139)

ίδιοι όπως και στην περίπτωση της μηδενικής επέκτασης. Με τους συντελεστές mG% από τη σχέση m m mG N H F=% , μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές ng% στο διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier

132




Σχήμα 2: Τα ζεύγη n n kh f −% τα οποία υπεισέρχονται στον υπολογισμό της συνέλιξης

Kn k n kk K

g h f −=−=∑ %%

και η αντικατάσταση τιμών n kf −% , έξω από το διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , με τιμές n kf − μέσα σε αυτό.

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn

133

2K i mnN

n mm K

g G eπ

−

=−

= ∑ %% , 0 1n N≤ ≤ − . (140)

Το θεώρημα της περιοδικής συνέλιξης μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε το άθροισμα στη συνέλιξη n n ng h f= ∗% %% με το γινόμενο m mH F σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα:

Η διακριτή συνάρτηση ng% που προκύπτει από την παραπάνω αξιοποίηση του θεωρήματος της περιοδικής διακριτής συνέλιξης ταυτίζεται με την επιθυμητή συνέλιξη n n ng h f= ∗ μόνο στο διάστημα [ , 1]K N K− − (σχέση 125). Στα δύο «ακραία» διαστήματα 0 1n K≤ ≤ − και

1N K n N− ≤ ≤ − , η ng% διαφέρει από την ng επειδή οι άγνωστες τιμές της kf έξω από το διάστημα 0 1n N≤ ≤ − , αντικαθίστανται αντίστοιχα από τιμές k Nf + και k Nf − , μέσα στο

διάστημα, με βάση την περιοδική επέκταση nf% . Με τη χρήση μη μηδενικών τιμών nh μόνο μέσα

στο διάστημα K n K− ≤ ≤ η Kn n n k n k k n kk k K

g h f h f h f+∞

− −=−∞ =−= ∗ = =∑ ∑ επηρεάζεται μόνο από

κοντινές τιμές n kf − περιορισμένες στο διάστημα [ , ]n K n K− + . Αντίθετα η ng% , όταν υπολογίζεται σε ένα από τα παραπάνω άκρα [ , 1]K N K− − ή [ , 1]N K N− − του διαστήματος [0, 1]N − , επηρεάζεται από μακρινές τιμές που ανήκουν στο άλλο άκρο (σχήμα 2). Αυτό είναι και το μόνο μειονέκτημα της μεθόδου της περιοδικής επέκτασης, η οποία κατά τα άλλα υπερτερεί της μηδενικής επέκτασης, η οποία δίνει λανθασμένες τιμές και μέσα στο διάστημα [ , 1]K N K− − . Μηδενική συμπλήρωση διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα (zero padding) Η μηδενική συμπλήρωση μιας διακριτής συνάρτησης σε πεπερασμένο διάστημα, είναι ένας συνδυασμός των μεθόδων της μηδενικής και της περιοδικής επέκτασης, η οποία έχει σκοπό να απαλλάξει τις τιμές της συνέλιξης στα δύο άκρα από την επίδραση τιμών της nf στο άλλο άκρο, επίδραση που αποτελεί μειονέκτημα της μεθόδου της περιοδικής επέκτασης. Για το σκοπό αυτό οι τιμές της nf , που είναι γνωστές μόνο στο διάστημα [0, 1]N − , συμπληρώνονται από K μηδενικά, τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά του διαστήματος (σχήμα 3), ώστε να προκύψει μια νέα διακριτή συνάρτηση nf

( στο διάστημα [ , 1 ]K N K− − + , με τιμές

,n n nf h h→)

,m mF H

n n ng h f= ∗ m m mG N H F=%

mG%ng%ng

DFT

invDFT

134

0 1

0 10 1

n n

K nf f n N

N n N K

− ≤ ≤ −⎧⎪= ≤ ≤ −⎨⎪ ≤ ≤ − +⎩

(. (141)

Από τη συνάρτηση αυτή η οποία έχει εύρος 2M N K= + δημιουργείται με περιοδική επέκταση μια νέα συνάρτηση n n jMf f ±=

(% , 1, 2,...j = (142)

Παρόμοια η αρχική συνάρτηση nh , έχει μηδενικές τιμές έξω από το διάστημα [ , 1 ]K N K− − +

ενώ ο περιορισμός της nh(

στο διάστημα αυτό έχει τιμές

0 1 1n

n

h K n Kh

K n N K− ≤ ≤⎧

= ⎨ + ≤ ≤ − +⎩

(. (143)

Η περιοδική επέκταση της nh

( είναι μια νέα συνάρτηση

n n jMh h ±=

(% , 1, 2,...j = (144)

ενώ για την περιοδική συνέλιξη

1

1

N K n K

n n n n k k k n kk K k n N K

g h f h f h f− + +

− −=− = − + −

= = =∑ ∑% % % % % %% (145)

ισχύει το σχετικό θεώρημα ( 2 )m m mG N K H F= +

( ( (, 1K m N K− ≤ ≤ − + , (146)

όπου

2 21 1

2 2

0

1 12 2

N K Ni nm i nmN K N K

m n nn K n

F f e f eN K N K

π π− + −− −+ +

=− =

= =+ +∑ ∑

((, (147)

2 21

2 21 12 2

N K Ki nm i nmN K N K

m n nn K n K

H h e h eN K N K

π π− + − −+ +

=− =−

= =+ +∑ ∑

((, (148)

21

212

N K i nmN K

m nn K

G g eN K

π− + −+

=−

=+ ∑

(% , (149)

είναι οι διακριτοί μετασχηματισμοί Fourier με βάση το διάστημα [ , 1 ]K N K− − + , εύρους

2N K+ . Από τους συντελεστές ( 2 )m m mG N K H F= +( ( (

με τους mF(

, mH(

υπολογισμένους από τις παραπάνω σχέσεις (147) και (148), μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές

135

21

2N K nm

N Kn m

m K

g G eπ− + −+

=−

= ∑(

% , 0 1n N≤ ≤ − , (150)

μόνο μέσα στο διάστημα [0, 1]N − για το οποίο ενδιαφερόμαστε, αν και μπορούμε τυπικά να υπολογίσουμε όλες τις τιμές για 1K n N K− ≤ ≤ − + . Για τον υπολογισμό της περιοδικής συνέλιξης n n ng h f= % %% στο διάστημα [0, 1]N − θα

χρειαστούν οι τιμές των nf% και nh% στο ευρύτερο διάστημα [ , 1 ]K N K− − . Όμως στο διάστημα

αυτό οι nf% και nh% ταυτίζονται με τις αντίστοιχες τιμές των nf και nh της μηδενικής επέκτασης. Κατά συνέπεια και οι τιμές ng% θα είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές ng της μηδενικής επέκτασης, οπότε εφαρμόζοντας απευθείας τις σχέσεις (93), (94) και (95) έχουμε

0

1

1

0 1

1

1

n K nL

n k k k n k n nk k K

n K K


N KR

n k k k n k n nk n K k n N

h f h f g g n K

g h f h f g K n N K

h f h f g g N K n N

+

− −= =−

+

− −= − =−

−

− −= − = − +

⎧ = = −Δ ≤ ≤ −⎪⎪⎪

= = = ≤ ≤ − −⎨⎪⎪

= = −Δ − ≤ ≤ −⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

%

%

%

(151)

όπου

1

1

KLn n n n k k k n k

k n K k n

g g g h f h f−

− −= − = +

Δ = − = =∑ ∑% % , 0 1n K≤ ≤ − (152)

n K n N

Rn n n n k k k n k

k N k K

g g g h f h f+ −

− −= =−

Δ = − = =∑ ∑% % . 1N K n N− ≤ ≤ − (153)

Από τη σχέση (151) προκύπτει ότι οι τιμές ng% , που προσδιορίζονται από την εφαρμογή του θεωρήματος της περιοδικής συνέλιξης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μηδενικής συμπλήρωσης , ταυτίζονται με τις πραγματικές τιμές n n ng h f= ∗ , μόνο στο «εσωτερικό» διάστημα [ , 1 ]K N K− − , ενώ στα δύο ακραία διαστήματα [0, 1]K − και [ , 1]N K N− − , ισχύει

n ng g≠% , με τιμές n ng g=% , ίδιες με εκείνες που προκύπτουν χρησιμοποιώντας η μέθοδο της μηδενικής επέκτασης.

136




Σχήμα 3: Η μέθοδος της μηδενικής συμπλήρωσης (zero padding)

N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn


N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn


N – 1 0

0 K –K

K N–1–K

k

n–k

–K N–1+K

n–K n+K n

hn

fn


Fourier +ÿ+¦-ë-ü+»+¦

Documents

Transcript of Fourier +ÿ+¦-ë-ü+»+¦