Ing. ANGEL, AYALA HERRERATELECOMUNICACIONES

SERIE DE FOURIER

FITTSeries de Fourier

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FITTLa primera serie de Fourier de la historiaEuler 1744 escribe en una carta a un amigo:Es cierto?

Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0 La clave est en el concepto de funcin peridica.

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octubre 2009FITTFunciones PeridicasUna funcin peridica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T).Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T que cumplelo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la funcin.Observa que:f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...

Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?

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FITTEs la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica?Depende. Consideremos la funcin:

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).

Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n.Es decir, que cumplan:

T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2)

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FITTVolvamos al resultado de Euler:Cmo lo alcanz?

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FITTIntegrando trmino a trmino:Particularizamos t para encontrar C:

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FITT(1) La funcin de Euler es peridica de periodo T = 2.

(2) La serie es una funcin impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2, la serie aproxima a Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximacin no es buena en "los extremos"...

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FITTJoseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier present un sorprendente artculo a la Academia de Ciencias en Pars. En l afirmaba que cualquier funcin puede escribirse en forma de serie trigonomtrica semejante al ejemplo de Euler.

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830

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Algunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier

Donde se denomina frecuencia fundamental.Serie trigonomtrica de Fourier

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FITTCmo calcular los coeficientes de la serie?

Dada una funcin peridica f(t), cmo se obtiene su serie de Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

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FITTOrtogonalidadSe dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

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FITTCmo calcular los coeficientes de la serie?

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