IX.- CALCULO DE TUBERAShttp://libros.redsauce.net/

IX.1.- CALCULO DEL DIMETRO DE UNA CONDUCCIN

La prdida total de carga P se puede poner en la forma:

P = d

u 22 g L +

u22 g = (

Ld + )

u 22 g = u =

Q

= 4 Q d2

= L2 g 16 Q 2

2d5 + 12 g

16 Q 2

2d5

2 g P 2d5 = 16 L Q2 + 16 Q2 d ; d5 -

8 Q 2 g P 2

d - 8 L Q 2

g P 2 = 0 ; d 5 - E d - F = 0

Dimetro ms econmico de una conduccin.- Cuando se construye una conduccin, a la hora de elegir el dimetro de la misma, pueden suceder dos casos:

a) Si se toma un dimetro pequeo, resultar una velocidad grande, por lo tanto, una mayor prdida

de carga debida al rozamiento, para un mismo caudal.

b) Si se toma un dimetro grande, la velocidad ser menor, pero el coste de la instalacin ser mayor

En consecuencia, hay que encontrar una solucin que tenga en cuenta estas circunstancias, y que

haga la instalacin lo ms econmica posible. Para ello consideraremos los siguientes parmetros:

G, es el costo total de la instalacin de maquinaria y construccin.

P2, es el precio por unidad de superficie instalada, de la forma, d.L

P1, es el precio de la unidad de potencia del grupo de bombeo

L, es la longitud de la tubera y d su dimetro

N, es la potencia de la bomba

En consecuencia, el gasto total se puede poner en la forma: G = P1 N + P2 d L

La potencia N del grupo de bombeo es: N = Q (H + P )75 =

Q (H + 8 Q2 L

2 g d 5)

75

y el costo G de la instalacin de maquinaria, construccin y mantenimiento:IX.-147

G =

Q ( H + 8 Q2 L

2 g d 5)

75 P1 + d L P2

Para hallar el dimetro ms econmico, derivamos la ecuacin anterior respecto de d y lo igualamos

a cero, obtenindose:

dGdd =

Q (- 40 Q2 L

g 2d6)

75 P1 + L P2 = 0 ; d = 40 Q3 75 g 2

P1P2

6

Para, = 1000 kg/m3, resulta: d =

5 ,51 Q3

P1P2

6 = 1,329 P1 P2

6 Q = Q

que se conoce como frmula de Bress y en la que los valo-

res de P1 y P2 hay que tomarlos convenientemente actuali-zados.

El proceso a seguir para hallar el dimetro ms econmico

se puede resumir en lo siguiente:

1) Se fija el caudal Q y se elige una velocidad r u entre unos

lmites razonables.

2) Con estos datos se calcula el dimetro d

3) Se determinan las prdidas de carga continuas y acciden-

tales; si resultan exageradas, se disminuye la velocidad y se rehacen los clculos.

El problema se puede resolver tambin grficamente, representando las curvas correspondientes a los

gastos de instalacin y explotacin.

Fig IX.2.- Dimetro ms econmico de una conduccin

Los gastos de instalacin comprenden: a) Costo de la tubera; b) Costo del desmonte; c) Costo de los terraplenes; d) Costo de los accesorios; e)

Costo del grupo de bombeo.

Los gastos de explotacin comprenden: - Gastos de conservacin de la tubera

- Potencia consumida por el grupo de bombeo.

Conocidas las curvas, se suman sus ordenadas, y el mnimo se corresponde con el dimetro d ms econmico, como se muestra en la Fig IX.2.

IX.-148

Fig IX.1

IX.2.- PERDIDA UNIFORME DE CAUDAL A LO LARGO DE UNA CONDUCCIN

Supongamos que un fluido recorre una conduccin de seccin constante; para un elemento infinitesi-

mal de la misma, de longitud dx, la prdida de carga viene dada por la expresin:

dP = J dx = k Q 2 dx

y la prdida de carga continua total, entre los lmites 0 y L:

P =

0

L

k Q 2 dx

Si suponemos que Q0 es el caudal que entra en la conduccin, y que se pierden q m3/seg por metro de

longitud de tubera, el caudal Q que se tiene a la distancia x del origen es:

Q = Q0 - q x

mientras que el caudal al final de la conduccin es: QF = Q0 - q L q L = Q0 - QF

En consecuencia, se puede poner:

P =

0

L

k Q 2dx = k 0L

( Q0 - q x )2 dx = k ( Q02 L - 2 Q0 q L2

2 + q2 L3

3 ) = q = Q0 - QF

L =

= k L {Q0

2 + ( Q0 - QF )2

3 - Q0 ( Q0 - QF )} = k L3 ( Q0

2+ Q0QF + QF2 )

Si QF = 0, o lo que es lo mismo, si en el extremo final la conduccin ha perdido todo el caudal, la prdi-

da de carga es:

P' =

K L Q02

3

que es la tercera parte de la prdida de carga P = k Q02 L para el caso de que la conduccin transporte a

lo largo de su longitud L todo el caudal Q0 sin perder nada.

IX.3.- TUBERA CON TOMA INTERMEDIA

Sea la conduccin (ab) de longitud l y dimetro d constante, Fig IX.4, que parte de un depsito A, de

forma que en el extremo b de la misma se tiene un caudal Q.

La lnea de niveles piezomtricos es la (DB) y, segn ella, el valor de la prdida de carga P en el extre-mo B, es:

P = J l = k Q 2 l = k' Q

2

d 5 l

Fig IX.4 Fig IX.5.- Tubera con toma intermedia

IX.-149

Fig IX.3

Supongamos ahora que a una distancia l2 del punto a, (comienzo de la conduccin), se realiza una

toma intermedia en C; el dimetro d se mantiene constante en los tramos de tubera (aC) y (Cb). En es-

tas circunstancias en el nudo C se tienen los caudales salientes que llamaremos Q1 y Q2. Para hallar la

prdida de carga total, se puede aplicar la frmula de Darcy a cada tramo, de forma que la suma de las

prdidas de carga en el tramo de longitud l, sea igual a la suma de las prdidas de carga correspondientes

a los tramos l1 y l2, por lo que:

P = k' l1

d5 Q1

2 + k' l2d 5

( Q1+ Q2 )2 = k'd5

{ l1Q12 + l2( Q1+ Q2 )2 }

de la que se deduce: d =

l1Q12 + l2( Q1+ Q2 )2

P k'5

A su vez, como el valor de P es el mismo para ambos casos, considerando: Q = Q1 +Q2 , resulta:

k'd 5

{ l1 Q12 + l2 ( Q1+ Q2 )2 } = k'

Q 2

d5 l

l Q2 = l1 Q1

2 + l2 ( Q1 + Q2 )2 = Q12 ( l1+ l2 ) + 2 l2 Q1 Q2 + l2 Q2

2

ecuacin de segundo grado en Q1, cuyo valor es:

Q1

2 + 2 l2 Q2

l Q1+ (l2 Q2

2

l - Q2 ) = 0 Q1 = -

l2 Q2l Q

l2l (

Q2Q )

2 (l2l - 1) + 1

Casos particulares:

a) Si Q2 es muy pequeo frente a Q, el valor del caudal: Q1= -

l2 Q2l + Q , que nos dice que para igual

prdida de carga, el caudal Q1 en el extremo b de la tubera es Q menos una fraccin de Q2 que depende de

la posicin de la toma intermedia.

b) Si la toma est en la posicin media de la tubera l2=

l2 , el caudal es:

Q1= Q - Q22

c) Si se cierra la vlvula en C la lnea de niveles piezomtricos ser la (DNB) y la carga en C ser

(MN); al abrir dicha vlvula C, la carga en ese punto disminuir hasta H. Todo el caudal que llegue a C

saldr por la toma intermedia cuando se cumpla que la lnea de niveles piezomtricos del tramo (Cb) es

horizontal.

d) Si la llave en C est cerrada: P = k' Q

2

d5 l Q = P d

5

k' l

Si la llave en C est abierta:

P2( aC )= k' l2 ( Q1+ Q2 )2

d5 = MH

P1(Cb) = k' l1 Q12

d 5 = P - P2 = RB

En todo el proceso se ha supuesto que la tubera es de gran longitud, por lo que no se han tenido en

cuenta las prdidas accidentales.

IX.4.- TUBERA CON TOMA INTERMEDIA ENTRE DOS DEPSITOS

Sea la conduccin (BAC) que une los depsitos B y C a diferentes niveles, y en ella una toma inter-

media A, con llave, para regular el consumo por (AD). Para hallar la expresin que permite calcular el IX.-150

caudal Q que circula entre B y C, podemos utilizar la ecuacin de Darcy, en la forma:

Q = u = J = u

2

2 g d ; u = 2 g d J

= d

2

4 2 g d J

= 3,477 J d

5

a) Si se supone que: d1 = d2 = d y 1 = 2 = , se pueden presentar varios casos, como:

a-1) Llave cerrada: J = Hl1+ l2

Q = 3,477 1

H d5

l1+ l2

a-2) Llave muy abierta: Q = 3,477 1

( zl2

d 5 + z - Hl1 d5 )

en la que el depsito C acta como depsito de socorro del B, estando la toma alimentada por los dos de-

psitos, y en donde z es la carga para el ramal (AB) y (z - ) la carga para el ramal (AC).

Fig IX.6.- Tubera con toma intermedia entre dos depsitos

b) Si se supone que d1 d2 y 1 2 se obtiene en forma parecida al apartado anterior:

b-1) La llave A est cerrada, por lo que del depsito B fluye al depsito C, un caudal Q de la forma:

J1 = H - x

l1

J2 = xl2

Q = 3,477 ( 1

1 H - xl1

d15 + 1

2 xl2

d25 )

b-2) La llave A comienza a abrirse, arrojando por (AD) un caudal q; habr un descenso en el nivel pie-

zomtrico hasta N, siendo la lnea piezomtrica (BNC); el depsito C recibir un caudal menor. El caudal

saliente por la toma es:

q = Q2 - Q1 = 3,477 (

12

yl2

d25 - 1

1

H - yl1

d15 )

b-3) La llave A se sigue abriendo hasta que el punto F de la lnea piezomtrica est en el plano hori-

zontal del nivel de liquido del depsito ms bajo C; el valor del caudal que el depsito B proporciona y que IX.-151

es el que sale por la toma, por cuanto el depsito C no interviene, es:

q = Q2 =

3,4772

Hl2 d2

5

existiendo un equilibrio entre el depsito C y la toma intermedia.

b-4) La llave A se sigue abriendo, aumentando el caudal que sale por la toma intermedia; el nivel pie-

zomtrico de la toma A llegar hasta un punto por debajo del plano horizontal del ni