APOSTILA de CALCULO I

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Apostila de Clculo I 1 Apostila de Clculo I 2 Limites Diz-se que uma varivel x tende a um nmero real a se a diferena em mdulo de x-a tende a zero. ( a x ).Escreve-se:a x ( x tende a a). Exemplo :Se. 1,2,3,4,.. N,N1x quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero. Definio:f(x)lima x igual a L se e somente se, dado0 ea x , existe0 tal que se a - x 0 ento L - (x) f . Propriedades:constante) C ( C C 1.lima x [ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2.lim lim lima x a x a x t t[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f . 3lim lim lima x a x a x [ ]na xna x(x) f (x) f 4.lim lim]]]

(x) g(x) f

(x) g (x) f5.limlimlima xa xa x]]]

na xna x(x) f (x) f . 6lim lim Apostila de Clculo I 3 Constante C ,limC C . 7(x) f(x) fa xa xlim (x) f log (x) f log . 8lim lima xb ba x polinomial funo uma (x) P onde (a) P (x) P . 9lima x L (x) h ento , (x) g L (x) f ea x , (x) g (x) h (x) f Quando . 10lim lim lima x a x a x Exemplos: 1) ( ) 10 4 2 3. 4 3xlim2 x + + 2)ado indetermin 002 24 224 x 2 22 xlim x

( )( )( ) 4 2 x2 x2 x 2 x 24 x lim lim lim2 x 2 x22 x + + x 3) ( )ado indetermin0002 202 2 0x2 - 2 x lim0 x ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )422 212 212 2 x1

2 2 x x.2 2

2 2 x x.2 2 x . 2 - 2 x x2 - 2 x limlim lim lim0 x0 x 0 x 0 x ++ ++ + +

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.|+ ++ + ++ x Apostila de Clculo I 4 Exerccios : 1) Calcular os limites: a) 34 x 21 xlim++ x b) 322 x x 1x 2x- 8 lim+ c) 28 x 32 xlim x d) ( )xx - 4 - 2

lim0 x e) 2 y8 y 32 xlim++ f) 2 - 2x2 3 21 xlim+ x x g) 6 - x - 2x10 3 222 xlim +x x h) 5 - x2 3 lim5 x x i) 3 x -2 2 31 xlim+ x x j) x - 47 32 xlimx x l) 3 - x27 33 xlimx m)( ) 2 7 3x23 xlim+ xn)( ) ( ) [ ]1 31 x2 . 4 xlim + + xo) 2 t6 5t t 22 xlim++ + p) 2 t6 5t t 22 xlim+ Apostila de Clculo I 5 3 x 3 1 -1 y Limites Laterais Suponha que, quando x tende aa pela esquerda, isto , por valores menores que a, f (x) tende ao nmero 1L . Este fato indicado por: 1a xL (x) flim- Suponha que, quando x tende aa pela direita, isto , por valores maiores que a, f (x) tende ao nmero 2L . Este fato indicado por: 2a xL (x) flim+ Os nmeros 1Le 2Lso chamados, respectivamente, de limite esquerda de f em a e limite direita de f em a e referidos como limites laterais de fem a . Exerccios : 1) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: a)(x)lim-3 xf b)(x)lim3 xf+ c)(x)lim3 xf d)(x)limxf e)(x)limxf f)(x)lim4 xf Apostila de Clculo I 6 1 x y 0,5 2) Seja a funo definida pelo grfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: a)(x)lim1 xf+ b)(x)lim1 xf c)(x)lim1 xf d)(x)limxf e)(x)limxf . 3) Dada a funo3 1 ) ( + x x f , determinar, se possvel,(x)lim-3 xf e (x)lim3 xf+. 4) Seja f(x) = ' +2 x parax - 92x para 22x para122x. Determinar:(x)lim-2 xf,(x)lim2 xf+,(x)lim2 xf. 5) Seja f(x) = ' 3 x para7 - 3x3x para1 x.. Determinar(x)lim-3 xf ,(x)lim3 xf+, (x)lim3 xf,(x)lim-5 xf,(x)lim5 xf+ , (x)lim5 xf. Apostila de Clculo I 7 Limites Infinitos Ao investigarmos(x) f ou(x) flim lima x a x- + pode ocorrer que , ao tender x para a, o valor f (x) da funo ou aumente sem limite, ou decresa sem limites.Por exemplo: 21(x) fx. Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite: x2,12,012,0012,00012,00001 f (x)101001.00010.000100.000 Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite: x1,91,991,9991,99991,99999 f (x)-10-100-1.000-10.000-100.000 Assim : 2 - x1e2 - x1 lim lim2 x 2 x + . So consideradas indeterminaes:) ( ) ( ) ( 0.00t t t t tt Exemplos: 1)ado indetermin1 xx 2xlim+ + +++ + + + 01x1x11

x1 xxx 1 xx 2x222x2xlim lim lim Apostila de Clculo I 8 2)ado indeterminx x3 2x

3xlim+++ 010

x11x3x2

xx xx3 2x

x x3 2x

23 2x333x3xlim lim lim +++++++ + + Exerccios: 1)Seja 1 2x3x 5(x) f++. Determinar: a)(x) flimx + b)(x) flimx c)(x) flim)21( x+ d)(x) flim)21( x 2)Calcular: a)( ) 2 - x 1lim) 2 ( x++ b) ( )3 x10 - 2x 1 lim) 5 ( x +++c) ( )3) 4 ( x 4 - x1lim d) ( )3) 4 ( x 4 - x1lim+e) 2 35 x 2 22xlim+ + x xf) 6 x x1 3x x 222 xlim ++ + + g) 6 x x1 3x x 222 xlim ++ +

Apostila de Clculo I 9 y xx y x y aaa Continuidade Oconceitodecontinuidadeestbaseadonaparteanaltica,noestudode limite, e na parte geomtrica na interrupo no grfico da funo. Assim, as funes f(x), abaixo, so todas descontnuas: f(x) f(x)lim lima x a x- + f(a) f(x)lima x +f(x)f(x)limlima xa x- Definio:Uma funo contnua em um ponto A se: a)f (a) definida b)(x) f limx a existe c)(x) f limx a = f (a) A descontinuidade no grficos (2) chamada por ponto ou removvel, a descontinuidade em (1) por salto e em (3) uma descontinuidade infinita. Exemplos: Estudar analiticamente a descontinuidade das funes: Apostila de Clculo I 10 a) ' 1xx- 11 x 11 xx 1f(x)2 em x =1. f(1) = 10 x - 1lim(x) flim21 x 1 x 0 x- 1limx - 1lim(x) flim1 x 1 x 1 x +++ f descontnua por ponto ou removvel em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1. b) ' 2x8 - 3x2 x 42 x2 3f(x)2x no ponto x=2. L1 4 2 - 3xlim(x) flim2 x 2 x L2 4 8 - 3xlim(x) flim22 x 2 x ++

como L1 = L2 =f(2) ento a funo contnua. Exerccios: Estudar analiticamente a descontinuidade das funes:: a)' 3 x 3 - x1 - 2 - x3 x 23 x 9 3 227 xf(x)23x x em x =3. Apostila de Clculo I 10 b) ' 2 x 2 - x2 5 3x2 x 7f(x)2x c)'+0 x x2 - 4 x0 x 30 x f(x)xx sen 3)Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe(x) flim1 x: '1 xA) - (x1 x 1 -11 xf(x)22x Apostila de Clculo I 12 1x0xx yx) f(x1 P Q Derivada de uma Funo Acrscimo da varivel independente Dados 1 0 x e xdenominam incremento da varivel x, diferena: 0 1x x x Acrscimo de uma funo Seja y = f(x) contnua. Dados 1 0 x e xpodem-se obter) f(xe) f(x1 0. diferena) f(x ) f(x y0 1 chama-se acrscimo ou variao da funo f(x).Como x x x0 1+ , ento:) f(x x) f(x y0 0 + Graficamente: tgxy

y ) (x f0 0 1x x x 1x 0x x Apostila de Clculo I 13 Razo Incremental O quociente da variao da funoypelo incremento da varivel independentex chamado razo incremental. x) f(x x) f(xxy0 0 + Trocando 0xporx (fixo momentaneamente), temos: xf(x) x) f(xxy + Observequearazoincrementalocoeficienteangular( tg )daretasecantes, que passa por P e Q.

Derivada de uma funo num ponto x: ejay=f(x)contnua.Calculamosarazoincremental xy.Olimitedarazo incrementalparaoacrscimox tendendoazerodefinidocomoaderivadada funo f(x). Ela pode ser indicada como: (x) f y Lagrange Dy = Df(x) Cauchy

dxdfdxdy Leibnitz y&Newton Apostila de Clculo I 14 x x y x ) x x ( f +P Q f (x) s x x +t Ento: xy 0 xlim (x) f ouxf(x) - x) f(x 0 xlim (x) f+ ++ +

Quando0 x , a reta secante s tende para a reta tangente t , tg tg e tg (x) f .Geometricamente(x) f mede a inclinao da reta tangente curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)). Exemplo: Sendo C uma constante ef(x) = C , calcular pela definio) (x f . xf(x) - x) f(x 0 xlim (x) f+ C f(x) C x) f(x + y Apostila de Clculo I 15 0x0 0 xlimxC - C 0 xlim (x) f Ento se f(x) = C0 (x) f . Propriedades 1. Propriedade f(x) = C0 (x) f . 2. Propriedade 1 - n nx n (x) f x f(x) Exemplos: a) 6 77x (x) f x f(x) b) x 21 x21 x21(x) fx (x) fx f(x)2112121

,`

.| Exerccios:Calcular a derivada das funes: a) 34x f(x) b) 97x f(x) c) 43x f(x) 3. Propriedade(x) g (x) f (x) g) (f + ++ + + ++ + 4. Propriedade(x) g (x) f (x) g) (f Exemplos: Apostila de Clculo I 16 a)3x 2x f(x)7 4+

6 321x 8x (x) f+ b)10x 3x f(x)4 9

3 840x 27x (x) f c) 4x 3x f(x)5231 x524. x313. (x) f 152131

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.| ,`

.|53325x8

x1 5. Propriedade(x) g . f(x) g(x) . (x) f (x) g) (f. + ++ + Exemplos: a)1) .(x x F(x)2 3+ 2x (x) g1 x g(x)3x (x) fx (x) f22 3 + 2 43 2 23x 5x (x) F2x . x 1) (x . 3x (x) F+ + + b)) 2x 2x).(x (x F(x)2323+ +

4x x32(x) g ) 2x (x g(x)2 3x (x) f 2x) (x f(x)312322 3+ + + + Apostila de Clculo I 17

232438313 232212x x31010x x311(x) F4x) x322x).( (x ) 2x 2).(x (3x (x) F+ + + + + + + + c)) x 4)(2 (x F(x)9 2+ +

4x 36x 11x (x) F) 4).(9x (x ) x 2x.(2 (x) F9x (x) g x 2 g(x)2x (x) f 4 x f(x)8 108 2 98 92+ + + + + + + 6. Propriedade ( (( ( ) )) )2g(x)(x) g . f(x) g(x) . (x) f (x) g(x) f

, ,, ,` `` `

. .. .| || | Exemplos: a) 2xx 1y 34242 22 222x2 xyxx 2 xxx 2x x) (xx).(2x) (1 ) (-1).(xy2x (x) gx g(x)-1 (x) f x1 f(x) + Apostila de Clculo I 18 b) 2x 13 xy+ 2 222 222) x (11 6x xy) x (12x) 3).( (x ) x - 1.(1y-2x (x) g x - 1 g(x)1 (x) f 3 x f(x)+ + + + a) 7 x6 5x xy22+

2x (x) g7 - x g(x)5 - 2x (x) f 6 5x - x f(x)22 + 2 222 22 27) (x35 26x 5xy7) (x6).(2x) 5x (x 7) - 5).(x - (2xy+ + Apostila de Clculo I 19 Exerccios: Calcular as derivadas das funes: 1) 4 2t ) t (1 y 2)5) 1)(z 2z (z y2 3 + 3)) 2x 2x)(x (x y2323+ 3) x2 xy23 4)1) 3)(3x (x y2 + 5) 9z 23z z 8y2+ 6) 7t21 t53y2+ 7) 3 2x x x 11y+ + + 8) ( ) 5x x431 2x 3xy22 4

,`

.|++ 9) 3 21 1 11x x xy + + + 10) 21 3x xy Apostila de Clculo I 20 x ) x ( fT )) x ( f a ( N

,`

.| ) x ( f1aSignificado Geomtrico da Derivada

(x) finclinao da tangente T no ponto P(x, f(x)) N=reta normal ao grfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x)) Exemplo: Obterasequaesdasretasnormaletangenteaogrficodafuno 2x 4 f(x) y nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3). No ponto (2,0) 2 a 2 (x) f 21 na 2 - 2xy2) - 2(x y T de Equao equao de N( ) 2 - x21- y1 x 21- + y No ponto (-1,3): 2 a 2 (x) f xy Apostila de Clculo I 21 5 2x y1) 2(x 3 y T de Equao+ + equao de N( ) 1 x21- 3 - + y 25x 21- + y Exerccios: 1)Dadaafunox 2 x y2 eopontoP(4,12),determine aequaodasretas normal e tangente ao grfico da funo no ponto P. 2)Acharaequaodaretatangenteaogrficodafun