APOSTILA de CALCULO I

51
Apostila de Cálculo I 1

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Apostila de Cálculo I

1

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Apostila de Cálculo I

2

Limites

Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em

módulo de x-a tende a zero. ( ax ≠ ). Escreve-se: ax → ( x tende a a).

Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,N1

x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.

Definição :

f(x) limax→

é igual a L se e somente se, dado 0 ε e ax ⟩→ , existe 0 δ ⟩ tal que se

ε a- x 0 ⟨⟨ então δ L-(x) f ⟨ .

Propriedades:

constante) C ( C C 1. limax

==→

[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlimaxaxax →→→

±=±

[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlimaxaxax →→→

=

[ ]n

ax

n

ax(x) f (x) f 4. limlim

=

→→

(x) g

(x) f

(x) g (x) f

5.lim

lim lim

ax

ax

ax→

→=

nax

n

ax(x) f(x) f .6 lim lim

→→=

Page 3: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

3

Constante C , lim

CC .7(x) f

(x) f

ax

axlim == →

(x) f log (x) flog .8 limlimax

b bax →→

=

polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 limax

=→

L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlimaxaxax

===→∀≤≤→→→

Exemplos:

1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim2x

=+=+→

2) adoindetermin 00

2242

24x

22

2xlim =

−−=

−−

→ x

( )( ) ( ) 4 2x

2x2x2x

24x

limlimlim2x2x

2

2x=+=

−−+=

−−

→→→ x

3) ( )

adoindetermin 00

022

0220

x

2 - 2x lim

0x=−=−+=

+→

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) 42

22

1

22

1

2 2x

1

2 2xx.

22

2 2xx.

2 2x.2 - 2x

x

2 - 2x

lim

limlimlim

0x

0x0x0x

==+

=++

=

++−+=

+++++

=+

→→→

x

Page 4: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

4

Exercícios :

1) Calcular os limites:

a) 34x

2

1xlim +

+→ x

b) 3

2

2x x1x2x -8

lim −+

c) 28x

3

2xlim −

−→ x

d) ( )x

x-4 - 2 lim

0x→

e) 2y8y

3

2xlim +

+−→

f) 2-2x

23

2

1xlim

+−→

xx

g) 6-x-2x103

2

2

2xlim

−+→

xx

h) 5-x

23 lim

5x

−−→

x

i) 3x-

2

23

1xlim +

−−→

xx

j) x-4

7

3

2xlim

xx −−→

l) 3-x27

3

3xlim

−→

x

m) ( )273x 2

3xlim +−

→x

n) ( ) ( )[ ]13

1x2.4x lim

−→++ x

o) 2t

65tt

2

2xlim +

++→

p) 2t

65tt

2

2xlim −

+−→

Page 5: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

5

3

x

3

1

-1

y

Limites Laterais

Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores

menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por:

1ax

L (x) f lim-

=→

Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores

que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por:

2ax

L (x) f lim =+→

Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de

f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .

Exercícios :

1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim-3x

f→

b) (x) lim3x

f+→

c) (x) lim3x

f→

d) (x) limx

f∞→

e) (x) limx

f−∞→

f) (x) lim4x

f∞

Page 6: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

6

1

x

y

0,5

2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim1x

f+→

b) (x) lim1x

f−→

c) (x) lim1x

f→

d) (x) limx

f∞→

e) (x) limx

f−∞→

.

3) Dada a função 31)( −+= xxf , determinar, se possível, (x) lim-3x

f→

e (x) lim3x

f+→

.

4) Seja f(x) =

⟩=

⟨+

2 xpara x-9

2 xpara 2

2 xpara 1

2

2x

. Determinar: (x) lim-2x

f→

, (x) lim2x

f+→

, (x) lim2x

f→

.

5) Seja f(x) =

≤−

3 xpara 7-3x

3 xpara 1x

.. Determinar (x) lim-3x

f→

, (x) lim3x

f+→

, (x) lim3x

f→

,

(x) lim-5x

f→

, (x) lim5x

f+→

, (x) lim5x

f→

.

Page 7: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

7

Limites Infinitos

Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlimaxax - +→→

pode ocorrer que , ao tender x para

a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.

Por exemplo:

21

(x) f−

=x

.

Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:

x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

Assim : 2-x

1 e

2-x1

limlim2x2x

−∞=∞=−+ →→

.

São consideradas indeterminações: )()( )( 0. 00 ±∞±±∞

∞±∞±±∞

Exemplos :

1) adoindetermin 1x

x

2

xlim ∞

∞=++∞→

∞==+

=+

=+ +∞→+∞→+∞→ 0

1

x

1x1

1

x

1xxx

1x

x

2

x

2

2

2

x

2

xlimlimlim

Page 8: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

8

2) adoindetermin xx32x

3

xlim ∞

∞=++

+∞→

0 10

x1

1

x3

x2

xxx

x32x

xx32x

2

32

x

3

3

3

x3

xlimlimlim ==

+

+=

+

+

=++

+∞→+∞→+∞→

Exercícios:

1) Seja 12x

3x5(x) f

++= . Determinar:

a) (x) f limx +∞→

b) (x) f limx −∞→

c) (x) f lim)

2

1(x +−→

d) (x) f lim)

2

1(x −−→

2) Calcular:

a) ( )2-x1 lim)2(x

++→

b) ( )

3x10-2x1

lim)5(x +

++→

c) ( )3

)4(x 4-x

1 lim

−→

d) ( )3

)4(x 4-x

1 lim

+→ e)

235x2

2

2

xlim ++

−−∞→ xx

f) 6xx

13x x

2

2

2xlim −+

++−+→

g) 6xx

13x x

2

2

2xlim −+

++−−→

Page 9: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

9

y

x x

y

x

y

a a a

Continuidade

O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de

limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções

f(x), abaixo, são todas descontínuas:

f(x) f(x) limlimaxax - +→→

≠ f(a) f(x) limax

≠→

−∞=

∞=

+→

f(x)

f(x)

lim

lim

ax

ax -

Definição: Uma função é contínua em um ponto A se:

a) f (a) é definida

b) (x) f limx a→

existe

c) (x) f limx a→

= f (a)

A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a

descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita.

Exemplos:

Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:

Page 10: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

10

a)

⟩=⟨−

=1 x x - 1

1 x 1

1 x x1

f(x)

2

em x =1.

f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim2

1x1x

==−→−→

0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim1x1x1x

===+→+→+→

f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade

basta fazer f(x)=0 para x = 1.

b)

⟩=⟨−

=2 x 8-3x

2 x 4

2 x 23

f(x)2

x

no ponto x=2.

L14 2-3x lim (x) f lim2x2x

===−→−→

L24 8-3x lim (x) f lim2

2x2x

===+→+→

como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua.

Exercícios :

Estudar analiticamente a descontinuidade das funções::

a)

=

⟨−−

=

3 x 3-x

1-2-x

3 x 2

3 x 932

27x

f(x)

2

3

xx

em x =3.

Page 11: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

10

b)

≠−−

==

2 x 2-x

253x

2 x 7

f(x)2 x

c)

⟩+

=

=

0 x x

2-4x

0 x 3

0 x

f(x)

xxsen

3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim1x→

:

≥−−

=1 x A)-(x

1x 1- 11x

f(x)2

2

x

Page 12: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

12

1x 0x x

∆y

∆x

)f(x1

P

Q

β

Derivada de uma Função

Acréscimo da variável independente

Dados 10 xe x denominam incremento da variável x, à diferença:

01 xx∆x −=

Acréscimo de uma função

Seja y = f(x) contínua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . À

diferença )f(x)f(x∆y 01 −= chama-se acréscimo ou variação da função f(x).

Como

∆xxx 01 += , então: )f(x∆x)f(x∆y 00 −+=

Graficamente: β tg∆x

∆y =

y

)(x f 0

01 xx∆x −=

1x 0x

x

Page 13: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

13

Razão Incremental

O quociente da variação da função ∆y pelo incremento da variável

independente ∆x é chamado razão incremental.

∆x

)f(x∆x)f(x∆x

∆y 00 −+=

Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos:

∆x

f(x)∆x)f(x∆x

∆y −+=

Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( βtg ) da reta secante s,

que passa por P e Q.

Derivada de uma função num ponto x:

eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental ∆x

∆y. O limite da razão

incremental para o acréscimo ∆x tendendo a zero é definido como a derivada da

função f(x). Ela pode ser indicada como:

(x)fy ′=′ Lagrange

Dy = Df(x) Cauchy

dxdf

dxdy = Leibnitz

y& Newton

Page 14: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

14

x x

y∆

x∆

)xx(f ∆+

P

Q

β

α f (x)

s

xx ∆+

t

α

Então:

∆x

∆y

0∆xlim(x)f

→=′ ou

∆x

f(x)-∆x)f(x

0∆xlim(x)f

++++

→→→→====′′′′

Quando 0∆x → , a reta secante s tende para a reta tangente t , α tgβ tg →

e α tg(x)f =′ .

Geometricamente (x)f ′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no

ponto P(x, f(x)).

Exemplo:

Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição )(xf ′ .

∆x

f(x)-∆x)f(x

0∆xlim(x)f

+→

=′

Cf(x) =

C∆x)f(x =+

y

Page 15: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

15

∴ 0∆x

0

0∆xlim

∆x

C-C

0∆xlim(x)f =

→=

→=′

Então se f(x) = C 0 (x) f =′→ .

Propriedades

1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ====′′′′→→→→ .

2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ====′′′′→→→→====

Exemplos:

a) 67 7x(x) f xf(x) =′→=

b) x2

1 x

21

x21

(x) f x(x) f xf(x) 2

112

1

2

1

===′→=∴=−

Exercícios: Calcular a derivada das funções:

a) 34xf(x) =

b) 97xf(x) =

c) 4

3

xf(x) =

3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′++++′′′′====′′′′++++

4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−−

Exemplos:

Page 16: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

16

a) 3x2xf(x) 74 +=

63 21x8x (x) f +=′

b) 10x3xf(x) 49 −=

38 40x27x (x) f −=′

c) 4x3xf(x) 5

2

3

1

−=

x52

4.x31

3. (x) f 1

5

21

3

1

=−=′

53

32

5x

8

x

1 −

5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ′′′′++++′′′′====′′′′

Exemplos:

a) 1).(xxF(x) 23 +=

2x(x) g 1xg(x)

3x(x) f x(x) f

2

23

=′→+=

=′→=

24

322

3x5x(x) F

2x .x1)(x .3x(x) F

+=′

++=′

b) )2x2x).(x(xF(x) 232

3 ++=

4xx32

(x) g )2x(xg(x)

23x(x) f 2x)(xf(x)

3

123

2

23

+=′→+=

+=′→+=

Page 17: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

17

23

243

8

3

1323

22

12xx3

1010xx

311

(x)F

4x)x32

2x).((x )2x2).(x(3x(x)F

+++=′

+++++=′−

c) )x4)(2(xF(x) 92 ++=

4x36x11x(x) F

)4).(9x(x)x2x.(2(x) F

9x(x) g x2g(x)

2x(x) f 4xf(x)

810

829

89

2

++=′

+++=′

=′→+=

=′→+=

6. Propriedade (((( ))))2g(x)

(x)g . f(x)g(x) . (x)f

(x) g(x) f ′′′′−−−−′′′′

====′′′′

Exemplos:

a) 2xx1

y−=

3

4

2

4

22

22

2

2

x2x

y

xx2x

xx2xx

)(xx).(2x)(1)(-1).(x

y

2x(x) g xg(x)

-1(x) f x 1f(x)

−=′

−=+−−=−−=′

=′→=

=′→−=

Page 18: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

18

b) 2x13x

y−+=

22

2

22

2

2

)x(116xx

y

)x(12x)3).((x)x-1.(1

y

-2x(x) g x-1g(x)

1(x) f 3xf(x)

−++=′

−−+−=′

=′→=

=′→+=

a) 7x

65xxy

2

2

−+−=

2x(x) g 7-xg(x)

5-2x(x) f 65x-xf(x)

2

2

=′→=

=′→+=

22

2

22

22

7)(x

3526x5xy

7)(x6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2x

y

−+−=′

−+−−=′

Page 19: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

19

Exercícios :

Calcular as derivadas das funções:

1) 42 t )t(1y −=

2) 5)1)(z2z(zy 23 −+−=

3) )2x2x)(x(xy 232

3 +−=

3) x

2xy

23

−=

4) 1)3)(3x(xy 2 −+=

5) 9z23zz8

y2

−+−=

6) 7

t2

1t53

y

2+

−=

7) 32 xxx1

1y

+++=

8) ( )

5xx

43

12x3xy

2

24

+

+−=

9) 32

1111

xxxy +++=

10) 2

13xx

y −=

Page 20: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

20

x

)x(f

T ))x(fa( ′=

β

N

−=)x(f

1a

Significado Geométrico da Derivada

=′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x))

N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))

Exempl o:

Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função 2x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3).

No ponto (2,0) 2a 2(x) f =∴=′ 21−=na

2-2x y

2)-2(x y T de Equação

=

=

equação de N ( )2-x21

- =y → 1 x 21

- +=y

No ponto (-1,3): 2a 2(x) f =∴=′

x

y

Page 21: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

21

52x y

1)2(x3 y T de Equação

+=

+=−

equação de N ( )1x21

- 3 - +=y

25

x 21

- +=y

Exercícios:

1) Dada a função x2xy 2 −= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas

normal e tangente ao gráfico da função no ponto P.

2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa

dada:

a) 1 x, 52)( 2 =−= xxf

b) 2 x, 1

)( ==x

xf

3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao

eixo x:

a) xxx

y 42

33

23

−−=

b) 103 += xy

c) xxy 44 +=

4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de

abcissa dada:

a) -1 x, 12)( 3 =−+= xxxf

Page 22: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

22

b) 4 x, == xy

5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23 −+−= xxxy

nos quais a tangente é:

a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0

b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21

Derivadas de Ordem Superior

segunda derivada dx

yddxdy

dxd

(x) f

primeira derivada ydxdy

(x) f

f(x) y

''2

2

y==

=′′

′==′

=

terceira derivada y dx

yd

dx

yddxd

(x) f '''3

3

2

2

==

=′′′

ny==n

nn

dxyd

(x)f

geral modo um De

Exemplos : Calcular :y e y, y ′′′′′′ :

a) xxxy 24 48 +−=

2168 37' +−= xxy

26" 4856 xxy −=

Page 23: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

23

xxy 96336 5'" −=

b) xxxxy −+−= 32 4024

2

12'

21

12028−

−+−= xxxy

23

''

41

2408−

++= xxy

2

5'''

83

240−

−= xy

Exercícios : Calcular :y e y, y ′′′′′′

113x5x4x y1) 6

157 −+−=

x1x

y)22 −=

3) 12

18 15xxxy −−

++=

4)2

3 4x

xy

−=

5) ( )( )132 −+= xxy

Page 24: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

24

Regra da Cadeia

Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a

função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

( ) ( )xgufdxdu

dudy

dxdy '' . . ==

Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a função e depois

derivar, ou seja:

( )1444

12)(

23

24

+=+=′

++==

xxxxy

xxxfy

Se quisermos derivar a função ( )1002 1xy += só conseguiremos resolver

através da regra da cadeia.

Assim:

( ) ( )992992

2

99100

2

1x x 200.2x 1x100dxdy

2xdxdu

1xu

100ududy

uy

1xu

+=+=

=⇒+=

=⇒=

+=

Nesse caso a propriedade é:

'1' . . uunyuy nn −−−−====⇒⇒⇒⇒====

Page 25: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

25

Exemplos:

1) 422 ++= xxy = ( )21

2 42 ++ xx

( ) ( ) ( )42

12242

21

22

12'

++

+=+++=−

xx

xxxxy

( )204 108 )2 −+= xxy

( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+=

Exercícios : Calcular y′para a s funções:

1) 5 4 1

1

+−=

xxy

2)3

2

2

3

−+=

x

xy

3) 112

+−=

xx

y

4) ( )82 24 +−= xxy

5) 3 4 12 +−= xxy

6) ( ) 52.13 6 −+= xxy

7) ( ) 578xy −−=

Page 26: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

26

8) ( )424 158 +−= wwy

9) ( ) ( )223 98.76 +−= xxy

3 3 278 )10 += ry

11) 4-3s

1y =

12) 94x

32xy

2 ++=

13) 543 x

3x2

x1

y ++=

14) ( )22 5x3x

1y

++=

15) ( )( )1x23x4y 2 +−=

16) ( )34x3

1x5y

+−=

Derivada das Funções Trigonométricas

Derivada da função seno

xdxdy

yxsenxfySe cos )( ==⇒==

Page 27: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

27

Pela Regra da Cadeia: uudxdy

yusenySe cos '' ========⇒⇒⇒⇒====

Derivada da função cosseno

( )21

22222 sen1 xcos sen1cos 1cossen

cos)(

xxxxx

xxfy

−=→−=→=+

==

( )

( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny

xsenxy

−=−=−−=

−==

−−cos.2cos

21

cos.2121

1cos

2

122

12'

2

12

∴ xsendxdy

yxxfySe cos)( −==⇒==

Pela Regra da Cadeia: usudxdy

yuySe en cos '' −−−−========⇒⇒⇒⇒====

Exemplos:

Calcular as derivadas de:

( )1xsen y1) 2 +=

( ).2x1x cosdxdy

y 2 +==′

( )1x2xcosy 2 +=′

Page 28: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

28

2) xseny =

2

1

x21

.xcosy−

=

xx

y cos2

1=′

( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy

( )202 1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f192 +=′

( )2sen 3 += xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32 +=′

( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=′

4) 2

cosx

xy =

xgxg

senxfxf

2

cos

'2

'

=⇒=

−=⇒=

3

cos 2 cos 2 4

2'

xxxsenx

xxxxsenx

y−−=−−=

Derivada da função tangente

xcos en

)( xs

yxtgxfySe =⇒==

xsengxg

xfxsenf

cos

cos

'

'

−=⇒=

=⇒=

Page 29: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

29

xxx

xsenxy 2

22

22' sec

cos1

coscos ==+=

Pela Regra da Cadeia: usudxdy

yutgySe ec 2'' ========⇒⇒⇒⇒====

Derivada da função cotangente

xsen os

cot)( xc

yg xxfySe =⇒==

xgxseng

xsenfxf

cos

cos

'

'

=⇒=

−=⇒=

xxsenxsen

xxseny 2

22

22' seccos

1cos −=−=−−=

Pela Regra da Cadeia: usudxdy

yugySe eccos cot 2'' −−−−========⇒⇒⇒⇒====

Derivada da função secante

xx

xy 1coscos

1sec −===

( ) tgx.xsecxcos

xsenxsenxcos1y

22 ==−−=′ −

Page 30: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

30

Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ . . sec

Derivada da função cossecante

xsenxsen

1xseccosy 1−===

( ) ( ) xtgcossecx.coxsen

cosxcosxx sen 1y

22 −=−=−=′ −

Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒==== cotseccos seccos

Exemplos : Calcular as derivadas de:

( )1x2xtgy )1 2 ++=

[ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=′

2) x

tgxy

seccos=

xgxgxg

xfxtgf

cot. seccos seccos

sec

1

2'

−=⇒=

=⇒=

x

gxtgxxxxy

2

2'

seccoscot..seccosseccos.sec += =

xx

seccos1sec 2 +

Page 31: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

31

Exercícios :

( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy

( )x5seccos.xy)2 2=

( )13xcotg3)y 53 +=

( )38xsen4)y +=

3 6x5tg5)y −=

( )35 5x3x cos6)y −=

( )58 xxtg7)y −=

xcos1xsen

y)8+

=

1x2tgx2sec

y)9−

=

10) )1x(tg.xsecy 2 +=

11) xcotg . x cos

1y =

12) ( ) xsen1-3xtg xsec1

y2+

+=

13) xtg x x gcot x 2y 2+=

14) ( ) ( )xcosxseny −+−=

15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny +=

16) 2x sen

3x cos x y

+=

17)

( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 −=

18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +−=

19) x tg .5x seccosy =

20) ( )12cos 22 +−= xxy

21) ( )33x cos x sen +

Page 32: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

32

du

dx

dy

du

dy

dx

dydx

dx

dy

dx

dx= 1

Derivada da Função Inversa

Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x):

dxdu

dudy

dxdy

.=

Para a função inversa -1fg =

x

u

y

f g

x

y

x

f f

-1

Page 33: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

33

Portanto:

1

ou 1

dxdydy

dx

dydxdx

dy ==

Derivada da Função Exponencial

Se aayay xx ln ' =⇒=

Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== ⇒ aauy u ln. ′′′′====′′′′

Exemplos : Derivar:

1) 2ln2y 2y xx =′⇒=

2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y222 xxx ==′⇒=

Para 2,71828 e a ≅=

xey = ⇒⇒⇒⇒ xey ====′′′′

Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== ⇒ uey u ′′′′====′′′′

Exemplos : Derivar

1) 1x2

ey += ⇒ ( )x2.ey12x +

=′

Page 34: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

34

2) xey = ⇒ x2

1.ey x=′

3) xseney = ⇒ xcos.ey xsen=′

4) x1x2

ey

+

= ⇒⇒⇒⇒ ( )

−=

+−=′++

2

2x

1x

2

2x

1x

x

1x.e

x

1x.1x.x2.ey

22

Derivada da Função Logaritmo

a ln x. a ln .adydx

x a xlogy yya ==⇒=⇒=

Como: a ln x.

1

dxdy

dydx1

dxdy =⇒=

Se a lnx

1y x log y z =′⇒=

Pela Regra da Cadeia: a ln u

uy ulog ySe a

′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒====

Para a=e xln x log a =⇒

Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u uu

y ′′′′

====′′′′⇒⇒⇒⇒

Exemplos : Derivar

Page 35: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

35

1) x2

x

2x y xln y

22 ==′⇒=

2) x21

xx2

1

y x ln y ==′⇒=

3) 3 ln 2

1

3 ln xx2

1

y xlog3 ==′⇒

Lembrar que :

ln (p . q) = ln p + ln q

ln qp

= ln p – ln q

ln rp = r . ln p

Exercícios : Derivar

1) ( )[ ]35x4.1-6x lny +=

2) 32

2

1x

1x lny

+−=

3) ( )

( )232

5x

12xx lny

+

−=

4)

−+= 1xx ln y 2

5) ( )4x tg.e y -2x=

Page 36: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

36

Derivadas de Funções na Forma Implícita

Considere a expressão:

49yx 22 =+

Podemos isolar y em função de x:

222 x- 49 y x- 49y ±=⇒=

Ficam definidas duas funções:

x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 −====

Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy −== são funções na forma

explícita (y em função de x) , enquanto 49yx 22 =+ é uma função na forma

implícita.

Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia :

( ) uu n. u 1-nn ′=′

, a derivada de 2y com relação a x é 2.y. y′ .

Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x,

temos:

yx

- 2y2x

-y 0y y 2 x2 ==′⇒=′+

Page 37: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

37

Exemplos : Calcular 'y para as funções abaixo:

1) 03y x 43 =+

3

2

3

232

y4

x

y12

x3 - y 0y y12x3

−==′⇒=′+

2) 4 y yx 42 =+

yg y g

2xf x f 2

′=′⇒=

=′⇒=

32

32

y4 x

x y2-y

0 y y4 y x x y 2

+=′

=′+′+

3) x4 e y cos xxsen =+

ysenx ycos x cos xsen 4 e

y

ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4

3x

x3

++−=′

=′++

4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva

19

y

4x 22

=+ no ponto

227

,1 .

Derivando com relação a x , temos:

Page 38: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

38

y922x-

y

0 y. y 92

2x

0 y 2y. . 91

2x .41

=′

=′+

=′+

No ponto

227

,1 ⇒ 9272

272

9 =−=′= NPaya

Reta Tangente T ⇒ y - ( )1x272

9227 −−=

Reta Normal N ⇒ y - ( )1x9272

227 −=

Exercícios :

1) Calcular 'y para:

a) 4xyx5x3 42 =−+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2=

2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva

1543 34 +−=−+ xxyy no ponto ( )0 ,1 .

Page 39: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

39

Diferenciais de uma Função

Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:

x (x) f dy ∆′=

onde x∆ é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de

y.

Define-se então a diferencial da variável dependente como :

dx (x) f dy ′=

Lembrando o significado geométrico da derivada, temos:

x (x) f (x) f )(x f

x (x) f (x) f )(x f

(x) f -x)_ (x f

∆′+≅∆+

∆′≅−∆+∴

∆+=∆

x

x

y

Exemplos:

1) Obter um valor aproximado para 37 .

37 x x

1 x

36 x

x (x) f

=∆+

=∆

=

=escolhendo

Page 40: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

40

x(x) f (x) f x)(x f

x2

1 (x) f

∆′+=∆+

=′

1.362

1 36 37 +=

6,08333 121

6 37 ≅+≅

2) Obter um valor aproximado para 031sen

180 1x

630 x

xsen (x) f

0

0

π==∆

π==

=

0,51511 31 sen

180.

6 cos

6 sen31 sen

x(x) f (x) f x)(x f

0

0

ππ+π=

∆′+=∆+

Page 41: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

41

Exercícios :

1) Obter um valor aproximado para

a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos

2) Calcular os diferenciais de:

a) ( )423 2 x5 - xy +=

b) ( )2x3 sen y =

c) x

xseny =

Page 42: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

42

y

x

Máximo relativo

Mínimo relativo

Máximo absoluto

a 1x b

α

y

f(x)

x

2x 3x 4x 5x

Aplicações da Derivada

Máximos e Mínimos de uma Função

Considere a função cujo gráfico é:

f(x) é crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa

f(x) é decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx

f(x) é constante no intervalo ( )bx ,5

Seja um trecho de f(x) crescente:

α )(' tgxf =

se f (x) é crescente, temos 2

0πα ⟨⟨

0 (x) e 0 ' ⟩⟩∴ ftgα

Page 43: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

43

Seja um trecho de f(x) decrescente:

α )(' tgxf =

se f (x) é decrescente, temos παπ

2⟨⟨

0 (x) e 0 ' ⟨⟨∴ ftgα

Se f(x) é constante, 0 (x) ' =f .

Exemplos:

1) Determinar os intervalos em que a função 24)( xxf −= é crescente e

onde é decrescente.

24)( xxf −=

0 x para edecrescent é f(x) 0 x se 0 2x -

0 x para crescente é f(x) 0 x se 0 2x -

2)('

⟩∴⟩⟨

⟨∴⟨⟩−= xxf

2) Determinar os intervalos em que a função 45)( 2 ++= xxxf é

crescente e onde é decrescente.

45)( 2 ++= xxxf

f(x)

x

α

y

Page 44: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

44

25

- x para edecrescent é f(x) 25

- x se 0 52x

25

- x para crescente é f(x) 25

- x se 0 52x

52)('

⟨∴⟨⟨+

⟩∴⟩⟩+

+= xxf

Máximos e Mínimos Relativos ou Locais

Seja f(x) definida no domínio D.

D x 0 ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≤ para x

pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

D x 0 ∈ é ponto de máximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≥ para x

pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

f(x 0)

x0 x

y

x0

f(x 0)

x

y

Page 45: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

45

Resultado :

Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou

mínimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto é chamado ponto crítico de

f(x).

Estudo do Sinal da Derivada Segunda

Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do

sinal da derivada segunda da função f (x).

Observe que para 0 xx ⟨ temos 0 )x(f ' ⟩ .Para 0 xx = temos

0 )x(f ' = e para 0 xx ⟩ temos 0 )x(f ' ⟨ . Logo )x(f ' é decrescente e

portanto sua derivada 0. )x('' f ⟨

y

x0

x

′f (x) = 0

′ ⟩f (x) 0 ′ ⟨f (x) 0

Page 46: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

46

Conclusão :

Dada uma função f (x):

a) Calcular a derivada primeira )x(f ' .

b) Obter os pontos críticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = .

c) Calcular a derivada segunda:

Se 0 )x('' f 0 ⟨ temos que 0 x é ponto de máximo relativo.

Se 0 )x('' f 0 ⟩ temos que 0 x é ponto de mínimo relativo

Exemplos:

1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função

2 x- 4 (x) f =

pontos críticos ( 0 )x(f ' = )

0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' ===

0'' x -2(x) f ∴= é ponto de máximo relativo

4 (0) f )(x f 0 == é o valor máximo relativo de f (x).

2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 −+−== pontos críticos 0(x) f =′

==

=+−=′3x

1x 018x24x6)x( f 2

Page 47: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

47

24 - x 12 x)(f '' =

1 x 0 12 - 1) (f 0'' =∴⟨= é abcissa do ponto de máximo relativo

f (1) = 6 é o valor do máximo relativo

3 x 0 12 3) (f 0'' =∴⟩= é abcissa do ponto de mínimo relativo

f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo

Estudo da Concavidade de uma Função

A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda.

Se 0 )x('' f ⟩ num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima.

Se 0 )x('' f ⟨ num intervalo do domínio D temos concavidade voltada

para baixo.

Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da

derivada segunda )x('' f é chamado ponto de inflexão 0 )x('' f = .

Exemplo:

Seja 2x6 x25

3x

(x) f y 23

++−== . Determine:

a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente.

b) pontos de máximo e mínimo relativos.

c) Pontos de inflexão.

Solução:

Page 48: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

48

a)

==

+−=3x

2x 6x5x(x) f 2

Estudo do sinal:

1. linha : x – 2

2. linha : x – 3

3. linha : (x-2) (x-3)

2 3

- + +

- - +

+ - +

crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f ⇒⟩⟨⟩′∴

edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f ⇒⟨⟨⟨′

b) pontos críticos

==

=′3x

2x 0 (x) f

Page 49: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

49

∴=

⟩′′⇒=

∴=

⟨′′⇒=

=′′

relativo mínimo de é 2

133, ponto

213

(3) f

0 (x) f 3x

relativo máximo de é 320

2, ponto 320

(2) f

0 (x) f 2x

5- x2 (x) f

c) inflexão

+∴

==

para - de passa (x) f

25

x5- x2 0 (x) f ''

Máximos e Mínimos Absolutos

Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b]

então existem pontos 10 xe x tais que:

( ) [ ]

( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2)

e ba, x , (x) f x f )1

1

0

∈∀≤

∈∀≥

0x = ponto de mínimo absoluto de f(x)

1x = ponto de máximo absoluto de f(x)

5 2

+

Page 50: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

50

Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os

pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função

no extremo do intervalo.

Exemplo:

Seja 2 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ]

Pontos de máximo e mínimo relativos

[ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' ∈=⇒=⇒=

0 xentão 0 )x(f como 2)x(f '''' =⟨−= é ponto de máximo local

e o valor máximo da função f (0)=16.

Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0

Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é

ponto de mínimo absoluto.

Exercícios :

1) Dada a função 1x9x33x

)x(fy 23

++−== verifique os intervalos

para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os

pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo.

Determine o ponto de inflexão, se houver.

2) Idem para x5x33x

)x(fy 23

−+−==

3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e

cuja soma seja a menor possível.

4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e

cujo produto seja o maior possível.

5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos

locais para ( )32 1xy −= .

Page 51: APOSTILA de CALCULO I

Apostila de Cálculo I

51

6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um

determinado artigo. Se o custo da produção é dado por

60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda é dado por

2x12x60V −= , determinar o número ótimo de unidades mensais

que maximiza o lucro L = V –C..

7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões

a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de

área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento

da cerca seja mínimo.

8) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um

deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como

devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas

compreendidas pela figura seja mínima?