Calculo Diferencial -Rene Jimenez

7/18/2019 Calculo Diferencial -Rene Jimenez

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a

A

b

B

c C

TRIGONOMETRíA

( x, y)

y

xθ

1

n cos2 2 1θ θ + = tan sencos

θ θ

θ =

gcos

senθ

θ

θ = sec

cosθ

θ =

1

csen

θ θ

=1

sec tan2 21θ θ = +

c ctg2 21θ θ = + sen cosθ θ = −( )90º

s senθ θ = −( )90º tan ctgθ θ = −( )90º

x y2 2 1+ =

senθ = = y

y1

cosθ = = x

x1

sen cos2 2 1θ θ + =

0 90 180 270 360

0 90 180 270

0 90 180 270 0 90 180 270

0 90 180 270

0 90 180 270 360

sen x cos x

tan x

sec x csc x

cot x

GRÁFICAS FÓRMULAS MATEMÁTIC

Derivadas de funciones alge

FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

df x

dx

f x h f

hh

( )=

−( ) − (→

lím0

d

dxc = 0

d

dx x = 1

d

dxcf x c

d

dx f x( ) = ( )

d

dxnn

v =

d

dx f x g x h x f x ( ) + ( ) − ( ) = ( )+

d

dx f x g x f x g x g ( ) ⋅ ( ) = ( ) ( )+ (

d

dx

f x

g x

g x f x f x g x

g x

( )( )

= ( ) ( ) − ( ) (

( )

' '

2

d

dxu

e

u

d

dxu

a

aloglog

=

DERIVADAS DE FUNCIONES LO

DERIVADAS DE FUNCIONES EXP

d

dxln

d

dxa a a

d

dxuu u= ln

d

dxe u

a

A

b

B

c

C sen sen sen

= =

Ley de senos. Los lados de un triángulo son propor-cionales a los senos de los ángulos opuestos

Ley de cósenos. El coseno de un ángulo es igual a lasuma de los cuadrados de los lados que lo formanmenos el cuadrado del lado opuesto, todo dividi-do entre dos veces el producto de los lados que loforman

cos A b c a

bc=

+ −2 2 2

2

cos B a c b

ac=

+ −2 2 2

2

cosC a b c

ab=

+ −2 2 2

2

n sen cos cos sen x y x y x y+( ) = +

n sen cos cos sen x y x y x y−

( )= −

s cos cos sen sen x y x y x y+( ) = −

s cos cos sen sen x y x y x y−( ) = +

ntan tan

tan tan x y

x y

x y+( ) =

+

−1tan

tan tan

tan tan x y

x y

x y−( ) =

−

+1

FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES

s cos sen cos sen2 2 1 1 22 2 2 2 x x x x= − = − = −

n sen cos2 2 x x x= tantan

tan2

2

1 2 x

x

x=

−

Fórmulas de medio ángulo

ncos2 1 2

2 x

x= − cos

cos2 1 2

2 x

x= +

d

dxu u

d

dxusen cos=

d

dxucos

d

dxu u

d

dxutan sec= 2 d

dxuctg

d

dxu u u

d

dxusec sec tan=

ddx

u u u ddx

ucsc csc= − ctg

DERIVADAS DE FUNCIOTRIGONOMÉTRICAS

Identidades trigonométricas

1.

3.

5.

6.

2.

4.

7.

1.

1.

1.

3.

5.

2.

4.

6.

2.

2.



d

xu

uuarcsen =

−

1

1 2

d

xu

u

d

dxuarccos = −

−

1

1 2

d

xu

u

d

dxuarctan =

+

1

1 2

d

xu

u

d

dxuarcctg = −

+

1

1 2

d

xu

u u

d

dxuarcsec =

−

1

12

d

xu

u u

d

dxuarccsc = −

−

1

12

funciones anteriores también se escriben así: sen u−1 ,−1 u , tan−1 u , ctg u−1 , sec−1 u , etcétera.

Geometría

Triángulo Círculo Sector de

círculo

b

hr r

q

r

s

du

u a a

u

aC

2 2

1

+ = +∫ arctan

du

u a a

u a

u aC

2 2

1

2− =

−

+ +∫ ln

ud u duv v v∫ ∫ = −

INTEGRACIÓN POR PARTE

Esfera Cilindro C

r

r

h

dx x C ∫ = +

cdu c du= ∫ ∫

du d dw du d dw+ −( ) = + − ∫ ∫ ∫ ∫ v v

u du u

nC n

n

=+

++

∫ 1

1, n ≠ 1

du

uu C = +∫ ln

a du a

aC u

u

∫ = +ln

e du e C u u

∫ = +

A r = 4 2π V r h= π

2

V

V r =4

3

3π

x x y= ⇒ = −sen sen ;1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

y x x y= ⇒ = −cos cos 1

A r = π 2

y x x y= ⇒ = −ctg cgt 1

x x y= ⇒ = −sec sec ;1 y x x y= ⇒ = −csc csc 1

A bh=1

2P r = 2π A r =

1

2

2θ

s r = ( )θ rad

sen cosudu u C = − +∫

cos senudu u C = +∫

sec tan2

udu u C = +∫ csc ctg2 udu u C = − +∫

sec tan secu udu u C = +∫

csc cscu udu u C ctg = − +∫

tan ln secudu u C ∫ = +

ctg ln senudu u C ∫ = +

sec ln sec tanudu u u C = + +∫

csc ln csc ctgudu u u C = − +∫

DERIVADAS DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

x x y= ⇒ = −tan tan ;1

INTEGRALES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Geometría

18.

19.

du

a u

u

aC

2 2−= +∫ arcsen20.

du

u au u a C

2 2

2 2

±= + ±( ) +∫ ln21.

a u du u

a u a 2 2 2 2

2

2 2− = − + ∫ arcsen22.

u a du u

u a a

u2 2 2 22

2 2± = ± ± +( ∫ ln23.

Formulario elaborado por:

René Jim

du

a u a

a u

a uC

2 2

1

2− =

+

− +∫ ln19a.



C Á L C U L O D I F E R E N C I A L



Este título cambia de acuerdo a los T1 •

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A L

René JiménezColegio de Bachilleres



JIMÉNEZ, RENÉ

Cálculo diferencial

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

ISBN: 978-970-26-1019-9

Área: Matemáticas

Formato: 19 × 23.5 cm Páginas: 152

Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] de desarrollo: Claudia Celia Martínez AmigónSupervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Atlacomulco No. 500 – 5° pisoCol. Industrial Atoto53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o tranmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónicmecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso prev

por escrito del editor.El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización deditor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1019-2ISBN 13: 978-970-26-1019-9

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07



Ser maestro es una gran responsabilidad, sin duda dejamos huella en nuestros alumnosy usted profesor René, dejó esa inquietud en mí: el gusto por las matemáticas; y porello, me decidí a estudiar ingeniería.

Al igual que usted, hoy me dedico a la docencia; Dios nos pone en el camino endonde Él nos necesita y por eso, le doy las gracias por haberlo puesto en el mío.

Gracias por ser un buen maestro, por preocuparse por allegar a sus alumnos de los

conocimientos necesarios para continuar con su camino.Ex alumna del Colegio de Bachilleres plantel núm. 1 y Tecnológico de Chihuahua

Ing. Lucía Guadalupe Muñoz CalderónCoordinadora académicaESFER Salesianos

A g r a d e c i m i e n t o



C o n t e n i d o

INTRODUCCIÓN IX

UNIDAD 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD 1Introducción 2Presentación preliminar 3Límites y continuidad 4Límite de una variable 6Límite de una función. Límites laterales 6Teoremas fundamentales de los límites 8Límites de funciones polinomiales 9Límites de funciones racionales 12Cálculo de límites de funciones especiales

(límites infinitos, funciones exponenciales,trigonométricas, etc.,) 20

Continuidad 26Teorema del valor intermedio 31Teorema del valor extremo 32

UNIDAD 2 RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA 35La derivada como razón de cambio 36Interpretación geométrica de la derivada 38Diferenciabilidad 41La velocidad como una razón de cambio 43Reglas para derivar 48Regla de la cadena 55Regla para derivar un producto 59



Regla para derivar un cociente 6Derivadas de funciones trigonométricas 7Derivadas de funciones trigonométricas inversas 8

Derivadas de funciones exponenciales 8Derivadas de funciones logarítmicas 9Derivadas de funciones implícitas 9Ecuaciones de la tangente y de la normal 9

UNIDAD 3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 10Aplicaciones de la derivada: valor máximo

y valor mínimo 10Funciones crecientes y decrecientes 11

Cálculo de máximos y mínimos con el criteriode la primera derivada 11

Derivadas de orden superior 12Aceleración 12Concavidad y punto de inflexión 12Cálculo de máximos y mínimos con el criterio

de la segunda derivada 12Trazado de curvas 13Más aplicaciones de la derivada 13

x • Contenido



P r ó l o g o

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial,cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato ge-neral. Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión delos conceptos, esencia de toda asignatura. Es importante mencionar que los temas setratan de acuerdo con cuatro aspectos fundamentales en las matemáticas: el algebraico,el numérico, el geométrico y el verbal o descriptivo.

El material se divide en tres grandes áreas del cálculo diferencial: los límites, laderivada y las aplicaciones de ésta. Los límites como un antecedente fundamental enla comprensión de la derivada, la derivada como una razón de cambio de un proceso oun fenómeno natural y la importancia de las aplicaciones para resolver problemas quese presentan en los diversos campos del conocimiento.

A continuación, se mencionan algunas características relevantes:

• Los temas se abordan de una forma clara y precisa para una mejor compren-sión.

• La estructura didáctica tiene como propósito facilitar la tarea de los estudiantesy apoyar el trabajo docente.

• El rigor matemático que se aplica no representa ningún obstáculo para que elestudiante que se inicia en el estudio del Cálculo pueda acercarse enteramentea éste y comprender del todo los teoremas, justificaciones y métodos emplea-dos.

• Donde ha sido necesario se han incluido ilustraciones que permiten visualizar,reflexionar y resolver mejor los ejemplos y ejercicios propuestos.

• Se ha procurado equilibrar la teoría del Cálculo con sus aplicaciones a fin deque el estudiante constate la importancia que tiene el Cálculo en la soluciónde problemas.

Finalmente, quiero agradecer a todas aquellas personas que me animaron y apo-yaron para que este proyecto fuese posible, especialmente quiero mencionar a miscompañeros profesores y alumnos, porque es de ellos de quien más he aprendido. Y aquienes dediquen un poco de su tiempo a la lectura y reflexión del Cálculo: gracias.

René Jiménez



Introducción 2Presentación preliminar 3

Límites y continuidad 4

Límite de una variable 6

Límite de una función. Límites laterales 6

Teoremas fundamentales de los límites 8

Límites de funciones polinomiales 9

Límites de funciones racionales 12

Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos,funciones exponenciales, trigonométricas, etc.) 20

Continuidad 26

Teorema del valor intermedio 31

Teorema del valor extremo 32

U N I D A D

1

L Í M I T E S Y C O N T I N U I D A D



2 • UNID A D 1 Límites y continuidad

¿Qué es el cálculo?Para los romanos en tiempos del Imperio el calculus era una pequeña piedra utilizda para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje colquial médico.

Siglos más tarde, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era modernen todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación dlas matemáticas elementales potenciadas con el concepto de límites; en otras palabrael cálculo toma las ideas fundamentales de la matemática elemental y las extrapolasituaciones más generales. Veamos algunos ejemplos en la tabla siguiente.

I N T R O D U C C I Ó N

Movimiento a lo largo deuna recta con velocidadconstante

Movimiento a lo largo deuna curva con velocidadvariable

Volumen de un sólidorectangular

Volumen de un sólidolimitado por unasuperficie curva

Centro de una esfera Centro de gravedad deun sólido más general

Cálculo Cálculo

Matemática elemental Matemática elemental

1 2a a a n+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅1 2

+ + . . . +a a a n

Recta tangente a unacurva más general

Recta tangente a unacircunferencia

y=f(x)

Pendiente de una curva y=mx+b

Pendiente de una recta

Velocidad media Velocidad instantánea

Aceleración instantáneaAceleración media

Área de una región limitadapor segmentos rectilíneos

Suma de una colecciónfinita de números

Suma de una coleccióninfinita de números

Longitud de un segmentode recta

Longitud de una curva

Área de una región limitadapor curvas

Área de la superficiede un cilindro

Plano tangente a unaesfera

Plano tangente a unasuperficie más general

Área de la superficie de unsólido más general



Presentación preliminar •

El concepto de límite ha sido parte fundamental en el desarrollo del cálculo y, en tér-minos generales, de toda la estructura matemática; para comprenderlo será necesarioabrir nuestra mente y hacer uso del razonamiento.

Por ejemplo, al estirar un cable hasta romperlo, se dice que éste sobrepasó su límitede resistencia; si no hubiera fuerza de fricción, un péndulo seguiría oscilando y su mo-vimiento no tendría fin; un globo se revienta cuando alcanza el límite de su capacidad,etcétera.

P R E S E N T A C I Ó N P R E L I M I N A R

Hace por lo menos 2 500 años que surgió el cálculo; losantiguos griegos hallaban áreas mediante el “método delagotamiento”. Esta técnica consistía en dividir el área A deun polígono en varios triángulos, y luego sumar las áreasde estos triángulos. La figura 1 nos muestra el método.

A A A A A A= + + + +1 2 3 4 5

A2

A1

A3 A4

A5

Sin lugar a dudas, era mucho más difícil obtener el área de una figura curva.En este caso, el método del agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígo-nos en torno a la figura y a continuación hacer que el número de lados de los polí-gonos aumentara. La figura 2 nos muestra el método en el caso de un círculo, conpolígonos regulares inscritos.

A1 A 2 A 3 A

4 A 5

Figura 2

Figura 1




Llamemos A el área del círculo y An

el área del polígono inscrito con n lados. Aaumentar n de manera indefinida, parece que A

n se aproxima cada vez más al áre

del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonoinscritos y escribimos

A An n

=→∞

lím

Es conveniente aclarar que los griegos no aplicaron explícitamente los límites.

A = 1a1

a 2

a

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

=== 3 21 4

1aaa

? ?

L Í M I T E S Y C O N T I N U I D A D

Para comprender mejor el concepto de límite en matemáticas, analicemos el siguienexperimento. El triángulo de la figura 1 es equilátero y las figuras sucesivas son réplicde éste, sólo que trazamos a partir de los puntos medios triángulos equiláteros invertdos, pero aumentamos cada vez más el número de ellos. El resultado es el triángulo dSierpinski, un ejemplo de fractal.

Supongamos que A = 1 y enseguida calculemos el valor de a a a1 2 3, , y etcétera

Si siguiéramos trazando triángulos de manera indefinida y en la última figura summos todas las áreas sombreadas a

1 con todas las áreas a

2 y así sucesivamente hasta a

en donde n es un número muy grande, es decir que n tiende hacia el infinito n → ∞

( ) e

lenguaje simbólico esta idea se escribe así;

a a a an

nn

=

∞

∑ = + + ⋅ ⋅ ⋅ +1

1 2

y se lee ‘’la suma de todas las a subíndice n desde n = 1 hasta n = . Con todo essería pertinente formular las siguientes preguntas.



1. ¿Hacia dónde tiende el valor de an

cuando n tiende al infinito n → ∞( )?

Respuesta

2. ¿Cuál es el valor aproximado de a a a an

nn

=

∞

∑ = + + ⋅ ⋅ ⋅ +1

1 2?

Respuesta

3. ¿Cuál es el límite del valor de la diferencia A ann

−=

∞

∑1?

Respuesta

Por cierto, esta última idea se escribe de la siguiente manera;

límn kk

n

A a→∞

=− ∑1

y se lee “el límite del valor absoluto de la diferencia A ak

k

n

−=

∑1

cuando n tiende alinfinito”.

Analiza la tabla siguiente para confirmar tus respuestas a las preguntas 1, 2 y 3anteriores.

n 1 2 3 4 5 n

a n

1

4

1

4

1

4

1

16⋅ =

1

64

1

256

1

1024

1

22n

Límites y continuidad •




Todo lo antes dicho nos enseña que:

1. Cuando n tiende al infinito, an tiende a casi cero como límite, esto se escribe así

límn na→∞ = 0

pero evidentemente an

nunca llega a ser cero.

2. Cuando n tiende al infinito, a a a an

nn

=

∞

∑ = + + ⋅ ⋅ ⋅ +1

1 2 tiende a 1 como límite, e

decir:

lím límn k

k

n

n na a a a

→∞=

→∞∑ = + + ⋅⋅⋅+ =

11 2 1( )

3. Cuando n tiende al infinito, A ann− =

∞

∑1 tiende a cero como límite, es decir:

límn k

k

n

A a→∞

=

− =∑1

0

L Í M I T E D E U N A V A R I A B L E

En general, si A es el área del triángulo inicial y an∑ es la suma de las áreas de lopequeñísimos triángulos que se forman cuando n → ∞ es fácil concluir que la diferenc

A an

− ∑ llega a ser menor que cualquier número positivo pensado de antemano y

llama límite de una variable.

Para calcular y comprender el límite de una función, consideremos la función f x( definida por la ecuación:

f x x

x x( ) =

−−

≠3 1

1, 1

es claro que x ≠ 1 porque la función no está definida para este valor. Enseguida ivestigaremos valores de la función cuando x esté muy próximo a 1 por la izquierda

L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N .L Í M I T E S L A T E R A L E S



por la derecha, es decir, menores y mayores que 1 pero lo más cercanos posible a éste.A esto se le conoce como límite por la izquierda y límite por la derecha de f x( ) y serepresentan de la siguiente manera

Límite por la izquierda Límite por la derecha

lím , x a

f x L x a→ −

( ) = <1 lím x a

f x L x a→ +

( ) = >2 ,

Cuando L1 y L

2 coinciden, se dice que el límite de f x( ) cuando x tiende hacia a es

L, y sólo se escribe así:

lím x a

f x L→

( ) =

En la tabla siguiente ilustramos lo que esto significa. Para una total comprensión tesugerimos que calcules los valores de f x( ) para los valores dados de x:

f(x)

x –2 –0.5 0 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5 2

?

hacia dónde se acerca ? f(x) hacia dónde se acerca ? f(x)

x se acerca mucho a 1 por la izquierda x se acerca mucho a 1 por la derecha

Al comparar ambos lados vemos que f x( ) se aproxima a 3 a medida que x seaproxima a 1 por la izquierda o por la derecha.

Lo que nos enseña este experimento es que cuando el límite por la izquierda esigual que el límite por la derecha se dice que el límite existe, es decir, en notación sim-bólica.

lím x

f x→ −

( ) =1

3 lím x

f x→ +

( ) =1

3, por lo tanto, escribimos lím x

f x→

( ) =1

3

Para comprender la solución algebraica de este ejemplo conviene recordar que unaresta y una suma de cubos se factorizan respectivamente de la siguiente manera:

a b a b a ab b3 3 2 2− = −( ) + +( )

a b a b a ab b3 3 2 2+ = +( ) − +( )

Límite de una función. Límites laterales •




Si utilizamos una técnica algebraica, el límiteanterior puede calcularse de la siguiente manera:

lím lím( 1)(

1 1

2

x x

x

x

x x x

x→ →

−− =

− + +−

3 11

11

)

= + +( )

→lím

1 x x x2 1

= + + =1 1 1 32

El experimento se puede apreciar gráficamenteen la ilustración mostrada a la derecha. El espaciovacío de f x( ) cuando x = 1 significa que la función

no está definida en ese punto.

En general, el análisis anterior nos conduce a la siguiente definición:

y7

6

5

4

3

2

1

–3 –2 –1 1 2 3

Si f x( ) se aproxima de manera arbitraria a un número L cuando x se aproxi-ma a a por la izquierda y por la derecha, decimos que el límite f x( ) cuando x

tiende a a es L y escribiremos:

lím x a

f x L→

=( )

Debemos observar que no es necesario que f x( ) esté definido cuando x a=para que exista el límite, lo que importa es cómo está definida f cerca de a

T E O R E M A S F U N D A M E N T A L E SD E L O S L Í M I T E S

Reglas básicas de los límites

Suponer que lím x a f x L→ =( ) 1 y que lím x a g x L→ =( ) 2. Entonces,1. lím lím

x a x ac f x c f x c L

→ →⋅ = ⋅ = ⋅( ) ( ) 1

2. lím lím lím x a x a x a

f x g x f x g→ → →

± = ±( ) ( ) ( ) ( x x L L) = ±1 2

f x x

x x( ) =

−−

≠3 1

1,



3. lím lím lím x a x a x a

f x g x f x g→ → →

⋅ = ⋅( ) ( ) ( ) ( x x L L) = ⋅1 2

4. lím

lím

lím x a

x a

x a

f x

g x

f x

g x

L

→

→

→= =

( )

( )

( )

( )

11

22 0L L; ≠

5. lím x a

f x f a→

( ) = ( )

Las reglas anteriores pueden expresarse como sigue:

1. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicadapor el límite de la función.

2. El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de los

límites.3. El límite de un producto es el producto de los límites.4. El límite de un cociente es el cociente de los límites.5. El límite de f x( ) cuando x tiende hacia a es f a( ).

L Í M I T E S D E F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S

Veamos cómo es el comportamiento de la función f x x x( ) = − +2 2 para valores muycercanos a 2, e investiguemos si ésta tiende a un límite. La tabla adjunta nos muestralos cálculos para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

2

4

0

f ( x)= x2– x+2

Cuando x tiende a 2

f ( x) tiende a 4

x

y x tiendea 2 por laizquierda

f x ( ) x tiendea 2 por laderecha

f x ( )

1.51.8

1.91.951.991.9951.999

2.7500003.440000

3.7100003.8525003.9701003.9850253.997001

2.52.2

2.12.052.012.0052.001

5.7500004.640000

4.3100004.1525004.0301004.0150254.003001

Límites de funciones polinomiales •




A partir de la tabla y de la gráfica de f x( ) que se muestran en la figura anterioes fácil darse cuenta de que cuando x se acerca a 2 por la izquierda o por la derech f x( ) se aproxima al 4 como límite.

Solución analítica

De manera algebraica y si utilizamos la regla 5, el límite de f x x x( ) = − +2 2 cuando

tiende a 2 puede expresarse y calcularse de la siguiente manera:

lím x

x x f →

− +( ) = ( ) = − + =2

2 22 2 2 2 2 4

Observa que cuando una función está definida para un valor específico de x en s

gráfica el punto x f x, ( )

marca con un círculo relleno.

1. lím x

x→

−( ) =2

2 2 R. 2

20

Cuando x tiende a 2,

¿hacia dónde tiende f ( x)?

x

y

x x f (x) f (x)

Izquierda Derecha

1.5

1.9

1.95

1.99

1.995

1.999

2.5

2.2

2.05

2.01

2.005

2.001

f ( x)= x2–2

E J E R C I C I O S

Calcula los siguientes límites tabulando los valores de la función cerca del punto que indica y verifica tus resultados mediante la regla 5. Marca el límite con un punto.



2. lím x

x→−

+( ) =3

2

3. lím x

x x→

− −( ) =1

2 2 R. − 2

x f(x)

Izquierda

x f(x)

Derecha

x f(x)

Izquierda

x f(x)

Derecha

4. lím x

x x→

− +( ) =0

3 2

x f(x)

Izquierda

x f(x)

Derecha

Límites de funciones polinominales •




Solución analítica

Ejemplo 1. Calcular lím x

x

x→−

+−3

2

2 33 4

mediante la regla 5.

Solución:

lím x

x

x f

→−

+−

= −

3

2

2 33 4

32

, porque f está

definida en x = −3

2 entonces

lím x

x

x→−

+−

= −( )+

−( ) − =

32

32

32

2 33 4

2 3

3 40

Ejemplo 2. Hallar lím x

x

x→−

−−1

6 32 4

mediantela regla 5.

Solución:

lím x

x

x f

→−

−−

= −( )1

6 32 4

1

lím x

x

x→−

−−

= −( ) −

−( ) − =

1

6 32 4

6 1 3

2 1 432

Ejemplo 3. Encuentra el valor de lím x

x

x→

−−1 2

11

Solución: Observa que la función f x x

x( ) =

−−

1

12 no está definida para x = 1 sin embarg

recuerda que la definición de límite nos dice que se consideren valores cercanos a 1 pola izquierda y por la derecha y si en ambos casos el límite es el mismo, entonces ésexiste. Con base en los valores de las tablas adjuntas conjeturamos que;

L Í M I T E S D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S

y

x tiende a

20

f ( x) tiende a 03

–

23

–

Una función racional es de la forma

r x p x

q xq x

( ) = ( )

( ) ( ) ≠; 0

donde p qy son polinomios



lím x

x

x→

−−

=1 2

11

0 5.

y

x < 1 f(x) x > 1 f(x)

0.5 0.666667

0.9 0.526316

0.99 0.502513

0.999 0.500250

0.9999 0.500025

1.5 0.40000

1.1 0.476190

1.01 0.497512

1.001 0.499750

1.0001 0.49997510 x

0.5

Recuerda que la diferencia de doscuadrados se factoriza así:

a b a b a b2 2− = +( ) −( )

Un trinomio como x x2 12− − es de la forma x bx c2 + + y puede factorizarse almultiplicar los binomios x m x n+( ) +( ) donde

m n b+ = mn c=

Solución analítica:

lím lím x x

x x

x x x→ →

−−

= −+( ) −( )1 2 1

11

11 1

=+

=+

= =→

lím x x1

11

11 1

12

0 5.

Ejemplo 4. Encuentra el valor de lím x

x x

x→−

− −+3

2 123

Solución: Como x no está definida para –3 entonces, si se observa la expresión, es fácil

darse cuenta de que el numerador puede factorizarse y obtener el límite

lím lím x x

x x

x

x x

x→− →−

− −+

= +( ) −( )

+3

2

3

123

3 4

3

= −( )→−lím

x x

34

= − − = −3 4 7

Límites de funciones racionales •




E J E R C I C I O S

Calcula los siguientes límites graficando y tabulando donde se te indica.

Por lo tanto, en x x2 12− − ; b c= − = −1 12; ; luego, dos números que sumados resul-ten –1 y multiplicados –12; son 3 y –4 que son m ny respectivamente.

x x x x2 12 3 4− − = +( ) −( )

1. lím x x

x x→− −− +1 2 12 1

R. − 12

2. lím x

x

x→−

−+1

2 11

Izquierda Derecha

x < –1 f(x) x >–1 f(x)

Izquierda Derecha

x < –3 f(x) x >–3 f(x)



3. lím x

x

x→−

−+2

2 11

R. − 3

4. lím x

x

x→−

−+2

2 42

5. lím x

x

x→−

−+3

2 93

R. − 6

Grafica la funciónen computadora

y pégala aquí.


y pégala aquí.

Izquierda Derecha

x < –3 f(x) x >–3 f(x)





6. lím x

x x

x x→−

+ −− −1

2

2

5 43 4

7. lím x

x x

x→−

+ +

+3

2 4 3

3

R. − 2

8. lím x

x

x→

−−2

2

4

416

Grafica la funciónen computadoray pégala aquí.


y pégala aquí.


y pégala aquí.



9. lím x

x x

x→−

+ +−3

2

2

6 99

R. 0

10. lím x

x x

x x→−

+ −+ +4

2

2

126 8


y pégala aquí.


y pégala aquí.

Cálculo de límites de funciones que se tienen que racionalizar

EJEMPLO 1. Determinar lím x

x

x→

−−1

11

Solución: Si utilizamos la regla 5 de los teoremas de límites es evidente que x no estádefinida para 1, pero para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador de lasiguiente manera:

lím lím x x

x x

x x

x x→ →−− = −− +

+1 111 11 11

= −

−( ) +( )→lím x

x

x x1

1

1 1

=+

=+

=→

lím x x1

1

1

1

1 1

12





Racionalización. Es el proceso mediante el cual transformamos una fracción quetiene un numerador o denominador irracional en una fracción equivalente connumerador o denominador racional según convenga. Este proceso se lleva a cabo

con tan sólo multiplicar la fracción por la unidad.

1

2

1

2

2

2

2

2= =

Cuando la cantidad que se va a racionalizar es un binomio, se multiplica y dividepor su conjugado.

x

x

x

x

x

x x x

−−

+

+=

−

−( ) −

( )

=+

11

1

1

1

1 1

1

1

EJEMPLO 2. Calcular lím0 x

x

x→ + −1 1 y bosquejar su gráfica.

Solución: Como la función no está definida para x = 0 racionalizamos el denomnador

lím lím0 x x x

x x

x x x→ →+ − = + − + ++ +1 1 1 1 1 11 10

=+ +( )

+ −→lím

0 x

x x

x

1 1

1 1

=+ +( )

→lím

0 x

x x

x

1 1

lím x

x→

+ +( ) = + + =0

1 1 0 1 1 2

La gráfica de f x x

x( ) =

+ −1 1 se muestra en la figura y puede obtenerse con u

programa para graficar o bien si se tabulan los valores en su ecuación.

y



E J E R C I C I O S

Probar cada uno de los siguientes límites.

1. lím x

x

x→

−−

=4

24

14

2. lím x

x

x→

−−

=2

22

1

2 2

3. lím x

x

x→

+ −=

0

1 1 12





EJEMPLO 1. Determinar lím x x→0

1 mediante tabulación y gráfica

4. lím x

x

x→ − −= −

0 1 12

C Á L C U L O D E L Í M I T E S D E F U N C I O N E S E S P E C I A L E S

x < 0

f(x) x > 0

f(x)

–

–

–

0.100000

0.010000

0.001000

0.000100

0.000010

0.000001

0 0.100000

0.010000

0.001000

0.000100

0.000010

0.000001

010

100

1000

10000

100000

1000000

1000000

100000

10000

1000

100

10

+

-

+

x

y

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

Conforme x → 0; f x x( ) =1

tiende hacia −∞ por la izquierda y hacia +∞ por derecha, de modo que los valores de f x( ) tienden a un número; por lo tanto, lím

x →0

no existe.El símbolo ∞ significa que estamos hablando de un número muy grande respec

de otro.



EJEMPLO 2. Encuentra lím x x→0 2

1

Solución: Con la tabla y la gráficaes fácil conjeturar que

lím x x→0 2

1 no existe

EJEMPLO 3. Encuentra lím x

x x

→+

0

3 510 000cos

Solución: Mediante la regla 5 es fácil encontrar la solución

lím000 x

x x

→+

= +

( )0

3 3510 000

05 0

10cos cos

== =1

100 0001

000.

EJEMPLO 4. Encuentra lím x

x x

x x→∞

− +− −

=2 3 43 2 5

23

2

2

Si usamos la regla 5

lím x

x x

x x→∞− +− −

= ∞2 3 43 2 5

2

2

Entonces, para evitar la indeterminación se divide cada término del numeradory del denominador entre la potencia más grande de x que es x2. Aquí te decimoscómo:

lím lím x x

x x

x x

x

x

x

x x→∞ →∞

− +− −

=− +2 3 4

3 2 5

2 3 42

2

2

2 2 2

33 2 52

2 2 2

x

x

x

x x− −

=− +

− −=

→∞lím x

x x

x x

23 4

32 5

23

2

2

x

y

1 10.5 40.2 250.1 1000.05 4000.01 10 0000.001 1 000 000

x

2

1

x __

2

1

x y =

Cálculo de límites de funciones especiales •




EJEMPLO 5. Probar que si, f x x x( ) = −2 42 entonces límh

f x h f x

h x

→

+ −= −

04 4

( ) ( )

Primero busquemos f x h+( ) ;

f x h x h x h+( ) = +( ) − +( )2 42

= + + − −2 4 2 4 42 2 x xh h x h

Enseguida restamos f x( ) de f x h+( );

f x h f x x xh h x h x x+( ) − ( ) = + + − − − −( )2 4 2 4 4 2 42 2 2

= + −4 2 42 xh h h

= + −h x h( )4 2 4

por lo tanto,

lím lím límh h h

f x h f x

h

h x h

h→ → →

+ −=

+ −( )=

0 0

4 2 4( ) ( )00

4 2 4 4 4 x h x+ −( ) = −

E J E R C I C I O S

1. Determinar lím x

x→∞

1 por medio de tabulación y gráfica

x

y

f(x) x



2. Encuentra lím x x→ −( )1 2

1

1 por medio de tabulación y gráfica

3. Hallar lím sen x

x

→

π

32

Recuerda que π = 1800 R. 1−

4. Hallar límsen

x

x

x→0 tan Recuerda que π = 1800. Sugerencia: sustituye tan x por

sen x

xcos.

f(x) x

x

y

1





5. Hallar límsen

x

x

x→π tan. Sugerencia: sustituye tan x por

sen x

xcos

6. Por medio de tabulación encuentra lím x

x

x→∞ +

1

1

7. Investiga por medio de tabulación y gráfica si existe lím x

x

x→0.

x

10,000,0001,000,000

100,000

10,000

1,000

100

10

5

1 2.00000 2.00000

x

y

(0,1)

(1+ ––) x 1 x (1+ ––)1

x

x f(x)

x

y



Ejercicios 10-12. Determina para cada función, límh

f x h f x

h→

+( ) − ( )0

8. Demostrar que lím x

x x

x x→∞

+ −− +

=3 2 55 3 2

35

3 2

3

9. Demostrar que lím x

x x x x→∞

+ −− +

=3 2 52 3 2

32

2

2

10. f x x( ) = −3 2 R. 3





En matemáticas, el término continuidad significa lo mismo que en el lenguaje cotidianDecir que una función f es continua en x a= debe de entenderse como que su gráficno sufre interrupción en a que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, en

figura siguiente se muestran tres valores de x en los que la función no es continua.En los demás puntos del intervalo (A, B) la gráfica no se interrumpe y decimos qula función es continua en ellos. Por lo tanto, definamos la continuidad de una funció f como sigue:

11. f x x x( ) = − +2 2 3

12. f x x( ) = −

32 3

R. 62 3

−−( ) x

2

C O N T I N U I D A D



Continuidad en un punto: Una función se dice continua en a si se verifican lassiguientes condiciones

1. f a( ) está definido.

2. lím x a

f x→

( ) existe.

3. lím x a

f x f a→

=( ) ( ).

Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un inter-valo A,B( ) si es continua en todo número del intervalo.

Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, la velocidad de un móvilo la estatura de una persona varían de forma continua con el tiempo, pero en realidad

se presentan discontinuidades como en las corrientes eléctricas o en el desplazamientode la luz.

EJEMPLO 1. Verificar si la función f x x

( ) =1

es continua en el intervalo 0 1< < x

Solución:

f x( ) está definida en el intervalo

lím x a

f x→

( ) existe en el intervalo

lím x a f x f a→ =( ) ( ) en el intervalo

Si trazamos la gráfica vemos que la función cumple las condiciones decontinuidad en el intervalo 0 1< < x .

Es importante observar que la función en x = 0 no está definida y comovimos antes el límite ahí no existe cuando x tiende a cero; por lo tanto, lafunción en ese punto no es continua.

Indica en qué punto son discontinuas y dibuja su gráfica.

y

0 1

x

y

f(x)no está definido

f(x)tiene un salto

lím f(x)no coincide

A B

Continuidad •




EJEMPLO 2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en cascontrario escribe los puntos de discontinuidad

a) f x x

x

( ) = −

−

2 1

1

b) g x

x

( ) =1

2 c) h x x( ) =

a) Solución:

En la ecuación de la función es evidente que no esté de-finida para f 1( ); por lo tanto, no es continua en el punto1 2,( ). Aquí te mostramos su gráfica.

b) Solución:

En este caso la ecuación de la función tampoco está defi-nida para f 0( ) y además lím

x f x

→ ( )

0 no existe; por lo tanto,

la función no es continua en x = 0.

c) Solución:

La función h x x( ) =

se llama mayor entero y tiene

discontinuidades en todos los enteros porque lím x n

x→

no existe; por lo tanto, la función no es continua si n esun entero.

EJEMPLO 3. Con la ayuda de la gráfica adjunta determina cada uno de los límitesiguientes

a) lím x

f x→ −

( )2

b) lím x

f x→ +

( )2

c) lím x

f x→

( )2

y

0 1

y

y



x

y

2

Solución:

a) lím x

f x→ −

( ) =2

2

b) lím x

f x→ +

( ) =2

1

c) lím x

f x→

( ) = −2

2

E J E R C I C I O S

1. Usa la gráfica y escribe los puntos de discontinuidad de cada una de ellas (si los hay).

a) f x x

( ) = −3

2 b) f x

x

x( ) =

−2 1

c) f x x

x( ) =

−+

2 1

1 d) En f x x( ) = −1 2 escribe su intervalo de conti

nuidad.

x

y

x

y

x

y

x

y

1–1

Continuidad •




2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso con-trario indica en qué punto son discontinuas. Dibuja su gráfica.

a) f x x x

( ) = −+11

2

b) g x x

( ) = −1 1 c) h x x( ) =

3. En un lote de estacionamiento se cobran $30por la primera hora (o fracción) y $15 por cadahora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximode $90. Grafica el costo de estacionar un auto-móvil, como función del tiempo que permanez-ca aquí.

0 1 2 3 4

90

60

30

tiempo

Costo

4. Con ayuda de las gráficas adjuntas determina cada uno de los límites pedidos

a) l mí x

f x→ −

( ) =2

a) l mí x

f x→− −

( ) =1

b) l mí x

f x

→

+( ) =

2

b) l mí x

f x

→−

+( ) =

1

c) l mí x

f x→

( ) =2

c) l mí x

f x→−

( ) =1

x

y

2

y=f (x)

x

y

y=f (x)

–1



Una función continua sobre un intervalo no se salta, ni deja huecos, ni se interrumpe en ningún valor y como consecuencia, su gráfica es una cur va de un sólo trazo.Éste es el fundamento del teorema de los valores intermedios.

T E O R E M A D E L V A L O R I N T E R M E D I O

Teorema del valor intermedio. Si y f x= ( ) es una función continua sobre el inter-valo a b, y N es cualquier número estrictamente entre f a( ) y f b( ) Entonces,

por necesidad, existirá un número c entre a b,( ) que cumpla que f c N ( ) =

Este teorema afirma que una función continua toma todos los valores intermedios

entre los valores de la función f a( ) y f b( ) Observa que el valor N se puede tomaruna sola vez como en la gráfica de la izquierda o varias veces como en la gráfica de laderecha.

Un uso de este teorema es hallar las raíces de ecuaciones, pero debido al desarrollotecnológico de las calculadoras y las computadoras graficadoras, ya casi no se utiliza;sin embargo, el teorema del valor intermedio desempeña una función importante enestas máquinas ya que una computadora cuando grafica, calcula un número finito depuntos de la gráfica y hace aparecer los píxeles que contienen estos puntos calculados.Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos pun-tos consecutivos. Luego, la computadora une los píxeles al hacer aparecer los píxelesintermedios.

EJEMPLO. Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raízde la ecuación x x3 3 1 0− + = en el intervalo 0 1,( ).

y

x

y=f (x)

a c b

f (b)

f(c)=N

f(a)

f (b)

f(c)=N

f(a)

y

x

y=f (x)

a c1

bc 2

Teorema del valor intermedio •




Solución:

Estamos buscando un valor de c que este entre 0 y 1 quesea solución de x x3 3 1 0− + = es decir que f c( ) = 0. Por lo

tanto, en el teorema anterior a = 0 b = 1 y N = 0.

f 0 0 3 0 1 1 03( ) = − ( ) + = >

f 1 1 3 1 1 1 03

( ) = ( ) − ( ) + = − <

Esto significa que N = 0 es un número entre f 0( ) y f 1( ), es decir que la ecuaciótiene por lo menos una raíz en el intervalo 0 1,( ) y si aplicamos de nuevo el teorempara precisar más el valor de la raíz tenemos, por ejemplo, que:

f 0 3 0 3 3 0 3 1 0 127 03

. . . .( ) = ( ) − ( ) + = > y f 0 4 0 4 3 0 4 1 0 136 03

. . . .( ) = ( ) − ( ) + = − <

f 0 34 0 34 3 0 34 1 0 0193 03

. . . .( ) = ( ) − ( ) + = > y

Significa que una raíz debe estar en el intervalo 0 34 0 35. , .( ), de hecho, una comptadora nos da el valor 0.3473. Vea la gráfica.

x=0.347

*

T E O R E M A D E L V A L O R E X T R E M O

Hasta ahora hemos visto que las funciones pueden crecer o disminuir de valor en fución de su gráfica. En el teorema siguiente se dan las condiciones que nos garantizaque una función tenga valores extremos.

Teorema del valor extremo. Si y f x= ( ) es una función continua y está acotada enel intervalo a b, , entonces f x( ) alcanza un valor máximo M y un valor mínimom en el intervalo.

xa b

m

y

M

f 0 35 0 35 3 0 35 1 0 0073

. . . .( ) = ( ) − ( ) + = − <



Es conveniente observar que cuando se omite cualquiera de las dos condiciones;continuidad o intervalo cerrado la función no tiene que poseer valores extremos.

La primera función de la figura anterior, está definida en el intervalo cerrado 1 5, pero falla la continuidad, fíjate que no tiene máximo, la función toma valores arbitra-rios cerca de 7 pero nunca alcanza dicho valor. La gráfica de la derecha en la mismafigura tiene continuidad en el intervalo abierto 0 4,( ) pero no tiene valor máximo nimínimo.

Por ahora quisimos adelantarnos sólo sobre las condiciones que debe tener una fun-ción para poseer valores extremos. Sin embargo, en secciones posteriores abordaremoseste teorema con más calma y profundidad, así como su utilidad práctica.

Esta función tiene un mínimo

de f (1)=1 pero no tiene valor

máximo, no es continua.

Esta función no tiene ni mínimoni máximo, es continua pero no

tiene cerrado el intervalo.

x

y

x

y

Teorema del valor extremo •



La derivada como razón de cambio 36

Interpretación geométrica de la derivada 38

Diferenciabilidad 41

La velocidad como una razón de cambio 43

Reglas para derivar 48

Regla de la cadena 55Regla para derivar un producto 59

Regla para derivar un cociente 63

Derivadas de funciones trigonométricas 70

Derivadas de funciones trigonométricas inversas 80

Derivadas de funciones exponenciales 85Derivadas de funciones logarítmicas 90

Derivadas de funciones implícitas 95

Ecuaciones de la tangente y de la normal 97

2

R A Z Ó N D E C A M B I O Y L A D E R I V A D A

U N I D A D



36 • UN I D AD 2 Razón de cambio y la derivada

Si, en y f x= ( ) calculamos:

lím∆ x

f x h f x

h→

+ −0

( ) ( )

lo que estamos encontrando por definición es la derivada de la función y f x= ( ).

Por convención y para fines prácticos emplearemos el símbolody

dx para denot

dicho límite.

Por lo tanto, decimos que si y f x= ( ) su derivada esdy

dx = lím

∆ x

f x h f x

h→

+ −0

( ) (

y se lee “la derivada de y con respecto a x”. Es importante aclarar que dicha expresióno debe verse como una fracción sino como lo que es: “un límite” o un operador diferencial que nos está indicando una razón de cambio de una variable dependiente, corespecto de otra independiente, x.

Algunos otros símbolos para indicar la derivada son: y', f x'( ),df x

dx

( ), D

x

E J E M P L O

Si, f x x x( ) = −2 2 hallar su derivada

Primero encontramos f x h( )

+

f x h( )+ = ( ) ( ) x h x h+ − +2 2

= x xh h x h2 22 2 2+ + − −

luego restamos f x( )

f x h f x( )+ − ( ) = x xh h x h2 22 2 2+ + − −

− + x x2 2 2 22 xh h h+ −

dividimos entre h; por lo tanto,

f x h f x

h

xh h h

h

( ) ( )+ −=

+ −2 22

= + −h x h

h

( )2 2

= + −2 2 x h

L A D E R I V A D A C O M O R A Z Ó N D E C A M B I O



por último calculamos el límite que estamos buscando y es precisamente la derivada

lím límh h

f x h f x

h x h

→ →

+ −= + −( )

0 02 2

( ) ( ), entonces

df x

dx x

( )= −2 2 , que se lee “la derivada de f x( ) con respecto a x es 2 2 x − ”.

E J E R C I C I O S

En cada una de las funciones siguientes encuentra su derivada.

1. f x x( ) = −2 3 R. − 3 2. f x x( ) = −1 2

3. s t = −3 12 R t . 3 24. y x= − 4

La derivada como razón de cambio •




La línea tangente

El concepto de límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción de línetangente.

En la figura sea P un punto fijo y Q un punto móvil próximo a P. Observa que recta secante que pasa por P y Q, tiene como posición límite la recta tangente encuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.

5. f x x

( ) =−

1

1

R

x

. −−( )

1

12

6. f x x( ) = + 1 7. y x= −( )2 2 R x. 2 4−

I N T E R P R E T A C I Ó N G E O M É T R I C AD E L A D E R I V A D A



También vemos que la pendiente de la secante es m f x h f x

h s e c =

+ −( ) ( ).

recta secante

posiciónlímite

x

h

P(x, f(x))

x+h

Q(x+h, f(x+h))

recta secante

posiciónlímite

x

h

P(x, f(x))

x-h

Q(x-h, f(x-h))

P( 2, 3 )

y =4x-5

x

y

En consecuencia, la línea tangente es la recta que pasa por P con pendiente mt a n

que satisface

m m f x h f x

t a n h s e c h 0lím ( lím= =

+ −→ →0

)( ) ( )) ( )

h

df x

dx=

Definición. Se dice que la derivada de una función y f x= ( ) desde el punto de vistageométrico es la pendiente de la recta tangente a f x( ) en un punto dado P ( , ) x y :

dydx

m=

E J E M P L O

Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la f x x( ) = −2 1 en el puntoP(2,3).

Primero calcula:

f x h f xh

x h xh

( ) ( ) ( ) ( )+ − = + − − −

2 2

1 1

=

+ + − − +

= +

= +

x xh h x

h

h x h

h x h

2 2 22 1 1

22

( )

( )

Interpretación geométrica de la derivada •




Ejercicio 2. Halla la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f x x( ) = −1 2 en el punto P(2, –3). Traza la gráfica.

luego, m f x h f x

h x

t a n x xlím lím=

+ −=

→ →∆ ∆0 02

( ) ( )( ++ =h x) 2

por lo tanto, m xt a n

= 2 en cualquier punto; mtan

= 2(2) = 4 en x = 2.

Recordemos que la ecuación de una recta está dada por y y m x x− = −( )1 1 por

tanto, la ecuación de la recta tangente es:

y x

y x

y x

− = −

= − +

= −

3 4 2

4 8 3

4 5

( )

Ejercicio 1. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva y x x= − + +2 2 2 en

el punto donde x = 2

R x y. 2 6 0+ − =

( 2, 2 )

x

P

y



Ejercicio 3. Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función f x x( ) = +3 1 en el punto P(1, 2). Traza la recta tangente y marca el punto de tan-gencia.

R x y. 3 1 0− − =

Ejercicio 4. Encuentra los puntos de la función f x x

( ) =1

donde su pendiente es–1/4. Traza las rectas tangentes en dichos puntos.

Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedades deseables para unafunción y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan entre sí.

D I F E R E N C I A B I L I D A D

Si f es diferenciable en a o en todo un intervalo a b,( ) entonces, f es continuaen a y en el intervalo a b,( ).

Diferenciabilidad • 4




¿Cómo saber cuándo y dónde se puede derivar una función y f x= ( )?

La interpretación geométrica de la derivada nos da la respuesta, ya que si una función f en algún punto no tiene tangente debido a que f tiene esquinas o retorcimientos o no es continua, evidentemente en esos espacios la función no es diferenciable.

a x

y

recta tangente

a x

y

Una función no diferenciable, en a con el acercamiento se v

mejor la esquina o el punto agudo que no se puede eliminar

Una función diferenciable, en a el acercamiento nos muestra

que la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia

de una recta

a x

y

recta tangente

a x

y

recta tangente

a x

y

Una esquina, pendiente infinita Un cambio de concavidad Una discontinuidad

Otra manera de verificar la diferenciabilidad es a través de una calculadora grafcadora.



Velocidad media. El móvil representado por un automóvil en la parte superior tiene undesplazamiento inicial s

0 y cambia a un desplazamiento final s en un tiempo ∆t ; enconsecuencia, su velocidad promedio es:

vmed

= = −∆

∆ ∆

s

t

s s

t 0

Los experimentos demuestran que un cuerpo que cae libremente desde el reposo se

desplaza s t t ( ) .= 4 9 2 metros en t segundos. De manera que cae 4 9 1 4 92

. .( ) = metros en

1 segundo y 4 9 2 19 62

. .( ) = metros en los 2 primeros segundos, y así sucesivamente:

s 1 4 9 1 4 92

( ) = ( ) =. . ; s 2 4 9 2 19 62

( ) = ( ) =. .

Es decir, en el intervalo de tiempo ∆t seg= −( )2 1 se desplazó ∆ s = −( )19 6 4 9. . m;entonces, la velocidad promedio de caída es:

vmed

= = −

− =

∆

∆

s

t

m

segm seg

( . . )( )

. /19 6 4 9

2 114 7

Velocidad instantánea. Pero si en el ejemplo anterior quisiéramos medir la velocidad v

en un instante t cualquiera (∆

t →

0) lo que estaríamos midiendo sería una velocidadinstantánea o verdadera por la precisión; ésta sería el límite de la relación ∆

∆

s

t cuando

el tiempo tiende a cero.Por lo tanto, y por la definición de derivada, la velocidad instantánea sería:

v lím lím0

= = + −

→ →∆ ∆

∆

∆

∆

∆t t

s

t

s t t s t

t 0

( ) ( ) o bien v =

ds

dt

s0

s

D

vv0

s

L A V E L O C I D A D C O M O U N A R A Z Ó N D E C A M B I O

La velocidad como una razón de cambio • 4




Se dice entonces que la velocidad instantánea de un móvil es también la derivadde su desplazamiento con respecto al tiempo:

v = ds

dt

Por ejemplo, si quisiéramos saber la velocidad de caída de un objeto en el precisinstante de 1.2 segundos tendríamos que calcular:

v lím= = + −

→

ds

dt

s t t s t

t t ∆

∆

∆0

( ) ( )

v lím= + −

→∆

∆

∆t

t t t

t 0

2 24 9 4 9. ( ) .

=

+ + −→lím∆

∆ ∆

∆t

t t t t t

t 0

2 2 24 9 2. [ ( ) ]

=

+= ( ) +( ) =

→ →lím lím∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

t t

t t t

t t t

0 0

4 9 24 9 2

. ( ). 44 9 2 9. .( )( ) =t

v v= ⇒ = =9 8 1 2 9 8 1 2 11 76. ( . ) ( . )( . ) . /t m seg

Otras razones de cambio

Es importante aclarar que la derivada mide cualquier cambio con respecto al tiempo,que en ese sentido la vamos a estudiar a lo largo de todo el curso; es decir, la derivad

significa una razón de cambio de un fenómeno natural, social, económico, la velocidade un móvil, la rapidez con que actúa un medicamento, etcétera.Los físicos se interesan por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respect

al tiempo ( potencia), los químicos en una reacción química estudian la llamada velocidad de reacción. Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costde producir x toneladas de acero por día (costo marginal ), un biólogo se ocupa de razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempetcétera.

Todas estas razones de cambio implican un significado de la interpretación geomtrica de la derivada o interpretación de pendientes de tangentes no sólo en el sentidgeométrico, sino que al mismo tiempo resolvemos situaciones que se presentan en lo

diferentes campos del conocimiento de la ciencia y la ingeniería en donde intervienelas razones de cambio.

E J E M P L O

Una empresa productora de acero produce x toneladas de este material a un costo dC f x= ( ).



a) ¿Qué significa f x( )? ¿Cuáles son sus unidades?

b) ¿Qué significado tiene f 500 100( ) = ?

S o l u c i ó na) f x( ) significa la razón de cambio instantánea de C con respecto a x es decir,

la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de tonela-das de acero producidas. Los economistas llaman a esta razón de cambio costo

marginal .

Como

f x dC

dx( ) =

y C está expresada en dólares y x en toneladas, las unidades de f x( ) sondólares por tonelada.

b) La proposición f 500 100( ) = significa que, después de fabricar 500 toneladasde acero, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 100 dólarespor tonelada.

E J E R C I C I O S

Resolver cada una de las siguientes situaciones considerando la derivada como una

razón de cambio.

1. a) Hallar la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo,en el instante t = 5 3. segundos.

b) ¿Cuánto tardará el cuerpo en alcanzar una velocidad instantánea de65 m seg/ ?

v =

=

51 94

6 63

. /

.

m seg

t seg


v = t 9.8




2. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil queviaja a una velocidad de v millas por hora es c = f (v).

a) ¿Cuál es el significado de f v( )? ¿Cuáles son sus unidades?

b) ¿Qué significa f 20 0 5( ) = − . ?

3. Suponer que un cuerpo cae desde el reposo s t = 16 2 pies en t segundos.

a) ¿Qué distancia caerá entre t t = =3 4y ?

b) ¿Cuál será su velocidad media en el intervalo 3 4≤ ≤t ?

c) Encuentra la velocidad instantánea en t = 3.




4. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa C t t ( ) = +1

212

gramos después de t horas.

a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 2 01≤ ≤t . ? R gr . .0 02005b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo 2 2 01≤ ≤t . ?

R gr hr . /2

c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2?R gr hr . /2

5. Un negocio está prosperando de tal modo que su beneficio total después de t años es G t ( ) = 1000 t 2.

a) ¿Cuánto producirá el negocio durante el tercer año, es decir, entret t = =2 3y ?

b) ¿Cuál es su tasa promedio de utilidad (utilidad promedio marginal ) duranteel primer semestre del tercer año (entre t t = =2 2 5y . )?

c) ¿Cuál es la tasa instantánea de utilidad (utilidad marginal ) para t = 2?




Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso tedioso y qudemanda mucho tiempo. Ésa es la razón por la que se han desarrollado instrumento(teóricos y tecnológicos) que permiten acortar el largo camino que hemos visto hastaquí.

Recuerda que la derivada de una función f x( ) nos produce otra función. Este proceso lo podemos esquematizar de la siguiente manera:

y =f(x)Operación

de derivar f´(x)

y = x

m=1

R E G L A S P A R A D E R I V A R

Regla 1. La derivada de una función constante f x c( ) = es cero. Cuando una funció f x( ) no tiene cambios su pendiente es cero.

d c

dx

( )= 0

E J E M P L O

Si y dy

dx

d

dx= − ⇒ =

−5

5( )

dy

dx= 0

Regla 2. La derivada de la función identidad f x x( ) = es 1. La razón de cambio es 1 a

d x

dx

( )= 1

y = cm=0



Reglas para derivar • 4

Para demostrar la regla número 3 es conveniente recordar que:

a b a na b n n

a b nab bn

n n n n+( ) = + + −

+ ⋅ ⋅ ⋅ + +− − −1 2 2 11

2

( ) nn

Regla 3. Si f x xn( ) = , entonces su derivada es,d x

dxnx

nn( )

= −1 . Es decir,

df x

dx

x h x

hh

n n( ) ( )=

+ −→

lím0

df x

dx

x nx h n n

x h

h

n n n

( )=

+ + −

+

→

− −

lím0

1 2 212

( )( ) ⋅⋅ ⋅⋅ + + ( ) −−nx h h x

h

n n n( ) 1

=+

−+ ⋅ ⋅ ⋅ +

→

− − −

lím0h

n n nh nx n n

x h nx h[( )

( )1 212

22 1+ ( )

−h

h

n

]= −nxn 1

Dentro del paréntesis todos los términos tienen como límite cero excepto uno, elque no tiene como factor a h.

E J E M P L O S

1) d xdx

x( )3 23= n = 3, n − 1 = 2

2) d x

dx x

x

( )−−= − = −

56

65

5 n = −5, n − 1 = −6

3) d

dx x

d x

dx x3

32 1

232

= =( )

n =32

, n − 1 =12

Regla 4. Regla del múltiplo constante. Si c es una constante y f x( ) una función, entonces:

d

dxcf x c

d

dx f x( ) ( )=

La justificación se deja como ejercicio.




Regla 5. Regla de la suma. Si u w, yv son funciones de x entonces:

d

dxu w

du

dx

d

dx

dw

dx( )+ − = + −v

v

Justifica la regla como un ejercicio de tarea.

4) d

dx x x x x x

d

dx x

d

dx x7 4 3 2 7 43 10 5 2 8 3− + − + −( ) = ( ) − ( ) + 110 5 23 2d

dx x

d

dx x

d

dx x

d

dx( ) − ( ) + ( )− (

= − ( ) + ( ) − ( ) + ( ) −7 3 4 10 3 5 2 2 1 06 3 2 x x x x

= − + − +7 12 30 10 26 3 2 x x x x

5) Encuentra los puntos de la curva y x x= − +4 26 4 donde la recta tangente sea horzontal.

S o l u c i ó n

Aquí buscamos los puntos de la gráfica en donde la derivadasea cero porque se tienen tangentes horizontales.

dy

dx x x x x= −

( )+ = −

4 6 2 0 4 12

3 3

4 12 4 3 03 2 x x x x− = −( ) =

Al resolver la ecuación anterior tenemos valores para x igual a 0 3 3, , − qu

nos darían los puntos − −( ) ( ) −( )3 5 0 4 3 5, , , , ,

E J E R C I C I O S

Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.



1. y x= 2 3

R x. 6 2 2. y x= π 2

3. y x

= −24

R x

. 85

4. y x

= 45 5

5. y x x x

= − + −3 222

4π

R x x

. − + +2 28

5π

6. f x x( ) = 53 . Reescribe x x535

3=

Reglas para derivar •




9. y x x x= − + −11 2 3 43 3

R x x

. 33 212

23− +

10. y x x= − + −5 3 196 5 11. y x x= + −3 3 217 2

R x x. 21 66 +

7. y x

=3

3 R

x. −

143

8. y x x x x= − + − + −4 23 6 2 1



12. y x x= +− −3 25 3

13. y x x

= −2 1

2 R

x x. − +

2 22 3

14. y x

x= +1

22 15. y

x x= −

1

2

13 4

R x x

. − −3

2

44 5

16. Encuentra todos los puntos de la gráfica de y x x= −3 2 donde la tangente sea horizontal. Grafica las tangentes horizontales.

Reglas para derivar •




18. Un viajero espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y x= 2 Cuando apague susmáquinas, se alejará a lo largo de la línea tangente en el punto donde esté en ese momento. ¿En qué puntodeberá apagar las máquinas para alcanzar el punto (4, 15)?

19. Una mosca camina de izquierda a derecha a lo largo de la curva y x= −7 2. Una araña esperaen el punto (4, 0). Encuentra la distancia entre el insecto y el arácnido cuando se ven por pri-mera vez. (Vea la figura).

R d. = 45

–3 –2 –1 1 2 3

6

5

43

1

2

–14

araña

17. Halla los puntos de la gráfica de y x x x= + −1

33 2 donde la tangente tenga pendiente 1.

R x x. . .;1 2

0 7320 2 7320≈ ≈ −



20. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los t segundos está dada por s t t = − + +16 40 1002 .

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 2?

b) ¿Cuándo es cero la velocidad instantánea?

1004016 2

++−= t t s

21. Una bola rueda hacia abajo en un largo plano inclinado de modo que su distancia s al puntode partida después de t segundos es de s t t = +4 5 22. pies. ¿Cuándo alcanzará la velocidadinstantánea de 30 pies por segundo?

v

R E G L A D E L A C A D E N A

Regla 6. Si y f u u g x= =( ) ( )y tenemos que,

dudx

nu dudx

n n= −1

D e m o s t r a c i ó n

Supongamos que y un= entonces,dy

du

d

duu nun n= = −1 de acuerdo con la regla 3.

Regla de la cadena •




Ahora bien, estarás de acuerdo en que:

dy

dx

dy

du

du

dx

d

duu

du

dx

n= ⋅ =

⋅

Por lo tanto,dy

dxnu

du

dx

n= −1 . Por cierto, este proceso también se conoce como regla dla cadena.

E J E M P L O S

1) Encuentra la derivada de y x= −( )3 2 3 .

S o l u c i ó n

Hagamos n u x

du

dx x= = − ⇒ = −

3 3 2

2

y ; por lo tanto: y u= 3 si hacemos que u x= −3 2,

dy

dxu

du

dx x x= = −( ) −( )3 3 3 22 2 al derivar y sustituir u y

du

dx

dy

dx x x= − −( )6 3 2

2 al simplificar.

2) Encuentra la derivada de y x

=−

3

52.

S o l u c i ó nHagamos n u x

du

dx x= − = − ⇒ =1

22 2y 5 ; por lo tanto:

yu

u= = −3

31

2 si hacemos que u x= −2 5

dy

dxu

du

dx x x= −

= − −( ) ( )−

−

31

2

3

25 2

3

2 23

2 al derivar y sustituir u ydu

dx

dy

dx

x

x

= −

−( )

3

52 3

al simplificar.

E J E R C I C I O S

Calcula la derivada de las siguientes funciones.



1. y x= −2 33

Reescribe la función como y x= −( )2 331

2 .

2. y x= −( )3 710

dy

dx

x

x=

−

3

2 3

2

3

3. s t t = − +( )2 55 2 4. y

x=

−

5

5 33

5. f x x

( ) =−

3

43

6. y x x= − +23 2 1

Regla de la cadena •

dsdt

t t t = −( ) − +( )10 25 5 22 4

dy

dx

x

x

= −

−( )

9

4

2

32




9. y x

= −+

1

1

10. y x x= +

11. Un automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula V t t

=+ +

7500

1 0 4 0 1 2. ., donde t = 0 re-

presenta en (años) el momento de la compra. ¿A qué razón se deprecia el automóvil 2 años

después de su compra?dV

dt

= 1239 66.

7. y x= − −3 2 94

8. st

=−

1

22

dy

dx x

=

−( )

27

2 93

4

dy

dx x x

=

+( )

1

2 1 2



Regla 7. La derivada del producto de dos funciones derivables f x( ) y g x( ) viene dadapor:

d

dx f x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )


d

dx f x g x

f x h g x h f x g x

h( ) ( ) =

+( ) +( ) − ( ) ( )→

lím0 hh

= + + − +( ) ( )+ +( ) ( ) −→

límh

f x h g x h f x h g x f x h g x0

( ) ( ) f f x g x

h( ) ( )

= +( ) +( ) − ( )

+ ( ) +( ) − ( )

→límh

f x h g x h g x

h g x

f x h f x

h0

= +( ) ⋅ +( ) − ( )

+ ( )→ →

lím lím límh h

f x h g x h g x

h g x

0 0∆

∆ x x

f x h f x

h0→

+( ) − ( )

= ( ) ( )+ ( ) ( ) f x g x g x f x

Sugerencia. Es conveniente memorizar la regla del producto de la siguiente manera:

La primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la se-gunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

E J E M P L O S

1) Encuentra la derivada de y x x= +( )2 1

S o l u c i ó n

Primero hacemos f x x( ) = , entonces f x( ) = 1, luego,

g x x( ) = +2 1 y g x x( ) = 2

R E G L A P A R A D E R I V A R U N P R O D U C T O

Regla para derivar un producto •




Aplicamos la regla del producto:

dy

dx x x x= ( ) + +( )( )2 1 12

= + +2 12 2 x x

= +3 12 x

2) Encuentra la derivada de y x x= −( ) −2 3 2

S o l u c i ó n

Hagamos f x x( ) = − 2 entonces f x'( ) = 1; luego,

g x x( ) = −( )3 212 y g x x x( ) = −( ) −( )

−1

23 22

12

g x x

x

( ) = −−( )3 2

1

2

Ahora aplicamos la regla 7:

dy

dx

x x

x

x= −( ) −

−( )

+ −( ) ( )2

3

3 1

2

1

2

21

2

= − +

−( )

+ x x

x

2

21

2

2

3

32 3

3

21

2

2 21

2

1

2

21

2

−( ) = − + + −( )

−( )

+

x x x x

x

= − + + −( )

−( )=

− + + −

−( )=

x x x

x

x x x

x

2 2

21

2

2 2

21

2

2 3

3

2 3

3

3 2 2

3

2

21

2

+ −

−( )

x x

x

E J E R C I C I O S

En los ejercicios siguientes encuentra la derivada mediante las reglas tratadas en essección.



2. y x x x= + − +( )( )5 2 3 2 72 2

3. y x x x= + − +( )( )4 3 22 2 1

dy

dx x x x x x= − + + −7 12 4 6 86 5 3 2

1. y x x= + −( )( )2 32 3 2

dy

dx x x x= + −15 18 44 2

Regla para derivar un producto •




5. y x x= +2 233

dy

dx

x x

x

= +

+( )

8 18

3 3

3

22

3

6. y x x= − +( )( )4 21 1

4. y x x= − +( )2 22 1



Regla 8. Sean f x( ) y f x( ) dos funciones derivables y g x( ) ≠ 0 Entonces,

d

dx

f x

g x

g x f x f x g x

g x

( )

( )

=

( ) ( ) − ( ) ( )( )

2


d

dx

f x

g x

f x h

g x h

f x

g x

h

( )

( )

=

+( )+( )

− ( )

→lím

0

(( )h

= límh

g x f x h f x g x h

h g x g x h→

+ − +⋅

( ) +( )0

1( ) ( ) ( ) ( )

= límh

g x f x h g x f x f x g x f x g x

→

+ − + − +0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( hh

h g x g x h

)⋅

( ) +( )1

= límh

g x f x h f x

h f x

g x h g x

h→

+ − − + −

0

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) +( )

1

g x g x h

= g x f x f x g x( ) ( ) ( ) ( ) −

= g x f x f x g x

g x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

−2

R E G L A P A R A D E R I V A R U N C O C I E N T E

7. y x x= +( )2 1

dy

dx

x

x=

+5 1

2

2

Regla para derivar un cociente •




Sugerencia. Memoriza la regla del cociente de la siguiente manera:

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numeradmenos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el denom

nador al cuadrado.

E J E M P L O S

1) Encuentra la derivada de y x

x=

+

−

3 5

3 2.

S o l u c i ó n

En primer término hagamos f x x( ) ,= +3 5 entonces f x( ) = 3; luego:

g x x x( ) ( )= − = −3 2 3 21

2 y g x x( ) ( ) ( )= − −−1

23 2 2

1

2

g x

x

( ) = −−

1

3 21

2( )

Aplicamos la regla 8,

dy

dx

x x

x

=

− − + −

−

( ) ( ) ( )

( )

3 2 3 3 51

3 2

1

2

1

2

33 21

2−( )

x

2

Para resolver la fracción resultante de la derivada multiplicamos y dividimos po

( )3 21

2− x .

dy

dx

x x

x

x

x

=

− + +

−−

−( )

−

( )( )

( )

3 3 23 5

3 2

3 2

3 2

3

1

2

1

2

1

2

221

2 x( )

= − + +

−

3 3 2 3 5

3 23

2

( )

( )

x x

x



= − + +

−

9 6 3 5

3 23

2

x x

x( )

= −

−

14 3

3 23

2

x

x( )

2) Halla la derivada de y a bx

a bx

a bx

a bx

= +

− =

+

−

( )

( )

1

2

1

2

.

S o l u c i ó n

En primer término hagamos f x a bx( ) ( )= +1

2; entonces, f x a bx b( ) = +( ) ( )−12

12

=

+( )

b

a bx21

2

g x a bx( ) ( )= −1

2 ; entonces, g x a bx b( ) = −( ) −( )−1

2

1

2

= −( ) −( )−1

2

1

2a bx b

= −

−( )

b

a bx21

2

Aplicamos la regla 8,

dy

dx

a bx b

a bx

a bx b

a bx=

−( ) ⋅

+( )− +( ) ⋅

−

−( )

1

2

1

2

1

2

2 211

2

1

2

2

a bx−( )





1. y

x

x=

−

−

3 2

5 3

dy

dx x= −( )

9

5 32

Para resolver la fracción resultante multiplicamos y dividimos por 2( )a bx+

a bx−( )1

2 .

dy

dx

b a bx

a bx

b a bx

a bx

a=

−( )

+( )+

+( )

−( )

1

2

1

2

1

2

1

22 2

−−

+( ) −( )

+( ) −( )

bx

a bx a bx

a bx a bx

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

= − + +( )

−( ) +( )=

− +b a bx b a bx

a bx a bx

ab b x ab( )

23

2

1

2

2 ++

−( ) +( )

b x

a bx a bx

2

3

2

1

22

=−( ) +( )

2

23

2

1

2

ab

a bx a bx

=−( ) +( )

ab

a bx a bx

3

2

1

2

E J E R C I C I O S



4. y x x

x=

− +−

2 3 3

2 3

2

2. y x

x=

++3 2

2 3 2

3. y x

x=

−+

3 2

3

3

2

dy

dx

x x x

x

= + +

+( )

3 27 4

3

4 2

22





7. La curva y x

=+

1

12 se llama bruja de María Agnesi. Encuentra y grafica la

ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 1 1

2, .( ) x y+ − =2 2 0

5. y x x

x x=

+ −+ −

2

2

3 1

2 3

dy

dx

x x

x x

= − + +

+ −( )

2

22

4 7

2 3

6. f x c x

c x( ) =

−+

2 2

2 2



8. ¿En qué puntos tiene tangente horizontal la gráfica de f x x

x( ) =

−

2

1?

9. La curva y x

x=

+2 1 se llama serpentina. Encuentra y grafica la ecuación de

la recta tangente a esta curva en el punto 2 0 4, . .( ) 3 25 16 0 x y+ − =

10. La función f t t t

t ( ) =

− ++

2

2

1

1 mide el porcentaje del nivel normal de oxígeno en

un estanque, donde t es el tiempo en semanas contado desde que el desechoorgánico se arroja en él. Encuentra la razón de cambio de f con respecto a t cuando t = 2.





11. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y crece en número

de acuerdo con la ecuación P t

t = +

+500

2000

50 2 con t medido en horas. Encuen-

tra la razón de crecimiento de la población cuando t = 2.

dP

dt ≈ 32 bacterias/hora

D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

Reglas para derivar funciones trigonométricas

1. d

dxu u

du

dxsen = cos 2.

d

dxu u

du

dxcos sen= −

3. d

dxu u

du

dxtan = sec2

4. d

dx gu u

du

dxct csc= − 2

5. d

dxu u u

du

dxsec sec tan=

6.

d

dxu uctgu

du

dxcsc csc= −

Derivar cada una de las funciones propuestas a continuación:Antes de abordar la deducción de las reglas para derivar las funciones trigonom

tricas analiza la tabla mostrada a continuación para comprobar que:

lím0h

h

h→

−=

10

cos lím

sen0h

h

h→= 1

1.0 0.5 0.1 0.01 0 –0.01 –0.1 –0.5 –1

h

sen h0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 ? 0.99998 0.99833 0.95885 0.8414

h

1-cos h

h

0.45970 0.24483 0.04996 0.00500 ? – 0.0050 – 0.04996 – 0.24483 – 0.459



Regla 1. La derivada de sen x es cos x

d

dx x xsen = cos

Recordemos una vez más la definición de derivada:

d

dx x

x h x

h

x

h hsen lím

senlím

0 0=

+( ) −=

→ →

sen sen coss cos sen senh + − x h x

h

= − −

+

→

lím0h

xh

x h

hsen

coscos

sen1 h

= − − + → →sen cos cos sen xh

xhh h

lím lím0 01 h h

= − ( )+ ( ) =( sen ) (cos ) cos x x x0 1

Pero si y u u f x= =sen( ) ( )y entonces se presenta otra vez la regla de la cadena.

Comody

duu= cos , tenemos que

dy

dx

dy

du

du

dx= ⋅ por lo tanto,

ddx

u u dudx

sen cos=

E J E M P L O S

1) Derivar y x= +( )sen 2 1

S o l u c i ó n

Hagamos u x= +2 1 entoncesdu

dx

= 2 luego

dy

dx x x= +( )( ) = +( )cos cos2 1 2 2 2 1

2) Derivar y x= cos 2

Derivadas de funciones trigonométricas •

sen x cos h + cos x sen h




S o l u c i ó n

Hagamos u x= 2, entoncesdu

dx x= 2 , luego

dydx

x x x x= − ( ) = −( sen ) sen2 22 2

Nota: La deducción de la regla se sugiere como tarea.

E J E R C I C I O S

Derivar cada una de las siguientes funciones.

2. y 2 5x= −( )cos1. y x= −( )sen 2 3

dy

dx x= −( )2 2 3cos

4. y x= −( )cos 2 523. y x x= −4 2cos sen

dy

dx x x= − +( )2 2 sen cos



6. ¿Por qué vale cero la derivada de

y x x 2= +cos sen2 ?5. y x= cos2

dy

dx x x= −2 cos sen

8. s t

t =

sen7. y x x= 2 2sen

dy

dx x x x x= +( )2 2 2cos sen

10. v =sen

cos

u

u9. y x x= sen cos

dy

dx x x= −cos sen2 2





3) Demostrar que:

d

dxu utan sec= 2

S o l u c i ó nDerivamos tan u como un cociente mediante la identidad tan

sen

cosu

u

u=

d

dxu

d

dx

u

utan

sen

cos=

=

cos sen sen cos

cos

u d

dxu u

d

dxu

u

−

2

=− −( )cos cos sen sen

cos

u u dudx

u u dudx

u2

= +sen cos

cos

2 2

2

u u

u

du

dx

= sec2 u du

dx

4) Una rueda de la fortuna de 30 pies de radio gira en sentido contrario a las manecill

del reloj, a una velocidad angular de ω = 2 rad / seg ¿Con qué velocidad se elevverticalmente un asiento en el borde cuando está 15 pies arriba de la línea horizotal que pasa por el centro de la rueda? Recuerda que la velocidad angular ω es desplazamiento angular θ entre el tiempo t .

S o l u c i ó n

Como ω θ =

t , entonces θ ω = =t t 2

Luego, en el triángulo de la figura:

x t = 30 2cos y y sen t = 30 2

sen sen .ω = = =215

300 5t , por lo tanto, 2 30t = º.

2 t

( x, 1

v

v x

y

identidad de tan u

1



La velocidad tangencial de la silla en el punto P tiene dos componentes: uno ho-

rizontal v x

dx

dt = y otro vertical v

y

dy

dt = por cierto, éste último es el que nos interesa

calcular.

v y

dy

dx

d

dxt t = = ( ) = = ( ) =30 2 60 2 60 30 51sen cos cos .996 pies seg/

5) Se aplica una fuerza en el extremo de un resorte horizontal y éste se desplaza haciala derecha 4 cm mas allá de su posición natural o de reposo, enseguida se deja enlibertad en el instante t = 0, tal como se muestra en la figura. Su posición en el ins-tante t es:

x f t t = ( ) = 4 cos .

a) Encuentra la velocidad v en el instante t , es decir, v = dx

dt , b) halla la posición y la

velocidad del extremo del resorte en el instante t =2

3

π y c) las gráficas de posición

y velocidad de la vibración en un periodo de 2π .

S o l u c i ó n

a) La velocidad en el instante t es:

v = = ( ) = −dxdt

ddt

t t 4 4cos sen

b) La posición y la velocidad en t =2

3

π son respectivamente:

s = = = −42

34 120 2cos cos

π

v = − = −4 23

3 4641sen .π

Equilibrio

F = fuerza

4 cm

–4 40 x

Recordemos que,

π rad = 180

Por lo tanto:

2

3120

π rad =


º

˚

˚

˚




c) Gráficas de posición y velocidad en unperiodo de 2π :

Las gráficas nos enseñan que la oscilación

del resorte ocurre desde −4 el punto más bajohasta el punto más alto, es decir, 4; ademásde ilustrarnos la relación entre posición y ve-locidad.

M Á S E J E R C I C I O S :

4 x v

2π

-4

π

12. Demostrar qued

dx x xctg csc= − 211. Derivar y x x= 2 tan

dy

dx

x x x x= +2 2 2sec tan

14. Derivar y x= +( )sen3 2 313. Derivar y x x= sen2

dy

dx x x x x= +2 2sen cos sen



18. Derivar y x

x=

+−

1

1

csc

csc17. Derivar y

x

x=

−sen

cos1

16. Derivar f θ θ

θ ( ) =

−1 sen

15. Derivar y x x x x x= + −2 2 2sen cos sen

dy

dx x x= 2 cos

dy

dx x= −

−1

1 cos





19. Observa y analiza la rueda-pistón de la figura. La rueda tiene 1 pie de radio y gira en sentidocontrario a las manecillas del reloj 2 rad seg/ La varilla de conexión tiene 5 pies de longitud.Cuando t = 0 el punto P está en (1,0). Encuentra:

a) Las coordenadas de P en el instante t .

b) La velocidad de Q en el momento t .Q

P

(1,0)

20. Una masa en un resorte vibra de modo horizontal sobre una superficie lisa, en un movimiento

armónico simple. Su ecuación de movimiento es x t sent ( ) = 8 .

Encuentra:

a) la velocidad y la aceleración en el instante t , y

b) la posición y la velocidad de la masa en el instante t =2

3

π .

a)

b)

P t t

t y

cos , sen

cos

2 2

2 2

( )=v

Equilibrio

F

0 x x



21. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea θ el ángulo entrela parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia entre el extremo inferior de aquéllay la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapi

dez cambia x con respecto a θ cuando θ π =3

?

dx

d pies rad

θ = 5 /

22. Un bloque con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúaa lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo ϑ con el plano

entonces, la magnitud de la fuerza es:

F W

=+

µ

µ θ θ sen cos

donde µ es una constante llamada coeficiente de fricción.

a) Encuentra la razón de cambio de F con respecto a θ .b) ¿Cuándo es igual a cero esta razón de cambio?c) Si W = 50 libras y µ = 0 6. dibuja la gráfica de F como función de θ mediante una calcula

dora graficadora.

θ

x

θ

W





Definición:

Cuando hablamos de las inversas de las funciones trigonométricas básicas es necesaraclarar que nos estamos refiriendo a los ángulos cuyas funciones trigonométricas soseno, coseno, tangente, etcétera, por ejemplo si:

y x= sen entonces, x y= −sen 1 , lo cual significa que x es el ángulo cuyo seno es

Es importante mencionar que para obtener las inversas de las funciones trigonométricas se restringe el dominio y el rango se mantiene lo más grande posible, según función de que se trate.

1

–1

–π π

y = sen x

Dominio

restringido

1

−π

π

–1

y = arc sen x

1

–1

–π π

y = cos x

Dominiorestringido

y = arc cos x

1

π

–1

D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S I N V E R S A S



A continuación, presentamos algunas derivadas de las funciones trigonométricas in-versas:

1

π

π

π

–1

– π

y = tan x

Dominiorestringido

y = arc tan x

1–1

2

2

1. d

dxu

u

du

dxsen− =

−1

2

1

1 2.

d

dxu

u

du

dxcos− = −

−

1

2

1

1

3.d

dxu

u

du

dxtan− =

+1

2

1

1 4.

d

dxu

u

du

dxctg− = −

+1

2

11

5. d

dxu

u u

du

dxsec− =

−

1

2

1

1 6.

d

dxu

u u

du

dxcsc− = −

−

1

2

1

1

Demostración de la regla 1:

d

dxu

u

du

dxsen− =

−1

2

1

1

Si y u u y= ⇒ =−sen sen1 , luego

du

dy y= cos y

dy

du y=

1

cos

Derivadas de funciones trignométricas inversas •




Como y f u= ( ) y sen cos2 2 1 y y+ = , tenemos que:

dy

dx

dy

du

du

dx y

du

dx y

du

dx u= ⋅ = =

−=

−

1 1

1

1

12 2cos sen

ddu

dx

Demostración de la regla 3:

d

dxu

u

du

dxtan− =

+1

2

1

1.

Si y u u y= ⇒ =arctan tan , luego,

du

dy y

=sec2 y

dy

du y=

12sec

Como y f u= ( ) y sec tan2 21 y y= + , se tiene que:

dy

dx

dy

du

du

dx y

du

dx y

du

dx u= ⋅ = =

+ =

+1 1

1

1

12 2sec tan 22

du

dx

E J E M P L O S

1) Derivar

y x= −tan 1 22

Hagamos u x= 2 2 ; entonces,du

dx x= 4 , y mediante la regla 3 se tiene que:

dy

dx x

x x

x

=

+ ( ) ( ) =

+

1

1 2

44

1 422 4

2) Derivar

y a

x= −sec 1



Hagamos u a

xax= = −1 ; entonces,

du

dxax

a

x= − = −−2

2 y mediante la regla 5 se tiene

que:

dydx

a

x

a

x

a x a

x

x=

−

− =−

− 1

1

11

12 2 2

2

dy

dx a x

x

x=

−−

1 1

2 2

2

dy

dx a x

x

x a x= −

−

= −−

1 1 12 2 2 2

3) Derivar

y x x= ( )−sen 1 2

Esta función se debe derivar como un producto.

Hagamos f x x( ) = ; f x' ( ) = 1; g x x( ) = ( )−sen 1 2 g x

x

' ( ) =− ( )

21 2

2 ; luego

dy

dx x

x

x=− ( )

( )

+ ( )( )−1

1 22 2 1

2

1sen

dy

dx

x

x x=

−

+ ( )−2

1 42

2

1sen

E J E R C I C I O S

Encuentra la derivada de y con respecto a x en cada una de las funciones siguientes.

Derivadas de funciones trignométricas inversas •




1. y x= −cos 1 3

dy

dx x= −

−

3

1 9 2

2. y ax= −cot 1 2

5. y a x a x

a= − + −2 2 sen 1

dy

dx

a x

a x=

−+

4. y a

x= tan–1

3. y x x= csc–1 3

dy

dx x

x= −

−

−csc 1

23

1

9 1



D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L E S

Derivada de la función exponencial a u

La derivada de la función exponencial y au= , donde u f x= ( ) es:

d

dxa a a

du

dx

u u= ln


y au=

Al obtener el logaritmo en ambos lados de la función:

ln ln y au=

Al aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln ln y u a=

Al derivar de manera implícita con respecto a x

1

y

dy

dxa

du

dx= ln

dy

dx y a

du

dxa a

du

dx

u= =ln ln

Derivada de la función exponenciale

u

La derivada de la función exponencial y eu= , dondeu f x= ( ) es:

d

dxe e

du

dx

u u=

(0, 1)

y=e x

x

y

Derivadas de funciones exponenciales •





Si en la fórmula de la derivada de au sustituimos a por e, lo que tenemos es:

ddx

e e e dudx

u u= ln

pero como lne = 1, resulta que:

d

dxe e

du

dx

u u=

E J E M P L O S

1) Derivar y e x= +2 3

Hagamos u x= +2 3 entonces,d

dx

u

= 2, y

dy

dxe x= ( )+2 3 2

dy

dxe x= +2 2 3

2) Hallar la derivada de

y e x= 33

Hagamos u x= 3; entonces,d

dx x

u

= 3 2, y

dy

dx

e x x= ( )3 33 2

dy

dx x e x= 9 2 3

3) Derivar

y x= 105



Tenemos que u x= 5 ; entonces,d

dx

u

= 5, la derivada de y x= 105 es:

dy

dx

x= ( )10 10 55 ln

dy

dx

x= ( )5 10 105 ln

4) Encontrar la derivada de:

ye x

=5

2 4

Si rescribimos la función, tenemos que y e x= −5

2

4 ; luego, u x= −4 ydu

dx

= −4

dy

dxe x= −( )−5

244

dy

dxe

e

x

x= − = −−10

104

4

5) Derivar

s et =

Al reescribir la expresión:

s e

t

= 2 , u t =

2,

du

dt =

1

2

ds

dt e

t

=

2 1

2

ds

dt

e

t

=1

2

2

6) Derivar

y x e x= −( )3 1 2





S o l u c i ó n

Al derivar como un producto tenemos que:

dydx

x e e x x= −( ) ( ) + ( )3 1 2 32 2 “La primera por la derivada dela segunda más la segunda por la

derivada de la primera”.

dy

dx x e e x x= −( ) +6 2 32 2

dy

dxe x x e x x= − +( ) = +( )2 26 2 3 6 1

E J E R C I C I O S

Derivar las siguientes funciones exponenciales.

1. y e x= +2 3

dy

dxe x= +2 2 3

3. y e x x= −2

dy

dx x e x x= −( ) −2 1

2

2. y e x

= +1

4. y e x=2



5. y e x= ln

dy

dx xe x=

1 ln 6. y e x x=2 ln

7. y e e x x= +

dy

dx xe

e x x

= +1

2 2

9. y e x= 3sen

dy

dx xe x= 3 3cos sen

8. y ee

x

x= +

1 1

10. y e x x= cos





11. y e e

e e

x x

x x=

−+

−

−

dy

dx e e x x=

+( )−

4

Cuando estudiamos las funciones exponenciales, mencionamos que e = 2 71828181. un número irracional que aparece de manera natural en fenómenos físicos, biológicosociales económicos, etcétera, y que se define como:

e x x

x

= +

→∞

lím 11

= +( ) =→

lím0 x

x x1 2 718281811

.

Derivada de loga u

La derivada del logaritmo de base a de u con respecto a x es:

d

dxu

e

u

du

dxa

aloglog

= ⋅


Si y ua

= log y u f x= ( ) , entonces:

y y u ua

+ = +( )∆ ∆log

∆ ∆ ∆

y u u u u u

ua a a= +( ) − =

+log log log (recuerda las propiedades de los logaritmos

D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S L O G A R Í T M I C A S

Propiedades de los logaritmos

1. log log logab a b

( ) = +

2. log log loga

ba b= −

3. log loga n an =



Luego, si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad por 1, pero escrito como∆

∆u

u

u

u⋅ , tenemos:

∆ ∆ ∆ ∆ y u u

uu

uuua= + ⋅log y si dividimos entre ∆ x :

∆∆ ∆

∆ ∆∆

∆ ∆ y

x

u

x

u u

u

u

u x

u u

ua a

u

u

= +

= +

⋅ ⋅log log

∆∆∆u

u x (otra propiedad de los logaritmos).

∆∆

∆ ∆∆

∆ y

x

u u

u u

u

xa

u

u

= +

⋅ ⋅log

1

lím0∆ x→

∆∆ y

x= lím

0∆ x→log

a

u

uu

u1 +

∆ ∆ 1u

u

x xlím

0∆

∆∆→

⋅

dy

dx

e

u

du

dxa= ⋅log

.

E J E M P L O S

1) Derivar y x= ( )log 3

Hagamos u x= 3 ; luego,du

dx = 3

entonces:

dy

dx

e

x

e

x= ( ) =

log log

33

2) Hallar la derivada de y x= −( )log 2 3

Hagamos u x= −2 3 ; luego,du

dx= −3

entonces:

dy

dx

e

x

e

x=

− −( ) =

−−

log log

2 33

3

2 3

Derivadas de funciones logarítmicas •




Derivada de la función logaritmo natural

La derivada de y u= ln es:

d

dxu

u

du

dxln =1


Recordemos que:

log lne u u=

Luego, si recurrimos a la derivada de los logaritmos de base a:

d

dxu

e

u

du

dx u

du

dxe

eloglog

= =1

d

dxu

u

du

dxln =

1

E J E M P L O S

1) Derivar y x= −( )ln 2 3

Hagamos u x du

dx= − ⇒ = −2 3 3; luego,

dy

dx x x=

− −( ) = −

−1

2 33

3

2 3

2) Derivar y x x= ln

Aquí debemos derivar como producto, entonces hagamos:

f x x( ) = ; f x( ) = 1 y g x x( ) = ln ; luego, g x x

( ) =1

(1, 0)

y=ln

x

y



Por lo tanto:

dy

dx x

x x x=

+ ( ) = +1

1 1ln ln

3) Derivar

f x x( ) ln= −1 23

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos:

f x x x x( ) ln ln ln ,= − = −( ) = −( )1 113

123 213 2 al aplicar log loga n an = .

Esta última expresión es más sencilla de derivar:

dy

dx x x=

− −( )

1

3

1

12

2

dy

dx

x

x=

−−

1

3

2

1 2

dy

dx

x

x= −

−( )2

3 1 2

E J E R C I C I O S

Encontrar la derivada en las funciones siguientes.

1. y x= −( )ln l 2 dy

dx

x

x= −

−2

1 22. y x x= −ln 4 4

Derivadas de funciones logarítmicas •




3. y x= ( )ln3

dy

dx x x=

3 2ln 4. y x x= −( )ln 2 1

5. y x

x=

ln2

dy

dx

x

x=

−1 23

ln 6. y x= ( )ln sen

7. y x

x=

−+

ln1

1

dy

dx x x=

−( ) +( )1

1 18. y

x

x=

−+

lnsensen

12



9. y x x= + −( )ln 2 1

dy

dx x=

−

1

12

10. y x x

x

= −

−( )

2

2

3 2

1

Hasta aquí, hemos estudiado casi todas las funciones que se pueden describir al expresarde forma explícita una variable en términos de otra. Sin embargo, a veces las funcionesestán definidas de manera implícita, es decir, alguna de sus variables no está despejada.

Vea la tabla siguiente para comprenderlo mejor.

Función implícita Función explícita Derivada

xy = 2 y x

=2 dy

dx x= −

22

D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S I M P L Í C I T A S

Derivadas de funciones implícitas •




El ejemplo nos enseña que es relativamente fácil despejar y de la función implcita para así, obtener su derivada. Pero sabemos que a veces en ciertas funciones, nse puede despejar la y o es muy difícil hacerlo; entonces hay que preguntarse si dichfunciones se pueden derivar de manera implícita. La respuesta es sí, y es necesar

hacerlo término a término considerando que la ecuación determina a y como funcióde x .

E J E M P L O S

1) Derivar x y2 2 25+ = .

Al derivar término a término tenemos que:

d

dx x

d

dx y

d

dx

2 2

25+ = ( ) 2 2 0 x y

dy

dx+ =

2 2 y dy

dx x= −

dy

dx

x

y

x

y= − = −

22

C o m p r o b a c i ó n d e l e j e m p l o 1 .

Si en el ejemplo 1 hacemos explícita la función, entonces:

y x= −25 2

dy

dx x x

x

x

x

x= −( ) −( ) = −

−( )

= −−

−12

25 2

25

25

21

2

212

2

Pero si en el denominador sustituimos 25 2− x por y, obtenemos el mismo resutado que en el ejemplo 1.

dy

dx

x

y= −

0

y

222

=+ y x

0

y

2 5 x y −=

0 x

y

25 x y −−=



E C U A C I O N E S D E L A T A N G E N T E Y D E L A N O R M A L

E J E M P L O S

1) Con relación al ejemplo 1, encuentra la ecuación de las rectas tangente y normal ala curva x y2 2 25+ = en el punto 3 4,( ) .

S o l u c i ó n

Como la derivada de la función esdy

dx

x

y= − , tenemos que la pendiente en

el punto 3 4,( ) es

m x

y= − = − 3

4

Por lo tanto, la ecuación de la tangente al círculo en 3 4,( ) es:

y x− = − −( )4 334

o 3 4 25 x y+ =

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto 3 4,( ) ; luego,su ecuación es:

y x− = −( )44

33 o 4 3 0 x y− =

0 x

y Tangen

Norma

(3,4)

Recta normal. Recta perpendicular a otra.

Condiciones de perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si sus pendien-tes m

1 y m

2 son recíprocas y de signo contrario.

m

m1

2

1= −

Ecuaciones de la tangente y de la normal •




2) Calculardy

dx la ecuación sen y x=

d

dx y

dx

dxsen =

cos y dy

dx= 1

dy

dx y=

1

cos

3) Derivar x xy y3 2 9− + =

31

2 02 x x

dy

dx y

ydy

dx−

+ ( )

+ =

3 1 2 02 x xdy

dx y y

dy

dx− − ( )+ = al igualar a cero.

dy

dx x y y x

− +( ) = −2 3

2

al transponer términos.

dy

dx

y x

y x=

−−3

2

2

E J E R C I C I O S

Hallardy

dx

de forma implícita.

y

–1 1

sen y=x

derivada del producto xy



1. x y2 2 16− =

dy

dx

x

y= 2. x y2 3 0− =

3. x y+ = 9 dy

dx

y

x= −

4. x y2 2 2+ =

5. y y x3 − = dy

dx y=

−1

3 12

6. y x y= − 2

Ecuaciones de la tangente y de la normal •




9. x y x y+( ) = +3

3 3

dy

dx

xy y

x xy= −

++

2

2

2

2

10. x y y x3 3 − =

7. x y y x2 2 2+ = −

dy

dx

xy y

x xy= −

++

2

2

2

28. y

x

x

22

2

9

9=

−+

11. xy x y= − 2

dy

dx

x y

x y=

−−

2 55 8

12. sen cos x y = 1



Aplicaciones

E J E M P L O S

1) Se deja caer una roca sobre un estanque en reposo y, al hacerlo, produce ondas circu-lares concéntricas. El radio de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 pies seg/ .

Cuando su radio es de 3 pies, ¿a qué ritmo está creciendo el área A de la zona pertur-bada?

Área de la onda: A r = π 2;

S o l u c i ó n

En estos casos, la variable independiente es el tiempo t , de manera que hay que derivarla variable A con respecto al tiempo.

Crecimiento del radio:dr

dt

= 1 pies seg/ , cuando r = 3.

Crecimiento del área:dA

dt

d

dt r r

dr

dt = ( ) =π π

2 2 ; luego, si r = 3, entonces:

dA

dt = ( )( ) =2 3 1 6π π

pies

seg

2

13. e y xy + = 3

dy

dx

ye

xe

xy

xy= −

+1

14. xe x y y − + =3 4ln

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 1




2) Suponer que la escalera de la figura se está deslizando sobre el piso a razón de

pies seg/ . ¿A qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera en el momen

en que la base está a 8 pies del muro? Es decir, ¿cuál es el valor dedy

dt cuand

dx

dt = 3 y x = 8?

S o l u c i ó n

El teorema de Pitágoras nos da la relación:

x y2 2 210+ = , de donde y x= −100 2

Si derivamos x y2 2 210+ = con respecto al tiempo,

2 2 0 x dx

dt y

dy

dt + =

al despejardy

dt

x

y

dx

dt

x

y

dx

dt = − = −2

2 .

al sustituirdy

dt

x

x

dy

dx= −

−100 2

= −−

( ) =8

100 83 4

2 pies seg/ .

E J E R C I C I O S

Resolver los siguientes problemas.

x

10 y



1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal al círculo x y2 2 9+ = el

punto 2 5,( ) . La recta normal en un punto es la perpendicular a la recta tan-

gente en dicho punto.

2. La curva y x x2 3 23= + se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentra y dibujalas ecuaciones de la tangente y la normal en el punto 1 2,( ).

(2, 5 )

r =3

(1, 2)

x

y

3. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4.5 pulgadas cúbicas por minuto.Hallar la razón de cambio del radio cuando éste es de 2 pulgadas.

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 1




4. Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies cúbicos por minuto. Eldiámetro de la base del cono es de alrededor el doble de su altura. ¿A qué ritmoestá cambiando la altura del montón cuando su altura es de 15 pies?

h = altura

radior=

5. Un aeroplano que viaja a 390 pies por segundo a una altitud de 5 000 pies vueladirectamente sobre un observador como se muestra en la figura.

a) Encuentra una ecuación que relacione a x y r .

b) Halla el valor de x cuando r es 13 000.

c) ¿A qué velocidad está cambiando la distancia entre el aeroplano y el ob-servador cuando el aeroplano está a 13 000 pies del observador? Es decir,

¿cuánto valedr

dt cuandodx

dt = 390 y r = 13000?

5000

r

x

Observador



Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo 106Funciones crecientes y decrecientes 116

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada 118

Derivadas de orden superior 123

Aceleración 125

Concavidad y punto de inflexión 128Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada 129

Trazado de curvas 131

Más aplicaciones de la derivada 134

U N I D A D

3

M Á X I M O S Y M Í N I M O S R E L A T I V O S

1



106 • UN I D AD 3 Máximos y mínimos relativos

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se presentan cuandqueremos encontrar la mejor manera de hacer algo. Esta situación se puede resumcomo la determinación del valor máximo o mínimo de una función.

Para comprender mejor el tema de máximos y mínimos consideremos la siguiensituación:

Tenemos un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro (figura mostrada) y quermos expresar su área A como función de x. También deseamos calcular la base y altura que nos da la figura de mayor área. Veamos lo que tenemos que hacer:

Si el perímetro es 100 cm, entonces:

2 2 100 x y+ = x y+ = 50

y x= −50 al despejar y

El área del rectángulo es:

A xy=

A x x= −( )50 al sustituir el valor de y

A x x= −50 2 al simplificar.

Con la ecuación del área A x x= −502

com-pleta la siguiente tabla y grafica los valores obte-nidos para el área.

¿Qué nos enseña la gráfica?

Que la función área es una parábola, que

existe un valor máximo para A y quedy

dxm= es

igual a cero en donde A es máxima. Por lotanto:

dAdx

x= −50 2

50 2 0− = x

x = 25 cm

y x= −50

y = 25 cm

A=xy

x

A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A : V A L O R M Á X I M O Y V A L O R M Í N I M O

0 x

A

10 20 30 40 50

A

x

100

10 20 30 40 50 60

200

300

400

500

600

700

800



Conclusión. La base y la altura del rectángulo deben medir 25 cm para obtener elrectángulo de mayor área.

Asimismo, se concluye que una parábola con concavidad hacia arriba tiene un valormínimo y que su derivada en ese punto también es cero.

E J E M P L O S

1) Determina si la parábola y x x= − −2 2 2 tiene unvalor máximo o mínimo.

Primero hay que obtener la derivada de y x x= − −2 2 2.

dy

dx x= −2 2

A partir de la gráfica es evidente que hay un puntomínimo; por lo tanto,

2 2 0 x − =

x = =2

21 ⇒ y = ( ) − ( )− = −1 2 1 2 3

2

Esto significa que la función tiene un valor mínimo en el punto P 1 3, −( ) y no tienemáximo.

2) Se desea elaborar una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 4 pulgadasde lado, cortando cuadraditos iguales de cada esquina y doblando por las líneas depuntos de la figura. Hallar el volumen máximo que puede lograrse con una cajaasí.

El volumen de la caja es el área de la base por la al-tura:

V x x x x x= −( ) = − +4 2 16 16 42

2 3

Luego, al derivar obtenemos:

dV

dx x x= − +16 32 12 2

16 32 12 02− + = x x si el volumen es máximo o mínimo.

4 8 3 02− + = x x al sacar cuarta a la ecuación.

x

y

m=0

x x 4-2x

4-2 x

x

x

x

4-2 x4-2 x

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 1




x = ± −

= ±8 64 48

6

8 4

6 al utilizar la fórmula general.

De donde x1

8 4

6 2= +

=

y

x2

8 4

6

2

3=

−= .

La solución factible es x2

23

= , porque x1

2= partiría la pieza cuadrada en cuatro partesiguales.

3) Desde la superficie de la Tierra, se lanza un proyectil hacia arriba con una velocdad inicial de 160 pies seg/ s t t = −( )160 16 2 . Las gráficas de posición, velocidadaceleración se muestran abajo. Hallar:

a) La velocidad del proyectil en un tiempo t , b) el tiempo para alcanzar la alturmáxima, c) la altura máxima que alcanza el proyectil.

S o l u c i ó n

a) Primero calculemos la derivada de la función, que repre-

senta la velocidad del proyectil en cualquier tiempo.

v = = −ds

dt t 160 32 .

b) Sabemos que cuando alcance su altura máxima v = 0 , portanto,

160 32 0− =t en el punto más alto, luego,al despejar t :

t = −

− =160

32 5 seg es el tiempo para llegar al punto

más alto.

Gráfica de la función volumen

1 2 3

2

1

3

4

5 P (0.66, 4.74)máx



c) La máxima altura es pues, smáx

= ( ) − ( ) =160 5 16 5 4002

pies.

100

200

300

400

t

s

5

100

t

a

–32

v

200

E J E R C I C I O S

Resuelve los siguientes problemas.

1. Encuentra dos números positivos de manera tal que la suma del doble de unomás el otro, sea mínima, si el producto de dichos números es 288.

2. Halla dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea mí-nimo.


R. 1 2 y 2 4




3. Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares(figura mostrada). ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima?

4. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm3 de forma que la cantidad de material usadoen su construcción sea mínima. (Calcula las dimensiones).

x x

y

r

r

h

Material necesario

2

A=2 π rh h

A= π r 2

π r

R pies. 50 * 33.3



5. Se supone que la tos humana incrementa el flujo del aire hacia los pulmones y, al hacerlo, despla-

za partículas que bloquean la tráquea. La velocidad del aire a través de una tráquea con un radio

r 0

es de alrededor de V r cr r r ( ) = −( )2

0, para una constante c. Calcula el radio que maximice la

velocidad del aire de la traquea.

6. Se lanza un proyectil hacia arriba a una velocidad inicial de 49 m s/ s t t = + −( )30 49 4 9 2. desde

un edificio de 30 m. Encuentra:

a) La altura máxima que alcanza el proyectil.b) El tiempo para alcanzar esa altura.

c) La velocidad en un tiempo t . d) Las gráficas de posición, velocidad y aceleración.

30 m

t

s

t t

av


r r =2

3.




Aplicaciones a la economía

Antes de abordar los ejemplos de la aplicación de la derivada en la economía definamolos siguientes conceptos.

Función de costo C x ( ) . Es el costo de producir x unidades de cierto producto.

Costo marginal. Es la razón de cambio de C x( ) con respecto a x , es decir, la deri-

vada C x( ) de la función costo.

Costo promedio. Es el costo por unidad cuando se producen x unidades:

c xC x

x( ) =

( )

Función de ingreso total. Es la venta de x unidades al precio por unidad o función

de demanda p x( ), entonces el ingreso total es:

R x xp x( ) = ( )

Función de ingreso marginal. Es la derivada R x( ) de la función de ingreso.

Utilidad total P x ( ). Si se venden x unidades de un producto, la utilidad total seobtiene mediante la expresión:

P x R x C x( ) = ( ) − ( )

Función de utilidad marginal. Es la derivada P x( ) de la función de utilidad total.

E J E M P L O S

1) Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

C x x x( ) = + +2600 2 0 001 2.

a) Encuentra el costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 100artículos.

b) ¿A qué nivel de producción el costo promedio será el más bajo y cuál será costo promedio mínimo?



S o l u c i ó n

a) El costo de producir 1000 artículos es:

C 1000 2600 2 1000 0 001 1000 56002

( ) = + ( ) + ( ) =. dólares.

La función de costo promedio es c xC x

x x x( ) =

( )= + +

26002 0 001. , pero para

1000 artículos se puede calcular así:

cC

10001000

1000

5600

10005 6( ) =

( )= = . dólares por artículo.

La función de costo marginal es la derivada de C x x x( ) = + +2600 2 0 001 2. , esdecir:

C x x( ) = +2 0 002.

Por lo tanto, C 1000 2 0 002 1000 4( ) = + ( ) =. dólares por artículo.

b) Para minimizar el costo promedio, será necesario derivar el costo promedio:

c x x

x( ) = + +2600 2 0 001.

Enseguida igualar a cero y resolver para x :

c x x

( ) = − +2600

0 0012

.

− + =2600

0 001 02 x

. al igualar a cero

x = ≈

2600

0 001 1612. al despejar x

Por lo tanto, el costo promedio mínimo es:

c 16122600

16122 0 001 1612 5 22( ) = + + ( ) =. . dólares por artículo.





2) Encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad para una compañmediante funciones de costo y demanda.

C x x x x( ) = + − +84 1 26 0 01 0 000072 3. . . p x x( ) = −3 5 0 01. .

S o l u c i ó n

La función de ingreso es:

R x xp x x x x x( ) = ( ) = −( ) = −3 5 0 01 3 5 0 01 2. . . .

De modo que la función de utilidad es:

P x R x C x x x( ) = ( ) − ( ) = − −2 24 0 00007 843. .

Luego, la utilidad marginal es la derivada de la función de utilidad:

P x x( ) = −2 24 0 00021 2. .

2 24 0 00021 0 1032. .− = ⇒ ≈ x x al igualar a cero y resolver para x.

Lo que significa que un nivel de producción de 103 unidades maximiza la utilida

E J E R C I C I O S

( ) 8400007.024.23

−−= x x xP

( ) xP

103

70

1. El costo promedio de producir x unidades de un artículo es c x x( ) = −21 4 0 002. . .Encuentra el costo marginal para un nivel de producción de 1000 unidades.¿Qué implica tu respuesta?

17 4. $ / unidad



2. Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

C x x x( ) = + +1600 8 0 01 2.

Encuentra: a) El costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000 unidades. b) El nivel de producción que minimizará el costo promedio.

c) El costo promedio mínimo.

3. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producciónque maximizará la utilidad.

C x x x( ) = + −680 4 0 01 2. p x x( ) = −12 500/

4. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producciónque maximizará la utilidad.

C x x x x( ) = + − +1000 28 0 01 0 0022 3. . p x x( ) = −90 0 02.

333 unidades





Más de máximos y mínimos

Hemos estudiado sólo la aplicación de la derivada para funciones que, por su naturalza, tienen máximos y mínimos relativos, y en donde la derivada siempre es horizontalpor lo tanto, igual a cero. Sin embargo, ahora hay que preguntarnos si existen métodomás exhaustivos que garanticen cómo encontrar los máximos o mínimos de una función, porque ocurre que hay funciones con valores extremos en donde la derivada nes cero o bien que la derivada en un punto de una gráfica es igual a cero y no un valomáximo o mínimo.

Si f(x)=x3, entonces f´ (0)=0,pero f no tiene máximo nimínimo

Si f(x)=|x|, entonces f (0)=0es un valor mínimo, pero en esepunto la derivada no existe

Esta función tiene un valmáximo, pero la derivada nexiste en ese punto

x

y

x

y

y

Definición. Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en un valor

crítico c, si f c f x( ) ≥ ( ) cuando x está cerca de c. De la misma manera, f tiene unmínimo local en c, si f c f x( ) ≤ ( ), cuando x está cerca de c.

¿Cómo encontrar un primer método para analizar los máximos y mínimos relativoen la gráfica de una función y f x= ( )?

F U N C I O N E S C R E C I E N T E S Y D E C R E C I E N T E SComencemos por analizar si las funciones son crecientes o decrecientes y observemocómo es la pendiente o derivada en cada punto de las gráficas.



m positiva

Función cóncava hacia abajo

m negativa

m =0

Valor máximo

m positiva

Función cóncava hacia arriba

m negativa

m =0

Valor mínimo

Una función tiene un máximo relativocuando su pendiente es cero y suderivada pasa de ser positiva a sernegativa haciendo el recorrido deizquierda a derecha.

Una función tiene un mínimo relativocuando su pendiente es cero y su

derivada pasa de ser negativa a serpositiva haciendo el recorrido deizquierda a derecha.

Ahora bien, si complementamos los conceptos de funciones creciente y decrecientede las gráficas anteriores al analizar la concavidad de una curva, veremos pues que unacur va cóncava hacia abajo,sin lugar a dudas tiene un valor máximo y su derivada cambiade positiva a negativa, es decir, decrece y que en una cur va cóncava hacia arriba tieneun mínimo y la derivada cambia de negativa a positiva, es decir, crece. Esta idea nos dala pauta para encontrar un criterio que garantice cómo encontrar los valores extremosde una función.

m siempre es

negativam siempre es

positiva

Función creciente. Es cuando x crecey también lo hace y. Su pendiente oderivada siempre es positiva.

Función decreciente. Es cuando x crece y decrece y. Su pendiente oderivada siempre es negativa.

Con todo lo antes dicho y el análisis de las ilustraciones anteriores ya estamos encondiciones de formular el primer método para calcular los máximos y mínimos relati-vos de una función y f x= ( ).

Funciones crecientes y decrecientes • 1




E J E M P L O S

1) Calcular los máximos y mínimos de la función y x x x= − +3 26 9 . Graficar

Primero calculamos la derivada de la función

dy

dx x x= − +3 12 92

igualamos a cero la derivada de la función

3 12 9 02 x x− + =

al factorizar y resolver la ecuación, tenemos que

3 3 1 0 x x−( ) −( ) = ,

1

1

2

2

3

3

4

4

Máx (1, 4)

Mín (3,

C Á L C U L O D E M Á X I M O S Y M Í N I M O S C O N E L C R I T E R I O D E L A P R I M E R A D E R I V A D A

Criterio de la primera derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función.

1. Calcular la derivada de y f x= ( ).

2. Igualar a cero la derivada de y f x= ( ) y resolver la ecuación, estas soluciones sellaman valores críticos.

3. Analizar el signo dedy

dx un valor antes y uno después de cada valor crítico sin

omitir alguno de ellos: a) Si la derivada de y f x= ( ) cambia de (+) a (−) se trata de un máximo.

b) Si la derivada de y f x= ( ) cambia de (−) a (+) se trata de un mínimo.

c) Si no hay cambio de signo no es ni máximo ni mínimo.

4. Graficar.



entonces los valores críticos son:

x y1 1

1 4= ⇒ = x y2 2

3 0= ⇒ =

Análisis del valor crítico x1

1=

Si x < 1, por ejemplo 0.9 ⇒ = −( ) −( ) = +dy

dx3

x > 1, por ejemplo 1.1 ⇒ = −( ) +( ) = −dy

dx3

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto 1 4,( ) hay un máximo relativo.


3= .

Si x < 3, por ejemplo 2.9 ⇒ = −( ) +( ) = −dy

dx3

Si x > 3, por ejemplo 3.1 ⇒ = +( ) +( ) = +dy

dx3 .

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto 3 0,( ) hay un mínimo relativo.

2) Calcular los máximos y mínimos de la función y x= sen en el intervalo 0 2, π .Graficar

Primero calculamos la derivada de la función

dy

dx x= cos

igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos para x

cos x = 0, entonces x1 2

90= =π

y x2

3

2270= =π

, etcétera.

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada • 1

º º




Análisis del valor crítico x1 2

90= =π

Si x < π

2 , entoncesdy

dx = +

Si x > π

2, entonces

dy

dx= −.

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el puntoπ

21,

hay un máximo relativo.


3

2270= =

π

Si x <3

2

π , entonces

dy

dx= −

Si x >3

2

π , entonces

dy

dx= +.

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punt

3

21

π

, −

hay un mínimo relativo. Por ultimo, verificamos mediante una gráfica.

x

2

π

2

3π ππ 2

y

1

–1

º

º



1. Calcular los máximos y mínimos de la función y x x= −2 2 4.

E J E R C I C I O S

2. Comprobar que la función y x x= −4 4 tiene un sólo valor extremo, y que es un

mínimo en 1 3, −( ).

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada • 1

–2 –1 1 2

1

–1

x

y

x x y 44

−=




3. Hallar los máximos y mínimos de y x x x= − −3 4 124 3 2. Enseguida te mostramosla gráfica como referente.

4. Determinar los máximos y mínimos de y x x

= +2 2.

x

y

2341243 x x x y −−=

x

y

x x y

22+=

Mín.

Máx.

Mín.

− −

−

( )

( )

( )

1 5

0 0

2 32

,

,

,



Hemos visto que, la derivada de una función de x, es también otra función de x. Siocurre que esta nueva función es derivable; en este caso la derivada de la prime-ra derivada se llamará segunda derivada. De forma semejante, la derivada de la se-gunda derivada se denomina tercera derivada, y así, de forma sucesiva hasta la enésimaderivada. Ejemplo:

Si y x dy

dx x

d

dx

dy

dx x= ⇒ =

=5 15 303 2 y , ettcétera

Símbolos para indicar las derivadas sucesivas:

y f x dydx

= ( ) = , significa la primera derivada de y con respecto a x

y f x d y

dx = ( ) =

2

2, significa la segunda derivada de y con respecto a x

y f x d y

dx = ( ) =

3

3, significa la tercera derivada de y con respecto a x

y f x d y

dx

IV IV = ( ) =4

4, significa la cuarta derivada de y con respecto a x etcétera.

E J E M P L O

1) Derivar y x x= − +2 5 22 hasta la segunda derivada

dy

dx x= −4 5 Primera derivada

dy

dx = 4 Segunda derivada

D E R I V A D A S D E O R D E N S U P E R I O R

Derivadas de orden superior • 1




1. Hallar la tercera derivada de:

y x x= + −4 5 4

E J E R C I C I O S

2. Hallar la segunda derivada de:

y x= −( )22


y x x= −( ) +( )3 3


y x= −3



5. En la figura se muestran las gráficas de f , f y f . Identifica cada curva y explicatus elecciones.

Sabemos que la aceleración media de un móvil es la relación del cambio de velocidad

entre el tiempo transcurrido. En símbolos esto se expresa así: at med

= ∆∆

v; por lo tanto,

la aceleración instantánea será el límite de dicha relación cuando el tiempo tienda acero.

at

d

dt t = =

→lím

∆

∆∆0

v v

Pero como v = ⇒ =

=

ds

dt a

d

dt

ds

dt

d s

dt

2

2, es decir, la segunda derivada del despla-

zamiento con respecto a t es la aceleración del móvil.La derivada de la aceleración es la tercera derivada de la posición de un móvil y se

conoce como tirón y, de hecho, debe su nombre a que un gran tirón o jalón implica uncambio súbito en la aceleración.

x

y

x

y

x

y

A C E L E R A C I Ó N

Aceleración • 1




E J E M P L O

1) Desde lo alto de un edificio de 160 pies de altura, se arroja una pelota hacia arribcon una velocidad inicial de 64 pies seg/ .

a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima?

c) ¿Cuándo llega al piso?

d) ¿Con qué velocidad llega al piso?

e) ¿Cuál es la aceleración al momento t = 2?

S o l u c i ó n

¿Qué sabemos?

Que s a0 0

160 64 32= = = −pies pies seg pies s, / , /v eeg2 y que la posición en cuaquier tiempo es:

s s t gt

t t = + + = + −0

22

2160 64 16v

Por lo tanto,

v = = −ds

dt t 64 32

¿Qué queremos saber? a) Que la pelota alcanza su altura máxima cuando v = 0, luego,

− + =32 64 0t , de donde t = 2 seg .

b) Cuando t = 2 seg, s = − ( ) + ( )+ =16 2 64 2 160 2242

pies.

c) s = 0, cuando la pelota golpea el suelo, es decir;

− + + =16 64 160 02t t

160 pies



Al dividir entre 16, t = ± +

= ±4 16 40

25 74.

Sólo t = 5 74. segundos tiene sentido, no hay tiempo negativo.

d) Cuando t = 5 74. segundos, v = − ( )+ = −32 5 74 64 119 73. . / .m seg

e) La aceleración siempre es −32 pies s/ 2.

1. Un punto se mueve a lo largo de un eje horizontal de tal forma que su posiciónen el momento t está dada por:

s t t t = − + −3 212 36 30 pies / seg

a) ¿Cuándo es igual a cero su velocidad? b) ¿Cuándo es positiva la velocidad? c) ¿Cuándo el punto se mueve a la izquierda? d) ¿Cuándo es negativa la aceleración?

Sugerencia: Grafica en una computadora las ecuaciones de posición, velocidad yaceleración.

E J E R C I C I O

Aceleración • 1




Concavidad de una curva. Cuando recorremos una curva de izquierda a derecha y tangente de ésta en cada punto gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, sdice que la curva es cóncava hacia arriba; si gira en sentido opuesto, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Luego, es evidente que la derivada de una función con concavidad hacia arriba creciente, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Por otro lado, si la concavidaes hacia abajo, la primera derivada es decreciente y su segunda derivada es negativa. Poúltimo, un cambio de concavidad se encuentra en un punto llamado punto de inflexióLos diagramas siguientes nos ayudarán a comprender mejor todo esto.

Gráfica de la primera derivada

valor mínimo

Función cóncava hacia arriba

f ( x) es creciente, luego f ( x) positiva y la funcióntiene un mínimo

f ( x) es creciente, luego f ( x) es positiva

x x

f ( x) f´

( x

)

f"( x)> 0

Gráfica de la primera derivada

valor máximo

Función cóncava hacia abajo

f ( x) es decreciente, luego f ( x) negativa y la funcióntiene un mínimo

f

( x) es decreciente, luego f ( x) es positiva

x x

f ( x) f´ ( x)

f"( x)< 0

C O N C A V I D A D Y P U N T O D E I N F L E X I Ó N



Si analizamos y sintetizamos estas ilustraciones podemos concluir un segundo métodopara calcular los máximos y mínimos de una función y f x= ( ) .

Concavidadhacia arriba

Concavidadhacia abajo

Punto de inflexión

x

y

Punto de inflexión. El significado de este punto es que la razón de cambio de lafunción alcanza su valor máximo precisamente en ese punto.

C Á L C U L O D E M Á X I M O S Y M Í N I M O S C O N E L C R I T E R I O D E L A S E G U N D A D E R I V A D A

1. Calcular la primera derivada.

2. Encontrar los valores críticos.

3. Hallar la segunda derivada.

4. Evaluar la segunda derivada en cada uno de los valores críticos para conocer elsigno de ésta:

a) Si f x( ) es negativa, la función tiene un máximo.

b) Si f x

( ) es positiva, la función tiene un mínimo.

c) Si f x( ) es cero o no existe, por lo general, es un punto de inflexión.

5. Graficar

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada • 1




E J E M P L O S

1) Hallar los valores máximos y mínimos de f x x x x( ) = − − +1

33 43 2 .

S o l u c i ó n

Al derivar f x( ) tenemos:

f x x x( ) = − −2 2 3

Luego,

x x2 2 3 0− − = en un máximo o mínimo.

Al resolver la ecuación los valores críticos son:

x x1 2

1 3= − =y

Calculamos la segunda derivada:

f x x( ) = −2 2

Evaluamos f x( ) en x x1 2

1 3= − =y

f −( ) = −( ) − = −1 2 1 2 4, es negativa, por lo tanto, hay un máximo ≈ 5 67. e x = −1 .

f 3 2 3 2 4( ) = ( ) − = , es positiva, por lo tanto, hay un mínimo = −5 en x = 3 .

2) Analiza la curva y x x= −4 34 y verifica la concavidad, puntos de inflexión y máximoy mínimos locales.

y



S o l u c i ó n

Obtenemos la primera derivada y los valores críticos

dydx

x x x x= − = −( )4 12 4 33 2 2

4 3 02 x x −( ) = , de donde x1

0=

y

x2

3= .

La segunda derivada es

d y

dx x x x x

2

2

212 24 12 2= − = −( ) .

Si evaluamos la segunda derivada en x2

3= ; y = ( ) −( ) = >12 3 3 2 36 0 significa queen el punto 3 27, −( ) es un mínimo local.

Observa también que la segunda derivada en x = 0 y x = 2 es igual a cero, por lotanto, allí hay dos puntos de inflexión porque las concavidades de la gráfica se com-portan de la siguiente manera:

Intervalo f x x x ( ) ( )== −−12 2 Concavidad

x < 30 2< < x

x > 2

positivanegativapositiva

hacia arribahacia abajohacia arriba

y

x

Puntos deinflexión

(2,−16)

(3,−27)

344 x x y −=

T R A Z A D O D E C U R V A S

Con el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se puedegraficar la curva.

Trazado de curvas • 1




1. Halla los máximos y mínimos f x x x( ) = − +3 3 4. Grafica.

E J E R C I C I O S

2. Analiza la curva f x x x( ) = +4 3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y

máximos y mínimos locales.



3. Analiza la curva f x x x x( ) = − − +5 3 42 3 y verifica la concavidad, puntos deinflexión, y máximos y mínimos locales.

4. Analiza la curva f x x x x( ) = − − +5 3 42 3 y verifica la concavidad, puntos deinflexión, y máximos y mínimos locales.

y

x

y

x

Trazado de curvas • 1




M Á S A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A

1. El área del papel de un tríptico debe tener 600 cm2, con márgenes inferior ylaterales de 2 cm y superior de 4 cm. Determina las dimensiones del papel quepermitan el área impresa mayor.

2. Hay que construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que contenga6400 cm3 a un costo de $1.00 por cm2 para la base y $0.50 por cm2 para el árealateral. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para cons-truir la caja?

2 2

2

4

Á r e a

i m p r

e s a

x

x

y

6400 cm3



3. Se desea construir un envase cilíndrico vertical con tapa, el costo de las paredesdel cilindro $1.25 el cm2 y el de la tapa $2.00 cm2. ¿Cuáles son las dimensionesque producen el costo mínimo para construir el envase?

Más aplicaciones de la derivada • 1

h

radio

Calculo Diferencial -Rene Jimenez

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