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  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    DEFINICIN DE FUNCIN DIFERENCIABLE

    Se dice que una funcin y=f(x) es diferenciable en un punto si su

    incremento puede escribirse de la forma

    y es tal que no depende de los incrementos y

    cuando .

    xxxxxgf += ),()(

    0),( xx 0x

    )(xg x

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Ejemplo: Determinar si la funcin es diferenciable.

    Calculemos el incremento

    si hacemos se tiene

    que donde no depende de y cuando por lo tanto, podemos decir

    que la funcin y = f (x) es diferenciable.

    )(xg

    xxxf 3)( 2 +=

    )(3)()()( 2 xxxxxfxxff +++=+=xxxxxxxxxxxxf ++=+++++= 32)3(332 2222

    xxxxxg =+= ),(,)32()(

    xxxxxgf += ),()(

    xxxxf ++= )()32(

    0),( = xxx 0x

    f

    x

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    xxxxxgf += ),()( Se tiene entonces que si y=f(x) es diferenciable, su incremento se puede expresar como , pero surge la pregunta quin o qu es g(x)?Para responder la pregunta, dividamos entre , de este modo se tiene que

    tomando el lmite de cuando se tiene

    de donde se tiene que por lo tanto

    ),()(),()(

    xxxgx

    xxxxxgxf

    +=

    +=

    f x

    xf

    0x

    0)(),(lim)(lim),()(

    lim000

    +=+=

    +=

    xgxxxg

    xxxxxxg

    xf

    xxx

    )()(' xgxf =

    xxxxxff += ),()('

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Se tiene entonces que el incremento de una funcin diferenciable y = f(x) se puede escribir como

    al primer trmino se le llama diferencial de f y se representa por y al segundo trminose le conoce como trmino no lineal .Ahora si consideramos a la funcin identidad f(x)=x , se tiene que f(x)=1 por lo que , pero como y = f (x) = x se tiene que por lo que podemos reescribir a la diferencial de f como

    xxxxxff += ),()('

    xxf )('xxfxfd = )(')( xxx ),(

    xxfd =)(xxd =

    xdxfxfd )(')( = )(')( xf

    dxxfd =

    Diferencial de f trmino no lneal

  • Interpretacin geomtrica.

    APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    )('tan xfdxdy ==

    xxxdxxff += ),()('

    xxxdff += ),(

    xxxdff = ),(

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Puesto que la diferencial de la funcin y = f (x) es una nueva funcin de x podemos volver a diferenciarla es decir:

    Sea al diferenciar nuevamente la funcin se tiene

    puesto que que se deriva respecto a x , dx se considera constante, por lo tanto la segunda diferencial de la funcin estdada por

    xdxfxfd )(')( =

    ( )dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

    ( ) dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

    22 )()('')( xdxfxfd =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    33 )()(''')( xdxfxfd =

    al continuar repitiendo el proceso se obtendrn las diferenciales sucesivas

    44 )()()( xdxfxfd IV=55 )()()( xdxfxfd V=

    nnn xdxfxfd )()()( =

    M

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Qu pasa con el trmino no lineal del incremento?

    Para qu sirven las diferenciales sucesivas?

    La diferencial slo sirve para calcular el valor aproximado del y cosas as?

    xxx ),(

    CONTINUEMOS

    o46cos

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Supongamos que una funcin f (x), la podemos representar por

    entonces al derivarla sucesivamente n veces obtenemos

    ...)()().()()()()( 665

    54

    43

    32

    210 +++++++= axcaxcaxcaxcaxcaxccxf

    ...)(6).(5)(4)(3)(2)(' 564

    53

    42

    321 ++++++= axcaxcaxcaxcaxccxf

    ...)()5(6).()4(5)()3(4)()2(32)('' 463

    52

    432 +++++= axcaxcaxcaxccxf

    ...)()4)(5(6).()3)(4(5)()2)(3(4)2(3)(''' 362

    543 ++++= axcaxcaxccxf

    ...)()3(2)!3(

    ).(2

    )!2()()!1(!)( 33

    221 +

    ++

    ++++= +++ axc

    naxc

    naxcncnxf nnnn

    n

    M

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIALax =

    1)(' caf = 22 !22)('' ccaf == 33 !3)2(3)(''' ccaf == nn cnaf !)( =

    !2)(''

    2af

    c =!3

    )('''3

    afc =

    !)(

    naf

    cn

    n =

    =

    =0

    )(!

    )()(

    n

    nn

    axn

    afxf

    ...)(!

    )(...)(!3

    )(''')(!2

    ) ())((')()( 32 ++++++= nn

    axn

    afaxafaxafaxafafxf

    0)( caf =

    )(0 afc = )('1 afc =

    Al valuar a la funcin y sus derivadas sucesivas en se obtiene:

    , , , ,

    de donde los valores de las constantes son

    , , , ,

    finalmente se tiene que

    expresin que al representarla por medio del smbolo de sumatoria queda

    SERIE DE TAYLOR

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    ahora, de acuerdo a la figura

    y como ;

    por lo que

    =

    =0 !

    ))(()(

    n

    nn

    ndxaf

    xf

    L++++==

    = 6))(('''

    2))((''

    )(')(!

    )()(

    32

    0

    dxafdxafdxafaf

    nafd

    xfn

    n

    xax =dxx = xdax =

    si recordando que la diferencial n-esima est dada por , al valuarla en se obtiene ,

    y sustituyendola se llega a

    nnn dxxfxfd ))(()( = ax = nnn dxafafd ))(()( =

    f

    expresin mediante la cual es posible representar una funcin f por una suma infinita de sus diferenciales sucesivas en un punto .ax =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Taylor1.ggb Taylor2.ggb

    L+++=6

    ))(('''2

    ))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

    L+++=6

    ))(('''2

    ))(('')(')(32 dxafdxafdxafxf

    L++++=6

    ))(('''2

    ))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

    Diferencial de f trmino no lneal

    !))((

    6))(('''

    2))(('')(')()()(

    32

    ndxafdxafdxafdxafafxPxf

    nn

    +++++= L

    Si se consideran slo los n primeros trminos, se obtendr un polinomio P(x) de grado n llamado Polinomio de Taylor que es una aproximacin de f (x)

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    =

    =0

    00

    !),(

    ),(n

    n

    nyxfd

    yxf

    Consideremos la funcin z = f( x, y), la diferencial total de f est dada

    por y del mismo modo que una funcin y=g(x)

    tiene una segunda diferencial, f(x,y) tambin la tiene siendo esta

    y al sustituir en la expresin

    obtenemos

    22

    222

    2

    22 )(2)(),( dy

    yfdxdy

    yxfdx

    xfyxfd

    +

    +

    =

    dyyf

    dxxf

    yxfd

    +

    =),(

    L+

    +

    +

    +

    +

    +

    +=

    2

    ),(2

    2

    ),(

    22

    ),(2

    2

    ),(),(00

    )(2)(21

    ),(),(

    000000

    0000

    dyy

    fdxdy

    yxf

    dxx

    f

    dyyf

    dxxf

    yxfyxf

    yxyxyx

    yxyx

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    2

    ),(2

    2

    ),(

    22

    ),(2

    2

    ),(),(00

    )(21

    )(21

    ),(),(

    000000

    0000

    dyy

    fdxdy

    yxf

    dxx

    f

    dyyf

    dxxf

    yxfyxf

    yxyxyx

    yxyx

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Si consideramos los tres primeros trminos, obtendremos una

    aproximacin de la funcin f(x,y) alrededor del punto dada

    por

    que corresponde a una expresin de la forma

    ),( 00 yx

    22 CyBxyAxEyDxFz +++++=

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    FEyDxCyBxyAxz +++++= 22

    la expresin anterior corresponde a una superficie cuadrtica cuya forma depende del signo del trmino donde24 BAC =

    0),(

    0

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    >

    >

    =

    xyxf

    yxf

    yf

    xf

    0),(

    0

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    =

    xyxf

    yxf

    yf

    xf

    022

    2

    2

    2

    2

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    DERIVADA DE FUNCIONES IMPLCITAS

    Sea la funcin donde , calcular la

    las derivadas parciales y

    Para calcular las derivadas parciales indicadas, sera necesario despejar de la expresin la variable z , labor que en la mayora de los casos es muy complicada y ms difcil que la obtencin de la misma derivada.

    Por ejemplo: si tratamos de despejar la variable z de la

    expresin , podremos hacer muchos intentos

    sin lograrlo. Por tal razn es muy conveniente establecer un mtodo de derivacin que no requiera de despejar a z .

    0),,( =zyxF ),( yxfz =

    xz

    yz

    0),,( =zyxF

    02 = zyexz

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Consideremos la funcin donde

    al diferenciar ambas expresiones obtenemos de la primera

    y de la segunda

    al sustituir dz en dF se tiene

    factorizando dx y dy

    para garantizar que la expresin anterior se cumple para todo valor de las variables x , y , se tiene que dx=dy=0 , pero esta condicin no es factible ya que si se cumpliera, resultara que las variables x, y seran constantes, por lo tanto la condicin ser

    0),,( =zyxF ),( yxfz =

    0=+

    +

    = dz

    zFdy

    yFdx

    xFdF dy

    yzdx

    xzdz

    +

    =

    0=

    +

    +

    +

    = dy

    yzdx

    xz

    zFdy

    yFdx

    xFdF

    0=

    +

    +

    +

    = dyyz

    zF

    yF

    dxxz