Prof: Nancy Andrades

Integrales dobles

Cálculo III (A, C y E)

Repaso de la situación en una variable

Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud x. Si xj

es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:

Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]

F(a)-F(b)dxxn

)f(xlimb

a

f(x)1j

jn

Δ

a bxj xj+1

Cálculo III (A, C y E)

La integral dobleSea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

R

ΔAn

lim1j

)jy,jf(xn

y)dAf(x,

( xJ, xj+1)

Cálculo III (A, C y E)

Interpretación gráfica

La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.

Región R

z = f(x,y)

Cálculo III (A, C y E)

La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.

Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.

Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.

Cálculo de integrales dobles

b

a

d

c

d

c

b

aR

y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,

Cálculo III (A, C y E)

Propiedades

RR

y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)

1 2R RR

y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,

sobreponenseno2R y 1Rdonde,2R1RRSid)

R RR

y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)

R

0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,

Cálculo III (A, C y E)

Límites de integración

Secciones transversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R: a x b , g1(x) y g2(x)

y = g1(x)

y = g2(x)

a b

R

b

a

(x)g

(x)gR

2

1

y)dydxf(x,y)dAf(x,

Cálculo III (A, C y E)

Límites de integración

Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R: c y d , h1(y) x h2(y)x = h1(x)

x = h2(x)

c

d

R

d

c

(y)h

(y)hR

2

1

y)dxdyf(x,y)dAf(x,