INTEGRAL RANGKAP

INTEGRAL GANDAIntegral untuk fungsi satu variable, kita

membentuk suatu partisi dari interval [a,b]

menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk ,

k = 1, 2, 3, 4, ….n.

∑∫=

∞→∆=

n

k

b

a

dxxf1

kkn

x )f(xlim )(

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral

untuk fungsi dua variable.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada

suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian

daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang

masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

1

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk

dan bentuklah jumlah :

AyxfAyxfAyxfAyxf nnn

n

k

kkk ∆++∆+∆=∆∑=

),(.......),(),(),( 222

1

111

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka

integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas

daerah R didefinisikan :

∑∫∫=

∞→∆=

n

k

kkkn

R

AyxfdAyxf1

),(lim),(

2

Untuk menghitung integral lipat dua dapat

digunakan integral berulang yang ditulis dalam

bentuk :

a. ∫∫∫∫ =RR

dxdyyxfdAyxf ),(),( ∫ ∫

==

=

b

a

yfy

yfy

dydxyxf

)(

)(

2

1

),(

dimana integral yang ada dalam kurung

harus dihitung terlebih dahulu dengan

menganggap variable y konstanta, kemudian

hasilnya diintegral kembali terhadap y.

b. ∫∫∫∫ =RR

dydxyxfdAyxf ),(),( ∫ ∫

==

=

b

a

yfy

yfy

dxdyyxf

)(

)(

2

1

),(

dimana integral yang ada dalam kurung

harus dihitung terlebih dahulu dengan

menganggap variable x konstanta, kemudian

hasilnya diintegral kembali terhadap x.

3

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan

(b) secara umum akan memberikan hasil yang

sama.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI

PANJANG

Bentuk umum :

∫∫∫∫ = dxdyyxfdAyxf

R

),(),(

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }

a,b,c dan d adalah konstanta

4

Contoh :

∫∫1

0

2

1

.1 dxdy

∫∫ +4

2

2

1

22 )( .2 dxdyyx

∫∫ +4

2

2

1

2 )3( .3 dydxyxy

∫ ∫ +4

2

2

0

)2cos(sin .4

π

θθθ drdr

5

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN

PERSEGI PANJANG

∫∫∫∫==

=)(f

)(

2

1

dx ),( ),( .

x

xfy

b

axR

dyyxfdAyxfa

dimana :

R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

6

∫∫∫∫==

=)(f

)(

2

1

dy ),( ),( .

y

yfx

d

cyR

dxyxfdAyxfb

dimana :

R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

7

Contoh :

∫∫1

0

2

2

.1

x

x

dydxxy

∫ ∫ +2

1

3

)( .2

y

y

dxdyyx

∫ ∫+2

0 2

2

2

.3

xx

x

dydxx

∫ ∫2 2sin

2cos

2 .4

π

π

θ

θ

θdrd

8

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Aplikasi integral lipat dua yang

bentuk umumnya : ∫∫R

dAyxf ),(

dapat dijelaskan sbb :

1. LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral

lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral

lipat dua menjadi :

∫∫∫∫∫∫ ===RR

dydx dxdy A atau

R

dAA

Dalam koordinat polar :

∫∫∫∫=

=

==2

1

2

1

d d

υ

ρ

βθ

αθ

θρρR

dAA

contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2

dan 2y = x + y

9

Jawab :

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫∫

=−==

−=−−−=

===

2

0

2

2

0

2

0

2

0

y-2

4-2y

2

0

y-2

4-2yR

6)612()y2

3-(6y

dy)y36(dy)4y2y2(

dt xdxdy dAA

10

2.

11