TALLER DE CALCULO INTEGRAL

SOLIDOS EN REVOLUCION

1. Encuentre el volumen del solido generado por la rotación alrededor del eje x de la región acotada por las graficas de las ecuaciones y=1/x ; x=1; x=3; y=0.

Solución

El volumen de la rebabada (disco) es

dV=πr2∆x donde r =f(x) y ∆x=dx

dV=π

dV=

El volumen V del solido en revolución desde x=1 ; x=3.

V=

V=

V=

V=

2. Demuestre que el volumende un cono circular recto truncado de altura h, radio de la base

inferior R y radio de la base superior r es V= .

Solucion.

El volumen de la rebabada (disco) es :

dV=πr2∆y donde r =f(y) y ∆y=dy

dV=π

pero f(y) es la ecuación de la recta que une los puntos:

P(r,h) ; P1(R,0)

m

luego la ecuación de la recta es:

m(x-xo)=y-yo

y=

x=

entonces:

dV=

El volumen V del solido generado desde y=0 a y=h.

V=

V=

V=

V=

V=

V=

V=

V=

3. Encuentre el volumen del solido generado por la rotación alrededor de la recta y=-3 de la región acotada por las graficas de y=x2 ; y=1+x-x2.

Solución.

Inerceptos.

F(x)= g(x) donde f(x)= x2 g(x)= 1+x-x2

x2=1+x-x2

2x2-x-1=0

(x-1)(2x+1)=0 de donde x=1; x=-1/2.

El volumen de le arandela es:

dV= ∆x donde R(x)=1+x-x2-(-3)=4+x-x2 r(x)=x2-(-3)=x2+3 ∆x=dx.

El volumen del solido generado desde x=-1/2 ; x=1.

V=

V=

V=

V=

V=

V=

V=

4. Formule la integral que se pueda usar para hallar el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x, la región limitada por un circulo con centro a 6 unidades del eje x y radio igual 2 ( el solido generado se llama toro).

Solución.

Calculemos la ecuación del circulo:

Centro(0,6) y radio r=2

(x-h)2+(y-k)2=r2

X2+(y-6)2=4

y-6=±

y=6± donde f(x)= 6+ y g(x)= 6-

El volumen de la arandela es:

dV= ∆x donde R(x)= 6+ y r(x)= 6- ∆x=dx

dV= el solido generado desde x=-2 a x=2.

V=

5. Hay una bolla metalica construida por dos conos circulares rectos unidos por sus bases, siendo R su radio común y sus alturas h1 y h2 calcular su volumen.

Solución.

Calculemos la ecuación que pasa por los puntos PQ.

P(0,h1) ; Q(r,0)

m = de donde

La ecuación que pasa por QR.

m = de donde luego

dV1=

V1=

dV2=

V2=

V= V1+ V2

V=

V=

V=

V=

V=

V=

V=

6. Un tanque metalico tiene la forma de un hemisferio de radio r , coronado por un cilindro de altura h. Calcular el volumen total.

Solución.

El solido se forma al girar las figuras geométricas presentadas en anexo #6 que consta de un cuarto de circulo y un rectángulo.

Luego la primera parte el cilindro el volumen de la rebanada.

dV1=

V1=

V1=

V1=

V1=

Por otra parte en el cuarto de circulo tiene como ecuación

dV2=

V2=

V2=

V2=

V2=

V2=

V2=

Luego

V= V1+V2

V=

7. Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es V= .

Solución.

La ecuación del semicírculo que genera a la esfera es .

El volumen de la rebanada es:

dV=π de donde f(x)= y se el solido generado va desde y=-r a y=r.

V=

V=

V=

V=

V=

V=