APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG

Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n

sub interval h1, h2, …, hn yang panjangnya Δ1x, Δ2x, …, Δnx (anggap Δ1x = Δ2x =

… = Δnx), ambil sembarang titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi

panjang yang alasnya hi (jadi panjangnya Δix) dan tingginya f(xi).

Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan

luas = f(x.i) Δix

Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah :

∑k=1

n

f (x¿¿k )∆ xk❑ ¿

Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh

f(x), sumbu X, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika Δkx →0, maka banyaknya

subinterval n → ∞, sehingga luas daerah tersebut adalah :

Luas=L=limn→∞

∑k=1

n

f (x¿¿k )∆ xk❑ =∫

a

b

f ( x )dx¿

Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3

adalah :

L=∫1

3

x dx=12x2¿1

3=12

{9−1 }=4

Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah :

a. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas

daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

Luas=∫a

b

f ( x )dx

b. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas

daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

Luas=∫a

b

−f ( x )dx

c. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang

dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan

luas masing-masing daerah. Misal pada gambar :

Maka → Luas = Luas I + Luas II + Luas III

Jadi

L=∫a

c

f ( x )dx+∫c

d

− f (x )dx+¿∫a

b

f ( x )dx¿

Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu

X adalah

Luas=∫a

b

¿ f ( x )∨dx

d. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan

sumbu Y adalah :

Luas=∫a

b

¿ f ( y )∨dy

e. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku

bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b

adalah :

Luas=∫a

b

¿ f ( x )−g(x )∨dx

seperti tampak pada gambar berikut :

atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi

oleh f(y), g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :

Luas=∫a

b

¿ f ( y )−g ( y)∨dy

Seperti tampak pada gambar berikut :

Catatan Penting :

Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa

dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya

dengan tebal Δx (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau Δy (bila persegi

panjang mendatar / horizontal).

2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk

yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian

gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang

banyaknya dibuat menjadi ∞.

Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah :

1) Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan

sumbu X adalah :

Jadi luas daerah tersebut adalah :

Luas=∫0

2

−(x2−4 )dx+∫2

3

(x2−4 )dx

¿−( 13x3−4 x)¿0

2+( 13x3−4 x)¿2

3

¿−{( 13

8−4.2)−0}+{( 13

.27−4.3)−( 13

8−4.2)}

¿−{83−8 }+{( 27

3−12)−( 8

3−8)}

¿−(−163 )+(−9

3—

163 )

¿ 163

+ 73=23

3

Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi

kesalahan yaitu

Luas=∫0

3

(x2−4 )dx=( 13x3−4 )¿0

3=( 13

.27−4.3)−0=9−12=−3

→ (salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).

2) Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x.

Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4,

12) dan (-1, -3)*

*) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 -

3x = 0. Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat

x2 – 4 - 3x = 0, diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x

= 4, maka y = 12, dan untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan

titik potong kedua kurva yaitu (4, 12) dan (-1, -3).

Grafik dari kurva seperti berikut :

Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb :

Luas=∫−1

4

¿ f ( x )−g (x)∨dx=∫−1

4

¿ x2−4−3x∨dx=∫−1

4

¿ x2−3 x−4∨dx

Selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu:

x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1).

+ + + - - - + + +

-1 4

Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas

dilakukan dengan menegasikan nilai integrand-nya sbb :

Luas=∫−1

4

−(x2−3 x−4 )dx=¿∫−1

4

−x2+3x+4dx ¿

¿(−13x3+ 3

2x2+4 x )¿−1

4

¿(−13.43+ 3

2.42+4.4)−(−1

3. (−1 )3+ 3

2. (−1 )2+4.(−1))

¿(−643

+ 482

+16)−( 13+3

2−4)=( 112

6+13

6 )=1256

Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4,

kurva garis terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x)

bernilai positif atau 3x – (x2 – 4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi

kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan :

Luas=∫−1

4

(g ( x )−f ( x ))dx=¿∫−1

4

{3 x−(x2−4 )}dx=∫−1

4

(3 x−x2−4 )dx=¿∫−1

4

(−x2+3 x−4 )dx=1256

¿¿

3) Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan

pada gambar berikut adalah :

Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t –

sin t, maka dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt.

Sehingga

Luas=∫t=0

2π

ydx

¿∫t=0

2 π

¿¿

¿∫t=0

2 π

¿¿

¿∫t=0

2 π

¿¿

¿ t ¿02π−2sin t ¿0

2π+∫t=0

2π

cos2t dt

untuk menghitung nilai integral ∫t=0

2 π

cos2 t dtgunakan kesamaan fungsi

trigonometri cos2t = 1 - sin2t, sehingga

∫t=0

2 π

cos2 t dt=∫t=0

2π

¿¿¿

¿∫t=0

2 π

1dt−∫t=0

2π

sin2 t dt

¿ t ¿02π−∫

t=0

2π

sin2t dt

∫t=0

2 π

sin2 t dt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri (1− cos ) = 2sin2 ½

x , dengan demikian sin2t = ½(1 – cos2t) sehingga

∫t=0

2 π

sin2 t dt=∫t=0

2 π12(1−cos2t )dt

¿ 12∫t=0

2π

(1−cos2t )dt

¿ 12∫t=0

2π

1dt−12∫t=0

2π

cos2 t dt

¿ t ¿02π−1

2∫t=0

2π

cos 2t dt

Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga

∫t=0

2 π

cos2 t dt=∫t=0

2π

cosu12du

¿ 12∫t=0

2π

cosudu

¿ 12

sinu¿02π=1

2sin 2 t ¿0

2π

Jadi

∫t=0

2 π

¿¿¿

¿ t ¿02π+t ¿0

2π−12t ¿0

2 π−2sin t ¿02π+ 1

2.

12

sin 2 t ¿02π

¿2 t ¿02π−1

2t ¿0

2π−2sin t ¿02π+ 1

4sin 2t ¿0

2π

¿ 32t ¿0

2π−2sin t ¿02π+ 1

4sin2 t ¿0

2π

¿ 32

.2π−¿

¿3 π−0+0=3 π

2. VOLUME BENDA PUTAR

Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda

putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam integral tentu.

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut,

maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi

menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

1. Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-

motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Bentuk cakram di bawah dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r =

f(x), tinggi h = Dx. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai DV = pr2h

atau DV = p f(x)2Dx.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

Gb. 4

V = å p f(x)2 Dx

V = lim å p f(x)2 Dx

v=π∫0

a

[ f ( x ) ]2dx

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan

sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung

dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak

berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat

cakram ( xo,0 ) dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

A( xo ) = π f2 (xo). Oleh karena itu, volume benda putar :V=∫a

b

π [ f (x)]2dx

Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan

y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

V=∫c

d

π [w ( y )]2dy

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) ≥ 0 , y = g(x) ≥ 0 { f(x) ≥ g(x) untuk

setiap x є [a,b] }, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka

volume:V=∫c

d

π ( [w( y)]2−[ v ( y) ]2 )dy

xh = xx xy 0xy x a

)(xf

)(xf

r

Bila daerah yang dibatasi oleh x = w(y) ≥ 0 , x = v(y) ≥ 0 { w(y) ≥ v(y) untuk

setiap y є [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka

volume:V=∫a

b

π ( [ f (x )]2−[g (x) ]2 )dy

Contoh :

1) Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = x2 dan y2

= 8x diputar mengelilingi

a. Sumbu X.

b. Sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di (0,2) dan (2,4)

a. Pada selang [0,2],√8 x≥ x2. Volume benda putar =

V=π∫0

2

[(√8x )2−( x2)2 ]dx=48

5π

b. Pada selang [0,4],√ y≥ y2

8. Volume benda putar =

V=π∫0

4 [(√ y )2−( y2

8 )2]dx=272

15π

2) Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = 2 - x2 ,

y = -x dan sumbu Y, bila diputar mengelilingi garis y = -2

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di (-1,1) dan (-2,2). Pada selang [-1,0] berlaku

2 – x2≥-x. jarak kurva y = 2-x2 dan y = -x terhadap sumbu putar (garis y

= -2) dapat dipandang sebgai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4-

x2) dan (2-x). oleh karena itu, volume benda putar :

V=π∫−1

0

[ (4−x2 )2−(2−x )2 ]dx=365π

3) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x

sejauh 360º.

Jawab :

Langkah penyelesaian:

a. Gambarlah daerahnya

b. Buat sebuah partisi

c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral.

DV = pr2h

y12xy

1

x

y

x

x12xy

1

x

12 xy

12 xy

DV = p(x2 + 1)2 Dx

V = å p(x2 + 1)2 Dx

V = lim å p(x2 + 1)2 Dx

v=∫0

2

π (x2+1)2dx

v=π∫0

2

(x¿¿4+2x¿¿2+1)dx¿¿

v=π [ 15x5+

23x

3

+x ]0

2

v=π ( 325

+ 163

+2−0)=131115

4) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab :

Langkah penyelesaian:

a. Gambarlah daerahnya

b. Buatlah sebuah partisi

2x y

xy

2xy

c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral.

DV = pr2h

DV = p(Öy)2 Dy

V = å py Dy

V = lim å py Dy

v=∫0

2

π y dy

v=π∫0

2

y dy

v=π [ 12y2]

0

2

v=π ( 12

(4−0 ))

yy

2x y

xy

x

yh=y

y

yr

2

2xy

v=2π

2. Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin

dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di bawah,

yaitu V= p(R2 – r2)h

Contoh :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Jawab :

Langkah penyelesaian:

a. Gambarlah daerahnya

Gb. 5

hr

R

b. Buat sebuah partisi

c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

DV = p(R2 – r2) h

DV = p [ (2x)2 – (x2)2 ] Dx

DV = p (4x2 – x4) Dx

V = å p (4x2 – x4) Dx

4yy = 2x

2

2x y

x

2xy

V = lim å p (4x2 – x4) Dx

V=π∫0

2

( 4 x2−x4 )dx

V=π [ 43x

3

−15x5]

0

2

V=π ( 323

−325 )

V=π ( 160−9615 )

V=6415π

3. Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar di bawah.

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar

mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x, ∆r=∆ x

dan tinggi tabung h = f(x).oleh karena itu volume benda putar :

V=∫a

b

2 πx f ( x )dx

Misalkan daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x) {f(x) ≥ g(x), x∈

[a,b] }, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. maka volume benda putar :

V=∫a

b

2 πx [ f ( x )−g ( x )]dx

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = w(y), x =0, y =c

dan v = d diputar mengelilingi sumbu X. maka volume :

V=∫c

d

2 πy w ( y )dy

Sedangkan untuk daerha yang dibatasi oleh x = w(y), x =v(y) {w(y) ≥v(y), y

∈ [c,d]} , y =c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. maka volume benda

putar: V=∫c

d

2 πy [w ( y )−v ( y )]dy

Contoh :

1) Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama

dibawah parabola y = 2 - x2 dan di atas parabola y = x2 diputar mengelilingi

sumbu Y.

Jawab :

Kedua parabola berpotongan di (-1,1) dan (1,1). Pada selang [0,1]. 2-x2≥x2.

Bila digunakan metode kulit tabung volume:

V=2π∫0

1

x [ (2−x2)−x2 ]dx=π

2) Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = 1 - x2 ,

sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab :

Missal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi

benda pejal, (1-x2) dan jari-jari (jarak x terhadap sumbu putar / garis x -1),

(1+x). oleh karena itu, volume benda putar :

V=2π∫−1

0

(1+x ) (1−x2 )dx=56π

3) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Jawab :

Langkah penyelesaian:

a. Gambarlah daerahnya

b. Buatlah sebuah partisi

0x12

2xy

y1234 2xy

c. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

d. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

DV = 2prhDx

DV = 2p(x)(x2)Dx

V = å 2px3Dx

V = lim å 2px3Dx

V=2∫0

2

x3dx

V=2π [ 14x

4]0

2

V=8π

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode

cincin adalah sebagai berikut.

DV = p(R2 – r2)Dy

DV = p(4 - x2)Dy

V = å p(4 – y)Dy

V = lim å p(4 – y)Dy

V=π∫0

4

(4− y )dx

V=π [4 y−12y2]

0

4

V=(16−8)2 π

V=8π