CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di...

44
CHAPTER 4 INTEGRAL TENTU

Transcript of CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di...

Page 1: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

CHAPTER 4INTEGRAL TENTU

Page 2: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.1 Pengenalan Luas

Page 3: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Luas Poligon

Page 4: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Luas Daerah dengan Batas Kurva

Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)

Pandang regular poligon di dalam lingkaran.

Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.

Page 5: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Notasi Sigma

๐‘–=1

๐‘›

๐‘Ž๐‘– = ๐‘Ž1 + ๐‘Ž2 +โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘›

Page 6: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Contoh

1. Jika ฯƒ๐‘–=110 ๐‘Ž๐‘– = 9 dan ฯƒ๐‘–=1

10 ๐‘๐‘– = 7, berapakah ฯƒ๐‘–=110 (3๐‘Ž๐‘– โˆ’ 2๐‘๐‘–) dan

ฯƒ๐‘–=110 (๐‘Ž๐‘– + 4) ?

2. Tentukan ฯƒ๐‘–=1๐‘› (๐‘Ž๐‘–+1 โˆ’ ๐‘Ž๐‘–).

3. Tentukan jumlahan geometris ฯƒ๐‘˜=0๐‘› ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘˜.

Page 7: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jumlahan Khusus

Page 8: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Berapa Jeruk dalam Tumpukan

Page 9: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi

Hitunglah luas daerah di bawah kurva ๐‘ฆ =๐‘ฅ di antara 0 dan 4.

Pandang daerah ๐‘… yang dibatasi oleh parabola ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2, sumbu-๐‘ฅ, dan garistegak ๐‘ฅ = 2.

Hitunglah luas daerah tersebut, ๐ด ๐‘… .

Page 10: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Luas Lingkaran Berjari-jari 1

Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)

Pandang regular poligon di dalam lingkaran.

Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.

Page 11: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.2 Integral Tentu

Page 12: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jumlah Riemann

Misalkan ๐‘“ fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [๐‘Ž, ๐‘].

Pandang partisi ๐‘ƒ yang membagi selang [๐‘Ž, ๐‘] ke dalam ๐‘› subselangdengan titik-titik ๐‘Ž = ๐‘ฅ0 < ๐‘ฅ1 < ๐‘ฅ2 < โ‹ฏ < ๐‘ฅ๐‘›โˆ’1 < ๐‘ฅ๐‘› = ๐‘ dan โˆ†๐‘ฅ๐‘– =๐‘ฅ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅ๐‘–โˆ’1. Pada setiap subselang [๐‘ฅ๐‘–โˆ’1, ๐‘ฅ๐‘–], pilih titik sampel เดฅ๐‘ฅ๐‘– .

๐‘…๐‘ƒ = ฯƒ๐‘–=1๐‘› ๐‘“ เดฅ๐‘ฅ๐‘– โˆ†๐‘ฅ๐‘– disebut jumlah Riemann untuk ๐‘“ yang

berkorespondensi dengan partisi ๐‘ƒ.

Page 13: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Interpretasi Geometri dari Jumlah Riemann

Page 14: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Integral Tentu

Misalkan ๐‘“ fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [๐‘Ž, ๐‘].

Jika

lim๐‘ƒ โ†’0

๐‘–=1

๐‘›

๐‘“ เดฅ๐‘ฅ๐‘– โˆ†๐‘ฅ๐‘–

ada, maka ๐‘“ dikatakan dapat diintegralkan pada [๐‘Ž, ๐‘].

๐‘Ž๐‘๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ disebut integral tentu (atau Riemann integral) untuk ๐‘“ dari ๐‘Ž ke ๐‘,

dengan

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = lim๐‘ƒ โ†’0

๐‘–=1

๐‘›

๐‘“ เดฅ๐‘ฅ๐‘– โˆ†๐‘ฅ๐‘–

Page 15: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Arti Geometri dari Integral Tentu

Page 16: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Fungsi yang Dapat Diintegralkan

Teorema Terintegralkan

Jika ๐‘“ terbatas pada [๐‘Ž, ๐‘] dan kontinu kecualipada sejumlah berhingga titik, maka ๐‘“ dapatdiintegralkan pada [๐‘Ž, ๐‘].

Contoh

1. 02๐‘ฅ + 1 ๐‘‘๐‘ฅ .

2. 2โˆ’1(2x + ฯ€)๐‘‘๐‘ฅ .

Page 17: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Sifat Penjumlahan

Page 18: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Sifat Perbandingan

Page 19: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Sifat Keterbatasan

Page 20: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Sifat Linear

Page 21: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.3 Teorema Dasar Kalkulus I

Page 22: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Newton, Leibniz, dan Kalkulus

ยฉwww.calculusbook.net

Page 23: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Dua Limit Penting

Apakah kedua limit ini berhubungan?

Page 24: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jarak dan Kecepata

Misalkan suatu objek bergerak sepanjang sumbu-๐‘ฅ sedemikian sehingga kecepatannyapada saat ๐‘ก adalah ๐‘ฃ = ๐‘“ ๐‘ก meter per detik. Seberapa jauh objek tersebut akanberpindah dalam selang waktu di antara ๐‘ก = 0 dan ๐‘ก = 3?

Jarak yang ditempuh adalah

lim๐‘›โ†’โˆž

ฯƒ๐‘–=1๐‘› ๐‘“ ๐‘ก๐‘– โˆ†๐‘ก 0=

3๐‘“ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก.

Bagaimana dengan jarak ๐‘  yang ditempuh di antara ๐‘ก = 0 dan ๐‘ก = ๐‘ฅ?

๐‘  ๐‘ฅ = เถฑ0

๐‘ฅ

๐‘“ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

Apakah turunan dari ๐‘ ?๐‘ โ€ฒ(๐‘ฅ) = ๐‘ฃ = ๐‘“(๐‘ฅ)

.

.

Page 25: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan ๐‘“ fungsi kontinu pada selang tutup [๐‘Ž, ๐‘] dan ๐‘ฅ adalah titik di (๐‘Ž, ๐‘). Maka

๐‘‘

๐‘‘๐‘ฅเถฑ๐‘Ž

๐‘ฅ

๐‘“ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก = ๐‘“(๐‘ฅ)

Contoh

Tentukan ๐บโ€ฒ ๐‘ฅ .

(a) ๐บ ๐‘ฅ = 1๐‘ฅsin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก (b) ๐บ ๐‘ฅ = 1

๐‘ฅ2sin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

(c) ๐บ ๐‘ฅ = sin ๐‘ฅ

co๐‘  ๐‘ฅsin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก (d) ๐บ ๐‘ฅ = 1

๐‘ฅ๐‘ฅ sin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก

Page 26: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Menghitung Integral Tentu

Misalkan ๐บ ๐‘ฅ = 0๐‘ฅsin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก.

1. Tentukan ๐บ 0 .

2. Misalkan ๐‘ฆ = ๐บ ๐‘ฅ , tentukan ๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ.

3. Carilah solusi particular dari๐‘‘๐‘ฆ

๐‘‘๐‘ฅ= sin ๐‘ฅ.

4. Gunakan hasil 3. untuk menentukan 0๐œ‹sin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก.

Page 27: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.4 Teorema Dasar Kalkulus II

Page 28: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Teorema Dasar Kalkulus II

Misalkan ๐‘“ fungsi kontinu pada [๐‘Ž, ๐‘] dan ๐น adalah suatu anti turunandari ๐‘“ pada[๐‘Ž, ๐‘]. Maka

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐น ๐‘ โˆ’ ๐น(๐‘Ž)

Contoh

1. 4โˆ’โˆ’2

๐‘ฆ2 +1

๐‘ฆ3๐‘‘๐‘ฆ .

2. ๐œ‹/6๐œ‹/2

2 sin ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก .

Page 29: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Metoda Substitusi

1. ๐‘ฅ ๐‘ฅ2 + 3 โˆ’12/7๐‘‘๐‘ฅ .

2. ๐‘ฅ2 cos ๐‘ฅ3 + 5 ๐‘‘๐‘ฅ.

3. 14 ๐‘ฅโˆ’1

3

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ .

4. 0๐œ‹/6

(sin ๐œƒ)3 cos ๐œƒ ๐‘‘๐œƒ.

5. 01๐‘ฅ2 sin ๐‘ฅ3 2 cos ๐‘ฅ3 ๐‘‘๐‘ฅ .

Page 30: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Contoh LainMisalkan ๐‘“ suatu fungsi yang memiliki turunan ketiga yang kontinu. Garis putus-putus pada gambar adalah garis singgung pada grafik๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) di titik (1,1) dan (5,1).

Tentukan apakah integral berikut positif, negatif, atau nol.

1. 15๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ.

2. 15๐‘“โ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ.

3. 15๐‘“โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ.

4. 15๐‘“โ€ฒโ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ.

Air bocor dari tanki dengan kapasitas 55 meter kubik dengan laju ๐‘‰โ€ฒ ๐‘ก = 11 โˆ’ 1.1๐‘กdi mana ๐‘ก diunkur dalam jam dan ๐‘‰ dalam meter kubik. Pada awalnya tanki terisipenuh dengan air.1. Berapa banyak air yang keluar dalam selang waktu di antara ๐‘ก = 3 dan ๐‘ก = 5

jam?2. Berapa lama waktu yang diperlukan agar bersisa 5 meter kubik air di dalam

tanki?

Page 31: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.5 Teorema Nilai Rata-Rata untukIntegral dan Penggunaan Simetri

Page 32: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Nilai Rata-Rata Fungsi

Masih ingatkah dengan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan?

Jika ๐‘“ dapat diintegralkan dalam selang [๐‘Ž, ๐‘], maka nilai rata-rata dari๐‘“ pada [๐‘Ž, ๐‘] adalah:

Pandang integral tentu di atas sebagai luas daerah di antara ๐‘“(๐‘ฅ) and the ๐‘ฅ-axis pada [๐‘Ž, ๐‘]. Maka ๐‘“๐‘Ž๐‘ฃ๐‘’ adalah tinggi persegi panjang pada [๐‘Ž, ๐‘] dengan luas yang tepat sama.

โˆ’=

b

a

ave dxxfab

f )(1

Page 33: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Jika ๐‘“ kontinu pada [๐‘Ž, ๐‘], maka terdapat bilangan ๐‘ di antara ๐‘Ž dan ๐‘sehingga

Contoh.

1. Misalkan suhu dalam derajat Celsius pada suatu batang logam denganpanjang 2 meter bergantung pada posisi ๐‘ฅ dengan fungsi ๐‘‡(๐‘ฅ) = 40 +20๐‘ฅ(2 โˆ’ ๐‘ฅ). Carilah rata-rata suhu dalam batang tersebut. Apakahterdapat titik di mana suhunya sama dengan suhu rata-rata?

2. Tentukan semua nilai ๐‘ yang memenuhi Teorema Nilai Rata-Rata untuk๐‘“(๐‘ฅ) = |๐‘ฅ| pada [โˆ’2,2].

โˆ’=

b

a

dttfab

cf )(1

)(

Page 34: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Teorema Kesimetrian

Jika f adalah fungsi genap maka

Jika f adalah fungsi ganjil maka

Page 35: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Periodik

Jika ๐‘“ fungsi periodik dengan perioda ๐‘, maka

Contoh. Hitunglah

1. .

2. .

3. .

Page 36: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

4.6 Integral Numerik

Page 37: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Aproksimasi Integral Tentu

Jika ๐‘“ fungsi kontinu pada selang tutup [๐‘Ž, ๐‘], maka integral tentunya ada. Namun demikian, integral tentu tersebut tidak selalu mudah dihitung.

Contoh.

เถฑsin ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ

เถฑsin ๐‘ฅ

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ

Dalam kasus yang demikian, digunakan beberapa metoda numerik untukmenghitung integral tentu.

Page 38: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Metoda

1. Jumlah Riemann Kiri (atau Kanan atau Titik Tengah)

Mengestimasi luas dengan persegi panjang

2. Aturan Trapesium

Mengestimasi luas dengan trapesium

3. Aturan Simpson

Mengestimasi luas dengan daerah yang dibatasi parabola

Page 39: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jumlah Riemann Kiri

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‰ˆ ๐‘“ ๐‘ฅ0 + ๐‘“ ๐‘ฅ1 +โ‹ฏ+ ๐‘“(๐‘ฅ๐‘›โˆ’1) โˆ†๐‘ฅ, โˆ†๐‘ฅ =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘›

๐ธ๐‘› =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž 2

2๐‘›๐‘“โ€ฒ ๐‘ , for ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘

Page 40: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jumlah Riemann Kanan

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‰ˆ ๐‘“ ๐‘ฅ1 + ๐‘“ ๐‘ฅ2 +โ‹ฏ+ ๐‘“(๐‘ฅ๐‘›) โˆ†๐‘ฅ, โˆ†๐‘ฅ =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘›

๐ธ๐‘› = โˆ’๐‘ โˆ’ ๐‘Ž 2

2๐‘›๐‘“โ€ฒ ๐‘ , for ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘

Page 41: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Jumlah Riemann Titik Tengah

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‰ˆ ๐‘“๐‘ฅ0 + ๐‘ฅ1

2+ ๐‘“

๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ22

+โ‹ฏ+ ๐‘“๐‘ฅ๐‘›โˆ’1 + ๐‘ฅ๐‘›

2โˆ†๐‘ฅ, โˆ†๐‘ฅ =

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘›

๐ธ๐‘› =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž 3

24๐‘›2๐‘“" ๐‘ , for ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘

Page 42: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Aturan Trapesium

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‰ˆโˆ†๐‘ฅ

2๐‘“ ๐‘ฅ0 + 2๐‘“ ๐‘ฅ1 + 2๐‘“ ๐‘ฅ2 +โ‹ฏ+ 2๐‘“(๐‘ฅ๐‘›โˆ’1) + ๐‘“(๐‘ฅ๐‘›) , โˆ†๐‘ฅ =

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘›

๐ธ๐‘› = โˆ’๐‘ โˆ’ ๐‘Ž 3

12๐‘›2๐‘“" ๐‘ , for ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘

Page 43: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Aturan Simpson (untuk ๐‘› genap)

เถฑ๐‘Ž

๐‘

๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ โ‰ˆโˆ†๐‘ฅ

3๐‘“ ๐‘ฅ0 + 4๐‘“ ๐‘ฅ1 + 2๐‘“ ๐‘ฅ2 + 4๐‘“ ๐‘ฅ3 +โ‹ฏ+ 2๐‘“(๐‘ฅ๐‘›โˆ’2) + 4๐‘“(๐‘ฅ๐‘›โˆ’1) + ๐‘“(๐‘ฅ๐‘›) , โˆ†๐‘ฅ =

๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

๐‘›

๐ธ๐‘› = โˆ’๐‘ โˆ’ ๐‘Ž 5

180๐‘›4๐‘“(4) ๐‘ , for ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘

Page 44: CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di antara 0 dan 4. Pandang daerah ๐‘…yang dibatasi oleh parabola =๐‘“ = 2, sumbu- , dan

Contoh

1. Aproksimasi 13 1

1+๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ dengan menggunakan jumlah Riemann kiri, aturan

trapesium, dan Simpson dengan ๐‘› = 4. Kemudian tentukan galat mutlakmaksimum.

2. Tentukan ๐‘› sehingga aturan trapesium akan mengaproksimasi 13 1

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ dengan

galat ๐ธ๐‘› yang memenuhi |๐ธ๐‘›| โ‰ค 0.01.

3. Tentukan ๐‘› sehingga aturan Simpson akan mengaproksimasi 13 1

๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฅ dengan

galat ๐ธ๐‘› yang memenuhi |๐ธ๐‘›| โ‰ค 0.01.

4. Dalam perjalanan ke kantor, Ani mencatat laju kendaraannya setiap 3 menit. Hasilnya ditunjukkan dalam tabel berikut. Seberapa jauh Ani berkendara?