CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di...
Transcript of CHAPTER 4ย ยท Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi Hitunglah luas daerah di bawah kurva = di...
CHAPTER 4INTEGRAL TENTU
4.1 Pengenalan Luas
Luas Poligon
Luas Daerah dengan Batas Kurva
Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)
Pandang regular poligon di dalam lingkaran.
Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.
Notasi Sigma
๐=1
๐
๐๐ = ๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐๐
Contoh
1. Jika ฯ๐=110 ๐๐ = 9 dan ฯ๐=1
10 ๐๐ = 7, berapakah ฯ๐=110 (3๐๐ โ 2๐๐) dan
ฯ๐=110 (๐๐ + 4) ?
2. Tentukan ฯ๐=1๐ (๐๐+1 โ ๐๐).
3. Tentukan jumlahan geometris ฯ๐=0๐ ๐๐๐.
Jumlahan Khusus
Berapa Jeruk dalam Tumpukan
Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi
Hitunglah luas daerah di bawah kurva ๐ฆ =๐ฅ di antara 0 dan 4.
Pandang daerah ๐ yang dibatasi oleh parabola ๐ฆ = ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2, sumbu-๐ฅ, dan garistegak ๐ฅ = 2.
Hitunglah luas daerah tersebut, ๐ด ๐ .
Luas Lingkaran Berjari-jari 1
Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)
Pandang regular poligon di dalam lingkaran.
Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.
4.2 Integral Tentu
Jumlah Riemann
Misalkan ๐ fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [๐, ๐].
Pandang partisi ๐ yang membagi selang [๐, ๐] ke dalam ๐ subselangdengan titik-titik ๐ = ๐ฅ0 < ๐ฅ1 < ๐ฅ2 < โฏ < ๐ฅ๐โ1 < ๐ฅ๐ = ๐ dan โ๐ฅ๐ =๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐โ1. Pada setiap subselang [๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐], pilih titik sampel เดฅ๐ฅ๐ .
๐ ๐ = ฯ๐=1๐ ๐ เดฅ๐ฅ๐ โ๐ฅ๐ disebut jumlah Riemann untuk ๐ yang
berkorespondensi dengan partisi ๐.
Interpretasi Geometri dari Jumlah Riemann
Integral Tentu
Misalkan ๐ fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [๐, ๐].
Jika
lim๐ โ0
๐=1
๐
๐ เดฅ๐ฅ๐ โ๐ฅ๐
ada, maka ๐ dikatakan dapat diintegralkan pada [๐, ๐].
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ disebut integral tentu (atau Riemann integral) untuk ๐ dari ๐ ke ๐,
dengan
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = lim๐ โ0
๐=1
๐
๐ เดฅ๐ฅ๐ โ๐ฅ๐
Arti Geometri dari Integral Tentu
Fungsi yang Dapat Diintegralkan
Teorema Terintegralkan
Jika ๐ terbatas pada [๐, ๐] dan kontinu kecualipada sejumlah berhingga titik, maka ๐ dapatdiintegralkan pada [๐, ๐].
Contoh
1. 02๐ฅ + 1 ๐๐ฅ .
2. 2โ1(2x + ฯ)๐๐ฅ .
Sifat Penjumlahan
Sifat Perbandingan
Sifat Keterbatasan
Sifat Linear
4.3 Teorema Dasar Kalkulus I
Newton, Leibniz, dan Kalkulus
ยฉwww.calculusbook.net
Dua Limit Penting
Apakah kedua limit ini berhubungan?
Jarak dan Kecepata
Misalkan suatu objek bergerak sepanjang sumbu-๐ฅ sedemikian sehingga kecepatannyapada saat ๐ก adalah ๐ฃ = ๐ ๐ก meter per detik. Seberapa jauh objek tersebut akanberpindah dalam selang waktu di antara ๐ก = 0 dan ๐ก = 3?
Jarak yang ditempuh adalah
lim๐โโ
ฯ๐=1๐ ๐ ๐ก๐ โ๐ก 0=
3๐ ๐ก ๐๐ก.
Bagaimana dengan jarak ๐ yang ditempuh di antara ๐ก = 0 dan ๐ก = ๐ฅ?
๐ ๐ฅ = เถฑ0
๐ฅ
๐ ๐ก ๐๐ก
Apakah turunan dari ๐ ?๐ โฒ(๐ฅ) = ๐ฃ = ๐(๐ฅ)
.
.
Teorema Dasar Kalkulus I
Misalkan ๐ fungsi kontinu pada selang tutup [๐, ๐] dan ๐ฅ adalah titik di (๐, ๐). Maka
๐
๐๐ฅเถฑ๐
๐ฅ
๐ ๐ก ๐๐ก = ๐(๐ฅ)
Contoh
Tentukan ๐บโฒ ๐ฅ .
(a) ๐บ ๐ฅ = 1๐ฅsin ๐ก ๐๐ก (b) ๐บ ๐ฅ = 1
๐ฅ2sin ๐ก ๐๐ก
(c) ๐บ ๐ฅ = sin ๐ฅ
co๐ ๐ฅsin ๐ก ๐๐ก (d) ๐บ ๐ฅ = 1
๐ฅ๐ฅ sin ๐ก ๐๐ก
Menghitung Integral Tentu
Misalkan ๐บ ๐ฅ = 0๐ฅsin ๐ก ๐๐ก.
1. Tentukan ๐บ 0 .
2. Misalkan ๐ฆ = ๐บ ๐ฅ , tentukan ๐๐ฆ
๐๐ฅ.
3. Carilah solusi particular dari๐๐ฆ
๐๐ฅ= sin ๐ฅ.
4. Gunakan hasil 3. untuk menentukan 0๐sin ๐ก ๐๐ก.
4.4 Teorema Dasar Kalkulus II
Teorema Dasar Kalkulus II
Misalkan ๐ fungsi kontinu pada [๐, ๐] dan ๐น adalah suatu anti turunandari ๐ pada[๐, ๐]. Maka
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = ๐น ๐ โ ๐น(๐)
Contoh
1. 4โโ2
๐ฆ2 +1
๐ฆ3๐๐ฆ .
2. ๐/6๐/2
2 sin ๐ก ๐๐ก .
Metoda Substitusi
1. ๐ฅ ๐ฅ2 + 3 โ12/7๐๐ฅ .
2. ๐ฅ2 cos ๐ฅ3 + 5 ๐๐ฅ.
3. 14 ๐ฅโ1
3
๐ฅ๐๐ฅ .
4. 0๐/6
(sin ๐)3 cos ๐ ๐๐.
5. 01๐ฅ2 sin ๐ฅ3 2 cos ๐ฅ3 ๐๐ฅ .
Contoh LainMisalkan ๐ suatu fungsi yang memiliki turunan ketiga yang kontinu. Garis putus-putus pada gambar adalah garis singgung pada grafik๐ฆ = ๐(๐ฅ) di titik (1,1) dan (5,1).
Tentukan apakah integral berikut positif, negatif, atau nol.
1. 15๐ ๐ฅ ๐๐ฅ.
2. 15๐โฒ ๐ฅ ๐๐ฅ.
3. 15๐โฒโฒ ๐ฅ ๐๐ฅ.
4. 15๐โฒโฒโฒ ๐ฅ ๐๐ฅ.
Air bocor dari tanki dengan kapasitas 55 meter kubik dengan laju ๐โฒ ๐ก = 11 โ 1.1๐กdi mana ๐ก diunkur dalam jam dan ๐ dalam meter kubik. Pada awalnya tanki terisipenuh dengan air.1. Berapa banyak air yang keluar dalam selang waktu di antara ๐ก = 3 dan ๐ก = 5
jam?2. Berapa lama waktu yang diperlukan agar bersisa 5 meter kubik air di dalam
tanki?
4.5 Teorema Nilai Rata-Rata untukIntegral dan Penggunaan Simetri
Nilai Rata-Rata Fungsi
Masih ingatkah dengan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan?
Jika ๐ dapat diintegralkan dalam selang [๐, ๐], maka nilai rata-rata dari๐ pada [๐, ๐] adalah:
Pandang integral tentu di atas sebagai luas daerah di antara ๐(๐ฅ) and the ๐ฅ-axis pada [๐, ๐]. Maka ๐๐๐ฃ๐ adalah tinggi persegi panjang pada [๐, ๐] dengan luas yang tepat sama.
โ=
b
a
ave dxxfab
f )(1
Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral
Jika ๐ kontinu pada [๐, ๐], maka terdapat bilangan ๐ di antara ๐ dan ๐sehingga
Contoh.
1. Misalkan suhu dalam derajat Celsius pada suatu batang logam denganpanjang 2 meter bergantung pada posisi ๐ฅ dengan fungsi ๐(๐ฅ) = 40 +20๐ฅ(2 โ ๐ฅ). Carilah rata-rata suhu dalam batang tersebut. Apakahterdapat titik di mana suhunya sama dengan suhu rata-rata?
2. Tentukan semua nilai ๐ yang memenuhi Teorema Nilai Rata-Rata untuk๐(๐ฅ) = |๐ฅ| pada [โ2,2].
โ=
b
a
dttfab
cf )(1
)(
Teorema Kesimetrian
Jika f adalah fungsi genap maka
Jika f adalah fungsi ganjil maka
Periodik
Jika ๐ fungsi periodik dengan perioda ๐, maka
Contoh. Hitunglah
1. .
2. .
3. .
4.6 Integral Numerik
Aproksimasi Integral Tentu
Jika ๐ fungsi kontinu pada selang tutup [๐, ๐], maka integral tentunya ada. Namun demikian, integral tentu tersebut tidak selalu mudah dihitung.
Contoh.
เถฑsin ๐ฅ2 ๐๐ฅ
เถฑsin ๐ฅ
๐ฅ๐๐ฅ
Dalam kasus yang demikian, digunakan beberapa metoda numerik untukmenghitung integral tentu.
Metoda
1. Jumlah Riemann Kiri (atau Kanan atau Titik Tengah)
Mengestimasi luas dengan persegi panjang
2. Aturan Trapesium
Mengestimasi luas dengan trapesium
3. Aturan Simpson
Mengestimasi luas dengan daerah yang dibatasi parabola
Jumlah Riemann Kiri
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ ๐ฅ0 + ๐ ๐ฅ1 +โฏ+ ๐(๐ฅ๐โ1) โ๐ฅ, โ๐ฅ =๐ โ ๐
๐
๐ธ๐ =๐ โ ๐ 2
2๐๐โฒ ๐ , for ๐ โค ๐ โค ๐
Jumlah Riemann Kanan
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ ๐ฅ1 + ๐ ๐ฅ2 +โฏ+ ๐(๐ฅ๐) โ๐ฅ, โ๐ฅ =๐ โ ๐
๐
๐ธ๐ = โ๐ โ ๐ 2
2๐๐โฒ ๐ , for ๐ โค ๐ โค ๐
Jumlah Riemann Titik Tengah
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ0 + ๐ฅ1
2+ ๐
๐ฅ1 + ๐ฅ22
+โฏ+ ๐๐ฅ๐โ1 + ๐ฅ๐
2โ๐ฅ, โ๐ฅ =
๐ โ ๐
๐
๐ธ๐ =๐ โ ๐ 3
24๐2๐" ๐ , for ๐ โค ๐ โค ๐
Aturan Trapesium
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โโ๐ฅ
2๐ ๐ฅ0 + 2๐ ๐ฅ1 + 2๐ ๐ฅ2 +โฏ+ 2๐(๐ฅ๐โ1) + ๐(๐ฅ๐) , โ๐ฅ =
๐ โ ๐
๐
๐ธ๐ = โ๐ โ ๐ 3
12๐2๐" ๐ , for ๐ โค ๐ โค ๐
Aturan Simpson (untuk ๐ genap)
เถฑ๐
๐
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ โโ๐ฅ
3๐ ๐ฅ0 + 4๐ ๐ฅ1 + 2๐ ๐ฅ2 + 4๐ ๐ฅ3 +โฏ+ 2๐(๐ฅ๐โ2) + 4๐(๐ฅ๐โ1) + ๐(๐ฅ๐) , โ๐ฅ =
๐ โ ๐
๐
๐ธ๐ = โ๐ โ ๐ 5
180๐4๐(4) ๐ , for ๐ โค ๐ โค ๐
Contoh
1. Aproksimasi 13 1
1+๐ฅ2๐๐ฅ dengan menggunakan jumlah Riemann kiri, aturan
trapesium, dan Simpson dengan ๐ = 4. Kemudian tentukan galat mutlakmaksimum.
2. Tentukan ๐ sehingga aturan trapesium akan mengaproksimasi 13 1
๐ฅ๐๐ฅ dengan
galat ๐ธ๐ yang memenuhi |๐ธ๐| โค 0.01.
3. Tentukan ๐ sehingga aturan Simpson akan mengaproksimasi 13 1
๐ฅ๐๐ฅ dengan
galat ๐ธ๐ yang memenuhi |๐ธ๐| โค 0.01.
4. Dalam perjalanan ke kantor, Ani mencatat laju kendaraannya setiap 3 menit. Hasilnya ditunjukkan dalam tabel berikut. Seberapa jauh Ani berkendara?