II.3.2 DESARROLLO DE LA RELACION PRESION-ELEVACION

La relación que existe entre un cambio de elevación h, en un líquido y un cambio en la presión, Δp,

es:

hp 2.3.2

Donde γ es el peso específico del líquido, esta viene a ser una constante en el desarrollo de las

ecuaciones.

Tome en consideración un pequeño volumen del fluido en cualquier punto por debajo de la superficie

(Fig2-9), tal volumen escogido representa un cilindro, pero la forma real es arbitraria. Además el cuerpo

entero de fluido se encuentra estacionario y en equilibrio, y el volumen adoptado también se encuentra

equilibrio. De los conocimientos de la física se sabe que para que un cuerpo se encuentre en equilibrio la

suma de las fuerzas que actúan en todas direcciones es igual a cero.

Para este desarrollo consideraremos primero las fuerzas horizontales (Fig2-10).Los vectores que

actúan sobre el anillo representan las fuerza ejercidas sobre él por la presión del fluido.

Recuerde que la presión a cualquier

nivel horizontal en un fluido estático es

la misma. Recuerde también que estas

fuerzas actúan perpendicularmente.

[Kg/m2]

Ahora en la Fig2-11, se muestran las fuerzas verticales, de la ilustración podemos considerar los

siguientes conceptos:

La presión en el fondo se denota como p1.

La presión en la parte superior se denota como p2.

La diferencia de alturas se denota dz=z1 – z2

El cambio de presión que ocurre en el fluido se representa como dp, por lo tanto dp= p1 –

p2

El área en la parte superior del cilindro es A.

El volumen será el producto del área y la altura h, V = A(dz).

El peso del fluido dentro del cilindro es el producto del peso especifico por el volumen,

esto es ω = γ*V = γA(dz). El peso es una fuerza que actúa sobre el cilindro hacia abajo a

través del centroide del volumen del cilindro.

La fuerza que actúa en la parte inferior debido al fluido p1 es el producto de la presión

por el área, esto es F1 = p1A. Esta actúa de manera perpendicular a la base.

De la misma manera en la parte superior actúa un fuerza denotada

F2 = p2A, esta actúa de igual manera en forma perpendicular, otra manera de esta fuerza

es F2 = ( p1 + dp ) A.

Podemos aplicar el principio del equilibrio estático, que establece que la suma de las fuerzas deben

ser cero, tomando las fuerzas hacia arriba como positivas tenemos:

0)(

0)()(

0

11

11

21

dzdppp

AdzAdppAp

FFFv

)(dzdp 2.3.3

La ecuación (2.3.2) es la relación de control entre un cambio de elevación y un cambio de presión.

Esta sin embargo, depende del tipo de fluido. Recuerde que la ecuación fue desarrollada para un

elemento muy pequeño de fluido, por lo que el proceso de integración extiende la ecuación a grandes

cambios de elevación:

)(2

1

2

1

z

z

p

p

dzdp 2.3.4

Para terminar el análisis debemos definir la variación de el peso especifico del fluido con respecto a

un cambio de presión, esté se desarrolla de distinta manera para líquidos y gases.

Líquidos

2

1

2

1

)(

z

z

p

p

dzdp

)( 1221 zzpp

hp

zzhppp

2112

Esta es la idéntica a la ecuación (2.3.2). Los signos para Δp y h pueden asignarse en el momento de

uso de la formula, recordando que la presión aumenta conforme la profundidad del fluido se incrementa y

viceversa.

Gases

Debido a que los gases son compresibles, su peso específico cambia a medida que varía la presión.

Para poder llevar a cabo el proceso de integración que se plantea en la ecuación (2.3.4), es preciso

conocer la relación existente entre el cambio de presión y el cambio de peso especifico. Este desarrollo

requiere un análisis mas complejo llegando a abarcar un estudio de termodinámica por lo que esta fuera

del alcance del texto.

II.4 FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

Se debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder diseñar satisfactoriamente las

estructuras que los contienen. Esto implica que se debe llegar a evaluar las tres características de las

fuerzas hidrostáticas: modulo, dirección y sentido.

Además de llegar a conocer lo que es el centro de presión. Estas fuerzas se presentan en diferentes

tipos de superficies como se muestra en la Fig 2-12.

II.4.1 AREA PLANA VERTICAL SUMERGIDA

En este caso la fuerza P real se distribuye sobre toda el área, esta va en aumento a medida que

aumenta la profundidad, es decir a mayor profundidad mayor la presión esta varia linealmente dando

como resultado un prisma de presión (Fig2-13). Es conveniente determinar la fuerza resultante y el

punto en el que esta actúa, este punto es el centro de presión.

El centro de presión actúa sobre la superficie sumergida, como la intensidad de la presión aumenta

con la profundidad esta punto se halla debajo del centro de gravedad.

La resultante de la fuerza total puede ser calculada con la ecuación:

Fr = Pprom*A 2.4.1

Fig. 2-12

Donde Pprom es la presión promedio y A es el área total de muro. Pero la presión promedio es la

que se encuentra en la parte media del muro y puede calcularse mediante la ecuación:

Pprom = γ (d/2) 2.4.2

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED

RECTANGULAR

I. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, FR dada en la ecuación 2.4.1

II. Localice en centro de presión a una distancia vertical d/3 a partir del pie de la pared.

III. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma perpendicular.

EJEMPLO: Suponer que el fluido de la Fig2-13 es gasolina (sg=0.68), y la profundidad

total es de 12 pies. La pared tiene 40 pies de largo: Calcule la magnitud de la fuerza

resultante sobre la pared y la localización del centro de presión.

Solución.

33 /4.42)/4.62)(68.0(

)2/(

pieslbpieslb

AdFR

lbpiespies

pies

lbF

piespiespiesA

R 122000480*2

12*

2.42

480)40)(12(

2

3

2

El centro de presión se encuentra a una distancia de:

piespiesd 43/123/

La fuerza resultante actúa de forma perpendicular a la pared como muestra la Fig2-13.

Por lo general las superficies para fines de diseño son rectangulares. Pero puede darse el caso de

que esta no lo sea por lo que esto requiere un estudio poco más complejo para determinar estas fuerzas

y sus puntos donde se halla el centro de presiones, como muestra el siguiente desarrollo:

PdAdF

dAPdF

PAF

AhF cg 2.4.3

hcg ; es la distancia medida desde la superficie al centro de gravedad de la superficie medido en

el sentido de la profundidad.

A; área de la superficie.

γ ; peso específico del fluido (Kg/m3).

Para determinar el punto donde se encuentra el centro de presiones se deben hallar sus componentes

horizontal y vertical:

hP

1

hAPAF

yPdAF

y

yPdAFy

A

cp

cp

Dado que el valor de h es considerado verticalmente hacia abajo, se puede tomar como eje es decir

asumimos que h = y

cg

cg

cg

A

cp

A

cp

yAy

I

dAyAy

y

ydAyAy

y

cp

2

y

1

1

ycg; llega a ser la distancie desde la superficie del fluido hasta la posición de la resultante respecto

al eje y .

El mismo procedimiento se sigue para la componente horizontal, según el eje que se adopto

para la anterior componente:

cg

cg

xy

A

cp

xAy

I

ydAxAy

x

cpx

1

χcg ; llega a ser la distancia al centro de gravedad respecto de la horizontal desde el eje de

referencia.

II.4.2 AREA PLANA INCLINADA SUMERGIDA

Como en el problema anterior se determinara el procedimiento para calcular la magnitud de la

fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión, en donde podemos suponer que

actúa la fuerza resultante.

La Fig2-14 muestra un tanque que tiene una ventana rectangular en una pared inclinada. Para

encarar este procedimiento se describirán los símbolos utilizados para el procedimiento.

FR, fuerza resultante sobre el área.

El centro de presión del área es el punto en el que se considera actúa FR .

El centroide del área seria el punto de equilibrio de esta se quedara suspendida de dicho sitio.

Esto es equivalente al centro de gravedad en un cuerpo solidó.

θ, ángulo de inclinación respecto a la horizontal.

dc, profundidad de fluido desde la superficie libre hasta el centroide.

Lc, distancia existente desde la superficie al centroide del área, medida a lo largo del ángulo de

inclinación.

Lp, distancia del nivel de la superficie al centro de presión del área, medida a lo largo del

ángulo de inclinación.

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UN AREA

PLANA INCLINADA SUMERGIDA

Primero identifique el punto en el que el ángulo de inclinación del área en estudio

interfecta el nivel de la superficie del fluido. Señalar con un punto S.

Localizar el centroide del área a partir de la geometría.

Determine dc .

Determine Lc. Esta es la distancia desde S hasta el centroide y que dc y Lc están

relacionadas por:

senLd cc 2.4.4

Calcule el área total A sobre la cual se va a determinarla fuerza.

Calcule la fuerza resultante a partir de:

AdF cR 2.4.5

Esto implica que la fuerza resultante es el producto de la presión en el centroide del área

por el área total.

Calcule Ic.

Calcule la localización del centro de presión :

AL

ILL

c

ccp

2.4.6

[m]

[Kg/m2]

[m]

Nótese que el centro de presión esta siempre por debajo del centroide de un área que este

inclinada con respecto de la horizontal. En algunos casos, será de interés calcular solo la

diferencia entre Lp y Lc, con la siguiente ecuación:

AL

ILL

c

ccp

Haga un diagrama de la fuerza FR la cual actúa en el centro de presión, perpendicular al

área.

Muestre la dimensión Lp como se muestra en la Fig2-14.

Dibujar las líneas de dimensión para Lc y Lp a partir de una línea de referencia que pase

por el punto S y además sea perpendicular al Angulo de inclinación de la superficie.