Problema 4: Problema 4:

Se lanza un objeto que Se lanza un objeto que desliza por una superficie. desliza por una superficie. La superficie está inclinada La superficie está inclinada

hacia arriba un ángulo hacia arriba un ángulo αα

respecto a la horizontal. respecto a la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá el ¿Qué distancia recorrerá el

objeto antes de pararse?objeto antes de pararse?

Situación inicial: el objeto ha sido Situación inicial: el objeto ha sido lanzado con rapidez vlanzado con rapidez v00, por un plano , por un plano

que está inclinado un ánguloque está inclinado un ángulo αα respecto a la horizontalrespecto a la horizontal

v0

α

Emisión de hipótesis y Emisión de hipótesis y análisis cualitativoanálisis cualitativo

La distancia de frenado (D) La distancia de frenado (D) dependerá de…dependerá de…

La rapidez inicial (La rapidez inicial (vv00)) El coeficiente de rozamiento de la El coeficiente de rozamiento de la

superficie (superficie (μμ)) La masa del objeto (m)La masa del objeto (m) La inclinación del plano (La inclinación del plano (αα)) La aceleración de la gravedad (g)La aceleración de la gravedad (g)

Para analizar la influencia Para analizar la influencia de cada variable sobre D, de cada variable sobre D, necesitamos realizar un necesitamos realizar un control de variablescontrol de variables

Si (Si (μμ, m, , m, αα, g) , g) permanecen constantes, permanecen constantes,

D depende de D depende de vv00:: De forma De forma crecientecreciente, pues a mayor rapidez , pues a mayor rapidez

inicial más tiempo tardará en pararse y inicial más tiempo tardará en pararse y más distancia recorrerámás distancia recorrerá

Si vSi v0 0 tiende a cero, D tenderá a cero pues tiende a cero, D tenderá a cero pues apenas subiráapenas subirá

Si vSi v0 0 tiende a infinito, D tenderá a infinito tiende a infinito, D tenderá a infinito pues tardará un tiempo infinito en pues tardará un tiempo infinito en detenersedetenerse

Si (Si (vv00, m, , m, αα, g) permanecen , g) permanecen constantes, D depende de constantes, D depende de μμ::

De forma De forma decrecientedecreciente, pues a mayor , pues a mayor coeficiente de rozamiento, mayor fuerza de coeficiente de rozamiento, mayor fuerza de rozamiento máxima, antes se parará y menos rozamiento máxima, antes se parará y menos DD

Si Si μμ tiende a cero, D tenderá a un valor tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (pues se encargará de pararlo tan máximo (pues se encargará de pararlo tan sólo la atracción de la Tierra)sólo la atracción de la Tierra)

Si Si μμ tiende a infinito, D tenderá a cero pues tiende a infinito, D tenderá a cero pues tardará un tiempo casi nulo en detenersetardará un tiempo casi nulo en detenerse

Si (Si (vv00, , μμ, , αα, g) permanecen , g) permanecen constantes, D depende de constantes, D depende de

mm:: De forma De forma decrecientedecreciente, pues a mayor , pues a mayor

masa mayor fuerza contraria al masa mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos Dobjeto y la superficie), y menos D

Si mSi m tiende a cero, D tenderá a infinitotiende a cero, D tenderá a infinito

Si mSi m tiende a infinito, D tenderá a cero tiende a infinito, D tenderá a cero

Si (Si (vv00, , μμ, m, g) permanecen , m, g) permanecen constantes, D depende de constantes, D depende de αα

:: De forma De forma decrecientedecreciente, pues a mayor , pues a mayor

inclinación mayor será la componente inclinación mayor será la componente tangencial del peso, que es contraria al tangencial del peso, que es contraria al movimiento. (Sin embargo, mayor será la movimiento. (Sin embargo, mayor será la fuerza de rozamiento pues estarán menos fuerza de rozamiento pues estarán menos apretados el objeto y la superficie)apretados el objeto y la superficie)

Si Si αα tiende a cero, D tenderá a un valor tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (ver solución del problema 3)máximo (ver solución del problema 3)

Si Si αα tiende a 90º, D tenderá al valor de la tiende a 90º, D tenderá al valor de la altura máxima en un tiro vertical. altura máxima en un tiro vertical.

Si (Si (vv00, , μμ, m, , m, αα) permanecen ) permanecen constantes, D depende de gconstantes, D depende de g::

De forma De forma decrecientedecreciente, pues a mayor , pues a mayor aceleración de la gravedad y por tanto mayor aceleración de la gravedad y por tanto mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos apretados el objeto y la superficie), y menos DD

Si gSi g tiende a cero, D tenderá a infinito (ni tiende a cero, D tenderá a infinito (ni fuerza de rozamiento ni peso)fuerza de rozamiento ni peso)

Si gSi g tiende a infinito, D tenderá a cero tiende a infinito, D tenderá a cero

Estrategia de resoluciónEstrategia de resolución

Pasos para resolver el Pasos para resolver el problema:problema:

1.1. Realizar un análisis dinámico para obtener la Realizar un análisis dinámico para obtener la aceleraciónaceleración

1.1. Dibujar, nombrar y calcular directamente las fuerzas Dibujar, nombrar y calcular directamente las fuerzas que que están actuandoestán actuando sobre el objeto sobre el objeto durantedurante el el movimientomovimiento

2.2. Dibujar la dirección tangencial y normal, y Dibujar la dirección tangencial y normal, y descomponer cada una de las fuerzasdescomponer cada una de las fuerzas

3.3. Sumar (o restar) las fuerzas en cada dirección, e Sumar (o restar) las fuerzas en cada dirección, e igualar al producto de la masa por la aceleración en igualar al producto de la masa por la aceleración en esa direcciónesa dirección

2.2. Elegir sistema de referencia, determinar el signo Elegir sistema de referencia, determinar el signo de la aceleración y escribir ecuaciones: vde la aceleración y escribir ecuaciones: vtt, e, ett..

3.3. Igualar vIgualar vtt=0, despejar t y sustituir en e=0, despejar t y sustituir en ett..

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y 1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular…calcular…

α

FT,o=mo·gFuerza de atracción de la Tierra sobre el objeto

Fs,o

Fuerza que ejerce el suelo sobre el objeto, y mide lo apretados que están

Frozs,o

Fuerza de rozamiento por deslizamiento que ejerce el suelo sobre el objeto

1. Análisis dinámico: descomponer cada 1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza…fuerza…

Fs,o

Frozs,

o

dir tang

dir nor

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y 1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular…calcular…

α

FT,o

α

αFT,o·cosα

FT,o·senα

1. Análisis dinámico: descomponer cada 1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza…fuerza…

Fs,o

Frozs,

o

dir tang

dir nor

FT,o·cosα

FT,o·senα

1. Análisis dinámico: F1. Análisis dinámico: Fresres en dirección en dirección normal…normal…

Fs,o

FT,o·cosα

nornorres amF ·)(

norosoT amFF ··cos ,,

Movimiento rectilíneo: anor=0

osoT FF ,, ·cos

1. Análisis dinámico: F1. Análisis dinámico: Fresres en dirección en dirección tangencialtangencial

Frozs

,o

FT,o·senα

tgtgres amF ·)(

tgosoT amFrozsenF ·· ,,

Como hay movimiento, la Froz toma el valor máximo: μ·Fs,o

osoT FF ,, ·cos

tgamgmsengm ··cos····

)·cos·( sengatg

2. Elegir sistema de 2. Elegir sistema de referencia…referencia…

)·cos·( sengatg

tavv tgt ·0

221

0 ·· tatve tgt

v0

at

ge0=0

3. Igualar v3. Igualar vtt a cero, a cero, despejar…despejar…

tg

frenafrenatg a

vttav 0

0 ·0

2021

2

0 )·(tg

tg

tg

tfrena a

va

a

vDDe

)cos(22

2

0

2

0

seng

vD

a

vD

tg

Análisis de resultadosAnálisis de resultados

Análisis de resultadosAnálisis de resultados

La ecuación es dimensionalmente La ecuación es dimensionalmente homogénea: D tiene las mismas homogénea: D tiene las mismas unidades que: unidades que:

Algunas de nuestras hipótesis son Algunas de nuestras hipótesis son ciertas, pero no todas…ciertas, pero no todas…

)cos(2

2

0

seng

v

Teniendo en cuenta que: Teniendo en cuenta que:

D depende de vD depende de v00, es creciente y se , es creciente y se cumplen los casos límite (ver cumplen los casos límite (ver diapositiva 6)diapositiva 6)

D depende de D depende de μμ, es decreciente, y , es decreciente, y se cumplen los casos límite (si se cumplen los casos límite (si μμ=0, D es máxima:=0, D es máxima:

)cos(2

2

0

seng

vD

seng

v

·2

2

0

Teniendo en cuenta que: Teniendo en cuenta que:

¡D no depende de m! Podríamos revisar ¡D no depende de m! Podríamos revisar nuestra resolución, pero quizás nos hemos nuestra resolución, pero quizás nos hemos equivocado en nuestros argumentos parea equivocado en nuestros argumentos parea justificar la hipótesis. Como tantas veces nos justificar la hipótesis. Como tantas veces nos ha ocurrido en clase, hemos pensado que el ha ocurrido en clase, hemos pensado que el movimiento está relacionado con la fuerza movimiento está relacionado con la fuerza resultante, y no es así: está relacionado con resultante, y no es así: está relacionado con la aceleración. Por tanto, la influencia de m la aceleración. Por tanto, la influencia de m en la Fres (directamente proporcional), en la Fres (directamente proporcional), desaparece al dividir entre m para obtener la desaparece al dividir entre m para obtener la aceleración.aceleración.

)cos(2

2

0

seng

vD

Teniendo en cuenta que: Teniendo en cuenta que:

Nuestro argumento contradictorio sobre la Nuestro argumento contradictorio sobre la influencia de influencia de αα se reconoce en que aparece se reconoce en que aparece por dos veces en el denominador de la por dos veces en el denominador de la expresión obtenida: por una parte, el expresión obtenida: por una parte, el denominador es mayor cuanto mayor es denominador es mayor cuanto mayor es αα pues el seno aumenta, pero por otra parte pues el seno aumenta, pero por otra parte en ese caso el coseno disminuye.en ese caso el coseno disminuye.

Cuando Cuando αα=0, D tiende a un valor máximo:=0, D tiende a un valor máximo:

Cuando Cuando αα=90º, entonces: =90º, entonces:

)cos(2

2

0

seng

vD

·2

2

0

g

vD

g

vD

2

2

0

Teniendo en cuenta que: Teniendo en cuenta que:

D depende de g, es decreciente, y se D depende de g, es decreciente, y se cumplen los casos límite (ver cumplen los casos límite (ver diapositiva 10)diapositiva 10)

)cos(2

2

0

seng

vD