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CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E r , un imán o una corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de manifiesto con una brújula. El vector intensidad de campo magnético B r también llamado inducción magnética se puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción magnética se dibujan de modo que: La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de B r El número de ellas sea proporcional al valor de B r El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal, puesto que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan obtendríamos dos imanes) Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga por el norte:

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CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E

r, un imán o

una corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de manifiesto con una brújula. El vector intensidad de campo magnético B

r también llamado inducción magnética se

puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción magnética se dibujan de modo que:

• La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de Br

• El número de ellas sea proporcional al valor de B

r

• El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal, puesto que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan obtendríamos dos imanes)

Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán

Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga por el norte:

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Pero ya hemos dicho que el imán no es el único capaz de producir un campo magnético. Toda carga que se encuentre en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. (Si está en reposo crea un campo eléctrico, pero si se mueve, además crea otro magnético) El físico danés Hans Christian Oersted puso de manifiesto con su famoso experimento que una corriente eléctrica (electrones en movimiento) era capaz de mover una brújula y por tanto que crea un campo magnético a su alrededor.

Si dejamos que la brújula se oriente libremente y luego colocamos un hilo conductor paralelo a la aguja veremos que no ocurre nada mientras el circuito esté abierto.

Una vez que cerramos el circuito y por el hilo circula corriente, la brújula tiende a pone perpendicular al hilo conductor y tanto más cuando mayor es la intensidad de la corriente que circula por el hilo

Si cambiamos la pila de polaridad e invertimos el sentido de la corriente, la brújula tiende a seguir colocándose perpendicular al hilo, pero cambia los polos.

Las líneas de inducción magnética debidas a una corriente rectilínea son, como puede comprobarse experimentalmente, circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor y cuyo sentido viene dado por la regla del tornillo que gire para avanzar en el sentido de la corriente, o bien por la regla de la mano derecha: la líneas tienen el sentido en que cierra la mano derecha y el pulgar nos daría el sentido de la corriente.

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FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE GAUSS El flujo de B

r a través de una superficie cualquiera representa el número de líneas de

campo que atraviesan dicha superficie y se define, de acuerdo con la definición general de flujo, como:

∫ •=S

B SdBrr

φ

dφ = Flujo a través del elemento dS Br

= Intensidad de campo que lo atraviesa Sdr

= vector que tiene de módulo el área del elemento y es perpendicular a la superficie α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal a la superficie

El flujo de a través de una superficie cerrada es nulo (Ley de gauss para el magnetismo)

0SdBB =•= ∫rr

φ

Ello es consecuencia de que las líneas de campo magnético son cerradas, como hemos visto en los ejemplos anteriores, y pone de manifiesto que no existen polos magnéticos aislados. El flujo de campo magnético se mide en weber (Wb=T/m2) Si comparamos la ley de Gauss para el campo magnético y para el campo eléctrico, que son dos de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo de Maxwell:

εqSdE =•∫

rr 0SdB =•∫

rr

vemos que :

• el flujo de Er

a través de una superficie cerrada que encierra una carga q no es nulo, lo que indica la existencia de cargas libres y que sus líneas de campo son abiertas (fuentes para las positivas y sumideros para las negativas)

• el flujo de Br

a través de una superficie cerrada es nulo al no existir polos magnéticos aislados

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CIRCULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE La circulación de B

r a través de una línea cerrada por la que circula una corriente

eléctrica de intensidad I , constante, es:

IldB oµ=•∫rr

A esta expresión se la conoce como Ley de Ampere, y con una pequeña modificación, que la hace útil para el caso de que el campo eléctrico varíe con el tiempo, constituye la tercera ley de Maxwell del electromagnetismo.

oµ es una constante para cada medio, llamada permeabilidad magnética, que para el vacío vale A/mT104 7

o ⋅⋅= −πµ I es la intensidad de la corriente que atraviesa la línea cerrada ld

r es el vector desplazamiento (aunque aquí se haya preferido llamar ld

r en

lugar de rdr como se hace normalmente). Por tanto es un vector tangente a la trayectoria.

Consecuencias de la Ley de Ampere:

• Como muestra la Ley de Ampere, la circulación de Br

a través de una línea cerrada no es necesariamente nula y por tanto el campo magnético no es un campo conservativo

• Puesto que Br

no es un campo conservativo no tiene ningún sentido definir una energía potencial magnética, ni un potencial magnético.

Acuérdate que, por el contrario, en los campos gravitatorio y eléctrico la circulación de la intensidad de campo a lo largo de una trayectoria cerrada era siempre nula y que por tanto son conservativos:

0ldE =•∫rr

IldB oµ=•∫rr

La ley de Ampere es muy útil para calcular la expresión del campo magnético producido por distribuciones de corriente en las que exista cierta simetría como vamos a ver en los siguientes ejemplos.

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CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA Vamos a calcular la expresión del campo magnético a una distancia r creado por un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I Ya sabemos que un conductor por el que circula una corriente I crea un campo magnético a su alrededor y que las líneas de campo son circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor.

Elegimos entonces como trayectoria de integración una circunferencia de radio r, que por tanto coincide con la línea de campo, y en consecuencia los vectores Br

(tangente a la línea de campo) y ldr

(tangente a la trayectoria) tendrán siempre la misma dirección.

Aplicando la ley de Ampere y teniendo en cuenta que B

r y ld

r tienen siempre la misma

dirección: IldB oµ=•∫

rr

I0cosdlB oµ=⋅⋅∫

Como dada la simetría Br

es constante ya que a lo largo de toda la trayectoria se encuentra a la misma distancia del hilo conductor podemos sacarlo fuera de la integral, así que:

IdlB oµ=∫ Como la integral a lo largo de todo el camino no es más que la longitud de la circunferencia: r2 ⋅π

Ir2B oµπ =⋅⋅ de donde:

r2I

B o

⋅=

πµ

Fíjate que en este caso, lo mismo que cuando aplicando la ley de Gauss calculamos el valor del campo eléctrico creado por un alambre cargado con densidad lineal de carga λ obtuvimos la expresión

r2E

⋅=

πελ

en ambas expresiones aparecen constantes características de los campos en cuestión y que ambos disminuyen con la distancia, pero además muestran que E es debido a la carga λ del alambre mientras que B es debido a la corriente I que circula por él.

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CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR La dirección del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una corriente I es perpendicular al plano de la espira y su sentido está determinado por el avance de un sacacorchos que gire como la espira o la mano derecha al cerrar:

El campo magnético en el centro de la espira de radio R por la que circula una corriente I es:

R2IB oµ=

Un solenoide o bobina es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser recorridas por una corriente. El campo magnético en su interior es prácticamente uniforme y muy intenso, similar al producido por un imán recto. Si además en su interior colocamos un núcleo de hierro conseguimos concentrar las líneas de campo en su interior y es lo que se llama un electroimán.

El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene N espiras y una longitud L, por la que circula una corriente I es:

LINB o ⋅

Esta expresión se deduce fácilmente a partir de la ley de Ampere si elegimos una línea cerrada que pase por el interior de la bobina:

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Teniendo en cuenta que en el exterior del solenoide el campo es prácticamente nulo y que en las caras verticales B

r y ld

r forman 90º y su producto escalar es nulo, resulta que

el único tramo por el que circula corriente es por la línea interior que tiene una loingiud L igual al solenoide.

IldB oµ=•∫rr

IdlB oµ=∫ ⇒ ILB oµ=⋅

teniendo en cuenta que como tiene N espiras la intensidad que atraviesa la línea cerrada (en verde) es IN ⋅ finalmente nos queda que:

LINB o ⋅

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO: LEY DE LORENTZ Supongamos una región del espacio donde exista un campo magnético B

r, si lanzamos

una carga q con una velocidad vr podemos observar experimentalmente que: 1. Si la carga se mueve en la dirección del campo magnético B

r, sobre ella no actúa

ninguna fuerza. 2. Para cualquier otra dirección, la carga se ve sometida a una fuerza F

r, llamada

fuerza de Lorentz, cuya dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad de la carga y B

r

3. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga q, a su velocidad vr y al valor del campo magnético B

r

Podemos resumir las observaciones escribiendo que:

BvqFrrr

∧= Esta expresión es la análoga a la que teníamos para el campo eléctrico EqF

rr= aunque

como vemos en el caso del campos magnético para que sobre la carga actúe una fuerza es necesario que esté en movimiento y que vr y B

r no formen 90º.

Para recordar la dirección y sentido de los tres vectores que aparecen en la expresión de Lorentz utilizaremos la regla de la mano izquierda (es la única regla para la que se

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utiliza esta mano), que nos da la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en el seno de un campo magnético:

En el caso de tratarse de una carga negativa, obviamente, la fuerza tendrá sentido opuesto al dado por esta regla. La unidad de campo magnético en el SI es la Tesla, o bien el Weber/m2. Como puede deducirse fácilmente de la expresión de Lorentz, una tesla es:

mAN

smC

NT⋅

==

En el caso de que la carga se mueva en el seno de un campo eléctrico y de un campo magnético, evidentemente, la fuerza que actuará sobre ella será la suma vectorial de la que cada campo ejerce por separado, es decir que:

BvqEqFrrrr

∧+= MOVIMIENTOS DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME. Según la dirección del movimiento de la carga respecto del campo magnético se pueden dar tres casos: 1. La carga se mueva con una velocidad paralela al campo magnético: En este caso, como parece evidente, sobre la carga no actuará ninguna fuerza debida al campo magnético, ya que el módulo de la fuerza de Lorentz 0senBqvF =⋅⋅= α En efecto es cero, tanto si tienen el mismo sentido, donde 0=α , como si tienen sentidos opuestos, donde 180=α . En ambos casos el seno es cero. 2. La carga se mueva perpendicularmente al campo magnético: En este supuesto simplemente tenemos el movimiento de un cuerpo (la carga en éste caso) que se mueve bajo la acción de una fuerza normal a su velocidad y por tanto, como sabemos, la aceleración normal que es la responsable de los cambios en dirección de la velocidad, dará lugar a un movimiento circular uniforme. Por tanto estamos ante la misma situación que cuando una piedra da vueltas en un plano horizontal, o un coche toma una curva, o un satélite gira alrededor de la tierra o un

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electrón gira alrededor del núcleo como en el modelo de Bohr. La única diferencia es que el origen de la fuerza normal en el primer caso es debida a la tensión de la cuerda, en el segundo a la fuerza de rozamiento, en el tercero a la fuerza de atracción gravitatoria o eléctrica y en este caso la fuerza la fuerza de Lorentz.

Desde el punto de vista de un observador no inercial, teniendo en cuenta que la fuerza normal o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será:

qvBRvmF

2

== ⇒ qBmvR =

Y el periodo de será:

qBm2

vR2T ππ==

Desde el punto de vista de un observador no inercial, que se mueva con la carga, el resultado habría sido exactamente el mismo, aunque en esta caso habríamos tenido que introducir la fuerza centrífuga como fuerza de inercial. 3. La carga se mueva con una velocidad que forma un ángulo α con el campo magnético: En este caso el vector velocidad siempre podrá descomponerse en dos vectores:

• Una componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, que dará lugar a que gire describiendo un movimiento circular uniforme

• Otra componente de la velocidad en la dirección del campo magnético que, como dijimos en el apartado primero, le hará avanzar sin desviarse.

• El resultado de ambos movimientos es que la partícula describirá una especie de trayectoria helicoidal similar al borde de un tornillo.

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Vamos a descomponer la velocidad de la partícula en un sistema de referencia como el de la figura, en el que B

r lleva la dirección y sentido del eje X:

• αcosvvx = Tiene la dirección y sentido de B

r por tanto esta componente no

origina ninguna fuerza magnética. Simplemente hace que la partícula avance, con ese velocidad constante, a lo largo del eje X)

• αvsenvy = Esta componente es perpendicular a B

ry por tanto será la

responsable de que aparezca una fuerza magnética normal a ella y que evidentemente provocará un giro. El radio será:

BqvRv

m y

2y = ⇒

qBsenmvR α⋅

=

Y el periodo de será:

qBm2

vR2Ty

ππ==

fíjate que la expresión del periodo es la misma que obtuvimos antes y que por tanto no depende el ángulo que forman vr y B

r

• El resultado de componer los dos movimientos es una hélice, ya que como el

periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta la partícula, en ese mismo tiempo la componente xv le ha hecho avanzar un espacio:

qBm2cosvTvs xπα==

Ejemplo: En una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,8 T, se inyecta un protón con una energía cinética de 0,2 MeV, moviéndose perpendicularmente al campo. a) Haga un esquema en el que se representen el campo, la fuerza sobre el protón y la trayectoria seguida por éste y calcule el valor de dicha fuerza. b) Si se duplicara la energía cinética del protón, ¿en qué forma variaría su trayectoria? Razone la respuesta. Datos: mp = 1,67·10−27

kg ; e = 1,6·10−19 C ; 1 eV = 1,6·10−19 J

Imaginemos que la dirección del campo magnético es perpendicular al papel y saliendo. Si el protón se mueve hacia la derecha, aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza estará en el plano del papel, tal como se indica en la figura.

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En primer lugar vamos a calcular la velocidad del protón que tiene una energía cinética de 0,2 MeV = 0,2.106 eV (para ello tendremos en cuenta que Julios196,1eV1 19−⋅= )

2mv21Ec =

s/m1019,61067,1

)196,1102,0(2mEc2v 6

27

196

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅== −

el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el protón es:

qvB90senqvBF =⋅=

New1092,78,01019,6106,1F 13619 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅= El módulo de la fuerza es constante y siempre en la dirección normal a la velocidad del protón, por esa razón describirá un movimiento circular uniforme.

b) Si se duplica la energía cinética, su nueva velocidad será:

2mv21Ec =

221

221

´mvmv

Ec2Ec

= ⇒ 2vv =

2´mv21Ec2´Ec ==

Como el radio de la trayectoria que viene dado por:

qvBRvmF

2

== ⇒ qBmvR =

El nuevo valor del radio de la trayectoria, teniendo en cuenta la nueva velocidad, sería:

qB2mv

qB´mvR == ⇒ 2RR =

Como vemos, aumenta el radio de la trayectoria en 2

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Ejemplo: Un electrón entra con velocidad j10v

rr= ms-1

en una región en la que existen un campo eléctrico, k20E

rr= N C-1, y un campo magnético, iBB o

rr= T.

a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón en el instante en que entra en la región donde existen los campos eléctrico y magnético y explique las características del movimiento del electrón. b) Calcule el valor de B0 para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre el electrón EqFelec

rr= que como puede verse

en la expresión tiene la misma dirección del campo, aunque en este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, ya que q es una magnitud negativa. Como se ha dibujado en la figura es un vector en dirección k

r−

El campo magnético ejerce una fuerza sobre el electrón BvqF

rrr∧= que como puede

verse será (de acuerdo con la definición de producto vectorial) perpendicular al plano formado por vr y B

r , es decir tendrá dirección del eje Z. Su sentido el de un

sacacorchos que gire como vr para coincidir con Br

por el camino mas corto, aunque en este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, así que tendrá dirección y sentido de k

r. (Al mismo resultado llegaríamos aplicado la regla de la mano izquierda)

La fuerza resultante sobre el electrón será la suma vectorial de ambas fuerzas, y como tienen la misma dirección y sentidos opuestos simplemente la obtendremos restando sus módulos. Si las dos fuerzas no son iguales, como se dice en el apartado b, puede ocurrir:

• Que la fuerza magnética sea mayor, en cuyo caso como esta fuerza siempre es normal a la velocidad tenderá a describir un movimiento circular en el plano ZY.

• Si la fuerza eléctrica es mayor, la partícula describirá una parábola en el plano ZY, parecido a cuando se lanza una piedra horizontalmente.

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qvBqERvmF

2

−== ⇒ qvBqE

mvR2

−=

b) Como ya hemos razonado anteriormente, el electrón permanecerá en movimiento rectilíneo y uniforme, cuando de acuerdo con la primera ley de Newton sobre él no actúe ninguna fuerza, es decir, cuando la resultante de las dos que hay sea nula, por tanto, como tienen la misma dirección y sentidos opuestos, basta con que sus módulos sean iguales:

mangelec FF = ⇒ qvBqE = ⇒ Teslas21020

vEB ===

APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNETICO De acuerdo con la ley de Lorentz, BvqF

rrr∧= la fuerza magnética siempre es

perpendicular al plano que forman los vectores vr y Br

, por tanto la fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria de la partícula.

El trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la carga desde el punto A hasta el punto B, de acuerdo con la definición de trabajo, es nulo porque es el producto escalar de dos vectores perpendiculares:

∫ =•=→

B

Amagmag.camp,BA 0sdFW rr

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas, como el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos

EcW BA ∆=→ Si el trabajo es cero, la energía cinética no varía y por tanto la velocidad en toda la trayectoria es la misma (su módulo, porque en dirección sí que varía).

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Ciclotrón: El ciclotrón es un acelerador de partículas ideado en 1930 por Lawrence. Consiste en dos piezas huecas de forma semicircular llamadas “DES”, por su forma, que están en el seno de un campo magnético perpendicular y entre las que se establece una ddp que va alternando de polos.

Su funcionamiento está basado en que, como hemos visto, el periodo de rotación de una partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del radio y de la velocidad:

qBm2

vR2T ππ==

El funcionamiento es el siguiente:

• Una vez que la fuente emite la partícula cargada, se acelerada hacia la D1 por un campo eléctrico que se crea estableciendo una ddp entre D1 y D2. ( dEV ⋅= )

• La ddp entre las DES debe tener exactamente la misma frecuencia que el movimiento circular que describe la partícula, es decir T/1=ν

• Al llegar a la D1, la partícula ha alcanzado una velocidad v1. De acuerdo en el teorema de las fuerzas vivas:

EcqVWelectrico ∆== • Una vez que entra en la D1, por efecto del campo magnético describe un movimiento

circular. Dentro de la DE está un tiempo igual a la mitad del periodo: T/2 • Cuando sale de D1 lleva la misma velocidad v1, con que entró, pero en este

momento cambia la polaridad de la ddp y ahora la partícula se acelera nuevamente por efecto del campo eléctrico hasta la D2, a la que llega con una velocidad v2 mayor.

• Nuevamente describe una trayectoria circular, tardando el mismo tiempo, T/2, y sale de D2 con la misma velocidad con que entró.

• Otra vez cambia la polaridad de la ddp y vuelve a acelerarse, llegando a la D1 con una velocidad v3 mayor, y así sucesivamente. Cada media vuelta va

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aumentando la velocidad, por efecto del campo eléctrico entre las DES, hasta que finalmente sale del ciclotrón.

• La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es:

qvBRvmF

2

== ⇒ m

qBRv =

Espectrómetro de masas: Es un dispositivo utilizado para medir la masa de los iones o partículas cargadas, que se basa en que el radio de la trayectoria seguida por la carga al entrar en el campo magnético es directamente proporcional a su masa. Como ya hemos visto:

qvBRvmF

2

== ⇒ qBmvR =

• La velocidad de entrada de los iones se controla fácilmente mediante un campo eléctrico perpendicular al campo magnético, es lo que se llama filtro de velocidades. Ya hemos visto anteriormente que en este caso, en el que los campos son perpendiculares, no se desviarán aquellos iones para lo que se cumpla que:

mangelec FF = ⇒ qvBqE = ⇒ BEv =

Los iones que tienen la velocidad v entrarán por la rendija (el resto los desviará uno u otro campo y no entrarán). Ahora como solo están sometido al campo magnético describirán una trayectoria circular hasta chocar en la película fotográfica. Según su masa describirán una trayectoria de más o menos radio:

qBvmR 1

1 = qB

vmR 22 =

qBvmR 3

3 =

En el caso de desconocer la masa y la carga de la partícula, como mínimo, siempre será posible medir la relación entre la masa y la carga, ya que:

RvB

qm=

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Ejemplo: En un espectrógrafo de masas los campos eléctrico y magnético del filtro de velocidades valen respectivamente E=120.000 N/C y B=0,2 T. En estas condiciones pasa un protón. a) Cual es la velocidad que posee el protón b) Al penetrar en la región donde solo existe el campo magnético describe una trayectoria circular de 3,13 cm de radio ¿Cuál es la masa del protón? Datos: C106,1e 19−⋅= a) En primer lugar vamos a ver como un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares pueden funcionar como un auténtico filtro de partículas que tienen una determinada velocidad:

De solo existir el campo magnético la partícula describiría una trayectoria circular por estar sometida a una fuerza normal a su velocidad. Ten en cuanta que la fuerza magnética “siempre” es normal a la velocidad y por tanto da lugar a una aceleración normal responsable del cambio de dirección de la velocidad y de que la trayectoria sea circular.

De solo existir el campo eléctrico la partícula describiría una parábola, ya que estaría sometida a una fuerza siempre en la misma dirección (de la placa positiva a la negativa). La situación será exactamente igual a cuando se lanza una piedra horizontalmente. Tendríamos una componente de la velocidad que le hace avanzar uniformemente y otra componente perpendicular, que en este caso en lugar de ser debida a la gravedad sería debida al campo eléctrico. La partícula no se desvía cuando ambas fuerzas son iguales en módulo, ya que tienen la misma dirección y sentidos opuestos:

mangelec FF = ⇒ qvBqE = ⇒ s/m1062,0000.120

BEv 5⋅===

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b) Una vez que la partícula entra en la región donde solo existe el campo magnético perpendicular a su velocidad comenzará a describir un movimiento circular uniforme. Como en este caso la fuerza normal es de origen magnético:

qvBRvmF

2

== ⇒ Kg1067,1106

0313,02,0106,1v

qBRm 275

19−

⋅=⋅

⋅⋅⋅==

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR. LEY de LAPLACE Cuando por un hilo conductor circula una corriente, si se encuentra en un campo magnético, sobre él aparecerá una fuerza que es simplemente la suma de las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre cada una de las cargas que se mueven y que constituyen la corriente. Supongamos que el hilo tiene una sección A, una longitud L y que por él circula una corriente I.

Si cada carga elemental tiene un valor q y llamamos n al número de cargas por unidad de volumen, la carga total Q que circulará por el conductor será:

LA qnQ ⋅⋅⋅= Si llamamos v a la velocidad con que se mueven las cargas en el interior del conductor, también llamada velocidad de arrastre, y tenemos en cuenta que, por definición, la intensidad de la corriente es igual a la carga total que atraviesa una sección de conductor en la unidad de tiempo:

vAnqt

L AnqtQI ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅==

Como empezamos diciendo, la fuerza magnética sobre el conductor es la suma de la que el campo ejerce sobre cada carga en movimiento:

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Por tanto si la carga total que circula por el conductor es Q la fuerza ejercida por el campo magnético B

r sobre el conductor será:

BvLAnqBvQFrrrrr

∧⋅⋅⋅⋅=∧⋅= y teniendo en cuenta que vAnqI ⋅⋅⋅= y que un vector se puede escribir como producto de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido (en este caso vuvv rr

⋅= ) finalmente, nos queda que:

BuvLAnqF v

rrr∧⋅⋅⋅⋅⋅=

BuLIF v

rrr∧⋅⋅=

evidentemente vur es un vector unitario en la dirección y sentido en que se mueven las cargas positivas. Para el caso de un conductor rectilíneo, esta dirección coincide con la del hilo conductor, así que la expresión , llamada Ley de Laplace, se escribe como:

BLIFrrr

∧⋅= La dirección y sentido de la fuerza puede obtenerse con la misma regla de la mano izquierda, solo que cambiando el dedo que nos indica la velocidad de la carga positiva por el sentido de la intensidad de corriente, que obviamente viene a ser lo mismo. Ejemplo: Un alambre de 0,5m de longitud y 10 g de masa está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se indica en la figura, encontrándose en el seno de un campo magnético de 0,4 T. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para eliminar la tensión en los alambres que lo sostienen?

Para eliminar la tensión de los resortes que sostienen el conductor es necesario que la fuerza que el campo hace sobre el conductor compense el peso del mismo. Por tanto es necesario que dicha fuerza sea vertical y hacia arriba, con lo que aplicando la regla de la mano izquierda, resulta que la corriente por el hilo debe circular desde A hasta B, tal como se muestra en la figura.

ILBmg = ⇒ Amp5,04,05,0

1001,0LBmgI =

⋅⋅

==

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MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO Imaginemos una espira cuadrada en el seno de un campo magnético, tal como se muestra en la figura:

El lado b

• Inicialmente no ejerce ninguna fuerza porque la corriente y el campo tienen la misma dirección, 0=α , así que su producto escalar es nulo.

• Cuando la espira gire un ángulo 0≠α entonces la fuerza de los lados b ya no es nula, porque valdrá αIbBsenFb = , pero como puede verse en la figura la fuerza de ambos lados tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que se anularían. (Fíjate que esa fuerza varía en módulo, porque depende del ángulo α que forman la corriente y el campo, pero siempre tiene la misma dirección vertical.

El lado a

• En todo momento la intensidad de la corriente y el campo magnético forman 90º, así que la fuerza siempre tiene su valor máximo: IaBFa =

• En todo momento la fuerza es perpendicular al hilo conductor, y como puede verse en la figura, forman un par de fuerza que tiene de hacer girar a la espira con un momento igual a:

ISBbIaBbFM a =⋅=⋅=

donde se ha tenido en cuenta que el área de la espira es abS =

En forma vectorial, el momento sobre la espira es:

BSIMrrr

∧= Teniendo en cuenta que se llama momento magnético de la espira: SIm

rr= podemos

poner que: BmMrrr

∧=

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Una aplicación importante la podemos encontrar en el galvanómetro, que es un aparato que se utiliza para medir intensidades de corriente:

Como hemos visto el momento que hace girar a la espira es proporcional a la intensidad de la corriente que circula por la espira (o por la bobina formada de N espiras) ISBNM ⋅= , de manera que graduando la escala podemos saber la intensidad que circula en función del ángulo que gira la bobina. La bobina tiene acoplado a su eje de giro un resorte que la mantiene en el cero cuando no hay corriente y cuando por ella circula corriente gira hasta que el momento del par debido a la fuerza magnética iguala al momento del par del resorte. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS Ya hemos visto que el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, por el que circula una corriente I a una distancia r es:

r2IB o

πµ

=

Si cerca de ese conductor hay otro conductor, sobre éste actuará una fuerza debida al campo magnético creado por el primero, y viceversa. Sean A y B dos conductores por los que circulan corrientes IA e IB y que se encuentran separados una distancia d.

Llamemos BA al campo magnético que el conductor A crea a su alrededor, y que a una distancia d, valdrá:

d2IB Ao

A πµ

=

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Como el conductor B se encuentra en el seno de un campo magnético (el creado por A) sobre él actuará una fuerza FB cuya dirección y sentido vendrá dada por la regla de la mano izquierda y que valdrá:

ABB BLIFrrr

∧⋅= Teniendo en cuenta que los conductores son paralelos, L

r y B

rforman 90º, de manera que

el módulo de la fuerza será:

d2ILILBIF Ao

BABB πµ

==

A la misma conclusión llegaremos si calculamos la fuerza que el conductor B hace sobre el A, de manera que:

Ld2IIFF BAo

BA πµ

==

Y la fuerza por unidad de longitud de conductor sería:

d2II

LF BAo

πµ

=

En el caso de que por los conductores circulen las corrientes en sentido contrario la fuerza tendrá el mismo valor en módulo, aunque en este caso se repelerían:

Definición internacional de Amperio. Como sabes, el amperio es una de las magnitudes fundamentales. Si recuerdas que en el vacío la constante de permeabilidad magnética vale:

A/mT104 7o ⋅⋅= −πµ

la fuerza por unidad de longitud de conductor nos quedaría que en el vacío sería:

dII102

LF BA7−⋅=

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Es fácil comprender que si: L=1, IAIB=1, d=1 entonces F= 7102 −⋅ N, por tanto: Amperio es la intensidad de corriente que circula por dos hilos paralelos, situados en el vacío a una distancia de un metro, para que se atraigan o repelan con una fuerza de

7102 −⋅ Newton por cada metro. (Se dice para que se atraigan para el caso de que por ambos circule la corriente en el mismo sentido o se repelan si las corrientes circulan en sentidos contrarios) Ejemplo: La balanza de Cotton es un dispositivo como el de la figura que permite medir la fuera que actúa sobre un conductor cuando se encuentra en un campo magnético. Si el hilo A, que cuelga de la balanza, tiene una longitud de 1 m, está recorrido por una corriente de 50 Amp y separado del conductor B una distancia de 5 cm ¿Qué corriente y en qué sentido debe circular por el conductor B para que la balanza se equilibre con 2 gr?

Para compensar el peso del platillo, la fuerza que el conductor B tiene que hacer sobre el A debe ser atractiva, luego por los dos hilos las corrientes deben circular en el mismo sentido:

Para que el sistema está en equilibrio mgF = es decir:

mgLd2II BAo =

πµ

10002,005,02

1I50104 B7

⋅=⋅⋅⋅−

ππ ⇒ Amp100I B =

Ejemplo: Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, distan entre si 0,5 m. Por ellos circulan corrientes de 1 A y 2 A, respectivamente.

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a) Explique el origen de las fuerzas que se ejercen ambos conductores y su carácter atractivo o repulsivo. Calcule la fuerza que actúa sobre uno de los conductores por unidad de longitud. b) Determine el campo magnético total en el punto medio de un segmento que una los dos conductores si las corrientes son del mismo sentido. a) Como sabemos una corriente no es más que un montón de cargas en movimiento, por tanto a su alrededor creará un campo magnético. Lo mismo puede decirse el otro conductor y en consecuencia, cada conductor al encontrarse en el campo magnético creado por el otro estará sometido a una fuerza en la dirección normal a los conductores y cuyo sentido depende del sentido de las corrientes, siendo atractivo si ambas circulan en el mismo sentido y repulsivo si las corrientes circulan en sentidos contrarios:

Como hemos deducido anteriormente, la fuerza por unidad de longitud que un conductor hace sobre el otro viene dada por:

d2II

LF BAo

πµ

= ⇒ New1085,02

21104LF 7

7−

⋅=⋅⋅

π

b) Suponiendo que por los dos conductores circulen las corrientes en el mismo sentido, el campo magnético en el punto medio de un segmento que los une sería:

Como puede verse en la figura, en el punto medio el segmento que separa a los conductores, ambos campos tienen la misma dirección (la del plano normal a los conductores), pero tienen sentidos opuestos, así que el módulo del campo resultante puede obtenerse simplemente restando el módulo del campo que en ese punto crea cada conductor por separado:

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T10825,02

1104d2IB 7

7Ao

A−

⋅=⋅

==ππ

πµ

T108B 7−⋅=

T101625,02

2104d2IB 7

7Bo

B−

⋅=⋅

==π

ππ

µ

Como era de suponer, es mayor el campo creado por el conductor B, porque por él circula una corriente mayor. Fíjate también que en el caso de que la corriente que circulara fuese la misma el valor del campo en el punto medio sería nulo.