attraverso la superficie dS la quantità scalare d (E)= E •u S ... ... contorno di dS,...

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    15-Jul-2020
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  • Flusso del campo elettrostatico

    Si definisce flusso del campo elettrostatico attraverso la superficie dΣ la quantità scalare

    ( ) Σ=Σ=Σ•=Φ dEdEduEEd nn θcos� ��

  • ( ) �Σ Σ•=Φ duEE n ���

    Si definisce flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie finita Σ

  • Se la superficie è chiusa il flusso si scrive

    ( ) �Σ Σ•=Φ duEE n ���

  • LEGGE DI GAUSS

    Il flusso del campo elettrostatico E prodotto da un sistema di cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma

    algebrica delle cariche contenute all’interno della superficie, diviso per ε0.

    ( ) ( ) int

    0

    1 �� =Σ•=Φ Σ i in qduEE ε

    ���

  • Per distribuzioni continue

    ( ) �� =Σ•=Φ Σ dqduEE n 0 1 ε

    ���

  • In generale

    ( ) 0ε

    q duEE n =Σ•=Φ �Σ

    ���

    Nel SI il flusso del campo elettrostatico si misura in volt x metro, Vm

  • La legge di Gauss e quella di Coulomb sono formulazioni diverse della stessa legge; la

    prima è una conseguenza diretta della seconda.

  • La legge di Coulomb consente di ricavare il campo una volta che siano note le cariche che

    lo creano

  • La legge di Gauss, se è noto il campo in tutti i punti di una regione dello spazio, consente di

    individuare posizione e valore di tutte le cariche contenute in quella regione

  • La legge di Gauss consente anche di ricavare il campo una volta che nota la distribuzione

    delle cariche, purchè questa abbia caratteristiche di simmetria tali che per ogni punto passi una superficie chiusa in tutti i punti della quale il campo sia costante e

    perpendicolare alla superficie stessa (superficie gaussiana)

  • Dimostrazione della legge di Gauss

    ( )

    2 0

    0 2

    0

    2 0

    4 cos

    4

    4

    r dq

    r dq

    r duuq

    Ed nr

    Σ=Σ

    =Σ•=Φ

    πε θ

    πε

    πε

    �� �

  • 2 0

    r dΣ Per definizione rappresenta l’angolo

    solido sotto cui è visto dalla carica q il contorno di dΣ, per cui

    ( ) Ω=Φ dqEd 04πε

    Dipende solo dall’angolo solido!!!!!

  • Il flusso attraverso una superficie finita è

    ( ) Ω=Ω=Φ � 00 44 πεπε

    q d

    q E �

  • ( ) 000

    4 44 ε

    π πεπε

    qq d

    q E ==Ω=Φ � �

    Se la carica è interna

    Se la carica è esterna

    ( ) 0 4 0

    =Ω=Φ �d q

    E πε

  • Il flusso totale attraverso una superficie chiusa del campo di una carica puntiforme q vale q/ε0 se la carica è interna alla superficie,

    vale zero se la carica è esterna

  • Divergenza del campo elettrostatico

    Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa è uguale al all’integrale della divergenza del campo vettoriale esteso al volume τ racchiuso dalla superficie

    �� •∇=Σ• τ τdEduE r ����

  • La legge di Gauss diventa

    ( ) � �=•∇=Φ τ τ τρετ ddEE 0 1���

    ovvero

    ρ ε0 1=•∇ E

    ��

  • Poiché

    VE ∇= ��

    Otteniamo l’equazione di Poisson

    0

    2

    ε ρ−=∇=∇•∇ VV

    ���

  • 0ε q

    duE n =Σ•�Σ �� ρ

    ε0 1=•∇ E

    ��

    0=� • SdE ��

    0=×∇ E ��

    Forma globale Forma locale

    Equazioni fondamentali del campo elettrostatico nel vuoto

  • Le proprietà del campo elettrostatico di non essere solenoidale e di essere conservativo sono una conseguenza:

    1) della sovrapposizione lineare degli effetti delle cariche elettriche

    2) della natura centrale della forza elettrostatica

    3) della dipendenza di questa della sola distanza

  • Ma mentre le equazioni

    0=� • SdE ��

    0=×∇ E ��

    sono del tutto indipendenti dal modo in cui la forza elettrostatica dipende dalla distanza, le

    equazioni

    0ε q

    duE n =Σ•�Σ �� ρ

    ε0 1=•∇ E

    ��

    Sono una conseguenza diretta della dipendenza della forza elettrostatica dall’inverso del quadrato della distanza