I. - TRIGONOMETRÍA

DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION DE OTRA

En función del coseno del ángulo doble:

FÓRMULAS BÁSICAS

En función del seno: (Usadas para integrar)

senα =ca

cosecsen

αα

= =1 a

c

cosecsen

α α=1 cos senα α= −1 2

sencos

αα

=−1

22 sen

cosα α2

12

=−

cosα =ba

seccos

αα

= =1 a

b

secsen

αα

=−

11 2

tansen

senα

αα

=−1 2

coscos

αα

=+1

22 cos

cosα α2

12

=+

tansencos

ααα

= =cb

cotantan

αα

= =1 b

c

ctgsen

senα

αα

=−1 2

tancoscos

ααα

=−+

11

22

tancoscos

α αα2

11

=−+

sen cos2 2α α+ =1 tan cotanα α× =1

En función del coseno:

RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

1 2 12

2+ = =tancos

secαα

α

a

b

cα

sen cosα α= −1 2

( )sen sen cos cos senα β α β α β± = ±

( )cos cos cos sen senα β α β α β± = m

1122

2+ = =cotansen

cosecαα

α

seccos

αα

=1

coseccos

αα

=−

11 2

( )tantan tan

tan tanα β

α βα β± =±

1 m ( )

( )sen sensen sen

tan

tan

α βα β

α β

α β

+−

=+

−

1212

LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

cotg cotg cotg cotg

cos coscos cos

tan

sen

sen

sen

sen

tan

tan

tan

Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

tancos

cosα

αα

=−1 2

En función de la tangente:

ctgcos

cosα

αα

=−1 2

costan

αα

=+

11 2

( )ctgctg ctgctg ctg

α βα βα β± =

±m 1 cos cos

cos coscotan

sα βα β

α β α β+−

= −+ −2 2

TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA (Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)

SUMAS a PRODUCTOS

Ángulos complementarios: Su suma vale π/2 radianes (90°)

ctgtan

α α=1

sec tanα α= +1 2

sen sen sen cosα βα β α β

+ =+ −

22 2

sen sen cos senα βα β α β

− =+ −

22 2

REDUCCION AL 1er CUADRANTE

sen (π/2 − α) = cos α cos (π/2 − α) = sen α tan (π/2 − α) = ctg α

cosectan

tanα

αα

=+1 2

sentan

tanα

αα

=+1 2

cos cos cos cosα βα β α β

+ =+ −

22 2

cos cos sen senα βα β α β

− = −+ −

22 2

Ángulos suplementarios: Su suma vale π radianes (180°)

Ángulos que difieren en π/2 radianes:

En función de la tangente del ángulo mitad (Usadas para integrar)

tan tansen ( )cos cos

α βα βα β+ =

+

PRODUCTOS a SUMAS sen (π − α) = sen α cos (π − α) = − cos α tan (π − α) = − tan α

sen (π/2 + α) = cos α cos (π/2 + α) = − sen α tan (π/2 + α) = − ctg α

( )( )sen

tan /tan /

αα

α=+2 2

1 22 sen

tantan

22

1 2αα

α=

+

tan tansen ( )cos cos

α βα βα β− =

+

( ) ( )[ ]sen sen cos cosα β α β α β= − − +12

Ángulos que se diferencian π radianes:

Ángulos opuestos:

( )( )cos

tan /tan /

ααα=

−+

1 21 2

2

2 cos

tantan

2ααα=

−+

11

2

2

ctg ctgsen ( )sen sen

α βα βα β+ =

+

( ) ( )[ ]sen cos sen senα β α β α β= + + −12

sen (π + α) = − sen α cos (π + α) = − cos α tan (π + α) = tan α

sen (− α) = − sen(α) cos (− α) = cos α tan (− α) = − tan α

( )( )tan

tan /tan /

αα

α=−2 2

1 22 tan

tantan

22

1

2

2ααα=

−

ctg ctgsen ( )sen sen

α ββ α

α β− =−

( ) ( )[ ]cos cos cos cosα β α β α β= + + −12

FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO

Ángulo doble Ángulo triple

TEOREMAS IMPORTANTES:

Teorema de los senos:

FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

sen sen cos2 2α α α= sen sen sen3 3 4 3α α α= −

cos cos sen2 2 2α α α= − cos cos cos3 4 33α α α= −

tantantan

22

1 2αα

α=

− tan

tantan

33

1 3 2αα

α=

−

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

arc sen arccos arccosx x x= − = −12

2 π

A

B

C

ac

b

R

cosBa c b

ac=

+ −2 2 2

2

aA

bB

cC

Rsen sen sen

= = = 2

Teorema de los cosenos:

cos Ab c a

bc=

+ −2 2 2

2

cosCa b c

ab=

+ −2 2 2

2

( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α+ = + ( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α− = −

( )Ch Ch Ch Sh hα β α β β α+ = + S ( )Ch Ch Ch Sh Shα β α β α β− = −

( )ThTh Th

Th Thα β

α βα β+ =+

+1 ( )Th

Th ThTh Th

α βα β

α β− =−

−1

FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD

Sh Sh Ch2 2α α α= Ch Sh Ch2 2 2α α α= + ThSh Ch

Sh Ch2

22 2α

α αα α=

+

arccos arcsen arcsenx x x= − = −12

2 π

Teorema de las tangentes

( )Sh Chα

α2

12

1= − ( )Ch Chα

α2

12

1= +

ThChCh

α αα2

11

=−+

arctan arcsen arctgxxx

x=+

= −1 22

π

( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x+ = − + −1 12 2

a ba b

A BA B

A B

A B+−

=+−

=

+

−sen sensen sen

tan

tan

2

2

TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS

( ) ( )[ ]Sh Sh Ch Chα β α β α β= + − −12

( ) ( )[ ]Ch Ch Ch Chα β α β α β= + + −12

( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x− = − − −1 12 2

( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y+ = − − −1 12 2

AREA DEL TRIÁNGULO

S ab C cb A ac B= = =12

12

12

sen sen sen

( ) ( )[ ]Sh Ch Sh Shα β α β α β= + + −12

( )Ch Sh Ch Shα α α α± = ±n

n n

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS ( )ArgSh lnx x x= + +2 1 ( )ArgCh lnx x x= + −2 1

( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y− = + − −1 12 2

arctan arctanx yx yxy

+ =+

−1 arctan arctanx y

x yxy

− =−

+1

FÓRMULAS DE BRIGGS

Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las fórmulas que dan

(Fórmula de Herón)

( )( )( )S p p a p b p c= − − −

S prabcR

pR

= = =4 2

pa b c

=+ +

2

A

B

C

ac

b

Rr

ArgTh lnxxx

=+−

12

11

ArgSh ArgCh ArgThx xxx

= + =+

22

11

ArgCth lnxxx

=+−

12

11

ArgCh ArgSh ArgThx xxx

= − =−2

2

11

ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthxxx

xx x

=−

=−

=1 1

12 2

las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas fó

AREA DE UN CUADRILÁTERO

mulas ya se han tratado anteriormente.

( )( )sen

A2

=− −p b p cbc

A

B

C

a

b

c

SAC BD

=2

senα B

AD

C

α

RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS

( )sen x e ex x= − −12i

i i ( )cos x e ex x= + −12

i i

( )( )sen

B2

=− −p a p cac

( )cos

B2

=−p p b

ac

II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS

FÓRMULAS BÁSICAS

Sh seni ix x= sen Shi ix x= e x xxi i= +cos sen

Ch cosix x= cos Chix x= e x xx− = −i icos sen

( )( )sen

C2

=− −p b p aab

( )cos

C2

=−p p c

ab

( )cos

A2

=−p p c

bc p a b c

=+ +

2

Shαα α

=− −e e2

Chαα α

=+ −e e2

Sh Chα α α+ = e

ThShCh

ααα

α α

α α= =−+

−

−

e ee e

Ch Shα α α− = −e

C Sh h2 2 1α α− =

Th tani ix x= tan Thi ix x= arcsen Arg Shi ix x=

( )sen sen Ch cos Shx y x y x y+ = +i i arccos Arg Chi ix x= −

( )cos cos Ch sen Shx y x y x y+ = −i i arctan ArgTh lni i ix xxx

= =+−

12

11