Trigonometría 5 to

IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec LA MERCED

SISTEMA RADIAL Ó CIRCULAR (R)

La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio.

⇒ < 1vta = 2π rad

OBSERVACIONES

1 rad < > 57° 17’ 44”1 rad < 1° > g

Aproximaciones de “ π”

π = 3,1416

π = 7

22

π = 23 +

RELACIÓN ENTRE SISTEMAS

EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES

m 1vta < > 360° < > 400g < > 2π rad

⇒ 2π rad < > 360° → π rad < > 180°

⇒ 2π rad < > 400g → π rad < > 200g

⇒ 360° < > 400g → 9° < > 10g

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria


FACTORES DE CONVERSIÓN

Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.

Ejemplo: Convertir 36° a radianes, como: π rad < > 180°

Entonces: 1180

rad><

°π

Luego:

rad5180

rad36

ππ=

°°

36° < > rad5

π

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de medida, es decir grados y radianes.

m<α =S°⇒S: # de grados sexagesimales del < α

m<α =C°⇒C: # de grados centesimales del < α

m<α =Rrad⇒R: # de grados radianes del < α

Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:

π2

R

400

C

360

S==

Simplificando:

πR

200

C

180

S==

de donde se realizan los siguientes despejes:

πR20

10

C

9

S==


Cuando se elige el buen camino, nunca es tarde

para empezar de nuevo.

Cuando se elige el buen camino, nunca es tarde

para empezar de nuevo.


NOTA: Para todo ángulo trigonométrico se tiene que:

m < θ = S° ⇒ S° < > Cg < > Rrad medidas equivalentes

m < θ = Cg

m < θ = Rrad ⇒ S ≠ C ≠ R

además:

si : m θ es positiva ⇒ C > S > R

si: m θ es negativa ⇒ C < S < R

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

m α = S’ ⇒ # de grados = S

α m α = 60 S’ ⇒ # de minutos = 60S

m α = 3600 S” ⇒ # de segundos = 3600 S

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA CENTESIMAL

m α = Cg S⇒ # de grados = C

α m α = 100 Cm ⇒ # de minutos = 100C

m α = 10 000 CR ⇒ # de segundos = 10000C

COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO

m α = S° Valores S

α m α = Cg ⇒ numéricos C

m α = R rad de “α” R

m = (90 – S)° Valores 90 - S

Comp. m = (100 – C)g ⇒ numéricos 100-C

de α m =

−R

2

π rad R

2−

π

m = (180 – S)° 180-S

α m = (200 – C)g ⇒ Valores 200-C

m = (π - R) rad numéricos π-R


Nadie llegó a la cumbre,

acompañado del miedo.

Nadie llegó a la cumbre,

acompañado del miedo.


1. Dada la siguiente equivalencia:11g < > a° b’

calcular “b – a”

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

2. Halle el valor de “a” para que se verifique la igualdad:

m

gg

50

ga

6

10a °+=

°−°

a) 11/8 b) 55/4 c) 10/9d) 9/4 e) 1/5

3. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que cumple con: S = 3x2 – 2x – 2C = 2x2 + 4xCalcular dicho ángulo en radianes, si x es un número entero y positivo.

a) 17π/20 b) 13π/20 c) 11π/20d) 9π/20 e) 7π/20

4. Si se tiene que: (a – b)2 = 4ab, calcule el valor de:

'

'

'

'

b

ab

a

baE

°+°=

a) 120 b) 122 c) 124

d) 126 e) 128

5. Calcular:

3

S

1

5

'

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

6. Si: ( ) g0

0a2ab0a <>

Calcular (a+b)° en radianes

a) π/10 b) π/12 c) π/15d) π/18 e) π/20

7. Determine el valor de “n” en la igualdad:

C

3

C

1

S

1n2

C

1

S

2 =

−+

−

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

8. Siendo S y C los números convencionales, para los cuales se tiene que:

°

+<>

− ba

C3

ba

S2g

calcule el valor de: 1

a

b11E

−

−= π

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


A C T I V I D A D E N A U L A


1. Calcular el valor de

−+

yx

yx

a) 19/13 b) 21/13 c) 29/13

d) 22/13 e) 25/13

2. Si se verifica : 64

πrad < > x° y’ z”

calcular el Suplemento de (x + y + z)°

a) 80° b) 81° c) 82°

d) 62° e) 85°

3. Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab

calcular el valor de: M = ( )''

ba

b2a

−°

a) 11 b) 21 c) 31

d) 41 e) 51

4. Calcular la medida radial de ángulo de modo

que sus medidas sexagesimal (S) y

centesimal (C), verifiquen:

S = x2 + x + 4

C = x2 + x + 6

5. Los ángulos de un triángulo son:

x4 = a° b’ c” ; (x + 1)g; (x – 1)g .

Hallar ba +

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

6. La suma de los números que representan el

suplemento de un ángulo en grados

centesimales y el complemento del ángulo en

grados sexagesimales es igual a 5. Halle la

medida radial del ángulo.

a) 3π/5rad b) 3π/5rad c) 3π/rad

d) 3π/10rad e) 3π/8rad

7. Se ha ideado un nuevo sistema para medir

ángulos en el cual el número de unidades de

un ángulo en este sistema es igual a la quinta

parte de la suma del número en grados

centesimales y el doble del número en grados

sexagesimales de dicho ángulo. ¿A cuántos

radianes equivales 80 unidades de este nuevo

sistema?

a) 3π/7rad b) 2π/7rad c) 4π/7rad

d) π/7rad e) 5π/7rad

8. Se tiene 2 ángulos, tales que el número de

grados centesimales de uno de ellos es igual

al número de grasos sexagesimales del otro, y

la diferencia del número de grados

centesimales de este último y el número de

grados sexagesimales del primero es 19.

Determinar la suma de los números de

radianes de estos ángulos.

a) 19π/20 b) 17π/20 c) 13π/20

d) 11π/20 e) 9π/20


A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

7yg

4x°


CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Longitud de la circunferencia: LΘ = 2πr

Área del círculo: AΘ = πr2

SECTOR CIRCULAR

para que el sector este definido se tendrá que:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad θrad 2πrad

LONGITUD DEL ARCO (L) – ÁREA DEL SECTOR (A )

Longitud de arco: L = θr

Área del sector:

A = θ

θ2

L

2

Lr

2

r 22

==

PROPIEDAD



θα

==2

1

2

1

L

L

A

A

(Radio constante)

TRAPECIO CIRCULAR

- Bases del trapecio: LAB y LCD

- Separación de bases: AD = BC = R – r

- Para que el trapecio exista, se debe cumplir:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad θrad 2πrad

⇒ 0 < θ < 2π

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR (A )–ÁNGULO CENTRAL

Área del trapecio circular A = d2

LL 21 .

+

Valor numérico del ángulo central θ = d

LL 21 −

(0 < θ < 2 π)




1. De la figura calcular el perímetro del sector circular AOB.

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

2. Del esquema mostrado calcule el valor de “L”

a) 33πm b) 7πm c) 9πmd) 5πm e) 10πm

3. Determine el valor de “L” en el esquema mostrado:

a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12

4. Determine la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radio mide (6x) m; sabiendo además que el perímetro de este sector es de 110m.

a) 110 m b) 30 m c) 40 md) 50 m e) 60 m

5. Si a un sector circular se le duplica el ángulo central y a su radio se le disminuye en 3m, se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual a la mitad de la longitud del arco inicial. Determine el radio del nuevo sector.

a) 5 m b) 4 m c) 3 md) 2 m e) 1 m

6. Si a un sector circular se le triplica el radio y a su ángulo central se le disminuye en 36°; se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al doble de la longitud del arco inicial. Determine la medida del nuevo ángulo central.

a) (π/10)rad b) (π/5)rad c) (2π/5)radd) (3π/5)rad e) (3π/10)rad

7. Si el área del sector circular POQ es 20m2, hallar θ

a) 8/5 b) 4/3 c) 5/3d) 3/5 e) 2/3

8. Del esquema mostrado determine el valor de “θ”, si se tiene que la suma de las áreas de los sectores sombreados es π/2 m2

a) (π/3) rad b) (π/4)rad c) (π/6)radd) (π/8)rad e) (π/12)rad




1. En la figura mostrada determine el valor de “L” sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72 m2 de área.

a) 1mb) 2mc) 3 md) 4me) 5 m

2. En el esquema mostrado determine el área de la región sombreada.

a) 22µ2

b) 34 µ2

c) 54µ2

d) 44µ2

e) 64µ2

3. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces el área del sector inicial. Determine el radio del sector resultante.

a) 1 m b) 3 m c) 5 md) 7 m e) 9 m

4. Si: S1 + S2 = 7π u2, calcular “x”

a) π/3b) π/4c) π/5d) π/6e) π/8

5. Determine el área del sector sombreado, si el trapecio circular ABCD tiene un área de 48πm2

a) 2πm2

b) 4πm2

c) 6πm2

d) 8πm2

e) 10πm2

6. De la figura calcular el área del trapecio

circular ABCD, si BD = h y DOC = α radianes.

a) 4

h2αb)

2

h2αc)

8

h2α

d) 16

h2αe)

32

h2α

7. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3, números enteros y consecutivos, determine el valor de:

1y

1xE

−−=

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

8. De la figura calcular: 2

31

S

SS −,OE=EC=CA

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2.5


( )r2

rRn

πα +=

( )r2

rRn

πα −

=


(*) Cuando una rueda (aro, disco, .........) va rodando sobre una superficie plana. n : Número de vueltas al ir desde A hasta B.θg : Número de radiantes del ángulo de giro (A hasta B). L : Longitud que recorre la rueda.

π

θ

2n

g= r

Lg =θ

r2

Ln

π=

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva.

(*) Ruedas unidas por una faja tangencial o en contacto.



Se cumple:

θ1r1 = θ2r2

n1r1 = n2r2

L1 = L2

(*) Ruedas unidades por su centros.

Se cumple:

θ1 = θ2 n1 = n2 2

2

1

1

r

L

r

L=



IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec LA MERCED1. Calcular el número de vueltas que da la rueda

de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta chocar con la pared.

a) D/2πR b) D/πR c) D-R/2πRd) D-R/πR e) D-2R/2πR

2. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque desciende hasta llegar al piso?, siendo h= 120πcm

a) 5b) 10c) 12d) 18e) 24

3. De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r).

a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3

4. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se muestra en la figura. Calcular cuántas dará hasta que llegue a su posición inicial. (R=5r)

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

5. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.

a) 2r/R b) r/2R c) R/2rd) 2R/r e) R/r

6. ¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB= 13πm.

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5

7. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1.25 vueltas, ¿cuál será la distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos.

a) 4 b) 6 c) 2 11

d) 2 13 e) 2 15



IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec LA MERCED1. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y

B; cuando A gira (2n – 4), B gira (3n + 4) vueltas. Calcular “n”.

a) 5 b) 7 c) 10d) 12 e) 17

2. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

a) 4π b) 5π c) 10πd) 20π e) 40π

3. Del sistema determinar cuántas vueltas gira la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.

a) 15 b) 25 c) 30d) 42 e) 45

4. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x +1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Una bicicleta recorre 40π cm. Si los radios de sus ruedas miden 2cm y 5cm respectivamente. Calcular la suma del número de vueltas que dan dichas ruedas.

a) 14 b) 15 c) 16d) 18 e) 20

6. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es 12π. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)

a) 12π b) 13π c) 14πd) 15π e) 16π

7. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciende hasta el suelo y el bloque “B” sube el triple de lo que recorre “A”, calcule:

2CCB

CB2C

2B

R2RR

RR5RR

+

++

a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1

8. En el sistema de poleas calcular el ángulo que gira la rueda D, si la rueda A le damos una vuelta completa.(RB = 8RA; y RD = 5RC)

a) 9° b) 10° c) 18°d) 20° e) 90°



TRIÁNGULOS RECTÁNGULO

Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.

Catetos: CByCA ⇒ CA = b ∧ CB = a

Hipotenusa : AB ⇒ AB = c

Ángulos agudos : CAB y CBA

⇒ mC A B = α ∧ mCB A = θ

TEOREMA DE PITÁGORAS

AB2 = CA2 + CB2 ⇒ c2 = a2 + b2

ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS

mC A B = + mCB A = 90° ⇒ α + θ = 90°

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos, se determinan en un triángulo rectángulo,


IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec LA MERCEDestableciendo la división entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.

a

c

aOpuestoCateto

HipotenusaCsc

b

c

aAdyacenteCateto

HipotenusaSec

c

b

aOpuestoCateto

aAdyacenteCatetoCtg

b

a

aAdyacenteCateto

OpuestoCatetoTg

c

b

Hipotenusa

aAdyacenteCatetoCos

c

a

Hipotenusa

aOpuestoCatetoSen

==

==

==

==

==

==

θθ

θθ

θθ

θ

θθ

θθ

θθ

ObservaciónPara todo ángulo agudo “θ” se cumplirá:

0 < Senθ < 1 Tgθ > 0 Secθ > 1

0 < Cosθ < 1 Ctgθ > 0 Cscθ > 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS RECÍPROCAS

Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:

Seno – Cosecante Coseno – Secante Tangente – Cotangente

PROPIEDADES DE LAS RECÍPROCAS

El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad.

Senθ. Cscθ = 1 ⇒ Cscθ = θSen

1



Cosθ. Secθ = 1 ⇒ Secθ = θCos

1

Tgθ. Ctgθ = 1 ⇒ Ctgθ = θTg

1

Nota Senθ . Cscφ = 1

Si: Cosθ. Secφ = 1 ⇒ θ = φTgθ . Ctgφ = 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Llamadas también Co-Razones Trigonométricas, son las siguientes:

Seno – Coseno Tangente – Cotangente Secante – Cosecante

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES

Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su complemento.

Senθ = Cos(90°-θ) RT(θ) = Co-RT(90°-θ) Tgθ = Ctg(90°-θ)

Secθ = Csc(90°-θ)

Nota

Si: RT(θ) = Co-RT(φ) ⇒ θ + φ = 90°

Complemento

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES



RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

30° 60°Sen 1/2 3 /2Cos 3 /2 1/2

Tg 3 /3 3

Ctg 3 3 /3Sec 2 3 /3 2

Csc 2 2 3 /3

45°Sen 2 /2Cos 2 /2Tg 1Ctg 1Sec 2

Csc 2

37° 53°Sen 3/5 4/5Cos 4/5 3/5Tg 3/4 4/3Ctg 4/3 3/4Sec 5/4 5/3Csc 5/3 5/4

1. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar:

E = a2Ctg2A + c2Ctg2C

a) 2a2 b) 2b2 c) 2c2

d) b2 – a2 e) a2 + b2

2. Del gráfico obtener Cosα




a) 2/3 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/8 e) 1/2

3. Sabiendo que φ es un ángulo agudo y que Ctgφ = 20/21. Calcular:

E = 4Cosφ + 3

1Senφ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Si: Tgβ = 3

2 y Cosφ =

3

2(β + φ agudos),

Calcular:

N = 2 13 Cosβ + 7 10 Senφ

a) 14 b) 18 c) 20d) 24 e) 26

5. En un triángulo ABC(AB = BC) se sabe que SenB = 0.6. Calcular TgA.

a) 1/3 b) 1/2 c) 2d) 3 e) 4

6. Calcular el área de un trapecio rectángulo, sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro es 34 m y el coseno de su ángulo agudo es 0.8

a) 24 m2 b) 36 m2 c) 40 m2

d) 54 m2 e) 602

7. De la figura calcular Tg2α

a) 5 /3 b) 2/3 c) 5 /2d) 3/2 e) 5

8. Calcular el perímetro de un triángulo ABC, sabiendo que:

35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m

a) 180 m b) 160 m c) 140 m d) 200 m e) 240 m

1. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tgθ, sabiendo que Secα = 2.6

a) 4/3 b) 6 c) 8d) 3/4 e) 5/13

2. De la figura calcular: M = 10Cscα + 13 Cosα




a) 29 b) 31 c) 26d) 36 e) 38

3. Si α + β son ángulos agudos y complementarios, calcular:

P = Sen α + Sen2β + TgαTgβ

a) 0 b) 1 c) 2d) 1.5 e) 2.5

4. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tgα

a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3d) 3/4 e) 3/2

5. Simplificar:

( ) ( )( )°−°

°−−°−°=

40Csc150Cos

40Senx60Tgx30TgP

a) 0 b) –1 c) 1d) 1/2 e) –1/2

6. Si AB = BC, Calcular : P = Ctgα - Cscφ

a) - 22 / b) - 2 c) 2 /2

d) 2 e) 2 2

7. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), Calcular:

a3Cos

b3Sen

b3Cos

a3SenP +=

a) 1 b) 2 c) 1.5d) 2.5 e) 3

8. Calcular: x + y, sabiendo que: Cos (3x + 10°) Csc(y –40!) = 1

Ctg(2y - 65°) = Tg(55°-x)

a) 60° b) 66° c) 74°d) 80° e) 86°

RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO


IEI MARÍA AUXILIADORAMATEMÁTICA – Lic. Jenny Tácunan Palacios --- 5to Sec LA MERCEDSi en un triángulo rectángulo, se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, se podrá calcular los lados restantes del modo siguiente:

Se divide el lado que se quiere calcular (incógnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando así una razón trigonométrica del ángulo dado, despejando de esta igualdad el lado que se quiere calcular.

1er Caso: (Conocido un ángulo agudo y la hipotenusa)

2do Caso: (Conocido un ángulo agudo y su cateto adyacente)

3er CASO: (Conocido un ángulo agudo y su cateto opuesto)

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

• PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS


θθ hSenxSenh

x =⇒=

θθ hCosyCosh

y=⇒=

θθ aTagxTga

x =⇒=

θθ aSecySeca

y=⇒=

θθ aCtgxCtga

x =⇒=

θθ aCscyCsca

y=⇒=

2

abA =∆

θθ∆ CosSen2

cA

2

=


• PARA TODO TRIÁNGULO

Nota

• TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES (Aproximados)

• ÁNGULO VERTICAL

Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos en planos verticales. Los ángulos verticales determinados en el instante en el cual se realiza una observación será materia de nuestro estudio, estos ángulos se determinan en el punto desde el cual se realiza la observación y sus lados son dos líneas imaginarias trazadas desde dicho punto, las cuales permitirán la observación.Según su ubicación estos ángulos serán ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos de observación.


θ∆ Sen2

abA =

ab

A2Sen ∆α =


CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos. Toda persona u objeto que posea una altura, será considerada perpendicular al nivel del suelo,

a no ser que se indique otra situación. De no indicarse desde qué altura se realiza la observación y no siendo esta altura la incógnita

del problema, se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.

1. Del gráfico mostrado calcule Tgθ a) 2 -1 b) 3 -1 b) 2

d) 2 +1 e) 3 +1

2. Del gráfico calcular el valor de: S = Ctgα - 2 Ctgθ




a) 1 b) 2 c) 1/2d) 2 e) 0

3. Hallar CD en término de m y θ

a) mSenθ b) mCosθ c) mTgθd) mCtgθ e) mSecθCscθ

4. De la figura calcular:

θββθ

SenCos

SenCosE

−−

=

a) 1b) 2c) 1/2d) 2/5e) 3/2

5. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “R” en términos de “b” y “θ”

a) b/(1+Senθ) b) bCosθ/(1+Senθ)c) bSenθ/(1+Secθ) d) bSenθ/(1+Cosθ) e) bCosθ/(1+Cosθ)

6. De la figura calcular 34 Senθ

a) 1.2b) 1.4c) 1.6d) 1.8e) 2

7. En la figura: AB = BD. Calcular M = Tgα + Tgβ en términos de α

a) Senα b) Cosα c) Tgαd) Secα e) Cscα

8. Expresar Tgx en función de “θ”

a) 2Tgθ+Ctgθ b) 2Ctgθ-Tgθc) Tgθ+Ctgθ d) 2Tgθ-Ctgθe) Tgθ-Ctgθ

1. Del gráfico calcular: P = Ctgα - Tgα

a) 2 b) 2 c) 2 2

d) 4 e) 5

2. De la figura Calcular Cosθ




a) 1/ 2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6

3. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo isósceles de lado desigual “a” y uno de los ángulos iguales mide θ

a) a(2Ctgθ + 1) b) 1Ctg2

a

+θ

c) 1Ctg

a2

+θ d) 1Tg

a2

+θe) a(3Ctgθ - 1)

4. De la figura calcular la superficie del cuadrilátero.

a) 20 Senα b) 24 Senα c) 25 Senαd) 30 Senα e) 28 Senα

5. De la figura, calcular: BC

AB

a) CosθSec2θb) Cos2θSecθc) CosθSec3θd) Cos3θSec3θe) Cos3θSecθ

6. Calcule el valor de Senθ, si ABCD es un cuadrado.

a) 8 17 /65b) 8 17 /75c) 8 17 /85d) 8 17 /55e) 8 17 /95

7. En un paralelogramo las distancias del punto de inserción de las diagonales a los lados no paralelos son a y b. Sabiendo que uno de los ángulos del paralelogramo es “θ”, determine el perímetro del paralelogramo.

a) 4(a+b)Cscθ b) 4(a+b)Secθc) 4(a+b)Tgθ d) 4(a+b)Senθe) 4(a+b)Cosθ

8. De la figura mostrada determine el valor de “d”, en términos de a y b

a) (a-b)(Senθ+Cosθ)b) (a-b)(Senθ+Ctgθ)c) (a-b)(Cscθ+Tgθ)d) (a-b)(Secθ-Tgθ)e) (a-b)(Cscθ-Ctgθ)

f)

1. De la figura Calcular el valor de:E = 5 cscθ - cot θ

a) 1b) 3c) 5

d) 7e) 9

2. De la figura calcular el valor de:




P = 13 (sen α - cos α)

a) –5 b) –3c) –2 d) 1e) 2

3. De la figura, Hallar: E = (senθ + cosθ) cscθ

a) 17/24b) 24/17c) 7/24d) –17/24e) –7/24

4. Si cotα = 2.4 siendo “α” un ángulo estándar del tercer cuadrante, calcular el valor de:

E = 2senα + 4

1 cosα

a) –2 b) –1 c) 1/2 d) 1 e) 2

5. Siendo “θ” un ángulo en posición estándar del

II cuadrante, donde tan θ = 2

3− , calcular:

P = 3 + 13 (senθ + cosθ)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar “θ”.Calcular:

R = sen θ . cot θ

a) –1/ 10 b) –2/ 10 c) –3/ 10

d) –4/ 10 e) 10 /10

7. Calcular:

( )

2

3b

2sena

ab42ab20ba

22

2

ππππ

csc

sectancos

+

++°+

a) –2 b) ba

1

−c) 1/2

d) 2 e) ba

1

+

8. Del gráfico, hallar : Q = αβ

βα

tan

tan

cos

cos+

2

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

1. Siendo θ y α ángulos del II y III cuadrante respectivamente, hallar el signo de:

θαθθαθ

csc.sec.cot

tan.cos.senE=

a) + b) - c) (+)d) Cero e) Faltan datos

2. Indicar el signo de:

°°°°°°

=24012045sen

275370220senE

seccos

tancos

a) + b) - c) + y - d) Cero e) F.D.

3. A qué cuadrante pertenece el ángulo “θ”, si se cumple:

cos θ < cos (π/2)




tan θ > tan π

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) Ninguno

4. Del gráfico, hallar “tanα”; si OABC es un cuadrado:

a) –2b) –1/2c) –1/3d) –3e) 1/2

5. Hallar “a” si tan θ = 3

a) –1b) –2c) –3d) –4e) –5

6. Si θ < x < 2π y sen x = tan 2π, calcular el valor de:

P = sen

+

+

6

x

4

x

2

xcsccot

a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

7. a y b son complementarios, además se cumple:

(tanα)2tanθ+3 = (cotβ)tanθ+1; θ ∈ IVC

Calcular : M = sen θ + cos θ

a) 5 /5 b) - 5 /5 c) 5 /10d) - 5 /10 e) 5 /15

1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

a) sen 40° b) sen 100° c) sen 160°d) sen 220° e) sen 280°

2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?

a) cos20° b) cos100° c) cos160°d) cos260° e) cos320°

3. En la CT hallar el área de la región sombreada:

a) senαb) cosαc) 1/2senαd) 1/2senα


(a – 1; 4a – 1)



e) 1

4. En la circunferencia trigonométrica mostrada:

cosθ = 3

2 y OM = MB. Calcular el área de la

región triangular OMP.

a) 1/6b) 1/3c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3

5. Si: 2

π < y < π, entonces:

I. sen x > sen yII. cos x < cos y III. sen x < cos y

4Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III

6. Hallar los valores de “k” si:

cos θ = 3

1k2 −

a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2]d) [-1; 3] e) [-1; 1]

7. Si: senx = 5

3a2 −; hallar la suma de todos los

valores enteros que puede tomar “a”.

a) 6 b) 7 c 8d) 9 e) 10

8. Calcular A.B donde “A” y “B” representan los valores mínimo y máximo de la expresión:

P = A + B cos x

a) –15 b) –6 c) 8d) 15 e) 16

1. Si: θ ∈ IIIC y cos θ = 7

2k3 +; entonces el

intervalo de “k” es:

a) ]-5; 3[ b) ]0; 2/3[ c) ]-3; 2/3[d) ]-2/3; 0[ e) ]3; 2/3[

2. Si: “α y θ” son arcos diferentes, calcular la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión:

θαπ 22 2sen3

2Q cossec +−=




a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Afirmar si es (V) o (F):

I. sen 2 < sen 3II. cos 5 < cos 6III. sec 4 tan 6 > 0

a) VVV b) FFV c) FVFd) VFF e) FFF

4. Del gráfico calcular el área de la región sombreada, si BP = PQ = QB´

a) 1/3 sen θb) 1/3 cos αc) –1/3 sen θd) –1/3 cos θe) – 1/6 senθ

5. De la figura calcular “d”

a) θ

θcos+1

sen

b) θ

θsen1+

cos

c) θ

θcos−1

sen

d) θ

θsen1+

cos

e) θ

θcos+

−1

sen

6. Calcular el valor de:

8senx

1x1senxE

+++−

=cos

a) 1/2 b) 1/3 c)1/4d) 1/5 e) 1/6

7. Si: 6

π < x <

6

5π indicar la variación de:

2sen x + 3

a) [4; 5] b) ]4; 5[ c) [4; 5[d) ]4; 5] e) ]4; 5]

8. En la CT hallar el área de la región

sombreada:

a) senαb) cosαc) 1/2senαd) 1/2cosαe) 1

1. Reducir:A= (1–cos2x) (1+cot2x) + (1 – sen2x)(1+tan2x) a) 0 b) –2 c) 2




d) –1 e) 1

2. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:

1xxxxR 2222 −−−= sec.tansectansec

0° < x < 90°

a) secx b) tanx c) 1d) 0 e) N.A.

3. Simplificar:

H = 16(sen6 x + cos6 x) – 24(sen4 x + cos4x) + 10 (sen2 x + cos2x)

a) 0 b) 1 c) –1d) 1 e) -2

4. Simplificar:

E = tan2x + cot2 x + 2 – sec2x . csc2x

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:

K = (1+sen2x)+2(1+sen2x)(1+cos2x) +(1+cos2x)

a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 27

6. Simplificar:

( ) ( )( ) ( ) 22

22

xxxx

xsenxxsenxV

cottancottan

coscos

−−+

−++=

a) 4 b) 2 c) 1d) 1/4 e) 1/2

7. Simplificar:

xx

senxxK

cossec

csc

−−

=

a) 1 b) tanx c) tan3xd) cotx e) cot3x

8. Reducir:

xsenx1

xW tan

cos+

+=

a) secx b) senx c) cosh d) cscx e) 1

1. Encontrar “n” de tal manera que se cumpla: (senx + cosx) . (tanx + cotx) = n + cscx

a) sen x b) sec x c) cos x d) cscx e) tan x

2. Calcular:

z = (tan 50° + csc40°) . (cot 40°. sec50°)

a) 1 b) –1 c) 0d) 2 e) –2

3. Si: tanx + cotx = 3 2




Calcular:

senx

x

x

xY

csc

cos

sec+=

a) 6 b) 9 c) 12d) 18 e) 36

4. Si: senx – cosx = 55 / ; hallar: T = 5. sen x . cos x - 1

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 1/5

5. Si: cosx + cos3x = 1; hallar: W = sen2x + sen4x

a) 2 b) –2 c) 0d) –1 e) 1

6. Si: cscx + cotx = 10; encontrar:U = cscx + cotx

a) 100 b) 10 c) 1d) 0.1 e) 0.01

7. Si: sen3x + csc2x = 7; 270° < x < 360°encontrar : R = 2. senx + cosx . cotx

a) 3 b) 1/3 c) –3d) –1/3 e) 1

8. Simplificar la expresión:

xxx1

xxsenx1

csccotcos

sectan

++++++

a) 1 b) tanx c) cotxd) secx e) cscx

1. Reducir:

M = ( ) ( )( ) ( )βαβα

βαβα+−−−++

coscos

sensena) tanα b) cotα c) tanβd) cotβ e) 1




2. Hallar el valor de: A = sen(5π/12) . cos(5π/12)

a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16

3. Si “X” e “Y” son las medidas de dos ángulos agudos tales que cosX = 12/13, tan Y = 15/8; calcular el equivalente de: “sen (X+Y)”

a) 221/220 b) 220/221 c) 22/221d) 21/220 e) 220/21

4. Indicar el equivalente de: E = 2 . Sen (45° - x)

a) cosx. senx b) cosx + senx c) senx - cosx d) cosx – senx e) 2(cosx – senx)

5. La expresión:

P = ( )

ysenx

yx

cos.

cos +, será igual a:

a) tanx – coty b) cotx + tany c) tanx + coty d) 1-tany. Tanx e) cotx – tany

6. Calcular:

°°+°°°°−°°

=15sen60sen1560

30sen753075senN

.cos.cos

.coscos.

a) 1 b) –1 c) 2

d) 2 /2 e) - 2

7. Simplificar: W = sen(60°-x).cos (30° + x)

+ cos (60° - x) sen (30° + x)

a) 0 b) –1 c) sen(30°- 2x) d) 1 e) sen (2x – 30°)

8. Si: tan (α + β) = 33 y tan α = 3Hallar el valor de: “tan β”.

a) 30 b) 0.03 c) 100/3d) 0.3 e) 10/3

1. Hallar el valor de “tanφ” del gráfico adjunto, si: CM = 1, DM = 2 y BC = 3

a) 1b) 1/5c) 5d) 1/6e) 6

2. Hallar el valor equivalente aproximado de: K = tan 8° / cot16°

a) 1/24 b) 24 c) 7/24d) 24/7 e) 1/7

3. Hallar: J = (tan15° - tan75°)/(1+tan15°. Tan75°)

a) 1 b) 3 c) - 3 /3d) 3 /3 e) - 3

4. Calcular el valor de “tanφ” del gráfico.




a) 1b) 1/2c) 2d) 1/3e) 3

5. Encontrar el valor de.

°−°°

=2070

50P

tantan

tan

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 0 e) Necesito tablas

6. Hallar: A = tan 35° + cot 80° + cot 55° . tan 10°

a) 3 b) 2 c) 1d) 9 e) Necesito tablas

7. Siendo “A” y “B” y “C” las medidas de los ángulos internos de un triángulo ABC, simplificar:

L = (tanA + tanB + tanC). CotA. CotB. CotC

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 6

8. Reducir: ( ) ( ) ( )

ac

acsen

cb

cbsen

ba

basen

cos.coscos.coscos.cos

−+

−+

−

a) 1 b) –1 c) 0d) 3 e) 5

1. Reducir:

( )

( )x360senx2

3

x2

3x

A

−°

−

−+

=π

ππ

cot

costan

a) 1 b) 0 c) –1d) 2 e) -1/2

2. Calcular: E = 3csc150° + tg225° - sec300°

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Simplificar: A = sen170°.csc190°+6sen150°-2cos180°




a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Si: x + y = 180°, calcular:

+=

2

y

2

x

seny

senx2A

cot

tan

a) 2 b) 3 c) –1d) –2 e) 0

5. Calcular:

°°+°

=120

210044855A

cos

costan

a) –14 b) 14 c) –12d) 12 e) –10

6. Reducir la expresión:

( )

( )x4sen

x2

33x6sen2

E−

−++

=π

ππ cos

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

7. Simplificar:

( )( )

( )x

x2

xsen

x2

3

A−

+−

−

+

=tan

tancos

ππ

a) 1 b) 2 c) -1d) –2 e) 0

8. Reducir:

( )( )

( )

−

−+

−+

=x

2

3

x41

x

x20A

πππ

cot

tan

cos

cos

a) –1 b) –2 c) 0d) 1 e) 2

1. Calcular:

A = 4cos(-120°) –3cot(-315°) + 4sec(-300°)

a) 1 b) 2 c) 3d) –3 e) –2

2. Dado un triángulo ABC, calcular: ( ) ( )

A

CB2

senC

BAsenA

tan

tan +−

+=

a) 1 b) 2 c) 3d) –1 e) –2

3. Si: x + y = 2π, calcular:

A = senx + tan

2

x+ seny+tan

2

y

a) senx b) 2senx c) -tan

2

x

d) – 2tan

2

xe) 0

4. Calcular:

A=2tan

4

41π+sen

+ x

2

πsec(π-x)+3sen

2

π

a) 1 b) 2 c) 3




d) 4 e) 5

5. Simplificar: ( )( )

( )( )x120

x2403

x80sen

x100sen2A

+°−°

−−°+°

=tan

tan

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Calcular:

A = 2tan434

π- 2cos147π + 6sen61

6

π

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. α + β son suplementarios, reducir:

( )

( )

++

++

=

22sen

22sen

Aαββα

βαβα

cot

tan

a) 1 b) –1 c) -tanαd) -tanβ e) -cosα

8. Afirmar si es (V) o (F):

( ) sec (90° + x) = cscx( ) cot (270° - x) = tanx( ) csc (270° + x) = secx

a) FFF b) FFV c) VVFd) FVF e) FVV

1. Simplificar:

senx

x2

x

x2senM

cos

cos+=

a) senx b) cscx c) cosxd) secx e) tanx

2. Calcular: ( ) ( )

°°°−°°+°

=10sen104

35sen3535sen35K

cos

coscos

a) 1 b) 2 c) 3

d) 1/2 e) 1/3

3. Si: x = 8

π, Calcular:

E = 4senx. Cos3x – 4sen3x . cosx

a) -1 b) 1 c) 1/2 d) 2 e) 2 /2

4. Reducir:




x2

1

xsenx2

1x2A

2

tancos

cos−

−=

a) 0 b) 1 c) 2d) 2cot2x e) cot4x

5. Reducir la expresión:

12

12P

−+

=αα

sec

sec; 0° < α < 90°

a) tan α b) tan 2α c) tan2αd) tan2α e) cotα

6. Reducir:

E = θθ

θθcoscos ++

+21

sen2sen

a) cotθ b) 2cotθ c) tanθd) 2tanθ e) 1

7. Calcular: M = (2+cos35°) . (1 – cos35°) + sen20°

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

8. Si: 2a + b = 90°, calcular:

b

1

a

a2A

cscsec

cos−=

a) 0 b) 1 c) 2d) –1 e) –2

1. Siendo: tanx = 0.5, Hallar: R = tan2x.cotx

a) 1 b) 2 c) 4/3d) 8/3 e) 2/3

2. Hallar:

'tan

'tan

30671

30672A

2 °−

°=

a) 1 b) 2 /2 c) –1d) - 2 /2 e) 2

3. Hallar “a”:

a) 18b) 12c) 9d) 6

e) 3

4. Conociendo que:

tan 2

x= m. Hallar: “cosx”

a) 2m1

m2−+

b) 1m

1m2

2

+

−

c) 1m

1m2

2

−

+d)

2

2

m1

m1

+

−

e) 2

2

m1

m1

−

+

5. Indicar el equivalente: x1

senx

cos−




a) cot2

xb) tan

2

xc) cotx

d) 2cot2

xe) –tanx

6. Calcular:

°°+°

=50

2070M

sec

tantan

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/3

7. Simplificar:

A = cot

−−

− α

πα

π44

tan

a) tan + 4α b) 2tanα c) –tan4αd) –2tanα e) 2cot2α

8. Reducir:

2

x2sen

xsenx

xxsenR

33

+++

=cos

cos

a) 1 b) senx c) 2d) cosx e) 1/2

1. Si: cosα = 3

2; 0° < α < 90°

Hallar: sen 2

α

a) 6

03 b) 6

6 c) 12

6

d) 6 e) 5

6

2. Si:

cosθ = 2

3

3

1 π; < θ < 2π

calcular: “sen 2

θ”

a) 2

3 b) -2

3 c) 3

3

d) -3

3 e) -6

3

3. Si:25cos2x – 4= 0; 180° < x < 270°

calcular: tan 2

x

a) 7− b) 3− c) -3

7

d) - 7

3 e) - 10

4. Calcular:

°°−°

=70

4040R

cot

cotcsc

a) 3 b) 1 c) –1

d) - 3 e) 3

3−




5. Reducir:

x2

x

x22

x

Ecottan

cotcot

+

−=

a) 2sen2

xb) 2cos

2

xc) 2tan

2

x

d) 2sen2

2

xe) 2cos2

2

x

6. Si la siguiente igualdad es una identidad:

=+

+−

n

xmx2

xx

xx 22

cotcotcotcsc

cotcsc

hallar: “m + n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Si: csc80° + tan10° = aCalcular : “cot50”

a) a b) 2a c) a-1

d) 2a-1 e) a

8. Reducir:

°+°°

−°

°−°=

4040

40sen

3

66M

cotcsctan

cotcsc

a) 1 b) sen40° c)sen 50°d) cos80° e) sen80°

1. De la siguiente igualdad: cot14° - n sec34° = tan 14° - 2tan 28°

hallar: “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50°

a) 1/2 b) –1/2 c) 1

d) –1 e) 2

3

3. Reducir:

x

xx3N

cos

coscos +=

a) cos2x b) 2cos2x c) cosxd) 2cosx e) 1

4. Siendo:

sen3

1

3

x= ; calcular: “senx”

a) 1 b) -27

23c)

27

23

d) 9

1e) -

9

1

5. Si: senx – cosx = 3

1, calcular: sen6x

a) 27

13b)

27

23c)

27

17

d) 27

22e)

27

19

6. Si: tan 2x3

=

−

π

hallar: “cot3x”




a) 2

1b)

2

3c)

2

7

d) 2

11e)

2

15

7. Si:

sec2

x = 3sen

2

x

hallar: cos 2x

a) 27

1b)

9

1c)

27

2

d) 27

22e)

3

1

8. Si: cosx = -1/5; 180° < x < 270°

Hallar: “sen 2

x”

a) 20. b) 40. c) 60.

d) 80. e) 1


Trigonometría 5 to

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