TRIGONOMETRÍA...Sea αun ángulo positivo menor de una vuelta perteneciente al IVC, tal que: α= π...

TRIGONOMETRÍA

Profesor:Jonathan Cumpa Velásquez

TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RT DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR


1.-Ángulo en posición estándar:

𝛂

𝛃

𝛉

Y

O XX’

Y’

IV C

I CII C

III C

α ∈ IIC m∢α > 0,

β ∈ IVC m∢β < 0,

• α es un ángulo en posición estándar

• θ:no es un ángulo en posición estándar

• β es un ángulo en posición estándar


2.-Ángulo cuadrantal:

O

𝟗𝟎°

𝟏𝟖𝟎°

27𝟎°

𝟑𝟔𝟎°

𝟎

Múltiplo de 90n° ∨nπ

2rad

𝛑

𝟐𝐫𝐚𝐝

𝛑𝐫𝐚𝐝

𝟑𝛑

𝟐𝐫𝐚𝐝

𝟐𝛑𝐫𝐚𝐝<>

• ∀ 𝐧 ∈ ℤ


2.1- Forma general de los ángulos cuadrantales:

2nπ(2n + 1)π

4n + 1π

2

4n + 3π

2

𝐧𝛑

𝟐𝐧 + 𝟏𝛑

𝟐

• ∀ 𝐧 ∈ ℤ

O

Y

XX’

Y’

𝐧𝛑

𝟐


• ∀ 𝐧 ∈ ℤ

O 2nπ(2n + 1)π

4n + 1π

2

4n + 3π

2

nπ

2n + 1π

2

Y

XX’

Y’

OX: 2nπ; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

OX’: (2n + 1)π; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

OY:4n + 1 π

2; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

OY’:4n + 3 π

2; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

X’X : 𝐧𝛑; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

Y’Y :𝟐𝐧 + 𝟏 𝛑

𝟐; ∀ 𝐧 ∈ ℤ

• Si: α ∈ IC ↔ 2nπ < α <4n + 1 π

2

• Si: ↔4n + 1 π

2< α < (2n + 1)πα ∈ IIC

• Si: ↔ 2n + 1 π < α <4n + 3 π

2α ∈ IIIC

• Si: ↔4n + 3 π

2< α < 2(n + 1)πα ∈ IVC

RT DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAREjemplo:Sea A el conjunto de ángulos cuadrantales cuyo lado final pertenece a OY′ y B el conjunto de ángulos cuadrantales cuyo lado final pertenece al eje de ordenadas, calcular B-A (n ∈ ℤ)

A

𝐁 = 𝟐𝐧 + 𝟏𝛑

𝟐

∴ 𝐁 − 𝐀 = 𝟒𝐧 + 𝟏𝛑

𝟐

O

4n + 1π

2

𝟒𝐧 + 𝟑𝛑

𝟐

Y

Y’

RESOLUCIÓN:

RT DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAREjemplo:Sea α un ángulo positivo menor de una vuelta perteneciente al IVC, tal que: α =

π

23+2π

23+3π

23+⋯+

nπ

23rad; n ∈ ℤ

Calcular la diferencia entre el mayor y menor valor que pueda tomar α.

RESOLUCIÓN:

α ∈ IVC3π

2< α < 2π

α =π

23+2π

23+3π

23+⋯+

nπ

23rad; n ∈ ℤ

α =π

23

n n + 1

2rad

3π

2<

π

23×

n n + 1

2<

4π

2

69 < n n + 1 < 92

nmín = 8 → 69 < (8)(9) < 92

nmáx = 9 → 69 < 9 10 < 92

… 𝐢

αmín =36π

23

αmáx =45π

23

• Reemplazando en i :

nmín = 8

nmáx = 9

αmáx − αmín =45π

23−36π

23

∴ 𝛂𝐦á𝐱 − 𝛂𝐦í𝐧 =𝟗𝛑

𝟐𝟑


3.-Ángulos coterminales:

𝛂

𝛂

𝛃

𝛃

𝛂 − 𝛃 = 𝟑𝟔𝟎𝐧°𝟐𝐧𝛑𝐫𝐚𝐝

∀ 𝐧 ∈ ℤ

𝐑𝐓 𝛂 = 𝐑𝐓 𝛃

LF

LI


Dos ángulos coterminales están en la relación de 13 a 1, la diferencia de ellos es mayor que 1 200°, pero menor que 1 500°. Hallar el mayor ángulo

α

β=

13

1

Sea: α y β los ángulos coterminales

1200° < α − β < 1500°

α − β = 360n°

α = 13k β = 1k∧

1200° < 360n° < 1500°

360n° = 1440°

12k = 1440°

𝐤 = 120°

Hallar el mayor ángulo:

α = 13(120°)

∴ 𝛂 = 𝟏𝟓𝟔𝟎°

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


Calcular la media aritmética de todos los ángulos positivos coterminales con 230° y menores de 10 000°

x − 230° = 360n° , ∀ n ∈ ℤ

x = 360n°+ 230°

0 < x < 10000°

0 < 360n° + 230° < 10000°

−230° < 360n° < 9770°

−0,63 < n < 27,13

nℤ = 0, 1, 2 …27

28 términos

x = 360 0 ° + 230°

x = 360 1 ° + 230°

x = 360 2 ° + 230°

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x = 360 27 ° + 230°

MA =360° .

27(27 + 1)2

+ 230°. 28

28

∴ 𝐌𝐀 = 𝟓𝟎𝟗𝟎°

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


4.-Cálculo de las razones trigonométricas:

O X

Y

P x; y

𝛉

r = x2 + y2 ; r > 0

Senθ =y

r

Cosθ =x

r

Tanθ=y

xCotθ =

x

y

Secθ =r

x

Cscθ =r

y

•

•

••

•

•

r

• x ∧ y ≠ 0


Ejemplo:Calcular: 13Cosα + 10Senβ

RESOLUCIÓN:

O

Y

X

α

β

a a

b

(a + b)2= (2a)2+b2

a2 + 2ab + b2 = 4a2 + b2

• Por el Teorema de Pitágoras:

2ab = 3a2

2

3=

a

b

a2 2

3

(−2; 3)

(−4; 3)

(4;−3)

a + b

• Calcular: 13Cosα + 10Senβ

13

5 13−2

13+ 10

−3

5

−2 − 6

−𝟖


5.-Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales:

1 0 N 0 N 1Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0 1 0 N 1 NSen Cos Tan Cot Sec Csc

O

(+)

(+)(−)

(−)

• N: no definido

RT DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAREjemplo:Sean α y β ángulos coterminales que están en la relación de 7 a 29, además la suma de ellos se encuentra en el intervalo

720°; 1440° . Hallar el seno del ángulo mayor multiplicado por 22

36sumado del ángulo menor multiplicado por

11

18.

RESOLUCIÓN:

α ∧ β: ∢s coterminales

β

α=

7

29

i. 720° < α + β < 1440°

k

kβ = 7k α = 29k,

720° < 36k < 1440°

20° < k < 40°

ii. α − β = 360n°

22k = 360n°11k = 180n°

220° < 11k < 440°

11k = 360°

x11

•Sen 29k.

22

36+ 7k.

22

36

Sen22

3636k

Sen 720°

𝟎

•

Sen 22k


6.-Signos de las razones trigonométricas:

Todas (+)Sen

(+)Csc

(+)Tan

Cot

Cos(+)

Sec


Ejemplo:Determinar el signo de P;Q y R: P = Sen

1997π

7Q = Tan

1471π

6R = Cos

3852π

5RESOLUCIÓN:

P = Sen1997π

7

1997π 𝟕

285π1995π

2π

P = Sen 285π +2π

𝟕

P = (−)

Q = Tan1471π

6

1471π 𝟔

245π1470π

1π

Q = Tan 245π +π

𝟔

Q = (+)

R = Cos3852π

5

3852π 𝟓

770π3850π

2π

R = Cos 770π +2π

𝟓

R = (+)

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN

MOMENTO DE PRACTICAR

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR1. Si se tiene que : |Cosθ| + Cosθ = 0 y además: 2Cotθ = 2 +

1

4 +1

4 +1

5 + 2

Calcular el valor de: S = 5Cosθ − 3Sen2θ

RESOLUCIÓN:

2Cotθ = 2 +1

4 +1

4 +1

5 + 25 − 2

5 + 2

5 − 2

5 + 2

5 − 2

5

Cotθ =5

2Cosθ = −Cosθ

−

O

− 5;−2

3

S = 5Cosθ − 3Sen2θ

S = 5− 5

3− 3

−2

3

2

S = −5

3−4

3

∴ 𝐒 = −𝟑

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR2. Del gráfico mostrado, determine el valor de “Tanθ”, si se tiene que el área del triángulo EKI es de 54u2

O

E

K

I

R 4; 20

5; 0

θ

y = 2 x − 5 2

a; 2 a − 5 2

8 − a; 2 3 − a 2

20 =2 a − 5 2 + 2 3 − a 2

2

20 = a2 − 10a + 25 + 9 − 6a + a2

a2 − 8a + 7 = 0aa

−7−1

a = 7a = 1

→ E(1; 32)

→ I(7; 8)

→ K x; y = (x; 2 x − 5 2)

RESOLUCIÓN:

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR

O

E(1; 32)

K(x; y)

I(7; 8)

θ

𝟓𝟒𝐮𝟐

1 32

x y

7 8

1 32

y

8x

224

32x

7y

8

𝐃𝐈

54 =216 − 24x − 6y

2

54 = 108 − 12x − 3y

4x + y = 18

4x + 2 x − 5 2 = 18

x2 − 8x + 16 = 0

x − 4 2 = 0

x = 4 → y = 2

Tanθ =2

4

∴ 𝐓𝐚𝐧𝛉 =𝟏

𝟐

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR3. Si “a” es la abscisa del punto B y “b” es la ordenada del punto A, además |a| = 2b, calcular: S = Cotα - Cotθ. Dato: AB = BC.

RESOLUCIÓN:

O

A

B

C

α

θ

(a; 0)

(n; b)

(m;−b)

S = Cotα − Cotθ

S =n

b−

m

−b

S =n +m

b

S =2a

b

a = 2b

a < 0

−a = 2b

S =−4b

b

∴ 𝐒 = −𝟒

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR4. El menor de dos ángulos coterminales está comprendido entre 540° y 640°. Calcular el mayor ángulo si se sabe que es el cuádruple del menor.

RESOLUCIÓN:

Sean: α y β los ángulos coterminalesα > β

α − β = 360n°

540° < β < 640°

α = 4β

→ 4β − β = 360n°

β = 120n°

→ 540° < 120n° < 640°

β = 600°

∴ 𝛂 = 𝟐𝟒𝟎𝟎°


5. Sabiendo que: ak = Sen 2K + 1π

2+ Cos 2K + 1

π

2+ TanKπ Calcular el valor de: M =

a0 + a2a1 + a3

RESOLUCIÓN:

ak = Sen 2K + 1π

2+ Cos 2K + 1

π

2+ TanKπ

±1 0 0

ak = Sen 2K + 1π

2

K = 0 → a0 = 1

K = 1 → a1 = −1

K = 2 → a2 = 1

K = 3 → a3 = −1

M =a0 + a2a1 + a3

M =1 + 1

−1 − 1

∴ 𝐌 = −𝟏

6. Se tiene que α y θ son positivos y menores que una vuelta, para los cuales se tiene que:

Tanθ. Tanθ − Senα < 0 Cosα. Senθ − Cosα > 0

Hallar el signo de:

S =Cosθ + Tanα

Senα − Senθ

RESOLUCIÓN:


Tanθ. Tanθ − Senα < 0

+−

Tanθ − Senα > 0

Tanθ > Senα

Senα < 0

Cosα. Senθ − Cosα > 0

++

Senθ − Cosα > 0

Senθ > Cosα

Senθ > 0

θ: α:

S =Cosθ + Tanα

Senα − Senθ

S =− + −

− − +

S =−

−

∴ 𝐒 = +

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR11. Del gráfico mostrado, calcule: M = 2Tanα + 3Tanβ

X

Y

β

(1 − a;−2)

α

(a;−3)

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄:𝐀

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR12. De la figura adjunta calcular: Tanθ − 5Secθ

X

Y

x2 + y2 + 4x − 2y = 0

θ

O

L: x − y + 6 = 0

A


R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR13. Si se cumple que SenxCos2θ = 1 y además “x” y “θ” son ángulos no negativos y menores que una vuelta; hallar el menor valor de “x + θ”

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄: 𝐂

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR14. Si el ángulo x es positivo pertenece al cuarto cuadrante y es tal que 0 < x ≤ 2π, entonces hallar el signo de las siguientes expresiones trigonométricas.

∗Tan

x4

Senx2

Cscx4

∗Cot

x3

Sec3x4

Cosx5

∗Sen

x3

Tan2x3

Sec3x4

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄:−

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR15. Se tiene dos ángulos cuadrantales negativos que están en la relación de 3 a 4. Calcular el mayor, si la diferencia de él con el menor es 180°.

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄:𝐁

TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


𝟏𝐞𝐫𝐂𝐀𝐒𝐎: Para ángulos positivos y menores a una vuelta𝐑𝐓 𝟗𝟎° + 𝛂

𝐑𝐓 𝟏𝟖𝟎° ± β

𝐑𝐓 𝟐𝟕𝟎° ± 𝛉

𝐑𝐓 𝟑𝟔𝟎° − 𝛗

𝟏𝐞𝐫paso

𝐃𝐞𝐬𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐧𝐞𝐫

𝟐𝐝𝐨 paso

𝐒𝐢𝐠𝐧𝐨

±

±

±

±

𝟑𝐞𝐫 paso

¿ 𝐂𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚?

CO-𝐑𝐓 𝛂

CO-𝐑𝐓 𝛉

𝐑𝐓 𝛃

𝐑𝐓 𝛗

𝐒𝐈

𝐍𝐎

=

=

=

=

𝟗𝟎°

𝟏𝟖𝟎°

𝟐𝟕𝟎°

𝟑𝟔𝟎°

𝟗𝟎° + 𝛂

𝟏𝟖𝟎° − 𝛃

𝟏𝟖𝟎° + 𝛃

𝟐𝟕𝟎° − 𝛉 𝟐𝟕𝟎° + 𝛉

𝟑𝟔𝟎° − 𝛗


Nota:a) El signo ± dependerá del cuadrante y la RT del ángulo a reducir.

b) Para ubicar el cuadrante consideremos el ángulo a trabajar como (agudo), RTnπ

2± θ 0 < θ < 90°

c) Gráficamente para un ángulo agudo.

𝟗𝟎°

𝟏𝟖𝟎°

𝟐𝟕𝟎°

𝟑𝟔𝟎°

𝛂

𝟗𝟎° + 𝛂

ββ

𝟏𝟖𝟎° − 𝛃

𝟏𝟖𝟎° + 𝛃 θ θ

𝟐𝟕𝟎° − 𝛉 𝟐𝟕𝟎° + 𝛉

φ

𝟑𝟔𝟎° − 𝛗


Calcular : Sen135°Csc225° + Tan240°Cot330°

Sen(180° - 45°).Csc(180°+ 45°) + Tan(180° + 60°).Cot(270° + 60°)

(+Sen45°) (-Csc45°) (+Tan60°) (-Tan60°)

-1 -3+

-4

+× ×

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


Calcular: E =Sec

4π3

Csc7π6

Tan2π3

Sen3π4

Cos5π3

Tan5π6

E =Sec π +

π3 Csc π +

π6 Tan π −

π3

Sen π −π4 Cos 2π −

π3 Tan π −

π6

E =−Sec

π3 −Csc

π6 −Tan

π3

+Senπ4 +Cos

π3 −Tan

π6

E =2 2 3

1

2

12

1

3

∴ 𝐄 = 𝟐𝟒 𝟐

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


i. Ángulos Complementarios:

x + y = 90°

Senx = Cosy

Tanx = Coty

Secx = Cscy

ii. Ángulos Suplementarios:

x + y = 180°

Senx = Seny

Cosx = −Cosy

Tanx = −Tany

Ángulos relacionados:iii. Ángulos Explementarios:

x + y = 360°

Senx = −Seny

Cosx = Cosy

Tanx = −Tany


Sabiendo que A + B = 180° ,calcular:

A + B = 180°

A

2+

B

2= 90°

Suplementarios

Complementarios

CosA = −CosB

TanA

2= Cot

B

2

E =−CosB Cot

B2

CotB2 CosB

∴ 𝐄 = −𝟏

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:

E =Cos A Cot

B2

TanA2 Cos(B)


Calcular el valor de: Sen2n+15π

17+ Sen2n+1

11π

17+ Sen2n+1

23π

17+ Sen2n+1

29π

17

+𝟐𝛑

∡s Explementarios:

Si: x + y = 2π

−Sen5π

17

2n+1−Sen

11π

17

2n+1

0

Sen2n+15π

17+ Sen2n+1

11π

17+ Sen2n+1

23π

17+ Sen2n+1

29π

17

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:

Senx = −Seny


𝟐𝐝𝐨𝐂𝐀𝐒𝐎:Para ángulos positivos y mayores a una vuelta

𝐑𝐓 𝛃 = 𝐑𝐓 𝛂

Donde α es el residuo de:

βq

α

360°

𝐑𝐓 𝟐𝐧𝛑+ 𝛃 = 𝐑𝐓 𝛃

OBSERVACIÓN:

Sea β > 360°:


Calcular :Cos3660°

Sen840°

Resolución:

3660° 360°

1060°

840° 360°

2120°

Cos(𝟔𝟎°)

Sen(𝟏𝟐𝟎°)=

Cos60°

Sen(180° − 60°)=

Cos60°

Sen60°= Cot60°=

𝟑

𝟑

Ejemplo:


𝐑𝐓 𝐧𝛑 ± 𝛂

𝐑𝐓 𝟐𝐧 + 𝟏𝛑

𝟐± 𝛃

Conclusión:

± 𝐑𝐓 𝛂=

± 𝐂𝐎− 𝐑𝐓 𝛃=


Calcular el valor de la siguiente expresión: M = Sen245π

6Cos

163π

4Tan

77π

3

245 6

41−1

163 4

41−1

77 3

26−1

M = Sen 41π −1π

6Cos 41π −

1π

4Tan 26π −

1π

3

M = +Senπ

6−Cos

π

4−Tan

π

3

M =1

2−

2

2− 3

∴ 𝐌 =𝟔

𝟒

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


𝟑𝐞𝐫𝐂𝐀𝐒𝐎: Para ángulos negativos

Sen(− x)

Cos(− x)

Tan(− x)

Cot(− x)

Sec(− x)

Csc(− x)

−Senx

Cosx

−Tanx

−Cotx

−Cscx

Secx

=

=

=

=

=

=

Sea x > 0


Simplificar : E =Sen −120° − Cos −210° + Sec(−300°)

Tan −135° + Sec −225° + Sec(−315°)

E =−Sen 120° − Cos 210° + Sec(300°)

−Tan 135° + Sec 225° + Sec(315°)

E =−Sen 180° − 60° − Cos 270° − 60° + Sec(360° − 60°)

−Tan 180° − 45° + Sec 180° + 45° + Sec(360° − 45°)

E =−(+Sen60°) − −Sen60° + +Sec60°

−(−Tan45°) + −Sec45° + +Sec45°

E =2

1

∴ 𝐄 = 𝟐

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:


Hallar: B =Sec α − 85π Csc α −

39π2

Tan α −73π2 Cos α − 73π

; para α =π

3

B =Sec 85π − α −Csc

39π2

− α

−Tan73π2

− α Cos 73π − α

B =−Secα − −Secα

− +Cotα −Cosα

B =−Sec

π3

Secπ3

−Cotπ3

−Cosπ3

B = −2 2

1

3

12

∴ 𝐁 = −𝟖 𝟑

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN

MOMENTO DE PRACTICAR


7. Calcular: Cos60° + Cos600° + Cos6000° + ⋯+ Cos 6. 10n °, n ∈ ℤ

RESOLUCIÓN:

S = Cos60° + Cos600° + Cos6000° + ⋯+ Cos 6. 10n °

600 3601240

0

0 6240

0

06

S = Cos60° + Cos240° + Cos240° + ⋯+ Cos240°

Cos240° = Cos(180° + 60°)

Cos240° = −Cos60°

Cos240° = −1

2

(n-1) términos

S =1

2+ n − 1 −

1

2

∴ 𝐒 =𝟐 − 𝐧

𝟐


8. Simplificar:Sen 405π + α

Cos333π2 + α

+Cos 248π + α

Sen 323π2 − α

RESOLUCIÓN:

A =Sen 405π + α

Cos333π2 + α

+Cos 248π + α

Sen 323π2 − α

→ A =−Senα

−Senα+

Cosα

−Cosα

A = 1 + −1

∴ 𝐀 = 𝟎


9. Si: x + y = 4k − 1π

2; k ∈ ℤ Además: Cotx =

a − 2

a + 1Coty =

a − 4

a + 3

Calcular: W =1 − Senaπ + Cosx

1 − Cosπa+ Seny

RESOLUCIÓN:

x + y = 4k + 3π

2; k ∈ ℤ

x = 4k + 3π

2− y

Cotx = Cot 4k + 3π

2− y

Cotx = Tany

a − 2

a + 1=

a + 3

a − 4

a − 2 a − 4 = a + 3 a + 1

a2 − 6a + 8 = a2 + 4a + 3

10a = 5

a =1

2

W =1 − Sen

π2 + Cos 4k + 3

π2 − y

1 − Cos2π + Seny

W =1 − 1 + −Seny

1 − 1 + Seny

∴ 𝐖 = −𝟏


10. Si se tiene que “α” es un ángulo en posición normal del II cuadrante, mayor que dos vueltas y menor que tres vueltas, tal que:

Tanα = −Cot3π

8

RESOLUCIÓN:

4n + 1π

2< α < 2n + 1 π

n = 2

9π

2< α < 5π

α =9π

2+ x

α = 5π − y

Tanα = −Cot3π

8

Tan9π

2+ x = −Cot

3π

8

−Cotx = −Cot3π

8

x =3π

8

∴ 𝛂 =𝟑𝟗𝛑

𝟖

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE16. Si se tiene que α es un ángulo del segundo cuadrante para el cual se tiene que Sen 270° − α =

1

1 + a2Calcule el valor de:

E =Sen 180° + α + Cos 1170° + α

Sen 990° − α


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE17. Dada la igualdad:

Cotθ =Sen 2π − x

Cos3π2 + x

−Sen

π2+ x

Cos 4π + x

donde “θ” pertenece al cuarto cuadrante, calcule el valor de: E = 3 + 5 3Cosθ + Senθ

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄:𝐃


18. Dada la figura mostrada, calcule: E =3Cos α − β /6 + Cosα + Cosβ

3Sen α − β /3 + Senα + Senβ

X

Y

αβ

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄: 𝐄


19. Si: 4Senα = 3Tan293°. Cot247°, α ∈ 180°; 270°

Calcular: E = 7 Tanα − Cotα

𝐂𝐋𝐀𝐕𝐄: 𝐂


20. Calcular el valor de K:

n=1

50

Tannπ

2− α = KCot2α

Se conoce: Cotα − Tanα = 2Cot2α


TRIGONOMETRÍA

PRACTICA Y APRENDERÁS

TRIGONOMETRÍA...Sea αun ángulo positivo menor de una vuelta perteneciente al IVC, tal que: α= π...

Documents

Transcript of TRIGONOMETRÍA...Sea αun ángulo positivo menor de una vuelta perteneciente al IVC, tal que: α= π...