Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 03/2013 Sección: 02 Guía-Discusión #2 Jonathan λverde.

Universidad Centroamericana

“José Simeón Cañas”

Departamento de Matemática.

Álgebra Vectorial y Matrices.

Catedrático: Ing. Eduardo Escapini.

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

A continuación se presentan una serie de ejercicios para el estudio de los temas de:

Determinantes, Matriz Inversa (Método de Gauss y Adjunta) y Sistemas de Ecuaciones Lineales

(SEL) con dos tipos de solución: Método de Gauss-Jordan y Cramer.

Parte I. Determinantes.

1) Calcular los determinantes de las siguientes matrices por el método de cofactores.

a) A=[

] R./2 b) B= [

] R./-39

c) C= [

] R./-120 d) D= [

] R./-36

e) E= [

] R./319 f) F= [

] R./140

2) Calcular los determinantes de las siguientes matrices por el método de Chío.

a) J=[

] R./(b-a)(c-a)(c-b) b) L= [

] R./-6

c) M= [

] R./-6 d) N= [

] R./-95

e) R= [

] R./382 f) S= [

] R./ -36

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Parte II. Matriz Inversa.

1) Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices, por el método de la Adjunta.

a) B=[

] y C=[

]

b) D=[

] y E= [

]

[

] y G= [

]

2) Siendo: A=[

], B=[

] y C=[

], calcular los valores de X en las siguientes

ecuaciones.

i. XA = B+I

ii. AX+B= C

iii. XA+B= 2C

iv. AX+BX= C

v. XAB-XC= 2C

3) Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices, por el método de Gauss Jordan.

a) X= [

] b) Y= [

] c) Z= [

]

d) U= [

] e) V= [

] f) W= [

]

g) T= [

] h) λ=

[

]

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Parte III. Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL).

1) En los siguientes enunciados decir si son verdaderas o falsas las afirmaciones,

justificando su respuesta.

a) En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y

obtener un sistema equivalente.

b) Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema

homogéneo.

c) Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

d) De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente)

eliminando ecuaciones.

2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan, e

indique el tipo de solución. En los casos de solución única, indique el conjunto

solución y en caso de solución múltiple indique las ecuaciones generadoras.

a) {

b) {

c) {

d) {

e) {

f) {

g) {

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h) {

i) {

√ √

√

√

√

j) {

k) {

l) {

3) Cada una de las matrices siguientes representa la matriz de un sistema lineal de

ecuaciones. Determinar si el sistema tiene solución única, infinidad de soluciones o

no tiene solución.

a) [

] b) [

] c) [

]

d) [

] e) [

]

4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.

a) {

b) {

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c) {

d) {

e) {

f) {

5) A continuación se presentan problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones

lineales, para lo cual sólo se pide plantear el sistema (NO RESOLVER).

I) Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 1400 ft3, se pueden

utilizar cuatro tuberías de entrada A, B, C y D. Cuando las cuatro operan a su

capacidad total, el tanque se puede llenar en 10 horas. Cuando sólo se utilizan

B y C, el tiempo se incrementa a 20 horas. Las tuberías A, B y D, llenarían el

tanque en 14 horas. Las tuberías A y D, llenarían la mitad del tanque en 10

horas. Obtener el número de ft3/hora de cada tubería.

II) Un proveedor de productos para el campo tiene tres tipos de fertilizantes G1,

G2 y G3 que tienen contenidos de nitrógeno de 25%, 30% y 10%,

respectivamente. Se ha planteado mezclarlos para obtener 500 libras de

fertilizante con un contenido de nitrógeno de 30%. Además, dicha mezcla debe

contener 100 libras más del tipo G3 que del tipo G1. Cuántas libras se deben

usar de cada tipo?

III) Un granjero tiene 1,200 manzanas de tierra en los que cultiva maíz, trigo y

soya. Le cuesta $45 por cada manzana cultivar maíz, $60 por cultivar trigo y

$50 si quiere cultivar soya. Debido a la demanda del mercado cultivará el doble

de manzanas de trigo que de maíz. Ya destinó $63,750 para los costos del

cultivo de sus cereales. Cuántas manzanas de cada cereal debe plantar?

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6) RESOLVER los siguientes problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones

lineales.

i. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: P1(2,1), P2(-1,-

4) y P3(3,0). (sugerencia: una ecuación de la circunferencia tiene la forma

x2+y2+Ax+By+C=0).

ii. Si f (x) = ax3+bx+c, determine a, b y c tales que la gráfica de f , pase por los puntos

P1(-3,-12), P2(-1,22) y P3(2,13).

iii. Se tiene un número de tres dígitos, donde la cifra de las decenas es menor en uno

que la de las centenas y la suma de las tres cifras es 19. Si al intercambiar la cifra

de las centenas con la de las unidades, el número se incrementa en 198. Cúal es el

número? R.// 658.

iv. Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 1000 ft3, se pueden utilizar

tres tuberías de entrada A, B y C. Cuando las tres operan a su capacidad total, el

tanque se puede llenar en 10 horas. Cuando sólo se utilizan A y B, el tiempo se

incrementa a 20 horas. Las tuberías A y C, llenarían el tanque en 12.5 horas.

Obtener el número de ft3/hora de cada tubería. R.// A:30ft3/h, B:20ft3/h,

C:50ft3/h.

v. I.M.E.E.P y asociados fabrica tres tipos de computadora personal: PitagóricaX,

AlgebraX y CicloideX. Para armar un PitagóricaX se necesitan 10 horas, otras 2

horas para probar sus componentes y 2 más para instalar sus programas. El

tiempo requerido para la AlgebraX es de 12 horas en su ensamblado, 2.5 horas

para probarla y 2 horas para instalarla. La CicloideX, la más sencilla de la línea,

necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la

fábrica de esta empresa dispone de 1,560 horas de trabajo por mes para armar,

340 horas para probar y 320 para instalar. Cuántas computadoras de cada tipo

produce la empresa por mes?. R.// 60 PitagóricaX, 40 AlgebraX y 80 CicloideX.

vi. Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es de $234,000, entre sus

cuatro hijas de la manera siguiente.

de las propiedades deben de dividirse por

igual entre las hijas. Para el resto cada hija debe recibir $3,000 cada año hasta su

vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan tres años, Cuánto recibiría

cada una de los bienes de su padre?, Qué edad tienen ahora esas hijas?. R.// La

hija menor recibirá $72,000 la siguiente $63,000, la siguiente $54,000 y la mayor

$45,000. Actualmente la hija mayor tiene 19 años, la segunda 16, la tercera 13 y

la última 10 años.

vii. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 €

(sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la

cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA

del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura

total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de

bebida. R.// Refrescos=120€, Cerveza=160€ y Vino=220€.