Fonaments de Matem`atiques 2 · 2021. 7. 15. · Tema 1. Transformada de Laplace 1.1 La...

Fonaments de Matematiques 2

Escola Politecnica Superior de Castelldefels

Lali Barriere, [email protected]

Tema 1. Transformada de Laplace

Tema 2. Analisi de Fourier


1.1 La transformacio de Laplace

1.2 Primeres propietats i aplicacio a equacions

diferencials

1.3 Altres propietats

1.4 Inversio per descomposicio en fraccions sim-

ples

1.5 Altres aplicacions

1.6 Funcio de Heaviside

1.7 “Funcio” δ de Dirac

1.8 Producte de convolucio

1


1.1 La transformacio de Laplace

f : [0,+∞)→ R

La transformada de Laplace de f es

L{f(t)} =

∫ +∞

0e−st·f(t) dt = lim

A→+∞

∫ A

0e−st·f(t) dt

Notacio

f(t)←→ F(s)⇔ F(s) = L{f(t)}

2

Funcio d’ordre exponencial

f es d’ordre exponencial γ si existeix M tal que

|f(t)| ≤M · eγt per a tot t ≥ 0

Es compleix: s ≥ γ ⇒ limt→+∞

e−st · f(t) = 0

Teorema d’existencia

f contınua a trossos i d’ordre exponencial γ ⇒

existeix F(s) = L{f(t)} per a tot s > γ.

Funcio admissible

f es admissible si es contınua a trossos i d’ordre

exponencial γ, per algun γ

Teorema d’unicitat

f i g son admissibles i F(s) = G(s) per a tot

s ≥ s0 ⇒ f(t) = g(t) (menys potser en els

punts de discontinuıtat)

3


1.2 Primeres propietats i aplicacio a equacions

diferencials

P1. Linealitat

L{a · f(t) + b · g(t)} = a · L {f(t)}+ b · L {g(t)}

P2. Derivacio

L{

f ′(t)}

= s · L {f(t)} − f(0)

L{

f ′′(t)}

= s2 · L {f(t)} − s · f(0)− f ′(0)

L{

f(n)(t)}

= sn·L {f}−sn−1·f(0)−sn−2·f ′(0)−

· · · − s · f(n−2)(0)− f(n−1)(0)

4


1.3 Altres propietats

P3. Integracio

L

{∫ t

0f(u)du

}

=F(s)

s

P4. Multiplicacio per t

L{t · f(t)} = −F ′(s)

P5. Divisio per t

L

{

f(t)

t

}

=∫ ∞

sF(u)du

P6. Multiplicacio per eαt

L{

eαt · f(t)}

= F(s− α)

5

P7. Translacio

L{f(t− a) · u(t− a)} = e−as · L {f(t)}

L {f(t) · u(t− a)} = e−as · L {f(t + a)}

P8. Canvi d’escala

L{f(at)} =1

aF

(

s

a

)

P9. Funcio periodica, f(t), amb periode T

L{f(t)} =

∫ T

0e−st · f(t)dt

1− e−sT

P10. Valors inicial i final

lims→+∞

F(s) = 0

f(0+) = limt→0+

f(t) = lims→∞

sF(s)

limt→+∞

f(t) = lims→0

sF(s)

6

Taula de transformades

f(t) F (s)

11

s

t1

s2

tn n!

sn+1

eαt 1

s− α

t · eαt 1

(s− α)2

tn · eαt n!

(s− α)n+1

sin βtβ

s2 + β2

cosβts

s2 + β2

eαt · sin(βt)β

(s− α)2 + β2

eαt · cos(βt)s− α

(s− α)2 + β2

7


1.4 Inversio per descomposicio en fraccions

simples

Notacio

f(t) = L−1 {F(s)} indica f(t)←→ F(s)

S’utilitza quan es te F(s) i es vol trobar f(t)

Taula d’antitransformades

F (s) L−1 {F (s)}

1

sk

1

(k − 1)!· tk−1

1

(s− α)k

1

(k − 1)!· tk−1 · eαt

β

(s− α)2 + β2eαt · sin(βt)

s− α

(s− α)2 + β2eαt · cos(βt)

F(s) =P(s)

Q(s)funcio racional ⇒ L−1 {F(s)} es

calcula descomposant en fraccions simples i

utilitzant la taula

8


1.5 Altres aplicacions

Equacions diferencials lineals

Sistemes d’equacions diferencials

Equacions integro-diferencials

9


1.6 Funcio de Heaviside

Definicio

ua(t) = u(t− a) =

{

0 si t < a1 si a ≤ t

Funcions definides a trossos (1)

u(t− b)− u(t− a) =

{

0 si t < a1 si a ≤ t ≤ b

1− u(t− a) =

{

1 si t < a0 si a ≤ t

10

Funcions definides a trossos (2)

f(t) =

{

y1 si t < ay2 si a ≤ t

f(t) = y1 · (1− u(t− a)) + y2 · u(t− a) =

= y1 + (y2 − y1) · u(t− a)

f(t) =

y1 si t < ay2 si a ≤ t < by3 si b ≤ t

f(t) = y1 · (1− u(t− a)) +

+ y2 · (u(t− a)− u(t− b)) + y3 · u(t− b) =

= y1 + (y2 − y1) · u(t− a) + (y3 − y2)u(t− b)

11

Transformada de Laplace

L{f(t− a) · u(t− a)} = e−as · L {f(t)}

L {f(t) · u(t− a)} = e−as · L {f(t + a)}

Antitransformada de Laplace

L−1{

e−as · F(s)}

= f(t− a) · u(t− a)

on f(t) = L−1 {F(s)}

12


1.7 “Funcio” δ de Dirac

∫ β

αδ(t) dt =

{

1 si 0 ∈ [α, β)0 si 0 6∈ [α, β)

∫ β

αδ(t− a) dt =

{

1 si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)

• δ(t− a) representa un impuls a l’instant a

• δ no es una funcio “normal”

•∫ β

αg(t)δ(t− a) dt =

{

g(a) si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)

si g es contınua en [α, β]

• Transformada de Laplace

L{δ(t− a)} = e−as

L{δ(t)} = 1

13


1.8 Producte de convolucio

(f ∗ g)(t) =∫ t

0f(v) · g(t− v)dv

Propietats

• f ∗ g = g ∗ f

• f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

• f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

• f ∗ δ = f

• Teorema de convolucio

L{f ∗ g} = L{f} · L {g}

14

Propietats de la transformada de Laplace

P1. LinealitatL{a · f(t) + b · g(t)}= a · L {f(t)}+ b · L {g(t)}P2. DerivacioL{f ′(t)} = s · L {f(t)} − f(0)L{f ′′(t)} = s2 · L {f(t)} − s · f(0)− f ′(0)

L{

f (n)}

= sn · L {f} − sn−1 · f(0)− · · · − f (n−1)(0)

P3. Integracio L{

∫ t

0f(u)du

}

=F (s)

sP4. Multiplicacio per t L{t · f(t)} = −F ′(s)

P5. Divisio per t L

{

f(t)

t

}

=∫∞

sF (u)du

P6. Multiplicacio per eαt

L{eαt · f(t)} = F (s− α)P7. TranslacioL{f(t− a) · u(t− a)}= e−as · L {f(t)}

P8. Canvi d’escala L{f(at)}= 1aF (s

a)

P9. Funcio periodica L{f(t)} =

∫ T

0e−st · f(t)dt

1− e−sT

P10. Valors inicial i finallims→+∞ F (s) = 0f(0+) = limt→0+ f(t) = lims→∞ sF (s)limt→+∞ f(t) = lims→0 sF (s)P11. ConvolucioL{f ∗ g}= L{f} · L {g}P12. δ de Dirac L{δ(t− a)} = e−as

15

Funcio de transferencia

a · y′′+ b · y′+ c · y = f(t)

amb y(0) = y′(0) = 0

Y (s) = 1a·s2+b·s+c

· F(s)

Funcio de transferencia

H(s) =1

a · s2 + b · s + c

Resposta impulsional del sistema

h(t) = L−1 {H(s)}

Solucio de l’equacio

y(t) = h(t) ∗ f(t)

16


2.1 Successions i series numeriques

Successions. Series. Criteris de convergencia. Series

usuals. Series alternades.

2.2 Series de Fourier

(a) Series trigonometriques. Coeficients de Fourier.

Teorema de Dirichlet

(b) Funcions parelles i senars. Serie sinus i cosinus

(c) Fenomen de Gibbs. Relacio de Parseval

(d) Serie de Fourier complexa. Forma modul-fase.

Espectre

2.3 Transformada de Fourier

(a) Definicio i exemples. Propietats

(b) Convolucio

(c) Transformada de funcions generalitzades

(d) Transformada d’una funcio periodica

(e) Introduccio a la transformada discreta de Fourier

17


2.1 Successions i series numeriques

Successio de nombres reals

Successio: {an}n∈N = a0, a1, a2, . . . , an, . . .

Terme n-essim: an.

Terme general: funcio a : N→ R, a(n) = an.

Lımit d’una successio

{an}n∈N te lımit a si a mesura que n es fa gran

an s’acosta tant com vulguem a a

Formalment

∀ǫ > 0∃n0 ∀n, n ≥ n0 ⇒ |an − a| < ǫ

Escrivim limn

an = a o be {an} → a.

Diem que {an}n∈N es convergent cap a a

Successio fitada

{an}n∈N fitada superiorment si ∃M ∀n, an ≤M

{an}n∈N fitada inferiorment si ∃m∀n, an ≥ m

{an}n∈N fitada si esta fitada superiorment i in-

feriorment

18

Successio monotona

{an}n∈N creixent si ∀n, an ≤ an+1

{an}n∈N decreixent si ∀n, an ≥ an+1

{an}n∈N monotona si es creixent o decreixent

Teorema

{an}n∈N monotona i fitada ⇒ convergent

Successio divergent

{an}n∈N es divergent si no te lımit real, es a

dir, no te lımit o el lımit es ±∞.

Observacio Els lımits de successions tenen les

mateixes propietats que els lımits de funcions.

19

Serie numerica

Suma infinita de nombres a1 + a2 + a3 . . .

S’escriu∞∑

n=1

an o be∑

n≥1

an

Suma parcial n-essima: Sn =n∑

i=1

ai

Successio de sumes parcials: {Sn}n∈N

Serie convergent∑

n≥1

an = S ⇔ limn

Sn = S

La serie es convergent si S existeix i es finit.

La serie es divergent si S no existeix o es ±∞.

Observacio Es defineix de manera semblant

una serie comencant a partir de a0, sempre

que el terme a0 es pugi calcular.

20

Condicio necessaria de convergencia

Si∑

n≥1

an es convergent ⇒ limn

an = 0

Propietats

1.∑

n≥1

an = A,∑

n≥1

bn = B, c ∈ R⇒

⇒

∑

n≥1

c · an = c ·A

∑

n≥1

an + bn = A + B

2.∑

n≥1

an es convergent ⇔ eliminant

un nombre finit de termes a∑

n≥1

an obtenim

una serie convergent

21

Series usuals

• Serie geometrica de rao r

an = c · rn ⇒∑

n≥0

an =∑

n≥0

c · rn

Sn =n∑

i=0

c · ri = c · (1 + r + r2 + · · ·+ rn) =

=c− c · rn+1

1− rConvergent ⇔ 0 ≤ |r| < 1

• p-serie, amb p > 0

an =1

np⇒

∑

n≥1

an =∑

n≥1

1

np

Si p > 1 es convergent. Si 0 < p ≤ 1.

Si p = 1 es diu serie harmonica:∑

n≥1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·+

1

n+ . . .

22

Series de termes positius: an ≥ 0

Criteris de convergencia

•∑

n≥0

an divergent ⇒ limn

Sn = +∞

• Criteri de comparacio 0 ≤ an ≤ bn⇒

⇒

∑

n≥1

bn convergent ⇒∑

n≥1

an convergent

∑

n≥1

an divergent ⇒∑

n≥1

bn divergent

• Criteri del lımit limn

an

bn= k, 0 < k < +∞⇒

∑

n≥1

bn convergent ⇔∑

n≥1

an convergent

• Criteri del quocient ℓ = limn

an+1

an⇒

⇒

ℓ < 1⇒ la serie convergeixℓ > 1⇒ la serie divergeixℓ = 1⇒ el criteri no decideix

23

Series alternades

∑

n≥1

(−1)n · an, amb an ≥ 0

∑

n≥1

(−1)n−1 · an, amb an ≥ 0

• Criteri de Leibniz

{an}n successio decreixent an ≥ 0, limn

an = 0

⇒∑

n≥1

(−1)nan es convergent

24

Convergencia absoluta i condicional

∑

n≥1

an absolutament convergent si∑

n≥1

|an|

convergent

Absolutament convergent ⇒ convergent

Convergent 6⇒ absolutament convergent

∑

n≥1

an condicionalment convergent si es con-

vergent pero no es absolutament convergent

• Una serie absolutament convergent es pot

reordenar sense que afecti la convergencia.

• En una serie absolutament convergent es

poden agrupar termes sense que afecti la

convergencia.

25



(a) Series trigonometriques. Coeficients de Fourier.


Serie trigonometrica

a0

2+

∑

n≥1

(an cosnt + bn sinnt) =

a0

2+ a1 cos t + b1 sin t + a2 cos 2t + b2 sin 2t + . . .

f : R→ R funcio 2π-periodica

Serie de Fourier de f: serie trigonometrica

de coeficients

an =1

π

∫ +π

−πf(t) cosnt dt

(

⇒ a0 =1

π

∫ +π

−πf(t) dt

)

bn =1

π

∫ +π

−πf(t) sinnt dt

f(t) ∼a0

2+

∑

n≥1

an cosnt +∑

n≥1

bn sinnt

26

Propietats

∫ +π

−πsinmt dt =

∫ +π

−πcosmt dt = 0, si m > 0

∫ +π

−πsinnt cosmt dt = 0, si n, m > 0

∫ +π

−πsinnt sinmt dt = 0, si n 6= m

∫ +π

−πsin2 mt dt = π

∫ +π

−πcosnt cosmt dt = 0, si n 6= m

∫ +π

−πcos2 mt dt = π

27

Serie de Fourier de funcions T -periodiques

f : R → R es periodica amb periode T , els

coeficients de Fourier son

an =2

T

∫ T

0f(t) cos

2πnt

Tdt, n ≥ 0

bn =2

T

∫ T

0f(t) sin

2πnt

Tdt, n ≥ 1

f(t) ∼a0

2+

∑

n≥1

an cos2πnt

T+

∑

n≥1

bn sin2πnt

T

Frequencia fonamental: ω0 =2π

T

Frequencia de l’harmonic n-essim:2πnt

T= nω0t

Observacio Podem calcular els coeficients in-

tegrant entre −T/2 i T/2.

Observacio f : [0, T ] → R, podem considerar

la seva extensio T -periodica.

28

Problema

Convergeix la serie de Fourier d’una funcio periodica?

A quina funcio convergeix?

Podem dir que la serie convergeix a la funcio?

29


f : R → R T -periodica, f i f ′ contınues a

trossos, amb un nombre finit de discontinuıtats

de salt en [0, T ], aleshores

1. f(t) =a0

2+

∑

n≥1

an cos2πnt

T+

∑

n≥1

bn sin2πnt

T

si f es contınua en t

2.f+(t) + f−(t)

2=

=a0

2+

∑

n≥1

an cos2πnt

T+

∑

n≥1

bn sin2πnt

T

si t es un punt de discontinuıtat de f

30



(b) Funcions parelles i senars. Serie sinus i cosinus

Funcio parella f(t) = f(−t)

Funcio senar f(t) = −f(−t)

∀f(t) es suma d’una funcio parella i una senar:

f(t) =f(t) + f(−t)

2+

f(t)− f(−t)

2

Observacio

cos2πnt

Tes parella

sin2πnt

Tes senar

Serie de Fourier: descomposicio en suma de

funcions parelles i funcions senars.

31

Funcio parella

f(t) parella⇒

bn =2

T

∫ T

0f(t) sin

2πnt

Tdt = 0

an =4

T

∫ T/2

0f(t) cos

2πnt

Tdt

f(t) ∼a0

2+

∑

n≥1

an cos2πnt

T

Funcio senar

f(t) senar ⇒

an =2

T

∫ T

0f(t) cos

2πnt

Tdt = 0

bn =4

T

∫ T/2

0f(t) sin

2πnt

Tdt

f(t) ∼∑

n≥1

bn sin2πnt

T

32

f(t) definida en [0, T/2]

Serie cosinus de Fourier de f

Serie de l’extensio parella i T -periodica de f

f(t) ∼a0

2+

∑

n≥1

an cos2πnt

T

Serie sinus de Fourier de f

Serie de l’extensio senar i T -periodica de f

f(t) ∼∑

n≥1

bn sin2πnt

T

33



(c) Fenomen de Gibbs. Relacio de Parseval

Fenomen de Gibbs

Convergencia de la serie de Fourier en punts

de discontinuıtat de salt de f .

• El valor de la funcio i el valor de la suma

n-essima difereixen en una quantitat aprox-

imadament igual al 9% del salt.

• Quan n es gran, la diferencia segueix essent-

hi, pero es situa mes aprop del salt. Per

tant, no afecta la convergencia de la serie.

• Aquesta diferencia no disminueix a mesura

que n creix.

34

Convergencia en mitjana

Aproximem f(t) per una serie trigonometrica.

Propietat

La serie trigonometrica que dona lloc a un error

quadratic mitja mes petit es la serie de Fourier.

Desigualtat de Bessel

a20

4+

1

2

n∑

k=1

(a2k + b2k) ≤

1

T

∫ T/2

−T/2[f(t)]2 dt

Relacio de Parseval

1

T

∫ T/2

−T/2[f(t)]2 dt =

a20

4+

1

2

∑

n≥1

(a2n + b2n)

Observacio1

T

∫ T/2

−T/2[f(t)]2 dt s’interpreta com la potencia

total del senyala20

4+

1

2

n∑

k=1

(a2k + b2k) es la potencia acumulada

pels n primers harmonics

35



(d) Serie de Fourier complexa. Forma modul-fase. Es-

pectre

ω0 =2π

T

a0

2+∑

n≥1

an cosnω0t+∑

n≥1

bn sinnω0t =+∞∑

n=−∞

cnejnω0t

Coeficients de la serie de Fourier complexa

c0 =a0

2

cn =an − jbn

2, c−n =

an + jbn

2, n = ±1,±2, . . .

Calcul directe: cn =1

T

∫ T

0f(t)e−jnω0t dt

La integral es pot calcular entre −T/2 i T/2

36

Observacions

• Per funcions f : R → C, nomes obtindrem

la serie complexa.

• f senar ⇔ c−n = −cn

f parella ⇔ c−n = cn

• f es real ⇔ c−n = cn

a0 = 2c0, an = 2Re(cn), bn = −2Im(cn)

• Formula de Parseval

1

T

∫ T/2

−T/2|f(t)|2 dt =

+∞∑

n=−∞

|cn|2

37

Forma modul-fase de les series de Fourier

a0

2+

∑

n≥1

an cosnω0t +∑

n≥1

bn sinnω0t =

= A0 +∑

n≥1

An cos(nω0t + θn)

A0 =a0

2= c0

Modul o amplitud An =√

a2n + b2n = |cn|

Fase θn = − arctanbn

an= arg cn

Observacio

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

⇒ A·cos(ωt+θ) = (A cos θ) cosωt+(A sin θ) sinωt

38

Espectre de frequencies

t temps, f(t) senyal temporal

T periode, ω0 =2π

Tfrequencia fonamental

nω0 frequencia dels harmonics n-essims

cosnω0t, sinnω0t

ejnω0t

harmonics n-essims

Representacio grafica de les amplituds i les

fases de cadascun dels harmonics.

Espectre d’amplitud

Representacio frequencia-amplitud.

Espectre de fase

Representacio frequencia-fase.

39

Espectre bilateral Amb la serie complexa.

f real ⇒ espectre d’amplitud parell, espectre

de fase senar

u d t

u d t

punts mu

modul fase

punts mu

Espectre unilateral Amb l’expressio modul-

fase.

u d t

modul

u d t

fase

Separacio entre lınies espectrals: ω0 =2π

T

40



(a) Definicio i exemples. Propietats

Serie de Fourier complexa

Notacio: ω0 =2π

T, ωn = nω0 =

2πn

T

f(t) =+∞∑

n=−∞

cnejωnt

cn =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jωnt dt

Senyal no periodic ↔ Senyal de periode ∞

41

T →∞

Notacio: ∆ω = ω0 =2π

T⇒

1

T=

∆ω

2π

T →∞⇒∆ω → 0, |cn| → 0

Definim F(ωn) = T · cn =

∫ T/2

−T/2f(t)e−jωnt dt

• Transformada de Fourier

F(ω) = limT→∞

F(ωn) =∫ +∞

−∞f(t)e−jωt dt

• Antitransformada de Fourier

Substituım a la serie de Fourier

f(t) =+∞∑

n=−∞

cnejωnt =1

2π

+∞∑

n=−∞

F(ωn)ejωnt∆ω

Passem al lımit T →∞

f(t) =1

2π

∫ +∞

−∞F(ω)ejωt dω

42

Teorema

Si f es C1 a trossos i

∫ +∞

−∞|f(t)| dt <∞, aleshores

f(t) te transformada de Fourier

F(ω) =

∫ +∞

−∞f(t)e−jωt dt

i es verifica

f(t) =1

2π

∫ +∞

−∞F(ω)ejωt dω

a tots els punts on f es contınua.

Als punts td de discontinuıtat de salt es te

1

2π

∫ +∞

−∞F(ω)ejωt dω =

f+(td) + f−(td)

2

43

Notacio

f(t)←→ F(ω)

Observacions

f(t) pot ser real o complexa:

f : R→ R o be f : R→ C

t→ f(t) t→ p(t) + jq(t)

F(ω) es complexa

F : R→ C

ω → R(ω) + jI(ω)

Utilitzant f =ω

2πs’obtenen les formules

s(t) =∫ +∞

−∞S(f)ej2πft df

S(f) =

∫ +∞

−∞s(t)e−j2πft dt

44

Propietats de la transformada de Fourier

P1. Linealitat

af(t) + bg(t)←→ aF(ω) + bG(ω)

P2. Derivacio

en temps: f(k)(t)←→ (jω)kF(ω)

en frequencia: (−jt)kf(t)←→ F (k)(ω)

P3. Translacio

temporal: f(t− t0)←→ e−jt0ωF(ω)

frequencial: ejω0tf(t)←→ F(ω − ω0)

P4. Canvi d’escala

f(at)←→1

|a|F(

ω

a), per a tot a 6= 0 real.

P5. Modulacio

f(t) cosω0t←→ 12[F(ω − ω0) + F(ω + ω0)]

P6. Dualitat

F(t)←→ 2πf(−ω)

P7. Conjugacio

f(t)←→ F(−ω)

45

Identitat de Parseval

f(t)←→ F(ω)

∫ +∞

−∞|f(t)|2 dt =

1

2π

∫ +∞

−∞|F(ω)|2 dω

46

Transformada de funcions reals

f(t)←→ F(ω) = R(ω) + jI(ω)

• f(t) real ⇒ R(ω) parella i I(ω) senar

• f(t) = fp(t)+fs(t) amb fp parella i fs senar

⇒ fp(t)←→ R(ω) i fs(t)←→ jI(ω)

• f(t) real parella ⇒ F(ω) real parella

f(t) real senar ⇒ F(ω) = jI(ω), amb I(ω)

senar

47

• Transformada cosinus

Fc(ω) =∫ +∞

−∞f(t) cosωt dt

• Transformada sinus

Fs(ω) =

∫ +∞

−∞f(t) sinωt dt

• f(t) real parella ⇒ F(ω) = 2Fc(ω)

f(t) real senar ⇒ F(ω) = −2jFs(ω)

• f(t) = fp(t) + fs(t)⇒

F(ω) = 2

∫ +∞

−∞fp(t) cosωt dt−

− 2j

∫ +∞

−∞fs(t) sinωt dt

48

Antitransformada de funcions racionals

Re(a) < 0⇒ eatu(t)←→1

jω − a

Re(a) > 0⇒ −eatu(−t)←→1

jω − a

Re(a) < 0⇒tk−1

(k − 1)!eatu(t)←→

1

(jω − a)k

Re(a) > 0⇒ −tk−1

(k − 1)!eatu(−t)←→

1

(jω − a)k

49



(b) Convolucio

(f ∗ g)(t) =

∫ +∞

−∞f(u) · g(t− u)du

Teorema de convolucio

f(t)←→ F(ω), g(t)←→ G(ω)⇒

• Convolucio en temps:

(f ∗ g)(t)←→ F(ω) ·G(ω)

• Convolucio en frequencia:

f(t) · g(t)←→1

2πF(ω) ∗G(ω)

Propietats Les que vam veure quan estudiavem la trans-formada de Laplace.

50



(c) Transformada de funcions generalitzades

“Funcio” δ de Dirac∫ β

αδ(t) dt =

{

1 si 0 ∈ [α, β)0 si 0 6∈ [α, β)

∫ β

αf(t)δ(t− a) dt =

{

f(a) si a ∈ [α, β)0 si a 6∈ [α, β)

Transformada de Fourier

δ(t)←→∫ +∞

−∞δ(t)e−jωt dt = e−jω0 = 1

δ(t− a)←→ e−jωa

Observacio

Permet calcular transformades de funcions que

no es poden calcular directament, ja que donen

lloc a una integral que no existeix.

51

• δ(t)←→ 1

1←→ 2πδ(ω)

• δ(t− a)←→ e−jωa

ejω0t←→ 2πδ(ω − ω0)

• cosω0t←→ π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]

sinω0t←→ jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]

Observacio

No existeixen les integrals

∫ +∞

−∞1 dt

∫ +∞

−∞e−jωt dt

∫ +∞

−∞|ejω0t| dt

∫ +∞

−∞ej(ω0−ω)t dt

∫ +∞

−∞| cosω0t| dt

∫ +∞

−∞e−jωt cosω0t dt

∫ +∞

−∞| sinω0t| dt

∫ +∞

−∞e−jωt sinω0t dt

52

Funcio esglao

Utilitzarem la funcio signe

sign(x) =

{

1 si x ≥ 0−1 si x < 0

•1

t←→ −jω · sign(ω)

sign(t)←→2

jω

• u(t) =1

2(1 + sign(t))

u(t)←→ πδ(ω) +1

jω

u(t− a)←→ πδ(ω) +1

jωe−jaω

• f(t)←→ F(ω)⇒

⇒ f(t) ∗ u(t)←→ πF(0)δ(ω) +F(ω)

jω

53



(d) Transformada d’una funcio periodica

Tren de deltes

δT (t) =+∞∑

k=−∞

δ(t− kT)

Transformada

δT (t)←→ ω0 · δω0(ω), amb ω0 =2π

T

Convolucio amb un tren de deltes

f0(t) definida en [0, T ] (funcio enfinestrada)

f0(t) ∗ δT (t) =+∞∑

k=−∞

f0(t) ∗ δ(t− kT) =

=+∞∑

k=−∞

f0(t− kT)

Observacio f0(t) ∗ δT(t) es l’extensio periodica amb pe-riode T de f0

54

Transformada d’una funcio periodica

Expressem una funcio periodica com la con-

volucio amb un tren de deltes d’una funcio en-

finestrada.

f(t)=+∞∑

k=−∞

f0(t− kT)

on f0 = f(t) · (u(t)− u(t− T))

Per tant, f(t) = f0(t) ∗ δT (t)

Pel teorema de convolucio

f(t)↔ F0(ω)·ω0·δω0(ω) = ω0

+∞∑

k=−∞

F0(nω0)δ(ω − ω0)

Si cn son els coeficients de Fourier de la funcio

f(t), es comprova que F0(nω0) = Tcn. Per

tant, tindrem

f(t)←→ 2π+∞∑

k=−∞

cnδ(ω − ω0)

55



(e) Introduccio a la transformada discreta de Fourier

Temps discret

Mostregem una funcio f(t): a cada instant n

obtenim un valor f [n]

f(t)=+∞∑

n=−∞

f [n] · δ(t− n)

La funcio obtinguda es una funcio discreta.

Podem calcular la seva transformada de Fourier,

que sera una funcio periodica, de periode 2π

f(t)←→ F(ω) =+∞∑

n=−∞

f [n]e−jnω

La transformada inversa s’obte fent

f [n] =1

2π

∫ π

−πF(ω)ejωn dω

56

Transformada discreta de Fourier

Es pot veure com una aproximacio de la trans-

formada de Fourier a temps discret.

Definicio

f [n], n = 0, . . . N − 1 mostreig finit de f(t).

Notacio wN = ej2πN

f [n] =1

N

N−1∑

k=0

F [k] · wknN

Els coeficients F [k] es poden calcular

F [k] =N−1∑

n=0

f [n] · w−knN

f [n] ←→DFT

F [k]

57

Fonaments de Matem`atiques 2 · 2021. 7. 15. · Tema 1. Transformada de Laplace 1.1 La...

Documents

Transcript of Fonaments de Matem`atiques 2 · 2021. 7. 15. · Tema 1. Transformada de Laplace 1.1 La...