Geodesi fisis Laplace

17
CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE 6.1. Koordinat Kartesian Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan z sebagai ketinggian, z<0 berarti di dalam bumi dan jika z>0 berarti di luar bumi. Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi adalah dengan pemisahan variabel, yaitu : Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0 Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut: 2 f( x) ∂x 2 g ( y) h ( z) + f ( x) 2 g ( y ) ∂y 2 h ( z) +f ( x) g ( y ) 2 h ( z ) ∂z 2 =0 Untuk singkatnya setiap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karena pemisahan variabel,jelas mana variabel diferensiasi itu harus dilakukan. Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu dibagi dengan Ф = fgh sendiri. f n gh +fg n h +fgh n =0 f n f + g n g + h n h =0 Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:

description

Geodesi Fisis

Transcript of Geodesi fisis Laplace

Page 1: Geodesi fisis Laplace

CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE

6.1. Koordinat Kartesian

Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan

z sebagai ketinggian, z<0 berarti di dalam bumi dan jika z>0 berarti di luar bumi.

Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi

adalah dengan pemisahan variabel, yaitu :

Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0

Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut:

∂2 f (x )∂ x2 g ( y )h ( z )+f ( x ) ∂2 g ( y )

∂ y2 h ( z )+ f ( x ) g ( y ) ∂2h ( z )∂ z2 =0

Untuk singkatnya setiap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karena

pemisahan variabel,jelas mana variabel diferensiasi itu harus dilakukan.

Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu

dibagi dengan Ф = fgh sendiri.

f n g h+ f gn h+fg hn=0

f n

f+ gn

g+ hn

h=0

Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi

tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:

f n

f=−n2: f n+n2 f =0

gn

g=−m2: gn+m2 g=0

hn

h=n2+m2: hn−(n2+m2 ) h=0

Ada dua solusi dasar :

f 1 ( x )=cos nx dan f 2 ( x )=sin nx

g1 ( y )=cosmy dan g2 ( y )=sin my

h1 ( z )=e−√n2+m2 z dan h2 ( z )=e√n2+m2 z

Page 2: Geodesi fisis Laplace

Tentu saja masing-masing solusi dapat dikalikan dengan suatu konstan.

Persamaan umum Ф ( x , y , z )hasilnya akan menjadi f,g dan h. Maka dari itu setiap

n dan m kita mendapatkan hasil baru. Jadi kita harus menyertakan 8 kemungkinan

kombinasi dari n dan m.

Hasil dari persamaan Laplace bukanlah merupakan solusi dari BVP. Hasil

tersebut hanya memberikan kita sifat dari potensial Ф di luar bumi pada keadaan

fungsi dasar. Untuk asal yang horisontal, fungsi dasarnya adalah sinus dan

kosinus. Jadi potensialnya adalah deret Fourier pada asal horisontal. N dan M

adalah nilai panjang gelombang.

Page 3: Geodesi fisis Laplace

6.1.1 Penyelesaian Dirichlet dan Neumann BVP dalam x, y, z

Dirichlet. Diberikan :

a. Penyelesaian umum

b. Kondisi umum, dan

c. Potensial pada batas z = 0: λ (x, y, z = 0),

Kemudian, seharusnya batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D

Fourier :

Penyelesaaian penuh BVP dengan membandingkan koefisien spektral

dengan koefisien yang tidak diketahui dari penyelesaian umum. Pada kasus ini

penyelesaian penuh dari Neumann terdiri dari :

Nilai batas ketinggian z = z0. Varian dari BVP di kasus ini dengan batas

fungsi yang diberikan pada keinggian tertentu. Dengan pengaturan z = z0 dan

digunakan koefisien yang sama seperti di atas, didapatkan perbandingan :

Setelah menyelesaikan untuk anm, bnm, dan selanjutnya, disubstitusikan

menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :

Neumann. Pada kasus penurunan diberikan sebagai batas fungsi yang

didapat sebelumnya. Kemudian batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D

Fourier :

Page 4: Geodesi fisis Laplace

Tetapi , koefisien Fourier memiliki makna yang berbeda di sini. Sekarang

koefisien-koefisien ini harus diubah ke koefisien-koefisien penurunan vertikal dari

penyelesaian umum :

Setelah menyelesaikan untuk anm, bnm, dan selanjutnya, disubstitusikan

menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :

6.2. Koordinat Bola

Di sini akan diasumsikan sebuah bola bumi dan akan digunakan koordinat

bola yaitu r , θ , λ Strateginya terdiri dari beberapa tahap :

a. Tulis persamaan Laplace pada koordinat bola,

b. Pisahkan variabel,

c. Selesaikan 3 persamaan turunan biasa yang terpisah,

d. Kombinasikan semua kemungkinan solusi menjadi sebuah perkembangan

lanjutan (superposisi),

e. Tambahkan kondisi umum dan hilangkan solusi yang bermasalah,

f. Kembangkan batas fungsi (Dirichlet dan Neumann) menjadi kelanjutan,

g. Bandingkan koefisien,

h. Tulis solusi penuh.

Persamaan Laplace pada koordinat bola :

Setelah dikalikan dengan r2 didapatkan bentuk yang lebih sederhana :

Page 5: Geodesi fisis Laplace

Persamaan radial :

Dua penyelesaian fungsi radial dasar :

Kemudian, permukaan operator Laplace diubah lagi dan memisahkan Y

menjadi g (θ ) h(λ) :

Bagian kiri hanya berdasarkan pada θ dan bagian kanan hanya pada λ

kemudian didapatkan penyelesaian :

Kepadatan dan permukaan bola harmonik. Dipunyai empat dasar

fungsi sekarang, berdasarkan persamaan Laplace :

atau

Page 6: Geodesi fisis Laplace

l dan m dari fungsi ini memiliki aturan yang sama terhadap nilai

gelombang n dan m pada seri Fourier :

a. l adalah derajat bola harmonik,

b. m adalah tujuan bola harmonik, juga dikenal sebagai longitudinal nilai

gelombang, yang mana menjadi jelas.

Setelah menyelesaikan persamaan Laplace, akan sangat mudah untuk

menyelesaikan BVP pertama dan kedua. Pada kedua kondisi diibaratkan

limr → ∞

ϕ (r , θ , λ )=0

Dirichlet. Langkah selanjutnya adalah mengira-ngira bahwa batas fungsi

diberikan pada batas r ≈ R. Maka harus diikuti dengan persamaan umum :

ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0

∑m=0

l

Plm(cosθ)(a lmcosmλ+b lmsin mλ )R−(l−1)

Kemudian kita mengembangkan batas kecepatan sudut yang sebenarnya

ke dalam permukaan bola harmonik :

ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0

∑m=0

l

Plm(cosθ)(ulm cosmλ+v lm sin mλ)

Dimana ulm dan ulm diketahui sebagai koefisien sekarang. Penyelesaian

didapat dari perbandingan sederhana antara dua seri :

ulm=alm R−(l+1) dan vlm=blm R−(l+1)

Penyelesaian untuk a dan b dan

ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0

∑m=0

l

Plm(cosθ) (ulmcos mλ+v lmsin mλ )¿

Dalam persamaa ini, jika kita mengetahui batas dari sebuah fungsi ϕ, kita

akan tahu batas terluar karena dalam keadaan kontinuasi ke atas ¿ . Ketika R>r

ini menjadi efek redaman. Semakin tinggi derajat, semakin kuat redaman

∂ ϕ (r , θ , λ )∂ r

¿r=R=∑l=0

∑m=0

l

−( l+1 ) Plm(cosθ )(alm cosmλ+blm sin mλ) R−(l−2 )

Page 7: Geodesi fisis Laplace

Fungsi batas yang sebenarnya dikembangkan menjadi permukaan bola

harmonis, dengan koefisien ulm dan vlm. Perbandingan antara koefisien yang

diketahui (u , v) dan umum (a ,b) dapat di berikan :

ulm=−(l+1)a lm R−(l+2) dan vlm=−(l+1)b lm R−(l+2)

Pemecahan untuk a dan b ketika dimasukan kedalam permukaan bola

harmonik :

ϕ (r ,θ , λ )=−R∑l=0

∑m=0

l

Plm(cosθ)( ulm

l+1cosmλ+

v lm

l+1sin mλ)¿

Notasi konvensi. Potensial gravitasi bumi biasanya ditunjukkan dengan

simbol V. koefisien a lm dan b lm akan memiliki dimensi yang sama sebagai potensi

itu sendiri. Hal ini biasa, meskipun untuk menggunakan dimensi dengan koefisien

C lm dan Slm.

V (r ,θ , λ )=GMR ∑

l=0

¿¿

6.3. Properti dari Bola Harmonik

Permukaan bola harmonik dapat dikategorikan menurut cara mereka

membagi bumi. Cosinus dan sinus dari bilangan gelombang m akan memiliki 2 m

nol teratur spasi. Hal serupa tidak bisa dikatakan dari hal fungsi Legendre

Plm(cosθ). Itu menunjukkan (l−m) nol penyeberangan dalam pola yang dekat

dengan sudut equi, tetapi tidak sepenuhnya teratur. Namun demikian kita dapat

tetap bahwa perubahan tanda dari Y lm(θ , λ) ada di kedua arah membagi bumi

dalam pola papan bergaris (l−m+1) x 2m ubin. Hal ini dapat diklasifikasikan :

m=0, zona bola harmonik. Ketika m = 0, bagian sin lenyap, jadi koefisien

Sl 0 tidak ada. Selain itu, cos 0 λ= 1, jadi tidak ada variasi terjadi pada

bujur. Dengan Pl , 0 kita akan dapat (l+1) band lintang, disebut zones.

l=m sektoral bola harmonic. Ada perubahan tanda 2 l arah bujur. Arah

lintang ada akan nol. Ini tidak berarti bahwa P¿ adalah konstan, meskipun

bumi terbagi dalam band bujur disebut sektor

Page 8: Geodesi fisis Laplace

l ≠ m dan m ≠ 0, tesseral bola harmonik. Untuk semua kasus lain kita

mendapatkan pola tanda yang terterbagi-bagi. Fungsi-fungsi ini disebut

tesseral

6.3.1 Fungsi Dasar Orthogonal dan Orthonormal

Orthogonality adalah properti kunci dari fungsi dasar yang memecahkan

persamaan Laplace. Ini adalah hubungan antara synthesus dan analisis,

memungkinkan transformasi maju dan terbalik antara fungsi dan spectrum

Orthogonality adalah sebuah konsep umum untuk vektor dan matriks.

Pikirkan dekomposisi eigenvalue atau dekomposisi QR. Kita mulai dengan contoh

sederhana dari aljabar linear dan memperluas konsep ortogonalitas fungsi

Dari vektor untuk fungsi. Ambil dekomposisi eigen dari matriks simetris

persegi A=QAQT . Kolom Q adalah q vektor eigen ortogonal. itu adalah umum

untuk menormalkan mereka. Jadi produk skalar antara dua vektor eigen menjadi

q i . q j=δij={1if i= j0 if i ≠ j

Pada δ ij di sebelah kanan disebut Kronecker delta fungsi, yang adalah 1

jika indeksnya adalah sama dan 0 jika tidak. Ini adalah mitra diskrit fungsi δ-

Dirac. Catatan bahwa dalam kasus vektor eigen hanyalah ortogonal, kita akan

mendapatkan sesuatu seperti q1δ ijdi sebelah kanan, di mana q 1 adalah panjang q1

Dalam indeks notasi, persamaan diatas menjadi :

∑n=1

N

( qi ) n (q j ) n=δij

Di mana q 1 elemen nth dari q 1 vektor. Cara non konvensional yang sedikit

berbeda akan menjadi

∑n=1

N

qi (n ) q j(n)∆ n=δij

Subtitusikan n menjadi x

Orthonomal vektor juga bisa diubah menjadi fungsi, jadi perlu proses

Orthogonality dari dua fungsi yang mengkombinasikan Orthonalmal vektor

Page 9: Geodesi fisis Laplace

dengan fungsi Orthonormal. Hasilnya itu kalau z>0 di luar angkasa dan kalau z<0

maka di dalam bumi.

Fourier

Sekarang kita lihat fungsi dasar dari Fourier Series untuk pengecualian sin

dan cos bisa Orthogonal atau bisa Orthonormal

Disamping cos dan sin Orthogonal, mereka juga Orthonormal. Lihat rumus

di atas yang tidak ada δmk. Yang tidak ada δ mk nilainya selalu 0,5 kecuali pada

kasus khusus (m=0) ketika sin dan cos bernilai 0.

Dan apa yang terjadi ketika kita mengkombinasikan rumus di atas dengan

fungsi dasar dan mengevaluasi integral rumus itu.

Jadi Orthogonality di sebagian simbol kronecker (δ nm), hasil filternya tepat

di koefisien spektral am. Dianalogi untuk memproses Orthogonality

membutuhkan cara untuk menunjukkan analisis spektral. Cara-caranya:

1. Mengkombinasikan fungsi yang sebelumnya dengan fungsi dasar

2. Mengintegralkan rumus dasar

3. Biarkan Orthogonality memfilter hubungan antar koefisien

Di bawah ini diperlihatkan langkah pertama yang menunjukkan bahwa

Orthogonality adalah kunci dari sistem fungsi dasar.

Page 10: Geodesi fisis Laplace

Legendre Orthogonal

Setelah kita melihat Fourier, kita harus pergi ke Orthogonality dalam

fungsi Legendre Plm¿. Ini membuktikan bahwa fungsi Legendre adalah

Orthogonal tapi belum tentu Orthonormal. Orthogonality sekarang bisa diproses

dengan menggunakan dua fungsi dalam satu fungsi yang sama

Bagian integral yang di depan dari rumus di atas bisa di turunkan menjadi

Jadi panjang dari fungsi Legendre tergantung dari derajat dan orde. Dari

pengetahuan ini kita sudah dalam posisi yang benar untuk mengevaluasi

Orthogonality dari permukaan spheris yang harmonis

=12(1+δm, 0)

12 l+1

( l+m )!(l−m )!

δ ln δmk

Page 11: Geodesi fisis Laplace

=N lm−2 δ ln δmk

Untuk lebih teliti kita harus menegaskan bahwa hasil di atas tidak valid

untuk kombinasi cosinus dan sinus. Lagipula kita juga harus mengesampingkan

bahwa m=0 dalam sinus-sinus yang ortogonal. Dalam banyak kasus, fungsi

panjang dari permukaan harmonis spheris adalah N lm−1.

Legendre Orthonormal

Jika kita sekarang mengalikan semua fungsi dasar Y lm(θ , λ) dengan N lm

maka akan menjadi orthonormal. Jadi N lm disebut sebagai faktor normalisasi.

Fungsi normalitas ditandai dengan sebuah overbar.

Dengan normalisasi ini kita mendapatkan hasil sebagai berikutuntuk

orthonormal:

Menggunakan fungsi dasar orthonormal tersebut, sintesis dan analisa

rumus dari komputasi harmonis spheris terbaca:

6.3.2 Perhitungan Polinomial Legendre dan Fungsi Legendre

Cara analitis

Fungsi zona legendre yang 0 disebut polinomial Legendre. Bahkan Fungsi

zona Legendre adalah polynomial pada t=cosθ

Polynomial Legendre dihitung dengan diferensiasi berikut:

Page 12: Geodesi fisis Laplace

Jadi pada dasarnya jumlah dari (t 2−1)l adalah diferensiasi sebanyak l.

Hasilnya akan menjadi polinomial maksimum 2 l−l=l, dengan hanya

menggunakan kekuatan seadanya.

Pada tahap selanjutnya, Polinomial Legendre dideferensiasikan sebanyak

m oleh rumus berikut:

Jadi kita mempunyai sebuah tetapan polinomial ( l−m), yang dikalikan

dengan sejenis faktor modulasi (l−t 2)m2 . Subtitusi t=cosθ lagi, kita dapat melihat

bahwa faktornya adalah sinm θ. Untuk m ganjil, kita tidak punya polinomial. Jadi

kita membicarakan fungsi Legendre. Contoh Trivial adalah:

Page 13: Geodesi fisis Laplace

Cara Numeris

Cara Numeris lebih stabil untuk menghitung fungsi Legendre dari

hubungan rekursif di bawah. Rekursi ini didefinisikan dalam kondisi fungsi

normal legendre. Cara untuk menghitung suatu Plm(cosθ) adalah menggunakan

rekursi sektoral untuk sampai pada Pmm (cosθ ). Lalu gunakan rekursi kedua untuk

menaikkan nilainya. Untuk langkah sektoral pertama, harus diasumsikan jelas

Pm−1 ,m (cosθ) menjadi 0.

6.3.3 Teorema Pertambahan

Satu rumus penting adalah teorema pertambahan dari spheris harmonik.

Menurut Polinomial Legendre dalam cosψ PQ, yang mana bahwa cosψ PQ adalah

jarak spheris antara titik P dan Q.

6.4. Arti Fisik dari Koefisien Spheris Harmonik

Koefisien Spheris Harmonik mempunyai arti fisis. Berhubungan ke

distribusi internal massa. Untuk menurunkan hubungan tersebut kita butuh untuk

menerjemahkan potensialnya sebagai V (R , θ , λ) pada permukaan sebagai sebuah

integral volume.