Sistemas de Controle I Fevereiro/2006Prof. Ricardo Ribeiro 1 Revisão sobre Transformada de Laplace...

Prof. Ricardo Ribeiro 1

Sistemas de Controle I

Fevereiro/2006

Revisão sobre Transformada de Laplace

• A transformada de Laplace é definida como:

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência

0

)()()]([ dtetfsFtfL st

em que: s = σ + jω é uma variável complexa.

Objetivo: Função de TransferênciaEntrada Saída

Sistema

Entrada SaídaSubsistemaSubsistema Subsistema

• O limite inferior da integral significa que, mesmo que f(t) seja descon-tínua em t=0, pode-se começar a integração antes da referido limite, desde que a integral convirja.



Fevereiro/2006


• A transformada inversa de Laplace é é dada por:

j

j

stdsesFj

tutfsFL

)(

2

1)()()]([1

onde u(t) = 1, p/ t > 0 ou u(t) = 0, p/ t < 0. (função degrau unitário)

Algumas funções representativas

)(t

)(tu

)(tut n

1

s

1

1

!ns

n

)(tf )(sF )(tf )(sF

)(tue at

as 1

)(sin ttu 22 s

)(cos ttu 22 s

s



Fevereiro/2006

Problema:


Obter a transformada de Laplace de )()( tuAetf atSolução: como a função f(t) não contém impulsos, pode-se substituir o limite inferior por 0, então:

0

)(

00)()( dteAdteAedtetfsF tasstatst

as

Ae

as

A tas

|0

)(

Teoremas da Transformada de Laplace Teorema da linearidade

)()]([ skFtkfL

)()()]()([ 2121 sFsFtftfL



Fevereiro/2006


Teorema do deslocamento de freqüência

)()]([ asFtfeL at

Teorema do deslocamento no tempo

)()]([ sFeTtfL sT

Teorema do fator de escala

a

sF

aatfL

1)]([

Teorema da derivação

n

k

kknnn

n

fssFsdt

fdL

1

1 )0()(



Fevereiro/2006


Teorema da integração

s

sFdfL

t )(])([

0

Teorema do valor final

)(lim)(0

ssFfs

Teorema do valor inicial

)(lim)0( ssFfs

Problema:Obter a transformada inversa de Laplace de 2

1 )3/(1)( ssFSolução: utilizando o teorema do deslocamento da freqüência:

)()]([ asFtfeL at



Fevereiro/2006


Solução: e que 2/1)]([ sttuL Pode-se concluir que a transformada de:

2)/(1)]([ asttueL at

assim; )()( 31 ttuetf t

Expansão em Frações Parciais

• Para obter a transformada inversa de Laplace de funções mais complicadas, pode-se convertê-la em uma soma de termos simples, cujas transformadas são conhecidas.

Se F(s) = N(s)/D(s), onde a ordem de N(s) é inferior a ordem de D(s), então é possível fazer um expansão em frações parciais.

Se N(s) possuir ordem superior a ordem de D(s), deve-se dividir N(s) por D(s), sucessivamente, até que o resto tenha um numerador, com ordem inferior ao denominador.



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Expansão em Frações Parciais

Por exemplo, se:

5

762)(

2

23

1

ss

ssssF

Efetua-se a divisão de N(s) por D(s), o que resulta em:

5

21)(

21

ssssF

Aplicando-se a tabela de transformada inversa de Laplace:

5

2)(

)()(

21

1 ssLt

dt

tdtf

O termo restante pode agora ser expandido em frações parciais com será apresentado a seguir.



Fevereiro/2006

Caso 1: Raízes reais e distintas


Considere:)2)(1(

2)(

sssF

A função F(s) em frações parciais como:

)2()1()2)(1(

2)( 21

s

k

s

k

sssF

onde k1 e k2 são denominados de resíduos da expansão.

Para obter k1, multiplica-se F(s) por (s+1), ou seja:

)2(

)1(

)1(

)1(

)2)(1(

)1(2)( 21

s

sk

s

sk

ss

ssF

Agora, fazendo s = -1, 2)21(

21

k



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas

Analogamente para k2, 2)12(

22

k

Substituindo k1 e k2 em F(s) e aplicando a Tabela da transformada de Laplace, obtém-se que:

)()22()( 2 tueetf tt

Generalizando,

))...()...()((

)(

)(

)()(

21 nm pspspsps

sN

sD

sNsF

)(...

)(...

)()( 2

2

1

1

n

n

m

m

ps

k

ps

k

ps

k

ps

k

Se a ordem de N(s) for inferior à ordem de D(s).



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas

Para calcular cada um dos resíduos, faz-se:

))...()...()((

)()()()(

21 nm

mm pspspsps

sNpssFps

)(

)(......

)(

)(

)(

)(

2

2

1

1

n

nmm

mm

ps

kpsk

ps

kps

ps

kps

Fazendo s = -pm, o termo km pode ser determinado como:

mpsnm

m kpspspsps

sNpsm

|

))...()...()((

)()(

21



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Problema

Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) utilizando Laplace. Admita condições iniciais nulas.

)(3232122

2

tuydt

dy

dt

yd

Solução: aplicando Laplace, obtém-se,

)3212(

32)(

32)(32)(12)(

22

ssssY

ssYssYsYs

Conseqüentemente:

)8()4()8)(4(

32

)3212(

32)( 321

2

s

k

s

k

s

k

sssssssY

onde, 1)8)(4(

32 |01

sssk 22 k 13 k, e



Fevereiro/2006


Solução: portanto,

)()21()()8(

1

)4(

21)( 84 tueety

ssssY tt

Caso 2: Raízes reais e repetidas

Seja: 2)2)(1(

2)(

sssF

A expansão da função F(s) em frações parciais é

)2()2()1()2)(1(

2)( 3

221

2

s

k

s

k

s

k

sssF

Na expressão acima, k1 = 2 pode ser obtido da forma convencional. K2 pode ser obtido como segue:

)2(

)2(

)2(

)2(

)1(

)2(

)2)(1(

)2(2 23

2

22

21

2

2

s

sk

s

sk

s

sk

ss

s



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas

O que resulta em:

Genericamente:

)2()1(

)2(

)1(

232

21

skks

sk

s

fazendo s = -2, obtém-se k2 = -2. Para obter k3, deriva-se a expressão acima em relação a s,

321

2 )1(

)2(

)1(

2k

s

ssk

s

atribuindo s = -2; k3 = -2. Desta forma:

ttt eteesss

L 222

1 222)2(

2

)2(

2

)1(

2

))...(()(

)(

)(

)()(

21 nr pspsps

sN

sD

sNsF



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas

Ou seja:

Para determinar k1 a kr, determina-se F1(s) dada por:

)(...

)(...

)(...

)()( 2

1

11

1

2

1

1

n

nrrrr ps

k

ps

k

ps

k

ps

k

ps

k

rr

nr

r

kpskpskpskpspsps

pssN 113

21211

21

1 )(...)()())...(()(

))((

)()(

)(...

)(

)(1

1

2

11 sFps

psk

ps

psk

n

rn

rr

k1 pode ser determinado, fazendo s = -p1. k2 a kr é obtido por:

1!0;,...,2,1)(

)!1(

1 |1

11

1

rids

sFd

ik

psi

i

i



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias

Seja:

Esta função pode ser expandida como:

k1 é obtido pelo método habitual, ou seja; k1 = 3/5. Para obter k2 e k3, faz-se:

)52(

3)(

2

ssssF

)52()52(

32

3212

ss

ksk

s

k

sss

)52(

)52()()52(

)52(

)52(32

232

21

2

2

ss

sssksk

s

sssk

sss

sss

Substituindo k1 = 3/5 e simplificando as frações, obtém-se:

3

5

6

5

33 3

22 sksk ,0

5

32

k 0

5

63

k



Fevereiro/2006


Desta forma; k2 = -3/5 e k3 = -6/5. Assim,

)52(

2

5

35/3

)52(

3)(

22

ss

s

sssssF

22)(

)(]cos[

as

asAtAeL at

Adicionando os dois termos:

Por Tabela, obtém-se que:

22)(]sin[

as

BtBeL at

22)(

)(]sincos[

as

BasAtBetAeL atat

Reescrevendo F(s) como:

22 2)1(

)2)(2/1()1(

5

35/3)(

s

s

ssF



Fevereiro/2006


Comparando com a expressão anterior, obtém-se que:

ttetf t 2sin

2

12cos

5

3

5

3)(

Fazendo: e ,

Utilizando-se identidades trigonométricas,

ttetc t 2sin

)2/1(1

2/12cos

)2/1(1

1)2/1(1

5

3

5

3)(

2222

22

cos)2/1(1/1 22 sin)2/1(1/)2/1( 22

ttetc t 2sinsin2coscos)2/1(15

3

5

3)( 22

ou onde)2cos(671.06.0)( tetc t 57.265.0tan 1



Fevereiro/2006


Generalizando:

Forma alternativa:

...)()()...)((

)(

)(

)()(

232

1

12

1

bass

ksk

ps

k

bassps

sN

sD

sNsF

)21(21)52(

3)( 321

2 js

k

js

k

s

k

ssssF

k1 e k2 são determinados na forma convencional e k3 é o complexo conjugado de k2, ou seja:

21

2

21

2

20

35/3)(

js

j

js

j

ssF

donde, tjtj ejejtf )21()21( )2()2(20

3

5

3)(



Fevereiro/2006


Como: e

Pode-se reescrever f(t) como,

cos2

jj ee

Utilizando as definições de cosseno e seno acima,

onde:

j

eeeeetf

tjtjtjtjt

22

24

20

3

5

3)(

2222

sin2

j

ee jj

)2cos(671.06.02sin2

12cos

5

3

5

3)(

tettetf tt

57.265.0tan 1 É importante observar que os resíduos da expansão são números complexos.



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência

Considere a representação de sistema mostrada a seguir:

onde c(t) é a saída e r(t) é a entrada. Por Laplace,

)...( 01

1 bsbsb mm

mm

)(...)()(

)(...)()(

01

11

01

11 trb

dt

trdb

dt

trdbtca

dt

tcda

dt

tcda

m

mm

m

mm

n

nn

n

nn

)(sR

)...( 01

1 asasa nn

nn

)(sC

A forma geral da Eq. diferencial de ordem n linear e invariante no tempo,

)(...)()( 0

11 sCasCsasCsa n

nn

n termos de condição inicial de c(t)

)(...)()( 0

11 sRbsRsbsRsb m

mm

m termos de condição inicial de r(t)

Admitindo-se, condições iniciais nulas:)()...()()...( 0

110

11 sRbsbsbsCasasa m

mm

mn

nn

n



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência

Escrevendo a saída C(s) em função de R(s), obtém-se:

A relação de polinômios acima G(s), denomina-se de Função de Transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais nulas.

)...(

)...()(

)(

)(

01

1

01

1

asasa

bsbsbsG

sR

sCn

nn

n

mm

mm

Solução: Aplicando Laplace,

Problema:Obter a função de transferência representada por:

)()(2)(

trtcdt

tdc

2

1

)(

)()()()(2)(

ssR

sCsGsRsCssC



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Resposta do Sistema a partir da Função de Transferência

Solução: Aplicando Laplace,

Problema:Obter a resposta de c(t), a uma entrada r(t) = u(t) de:

)()(2)(

trtcdt

tdc

)2(

1)()()(

sssGsRsC

Expandindo em frações parciais, obtém-se

2

2/12/1)(

sssC

Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace,

tetc 2

2

1

2

1)(



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedâncias

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância Admitância

Resistor

Indutor

Capacitor

t

odi

Ctv )(

1)(

dt

tdvCti

)()( )(

1)( tq

Ctv

sC

1sC

)()( tRitv )(1

)( tvR

ti dt

tdqRtv

)()( R

R

1

dt

tdiLtv

)()(

t

odv

Lti )(

1)( 2

2 )()(

dt

tqdLtv sL

sL

1



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Método das Malhas

Obter a função de transferência Vc(s)/V(s) do circuito abaixo

+-v(t)

L R

C+

-vC(t)

i(t)

Solução: Somando as tensões,

t

diC

tRidt

tdiLtv

0

)(1

)()(

)(

Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:

)(1)()(

)(2

2

tqCdt

tdqR

dt

tqdLtv

Como q(t)= CvC(t),

)()()(

)(2

2

tvdt

tdvRC

dt

tvdLCtv C

CC



Fevereiro/2006


Resulta em:

1

1

)(

)()(1)(

22

RCsLCssV

sVsVRCsLCssV C

C

Método da Transformada de Laplace

+-V(s)

sL R

+

-VC(s)

I(s)

sC1__

)(1

)( sIsC

RLssV

Resolvendo em função de I(s)/V(s),

sCRLssV

sI1

1

)(

)(

como:1

1

)(

)(1)()(

2

RCsLCssV

sV

sCsIsV C

C



Fevereiro/2006


+-V(s)

sL R

+

-VC(s)

I(s)

sC1__

0)()(

/1

)(

LsR

sVsV

sC

sV CC

Método dos Nós

1 2

0

Solução: Somando as correntes:

Circuitos complexos: Malhas

1. Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.

2. Substituir as fontes pelas suas respectivas no domínio s.

3. Arbitrar o sentido das correntes.

4. Escrever as leis de Kirchhoff das tensões para cada malha.

5. Resolver o sistema de equações.

6. Elaborar a função de transferência.



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)

v(t) L+- C

+

-vC(t)

i (t)1 i (t)2

R1 R2

Solução: Resolvendo as malhas,

)()()()( 2111 ssLIssLIsIRsV

)(1

)()(0 2222 sIsC

sIRssLI

)(1 ssLI

• Combinando os termos:

)()()()( 211 ssLIsIsLRsV

)()1

()(0 221 sIsC

RsLssLI

• Na forma matricial, resulta em:

)(

)(1

0

)(

2

1

1

1

sI

sI

sCRsLsL

sLsLRsV



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)

Usando a regra de Cramer

onde:

Assim a FT é dada por:

)(0

)(

)(

1

2

ssLVsL

sVsLR

sIV(s) sL+- 1/sC

+

-VC(s)

I (s)1 I (s)2

R1 R2

sCRsLsL

sLsLR1

1

1

sL

sV

sIsG

)(

)()( 2

1212

21

2

)()( RsLCRRLCsRR

LCs



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Padrão de Solução:

1/sL sC+

-

VC(s)

G1

G2

V(s)G1

VL (s) Solução: Resolvendo os nós,

)(1

)()( 11 sVsL

sVGGsV LL

)]()([2 sVsVG CL

)]()([)(0 2 sVsVGssCV CLC

Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT VC(s)/V(s)

Soma dasimpedâncias da

malha 1

Soma dasimpedânciascomuns asmalhas 1 e 2

Soma dastensões da

malha 1I1(s) I2

(s)= -

Soma dasimpedâncias da

malha 2

Soma dasimpedânciascomuns asmalhas 1 e 2

Soma dastensões da

malha 2I1(s) I2

(s)= - +



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacionais: Características

-

+

A

+V

-V

v0(t)

+v1(t)

+v2(t)

1. Entrada diferencial, v2(t)-v1(t).

2. Elevada impedância de entrada.

3. Baixa impedância de saída.

4. Elevado ganho de amplificação

A saída vo(t) é dada por:

))()(()( 120 tvtvAtv Amplificador operacional inversor

-

+

AV0 (s)V1(s)

gnd

Z2(s)

Z1(s)

I1(s)

I2(s)Vi (s)

Pela lei de Kirchhoff,

)()(0)()()( 2121 sIsIsIsIsIa



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional inversor

-

+

AV0 (s)V1(s)

gnd

Z2(s)

Z1(s)

I1(s)

I2(s)Vi (s)

Como o ganho A é elevado,

)(

)()(0)(

111 sZ

sVsIsV i

Igualando as duas correntes,

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1

20

12

0

sZ

sZ

sV

sV

sZ

sV

sZ

sV

i

i

Amplificador operacional não inversor-

+

AV0 (s)

V1(s)

gnd

Z2(s)

Z1(s)

Vi (s)A tensão de saída Vo(s) é dada por:

))()(()( 10 sVsVAsV i



Fevereiro/2006


)()()(

)()( 0

21

11 sV

sZsZ

sZsV

Amplificador operacional não inversor

-

+

AV0 (s)

V1(s)

gnd

Z2(s)

Z1(s)

Vi (s)

Usando a divisão de tensão,

Substituindo na Eq. anterior,

))()(/()(1)(

)(

211

0

sZsZsAZ

A

sV

sV

i

Para valores elevados de A, resulta em:

)(

)()(

)(

)(

1

210

sZ

sZsZ

sV

sV

i



Fevereiro/2006

2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação

Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância

t

odvKtf )()( )()( tKxtf K

)()( tvftf vdt

tdxftf v

)()( vsf

dt

tdvMtf

)()(

2

2 )()(

dt

txdMtf Ms2

Mola

x(t)

f(t)

Amortecedor

x(t)

f(t)

x(t)

M

Massaf(t)

Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância



Fevereiro/2006


Problema: Obter a FT X(s)/F(s) do sistema abaixox(t)

M

fv

K

f(t) M

X(s)

F(s))(sXsfv

)(sKX

)(2 sMXs

Solução: Utilizando a Lei de Newton,

)()()()(2

tftKxdt

tdxf

dt

txdM v

Aplicando Laplace para condições iniciais nulas,

)()()()()()()( 22 sFsXKsfMssFsKXsXsfsMXs vv

Consequentemente, a FT é KsfMssF

sX

v

2

1

)(

)(



Fevereiro/2006


Problema: Obter a FT X2(s)/F(s) do sistema abaixo

Solução: Fazendo o diagrama de forças de cada bloco,

fv2

f(t)K2

K1

K3

x (t)1 x (t)2

fv1

fv3 M2M1

M1 M2

)()( 121 sXKK

)()( 232 sXffs vv )(sF)(11

2 sXMs

)(22 sXK

)(23 sXsfv )(13 sXsfv

)(12 sXK

)(222 sXMs

)()( 131 sXffs vv )()( 232 sXKK



Fevereiro/2006


Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:

)()()()()]()([ 2231213112 sFsXKsfsXKKffsMs vvv

0)()]()([)()( 2323222

123 sXKKffsMssXKsf vvv

A matriz que relaciona a entrada com as saídas é dada por:

)]()([)(

)()]()([

323222

23

23213112

KKffsMsKsf

KsfKKffsMs

vvv

vvv

)(

)(

)()( 232 Ksf

sF

sXsG v

Conseqüentemente, a FT requerida é:



Fevereiro/2006


Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.

fv4

f(t)

K2K1

x (t)1 x (t)2

fv1

M2

M3

fv3

M1

fv2

x (t)3

Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:

0)()()()]()([ 33221213112 sXsfsXKsXKKffsMs vvv

)()()(])([)( 34224222

12 sFsXsfsXKffsMssXK vvv

0)()]([)()()()( 34332

2413 sXffsMssXssfsXssf vvvv



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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação

Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância

t

odKtT )()( )()( tKtT K

)()( tDtT dt

tdDtT

)()(

sD

dt

tdJtT

)()(

2

2 )()(

dt

tdJtT

Js2

Relações torque-velocidade, torque-deslocamento e impedância

Mola

T(t) (t)

Amortecedor

(t)T(t)

Inércia

J

(t)T(t)



Fevereiro/2006


Problema: Obter a FT θ2(s)/T(s) do sistema abaixo

Solução: Escrevendo as expressões para o torque:

)()()()( 21112 sTsKsKsDJs

0)()()( 2222

1 sKsDJssK

A partir das Eqs. Acima, obtém-se que:

K

sT

ssG

)(

)()( 2



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KsDJsK

KKsDJs

222

112Em que:

Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.

Escrevendo as equações para cada massa, obtém-se que:)()(0)()()( 32111

2 sTssKsKsDJs 0)()()()( 32222

21 ssDsKsDJssK

0)()]([)()(0 32332

221 sDDsJsssDs



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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens

Considere o sistema com engrenagens abaixo:

Com base na Fig. ao lado:

2211 rr ou

2

1

2

1

1

2

N

N

r

r

Admitindo que o sistema é conservativo,

1

2

2

1

1

22211 N

N

T

TTT

Portanto, os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes das engrenagens.



Fevereiro/2006


Considere o sistema com engrenagens abaixo:

O torque pode ser refletido para outro lado da engrenagem, como mostrado na Fig. (b)

As impedâncias mecânicas, também podem ser refletidas para o lado oposto ao da engrenagem, mediante a relações dos dentes das engrenagens.



Fevereiro/2006


Generalizando, pode-se afirmar o seguinte:

• As impedâncias mecânicas de rotação podem ser refletidas por meio de trens de engrenagens, multiplicando-se as mesmas por:

Número de dentes daEngrenagem do eixo destino

Número de dentes daEngrenagem do eixo origem

2



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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico

Considere o diagrama esquemático do motor CC dado por:

• Em que a f.e.m. é dada por:

dt

tdKtv m

bb

)()(

Por Laplace,

)()( ssKsV mbb

• A relação ia/ea é dada por:

)()()()( sVsIsLsIRsE baaaaa

• O torque produzido pelo motor,

)(1

)()()( sTK

sIsIKsT mt

aatm



Fevereiro/2006


Substituindo o valor de Ia e Vb em Ea, obtém-se que

)()()(

)( ssKK

sTsLRsE mb

t

maaa

A relação torque x deslocamento angular é dado por:

)()()( 2 ssDJssT mmmm

O que resulta em: )()())((

)(2

ssKK

ssDJssLRsE mb

t

mmmaaa

consequentemente, )()()( sEssKDsJK

Rambmm

t

a



Fevereiro/2006


Manipulando a expressão anterior, obtém-se que:

A expressão acima pode ser reescrita como:

Para utilização do modelo acima é necessário determinar K e :

a

btm

m

mat

a

m

RKK

DJ

ss

JRK

sE

s

1

)//(

)(

)(

)()(

)(

ss

K

sE

s

a

m



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Para isso, deve-se obter, inicialmente, Jm e Dm, como:

e

Escrevendo a expressão acima, em termos dos seus valores médios,

)()()()()()( tKtTK

RtessKsT

K

RsE mbm

t

aambm

t

aa

2

2

1

N

NJJJ Lam

2

2

1

N

NDDD Lam

As constantes elétricas, podem ser obtidas com um dinamômetro, com La = 0, ou seja, Ea = cte.

aa

tm

a

btmmbm

t

aa e

R

K

R

KKTKT

K

Re

A equação acima descreve uma reta em função da velocidade.



Fevereiro/2006


Essa reta descreve o comportamento do torque-velocidade da máquina, cujo extremos são:

b

am K

e

• Torque de partida: Tbloq

aa

tbloq e

R

KT )0( m

• Velocidade em vazio: vazio

consequentemente,

a

bloq

a

t

e

T

R

K e

m

ab

eK



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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização

Algumas não linearidades

1. Reconhecer o componente não linear (Eq. diferencial).2. Linearizar o sistema para pequenos sinais em torno do equilíbrio.3. Aplicar a transformada de Laplace na Eq. Linearizada.



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2. Modelagem no Domínio da Freqüência2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização

• Se o sistema deve operar no ponto A,

)()]()([ 00 xxmxfxf a

de onde: xmxf a )(e portanto,

)()()( 00 xxmxfxf a

onde o novo conjunto de eixos, x e f(x) são criados no ponto A.

xmxf a )( 0

Procedimento: considere o gráfico abaixo:

ou

!1

)(|)()( 0

0 0

xx

dx

dfxfxf xx

...!2

)(|

20

2

2

0

xx

dx

fdxx

Sistemas de Controle I Fevereiro/2006Prof. Ricardo Ribeiro 1 Revisão sobre Transformada de Laplace...

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