Fluido Perfeito/Ideal - Autenticação · Aerodinâmica I • Escoamento em torno de um cilindro...

Aerodinâmica I

• Escoamento em torno de um cilindro circular com

circulação –Γ

Fluido Perfeito/IdealForça Exercida por um Escoamento Plano

em Torno de um Sólido

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

- Potencial complexo

- Velocidade complexa

( )zz

azVW ln

2i

2

π

Γ+

+= ∞

�

zz

aVV

dz

dW

π2i1

2

2 Γ+

−== ∞

�

Aerodinâmica I


circulação –Γ

- Pontos de estagnação





2

2

2

41

4i

02

i1

0

Γ−±

Γ−=

=Γ

+

−

==

∞∞

∞

Vaa

Vz

zz

aV

Vdz

dW

��

�

ππ

π

Aerodinâmica I


circulação –Γ






- Dois pontos de estagnação com a mesma parte

imaginária e partes reais simétricas, menores que a

∞<Γ Va�

π4.1

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz ��

ππ

Aerodinâmica I


circulação –Γ






- Um ponto de estagnação (raíz dupla) no eixo

imaginário em

∞=Γ Va�

π4.2

ai−

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz ��

ππ

Aerodinâmica I


circulação –Γ






- Dois pontos de estagnação no eixo imaginário. Um

abaixo de e outro no interior do cilindro

∞>Γ Va�

π4.3

ai−

2

41

4i

Γ−±

Γ−=

∞∞ Vaa

Vz ��

ππ

Aerodinâmica I


circulação –Γ




0.1 =Γ

Aerodinâmica I


circulação –Γ



Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial∞<Γ Va�

π4.1

Aerodinâmica I


circulação –Γ



Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial∞=Γ Va�

π4.2

Aerodinâmica I


circulação –Γ



Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial∞>Γ Va�

π4.3

Aerodinâmica I

Fluido Perfeito Fluido Real




0.1 =Γ

Aerodinâmica I




Mestrado Integrado em Engenharia AeroespacialFluido Real∞<Γ Va

�

π4.1

Aerodinâmica I




Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial∞=Γ Va�

π4.2

Aerodinâmica I




Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial∞>Γ Va�

π4.3

Aerodinâmica I

• Potencial complexo do escoamento em torno de um cilindro



( )zz

azVW ln

2i

2

π

Γ+

+= ∞

�


• Velocidade complexa

• Na superfície do cilindro

z 2π

∞

zz

aVV

dz

dW

π2i1

2

2 Γ+

−== ∞

�

( )a

VVVπ

θ2

sen2Γ

+== ∞

��

θiaez =

Aerodinâmica I

• Forças aplicadas nas direcções x e y podem ser obtidas

integrando a distribuição superficial de pressão



( ) ( )∫∫ −=−=ππ

θθθθ22


• Pela equação de Bernoulli

• Para um cilindro com circulação num escoamento

uniforme tem-se

( ) ( )∫∫ −=−=ππ

θθθθ2

0

2

0sencos adpFadpF yx

( )2

2

2sen2

2

1

2

1

Γ+−=−= ∞

aVpVpp oo

πθρρ

��

Γ== ∞VFF yx

�

ρ0

Aerodinâmica I

Teorema de Blasius

• Considere-se um corpo de forma arbitrária

em escoamento permanente




• Forças aplicadas ao corpo são resultado

da distribuição de pressão na superfície docorpo, C

x

y pdSFd =�

C

Aerodinâmica I

Teorema de Blasius



x

y

pdxpdydFdF

pdxdFpdydF

yx

yx

ii −−=−

=−=


• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em

atenção que o integral ao longo de um contorno

fechado de um valor constante (po) não contribui

para a força, tem-se

x

dSdy

dx

ydF

xdF ( )

( ) zpddydxpdFdF

dxdypdFdF

pdxpdydFdF

yx

yx

yx

iiii

ii

ii

−−−=−

+−=−

−−=−

∫∫ =−=−cc

dzdz

dWzpdFF yx

2

i2

1ii ρ

C

Aerodinâmica I

Teorema de Blasius

• Considere-se um corpo de forma arbitrária


Fluido Perfeito/IdealMomento Exercido por um Escoamento Plano




• Momento aplicado ao corpo é resultado

da distribuição de pressão na superfície docorpo, C

y

Cx

bbpdSFbdMd o ==

��

Fd�

Aerodinâmica I

Teorema de Blasius

x

y

pxdxpydydM

xdFydFdM yxo

+=

+−=




• Utilizando a equação de Bernoulli e tendo em

atenção que o integral ao longo de um contorno

fechado de um valor constante (po) não contribui

para a força, tem-se

x

dSdy

dx

ydF

xdF ( )( )zzdpdM

ydyxdxpdM

pxdxpydydM

o

o

o

ℜ=

+=

+=

C

( )

ℜ−=ℜ= ∫∫ cc

zdzdz

dWzzdpM

2

02

1ρ

Aerodinâmica I

Teorema de Kutta-Joukowski

• Considere-se a aplicação do teorema de Blasius




• Considere-se a aplicação do teorema de Blasius

ao caso de um escoamento uniforme no infinito,

em torno de um corpo de foma arbitrária

• Desenvolvendo em série de Laurent

∫=−c

dzdz

dWFF yx

2

i2

1i ρ

∞∞ −= VUV i

dz

dW

......2

212

210++++++=== −−

∞

−∞=

∑z

A

z

AzAzAAzAV

dz

dW

n

n

n

Aerodinâmica I


• No infinito, , a velocidade é imposta, donde



∞→z


• No infinito, , a velocidade é imposta, donde

...

10

i

2

21

0

0

+++==

≥⇐=

−=

−−

∞∞

z

A

z

AAV

dz

dW

nA

VUA

n

∞→z

Aerodinâmica I


• Tomando como contorno de integração uma




• Tomando como contorno de integração uma

circunferência de raio R muito superior às dimensões

do corpo e tendo em atenção que não existem

singularidades entre a superfície do corpo e ocontorno C

[ ]3

22

ii

−∞∞ +

Μ+

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW

πO

Aerodinâmica I


[ ]3

22

ii

−∞∞ +

Μ+

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW

π



O


• Q é o somatório das intensidades das linhas defontes e poços no interior do contorno C

• Γ é o somatório das intensidades das linhas de vórtice no interior do contorno C

• Μ representa o momento complexo resultantedas linhas de dipolos no interior do contorno C

[ ]2

2i ∞∞ +++−== R

zzVUV

dz πO

Aerodinâmica I


• A função integranda da equação de Blasius é




• A função integranda da equação de Blasius é

...22

......

20

2

12101

2

00

2

21

0

2

2

21

0

2

−−−

−−−−

+===

+++=

+++=

AAABAABAB

z

B

z

BB

z

A

z

AA

dz

dW

Aerodinâmica I


• Pelo teorema dos resíduos tem-se



2

dW


• Comparando

com

101

2

i4i2 −− ==

∫ AABdz

dz

dWππ

c

...2

21

0+++== −−

z

A

z

AAV

dz

dW

[ ]3

22

ii

−∞∞ ++

Γ−+−== R

zz

QVUV

dz

dW µ

πO

Aerodinâmica I




i0

−= ∞∞ VUA


( )π

π

π

2

iii4

2

i

2

1

0

Γ−−=

Γ−

=

∞∞

−

∞∞

∫Q

VUdzdz

dW

QA

c

Aerodinâmica I


• Substituindo na fórmula de Blasius




ou seja

( )( )Γ−−−=

=− ∞∞∫ iii

2

1i

2

QVUdzdz

dWFF yx ρρ

c

−Γ−=

Γ+−=

∞∞

∞∞

QVUF

VQUF

y

x

ρρ

ρρ

Aerodinâmica I


• Projectando o vector força nas direcções paralela

e perpendicular à direcção do escoamento não




e perpendicular à direcção do escoamento não

perturbado (em ) obtem-se

Γ−=+−

=

−=+

=

∞

∞

∞∞

∞

∞

∞∞

VV

FUFVL

QVV

FVFUD

yx

yx

�

�

�

�

ρ

ρ

∞→z

Aerodinâmica I




Γ×−=

−= ∞

��

��

QVD

ρ

ρ


Γ×−= ∞

��

VL ρ

• Em escoamento potencial, um corpo finito imerso

num escoamento uniforme tem:

- Força de resistência (D) nula

- Força de sustentação (L) proporcional à circulação(Γ)

- As forças de resistência e sustentação são

independentes da forma do corpo

Aerodinâmica I

• Fórmula de Blasius

2




como

( )

ℜ−=ℜ= ∫∫ cc

zdzdz

dWzzdpM

2

02

1ρ

( )

Μ−+

Γ−=

∞∞∫ VU

Qzdz

dz

dWi2

2

ii2

22

ππ

c

Aerodinâmica I

( ) ( )[ ]

[ ]

πρπ

ρ0

22

Γ

Μℜ−Μℑ+Γ

−=

Q

VUQ

M




em que α é o ângulo entre e o eixo x

• Em notação vectorial

• depende da forma do corpo devido a Μ

∞V�

Μ×+Γ

−= ∞

��

�

�

VQ

M πρπ

ρ 22

0

0M

[ ]απρπ

ρ i

02i

2

−∞Μ−ℜ+

Γ−= eU

QM

Aerodinâmica I

• Escoamento incompressível e irrotacional

obedece à equação

Fluido Perfeito/IdealEscoamento Tri-dimensional, Irrotacional e Incompressível

φφ ∇==∇⋅∇ V��

com0


• Condição de fronteira numa parede sólida

φφ ∇==∇⋅∇ Vcom0

0=∂

∂=⋅

nnV

φ�

�

Aerodinâmica I

• Coordenadas Cartesianas


( )zyx ,,φφ =

zyx

∂∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

φφφ

φφφ0

2

2

2

2

2

2


• Coordenadas Cilíndricas ( )zr ,,θφφ =

zW

yV

xU

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

φφφ,,

zW

rV

rV

zrrr

rr

r∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

φ

θ

φφ

φ

θ

φφ

θ ,1

,

011

2

2

2

2

2

Aerodinâmica I

• Coordenadas Esféricas


( )ϕθφφ ,,r=

( ) φθ

∂

∂

∂

∂sen

2

rr

r


( )( )

( )

( ) ϕ

φ

θθ

φφ

ϕ

φ

θϕ

θ

φθ

θθ

ϕθ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

sen

1,

1,

0

sen

1

sensen

12

rV

rV

rV

rr

r

r

Aerodinâmica I

• Fonte/poço pontual


Singularidades

rer

cV

r

c �

��

2=∇=→−= φφ


• Escoamento com linhas de corrente radiais

• Caudal que atravessa uma esfera de raio r

donde

rr

0,0,2

=== ϕθ VVr

cVr

2

24 r

r

cdSnVQ

Sπ∫ =⋅=

�

�

π4

Qc =

Aerodinâmica I


Singularidades

Função potencial de uma fonte(Q>0)/poço(Q<0) pontual

Q


r

Q

πφ

4−=

ϕ

r

θ

Aerodinâmica I

• Dipolo pontual

- Par fonte/poço a tenderem para o mesmo ponto

ao longo do segmentolcom intensidades

simétricas a tender para infinito


• Função potencial em P


simétricas a tender para infinito

Poço Fontel

rr1

∞→→ Ql ,0

1

1

4 rr

rr

r

Q −−=

πφP

θ( )

2

cos

4 r

l

r

Q θ

πφ −=

( )2

cos

4 rr

θ

π

µφ −=

• Função potencial em P

• No limite quando

Aerodinâmica I

Função potencial de um dipolo pontual


Singularidades

( )cos θµ


−µ é a intensidade do dipolo

- θ é a orientação do dipolo

( )2

cos

4 r

θ

π

µφ −=

( ) ( )0,

sen

4,

cos

233

=== ϕθ

θ

π

µθ

π

µV

rV

rVr

θ

rµ

ϕ

Aerodinâmica I

• Sobreposição de um escoamento uniforme orientado

com o sentido negativo do eixo z com um dipolo na

origem do referencial alinhado com o eixo z e de


Escoamento em torno de uma esfera


origem do referencial alinhado com o eixo z e de

intensidade

- Escoamento uniforme

( )

( )

0

sen

cos

=

=

−=

∞

∞

ϕ

θ θ

θ

V

VV

VVr

�

�

ϕ

∞= VR�

32πµ

Aerodinâmica I

• Velocidade ao longo da esfera de raio R



( ) ( )0

cos

2

2cos

3

3

=+−=∞

∞

θ

π

πθ

R

VRVVr

�

�


• Só existe componente Vθ na superfície da esfera de

raio R. Logo, a função potencial obtida da soma de um

escoamento uniforme com um dipolo pontual representa

o escoamento em torno de uma esfera de raio R

( ) ( ) ( )

0

sen2

3sen

4

2sen

2

3

3

3

=

=+= ∞

∞

∞

ϕ

θ θθ

π

πθ

π

V

VR

VRVV

R

�

�

�

Aerodinâmica I

• Distribuição de pressão na superfície da esfera



ρ 221

−= ∞

pV

ppC

Cp


( )θ

ρ

ρ

2

2

2

2

sen4

91

1

21

21

−=

−=

=+

∞

∞

∞

p

p

e

p

C

V

VC

ctVp

V

�

�

θ em graus

Esfera

Cilindro

Aerodinâmica I

• Em escoamento permanente, irrotacional e

isentrópico, a velocidade pode ser obtida a

partir de um potencial de velocidade, φ

Escoamento Compressível Bi-dimensionalPotencial de velocidade


yv

xu

V

∂

∂=

∂

∂=

∇=

φφ

φ

,

��

Aerodinâmica I

• Substituindo a função potencial de velocidade,

φ, na equação da continuidade e nas equações

de balanço de quantidade de movimento (equações

de Euler) obtém-se para um gás perfeito ( )RTp ρ=



de Euler) obtém-se para um gás perfeito

021

11

1

2

22

22

22

22

2=

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−+

∂

∂

∂

∂−

yxyxayyaxxa

φφφφφφφ

( )RTp ρ=

Aerodinâmica I

• a é a velocidade do som,

021

11

1

2

22

22

22

22

2=

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−+

∂

∂

∂

∂−

yxyxayyaxxa

φφφφφφφ

RTa γ=



• a é a velocidade do som,

A partir da equação da energia e das condições de

estagnação

• Uma única equação para resolver, mas não linear

( ) ( )oooo RTaTp γ=e,

∂

∂+

∂

∂−−=

22

22

2

1

yxaa o

φφγ

RTa γ=

Aerodinâmica I

• Decomposição da velocidade do escoamento

permanente, irrotacional e isentrópico na soma

de um potencial correspondente a um escoamento

uniforme ( ) e de um potencial de =∇ V��

φ

Escoamento Compressível Bi-dimensionalLinearização do potencial de velocidade


uniforme ( ) e de um potencial de

perturbação, φ̂∞∞ =∇ V��

φ

yv

xu

xV

∂

∂=

∂

∂=

=+= ∞∞∞

φφ

φφφφ

ˆˆ,

ˆˆ

ˆcom

Aerodinâmica I

• Equação do potencial de velocidade em termos

do potencial de perturbação, φ̂


( ) ∂∂ 22 ˆˆ φφ


• é o número de Mach do escoamento

de aproximação uniforme

( ) Ayx

M =∂

∂+

∂

∂− ∞ 2

2

2

2

2ˆˆ

1φφ

∞∞∞ = aVM

Aerodinâmica I


( ) ∂

−

+

+

++=uvuu

MAˆˆ1ˆ1ˆ

1

22

2 γγγ

( ) Ayx

M =∂

∂+

∂

∂− ∞ 2

2

2

2

2ˆˆ

1φφ


( )

( )

∂

∂+

∂

∂

++

∂

∂

−+

++−+

∂

∂

−+

+++=

∞∞

∞

∞∞∞

∞

∞∞∞

∞

x

v

y

u

V

u

V

vM

y

v

V

u

V

v

V

uM

x

u

V

v

V

u

V

uMA

ˆˆˆ1

ˆ

ˆˆ

2

1ˆ

2

1ˆ1

ˆˆ

2

1ˆ

2

1ˆ1

2

22

2

2

γγγ

γγγ

Aerodinâmica I

• Para pequenas perturbações (pequenos ângulos de

ataque)


1ˆ

e1ˆ

,1ˆ

,1ˆ 22

<<<<<<<<vuvu


• Para e temos

1e1,1,1 <<<<<<<<∞∞∞∞ VVVV

( ) ( )x

uM

x

u

V

uM

∂

∂−<<

∂

∂

++ ∞

∞

∞

ˆ1

ˆ...

ˆ1

22 γ

52.18.00 ≤≤≤≤ ∞∞ MM

Aerodinâmica I

• Para pequenas perturbações (pequenos ângulos de

ataque)

( ) 0ˆˆ

1

22

2 ≅∂

+∂

− ∞Mφφ



• Equação linear, aproximadamente válida para

a gama de números de Mach

( ) 0122

≅∂

+∂

− ∞yx

M

52.18.00 ≤≤∨≤≤ ∞∞ MM

Aerodinâmica I

• Coeficiente de pressão, Cp, em escoamento

compressível

−=−

= ∞ 12 ppp



• Linearizando para pequenas perturbações

−=

−=

∞∞∞

∞ 12

21 22 p

p

MV

ppCp

γρ

∞

−=V

uCp

ˆ2

Aerodinâmica I

• Equação do potencial de velocidade linearizada

( ) 8.0,1com0ˆˆ

2

2

2

2

2

<−==∂

∂+

∂

∂∞∞ MM

yxβ

φφβ

Escoamento Compressível Bi-dimensionalCorrecções de compressibilidade de Prandtl-Glauert


• Transformação de coordenadas

• Função potencial de velocidade no plano

∂∂ yx

y

x

βη

ξ

=

=

( ) ( )yx,ˆ, φβηξφ =

( )ηξ ,

Aerodinâmica I

• Equação do potencial de velocidade linearizada

no plano

22

=∂

+∂ φφ

( )ηξ ,

Escoamento Compressível Bi-dimensionalCorrecções de compressibilidade de Prandtl-Glauert


• Escoamento potencial, irrotacional e incompressível

no plano

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yx

φφ

( )0=∞M ( )ηξ ,

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