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e Fundaçõese Fundações

ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de

Concreto: Vigas, Lajes e Pilares

Flexão Simples

Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada

ES25ES25

Flexão SimplesDimensionamento e Verificação______________________________________________________________________

As

Mud Mud

A A’ B’ B

diagrama de ε

fissuras

εs

εcu

seçãotransversal trecho de viga

Tipos de ruptura na flexão

Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:

• se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto;• se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por

esmagamento do concreto comprimido; e• se As for “adequada” ⇒ ruptura dútil (com aviso), com escoamento da armadura

e acompanhada de intensa fissuração da zona traciona

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Hipóteses básicas

1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e B’, quandofletidas, permanecendo planas;

2) aderência perfeita entre concreto e armadura: inexistência de escorregamento entre osmateriais (a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra deconcreto εc , junto a esta armadura);

3) a tensão no concreto é nula na região da seção transversal sujeita a deformação dealongamento;

4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura

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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd

fyk

fyd

εyd0,010

εsd

arctg Es

diagrama de cálculo

Es = 21.000 kN/cm2

fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)

γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente

ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de

escoamento

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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd

fyk

fyd

εyd0,010

εsd

arctg Es


Es = 21.000 kN/cm2

fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)

γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente

ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de

escoamento

Os aços desta categoria são os seguintes:

TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm2) εydCA25 25 21,74 0,00104CA32 32 27,83 0,00132CA40A 40 34,78 0,00166CA50A 50 43,48 0,00207

Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2.

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aço encruado (CA50B e CA60B)

σsd

fyk

fyd

εyd 0,010εsd

arctg Es


0,002

A

B

Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entreA e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B,um patamar.Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo,na tração e na compressão.

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diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto

diagrama parábola-retângulo

σcd

0,85fcd

0,002 0,0035

εc (encurtamento)

parábola do 2o grau

patamar

γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)fcd = fck / γc0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto

para cargas de longa duração (efeito Rusch)

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diagrama retangular simplificado

As

Mud

x

k fcd

0,8x

deformação deestado limiteúltimo (εu)

x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em

direção à borda comprimida (seção retangular)0,80 , em caso contrário

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estado limite último convencional na flexãoO estado limíte último é atingido quando ocorre uma das duas situações seguintes:

1) a deformação de encurtamento no concreto (εcu) atinge 0,0035; denomina-se, estadolimite último por esmagamento do concreto;

As

εcu = 0,0035

εs

Mud

2) a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (εsu) atinge 0,010; denomina-se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da armadura;

As

εc

εsu = 0,010

Mud

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domínios de deformação

Conforme foi visto no ítem anterior, o estado limite último convencional ocorre quando odiagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B

h

d

As

0,0035

εyd

0,010

A

B

x34

x23

D4

D3

D2

4

3

2

Mud

d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimidax = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)

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Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2(D2); passa pelo ponto B (ELUlt. por alongamento plástico excessivo da armadura) eo encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura édo tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição:

x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d

que pode ser obtida por semelhança de triângulos

Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domínio 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt.por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido entreεyd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está emescoamento. A ruptura é do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimidaobedece à condição:

x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd)

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Diz-se que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A(ELUlt. por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura estácompreendido entre 0 e εyd. O concreto está muito solicitado e a armadura é poucosolicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zonacomprimida obedece à condição:

x34 ≤ x ≤ d.

A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou normalmentearmada.

Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situaçãoantieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar odimensionamento neste domínio.

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seção retangular com armadura simples

A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:• a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode serimaginada concentrada no seu centro de gravidade

h

d

b

x0,8x

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,4x

d - 0,4x

Mud

As

εu

σsd

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Resultantes das tensões:

no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd

na armadura: Rsd = As⋅σsd

Equações de equilíbrio:

de força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd (1)

de momento: Mud = Rcd⋅(d - 0,4⋅x)ou

Mud = Rsd⋅(d - 0,4⋅x)

Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:

Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) (2)ou

Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) (3)

h

d

b

x0,8x

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,4x

d - 0,4x

Mud

As

εu

σsd

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Caso de dimensionamento

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletorsolicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, aequação (2) nos fornece o valor de x:

0 40 68

02,,

x d xM

bfd

cd

− ⋅ + =

x d xMbf

d

cd

2 2 52 5

0 680− + =( , )

,,

x dM

bd fd

cd

= − −

1 25 1 1

0 425 2,,

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Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer asseguintes situações:

I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd

II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd

III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da

parede onde a viga é embutida);⇒ adotando-se armadura dupla.

Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4.

Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nosfornece

AMd x

Mf d xs

d

sd

d

yd

=−

=−σ ( , ) ( , )0 4 0 4

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Caso de verificação

Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida. Nas duasequações de equílíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e σsd. Contudo, esta última éconhecida ou é função de x; de fato, nos domínios 2 e 3 tem-se σsd = fyd e, no domínio 4, elaé dada pela expressão:

σ εsd s sd sE E d xx

= = ⋅−

⋅0 0035, .

Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.

Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. Assim, asolução pode ser obtida por tentativas:

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admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda ao domínio 2 ou 3 (armadura emescoamento); da equação de equilíbrio de força tem-se

0,68 b x fcd = As σsd = As fyd

e, portanto

x = (As fyd) / (0,68 b fcd)

que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida. Caso positivo, é sódeterminar o momento resistente

Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)

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Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELUlt. corresponder ao domínio 4, a tensãona armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da equação de equilíbrio(reescrita):

0 68 0 0035, ,⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅−

⋅b x f A A E d xxcd s sd s sσ .

e o momento procurado é obtido, substituindo esse valor de x na expressão já vista

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A p l i c a ç ã o à s v i g a s u s u a i s d e e d i f í c i o s

bw

bw

b2

bf

bf

L1hf =

b1

l

V1

V2

M’M As

bf

b1 bw

hf0,8x

εu

0,85fcd0,85fcd

Mud

Seção T

bh h para laje em balanco

ab

f f

1

2

8 610

2≤

( )/

/

aem viga isostatica

em vao extremo de viga continuaem vao erno de viga continua

=

0 750 6

,, int

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Seção T

bf

bw

Rsd

d

hf

Mud

1 12

x 0,8x

0,85fcd Rcfd

Rcwd

εu

As

Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf

Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x)

Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)

Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd

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s e ç ã o r e t a n g u l a r c o m a r m a d u r a d u p l a

hd

d’

A’s

As

b

xε’s

εc

0,4xd’

RcdR’sd

Rsd

Md

Equilíbrio de força: Rsd = Rcd + R’sd

As σsd = 0,68 b x fcd + A’sd σ’sd (a)

Equilíbrio de momento:Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’)Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd σ’sd (d - d’) (b)

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Tem-se duas equacões, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nasarmaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ouigual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As eA’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada nafigura seguinte.

x

εc

0,4x d’

Rcd

R’sd

Rsd1

Mwd

d

b

d

d’

A’s

As2

Rsd2

xε’s

∆Md

εc

As1

d-0,4xd-d’

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x

εc

0,4x d’

Rcd

R’sd

Rsd1

Mwd

d

b

d

d’

A’s

As2

Rsd2

xε’s

∆Md

εc

As1

d-0,4xd-d’

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momentoresistente, designada por Mwd:

Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)e

Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x).

Como σsd = fyd (peça subarmada), tem-se

As1 = Rsd1 / fyd.

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x

εc

0,4x d’

RcdR’sd

Rsd1

Mwd

d

b

d

d’

A’s

As2

Rsd2

xε’s

∆Md

εc

As1

d-0,4xd-d’

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente∆Md = Md - Mwd.

Também,∆Md = R’sd (d - d’) = A’sd σ’sd (d - d’)

e∆Md = Rsd2 (d - d’) = As2 σsd (d - d’)

que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s.

De fato,R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’)

eAs2 = Rsd2 / fyd

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x

εc

0,4x d’

RcdR’sd

Rsd1

Mwd

d

b

d

d’

A’s

As2

Rsd2

xε’s

∆Md

εc

As1

d-0,4xd-d’

O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd. Com x = x, tem-se, no domínio 3εc = 0,0035 e, no domínio 2:

εc = 0,010 x / (d - x) (por semelhança de triângulos).Logo

ε’s = εc (x - d’) / xque permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura).

FinalmenteA’s = R’sd / σ’sd e As = As1 + As2

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Classe de agressividade

Micro-clima

Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral

Seco1)

UR ≤ 65%Úmido ou ciclos2) de

molhagem e secagemSeco3)

UR ≤ 65%Úmido ou ciclos4) de

molhagem e secagem

Rural I I I II

Urbana I II I II

Marinha II III ----- III

Industrial II III II III

Especial 5) II III ou IV III III ou IV

Respingos de maré ----- ----- ----- IV

Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I

Solo ----- ----- não agressivo I

úmido e agressivo II, III ou IV

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Cobrimento

Tipo de estrutura Componente ou elemento

Classe de agressividade ambiental (tabela 1)

I II III IV3)

Cobrimento nominalmm

Concreto armado Laje2) 20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50

Concreto protendido1)

Todos 30 35 45 55

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Armadura mínima de flexão

Forma da seção

Valores de ρmin*%

fck 20 25 30 35 40 45 50

ωmín

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (mesa

comprimida)

0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa

tracionada)

0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575

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