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Fluidi II Applicazioni della legge di Bernoulli Viscosità Legge di Poiseuille Fluidi in regime stazionario Tensione superficiale Capillarità

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  • Fluidi II

    Applicazioni della legge di Bernoulli Viscosità

    Legge di Poiseuille Fluidi in regime stazionario

    Tensione superficiale Capillarità

  • Dilatazione (aneurisma) e restringimento (stenosi) di un

    vaso sanguigno sono le patologie vascolari più comuni.

    Applicazioni della legge di Bernoulli

  • Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale (Δh=0): p1 + ½ ρ v12 = p2 + ½ ρ v22 p1 – p2 = ½ ρ (v22 – v12) S1v1 = v2S2 da cui v1 = v2 S2 / S1 p1 - p2 = ½ ρ v22(1 - S22/S12) Nel caso di dilatazione S2>S1 da cui p1 - p2 < 0 p2>p1

    Vi è una tendenza a incrementare la dilatazione!!!

    Aneurisma

  • Aneurisma

    Video  su  possibile  terapia:  h1ps://www.youtube.com/watch?v=FfuHNG3mHJY  

  • Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale (Δh=0): p1 + ½ ρ v12 = p2 + ½ ρ v22 p1 – p2 = ½ ρ (v22 – v12) S1v1 = v2S2 da cui v1 = v2 S2 / S1 p1 - p2 = ½ ρ v22(1 - S22/S12) Nel caso di restringimento S2 0 p2

  • Stenosi

  • In un fluido ideale la pressione è la stessa in entrata e in uscita. Questo perché non c’è attrito interno fra le molecole del fluido, né

    attrito fra il fluido e le pareti del condotto in cui il fluido scorre.

    Dunque, in caso di un condotto a sezione costante e orizzontale, avremo:

    e dato che la velocità di ogni strato di fluido é la stessa:

    ovvero la pressione è costante.

    Fluidi reali: moto viscoso

    p + ρ g h+ ½ ρ v2 = k p + ½ ρ v2 = k’

    p = k’’

  • Nei i fluidi reali la pressione diminuisce nel verso del moto a causa dell’attrito interno, o viscosità. Questa

    in genere è debole nei gas ma rilevante nei liquidi.

    Fluidi reali: moto viscoso

    Il condotto esercita una forza resistente sul fluido a contatto (forze di contatto o adesione solido-liquido), a loro volta gli strati di fluido esercitano delle forze di attrito che si oppongono allo scorrimento (forze intermolecolari

    di coesione). La velocità è massima al centro e nulla sul bordo. Per un tubo di raggio R, se r è la distanza dal centro del tubo, si ha:

    v = v(r)∝ R2 − r2( ) parabola  

  • Fluidi reali: moto viscoso

    In un fluido reale il Teorema di Bernoulli deve tener conto dell’energia persa per attrito:

    p1+½ ρ v12 + ρ g h1 = p2+½ ρ v22 + ρ g h2 + Eattrito  

    Nel  caso  h1=h2,  v1=v2  si  ha  quindi:    

    ΔP  =  Ea&rito    occorre  una  differenza  di  pressione  per  far  muovere  un  fluido  a  velocità  costante  in  un  condo&o  re:lineo  ove  vi  siano  a&ri;.  

    Esempio  nella  vita  comune?  

  • Fluidi reali: moto viscoso

  • Consideriamo un fluido suddiviso in strati infinitesimi paralleli tra loro, di area A e a distanza Δx l’uno dall’altro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con velocità caratteristiche (moto laminare).

    La forza di attrito viscoso fra uno strato

    e l’altro è data dalla relazione:

    Coefficiente di viscosità

    F = η A Δv/Δx

    •  Δv/Δx gradiente di velocità •  η coefficiente di viscosità; nel SI si misura

    in Pa·s; nel CGS in barie·s = Poise (P).

    •  1 Pa·s = 10 P

  • Il coefficiente di viscosità η dipende dalla natura del liquido. Per uno stesso liquido dipende in maniera molto marcata dalla temperatura: al crescere di

    questa diminuisce molto rapidamente (esempio dell’olio in una padella, o del miele nel video precedente).

    Liquido Temperatura (°C) η (Pa·s)

    Acqua

    0 20 37 100

    1.8·10-3 1.0·10-3 6.9·10-4 2.8·10-4

    Mercurio 20 1.5·10-3

    Sangue intero 37 4.0·10-3

    Plasma sanguigno 37 1.5·10-3

    Dipendenza dalla temperatura

  • Per mantenere un liquido in moto in un condotto è necessaria quindi una differenza di pressione Δp fra l’ingresso e l’uscita.

    La portata Q attraverso il condotto dipende da Δp oltre che

    dalla lunghezza, dalla sezione del condotto e dalla viscosità η.

    Se il condotto è un cilindro orizzontale di raggio R e lunghezza L, la portata Q è espressa da:

    Q = (π Δp R4)/(8ηL) legge di Poiseuille

    (usata nei viscosimetri)

    Legge di Poiseuille Abbiamo visto che per fluidi reali

    l’esperienza mostra che la pressione diminuisce nel verso

    del moto a causa della viscosità.

  • Regime laminare e turbolento Finora abbiamo considerato un fluido suddiviso in strati paralleli tra loro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con una certa velocità (moto laminare). Se invece ci sono dei vortici che portano a un rimescolamento del

    fluido con distribuzioni irregolari e continuamente variabili di velocità, il moto è turbolento.

  • Per stabilire se il moto di un fluido viscoso è laminare o turbolento si definisce una grandezza adimensionale

    chiamata numero di Reynolds: NR= ρ v l / η.

    Questo parametro dipende dalla velocità media v del fluido (rispetto al solido con cui viene a contatto),

    dalla densità ρ, dalla viscosità η, e da una grandezza lineare l caratteristica del condotto (per una forma

    cilindrica, ad esempio, l coincide col diametro).

    Si dimostra sperimentalmente che, per tubature rettilinee di sezione circolare, il flusso della corrente fluida è laminare per valori di NR inferiori a 1000, e

    turbolento per valori superiori a 3000.

    Numero di Reynolds

  • Regime laminare e turbolento

  • Regime laminare e turbolento

  • Una delle funzioni del sistema circolatorio è quella di trasportare ossigeno dai polmoni ai tessuti e di trasportare

    in senso inverso l’anidride carbonica prodotta dalla respirazione cellulare. Ciò si realizza mediante un circuito chiuso che costringe il sangue a passare successivamente

    attraverso i polmoni e tutti gli altri tessuti.

    Il sistema circolatorio

  • Per spingere il sangue attraverso i capillari polmonari e quelli tissutali è necessaria una pompa che crei Δp. Tale pompa è il cuore, da cui si dipartono piccola e grande circolazione. Parti attive sono ventricoli, che

    contraendosi spingono il sangue.

    Il cuore

  • Il circolo polmonare (o piccolo circolo) origina

    dal ventricolo destro con l’arteria polmonare e

    termina nell’atrio sinistro con la vena polmonare.

    Il grande circolo (o

    circolo sistemico) parte dal ventricolo sinistro con l’aorta ed entra

    nell’atrio destro mediante la vena cava.

    Piccolo e grande circolo

  • Il cuore si può considerare come

    l’insieme di due pompe che lavorano in serie su tratti diversi del circuito, sebbene siano unite a

    formare un unico organo.

    Le contrazioni e successive dilatazioni dei

    ventricoli sono dette sistole e diastole rispettivamente.

    Piccolo e grande circolo

  • Poiché il circuito sistemico è molto più esteso di quello polmonare (e quindi offre maggiore resistenza), il ventricolo sinistro deve produrre una differenza

    maggiore rispetto al destro.

    Non a caso la muscolatura del VS è maggiore di quella del VD, che lavora di meno.

    Piccolo e grande circolo

    Piccolo  circolo  

  • Ciascuna delle due circolazioni inizia con vasi di grosso calibro (arterie) che si suddividono in rami più piccoli (arteriole)

    Le arteriole a loro volta si sfioccano in numerosi

    capillari, attraverso le cui pareti avvengono i processi di

    scambio con i tessuti circostanti.

    Successivamente il processo di

    ramificazione si inverte: i capillari confluiscono in vasi di maggiori dimensioni (venule) e si raccolgono in vasi sempre

    più grandi (vene) che riportano il sangue al cuore.

    Diramazione dei condotti

  • Il sangue è un liquido viscoso che, in generale, scorre nel sistema circolatorio con moto laminare. Tuttavia il moto turbolento, essendo rumoroso, può essere rilevato mediante auscultazione con un fonendoscopio. Il passaggio da moto laminare a moto turbolento nel sangue sta alla base del principio di funzionamento dello strumento usato per misurare la pressione arteriosa (sfigmomanometro).

    Il sangue come fluido

  • Immettendo l’aria nel manicotto si comprime l’arteria brachiale. Ad una riduzione di sezione corrisponde un aumento della velocità del sangue: si passa da moto laminare a turbolento, rivelabile con il fonendoscopio.

    Misura della pressione arteriosa

  • Misura della pressione arteriosa Aumentando la pressione il rumore scompare. Questo perché la arteria si è chiusa, e tale chiusura avviene ad

    una pressione del manicotto che deve essere poco superiore a quella massima nell’arteria.

    Si lascia allora diminuire la pressione facendo sfiatare l’aria.

    La P a cui riprende la circolazione e ricompare il

    rumore, è la pressione massima arteriosa (sistolica).

    La P a cui scompare

    successivamente il rumore, perché il sangue è tornato al

    moto laminare, si assume come pressione minima arteriosa (diastolica).

  • Lo sfigmomanometro

  • Nella materia allo stato liquido ogni molecola è circondata da altre molecole: le forze attrattive tra molecole, poiché ognuna di esse è completamente circondata da altre, si bilanciano permettendo che ognuna si sposti liberamente (non vi è prevalenza di forze in una

    qualche direzione).

    Tensione superficiale

    Consideriamo, appena sotto la superficie, uno strato spesso

    quanto il diametro delle molecole

    Questo strato (detto strato limite) è quello in cui avviene il passaggio dallo stato liquido a quello di gas. Una molecola che si trovi in questa zona non ne ha altre dello stesso tipo al di sopra.

  • Se una molecola che si trova nello strato limite viene sollevata, i legami tra essa e le molecole adiacenti vengono tesi, generando

    una forza che tende a richiamarla verso la superficie, proprio come una membrana tesa.

    Allo stesso modo, un corpo minuscolo (pond skaters, insetti pattinatori) che si appoggi sulla superficie di un liquido in modo da non

    perforarla, fa si che le molecole superficiali del liquido vengono spinte

    verso il basso generando una forza di richiamo diretta verso l'alto.

    Oltre agli insetti c’è il caso curioso di un rettile,

    il basilisco.  

    Tensione superficiale

  • La tensione superficiale di un liquido rappresenta il lavoro richiesto per aumentarne la superficie libera. Si dimostra che

    tale lavoro può essere espresso in termini della forza di contrazione esercitata su una linea ipotetica di lunghezza L

    posta sulla superficie (forza per unità di superficie):

    τ = F/2L

    (dove il fattore 2 deriva dal fatto che i lati della linea sono due)

    Il lavoro fatto per “aprire” una

    superficie di area S sara’ dunque:

    L = τ S

    Nel SI τ si misura in N/m o J/m2

    Coefficiente di tensione superficiale

  • Liquido Temperatura (°C) Tensione superficiale (N/m)

    Acqua

    0 20 50 100

    0.076 0.073 0.068 0.059

    Olio d’oliva 18 0.032 Mercurio 20 0.436

    Sangue intero 37 0.058 Plasma sanguigno 37 0.073

    In generale τ diminuisce al crescere della temperatura: nei liquidi più caldi, infatti, la tensione è indebolita dal moto di

    agitazione termica delle molecole.

    L'acqua calda ha quindi migliori proprietà detergenti giacché la sua minor tensione superficiale permette di raggiungere

    più facilmente porosità e fessure.

    Per ridurla ulteriormente si fa uso di tensioattivi (come i detersivi) che si frammentano più facilmente e si disperdono

    con maggiore facilità sul materiale che si vuole pulire.

  • Capillarità Tubi di sezione molto piccola (diametro di qualche decimo di mm) sono detti tubi capillari, in cui la superficie si dispone secondo una sezione concava o convessa.

    Il fenomeno, detto capillarità, si spiega col fatto che in un liquido esistono delle forze di coesione, di natura elettrica e attrattive, fra molecole simili.

    Invece, la forza tra la molecola di un liquido e un'altra sostanza (es. vetro della parete di un recipiente che contenga il liquido) è detta forza di adesione.

    Si dice che un liquido bagna la superficie di un'altra sostanza quando le forze di adesione prevalgono su quelle di coesione (acqua): in questo caso, si ha risalita del fluido lungo un tubo capillare e la sua superficie è concava verso l'alto. Viceversa, quando dominano le forze di coesione (mercurio) il livello del fluido tende a decrescere e la sua superficie è convessa.

  • Si dimostra che una bolla di sapone (o altro materiale/interfaccia) sferica di raggio R e coefficiente di tensione superficiale τ è in

    equilibrio se la tensione superficiale è tale da contrastare la Δp tra interno ed esterno, per cui vale la relazione (legge di Laplace):

    Δp=2τ/R

    La differenza di pressione è inversamente proporzionale al raggio.

    Bolle di sapone legge di Laplace

  • Bolle d’aria e embolia

    R1   R2  

    Flusso  sanguigno  

    Quando si crea un embolo in un vaso sanguigno, il menisco che viene spinto dal flusso ha un raggio di curvatura

    maggiore di quello che si trova a valle, e quindi: R2 < R1 Δp2 > Δp1 Δp2 – Δp1 > 0

    Si crea una pressione interna il cui verso è rivolto in senso opposto al verso

    del flusso sanguigno.

    Se abbastanza grande, la differenza può equilibrare la pressione del sangue e provocare arresto circolatorio.

    Per questo motivo bisogna sempre fare uscire l’aria dalle siringhe prima di iniettare un qualunque fluido all’interno

    del corpo!!!