Lector univ. dr. MONICA FLORA

CURS DE FIZIC

Editura Universitii din Oradea 2010

TeddyCaset textAstrologieDe la Wikipedia, enciclopedia liberVersiune anonim, colorat manual, a gravurii n lemn realizat de Camille Flammarion, n (1888).Astrologia (din greac: astron: stea, i logos: tiin, teorie, studiu) nglobeaz un ansamblu de cunotine, tradiii i credine, structurate, din punct de vedere geografic, n sisteme care acord importan i semnificaie raporturilor ce se nasc din poziiile relative ale corpurilor cereti i a altor detalii legate de acestea (semne zodiacale, case). Se presupune c aceste raporturi astrale ar cuprinde semnificaii utile pentru interpretarea personalitii a omului. Un practicant al astrologiei este numit astrolog.

CUPRINS

Pag.

CAP.I. MRIMI I UNITI FUNDAMENTALE 5

I.1. Introducere 5 I.2. Uniti de msur. Sisteme de uniti 5

CAP.II. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL 7 II.1. Introducere 7 II.2. Cinematica punctului material 8 II.3. Principiile dinamicii 11 II.4. Lucru mecanic. Energia mecanic 12 II.5. Momentul cinetic 16 II.6. Gravitaia 22

CAP. III. OSCILAII I UNDE 29 III.1. Caracteristici generale 29 III.2. Fenomene specifice undelor 31 III.3. Cmpul sonor 38 III.4. Efectul Doppler 39

CAP. IV. ELECTROMAGNETISM 41 IV.1. Mrimi fizice caracteristice cmpului electromagnetic 41 IV.2. Cmpul electrostatic 42 IV.3. Lucrul mecanic al forelor electrice. Energia cmpului electric 46 IV.4. Potenialul electric 49

IV.5. Cmpul magnetic 52 IV.6. Cmpul magnetic n substane 55 IV.7. Ecuaiile lui Maxwell ale cmpului electromagnetic 59 IV.8. Energia cmpului electromagnetic. Teorema lui Poynting 61 IV.9.Potenialeelectrodinamice 63 IV.10. Teoria electromagnetic a luminii 64

Cap. V. BAZELE FIZICII CUANTICE 67 V.1. Despre electron n limbaj ondulatoriu i corpuscular 67 V.2. Construirea ecuaiei lui Schrdinger monodimensionale 70 V.3. Interpretarea probabilistic a undelor de Broglie 72 V.4. Ecuaia lui Schrdinger 74 V.5. Ecuaia Schrdinger temporal 75 V.6. Condiii care se impun funciei de und. Valori proprii. Funcii proprii 76

V.7. Numere cuantice 77 CAP. VI. NOIUNI GENERALE DE TERMODINAMIC 78

VI.1. Sistem termodinamic. Stare a sistemului. Parametrii termodinamici 78 VI.2. Mrimi energetice specifice sistemelor termodinamice 78 VI.3. Echilibrul termic, noiunea de temperatur, termometrie 81 VI.4. Structura discret a substanei. Molul 82 VI.5. Principiile termodinamicii 83 VI.6. Aplicaii ale principiilor termodinamicii 85 VI.7. Distribuia moleculelor funcie de vitez 89 VI.8. Distribuia moleculelor unui gaz n cmp gravitaional 93 VI.9. Legea lui Boltzmann 95 VI.10. Poteniale termodinamice 95 VI.11. Semnificaia statistic a potenialelor termodinamice 97

CAP. VII. APLICAII 102 VII. 1. Celula fotovoltaic 102 VII. 2. Pompe de cldur 105 VII. 3. Energia nuclear 108

CAP.I. MRIMI I UNITI FUNDAMENTALE

I.1. Introducere Obiectul fizicii l constituie cunoaterea lumii nconjurtoare n totalitate, i

anume de la microcosmos (structura atomilor i moleculelor) pn la macrocosmos. Unul din scopurile eseniale ale nvrii fizicii este aplicarea ct mai corect i ct mai complet n practica productiv a legilor acesteia.

Fizica, prin obiectul su, se definete ca o tiin fundamental care studiaz structura i proprietile materiei, fenomenele legate de transformrile acesteia i legile generale care guverneaz procesele din univers. Aadar cunotinele noastre despre lumea material se extind actualmente pe un domeniu spaial de peste 40 de ordine de mrime, adic, de la 10 bilioane de ani-lumin (1026m) pn la o bilionime de micron (10-15m). La o extindere temporal foarte mare au ajuns cunotinele despre durata de via a unor particule i sisteme. Astfel, de la vrsta unei galaxii la timpul mediu de via a unor particule elementare exist o diferen de 35 de ordine de mrime.

Sistemele de care se ocup fizica sunt alctuite din corpuri i cmpuri iar interaciunile ntre elementele sistemelor se manifest prin fore i momente. Rezultatul acestor interaciuni este micarea, transformarea. Prin urmare, fizica are ca obiect de studiu cele mai generale forme de micare a materiei precum i legtura reciproc dintre acestea.

Teoriile care descriu evoluia sistemelor fizice la scar macroscopic sunt numite, adesea, teorii clasice. Ele sunt n unele cazuri, folosite i n studiul anumitor sisteme n care apare structura molecular ca de exemplu n teoria molecular a gazelor. Studiul experimental arat ns c, la scar microscopic, ori de cate ori e nevoie de o aproximaie mai bun, teoriile clasice nu sunt suficiente. n acest caz sunt folosite teorii de alt tip, numite teorii cuantice. Tot prin studiu experimental se poate arta c, ntr-adevr, elementele din care sunt alctuite sistemele cu care se ocup fizica microscopic se comport n unele cazuri ca i particule, n alte cazuri ca i unde.

Unele legi ale fizicii sunt generale, cele n care apar constantele universale, iar alte legi, exprimate prin relaii care conin constante caracteristice diferitelor materiale, se numesc legi de material.

I.2. Uniti de msur. Sisteme de uniti n procesul de cunoatere, trecerea de la observarea calitativ a unui fenomen la

cercetarea lui cantitativ impune determinarea valorilor mrimilor fizice ce caracterizeaz sistemul studiat, deci efectuarea unor msurtori. A msura o mrime nseamn a o compara cu o mrime de aceeai natur, considerat ca unitate. O mrime A, msurat cu o anumit unitate [a] are o valoare a; msurat cu o unitate [A] are o valoare a etc., asfel nct:

A = a[A] = a[A]

][]'[

' AA

aa

ceea ce exprim faptul c raportul valorilor unei mrimi, obinute n urma folosirii a dou uniti de msur, este egal cu inversul raportului celor dou uniti. Rezult, deci, c valorile unei mrimi msurate cu diferite uniti de msur, sunt ntr-un anumit raport, care depinde de raportul dintre unitile de msur respective. Din cele de mai sus rezult, de asemenea c raportul valorilor a dou mrimi de aceeai specie nu depinde de unitatea de msur folosit (principiul semnificaiei absolute a unei valori relative).

O lege fizic exprim o relaie ntre mai multe mrimi. n general n formula care concretizeaz aceast relaie, pe lng mrimile respective intervin i anumite constante. Aceasta se datorete adeseori faptului c formula, este obinut printr-una sau mai multe integrri. Astfel de constante sunt determinate cu ajutorul unor condiii iniiale sau la limit. De exemplu dependena de timp a spaiului parcurs n cursul unei micri accelerate.

S = At2 + Bt + C unde: A = 2a , B = v0, C = s0,

a-fiind acceleraia, v0-viteza iniial, s0-spaiul iniial, parcurs de mobil nainte de nceperea msurtorii i se obine prin integrarea expresiei:

adt

sd 22

Operaia de alegere a unitilor de msur a condus la rezultatul c exist un

oarecare numr de mrimi, numite mrimi fundamentale, pentru care alegerea unitilor se face prin convenie, pentru celelalte numite mrimi derivate, alegerea unitilor fcndu- se prin intermediul relaiilor de definiie. n aceast ultim operaie apare, uneori, un oarecare arbitrar, i anume coeficientul parazit.

Ansamblul alctuit din unitile mrimilor fundamentale i unitile mrimilor derivate din acestea constituie un sistem coerent de uniti. Se folosesc mai multe asemenea sisteme, care se deosebesc unul de altul fie prin natura mrimilor fundamentale, fie prin unitile alese pentru astfel de mrimi, de exemplu:

-n tehnic se folosete sistemul MKfS, n care mrimile fundamentale sunt urmtoarele: lungimea cu metrul, fora cu kilogramul-for i timpul cu secunda;

-cu ajutorul mrimilor fundamentale: lungime, mas i timp au fost definite sistemele: -CGS- centimetru, gram, secund

-MKS- metru, kilogram, secund Ambele sisteme au fost stabilite iniial pentru a cuprinde, pe lng mrimi geometrice, n special mrimile mecanice.

n domeniul tiinelor exacte, pe scar larg este adoptat sistemul internaional

de uniti (SI) bazat pe urmtoarele mrimi fundamentale: Mrime fundamental Unitate de msur Simbol Lungime metru m Mas kilogram kg Timp secund s Intensitatea curentului electric amper A Temperatur kelvin K Intensitate luminoas candel cd

Metrul a fost etalonat prin comparaie cu lungimea de und, n vid, a radiaiei

emise de atomul izotopului cu numrul de mas 86 al kriptonului, n tranziia ntre nivelele 2p10 i 5d5 i este egal cu 1650763,73 lungimi de und ale acestei radiaii.

Kilogramul este definit ca masa prototipului, confecionat din platin, pstrat la Biroul Internaional de Msuri i Greuti de la Sevres.

Secunda este durata a 919263131770 perioade ale radiaiei corespunztoare tranziiei ntre cele dou nivele hiperfine ale strii fundamentale a atomului izotopului cu numrul de mas 133 al cesiului.

Amperul este intensitatea unui curent electric constant care, meninut n dou conductoare paralele, rectilinii, cu lungime infinit i cu seciune circular neglijabil, aezate n vid la o distan de 1metru unul de altul, produce ntre aceste conductoare o for egal cu 2 10-7 N/m liniar.

Kelvinul, unitatea de temperatur termodinamic absolut, este fraciunea 1/273,16 din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei. La a 13-a Conferin general de msuri i greuti s-a hotrt c unitatea kelvin (K) s se foloseasc i pentru a se exprima temperatura unui interval sau o diferen de temperatur. n afara temperaturii termodinamice absolute (T) exprimat n Kelvin se folosete i temperatura exprimat n scara Celsius cu simbolul t definit prin relaia:

t = T-T0 unde T0 = 273,15 K Un interval sau o diferen de temperatur pot fi exprimate att n grade Celsius

ct i n grade Kelvin. Unitatea cantitii de substan i anume molul, a fost adoptat la cea de-a 14-a

Conferin Internaional de Msuri i Greuti din anul 1971. 1. Molul este cantitatea de substan a unui sistem care conine attea

entiti elementare ci atomi exist n 0,012 kg de carbon, izotopul 12. Masa de 0,012 kg de 12C conine un numr de atomi egal cu numrul lui Avogadro (NA = 6,022 1023 mol-1).

2. De cte ori se ntrebuineaz molul, entitile elementare trebuie specificate, ele putnd fi atomi, molecule, ioni, alte particule sau grupuri specificate de asemenea particule.

Candela este intensitatea luminoas, ntr-o direcie dat a unei surse care emite o radiaie monocromatic cu frecvena de 5401012 hertzi i a crei intensitate energetic, n aceast direcie, este 1/683 dintr-un watt pe steradian.

CAP.II. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

II.1. Introducere. Mecanica este o parte a fizicii care studiaz schimbarea poziiei corpurilor i

condiiile n care un corp rmne n repaus. Partea Mecanicii care studiaz modul n care corpurile i schimb poziia fa de un reper, fr s se in seama de interaciunile (forele) care intervin ntre corpuri, se numete Cinematic. Partea care studiaz schimbrile de poziie ale corpurilor ca urmare a aciunii forelor se numete Dinamic. Partea din Mecanic care se ocup cu studiul condiiilor n care corpurile rmn n repaus se numete Static. n sens mai larg, se consider c Mecanica are n studiu i deformrile corpurilor sub aciunea forelor.

n studiul micrilor mecanice, viteza este mrimea cea mai important, care face legtura spaio-temporal ntre elementele fundamentale ale micrii: spaiul i timpul (distanele i duratele).

n Mecanica clasic se studiaz deplasrile corpurilor cu o vitez mic (neglijabil) n raport cu o vitez limit, care este viteza luminii n vid. Depla-srile care se efectueaz cu viteze apropiate de viteza luminii sunt studiate de Mecanica Relativist.

n general, ca n toate capitolele Fizicii i n cadrul Mecanicii putem distinge o Mecanic experimental care se ocup cu studiul experimental al fenomenelor mecanice i o Mecanic teoretic care urmrete cuprinderea i explicarea acestora n cadrul unor teorii abstracte generale.

Studiul evoluiei unui ansamblu mare de puncte materiale, fr s fie posibil urmrirea fiecrui punct n parte, se face n Mecanica Statistic, bazat pe rezultatele Matematicii Statistice.

Pe lng Mecanica Clasic i Mecanica Relativist, ale crei legi sunt valabile pentru dimensiuni i durate relativ mari, exist Mecanica (respectiv Fizica) Cuantic, care studiaz procesele ce se petrec n microcosm: procese ale cror legi sunt valabile pentru dimensiuni i durate orict de mici, avnd deci ca obiect de studiu particule de dimensiuni moleculare, atomice i subatomice.

II.2. Cinematica punctului material n cele ce urmeaz se vor evidenia principalele probleme privind cinematica

punctului material. Prin punct material se nelege un punct geometric care posed mas i poate interaciona cu mediul nconjurtor. Dar n studiile de cinematic nu intereseaz masa i interaciunile.

Micarea, avnd loc n general n spaiul tridimensional, se raporteaz la un anumit punct considerat fix, numit referenial, care mpreun cu axele de coor-donate formeaz un sistem de referin. Fa de reperul ales, poziia punctului material este determinat printr-un vector r , cu originea n originea sistemului de referin i extremitatea n punctul material, numit vector de poziie.

Schimbarea poziiei punctului material fa de reperul ales, definit ca micare mecanic, este determinat atunci cnd se cunosc n fiecare moment coordonatele acestui punct. Aceasta nseamn c vectorul de poziie este o funcie vectorial uniform, derivabil (cel puin de dou ori), dependent de timp:

)(trr

Aceast relaie reprezint legea de micare a punctului material. Proiectat pe axele unui sistem ortogonal care mai poate fi scris sub forma a trei funcii scalare de timp, numite ecuaiile scalare ale micrii:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Dac se elimin timpul din aceste relaii se obine traiectoria punctului material sau locul geometric al punctelor succesive prin care a trecut mobilul.

Cnd micarea punctului material este raportat la un punct de pe tra-iectorie, ecuaia micrii se poate scrie sub forma:

s = s(t) - relaie care reprezint legea micrii. n figura alturat este reprezentat lungimea poriunii de traiectorie par-

curs de mobil n timpul t. Pentru a putea stabili ecuaia de micare a punctului material se definete viteza punctului material ca fiind:

0lim tv

rdtrd

tr

Fig.II.1.

Modulul vectorului vitez va fi dat de relaia: dtdsvv

unde ds este elementul de lungime pe traiectoria micrii (fig.II.l.). n cazul n care viteza este constant, prin integrarea relaiei:

ds = v dt, se obine ecuaia micrii pentru micarea uniform:

s=so+vt.

n cazul n care viteza mobilului nu rmne constant ca mrime i direcie (vectorul vitez nu este constant). n studiul micrii se introduce o nou mrime numit acceleraie, definit prin relaia:

.lim0

vdtvd

tva

t

v reprezint derivata vitezei n raport cu timpul. Vectorul vitez fiind tangent la traiectorie n fiecare punct, poate fi scris

sub forma:

vv unde reprezint versorul tangentei iar v modulul vitezei. innd cont de definiia acceleraiei, prin derivare obinem:

. vva

Fiindc Rn

dsd

Putem scrie c .nRv

dtds

dsd

dtd

.2

nRvvn

Rvvva

n relaia de mai sus v reprezint componenta tangenial a acceleraiei (acceleraia tangenial) care se datorete variaiei mrimii vitezei, iar

Rv2 reprezint componenta normal a acceleraiei (acceleraia normal) i se datorete variaiei direciei vitezei.

Cunoaterea acceleraiei permite obinerea, prin dou integrri sucesive a ecuaiei de micare s = s(t).

In cazul cnd poziia punctului material n micare este dat prin coor-donatele sale carteziene ca funcii de timp, vectorul de poziie )(tr are expresia:

kzjyixr

unde kji

,, : sunt versorii corespunztori axelor 0x, 0y i 0z. Viteza este: .kzjyixrv

iar acceleraia

kzjyixrva

Valoarea absolut a vitezei n coordonate carteziene respectiv n coordonate polare n plan este:

,02222222 rryxvvvv yx

iar valoarea absolut a acceleraiei ,0020 2222222 rrrryxaaaa yx

Compunerea vitezelor i acceleraiilor se face prin nsumarea vectorial a componentelor lor.

II.3. Principiile dinamicii Legile fundamentale sau principiile, care stau la baza studiului micrii corpului

ca rezultat al interaciunilor cu mediul exterior, au primit o formulare tiinific n celebra lucrare a lui Newton "Principiile matematice ale filozofiei naturale. Aceste principii sunt:

a) Principiul ineriei: un punct material asupra cruia nu acioneaz nici o for, rmne n repaus sau se deplaseaz rectiliniu i uniform. In lucrrile lui Newton, n loc de punct material se vorbea de un corp material, dar acesta desigur nu poate fi considerat dect ca un punct material, deoarece solidul rigid poate avea i o micare de rotaie. De asemenea se precizeaz c o micare uniform este o micare cu vitez constant.

Dac se introduce noiunea de impuls (numit uneori, cantitate de micare), definit ca produsul dintre masa m a corpului (presupus constant) i viteza v a acestuia, adic:

vmp atunci principiul ineriei poate fi formulat astfel: n lipsa aciunii oricrei fore impulsul rmne constant. Principiul ineriei poate fi interpretat ca fiind legea conservrii impulsului mecanic.

Dup cum se demonstreaz n teoria relativitii, masa unui corp n mi-care depinde de viteza cu care se deplaseaz corpul i este dat da relaia:

2

20

1cv

mm

unde m0 este masa de repaus, iar c viteza luminii n vid. Aadar legea ineriei, n toate cazurile, se va scrie:

.,1

2

20 cst

cvvmp

n absena oricrei fore. b) Principiul forei: fora creia i se datorete micarea unui corp este

egal cu derivata impulsului acestuia n raport cu timpul: .p

dtpdF

In cazul general prin F

se nelege rezultanta tuturor forelor care

acioneaz asupra corpului n micare. n condiiile n care viteza mobilului este neglijabil fa de viteza luminii

n vid, masa acestuia poate fi considerat constant i deci relaia care exprim principiul forei (numit i legea variaiei impulsului) poate lua forma:

.amdtvdmvm

dtd

dtpdF

Dac poziia mobilului este dat n fiecare moment prin raza vectoare relativ la un reper fix, relaiile de mai sus sunt echivalente cu:

Frmdt

rdm

2

2

Dac micarea este raportat la un sistem de axe carteziene ultima relaie este echivalent cu:

xFdtxdm 2

2

yFdtydm 2

2

zFdtzdm 2

2

unde Fx, Fy i Fz sunt componentele forei pe direciile celor trei axe de coordo-nate. Aceste relaii reprezint ecuaiile dinamice ale micrii punctului material.

Legea vectorial de micare )(trr i legea natural de micare s=s(t) se obin prin integrarea ecuaiilor dinamice ale micrii punctului material. Con-stantele ce apar la integrarea acestor ecuaii difereniale se determin din condi-iile iniiale, poziia iniial i viteza iniial,

c) Principiul egalitii aciunilor reciproce: n urma fiecrei aciuni apare ca rspuns o for egal i de sens contrar numit reaciune. Reaciunea este totdeauna contrar ca i sens dar egal n modul cu aciunea. Conform acestei legi forele apar totdeauna numai perechi. Existena concomitent a aciunii i a reaciunii este confirmat de practic prin faptul c ntr-o serie de interaciuni dintre dou corpuri este vizibil efectul reaciunii nu cel al aciunii.

d) Principiul independenei aciunii forelor: La cele trei principii ale lui Newton, n studiul micrilor, se mai adaug principiul independenei aciunii forelor sau legea superpoziiei forelor. Conform acestei legi fiecare dintre forele la care este supus un punct material, acioneaz independent de existena celorlalte fore aplicate punctului. Aceasta nseamn c forele aplicate asupra punctului material i suprapun aciunile. Micarea este aceeai ca i cnd asupra punctului material ar aciona o singur for rezultant, obinut prin nsumarea vectorial a tuturor forelor aplicate punctului.

Principiile lui Newton sunt legi generale cu caracter axiomatic, care nu se pot demonstra. Ele reprezint generalizarea i abstractizarea experienei i cunoaterii umane referitoare la micare ca rezultat al interaciunilor dintre cor-puri. Aceste legi n-au putut fi infirmate prin nici o experien.

Referitor la principiile dinamicii mai trebuie artat c acestea sunt satisfcute numai n condiiile unor sisteme de referin ineriale (care sunt n repaus sau n micare rectilinie i uniform fa de sistemul n care corpul studiat se afl n repaus, numit sistem propriu).

Conform principiilor lui Newton un eveniment se petrece simultan n toate sistemele ineriale; de asemenea distana spaial are aceeai valoare n toate sistemele ineriale n care este msurat.

II.4. Lucru mecanic. Energia mecanic. Se tie c n toate activitile fizice apar dou elemente comune i anume

aciunea unei fore i deplasarea. Ca msur a activitilor practice s-a introdus noiunea de lucru mecanic.

Prin definiie, lucrul mecanic elementar efectuat de ctre o for constant F

cnd punctul su de aplicaie parcurge arcul de traiectorie sd este mrimea fizic dat de produsul scalar:

cos.. dsFsdFdL

fig.II.2.

Din figura II.2 se poate vedea c, dac micarea este raportat la referenialul O i este dat prin evoluia n timp a vectorului de poziie r (t),lucrul mecanic poate fi scris i sub forma:

rdFdL .

rd fiind diferena vectorilor de poziie r i drr ai punctelor P respectiv P', prin care a trecut mobilul la momentele t respectiv t+dt.

innd cont de legea a II-a a lui Newton lucrul mecanic elementar se poate scrie:

dtrrmrdrmrdFdL .

cci .dtrrd Se observ c ultimul termen este o diferenial total exact i deci:

).21()

21( 2

2 mvdrmddL

Mrimea din parantez, notat prin Ec (sau T)

2

21 mvET c

Este energia cinetic a mobilului ctigat sub aciunea forei F . Aadar avem:

,. cdErdFdL

Relaie care exprim faptul c lucrul elementar al forei care acioneaz asupra unui mobil este egal cu difereniala energiei cinetice a acestuia. Sub form finit ecuaia de mai sus se scrie:

21

.12

LrdFEE cc

i exprim faptul c variaia energiei cinetice n deplasarea mobilului de la punc-tul l la punctul 2 este egal cu lucrul mecanic efectuat de fora care cauzeaz aceast deplasare.

Se observ c derivata energiei cinetice n raport cu viteza d valoarea impulsului:

pmvmvdvd

dvdEc )

21( 2

n cazul n care avem de-a face cu micarea unui punct material ntr-un cmp de fore care deriv dintr-un potenial adic pentru care avem:

,)( Ukz

jy

ix

UgradUF

Expresia lucrului mecanic elementar devine:

),(. dzzudy

yudx

xurdFdL

Deci:

dL=dU.

n acest caz lucrul mecanic efectuat de fora F care i deplaseaz punctul de aplicaie din P1 ntr-un punct P2 este:

122

1pp UUdLL

Dac U este o funcie univoc, valoarea lucrului mecanic efectuat pentru a ajunge din P1 n P2 nu depinde de drumul urmat ntre cele dou puncte, iar valoarea integralei n lungul unul circuit nchis este nul:

0dUL Cnd funcia U este independent de timp i este o funcie univoc de

coordonate, ea reprezint o funcie de punct Ep, numit energie potenial a mobilului. Un cmp de fort caracterizat printr-o astfel de funcie se numete cmp conservativ sau cmp potenial.

n cazul unei deplasri elementare ntr-un cmp conservativ pe baza celor artate mai sus avem: dEc=dL=-dEp sau dEc+dEp=d(Ec+Ep)=0

de unde prin integrare rezult: Ec+Ep=E=const Aadar energia cinetic i cea potenial a unui mobil aflat ntr-un cmp

potenial se transform una ntr-alta astfel nct suma lor la un moment dat rmne constant dac asupra mobilului nu acioneaz alte fore exterioare cmpului.

ntr-un cmp de fore conservativ se definesc suprafeele locului geometric pentru care U=const. Acestea sunt numite suprafee echipoteniale ale cmpului. Din definiia lor rezult c prin fiecare punct al cmpului trece o singur suprafa echipotenial i c la deplasarea unui punct material pe o asemenea suprafa nu se efectueaz lucru mecanic. ntr-un cmp de fore pot fi trasate, prin fiecare punct, curbe tangente la vectorul for. Acestea trec prin punctele de aplicaie ale forelor i se numesc linii de for sau linii de cmp. Rezult c liniile de cmp sunt ortogonale la suprafeele echipoteniale. Aceste proprieti sunt cuprinse n relaia

gradUF . ntr-adevr, la orice deplasri ale mobilului pe aceeai suprafa echipotenial lucrul mecanic fiind nul, trebuie ca cei doi vectori, for i deplasare, s fie perpendiculari. Din legea conservrii energiei mecanice, innd cont c energia cinetic este o mrime pozitiv sau nul, rezult c energia potenial este EEp .

E fiind energia total. Aceast condiie delimiteaz acele regiuni din spaiu n care este posibil micarea punctului material. De exemplu dac energia potenial variaz ca n figura II.3 rezult c n punctele A, B, C, energia cinetic este nul deoarece v=0 iar xA,xB,x sunt puncte de ntoarcere.

pE

fig.II.3.

Condiia EEp este satisfcut numai n regiunea AB, singura deci n care micarea este posibil. Aceast regiune constituie o groap de potenial i este mrginit de domenii n care micarea nu este posibil, numite bariere de potenial. Trecerea unui mobil printr-o asemenea barier nu este posibil din punct de vedere al mecanicii clasice fr modificarea energiei totale.

Un cmp de fore care nu deriv dintr-un potenial U se numete turbionar. Condiia ca un cmp s nu fie turbionar se deduce din definiia cmpului potenial gradUF , adic:

.

,

,

zUF

yUF

xUF

z

y

x

Derivatele pariale:

yxU

xF

sixy

Uy

F yx

22

vor fi egale deoarece ordinea de derivare poate fi intervertit.

Deci: 0

x

Fy

F yx

i n mod analog: xF

zF zx

=0 i 0

y

Fz

F xy

Diferenele derivatelor pariale din membrul nti al acestor relaii sunt componentele unui vector numit rotaionalul lui F . Deci condiia ca un cmp s fie potenial mai poate fi scris, ca:

0 FxFrot Faptul c rotorul cmpului potenial este nul nseamn c liniile de for ale unui astfel de cmp sunt curbe deschise.

II.5. Momentul cinetic Dac o for acioneaz asupra unui corp care are un punct fix i produce

acestuia o rotaie pn cnd direcia forei trece prin punctul fix. Ca msur a efectului de rotaie se definete momentul forei n raport cu punctul fix.

Dac F este fora care acioneaz asupra mobilului n punctul P (fig.II.4) momentul forei n raport cu punctul 0 este mrimea: FxrM

fig.II.4.

Pentru un punct material n micare fa de un punct fix, considerat reper, se definete un moment al impulsului, numit moment cinetic

.vxmrpxrj

Momentul cinetic j

este un vector perpendicular pe planul determinat de vr , , avnd originea n punctul fix.

Se demonstreaz c viteza de variaie a momentului cinetic este egal cu momentul forei care determin micarea mobilului. ntr-adevr

pxrpxrpxrdtdj

Avnd n vedere c vectorii vmpsivr au aceeai direcie, produsul lor vectorial este nul, iar din ultima relaie rmne.

MFxrpxrj

Dup cum se vede din ultima relaie, atunci cnd asupra mobilului nu acioneaz nici o for sau acioneaz o for central (al crei moment fa de centrul de rotaie este nul) momentul cinetic rmne constant. Intr-adevr, deoarece 0j

constjdj Adic, n aceste condiii momentul cinetic se conserv. Cazuri particulare:

Micarea unui punct material ntr-un anumit cmp de for depinde de structura acestui cmp i se studiaz fie cu ajutorul legilor lui Newton, fie folosind principiul conservrii energiei. Dintre cazurile particulare ale micrii punctului material n diferite cmpuri aici prezentm urmatoarele:

a) Micarea ntr-un cmp uniform. n acest caz n orice punct al cmpului forele au aceai valoare, direcie i sens. Cmpul gravitaional ntr-o regiune nu prea mare, cmpul forelor arhimedice ntr-un vas coninnd un lichid omogen, cmpul forelor electrostatice dintre armturile unui condensator plan pot fi considerate astfel de cmpuri. n cmpurile uniforme suprafeele

echipoteniale sunt plane, iar liniile de for sunt drepte paralele. Considernd ca exemplu cazul cmpului gravitaional dac alegem ca ax 0z

direcia greutii (Fx =Fy =0, Fz=G=mg), funcia de for (energia potenial) va satisface relaia:

,dzdUFG z

de unde GdzdU

iar CGzGdzU Cnd z=0 i C=0 avem : U=-mgz

Deci energia potenial a unui corp crete proporional cu nlimea (cota) fa de nivelul considerat zero.

Ecuaia dinamic a micrii ntr-un cmp n care fora F este constant va fi:

Fdtvdmrm

sau ,dtmFvd

de unde prin integrare

0vtmF

dtrdv

iar printr-o nou integrare se obine: 00221 rtvt

mFr

Relaiile de mai sus reprezint ecuaia vitezei i spaiului n micarea uniform accelerat.

Un caz interesant l constituie aruncrile n cmp constant. Pentru simplificarea studiului se alege sistemul de referin astfel c la momentul t0= 0

0or , iar viteza 0v de aruncare imprimat punctului material i fora F

s fie coplanare. Dac se alege Oy F (fig.II.5) ecuaiile scalare ale micrii sunt

cos0tvx , sin

21

02 tvt

mFy

fig.II.5.

Eliminnd timpul se obine ecuaia traiectoriei n coordonate carteziene, de forma unei parabole

xtgxvgy 222

0 cos2

unde am notat F/m = g.

Fcnd pe y = 0 se obine distana maxim pe orizontal (btaia) la care ajunge corpul aruncat

2sincos220

220

gvtg

gvxm

Se poate observa c pentru corpuri aruncate cu aceeai vitez v0, xm este maxim cnd unghiul , pe care-l face direcia vitezei de aruncare cu orizontala, satisface condiia: sin 2 = 1, adic = 45.

nlimea maxim (sgeata traiectoriei) la care se urc corpul se obine pentru o abscis egal cu jumtatea btii, adic pentru

2sincos220

220

gvtg

gvxm .

Ordonata devine

gtgv

gtgv

vgy

22202

2440

20

maxcoscos

2 ,

iar dup restrngere se obine:

.sin2

220

max gvy

Formulele rezultate sunt valabile n cazul aruncrii n vid. n caz real, la aruncarea n aer, datorit rezistenei pe care o ntmpin mobilul, traiectoria devine o curb balistic avnd forma unei parabole cu ramura cobortoare mai puin ntins.

In cazul micrii ntr-un cmp de fore uniform dintr-un mediu fluid experiena arat c rezistena opus de mediu este funcie de viteza mobilului. Exist dou cazuri particulare:

1 Rezistena este proporional cu viteza. Considerm ca exemplu cderea unei bile ntr-un mediu vscos n care rezistena vr6R este dat de legea lui Stokes. Ecuaia dinamic a unei astfel de cderi este:

.1vkmgdtdvm

Integrnd, pentru condiiile iniiale t= 0 i v = 0, se obine expresia vitezei :

tmke

kmgv 1

1

1

de unde se vede c dup un timp lung viteza tinde ctre o valoare limit

,1

max kmgv

atins atunci cnd fora de rezisten k1v, este egal i de sens contrar cu mg (echilibru dinamic)

2. Rezistena este proporional cu viteza la ptrat (R=k2v2). Asemenea rezistene se ntlnesc la micarea cu viteze mari a unui corp n aer. Ecuaia dinamic a unei asemenea micri va fi:

22vkFdt

dvm

unde F este fora constant de traciune. Integrnd avem

.2

11

22

22 ctkvkF

vkFl

F

Dac la momentul t = 0, v = 0, rezult C = 0 i expresia vitezei este

,2222

22

2

tFkthkF

tFketFketFketFke

kFv

care arat c viteza tinde i n acest caz ctre o valoare limit

2max k

Fv

Cnd t . Distana la care se atinge vmax este finit, fiind vorba i aici de un echilibru dinamic.

b) Micarea ntr-un cmp de fore elastice. Forele elastice apar ca rezultat al schimbrii poziiei de echilibru al particulelor ce formeaz un corp solid. Mrimea forelor elastice este proporional cu deplasarea r a punctelor fa de poziia lor de echilibru.

Se cunoate faptul c fora care apare la deformarea elastic a unui corp este dat de legea lul Hooke:

rkF k fiind constanta elastic a materialului.

Micarea punctului material sub aciunea unei fore elastice efectundu-se

n lungul unei axe, s zicem Ox, ecuaia dinamic a micrii este: kxxm

Integrnd aceast ecuaie diferenial obinem: x=Asin((t+)

unde A i sunt dou constante de integrare a cror valoare depinde de condiiile iniiale. Dup cum se vede, ecuaia cinematic a micrii este o oscilaie, x fiind elongaia, iar

mk pulsaia micrii.Mrimea unghiular t+ este faza

oscilaiei la momentul t, este faza iniial, iar A amplitudinea (elongaia maxim). Viteza punctului material n micarea oscilatorie este:

)(cos* tAxv iar acceleraia:

.)sin( 22 xtAxa Forele elastice fiind de forma:

F=-kx=-m2x, se observ uor c ele deriv dintr-un potenial

dxdUkxF

de unde

x x

xkkxdxFdxU0 0

2

2

Deci energia potenial ntr-un corp elastic deformat este:

2

2xkUEp

n cazul unei oscilaii elastice libere energia total este egal cu energia cinetic maxim (corespunztoare momentului trecerii oscilatorului prin poziia de echilibru):

222max

21

2max AmmvEcE

Aceast valoare coincide cu maximul energiei poteniale:

222max 2

12

AmAkU

Dac punctul material pus n micare se af sub aciunea a dou fore de aceeai constant elastic traiectoria nu va mai fi,n general, o dreapt. In cazul a dou

fore elastice perpendiculare ixmFx 2 i ,2 jymFy

vom avea micrile oscilatorii:

x=Asin(t+1) i y=Bsin(t+2) Micarea rezultant a punctului material poate fi considerat ca o micare compus din cele dou oscilaii. Eliminnd timpul din ecuaiile oscilaillor componente se obine traiectorie punctului

222

2

2

sincos2ABxy

By

Ax

unde 21 reprezint defazajul ntre fazele oscilaiilor componente. Dup cum se poate observa, micarea rezultat din compunerea a

dou micri oscilatorii armonice de aceeai pulsaie are ca traiectorie n general o elips. n funcie de valoarea lui aceasta poate degenera ntr-o dreapt ( = 0 sau = ) sau ntr-un cerc ( =

2 sau A=B).

n cazul compunerii a dou oscilaii armonice paralele de frecvene diferite tvax 111 2sin i tvax 222 2sin

Amplitudinea micrii rezultante va fi variabil n timp:

.)(2cos2 212122

21

2 tvvaaaaA Pentru 2 ktvv 2)( 21 amplitudinea are valoarea maxim A 21 aa , iar pentru 2 )12()( 21 ktvv amplitudinea este minim, A .21 aa Notnd cu timpul dintre dou maxime consecutive oarecare avem:

tvv )(2 21 i )1(2))((2 21 ktvv Scznd obinem:

.1

21 vv

n mod analog se obine acelai timp ntre dou minime consecutive. Aceast apariie a maximelor i minimelor prin compunerea a dou vibraii constituie fenomenul de btaie. Frecvena btilor este:

v12= v1-v2. chiar diferena frecvenelor vibraiilor componente. Fenomenul de btaie este foarte uor de realizat i observat n cazul vibraiilor sonore a dou diapazoane identice, care vibreaz simultan, dac unuia i se ataeaz o agraf de un bra (schimbnd puin prin aceasta frecvena proprie de vibraie).

II.6. Gravitaia Kepler, studiind micarea planetelor pe baza datelor furnizate de

observaiile astronomice, a stabilit c micarea lor n sistemul helicentric este guvernat de urmtoarele trei legi generale:

1. Planetele descriu traiectorii eliptice, Soarele aflndu-se n unul din focare.

2. Suprafeele mturate de razele vectoare sunt proporionale cu timpul (viteza areolar este constant).

3. Ptratul perioadelor de revoluie este proporional cu cubul axelor mari ale elipselor descrise 3

2

12

2

1 )()(aa

TT

Newton, cutnd motivaia legilor lui Kepler, a descoperit legea atraciei universale. El a considerat c forele de interaciune dintre atri sunt de aceeai natur cu fora care atrage corpurile spre centrul Pmntului. Deducnd i verificnd legea de interaciune dintre doi atri, Newton a extins aceast lege asupra tuturor corpurilor din univers. Aceast lege are urmtorul enun: dou corpuri (atri) se atrag cu o for direct proporional cu produsul maselor lor i invers proporional cu ptratul distanei dintre centrele lor. Adic:

221

rmmkF

unde factorul de proporionalitate k este constanta gravitaiei universale. Forele gravitaionale sunt fore centrale care se manifest n jurul fiecrui corp, formnd cmpuri gravitaionale. Natura gravitaiei nu este elucidat. Einstein a presupus existena undelor gravitaionale care s-ar propaga cu viteza luminii, dar ncercrile de detectare ale acestora au euat.

Cmpurile gravitaionale sunt cmpuri poteniale. Pentru cmpul unui astru (corp) de mas M se poate scrie:

kdrFdU . ,2 drrMm

iar r

MmkU unde r =r0+h este suma dintre raza r0 a astrului i altitudinea h a punctului

n care calculm potenialul. S urmrim n continuare deducerea legii atraciei universale. Pentru

aceasta pornim de la expresia acceleraiei n

rvva

2

Pentru simplificare s presupunem c micarea are loc pe o traiectorie

circular (elips cu axele egale). n aceste condiii legea ariilor impune 0v i deci a

rv2 fora centrifug a Planetei este:

222

322 4

rm

rm

TrrmF

unde 2324

Tr este o constant deoarece raportul 2

3

Tr are aceeai valoare pentru

orice planet, conform legii a treia a lui Kepler. Aceast for este egal cu fora cu care Soarele este atras de planet

2rMF

unde M mare este masa Soarelui i o constant. Din egalarea celor dou fore rezul: 22 r

Mrm deunde k

mM

deci km i km , care introduse n expresiile forelor dau

2rMmkF

Aceasta reprezint expresia forei de atracie dintre Soare i o planet ce se rotete n jurul su. Ea a fost extins la toate corpuri din Univers, cu condiia ca distana dintre centrele de mas ale celor dou corpuri s fie mult mai mare fa de dimensiunile lor. Constanta gravitaiei universale k reprezint fora cu care se atrag dou corpuri cu masa de l kg aflate la distan de l m. Dimensiunile lui k rezult din relaia:

21

2.mmrFk ; 2312

22

TLM

MLMLTk

Valoarea constantei gravitaionale universale este k = 6,67.10-11 Nm2/kg2, i a fost determinat experimental da ctre Cavendish. Dispozitivul folosit pentru aceasta a constat dintr-o balan de torsiune de construcia speciala (fig.II.6).

Din firul de torsiune T este suspendat orizontal o bara foarte uoar avnd la capete cte o mas m de plumb. Dou sfere mari de plumb, avnd fiecare masa M, sunt aezate n faa sferelor mici. Cuplul forelor de atracie dintre m i M va fi:

222. rMmdkdF

unde r este distana dintre centrele sferelor, iar d jumtatea barei.

Pentru a determina valoarea lui k se msoar valoarea cuplului prin momentul de

rsucire a firului de suspensie. Pentru aceasta cu goniometrul G se msoar unghiul cu care trebuie rsucit firul pentru a readuce bara n poziia iniial. Aceast poziie se repereaz cu ajutorul unui fascicul luminos, provenit de la un proiector P, reflectat de o oglind 0 solidar cu bara pe o rigla gradat R. Prin readucerea spotului n poziia iniial momentul forelor gravitaionale este compensat de momentul de torsiune al firului:

22 rMmdkD

Unde D este constanta de torsiune a firului, care se determin din expresia perioadei pendulului de torsiune, DJT /2 ,

- J fiind momentul de inerie al echipajului mobil. S-a obinut o precizie mare lucrnd n vid, cu un fir de torsiune din cuar.

Odat determinat constanta gravitaiei universale k, se poate determina masa Pmntului. ntr-adevr, fora de atracie dintre Pmnt i un corp oarecare de mas m poate fi scris astfel:

mgRMmk 2

de unde masa pmntului M este

kgk

gRM 2411232

10.610.67,6

)10.6400(8,9

Ca urmare, experiena lui Cavendish a fost numit pe bune dreptate,"Cntrirea Pmntului".

Considernd Pmntul ca o sfer omogen de raz R 6400 km, se obine densitatea medie a Pmntului :

333

24

3550

)10.6400(14,3.410.6.3

34 m

kg

R

M

cunoscnd c densitatea medie a scoarei este n jur de 2000 kg/m3 urmeaz c densitatea n interiorul Pmntului este mult mai mare.

Variaia greutii cu altitudinea i latitudinea. Legea a doua a lui Newton definete greutatea unui corp de mas m n cmpul gravitaional prin relaia G=mg, unde acceleraia gravitaional g reprezint intensitatea cmpului n punctul n care se afl corpul.

Variaia acceleraiei gravitaionale cu altitudinea rezult din identificarea interaciunii dintre pmnt i un corp oarecare dat pe de o parte de legea a II a dinamicii i pe de alta de legea gravitaiei universale.

2)( hRMmkmgh

unde gh este acceleraia gravitaional la altitudinea h; valoarea ei va fi:

),21

1()(

2

202

Rh

Rh

ghR

Mkgh

iar n cazul unor altitudini mici(h

artificial al acestuia. Considernd r=R+ h=6400km i g = 9,8 m/s2 se obine: ./79008,9.10.6400 301 smv

Dac satelitul este lansat la o altitudine h relativ mare, atunci viteza v1 va satisface relaia

2

21

)( hRMmk

hRmv

de unde

..011 hR

RvhR

RRMk

hRMkv

Din cazul unor satelii staionari, folosii n televiziune, care trebuie s fie situai mereu de asupra aceluiai punct de pe glob, perioada lor trebuind s fie de T=24 ore, viteza mai satisface i relaia:

).(21 hRTv Din aceste relaii rezult condiiile de vitez i altitudine pentru un asemenea satelit. Dac viteza tangenial de lansare a sateliilor este mai mare ca prima vitez cosmic, traiectoriile descrise de acetia vor fi eliptice. In cazul n care viteza de lansare depete o anumit limit v02, mobilul iese din sfera de atracie a Pmntului i intr n sfera de atracie a altor planete, a Lunii i mai ales n a Soarelui.

Pentru a calcula viteza v02 numit a doua vitez cosmic, considerm c energia cinetic imprimat la lansare este suficient pentru ca mobilul s se deplaseze la infinit fa de Pmnt. Aadar energia cinetic se va transforma integral n energie potenial, n cmpul gravitaional al Pmntului, cnd corpul lansat cu viteza v02 va fi suficient de departe de Pmnt. Adic

R RmMkRkmMdrrMmkmv )11(2 2202

de aici rezult :

skmv

RkMv 2,1129,722 0102

Viteza vo3 pe care trebuie s o aib un corp pentru ca pornind de pe Pmnt s se elibereze de atracia Soarelui (s prseasc sistemul solar) se numete a treia vitez cosmic. Calcule analoge celor de sus dau pentru aceast vitez valoarea

v03= 16,7 km/s. Ecuaia lui Mescerski pentru micarea rachetei este ecuaia vitezei unui

corp de mas variabil. Masa unei rachete ale crei motoare snt n funciune este o funcie de timp datorit pierderii de mas prin arderea rezervei de combustibil. Dac viteza de ejecie a gazelor care se formeaz prin arderea

combustibilului este w (n raport cu corpul rachetei), iar viteza rachetei este v , ecuaia diferenial (dinamic) a micrii este:

ePwmmdtd

dtvdm

)( 0 unde m0 este la masa de pornire. Intruct w

este constant

dtdmwP

dtvdm e

Unde m=m(t)este masa la momentul t iar P

e suma tuturor forelor exterioare. Mrimea

dtdmwR

reprezint fora de reacie ndreptat n sens contrar cu

w (ntruct dtdm

Cap. III. OSCILAII I UNDE

III.1. Caracteristici generale

Un punct material care aparine unui mediu ntre particulele cruia se exercit fore elastice execut o micare oscilatorie dac este scos din poziia de echilibru. Aceast micare este transmis din aproape n aproape i celorlalte particule ale mediului, datorit forelor de interaciune dintre ele. Procesul de propagare a unei oscilaii n mediul ambiant se numete und. Unda este un fenomen periodic, iar din punct de vedere energetic are aceleai caracteristici ca i oscilaia, energia undei putnd ramne constant sau nu, prin procese parial reversibile sau ireversibile. Intruct un punct care oscileaz posed o energie total (cinetic i potenial), conform relaiei:

2222

2

22

AmAmE Dac n cursul propagrii oscilaiilor ntr-un mediu energia lor mecanic se transform n cldur sau n alte forme de energie se spune c mediul este absorbant. Dac energia de oscilaie a sursei i pstreaz mrimea n timpul propagrii undelor, mediul se numete transparent pentru oscilaiile respective. Forma i mecanismul de propagare a unei micri oscilatorii se numete und. Unda este un fenomen variabil n timp care se propag din aproape n aproape. Locul geometric al punctelor celor mai ndeprtate de surs atinse la un moment dat de micarea oscilatorie se numete front de und. Dac se consider un centru oscilator (o surs) punctiform ntr-un mediu elastic tridimensional, infinit, omogen i izotrop, undele se vor propaga n toate direciile la fel, frontul de und fiind o sfer. Viteza n lungul razei, a frontului de und este viteza de propagare sau viteza de faz. Se numete lungime de und distana parcurs de oscilaie n timp de o perioad. Dac notm cu -lungimea de und, cu v -viteza de propagare cu T i perioada respectiv frecvena oscilaiei atunci avem:

vvT

Cel mai simplu caz particular al unei unde periodice este unda armonic plan care pune fiecare particul ntr-o micare armonic simpl. Ecuaia unei astfel de unde va fi dat de relaia:

tA sin La o distan x de surs, elongaia unui punct M va fi:

)(2sin)(sin)(sin ` x

TtA

vxtAttA

Tipuri de unde Tipul undelor depinde de starea de agregare a mediului prin care se propag. Deasemenea putem distinge mai multe tipuri de unde, considernd modul n care micrile particulelor de substan sunt corelate cu direcia de propagare a undelor. Dac micrile particulelor materiale care transmit unda sunt perpendiculare pe direcia de propagare a undei avem o und transversal. De exemplu, cnd o coard vertical sub tensiune este pus s oscileze nainte i napoi, de-a lungul corzii se va propaga o und transversal. Ecuaia care descrie propagarea oscilaiilor transversale se numete ecuaia coardei vibrante. Conform legii fundamentale a dinamicii ecuaia micrii elementului de coard va fi:

dxx

Ft

dm

22

2

Introducem masa unitii de lungime i exprimm din nou ecuia de mai sus astfel:

dxdm

xF

t

2

2

2

Considernd Fvt 2

Viteza undelor transversale este deci: // EFvt unde E este modulul de elasticitate transversal. Dac ns micarea particulelor care transport o und mecanic are loc nainte i napoi de-a lungul direciei de propagare, avem atunci o und longitudinal. De exemplu, dac un resort vertical sub tensiune este pus s oscileze n sus i n jos, de-a lungul resortului se va propaga o und longitudinal. Viteza undei longitudinale este:

// EFvl unde E modulul de elasticitate longitudinal Undele pot fi clasificate de asemenea n unde uni-, bi-, i tridimensionale, dup numrul de dimensiuni n care ele propag energia. Undele de suprafa (cum ar fi ondulaiile de pe ap), produse prin cderea unui obiect sunt unde bidimensionale. Undele sonore sau undele luminoase care sunt emise radial de la surs sunt tridimensionale. S considerm o perturbaie tridimensional. Putem duce o suprafa prin toate punctele care sufer o aceeai perturbaie la un moment dat. Apoi se pot trasa suprafee analoage pentru perturbaiile urmtoare. Pentru o und periodic putem generaliza ideea trasnd suprafeele ale cror puncte se afl n aceeai faz a micrii. Aceste suprafee se cheam fronturi de und. Dac mediul este omogen i izotrop, direcia de propagare este ntotdeauna perpendicular pe frontul de und. Fronturile de und pot avea mai multe forme. Dac perturbaiile se propag ntr-o singur direcie, undele se numesc unde plane. Un alt caz simplu este cel al undelor sferice. n acest caz perturbaia se propag n toate direciile de la o surs de unde punctiform. Fronturile de und sunt sfere, iar razele sunt linii radiale care pleac de la sursa punctiform n toate direciile.

Fronturile de und sferice au o curbur foarte mic i pe o regiune limitat ele pot fi adesea privite ca plane. Este un fapt experimental constatat c pentru multe tipuri de unde, dou sau mai multe unde se pot propaga prin acelai spatiu, indepent una de alta. Faptul c undele acioneaz independent una de alta nseamn c elongaia unei particule la un moment dat, este pur i simplu rezultanta elongaiilor pe care le-ar produce fiecare und individual. Acest proces de compunere vectorial a elongaiilor unei particule se cheam suprapunere (superpoziie). De exemplu undele radio de diferite frecvene care trec prin antena de radio. Analog, intr-un sunet putem asculta notele emise de instrumentele individuale dintr-o orchestr,desi unda sonora care ajunge la urechile noastre de la intreaga orchestra este foarte complex. Principiul lui Huygens: orice punct de pe o suprafa de und, avnd centrul de oscilaie n sursa S0 emite unde secundare de oscilaie, acesta putnd fi ales ca surs secundar de oscilaie i fiecare din aceste suprafee de unde secundare are o raz vt la momentul t , iar nfurtoarea tuturor undelor secundare formeaz o nou suprafa care constituie frontul de und la momentul t. Pentru undele din medii deformabile se ndeplinete principiul suprapunerii (superpoziiei) care este valabil ori de cte ori relaia matematic dintre deformaie i fora elastic este o simpl proporionalitate. O astfel de relaie este exprimat matematic printr-o ecuaie liniar. Pentru undele electromagnetice principiul suprapunerii este valabil din cauz c relaiile matematice dintre cmpul electric i cel magnetic sunt liniare. Importana principiului suprapunerii este aceea c, acolo unde este valabil, el face posibil analizarea micrii ondulatorii complexe ca o combinaie de unde simple. Dup cum a artat matematicianul francez J. Fourier (1768-1830) tot ceea ce este necesar pentru a construi cea mai general form a unei unde periodice sunt undele armonice. Fourier a artat c orice micare periodic a unei particule poate fi reprezentat ca o combinaie a micrilor armonice simple. De exemplu: dac y(t) reprezint micarea unei surse de unde cu perioada T, putem descompune pe y(t) dup cum urmeaz:

t2cosBtcosBt3sinAt2sinAtsinAA)t(Y 213210

Aceast expresie se cheam serie Fourier. Coeficienii A i B sunt constante care au valori bine definite pentru orice micare periodic particular y(t). Dac micarea nu este periodic, cum este o perturbaie, suma se nlocuiete cu o integral, aa numita integral Fourier. Prin urmare orice micare a unei surse de unde, poate fi reprezentat cu ajutorul micrii armonice simple. Deoarece micarea sursei genereaz undele, nu este o surpriz c undele nsi pot fi analizate ca fiind combinaii de unde armonice simple. n aceasta const importana micrii armonice simple i a undelor armonice simple.

III.2. Fenomene specifice undelor 1. Reflexia i refracia. O und de orice natur care ajunge la suprafaa de separaie a dou medii diferite sufer fenomenele de reflecie i refracie, adic parial trece dintr-un mediu n altul, iar parial se ntoarce n mediul n care a fost produs. Aceast concluzie generalizeaz numeroasele experimente efectuate cu toate categoriile de unde. Legile experimentale ale reflexiei i refraciei pot fi regsite teoretic impunnd anumite condiii de continuitate pe suprafaa de separaie. Vom

stabili n cele ce urmeaz legile acestui fenomen n cazul undelor scalare care se propag n medii izotrope, liniare, nedispersive, conservative i omogene. Fie mediile I i II caracterizate prin vitezele de faz v1 i v2 separate prin suprafaa plan . Din mediul I sosete spre suprafaa II unda incident a crei direcie de propagare dat de versorul in face cu normala la planul unghiul 1 numit unghi de inciden. Considerm unda incident, unda armonic plan de frecven i i amplitudine ai

)

vrn

t(i

ii1

ii

ea

unda refractat de amplitudine ar se propag dup direcia dat de versorul rn

i face cu normala la planul de separaie unghiul 2 numit unghi de reflexie.

)v

rnt(i

rr1

rri

ea

Unda refractat, numit i und transmis, de amplitudine at se propag n mediul II dup o direcie dat de versorul tn

i face unghiul 3 numit unghi de refracie cu

direcia normal la planul

)v

rnt(i

tt2

it

ea

Vom impune funciei de und condiia de a fi continu pe suprafaa de separaie dintre cele dou medii. O astfel de condiie rezult din considerente fizice: dac este presiunea undei elastice ea trebuie s aib aceeai valoare pe ambele fee ale suprafeei. tri adic

2

tt

1

rr

1

ii

rnti

t

rnti

r

rnti

i eaeaea

Condiia trebuie satisfcut identic pentru orice valori ale mrimilor independente ntre ele t i r . Ceea ce nseamn c pe planul cele trei unde au aceeai faz.

2

tt

1

rr

1

ii

rntrnt

rnt

relaie care este satisfcut pentru orice valoare a lui t i r deci:

1

r

2

t

1

i

trirnrnrn

relaiile de mai sus exprim legile reflexiei, refraciei dup cum urmeaz: 1. Frecvena unei unde este invariant n raport cu procesele de reflexie refracie. Scriem cu ajutorul cosinusurilor directori produsele scalare considerate la suprafaa de separaie (z = 0), astfel:

111ii coszcosycosxrn 222rr coszcosycosxrn 333tt coszcosycosxrn

Fig.IV.2. Punem condiia ca unda incident s fie cuprins n planul XOZ (cos1=0)

1ii cosxrn

22rr cosycosxrn

33tt cosycosxrn Scriem condiiile impuse anterior

2

33

1

22

1

1 cosycosxcosycosxcosx

se obine:

2

3

1

2

1

1 coscoscos

0coscoscos

2

3

1

2

1

1

aceast ultim relaie permite definirea urmtoarei legi:

2. Direciile de propagare ale undelor incidente, reflectat i transmis i direcia normalei la suprafaa de separaie sunt coplanare. De asemenea se obin urmtoarele relaii:

2121 adic 3. Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de inciden i

Nsinsincoscos

2

1

3

1

2

3

1

1

4. Raportul dintre sinusul unghiului de inciden i sinusul unghiului de refracie este egal cu raportul vitezelor de propagare ale undelor n cele dou medii i se numete indicele relativ al mediilor. Pentru a calcula amplitudinea undei reflectate i undei transmise vom scrie condiia de continuitate i din egalitatea fazelor se obine urmtoarea relaie ntre amplitudinile celor trei unde:

tri aaa Pornim de la faptul c unei mrimi scalare , i se poate asocia o mrime vectorial

r

unde este o constant de material

Dac este o funcie de und atunci i este o funcie de und pentru care se poate impune condiia de continuitate pentru componenta normal la suprafaa de separaie ntnrni nnn

k

rmti

i

iii

1

i

ein

a

dup efectuarea calculelor se obine:

ntt2

2trrni1

1

1 nnannanna

dar: 1ni cosnn

1nr cosnn 2nt cosnn

t1

2

2

1

2

1ti acos

cosaa

notm cu z o nou constant de material pe care o vom numi impedana

mediului

tri

t1

2

2

1

2

1ri

aaa

acoscosaa

rezolvnd sistemul de mai sus rezult

i2211

2211r acoszcosz

coszcosza

i2211

11t acoszcosz

cosz2a

Observaie: n cazul particular al incidenei normale 1 = 2 = 0 formulele devin:

i21

21r azz

zza

i21

1r azz

z2a dac ir21 aazz i dac, ir21 aazz are loc schimbarea semnului de echivalen cu modific area fazei cu deoarece

1e i . Modificarea fazei modific diferena de drum 2

k

2. Interferena undelor. Interferena se refer la efectele fizice ale suprapunerii a dou sau mai multe unde. S considerm dou unde de frecvene i amplitudini egale care se propag cu aceeai vitez pe aceeai direcie (+OX) dar cu o diferen de faz ntre ele. Ecuaiile celor dou unde vor fi:

tkxsinYY m1 i tkxsinYY m2

Putem retranscrie prima ecuaie sub dou forme echivalente:

tk

xksinYY m1 sau

txksinYY m1

Ecuaiile ne sugereaz faptul c dac lum un instantaneu al celor dou unde la un moment t, le vom gsi deplasate una fa de alta de-a lungul axei OX cu o distan constant

k . Ecuaiile ne sugereaz faptul c dac ne-am aeza n orice punct x , cele

dou unde vor da natere la dou micri armonice simple avnd o diferen de timp constant

. Aceasta ne d o privire asupra semnificaiei diferenei de faz . S gsim acum unda rezultant care n ipoteza c se produce suprapunerea este egal cu suma ecuaiilor sau tkxsintkxsinYyyy m21

Din formula trigonometric pentru suma sinusurilor a dou unghiuri

2

BCcos2

CBsin2CsinBsin obinem

2

cos2

tkxsin2YY m

2

tkxsin2

cosY2Y m

Unda rezultant corespunde unei noi unde avnd aceeasi frecven dar cu amplitudinea

2cosY2Y m

A Dac este foarte mic (n comparaie cu 1800), amplitudinea rezultant va fi apropiat de 2ym. Adic dac este foarte mic, 2cos

cos 0=1. Dac este 0, cele dou unde au peste tot aceeai faz. Maximul unei unde corespunde cu maximul celeilalte i analog pentru minime. Se spune atunci c undele interfer constructiv deci se ntresc. Amplitudinea rezultant este egal cu dublul amplitudinii unei singure unde. Dac este apropiat de 1800, amplitudinea rezultant va fi aproape 0. Adic pentru 1800

2cos cos 900=0.

Dac este exact 1800 maximul unei unde corespunde exact cu minimul celeilalte. Se spune atunci c undele interfer distructiv deci se slbesc. n practic, efectele de interferen se obin cu trenuri de unde care sunt generate de aceeai surs (sau de surse care au o diferena de faz fix ntre ele) dar care parcurg drumuri diferite pn la punctul de interferen. Diferena de faz dintre undele care ajung ntr-un punct poate fi calculat aflnd diferena dintre drumurile parcurse de ele de la surs pn la punctul de interferen. Diferena de drum este

k sau

2

. Dac diferena de drum este 0, , 2, 3,... etc. astfel nct =0, 2, 4, etc. cele dou unde

interfer constructiv. Pentru diferene de drum de 21 ,

23 ,

25 , = , 3, 5 i

undele interfer distructiv. Unde staionare. Undele transversale (particulele mediului oscileaz perpendicular pe direcia de propagare) sunt posibile numai n mediile solide elastice. n cazul corzilor (fire elastice cu seciune constant) viteza frontului de und n coarda supus

unei tensiuni mecanice T

i avnd o densitate liniar = Lm este:

21

Tv

n coard se propag n sens direct unde progresive, iar n sens invers unde regresive. Pentru oscilaii armonice, funciile de und care descriu propagarea undei progresive i a undei regresive sunt:

xktsinAvxtsinA

vxtf1

xktsinAvxtsinA

vxtf2

unde 2

vk este numrul de und. Interferena acestor unde va da natere n

coarda elastic unor unde numite unde staionare descrise de ecuaia:

tcosxksinA22

tsin2

xkcosA2ffF 21

Aceast ecuaie reprezint ecuaia undelor staionare sau a modurilor de vibraie ntr-o coard. Conform acestei ecuaii fiecare punct al mediului execut o oscilaie de amplitudine constant n timp, dar distribuit n spaiu dup relaia:

xksinA2xA Valorile minime ale amplitudinii se obin n anumite puncte numite noduri, care satisfac condiia:

0xA adic: nxk de unde se obine:

2n

2n

knxnod

; n = 1,2,3,

Valorile de amplitudine maxim, numite ventre, satisfac condiia:

A2xA adic: 2

1n2xk

sau 4

1n2xventru ; cu ,3,2,1n

Energia undelor staionare rmne localizat, neputndu-se transmite, teoretic, prin noduri. La capete, deoarece coarda este fix, vor exista noduri, iar lungimea corzii i lungimea de und vor fi legate prin relaia de cuantificare a luiTaylor:

nL2

2n

Ln

n

unde ,3,2,1n

Figura IV.2. Moduri de vibraie ntr-o coard de lungime L. innd cont de viteza undelor transmise prin coard, rezult c undele stationare, sau modurile de vibraie ale corzii, pot avea numai anumite frecvene, cuantificate prin relaia:

21

nn

TL2

nv

unde ,3,2,1n

Pentru n=1 se obine frecvena fundamental, 1, creia i corespunde modul fundamental de vibraie (armonica fundamental) iar pentru celelalte valori ale lui n se obin armonicele superioare. Frecvenele pentru care coarda vibreaz n regim staionar alctuiesc un spectru discret de valori proprii de vibraie al corzii, sau rezonanele. Acesta formeaz modurile de vibraie ale corzii, care sunt ilustrate n figura IV.2.

III.3. Cmpul sonor Acustica este un capitol al fizicii care studiaz producerea, propagarea i recepionarea undelor sonore. Domeniul de frecven al acestora este cuprins ntre 16 20000 Hz. Undele pe care le-am considerat pn acum au fost de tip armonic simplu, n care elongaiile n fiecare moment sunt reprezentate de o curb sinusoidal. Am observat c prin suprapunerea unui numr mare de astfel de unde, avnd aceeai frecven i vitez, dar amplitudini i faze arbitrare rezult o und de acelai tip. Dac

ns suprapunem unde care au frecvene diferite, unda rezultant va fi o und complex. ntr-o und complex micarea unei particule nu mai este o micare armonic simpl i forma undei nu mai este o curb sinusoidal. Undele sonore sunt un exemplu de acest tip. Timpanul urechii noastre va vibra n modul reprezentat de rezultanta lor, dar noi vom auzi i interpreta acestea ca i cnd cele dou frecvene iniiale, sunt independente indiferent de diferena lor de faz. Viteza undelor sonore corespunde cu viteza undelor longitudinale. O mrime fizic care prezint interes este presiunea sonor p. Prin definiie

dxdE

SFp unde prin S am notat suprafaa de aciune a forei F

nlocuind valoarea )(cosvxta

vdxd i innd cont de ecuaia /Evl

presiunea sonor instantanee este: )(cos)(cos max vxtp

vxtavp

innd seama de expresia vitezei particulelor din cmpul sonor putem scrie: vp

Iar pentru presiunea maxim: vavp maxmax Cmpul sonor poate fi caracterizat i prin intensitatea sonor care reprezint fluxul de energie ondulatorie prin unitatea de suprafa:

22

21 va

SI

III.4. Efectul Doppler Unda emis de o surs de oscilaii se propag de la surs pn la receptorul care o detecteaz. Prin detectarea undei se nelege msurarea unei anumite mrimi caracteristice ei, de exemplu, frecvena undei. Dac sursa i receptorul sunt n repaus unul faa de celalalt, frecvena undei msurat de receptor este egal cu frecvena undei emis de surs. Dac ns sursa de oscilaii este n micare faa de receptor, frecvena undei msurate de receptor difer de aceea a undei emise de sursa de oscilaii. Acest efect care se observ cnd sursa i receptorul sunt n micare unul fa de cellalt, se numete efect Doppler si afost descoperit in anul 1842 de catre Christian Doppler. Explicaia fenomenului a fost dat de ctre Hyppolyte Fizeau n 1859. Dac sursa se mic, de exemplu din S n S, undele sferice emise succesiv, se apropie unele de altele n sensul de micare al sursei. Distana dintre suprafeele sferice de faz egal reprezint lungimea de und; se observ astfel c la receptorul R staionar, ajung n unitatea de timp, unde cu suprafeele sferice mai apropiate ntre ele n comparaie cu situaia n care sursa ar fi n repaus fa de receptor. ntruct suprafeele de faz egal sunt aparent mai apropiate, lungimea de und aparent a este mai mic i deci frecvena undelor msurate de receptor este n acest caz mai mare. Dac sursa este staionar, iar receptorul se deplaseaz ctre sursa S, acesta ntlnete n unitatea de timp mai multe unde sferice, dect dac receptorul ar fi fost fix i undele ar fi ajuns la el. Ca urmare receptorul n micare ctre surs detecteaz o frecven mai mare. Pentru a exprima cantitativ modificarea frecvenei n efectul Doppler se noteaz cu u viteza de deplasare a sursei S fa de receptor, cu S frecvena undelor emise de surs

i cu R frecvena undelor msurate de receptor. Undele studiate se propag cu viteza v n mediul n care se gsesc sursa i receptorul; aceast vitez fiind o caracteristic a mediului respectiv nu este afectat de micarea sursei sau a receptorului. n timpul t sursa emite S*t i, dac sursa ar fi fix, aceste unde ar parcurge distana v*t. Lungimea de und se obine ca raportul intre distana v*t parcurs si numrul de unde care acoper aceast distana adic:

ntv

Relaia obinut este binecunoscut, dar ea a fost stabilit printr-un raionament nou care va fi folosit n cazul n care exist micarea sursei sau a receptorului. Dac sursa se deplaseaz ctre receptor cele S*t unde emise de sursa se vor rspndi ntr-un spaiu mai mic dect v*t, deoarece n timpul t sursa nsi s-a deplasat cu distana u*t. Aceasta nseamn c numrul de unde S*t emise de surs n timpul t se vor gsi n spaiul v*t-u*t , iar lungimea de und aparent, definit ca raportul ntre spaiul v*t-u*t si numrul de unde S*t . Frecvena corespunztoare lungimii de und a este frecvena msurat de receptor R. Dac sursa se deprteaz de receptor, numrul de unde S*t se ntind pe distana v*t+u*t; lungimea de und aparent este n acest caz a =(v+u)/ S. Adoptnd convenia c u este pozitiv pentru micarea sursei ctre receptor i negativ cnd sursa se ndeprteaz de receptor, relaia de mai sus este aplicabil i n acest caz.

uvv 0

Presupunnd apoi c receptorul se mic spre surs cu viteza u, viteza sa relativ fa de unde este v+u, iar numrul de unde pe care receptorul le ntlnete n timpul t este (v+u)t/a n care a=v/S. Frecvena msurat de receptor este:

vuv 0

Dac receptorul se deprteaz de surs, la el ajung mai puine unde n timpul t, (v-u)t/a, i deci frecvena msurata de receptor va fi (v-u)a. Convenia ca u s fie pozitiv cnd receptorul se apropie de surs i negativ cnd se deprteaz de surs, face ca relaia (2) s se aplice i n acest caz. n cazul n care att sursa ct si receptorul sunt n micare unul fa de altul, relaia general pentru calculul frecvenei este:

coscos

0 uvuv

R

care se reduce pentru u=0 (R staionar) i la (2) pentru u=0 (S staionar). n rezumat frecvena msurat crete R>S, la apropierea relativ, adic fie pentru u>0 fie pentru u>0 i frecvena msurat scade, R

se apropie de el si o frecven mai mic, adic sunete mai joase, dac sursa se deprteaz. Efectul Doppler este foarte important n astronomie unde prin msurarea frecvenei radiaiilor care provin de la stele sau galaxii ndeprtate se poate stabili micarea acestora fa de planeta noastr. Prin astfel de msurtori se obine ntotdeauna o frecven mai mic a radiaiilor luminoase caracteristice atrilor respectivi. Aceasta nseamn c lungimea de und msurat este mai mare dect cea reala; cu alte cuvinte are loc o deplasare spre rou a radiaiilor luminoase respective) lumina roie are lungimea de und cea mai mare n domeniul vizibil). Valoarea variaiei frecvenei crete cu distana de la Pmnt, ceea ce sugereaz c ntregul Univers este n expansiune, adic toi atrii se ndeprteaz spre limitele Universului, cu viteze din ce n ce mai mari pe msur ce sunt mai deprtai de Pmnt. Aceasta este o problem major a cosmologiei i studiul ei se bazeaz n principal pe efectul Doppler.

CAP. IV. ELECTROMAGNETISM IV.1. Mrimi fizice caracteristice cmpului electromagnetic Din punct de vedere al teoriei macroscopice cmpul electromagnetic este

generat de o distribuie de sarcini i de cureni electrici. Cmpul electromagnetic reprezint o form de existen a materiei ntr-un domeniu al spaiului caracterizat de patru vectori: intensitatea cmpului electric ),,,( tzyxE

, inducia electric

),,,( tzyxD

, intensitatea cmpului magnetic ),,,( tzyxH

i inducia magnetic ),,,( tzyxB

. Vectorii ),,,( tzyxE

i ),,,( tzyxB sunt considerai vectori de cmp

fundamentali, iar vectorii ),,,( tzyxD

i ),,,( tzyxH se pot obine din primii mpreun cu proprietile electrice i magnetice care caracterizeaz mediul n care se manifest cmpul. n electromagnetism sarcina electric este o mrime fundamental la fel ca i masa, lungimea, i timpul n mecanic. Sarcinile electrice aflate n repaus i (sau) n micare exercit fore asupra altor sarcini electrice, numite fore electromagnetice, iar cmpurile corespunztoare, cmpuri electromagnetice. Din punct de vedere experimental s-a demonstrat c:

1. exist dou tipuri de sarcini electrice: pozitive i negative 2. orice sarcin electric din natur este un multiplu ntreg al sarcinii electrice

elementare care are valoarea 1910602,1 e C 3. sarcina electric se conserv i este un invariant scalar 4. Toate sarcinile electrice i au originea n existena a dou particule

elementare: electron i proton; masa protonului fiind de aproximativ 1837 ori mai mare dect a electronului.

5. Sarcina electric are caracter de substan, ea nu poate fi creat sau distrus, ci numai trecut de la de pe un corp pe altul.

Sarcina electric q coninut ntr-un volum V poate fi exprimat cu ajutorul densitii de sarcin volumic ),,,( tzyx sub forma:

V

dVq Sarcinile electrice n micare genereaz cureni electrici. Intensitatea curentului

electric reprezint cantitatea de sarcin net care traverseaz o suprafa n unitatea de timp i este definit de relaia:

dtdqI

IV.2. Cmpul electrostatic Conceptul de cmp electrostatic a fost introdus de ctre Michael Faraday, iar

unitatea de msur pentru cmpul electric este CN (newton /coulomb), unitate

echivalent cu mV (volt/metru), iar din punct de vedere matematic este un cmp

vectorial tridimensional. Intensitatea acestui cmp electric este direct proporional cu mrimea sarcinii care genereaz cmpul i descrete invers proporional cu ptratul distanei de la aceasta. Pentru ca sarcinile electrice s poat fi observate ele trebuie nti s fie separate cele negative s fie acumulate ntr-o parte, iar cele pozitive n alt parte. Existena sarcinilor electrice se pune n eviden prin apariia n jurul lor a unor interaciuni. Electrostatica are ca i obiect de studiu sarcinile electrice n repaus.

S considerm, ntr-o regiune din spaiu n care exist cmp electric, i dou puncte P1 i P2 unite printr-o curb . n orice punct de pe curba cmpul electric este caracterizat de vectorul intensitate a cmpului electric E

.

Produsul scalar: ld E = dC se numete circulaia infinitezimal a cmpului

electric pe curba . Suma circulaiilor elementare ale vectorului intensitate a cmpului electric pe curba ,

ld E = CPP21

se numete integrala curbilinie a vectorului pe curba sau circulaia vectorului ntre punctele P1 i P2 pe curba . Aa cum se tie de la analiza matematic, integrala curbilinie ntre dou puncte depinde n general, de curba pe care se efectueaz integrala. Vrem s vedem dac integrala curbilinie a vectorului intensitate a cmpului electric depinde sau nu de drumul parcurs ntre cele dou puncte.

S studiem circulaia cmpului electric, produs de o sarcin punctiform, ntre dou puncte:

Fig. IV.1. Circulaia cmpului electric produs de o sarcin punctiform Intensitatea cmpului electric n punctul M este

u rq

41 = E

2o

unde u este vectorul versor al vectorului r . Circulaia elementar pe curba , a vectorului E

este:

ru ld

4q = ld E = dC

2o

cum: dl = dr cos rezult:

)r1

4qd(- =

rdr

4q = dC

o2

o

Relaia de mai sus arat c valoarea infinitezimal a cmpului electric produs

de o sarcin punctiform este o diferenial total exact. n analiza matematic se demonstreaz c integrala curbilinie ntre dou

puncte pentru astfel de funcii nu depinde de curba aleas. Valoarea integralei curbilinii depinde doar de poziia punctelor iniial i final.

Circulaia ntre punctele P1 i P2 ale cmpului produs de o sarcin punctiform este:

r 4q -

r 4q = C

PoPo

PP

21

21

Pentru un sistem de sarcini electrice punctiforme q1,q2,,qn, aplicnd

principiul superpoziiei cmpurilor electrice, circulaia elementar a intensitii cmpului electric este:

n

i i

i

i

in

i

n

ii r

qdrqddCdC

1 0011)

4()

41(

Fig. IV.2. Cmpul electric produs de un sistem de sarcini electrice

Dac sarcinile electrice sunt punctiforme, rezult c, n conformitate cu

formula de mai sus, circulaia cmpului electric este o diferenial total exact. n cazul distribuiilor continue de sarcin, suma din relaia precedent se

transform n integral. i n acest caz, rezult c, circulaia infinitezimal este o diferenial total exact.

Dac curba pe care se face integrala este o curb nchis (punctul P1 coincide cu punctul P2) atunci:

0 = ld E

Un cmp vectorial - cum este cmpul electrostatic - care satisface relaia de

mai sus, se numete cmp conservativ. Fie curba nchis ntr-o regiune din spaiu n care exist cmp electric. n

conformitate cu teorema lui Green, oricare ar fi suprafaa S ce se sprijin pe curba , este valabil relaia:

Sd E rot = ld E

Fig. IV.3. Reprezentarea grafic a teoremei lui Green

Deoarece membrul stng al relaiei de mai sus este nul i suprafaa este arbitrar, rezult c:

0 = E rot

EEEzyx

kji

= E = E rot

zyx

IV.3. Lucrul mecanic al forelor electrice. Energia cmpului electric Dup cum se cunoate din mecanic, unui sistem de corpuri ce interacioneaz

prin fore conservative i se poate asocia o energie potenial prin relaia:

dL - = dW unde W este energia potenial iar L este lucrul forelor conservative. Evident, energia potenial este definit pn la o constant aditiv. Pentru a fixa aceast constant impunem condiia: energia potenial a unui sistem de sarcini electrice ce se afl deprtate ntre ele la distan foarte mare este 0. n aceste condiii, energia potenial a unei configuraii de sarcini este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele electrice pentru a duce sistemul din configuraia dat ntr-o configuraie n care toate particulele se afl la distane foarte mari una de alta.

Fie un sistem de dou sarcini electrice punctiforme. innd cont de convenia de mai sus i de formula:

)V - V( q = L PPPP 2121 rezult:

rq q

4

1 = W 21o

Aceast relaie se mai poate scrie i astfel:

)q V + q V( 21 = )q

rq

41 + q

rq

41(

21 = W 22112

1

o1

2

o

unde V1 este potenialul creat de sarcina q2 n punctul n care se afl sarcina q1 iar V2 este potenialul creat de sarcina q1 n punctul n care se afl sarcina q2.

Formula (12) poate fi generalizat pentru un sistem de sarcini punctiforme, rezultnd:

q V 21 = W ii

n

1 = i

Dac sarcina electric este distribuit n mod continuu, energia potenial a

sistemului de sarcini va fi:

dV V(r) 21 = W

D

Fie o sarcin distribuit uniform pe o suprafa sferic de raz a i o suprafa

gaussian, i, de form sferic, concentric cu distribuia de sarcin electric, de raz r < a. Datorit simetriei sferice, intensitatea cmpului electric, pe suprafaa gaussian, se poate calcula cu ajutorul legii lui Gauss forma integral:

0 = q

= r 4 E0

i2i

Din relaia de mai sus rezult: 0 =Ei

Pentru a afla intensitatea cmpului ntr-un punct exterior distribuiei de

sarcin, se alege o suprafa gaussian de raz r > a. n conformitate cu legea lui Gauss, rezult:

0

22

ia 4 = r 4 E

deci: r a = E 2

o

2

e

Fig. IV.4. Distribuia tridimensional a liniilor de cmp electric

Dup cum se observ, intensitatea cmpului electric, la suprafaa distribuiei de sarcin, sufer o discontinuitate.

Fig. IV.5. Cmpul electric al unei sarcini superficiale sferice

Este deosebit de important s se cunoasc valoarea cmpului electric chiar pe

suprafaa sferei de raz a. Pentru a afla valoarea cmpului pe suprafaa distribuiei de sarcin, se pornete

de la observaia fizic conform creia sarcina electric nu poate s fie perfect superficial. S admitem c sarcina electric este distribuit n mod uniform ntr-un strat de grosime r

sarcin cu dr, trebuie efectuat un lucru mecanic mpotriva forei electrice, de valoare:

dr a 2 = dr dS

2 = dW 2

22

00

Singurul efect al comprimrii sferei este crearea, n stratul de grosime dr, a

unui cmp electric; n restul spaiului cmpul rmne nemodificat. Lucrul mecanic poate fi exprimat, n funcie de noul volum dV ocupat de

cmp, prin formula:

dV E 21 = dV

21 = dW 2

2

00

unde E este intensitatea cmpului electric n volumul de grosime dr.

Este firesc s admitem c energia mecanic, cheltuit prin efectuarea lucrului mecanic dW, s fie nmagazinat n zona de cmp nou creat i deci mrimea:

E 21 = w 20

s reprezinte densitatea de energie a cmpului electric. n cazul n care cmpul electric ocup domeniul D, energia nmagazinat n

cmp va fi:

dV E 21 = W 20

D

IV.4. Potenialul electric

Pentru a descrie cmpul electric se poate folosi una din cele dou mrimi: intensitatea cmpului electric, care este un vector, sau potenialul electric, care este un scalar. Este evident c cele dou mrimi, descriind aceeai realitate fizic pot fi deduse una din alta.

Pentru a determina legtura dintre potenialul electric i intensitatea cmpului electric ne folosim de relaia de definiie a diferenei de potenial:

dzE -dy E - dx E - = ld E - = dV zyx

Cum potenialul electric este o funcie de punct: z) y , ,(x V = V

difereniala acestei funcii se poate scrie astfel:

dz zV +dy

yV + dx

xV = dV

Comparnd cele dou relaii, rezult c:

zV- = E ; y

V- = E ; xV- = E zyx

Pentru a prezenta sintetic acest rezultat se folosete notaia: V grad - = E . Gradientul unei mrimi scalare este produsul dintre operatorul i acel scalar:

k za + j

ya + i

xa = a

Fiind un vector operatorul gradient are o direcie bine precizat. Pentru a determina direcia operatorului gradient, difereniem scalarul a:

rd a grad =dz za +dy

ya + dx

xa = ad

Fie o suprafa pe care a este constant. Rezult: 0 = ad Din relaia precedent i din definiia produsului scalar a doi vectori rezult:

rd a grad

cum rd este pe suprafaa a = const., nseamn c vectorul grad a este perpendicular pe aceast suprafa. Mrimea acestui vector este egal cu derivata funciei scalare a dup direcia perpendicular la suprafaa a = const.. Din cele dou afirmaii de mai sus, rezult c sensul gradientului este n sensul creterii lui a pe direcia perpendicular la suprafaa a = const..

Se numesc suprafee echipoteniale suprafeele care ndeplinesc condiia: V = constant Din definiia gradientului i din cele discutate mai sus rezult c liniile de

cmp electric sunt perpendiculare pe suprafeele echipoteniale, fiind ndreptate spre zona descreterii potenialului electric.

Fig. IV.6. Liniile de cmp pe suprafeele echipoteniale

Deoarece, pe componente, intensitatea cmpului electric reprezint derivata

potenialului i innd cont c n orice punct (cu excepia punctelor n care densitatea de sarcin este infinit) intensitatea are o valoare finit rezult c n nici un punct potenialul electric nu prezint discontinuiti. Altfel spus, potenialul electric este o mrime continu.

Earnshaw a fcut urmtoarea afirmaie: nu exist o configuraie de sarcini fixe care s fie n echilibru stabil. S presupunem c echilibrul este stabil. Dac o sarcin este deplasat puin din poziia de echilibru, forele electrice tind s readuc sarcin n poziia iniial. Acesta nseamn c liniile de cmp iradiaz din punctul de echilibru al sarcinii. Rezult c fluxul, pe o suprafa nchis ce nconjoar punctul de echilibru, este diferit de zero. n conformitate cu legea lui Gauss, n interiorul acestei suprafee, deci n punctul de echilibru, exist o sarcin electric. Cum noi am ndeprtat sarcina din punctul considerat, rezult c acest lucru este neadevrat. Am ajuns astfel la o contradicie. Contradicia poate fi nlturat numai dac afirmaia lui Earnshaw este adevrat.

Ecuaiile Poisson i Laplace. Aplicnd relaiei (19) operatorul divergen, rezult:

0 = V - = gradV) (- div = Ediv

Operatorul = = 2 se numete laplacean i are formula:

z +

y +

x =

2

2

2

2

2

2

Ecuaia: 0 = + V

0

se numete ecuaia Poisson.

Dac = 0 ecuaia devine: 0 = V i se numete ecuaie Laplace. Cu ajutorul ecuaiei Poisson se poate cunoate potenialul electric dac se d

distribuia surselor sale. Legea lui Coulomb, legea lui Gauss precum i ecuaia lui Poisson sunt forme diferite de descriere matematic ale aceluiai grup de fenomene: fenomenele electrostatice. Aceste legi au fost determinate n cadrul sistemelor de sarcini electrice aflate n repaus i nu exist nici un motiv teoretic s admitem c ele sunt valabile i pentru sarcinile electrice aflate n micare. Pentru a verifica acest lucru este necesar s se fac apel la noi experiene n care sarcinile electrice s fie n micare.

IV.5. Cmpul magnetic Forele de natur magnetic se pot mpri formal n trei categorii dup

cauzele fizice care dau natere cmpului magnetic i felului interaciunii dintre corpuri. Astfel sunt:

- fore magnetostatice, care se execit ntre magnei permaneni, - fore electromagnetice, care se exercit ntre un conductor parcurs de curent

electric i un magnet permanent, - fore electrodinamice de nteraciune ntre conductoare parcurse de cureni

electrici, - fore Lorentz care se exercit ntre o sarcin aflat n micare i un cmp

magnetic. Se introduce vectorul B

, inducia cmpului magnetic, ca o msur a forei

exercitate de cmpul magnetic asupra sarcinilor electrice n micare sau asupra curentului electric. Vectorul B

caracterizeaz cmpul magnetic n sensul n care

vectorul E caracterizeaz cmpul electric. Dac sarcina q se deplaseaz cu viteza v ntr-un domeniu din spaiu n care cmpul electric are intensitatea E iar cmpul magnetic inducia B, asupra acesteia va aciona o for dat de relaia :

BxvEqF unde EqF este componenta electric iar BxvqF este componenta magnetic

Aceast for este cunoscut sub numele de for Lorentz. Observaii:

Din relaia de definiie fora Lorentz este perpendicular pe direcia de deplasare a particulei i pe liniile de cmp, iar sensul este dat de regula burghiului.

Aceast for permite definirea unitii de msur pentru inducia cmpului magnetic

2222

.....

..

mWb

msV

CmsJ

CmsmN

CmsNB

SI

TmWbB

SI 2

Modulul forei Lorentz variaz de la zero la o valoare maxim;

2

00sin

qvBpentruF

pentruFqvBF

Fora Lorentz permite definirea induciei cmpului magnetic;

qvFB max

este numeric egal cu fora maxim ce acioneaz asupra unei sarcini egal cu unitatea (q=1C) ce se deplaseaz cu viteza unitate ( V=1 m/s)

Deoarece fora Lorentz este perpendicular pe traiectoria particulei ea se comport din punct de vedere mecanic ca o for centripet avnd ca efect curbarea traiectoriei, raza ce curbur fiind dat de relaia:

sinsin2

qvmvR

RmvqvB

FF cpL

Considerm un conductor parcurs de curent aflat n cmp magnetic. Asupra

fiecrei sarcini electrice q care se deplaseaz n conductor va aciona fora loren