Curs Fizica ITMI 2015 c04 Unde Elastice St p1

Click here to load reader

  • date post

    15-Apr-2016
  • Category

    Documents

  • view

    16
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Curs fizica Universitatea transilvania

Transcript of Curs Fizica ITMI 2015 c04 Unde Elastice St p1

  • IV. UNDE ELASTICE

    cc

  • IV. UNDE ELASTICE

    r

    c c

    r

  • Unde longitudinale in fluide si solide:

    Unde transversale in solide:

    Unde de suprafata in lichide:

    Exemple de tipuri de unde

  • IV. UNDE ELASTICE

    La propagarea undei logitudinale in fluide, deplasarea (x) a particulelor determina pentru un element de masa dm fenomene de dilatare (dx > dx) si contractie (dx< dx).

    Rezulta o modificare a densitatii locale, cu excesul de densitate = 0, (

  • IV. UNDE ELASTICE

    2.2. Unde longitudinale n solide

    2 2

    2 2 2

    10 8

    x c t

    Ecuatia de propagare pentru deplasarea :

    unde

    este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

    (E - modul de elasticitate Young, iar - densitatea)

    9c E /

    2.3. Unde transversale n solide

    Ecuatia de propagare pentru deplasarea :

    unde

    este viteza de faza a undelor logitudinale in solide

    (G - este modul de torsiune,

    iar - densitatea)

    11c G /

    2 1 12G E /

    2 2

    2 2 2

    10 10

    x c t

    d x

    d x'

    ( x )

    ( S )

    d m

    c

    x

    (x) dx (x+dx)

    x x+dx x

    (S)

    d

    c

    dm

  • IV. UNDE ELASTICE

    2.4. Unde monocromatice plane

    , p , Notam cu - functia de unda si .

    Forma generala a ecuatiei diferentiale a undelor :

    2

    2 2

    10 13

    c t

    2 2 2

    2 2 2operatorul Laplace

    x y z

    unde

    2 2

    2 2 2

    10 14

    x c t

    Dac unda se propag pe direcia Ox atunci, din punct de vedere matematic operatorul lui Laplace se reduce la o derivat de ordinul II in raport cu x. Astfel ecuaia diferenial general a undelor va fi de forma:

    1 2 15x x

    x,t t tc c

    Solutia ecuatiei (14):

    unde reprezinta undele progresiva si regresiva. 1 2si

    xS

    1 2

    01

    ,2

    2

    22

    2

    tcxxx

  • IV. UNDE ELASTICE

    Dac perturbaia produs de sursa S este o perturbaie armonic (sinusoidal) ,

    atunci expresia funciei de und pentru unda progresiv va fi tot de form sinusoidal:

    16S t Acos t

    17x

    x,t Acos tc

    Unda prezint o periodicitate temporal de perioad T:

    Unda prezint de asemenea si o periodicitate spatiala cu lungimea de unda :

    18x x

    Acos t T Acos tc c

    2

    19T

    20x x

    Acos t Acos tc c

    221

    cc T

    A

    - A

    t

    T

    x = c t

    t = c t

    x

  • (22)

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    directie de propagare

    IV. UNDE ELASTICE

    (17)

  • IV. UNDE ELASTICE

    Obs.

    (27)

    (28)

    (29)

    (30)

    (31)

    complex.

  • IV. UNDE ELASTICE

    2.5. Unde monocromatice sferice

    Ecuatia diferentiala a undelor sferice:

    2 2

    2 2 2

    10

    1

    r c r

    pentru

    r,t r r ,t

    r A rr,t t cos t

    r c r c

    Solutia ecuatiei:

    A

    r,t cos t krr

    rktier

    Atr

    ,~

    (32)

    (33)

    (34)

    (35)

  • IV. UNDE ELASTICE

    3. Mrimi energetice specifice undelor elastice 3.1. Densitatea de energie

    - Procesul de propagare a undelor este nsoit de un transport de energie, numit energia undei.

    - Considerm un element infinitezimal al mediului considerat de volum dV. Aceast poriune al mediului va avea o energie suplimentar:

    1dW dT dU - Excesul de energie cinetic asociat elementului de volum dV si masa dm=0dV (unde 0 este densitatea) aflat n micarea ondulatorie cu viteza v, va fi:

    2 201 1

    22 2

    dT dm v v dV

    - Excesul de energie potenial apare ca urmare a comprimrii sau dilatrii elementului de volum respectiv. Comprimarea (sau dilatarea) vor determina o

    modificare a densitii fluidului i o modificare dV a elementului de volum n raport cu valorile 0 i dV pentru starea cnd prin mediu nu se propag unde. Datorit conservrii masei dm=dm , se poate scrie:

    0 0dV dV dV ;

    0Pentru : dV dV ', ' dV 0

    dV dV

  • IV. UNDE ELASTICE

    - Energia potenial elementar dU poate fi scris ca fiind egal cu lucrul mecanic al forelor de presiune suplimentara medie, Cu relatia , rezulta:

    0 2 2medp p' / p'/

    2

    2

    0 0

    32 2

    med

    p pdU p dV dV dV

    c

    - Eenergia mecanic total suplimentar a elementului de volum dV va fi:

    2 2

    2 2

    0 02 2

    0 0

    1 1 14

    2 2 2

    p pdW v dV dV v dV

    c c

    - Densitatea de energie locala a mediului va fi:

    2

    2

    0 2

    0

    15

    2

    dW pw v

    dV c

    3.2. Intensitatea undelor elastice

    Definitie: Intensitatea undelor elastice este o marime fizica numeric egala cu energia transportata de unda in

    unitate de timp prin unitate de suprafata a mediului,

    normala pe directia de propagare

    6W

    IS t

    Fig. 1

    c :

    2p c

  • IV. UNDE ELASTICE

    Energia W transportata de unda in timpul t prin suprafata S se regaseste in

    volumul V=Sc t. Rezulta:

    7W w V

    I c wS t S t

    Pentru unde monocromatice plane:

    0

    9 10mmp

    p t p' cos t kx ; v t,x cos t kxc

    Cu formula de mediere temporala a functiei periodice de perioada T:

    unde densitatea de energie medie a undei este

    2

    2

    0 2

    0

    18

    2

    dW pw v

    dV c

    2 20

    1 1

    2

    T

    cos t kx cos t kx dtT

    densitatea de energie medie a undei devine

    2

    2

    2

    0

    11mp

    w cos t kxc

    Rezulta

    2

    2

    0

    122

    mpwc

  • IV. UNDE ELASTICE

    Iar intensitatea undei este: 22

    0 0

    132

    efmpp

    Ic c

    Obs. Pentru unde monocromatice sferice:

    2

    0

    2 2

    0

    116

    2

    mp II c wc r r

    unde 2

    0

    02

    mpIc

    reprezint intensitatea undei emis de sursa undei.

    3 2

    2

    0

    142

    mm

    c 'I '

    2 2 2 20

    115

    2I c A ,A

    2

    0 0m m m mp' c ' si p' c v c A Cu relatiile:

    rezulta pentru intensitatea undelor plane monocromatice expresiile alternative:

    unde reprezinta presiunea efectiva sau acustica. 2ef mp p /

    Mrimea Z = 0 c numit impendan acustic caracterizeaza proprietatile elastice ale mediului. Cu aceasta notatie, relatiile (13 si (15) devin

    2

    13efp

    I 'Z

    2 21

    152

    I Z A '