- 45 -

5. Unde electromagnetice 5.1. Ecuaţiile de undă pentru potenţialul scalar V şi pentru potenţialul vector A

r

Între potenţialul scalar V dat de relaţia (2.20) :

vd r 41 V

V0

′ρπε= ∫ ′

(leglib

ρ+ρ=ρ ) (5.1)

şi potenţialul vector Ar

dat de relaţia (2.57) :

vd rj 4 A

V0 ′πµ

= ∫ ′

rr

( M tP j j

lib

rrrr

×∇+∂∂+= ) (5.2)

trebuie să existe o relaţie de legătură (condiţia Lorentz), întrucât ρ şi jr

nu sunt independente (satisfac ecuaţia de conservare a sarcinii (2.37) :

0 t j =∂ρ∂+⋅∇′

r (5.3) )

Din (5.2) rezultă:

vd rj 4 vd r

j 4 A V

0V

0 ′⋅∇πµ

=′⋅∇πµ

=⋅∇ ∫∫ ′′

rrr

(5.4)

Am trecut ∇ sub integrală deoarece ∇ acţionează asupra lui x, y, z, iar integrala operează asupra variabilelor x’, y’, z’ (∇ şi ∫ sunt independente). Folosind identitatea (2.64) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇ r

1 r1 (5.5)

şi relaţiile:

r1 j j r

1 rj ∇⋅+⋅∇=⋅∇

rrr

(5.6)

r1 j j r

1 rj ∇′⋅+⋅∇′=⋅∇′

rrr

(5.7)

precum şi faptul că 0 j =⋅∇r

(j

r depinde de x’, y’, z’ iar ∇ de x, y, z ), obţinem:

rj j r

1 r1 j r

1 j rj

rrrr

r

⋅∇′−⋅∇′=∇′⋅−=∇⋅=⋅∇ ⇒

vd rj 4 vd j r

1 4 A V

0V

0 ′⋅∇′πµ

−′⋅∇′πµ

=⋅∇ ∫∫ ′′

rrr

(5.8)

Pe baza ultimei părţi a relaţiei (2.66) rezultă că integrala a doua din (5.8) se anulează (v’ include toţi curenţii). Prin urmare:

vd j r1 4 A

V0 ′⋅∇′π

µ=⋅∇ ∫ ′

rr (5.9)

Înlocuind j r⋅∇′ din (5.3) în (5.9) şi ţinând seama că distanţa r dintre punctele P

şi P’ nu depinde de timp, obţinem condiţia Lorentz, care este o consecinţă a conservării sarcinii electrice:

- 46 -

tV 4

4 vd r t 4 vd r

t/ 4 A 00V

0V

0

∂∂⋅π

µπε−=′⋅ρ∂

∂πµ

−=′⋅∂ρ∂πµ

−=⋅∇ ∫∫ ′′

r ⇒

0 tV A

00=∂

∂⋅µε+⋅∇r

(5.10)

Cunoscând componentele lui Ar

putem determina V din (5.10) şi astfel putem afla componentele lui E

r din (2.88) şi ale lui B

r din (2.56) .

tA V E ∂∂−∇−=r

r (2.88) ≡ (5.11)

A Arot Brrr

×∇== (2.56) ≡ (5.12)

În cazul unei antene putem calcula Er

şi Hr

numai pe baza lui Ar

, cunoscând densitatea de curent j

r din antenă (relaţia (5.2)). Înlocuind E

r din (5.11) în (3.11) obţinem:

0

tA V ε

ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−∇−⋅∇r

⇒ ( )⎯⎯⎯ →⎯ερ−=∇

∂∂+∇

10.5 A t

V0

2 r

02

2

00

tV V ε

ρ−=∂∂µε−∆ (5.13)

Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru potenţialul scalar V . Dacă 0 =ρ , obţinem ecuaţia de undă omogenă:

0 tV V 2

2

00=

∂∂µε−∆ (5.14)

care are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de propagare a undei în vid, viteza de fază a undei fiind egală cu viteza luminii în vid:

c 1 v00

f=

µε= (5.15)

Relaţia (2.56) ≡ (5.12) se obţine din a treia ecuaţie a lui Maxwell (3.10) , iar ecuaţia de undă neomogenă pentru V (5.13) se obţine folosind a patra ecuaţie a lui Maxwell (3.11).

Înlocuind în a doua ecuaţie a lui Maxwell (3.9) pe Br

din (5.12) obţinem relaţia (2.88) ≡ (5.11) :

( ) tA A t E ∂∂×∇−=×∇∂

∂−=×∇r

rr ⇒ 0 t

A E =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+×∇r

r ⇒ ≡∆−=∂

∂+ V tA Er

r (5.11)

Înlocuind Er

şi Br

din (5.11) şi (5.12) în prima ecuaţie a lui Maxwell (3.8) :

tE

c1 j B 20 ∂∂+µ=×∇rrr

(3.8) ≡ (5.16)

obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−∇−∂

∂⋅µε+µ=×∇×∇ tA V t j A

000

rrr

⇒

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+∂

∂⋅∇µε−µ=∆−⋅∇∇ 2

2

000 tA t

V j A A r

rrr ( )⎯⎯⎯ →⎯

10.5

- 47 -

( ) ( )A tA j A A 2

2

000

rr

rrr⋅∇∇+

∂∂µε−µ=∆−⋅∇∇ ⇒

j tA A

02

2

00

rr

rµ−=

∂∂µε−∆ (5.17)

Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru potenţialul vector Ar

. Pentru 0 j =r

se obţine ecuaţia de undă omogenă:

2

2

00 tA A

∂∂µε−∆r

r = 0 (5.18)

care are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de propagare a undei în vid. Astfel în locul ecuaţiilor lui Maxwell se pot folosi ecuaţiile de undă (5.13) şi (5.17) .

Pentru ca definiţia potenţialelor electromagnetice V şi Ar

să fie univocă am folosit condiţia de etalonare Lorentz (5.10) .

Ecuaţiile de undă pentru un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar se obţin direct folosind transformările (3.26) :

ερ

−=∂∂µε−∆ lib

2

2

tV V (5.19)

lib2

2

j tA A

rr

rµ−=

∂∂µε−∆ (5.20)

Relaţiile (5.14) şi (5.18) au forma ecuaţiilor pentru o perturbaţie care se propagă cu viteza c , arătând posibilitatea existenţei undei electromagnetice în spaţiul liber.

5.2. Ecuaţiile de undă pentru vectorii E

r şi B

r

Pentru a elimina vectorul Br

din ecuaţiile lui Maxwell (3.8) şi (3.9) vom aplica operatorul rotor relaţiei (3.9) şi vom folosi identitatea:

( ) E E E E E div grad Erot rot rrrrrr

∆−⋅∇∇=×∇×∇≡∆−= (5.21)

( ) ( )B t E E rrr

×∇∂∂−=∆−⋅∇∇ ⇒ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂µε+µ∂

∂−=∆−⋅∇∇ tE j t E E

000

rrrr ⇒

( ) tj E

tE E

02

2

00 ∂∂µ+⋅∇∇=

∂∂µε−∆

rr

rr

(5.22)

Înlocuind E r⋅∇ cu

0/ ερ conform ecuaţiei (3.11) , obţinem ecuaţia de undă

neomogenă pentru Er

(termenii sursă se trec în membrul drept):

tj

tE E

00

2

2

00 ∂∂µ+ε

ρ∇=∂∂µε−∆

rrr

(5.23)

În absenţa surselor se obţine ecuaţia de undă uzuală, viteza de propagare a undei fiind egală cu viteza luminii în vid.

00

2

2

00

1 c , 0 tE E

µε==

∂∂⋅µε−∆r

r (5.24)

- 48 -

În mod analog, aplicând rotorul relaţiei (3.8) şi folosind ecuaţiile (3.9) şi (3.10) , obţinem:

( ) ( )E t

j B B 000

rrrr×∇

∂∂µε+×∇µ=∆−⋅∇∇ ⇒

j tB B

02

2

00

rrr

×∇µ−=∂∂µε−∆ (5.25)

Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru Br

. Pentru 0 j =r

se obţine ecuaţia omogenă:

0 tB B 2

2

00=

∂∂⋅µε−∆

r (5.26)

Pentru un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar obţinem ecuaţiile următoare (folosim (3.26) în (5.23) şi (5.25)):

tj

tE E liblib2

2

∂

∂µ+

ε

ρ∇=

∂∂µε−∆

rrr

(5.27)

lib2

2

j tB B

rrr

×∇µ−=∂∂µε−∆ (5.28)

Deşi am obţinut o ecuaţie de undă pentru Er

şi separate o ecuaţie de undă pentru Br

, totuşi vectorii E

r şi B

r sunt interconectaţi prin ecuaţiile lui Maxwell (nu putem avea unde pur

electrice sau unde pur magnetice). Se poate arăta că şi vectorul Hr

satisface o ecuaţie de undă.

Din ecuaţiile lui Maxwell rezultă că vectorii Er

şi Hr

verifică fiecare ecuaţia generală a undelor, ceea ce arată că un câmp electromagnetic variabil se propagă în spaţiu din aproape în aproape, sub formă de unde numite unde electromagnetice. La studiul undelor electromagnetice se lucrează cu H

r şi nu cu B

r, întrucât HE

rr× este o densitate de putere, iar

E / H este o impedanţă, mărimi ce au o mare importanţă practică. Dacă σ este constant, atunci relaţiile (5.27) şi (5.28) devin:

tE

tE E lib2

2

ε

ρ∇=

∂∂µσ−

∂∂µε−∆

rrr

(5.29)

0 tB

tB B 2

2

=∂∂µσ−

∂∂µε−∆

rrr

(5.30)

Am folosit relaţiile E jlib

rrσ= şi

tB E ∂∂−=×∇r

r.

Pentru un mediu dielectric putem considera 0 =σ . Dacă în plus mediul este neutru din punct de vedere electric ( 0

lib=ρ ) , atunci ecuaţiile (5.29) şi (5.30) devin:

0 tE E 2

2

=∂∂µε−∆r

r (5.31)

0 tB B 2

2

=∂∂µε−∆r

r (5.32)

- 49 -

În acest caz câmpul electromagnetic se propagă sub formă de unde electromagnetice cu viteza:

rrrr00

c 1 1 1 vµε

=µε

⋅µε

=εµ

= (5.33)

Pentru un mediu în care 0 lib=ρ , relaţiile (5.29) şi (5.30) se pot scrie sub forma

(având în vedere în (5.30) relaţia H Brr

µ= )

0 tE

tE E 2

2

=∂∂µσ−

∂∂µε−∆

rrr

(5.34)

0 tH

tH H 2

2

=∂∂µσ−

∂∂µε−∆

rrr

(5.35)

Deoarece ε > 0ε şi µ >

0µ , din (5.33) rezultă că v < c , în acord cu principiile

relativităţii. Raportul

rr00

vc n µε=

µεµε== (5.36)

se numeşte indice de refracţie absolute al mediului (neconductor).

5.3. Teorema lui Poynting

Teorema lui Poynting exprimă conservarea energiei într-un câmp electromagnetic. Pentru a găsi o relaţie cantitativă a conservării energiei câmpului electromagnetic într-un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar, vom folosi relaţiile (3.27) , (3.28) şi identitatea vectorială:

( ) ( ) ( )H E E H H E rrrrrr

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ ⇒ (5.37)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−=×⋅∇

libj

tD E

tB H H E

rrr

rrrr

⇒

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂ε−

∂∂µ⋅−=×⋅∇

libj

tE E

tH H H E

rrr

rrrr

⇒

( )lib

22

j E 2H

2E

t H E

rrrr⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ+ε∂∂−=×⋅∇ (5.38)

unde

2E e 2

E

ε=ρ (5.39)

reprezintă densitatea volumică de energie electrică (vezi relaţia (2.31)), iar

2H m 2

E

µ=ρ (5.40)

este densitatea volumică de energie magnetică (vezi relaţia (2.92)). Integrând relaţia (5.38) pe un volum v limitat de suprafaţa Σ şi aplicând teorema

divergenţei la membrul stâng al ecuaţiei, obţinem:

- 50 -

( ) ( ) dv j E dv m e dtd dA H E

V libV EE ∫∫∫ ⋅+ρ+ρ=⋅×−Σ

rrrr (5.41)

Relaţia (5.41) exprimă teorema lui Poynting. Prima integrală din membrul drept reprezintă creşterea în interiorul volumului v a densităţii de energie electrică şi magnetică, în unitatea de timp. Integrala a doua din membrul drept reprezintă energia disipată în unitatea de timp sub formă de căldură, prin efect Joule. Astfel primul membru al relaţiei (5.41) reprezintă viteza cu care energia electromagnetică intră în volumul v . Vectorul Poynting

H E Srrr

×= (5.42)

reprezintă densitatea fluxului de energie, adică energia transferată normal pe unitatea de arie şi în unitatea de timp prin frontiera Σ . Relaţia (5.41) poate fi pusă sub forma:

∫∫ ⋅+⋅=Ε−Σ V

dv libj E dA S dtd

rrr (5.43)

Această relaţie arată că viteza de scădere a energiei electromagnetice dintr-un domeniu v este egală cu suma dintre fluxul vectorului S

r prin suprafaţa domeniului şi

căldura produsă în unitatea de timp prin efect Joule. Relaţia (5.41) sau (5.43) reprezintă legea conservării energiei câmpului electromagnetic şi demonstrează existenţa undelor electromagnetice (un câmp electromagnetic transportă energie dintr-un punct al spaţiului în altul).

5.4. Proprietăţile undelor electromagnetice în medii dielectrice

În domeniul undelor electromagnetice intră undele hertziene, microundele, radiaţiile infraroşii, vizibile, ultraviolete, X şi γ . Undele lungi radio au frecvenţa de ordinal a 100 Hz, iar radiaţiile cosmice γ au frecvenţa de ordinul a 2410 Hz. Spre deosebire de undele elastice, care sunt scalare, undele electromagnetice sunt unde vectoriale.

Pentru a studia structura undelor electromagnetice vom considera un mediu dielectric ( 0 =σ ) nelimitat, neutru din punct de vedere electric ( 0

lib=ρ ) . În acest caz ( 0 E j

lib=σ=

rr)

soluţiile particulare ale ecuaţiilor (5.31) şi (5.32) sunt de forma undei armonice plane:

( ) ( )r k t ie E t,r E

0

rrrrr ⋅−ω

= (5.44)

( ) ( )r k t ie B t,r B

0

rrrrr ⋅−ω

= ⇒ ( ) ( )r k t ie H t,r H

0

rrrrr ⋅−ω

= (5.45)

Faptul că se consideră cazul undei monocromatice nu diminuează generalitatea concluziilor, deoarece o undă de orice formă (o undă reală) poate fi considerată ca o suprapunere de unde armonice plane. Dacă toţi vectorii E

r sunt paraleli la o direcţie dată,

atunci avem o undă liniar polarizată. O undă plană nepolarizată se poate reprezenta ca o sumă de unde polarizate liniar. În relaţiile (5.44) – (5.45) k

r este vectorul de undă

s 2 k rr⋅

λπ= (5.46)

unde sr este versorul direcţiei de propagare a undei. În cazul particular considerat, ecuaţiile lui Maxwell (3.27) – (3.29) devin:

E D , 0 tD H

rrr

rε==

∂∂−×∇ ⇒

tE H ∂∂ε=×∇r

r (5.47)

- 51 -

H B , 0 tB E

rrr

rµ==

∂∂+×∇ ⇒

tH E ∂∂µ−=×∇r

r (5.48)

H B , 0 B rrr

µ==⋅∇ ⇒ 0 H =⋅∇r

(5.49)

E D , 0 D rrr

ε==⋅∇ ⇒ 0 E =⋅∇r

(5.50)

Forma exponenţială (5.44) – (5.45) a soluţiilor ecuaţiilor (5.47) – (5.50) simplifică foarte mult calculele, deoarece operaţiile de derivare se reduce la simple înmulţiri. Astfel:

( ) E i r k t i

e E i tE

0

rrrr

r

ω=⋅−ω

⋅ω=∂∂ ⇒ E i E

trr

ω=∂∂ ⇒ ω→

∂∂ i t

(5.51)

( ) ( ) ( )zk y k x k t ie kE jE iE kE jE iE E zyx

z 0y 0 x0zyx

−−−ω++∇=++∇=⋅∇

rrrrrrr =

= ( )E k i Ek i Ek i Ek i z

E

y

E

xE

zzyyxxzyx

rr⋅−=−−−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ⇒

( )E k i E rrr⋅−=⋅∇ ⇒ k i

r−→∇ (5.52)

Înlocuind (5.51) – (5.52) în (5.47) – (5.50) , obţinem:

E i H k i rrr

ω⋅ε=×− ⇒ ( )H E , k E H k 1 E

rrrrrrr⊥⊥×⋅

ωε−= (5.53)

H i E k i rrr

ω⋅µ−=×− ⇒ ( )E H , k H E k 1 H

rrrrrrr⊥⊥×⋅

ωµ= (5.54)

0 H k i =⋅−rr

⇒ 0 H k =⋅rr

( )H krr

⊥ (5.55)

0 E k i =⋅−rr

⇒ 0 E k =⋅rr

( )E krr

⊥ (5.56)

Se constată că vectorii Er

şi Hr

sunt perpendiculari între ei. De asemenea, Er

şi Hr

oscilează perpendicular pe direcţia de propagare (unda electromagnetică este o undă transversală). Vectorii E

r, Hr

şi kr

formează un triedru drept. Pentru o undă electromagnetică ce se propagă în vid, reprezentarea grafică a vectorilor E

r şi H

r la un moment dat, în funcţie

de coordonata spaţială a direcţiei de propagare, este de forma:

Din (5.54) rezultă:

H E k rrr

ωµ=× ⇒ k E sin 900 = H ωµ ⇒ EH k ⋅µ=

ω (5.57)

Dar

- 52 -

( )εµ==

λ=

πν⋅

λπ=

ω

33.5

v1 T

21 2 k (5.58)

Egalând expresiile lui ω/k din (5.57) şi (5.58) obţinem:

εµ=µ EH ⇒ E H ε=µ (5.59)

Rezultă că modulele vectorilor Er

şi Hr

sunt proporţionale. Se defineşte impedanţa caracteristică a mediului Z prin raportul

Z = ( )

r

r0

r0

ro Z 5.59

HE

ε

µ=

εε

µµ=

εµ

= (5.60)

unde

Ω=ε

µ= 377 Z

o

00

(5.61)

este impedanţa caracteristică a vidului. Din relaţia (5.59) rezultă:

1 2/H 2/E m

e

2

2

E

E =µε=

ρ

ρ (5.62)

adică densităţile de energie electrică şi magnetică sunt egale. Astfel densitatea de energie electromagnetică este:

( )22

22

EEEH E

5.62

2H

2E m e µ=ε=

µ+ε=ρ+ρ=ρ (5.63)

Vectorul Poynting H E S rrr

×= reprezintă energia ce trece în unitatea de timp rin

unitatea de arie a unei suprafeţe perpendiculare pe direcţia de propagare a undei.

( ) s E E

5.59 s H E H E S rrrrr

µε

==×= ⇒ s E S 2 rr

µε= (5.64)

Luând partea reală a lui Er

din (5.44) (abandonând pentru moment notaţia fazorială) şi presupunând că unda se propagă în direcţia axei z , obţinem:

( ) ( ) s zk t cos E S , zk t cos E E 22

00

rrrr−ω

µε=−ω= (5.65)

Intensitatea undei este definită ca media temporală a mărimii vectorului Poynting:

I = ( )

( )∫∫ =−ωµε

==T

0

22

0

T

0

dt zk t cos E T1

5.65 dt S

T1 S

rr

= ( )[ ]2T

T1 E dt

2zk t 2 cos 1

T1 E 2

0

T

0

2

0⋅

µε=−ω+

µε ∫ ⇒

- 53 -

2

0E

21 I

µε= (5.66)

deoarece media temporală a lui ( )zk t cos2 −ω este 1/2.

( ) ( ) =−ωω

⋅=−ω⎢⎣⎡ ∫ zk t 2sin

21

2T1 dt zk t 2 cos

2T1

T

0

T

0

= ( ) ( )[ ] ( ) =+ω−ωω

=−−−ωω

2kzsin T2 cos 2kzsin kz cos T2sin 4T

1 zk 2 sin zk T sin2T41

= 0 2kzsin

1

TT22 cos2kzsin kz cos

0

TT22 sin

T41

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⋅π⋅⋅−

=

⋅π⋅ω 443442143421

Rezultă că intensitatea undei electromagnetice plane este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului E

r.

Relaţia (5.66) se poate pune sub forma:

T = ( ) ( )

E

222

0 v

5.63 , 58.5 E 1 E 1 E 1

21 ρ⋅=ε⋅

εµ=ε⋅

ε⋅

µε=ε⋅

ε⋅

µε (5.67)

Astfel intensitatea undei se exprimă ca produsul dintre viteza de fază şi valoarea medie temporală a densităţii de energie electromagnetică.

Viteza de fază este dată de relaţia (5.36)

nc c 1 v

rr

=µε

=εµ

= (5.68)

unde n este indicele de refracţie

rr n µε= (5.69)

Deoarece rε > 1 ,

rµ > 1 , rezultă că v < c . Într-un mediu nemagnetic (

rµ =1 )

r n ε= (5.70)

În vid, viteza de fază este v = c (relaţia (5.15)) , astfel că

( )E

2

00

00

c 5.67

E 21 I ρ⋅=⋅

µ

ε= (5.71)

Deoarece H B0

µ= , rezultă

( ) ( )c 1

5.58

k 1

5.57

HE

BE

00

0

00

=µε=

µω⋅

µ=µ= (5.72)

Ca exemplu, considerăm un fascicul cu raza r = 4 10− m şi puterea la vârf 12

0107,5 P ⋅= W, emis în vid de un laser care funcţionează în regim de impulsuri. În acest caz

- 54 -

220200

W/m102,39 r P

AP S I ⋅=

π===

r

2

00

2

00

00

EZ1 E I ⋅=

µ

ε= ⇒ 2

0E =

000I120 IZ ⋅π= ⇒ V/m 10 3 E 112

0⋅=

c B/E = ⇒ T10 c/E B 32

0

2

0==

Valorile obţinute sunt foarte mari (la numai V/m 103 6⋅ are loc descărcarea în aer între doi electrozi). Un astfel de fascicul produce vaporizarea instantanee a sticlei.

5.5. Starea de polarizare a undelor electromagnetice

Undele electromagnetice sunt unde transversale, întrucât vectorii Er

şi Hr

oscilează perpendicular pe direcţia de propagare a undei. Deoarece efectele luminoase sunt datorate vectorului E

r, se analizează numai modul de oscilaţie a acestui vector. Unda electromagnetică

este liniar polarizată sau plan polarizată dacă vectorul intensitate de câmp electric Er

oscilează astfel încât rămâne tot timpul paralel cu o direcţie din planul perpendicular pe direcţia de propagare. Dacă E

r oscilează după diferite direcţii situate în planul perpendicular

pe direcţia de propagare, fără a exista vreo direcţie preferenţială (amplitudinea este aceeaşi pentru orice direcţie) unda se numeşte nepolarizată. Sursele convenţionale ca Soarele, becurile cu incandescenţă etc. emit unde luminoase nepolarizate, deoarece câmpul emis de fiecare atom din sursă oscilează independent de câmpurile emise de ceilalţi atomi (actele de emisie ale atomilor sursei sunt necorelate). Unda rezultantă emisă de o sursă convenţională se numeşte undă naturală.

Dacă unda plană nu este polarizată liniar, atunci ea se poate exprima ca suma a două unde polarizate liniar, ale căror vectori intensitate de câmp electric

1Er

şi 2

Er

se află de-a lungul a două direcţii reciproc perpendiculare din planul considerat, cele două unde componente având aceeaşi frecvenţă, iar între vectorii

1Er

şi 2

Er

existând un defazaj ϕ . Într-o

undă plană, liniar polarizată, vectorii Er

şi Hr

au forma (5.44) – (5.45) , unde 0

Er

şi 0

Hr

sunt

vectori independenţi de timp şi de coordonatele spaţiale. Dacă propagarea undei se face după

direcţia axei z , atunci vectorul Er

are forma ( )kz t ie E E

0

−ω=rr

unde amplitudinea 0

Er

a

undei liniar polarizate este o mărime reală, constantă. Planul determinat de direcţia de oscilaţie a vectorului E

r şi direcţia de propagare a undei se numeşte plan de vibraţie

(oscilaţie), iar planul format de direcţia de oscilaţie a vectorului Hr

şi direcţia de propagare a undei se numeşte plan de polarizare.

Prin compunerea a două oscilaţii armonice perpendiculare de aceeaşi pulsaţie

( ) ( )kz t cos E E , kz t i

e E E x0x x0x

−ω=−ω

= (5.73)

( ) ( )ϕ+−ω=ϕ+−ω

= kz t cos E E , kz t i

e E Ey 0yy 0y

(5.74)

- 55 -

se obţine în general o oscilaţie eliptică a cărei formă şi al cărei sens de parcurgere depend de

xE şi

yE . Eliminând timpul t între relaţiile (5.73) şi (5.74) se obţine ecuaţia unei elipse

înscrise într-un dreptunghi de laturi 2A şi 2B (A = x0

E , B = y 0

E ):

ϕ=ϕ⋅−+ 2

y0x0

yx2

y 0

2

y2

x0

2

x sin cosE2E

E2E

E

E

E

E (5.75)

În cursul propagării undei, vectorul rezultant

jE iE Eyx

rrr+= (5.76)

suferă şi o mişcare de translaţie pe direcţia z , astfel că în realitate vârful acestui vector descrie o elice, înfăşurată pe un cilindru de secţiune eliptică, având pasul egal cu lungimea de undă λ . Proiecţia locului geometric pe care-l descrie în spaţiu vârful vectorului rezultant E

r

pe un plan perpendicular pe direcţia de propagare este o elipsă de semiaxe x0

E şi y 0

E .

O astfel de undă se numeşte eliptic polarizată. Dacă pentru un observator aflat de-a lungul axei Oz şi care priveşte astfel încât unda să vină spre el, sensul de rotire al vectorului E

r pee

lice este acelaşi cu sensul de rotire al acelor de ceasornic, unda se numeşte eliptic polarizată dreapta. În caz contrar, unda este elliptic polarizată stânga. Am considerat că observatorul priveşte spre sursa de oscilaţie.

Dacă ( )ππ∈ϕ 2 , are loc o polarizare dreapta, iar dacă ( )π∈ϕ , 0 unda este polarizată stânga.

Dacă π=ϕ 2m (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în concordanţă de fază, iar relaţia (5.75) se reduce la forma:

x x0

y 0

yE

E

E E ⋅= (5.77)

care este ecuaţia unei drepte ce trece prin origine şi este situată în cadranele I şi III .

În acest caz particular unda electromagnetică rezultantă este liniar polarizată, vectorul E

r fiind

tot timpul paralel cu CC , care face unghiul α cu axa Ox , unde:

x0

y 0

E

E tg =α

Dacă ( )π+=ϕ 1 m2 , (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, iar relaţia (5.75) se reduce la forma:

x x0

y 0

yE

E

E E ⋅−= (5.78)

care reprezintă cealaltă diagonală a dreptunghiului.

- 56 -

În acest caz unda este tot liniar polarizată, dar direcţia de polarizare face un unghi − α cu axa Ox.

Dacă ( )2

1 2m π+±=ϕ , (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în cuadratură de

fază, iar relaţia (5.75) devine:

1 E

E

E

E2

y 0

2

y2

x0

2

x =+ (5.79)

care reprezintă ecuaţia unei elipse raportate la axele sale.

Dacă 2

π=ϕ , atunci vârful vectorului Er

se deplasează pe elipsă în sensul acelor de

ceasornic, iar dacă 2

π−=ϕ , în sens invers. În particular, dacă y 0 x0

E E = elipsa devine un

cerc de ecuaţie 2

y 0

2

x0

2

y

2

xE E E E ==+ (5.80)

unda fiind circular polarizată. Se defineşte gradul de polarizare P

21

21

I I I I

P+

−= (5.81)

unde 1

I este intensitatea undei corespunzătoare direcţiei privilegiate, în care intensitatea

câmpului electric are valoarea maximă, iar 2

I este intensitatea undei pentru o direcţie perpendiculară pe prima, în care intensitatea câmpului electric are valoarea minimă. Se constată că pentru o undă nepolarizată

1I =

2I , P = 0 (cazul luminii naturale); pentru o undă

liniar polarizată 2

I = 0, P = 1 (unda total polarizată), iar pentru o undă parţial polarizată

0 < P < 1 .

undă nepolarizată undă parţial polarizată undă liniar polarizată 5.6. Propagarea undelor electromagnetice în medii conductoare ( 0 ≠σ )

În interiorul unui conductor nu există densitate de sarcină ( 0 lib=ρ ). Pe baza relaţiilor

(5.51) şi (5.52) , ecuaţiile lui Maxwell (3.27) – (3.29’) devin:

E D , E j tD H

lib

rrrrrr

ε=σ==∂∂−×∇ ⇒ E E i H k i

rrrrσ=εω−×− (5.82)

H B , 0 tB E

rrr

rµ==

∂∂+×∇ ⇒ 0 H i E k i =µω+×−

rrr (5.83)

H B , 0 B rrr

µ==⋅∇ ⇒ 0 H =⋅∇r

(5.84)

- 57 -

E D , 0 D lib

rrrε==ρ=⋅∇ ⇒ 0 E =⋅∇

r (5.85)

Din (5.82) şi (5.83) rezultă:

( ) H k i i Errr

×−=εω+σ ⇒ σ−εω

×−= i H k Err

r (5.86)

E k H rrr

×=µω ⇒ µω×= E k Hrr

r (5.87)

Din aceste relaţii se constată transversalitatea şi ortogonalitatea vectorilor Er

şi Hr

. Din aceleaşi relaţii se determină impedanţa caracteristică a mediului de propagare ( E E

r= )

k

i k

HE Z µω

=σ−εω

== (5.88)

Din ultima parte a relaţiei (5.88) rezultă:

( ) σµω−εµω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

εωσ−εµω=σ−εωµω= i

i 1 i k 222 (5.89)

La acelaşi rezultat se ajunge folosind relaţiile (5.28) şi (3.28) :

lib2

2

j tB B

rrr

×∇µ−=∂∂εµ−∆ ,

tH

tB E , E j , H B

lib ∂∂µ−=

∂∂−=×∇σ=µ=

rrrrrrr

⇒

( ) 22

22

2

22 i i

t , i

t ,

tH E

tH H ω−=ωω→

∂∂ω→

∂∂

∂∂⋅σµ=×∇µσ−=

∂∂εµ−∆µ

rr

rr

,

( ) 2k k i k i , k i −=−−→∆−→∇rrr

⇒ H i H H k 2222 rrrωσµ=ωεµ+µ− ⇒

ωµσ−µεω= i k 22 (5.89)

Se constată că într-un mediu conductor k este o mărime complexă

b i a k −=∗ (5.90)

Pentru un mediu nedisipativ ( 0 =σ ) , în care nu există pierderi prin efect Joule şi nu are loc o atenuare a undei, k este o mărime reală

µεω= 22 k (5.91)

Relaţia (5.89) este de aceeaşi formă cu (5.91) dacă se introduce o permitivitate electrică complexă

ωσ⋅−ε=∗ε i (5.92)

Înlocuind (5.90) în (5.89) şi identificând părţile reale şi cele imaginare, obţinem:

(5.93) ωµσ−µεω=−− i b ab i 2 a 222 ⇒ ⎩

⎨⎧ µεω=−

ωµσ=

222

b a ab2 ⇒

(5.94)

2b a ωµσ= (5.95)

- 58 -

( )µεω=−ωµσ 22

2

2

b b4

⇒ ( ) 0 b4 b4 2224 =ωµσ−εµω+ ⇒

x b2 = ⇒ ( ) 0 x 4 x4 222 =ωµσ−εµω+ ⇒

( ) ( )2

1

4 4 4 2

x

2

222

2222

2,1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

εµωωµσ+εµω±εµω−

=ωµσ+εµω±εµω−

=

2b fiind pozitiv, vom lua numai semnul + în faţa radicalului:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ωεσ+

εµω= 1 1

2 b

222 (5.96)

Înlocuind în (5.93) , obţinem:

εµω+εµω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωεσ+εµω=εµω+= 2

222222

2 1

2 b a ⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ωεσ+

εµω= 1 1

2 a

222 (5.97)

Pentru o undă electromagnetică plană care se propagă în interiorul unui conductor în lungul axei z , intensitatea câmpului electric este de forma:

( ) ( ) ( )[ ] z b i a t ie E

5.90

kz t ie E E

00

−−ω=

−ω=

rrr ⇒

( ) az t iebz e E E

0

−ω⋅−=

rr (5.98)

Se constată că amplitudinea bz e E0

−r scade exponenţial datorită atenuării produse de

mediul conductor. Atenuarea este legată de partea imaginară b a mărimii complexe k . Spre deosebire de ecuaţia (5.31) care descrie un proces reversibil (ecuaţia este invariantă la schimbarea semnului timpului, t t −→ ) , ecuaţia (5.34) descrie un proces ireversibil, deoarece termenul în σ conduce la atenuarea undei.

Pentru b1 z =δ= , amplitudunea bz e E

0

−r scade de e ori (

eE

b1 b

e E 00

=−

) .

Mărimea δ astfel definită se numeşte adâncime de pătrundere. Deoarece intensitatea I a

undei este proporţională cu pătratul amplitudinii ( bz2 e E 2

0

− ) rezultă că şi intensitatea undei

scade exponenţial, iar pentru b1 z =δ= , I scade de 2e ori. O undă electromagnetică plană

care se propagă de-a lungul unui conductor metalic este localizată la suprafaţa conductorului, datorită absorbţiei puternice a undei. Acest fenomen este utilizat la liniile de transmisie a energiei electromagnetice şi se numeşte efect pelicular. Astfel la cupru

- 59 -

( ) ( ) ( ) , m 1,66 MHz 1 mm, 09,2 kHz 1 mm, 8,53 Hz 60 , 1 ,m 105,8 r

117 µ=δ=δ=δ=µΩ⋅=σ −−

( ) m 21,1 GHz 3 µ=δ , iar la aluminiu, ( ) m 6,48 MHz 1 , 1 ,m 1054,3 r

117 µ=δ=µΩ⋅=σ −− . Se constată că adâncimea de pătrundere a undei electromagnetice este mult mai mică

decât lungimea de undă. Astfel ( ) m 10 m 0,1 103103 c GHz 3 5

9

8

µ==⋅⋅=

ν=λ în vid,

( ) mm 0,4 MHz 1 =λ în cupru, ( ) m 030 MHz 1 =λ în aer (a fost calculată pentru vid).

La metale, 1 r=ε , raportul

ωεσ este mult mai mare ca 1 . De aceea putem neglija

unitatea din relaţiile (5,96) şi (5.97) , aşa încât obţinem:

2

2 a b

222 ωµσ=

ωεσ⋅εµω−= ⇒

2 b ωµσ= ⇒

ωµσ==δ 2

b1 (5.99)

La cupru, pentru MHz 1 =ν , obţinem:

12126

7

0

10 1085,8102

105,8 ≈⋅⋅⋅π⋅

⋅=ωεσ=

ωεσ

− >> 1

m 106,61 m 104108,5102

2 5776

−− ⋅=

⋅π⋅⋅⋅⋅π=δ

Şi în acest caz se defineşte un indice de refracţie, în conformitate cu relaţia (5.69) , cu deosebirea că aici permitivitatea fiind complexă şi indicele de refracţie va fi complex. Astfel, divizând relaţia (5.92) cu

0ε obţinem:

ωεσ−ε=∗ε0

rr i (5.100)

ωεσ=ε ′′ε=ε′ε ′′−ε′=∗ε0

rrrrrr , , i (5.101)

rr n µ∗ε=∗ ; (5.89) ⇒ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εωε

σ−εµεω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωεσ−µεω=∗

r0r0

222 i 1 i 1 k ⇒

∗εµεω=∗r0

22 k (5.102)

∗εεµµω=∗r0r0

k ⇒ 00

k n

εµω

∗=∗ ⇒

ω

∗=∗ ck n (5.103)

( )ω

=′′ω

=′′′−′=∗ω

−ω

=−ω

=∗ cb n , ca n , n i n n , b c i a c b i a c n (5.104)

Din relaţiile (5.98) şi (5.104) rezultă că amplitudinea bz e E0

−r =

z n c

e E

0

′′ω−rare

o scădere exponenţială datorită părţii imaginare a indicelui de refracţie complex. De aceea n ′′ se numeşte coeficient de extincţie.

Deoarece mărimile n , , kr

′′∗ε∗ depind de pulsaţia ω , se spune că undele prezintă fenomenul de dispersie în medii conductoare.

- 60 -

Un bun conductor are densitatea curentului de conducţie E

σ de cel puţin 50 de ori mai mare decât densitatea curentului de deplasare ( t E/ t D/ ∂∂ε=∂∂ ):

50 tE/

E ≥∂∂ε

σ=

ωεσ

Viteza de fază a undei este:

µσω=

ωµσω=ω= 2

2

a

vf

(5.105)

Dacă σ şi µ nu depind de pulsaţie, atunci viteza de grup a undei într-un bun conductor este de două ori mai mare decât viteza de fază:

fg v2 2 2

221

1 d/da

1 dad v =

µσω=

µσω

=ω

=ω= (5.106)

La cupru, pentru ν = 1 MHz:

m/s 830 v, m/s 415 m/s 108,5104

1022 vg77

6

f==

⋅⋅⋅⋅π⋅= −

(viteza sunetului în cupru este de m/s 106,3 3⋅ ). Indicele de refracţie real la cupru, pentru ν = 1 MHz este:

810 1,1 2

c ca n ⋅=ωσµ=

ω=′

Impedanţa caracteristică Z a conductorului în care se propagă unda electromagnetică se obţine din relaţiile (5.88) şi (5.99):

2 b a , b i a k

HE Z ωµσ==

−ωµ=∗

ωµ==

( ) ( ) 4 i

e i 1 2

1 i 1 2

b i a kπ−

σ′ωµ=−⋅σ′ωµ=−ωµσ=−=∗

4 i

e

HE Z

π−σ′ωµ

ωµ== ⇒ /4 ie Z πσωµ= ⇒ (5.107)

⋅= H E 4 i

e π

σωµ , ⋅= E H 4

π

ωµσ i

e −

(5.108)

Din relaţiile (5.98) şi (5.108) rezultă:

z t ie

z e E E

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω

⋅δ−

= (5.109)

- 61 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

δ−ω

⋅δ−

=

π−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω

⋅δ−

ωµσ=

4 z t i

ez

e H 4 i

e

z t ie

z e E H

00 (5.110)

Spre deosebire de dielectrici, la care Er

şi Hr

sunt în fază, în cazul conductorilor între aceşti vectori există un defazaj de 4/π radiani.

Pentru λ= z şi k = a = 2 λπ / , amplitudinea undei ε− z/ e E0

scade de ( ) π2e/1

ori ( ( ) π−=λλπ−

=−=− 2e /2

e az e bz e ). Datorită efectului pelicular, conductorii sunt opaci la radiaţiile din spectrul vizibil (exceptând conductorii sub formă de straturi foarte subţiri).

Pentru MHz 1 =ν , impedanţa caracteristică la cupru este:

Ω⋅=Ω⋅

⋅π⋅⋅π== −−

103,7 108,5

104102 HE Z 4

7

76

<< 0

Z (vid) = 377 Ω

Vectorii Er

şi Hr

sunt ortogonali într-o undă polarizată liniar. Dacă unda nu este polarizată liniar, atunci vectorii E

r şi H

r pot să nu fie ortogonali.

Media temporală a densităţii de energie electrică se obţine din (5.109) :

δ−⋅ε=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω⋅δ−⋅ε=ε=ρ /z2eE

4 z t cos /z2eE

2

2E e 2

0

22

0

2

E

Media temporală a densităţii de energie magnetică se obţine pe baza relaţiei (5.110) :

δ−⋅⋅ωµσ⋅µ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

δ−ω⋅δ−⋅⋅

ωµσ⋅µ=µ=ρ /z2eE

4

4 z t cos /z2eE

2

2H m 2

0

22

0

2

E

Raportul acestor densităţi de energie este:

501 m

e

E

E ≤µωε=

σωµ⋅

µε=

ρ

ρ (5.111)

Din cauza valorii mari a lui σ , densitatea de energie magnetică este mult mai mare decât densitatea de energie electrică, iar

libj/E este foarte mic. E este mic, dar densitatea de

current este mare (de aceea şi H este mare). Folosind părţile reale ale expresiilor (5.109) şi (5.110) , putem determina valoarea

medie temporală a mărimii vectorului Poynting:

z t cos 4

cos/z2eE H E S 22

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω⋅π⋅δ−⋅

ωµσ=×=

rrr ⇒

δ−⋅⋅ωµσ⋅= /z2eE

2

21 S 2

0

r (5.112)

Obţinem acelaşi rezultat dacă folosim expresia:

H E Re 21 S ∗×⋅=

rrr (5.113)

- 62 -

unde E şi H au forma exponenţială.

( ) ( ) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ π

⋅δ−ω−

⋅δ−

⋅⋅ωµσ⋅

δ−ω⋅δ

−⋅⋅= 4

ie

z/ t i e

z eE

z/ t ie

z eE Re

21 S

00

r

= 4

cos/z2eE 21 2

0

π⋅δ−⋅⋅ωµσ⋅ = δ−⋅⋅

ωµσ⋅ /z2eE

2

21 2

0

Se constată că şi intensitatea undei (media temporală a mărimii vectorului Poynting) are o scădere exponenţială. Din relaţia (5.111) şi din expresia mediei temporale a densităţii de energie electrică se constată că intensitatea undei este egală cu produsul dintre valoarea medie temporală a densităţii de energie electromagnetică şi viteza de fază:

I S 24

/z2eE 2 1 /z2eE 4

2

0

2

0==

µσω⋅

ωεσ⋅ε⋅δ−⋅≈

µσω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ωεσ⋅δ−⋅⋅ε

r ⇒

EEEfE m e , v I ρ=ρ+ρ⋅ρ= (5.114)

Se defineşte tangenta unghiului de pierdere electrică prin relaţia:

ε′ε ′′=εδ tg (5.115)

Din (5.101) şi (5.115) obţinem:

ωεσ=

ωεεσ=

ε

ωεσ

=ε′ε ′′

=ε′ε

ε ′′ε=εδ

tgr0r

0

r

r

r0

r0 (5.116)

Similar se defineşte tangenta unghiului de pierdere magnetică:

µ′µ ′′=µδ tg (5.117)

Din (5.101) , (5.116) şi din definiţia indicelui de refracţie complex obţinem:

( )εδ−ε′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε′ε ′′

−ε′=ε ′′−ε′=∗ε tgi 1 i 1 i r

r

rrrrr

(5.118)

rr n µ∗ε=∗ ⇒ ( ) tgi 1 n

rrrr

2

εδ−ε′µ=µ∗ε=∗ (5.119)

ni n n ′′−′=∗ ⇒ ( )εδ−ε′µ=′′−′′′−′ tgi 1 n n n i 2 nrr

22 ⇒

n nrr

22 ε′µ=′′−′

εδ⋅ε′µ=′′′ tg n n 2rr

(5.120)

Din (5.120) , pe baza relaţiilor trigonometrice

2cos

2sin 2 sin εδ⋅ε

δ=εδ

- 63 -

2sin

2cos cos 22 εδ−εδ=εδ

obţinem:

εδ

εδ

⋅ε′µ=′cos

2cos

nrr

, εδ

εδ

⋅ε′µ=′′cos

2sin

nrr

(5.121)

În cazul în care se ţine seama şi de pierderile magnetice, în locul relaţiilor (5.121) avem:

µδ⋅εδ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ µδ+εδ

⋅ε′µ′=′coscos

2

cos

nrr

, µδ⋅εδ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ µδ+εδ

⋅ε′µ′=′′coscos

2

sin

nrr

(5.122)

5.7. Reflexia şi refracţia undelor electromagnetice 5.7.1. Legile reflexiei şi refracţiei

Când o undă electromagnetică întâlneşte suprafaţa de separare a două medii dielectrice diferite, o parte din energia undei se întoarce în primul mediu (se reflectă), iar cealaltă parte trece în mediul al doilea (se refractă). Alegem originea O în punctual de incidenţă al undei cu planul care separă cele două medii (planul xOy ) , iar axa Oz îndreptată de la primul mediu spre al doilea mediu, coincizând cu normala la suprafaţa de separare. Planul xOz , care conţine normala la suprafaţa de separare a celor două medii şi direcţia de propagare a undei incidente, se numeşte plan de incidenţă. Axa Oy este perpendiculară pe planul foii, fiind orientată dinspre foaie înspre noi.

Se presupune că mediile dielectrice sunt medii ideale (omogene, izotrope, liniare,

nedisipative şi conservative). Nu avem reflexii multiple, deoarece interfaţa este foarte subţire, iar cele două medii separate au o întindere nelimitată (medii semiinfinite).

Vectorii intensitate de câmp electric pentru unda incidentă, cea reflectată şi respective cea refractată au forma:

( )rk t ie E E ii

i 0i

rrrr ⋅−ω

= (5.123)

( )rrr

r 0r

rk t ie E E

ϕ+⋅−ω=

rrrr

(5.124)

- 64 -

( )ttt

t0t

rk t ie E E

ϕ+⋅−ω=

rrrr

(5.125)

unde, conform relaţiei (5.58) :

i1

ii

uv

k rr⋅

ω= ,

r1

rr

uv

k rr⋅

ω= ,

t2

tt

uv

k rr⋅

ω= (5.126)

Am presupus că unda incidentă este uniformă şi liniar polarizată, vectorul de undă i

kr

fiind real şi orientat în direcţia de propagare a undei incidente, determinată de versorul i

ur . Originea vectorului r

r este în punctul O care se află pe suprafaţa de separare. De asemenea,

se presupune că i 0

Er

este o mărime reală. Întrucât unda incidentă este plană, rezultă că toate

razele incidente sunt paralele. Deoarece suprafaţa de separare este plană, rezultă că legile reflexiei şi refracţiei trebuie să fie aceleaşi pentru toate punctele de pe interfaţă. Aşadar razele reflectate trebuie să fie paralele între ele şi de asemenea razele refractate trebuie să fie paralele între ele.

La interfaţa z = 0 sau yu x u ryx

rrr+=

Σ trebuie îndeplinite condiţiile la limită şi

anume continuitatea componentelor tangenţiale ale câmpurilor electrice şi magnetice (

t2 t1E E = ,

t2 t1H H = ) , respectiv continuitatea componentelor normale ale inducţiilor

electrice şi magnetice ( n 2n 1

D D = , n 2n 1

B B = ) . Aceste relaţii sunt o consecinţă a faptului că pe suprafaţa de separare z = 0 dintre cele două medii dielectrice nu avem curenţi superficiali, respective distribuţii superficiale de sarcini electrice. Componenta tangenţială a lui E

r este continuă de-a lungul suprafeţei de separare atunci când componenta tangenţială a

lui ri

E Err

+ în mediul 1 este egală cu componenta tangenţială a lui t

Er

în mediul 2 :

( ) ( ) ( )tgttgrtgi

E E Errr

=+ (5.127)

Această relaţie trebuie să fie satisfăcută pentru orice moment t şi în orice punct de coordonate (x, y, 0).

Astfel, condiţiile la limită sunt îndeplinite numai dacă argumentele celor trei exponenţiale din relaţiile (5.123) – (5.125) sunt egale:

tttrrrii rk t rk t rk t ϕ+⋅−ω=ϕ+⋅−ω=⋅−ω

ΣΣΣ

rrrrrr (5.128)

Această relaţie este satisfăcută pentru orice moment t dacă;

ω=ω=ω=ω tri

(5.129)

adică în urma reflexiei şi refracţiei la suprafaţa de separare a doi dielectrici transparenţi pulsaţia radiaţiei electromagnetice incidente rămâne neschimbată. Din egalitatea termenilor liberi rezultă:

tr 0 ϕ=ϕ= (sau = π ) (5.130)

adică în urma reflexiei şi refracţiei nu se introduce un defazaj între unda incidentă şi unda reflectată, respective refractată; valoarea π se obţine dacă anumite amplitudini sunt negative. Prin urmare, undele reflectate şi transmise sunt sau în fază, sau în opoziţie de fază cu undele incidente. Din (5.128) rezultă:

Σ⋅ rk

i

rr =

Σ⋅ rk

r

rr =

Σ⋅ rk

t

rr (5.131)

- 65 -

Deci componentele lui i

kr

, r

kr

şi t

kr

paralele la interfaţă sunt egale. Dacă 0 ky i= ,

atunci 0 kyr = , 0 k

yt = , ca în figura de mai sus. Rezultă că vectorii

ikr

, r

kr

şi t

kr

sunt

coplanari, planul determinat de aceşti vectori fiind numit plan de incidenţă. Am obţinut prima lege a fenomenului de reflexie – refracţie: razele incidente, reflectate şi refractate sunt coplanare.

Folosind relaţiile (5.129) , (5.130) şi componentele versorilor ( ) , i cos , 0 , isin ui

r

( )i cos , 0 , isin u r

′−′r şi ( )r cos , 0 ,r sin u t

r , relaţiile (5.123) – (5.125) devin:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−ω

=

v

i cos z isin x t ie E E 1

i 0i

rr (5.132)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−′−ω

=

v

i cos z isin x t ie E E 1

r 0r

rr (5.133)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−ω

=

v

r cos z r sin x t ie E E 2

t0t

rr (5.134)

Vectorii Er

, Hr

şi kr

formează un triedru tridreptunghic (în ordinea indicată), atât în unda incidentă, cât şi în cea reflectată sau refractată. În general vectorii E

r şi H

r nu oscilează

în planul de incidenţă, dar se pot descompune în două componente, una aflată în planul de incidenţă şi alta normală pe acest plan. De aceea vom considera separat două unde: una în care vectorul intensitate de câmp electric se află în planul de incidenţă, iar vectorul intensitate de câmp magnetic este perpendicular pe planul de incidenţă (ca în figura de mai sus, unde orientarea vectorilor ; u , H , E

iii

rrr ; u , H , E

rrr

rrr

tttu , H , E rrr

respectă regula burghiului drept) şi

una în care orientările celor două câmpuri sunt inversate. Condiţia de continuitate (5.127) poate fi explicitată pe baza figurii şi a relaţiilor

(5.132) – (5.134) (reamintim că în acest caz z = 0 ):

vsinrx t i

er cosE v

isinx t iei cosE

vsinix t i

ei cosE 2 t0

1r 0

1i 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅−ω

⋅′−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅ (5.135)

Această ecuaţie este adevărată pentru orice x numai dacă:

v

r sin v

i sin v

i sin

211

=′= (5.136)

Din această relaţie obţinem a doua lege a reflexiei: i = i′ (5.137)

(unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie) şi legea a doua a refracţiei (legea lui Snell):

211

2

2

1

2

1 n nn

c/nc/n

vv

rsin i sin ==== (5.138)

unde am folosit relaţia (5.68) . Legea lui Snell se enunţă şi sub forma conservării cantităţii n⋅sin i atunci când o undă electromagnetică traversează o interfaţă:

- 66 -

r sinn i sinn21⋅=⋅ (5.139)

5.7.2. Relaţiile lui Fresnel

Folosind (5.136) , relaţia (5.135) se reduce la:

( ) r cos E i cos E E t0r 0i 0

=− (5.140)

Din relaţiile (5.54) şi (5.126) obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⋅

ω

ωµ=×

ωµ=

ii1

i

1ii

1i

E uv

1 E k 1 Hrrrrr

⇒ ( )ii

11i

E u v

1 Hrrr

×µ

=

( )rr

11r

E u v

1 Hrrr

×µ

=

( )tt

22t

E u v

1 Hrrr

×µ

=

(5.141)

Deoarece toţi vectorii intensitate de câmp magnetic au direcţia şi sensul axei Oy , putem abandona semnul de vector. Din (5.141) obţinem:

t22

tr11

ri11

iE

v1 H , E

v1 H , E

v1 H ⋅

µ=⋅

µ=⋅

µ= (5.142)

Pe baza relaţiilor (5.142) , (5.132) – (5.134) şi (5.136) , condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a lui H de-a lungul suprafeţei de separare Σ se exprimă astfel:

( ) ( ) ( )tgttgrtgi

H H H =+ ⇒ ( ) Ev

1 E Ev

1 t0

22r 0i 0

11

⋅µ

=+µ

(5.143)

Eliminând t0

E între relaţiile (5.140) şi (5.143) obţinem:

( ) ( ) r cos E Evv

i cos E Er 0i 0

11

22r 0i 0

+µ

µ=− ⇒

i cos r cosvv

E r cosvv

i cos E11

22r 0

11

22i 0 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

µ

µ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

µ

µ− ⇒

r cosv i cosvr cosv i cosv

EE

2211

2211

i 0

r 0

µ+µ

µ−µ=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.144)

Am pus indicele ⇓ întrucât am considerat cazul în care vectorii ri

E , Err

şi t

Er

sunt

paraleli la planul de incidenţă (ca în figura de mai sus). Pe baza relaţiei (5.68) obţinem:

11

1

11111

Z 1 v =ε

µ=

µεµ=µ ,

22

222

Z v =ε

µ=µ (5.145)

- 67 -

r cos Z i cosZr cos Z i cosZ

EE

21

21

i 0

r 0

+

−=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.146)

Înlocuind (5.145) şi (5.146) în (5.143) obţinem:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+⋅=+=

r cos Z i cosZ i cos Z2

EZZ

r cos Z i cosZ

r cos Z i cosZ 1 E

ZZ

E E ZZ

E21

1i 0

1

2

21

21i 0

1

2r 0i 0

1

2 t0

⇒

r cos Z i cosZ i cos Z2

EE

21

2

i 0

t0

+=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.147)

Din (5.138) şi (5.145) rezultă:

rsin i sin

vv

ZZ

2

1

22

11

2

1 ⋅µ

µ=

µ

µ= (5.148)

Pentru medii dielectrice pure (nemagnetice):

021 µ=µ=µ ⇒

rsin i sin

ZZ

2

1 =

În acest caz, relaţiile (5.146) şi (5.147) devin:

=⋅+⋅⋅−⋅=

+⋅

−⋅=

+⋅

−⋅

=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

r cosr sin i cosi sinr cosr sin i cosi sin

r cos i cosr sini sin

r cos i cosr sini sin

r cos i cos

ZZ

r cos i cosZZ

EE

2

1

2

1

i 0

r 0

=

( )( )( )( )r i cos

r isin r i cosr isin

i cosr sin r cosi sinr sini sin r cosi cos

r sini sin r cosi cos i cosr sin r cosi sin

++−−

=⋅+⋅⋅−⋅⋅

⋅+⋅⋅−⋅ ⇒

=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

EE

i 0

r 0 ( )( )r i tg

r i tg+− (5.149)

r cosr sin i cosi sin i cosr sin 2

r cos i cosr sini sin

i cos 2 r cos i cos

ZZ

i cos 2 EE

2

1i 0

t0

⋅+⋅⋅⋅=

+⋅

⋅=

+⋅

⋅=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

( ) ( ) r i cosr i sin i cosr sin 2

EE

i 0

t0

−⋅+⋅⋅=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.150)

(5.146) şi (5.147) sau (5.149) şi (5.150) sunt relaţiile lui Fresnel în cazul în care vectorul

iEr

vibrează paralel cu planul de incidenţă. Se constată că dacă undele incidente sunt

plan polarizate atunci şi undele reflectate şi refractate vor fi tot plan polarizate, vectorii r

Er

şi

tEr

vibrând tot în planul de incidenţă. Dacă în figura anterioară se schimbă sensul lui r

Er

(este

- 68 -

evident că se schimbă şi sensul lui r

Hr

) ca în figura de mai jos, atunci în (5.140) r 0

E − trece

înr 0

E , iar în (5.143) r 0

E trece în r 0

E − (deoarece r

Hr

are sensul opus axei Oy). În acest caz

în ecuaţiile (5.146) şi (5.149)r 0

E trece în r 0

E − :

i cos Zr cosZ i cos Zr cosZ

EE

12

12

i 0

r 0

+

−=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.146’)

=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

EE

i 0

r 0 ( )( )r i tg

r i tg +−

− (5.149’)

Relaţiile (5.147) şi (5.150) rămân neschimbate.

Pentru a face distincţie între cele două situaţii prezentate în figurile de mai sus, vom exprima relaţiile lui Fresnel (5.149) şi (5.150) în funcţie de raportul indicilor de refracţie, folosind relaţia (5.138) :

r cos i cos

r sini sin

r cos i cosr sini sin

EE

i 0

r 0

+⋅

−⋅=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

( )( )

r cos i cosn/nr cos i cosn/n

EE

12

12

i 0

r 0

+

−=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.151)

r cos i cosr sini sin

i cos 2 EE

i 0

t0

+⋅

⋅=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

r cos i cosnn

i cos 2 EE

1

2i 0

t0

+⋅

⋅=⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.152)

Din relaţia (5.152) se constată că unda transmisă este întotdeauna în fază cu unda incidentă (

t0E şi

i 0E sunt în fază la interfaţă deoarece raportul lor este întotdeauna pozitiv).

Din relaţiile (5.151) şi (5.138) rezultă că r 0

E şi i 0

E pot fi în fază (raportul r 0

E / i 0

E este

pozitiv) sau în opoziţie de fază (raportul r 0

E / i 0

E este negativ), în funcţie atât de raportul

12n/n , cât şi de valorile unghiurilor i şi r . Astfel

r 0E şi

i 0E sunt în fază dacă numărătorul

din membrul drept al relaţiei (5.151) este pozitiv (în acest caz numitorul este pozitiv).

i cos nn

1

2 > cos r ⇒ i cos r sini sin > cos r ⇒ sin i ⋅ cos i − sin r ⋅ cos r > 0 ⇒

sin 2i − sin 2r > 0 ⇒ 2

2r 2i cos2

2r 2isin 2 +⋅− > 0 ⇒ sin (i − r) cos (i + r) > 0 ⇒

i > r şi i + r < 2π

(1

n < 2

n )

(aer – sticlă)

(5.153)

sau:

i < r şi i + r > 2π (5.154)

- 69 -

(1

n > 2

n )

(sticlă - aer)

În cazul figurii de mai sus, comparând relaţiile (5.149’) şi (5.149) , în locul relaţiei (5.151) obţinem (se schimbă semnul):

( )( )

ir cosn/n r cos i cosn/n r cos

EE

12

12

i 0

r 0

+

−=

⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.155)

În acest caz r 0

E şi i 0

E sunt în fază dacă sin (r − i) cos (i + r) > 0 ⇒

i > r şi i + r > 2π

(1

n < 2

n )

(aer – sticlă)

(5.153’)

sau:

i < r şi i + r < 2π

(1

n > 2

n )

(sticlă - aer)

(5.154’)

În cazul incidenţei pe suprafaţa aer – sticlă ( 1,5 n 1; n21== ), reprezentarea grafică a

rapoartelor ( ) ( )⇓⇓ i 0 t0i 0r 0

E/E , E/E în funcţie de unghiul de incidenţă i ne arată că r 0

E este

în fază cu i 0

E dacă este îndeplinită relaţia (5.153’) corespunzătoare figurii de la pagina 68 şi

nu relaţia (5.153) corespunzătoare figurii de la pagina 63.

Se constată că raportul ( )⇓i 0r 0

E/E se anulează pentru B

i i = care verifică relaţia:

2 r i

B

π=+ (5.156)

Rezultă că în cazul în care este îndeplinită această relaţie nu există undă reflectată atunci când unda incidentă este polarizată cu vectorul ei

iEr

paralel cu planul de incidenţă

(unda trece prin interfaţă fără reflexie). Unghiul de incidenţă B

i (la trecerea aer – sticlă

Bi = 56,30) este numit unghi Brewster sau unghi de polarizare, deoarece o undă incidentă

nepolarizată pentru care B

i i = este reflectată ca o undă polarizată în care vectorul ei r

Er

este

perpendicular pe planul de incidenţă. Pentru B

i i = relaţia (5.138) devine:

12BB

B

B

BB n/n i tg i cosi sin

i

2sin

i sin

rsin i sin

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

= ⇒ nn

arctg i1

2B= (5.157)

- 70 -

Relaţia (5.157) permite determinarea indicelui de refracţie relativ (

12n/n ) dacă

Bi

este cunoscut din experienţă. Pentru a obţine legăturile dintre amplitudinile undelor incidente, reflectate şi

transmise (relaţiile lui Fresnel) în cazul în care unda incidentă este polarizată cu i

Er

perpendicular pe planul de incidenţă, vom scrie condiţiile de continuitate a componentelor tangenţiale ale vectorilor E

r şi H

r la suprafaţa de separare a celor două medii:

0

H

0

H

0

H , H H H , E E E ,

0

E

0

E

0

Eyt yr y it xr x xiyt yr y it xr x xi

=

=

=

+

=

=+=+

=

=

=

+

=

(5.158)

Deoarece ri

E , Err

şi t

Er

sunt paraleli cu axa Oy , iar ri

H , Hrr

şi t

Hr

sunt în planul xOz

(nu au componente pe axa Oy ), din relaţiile (5.158) obţinem:

t0r 0i 0E E E =+ (5.159)

t xr x xi H H H =+ (5.160)

unde r x xi

H , H şi t x

H se determină pe baza relaţiilor (5.141) :

0E0i cos0isin

kji

v1 E u

v1 H

i11

ii11

i

rrr

rrr

µ=×

µ= ⇒ i cos E

v1 H

i11

xi⋅

µ−= (5.161)

0E0i cos 0isin

kji

v1 E u

v1 H

r11

rr11

r−

µ=×

µ=

rrr

rrr ⇒ i cos E

v1 H

r11

r x⋅

µ= (5.162)

0E0r cos0rsin

kji

v1 E u

v1 H

t22

tt22

t

rrr

rrr

µ=×

µ= ⇒ r cos E

v1 H

t22

t x⋅

µ−= (5.163)

Înlocuind în (5.160) , obţinem:

( ) r cos Ev

1 i cos E E v

1t

22ir

11

⋅⋅µ

−=−µ

⇒

- 71 -

( ) r cos Ev

1 i cos E E v

1 t0

22i 0r 0

11

⋅⋅µ

−=−µ

(5.164)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se foloseşte relaţia (5.160) şi figura de mai jos ( r cosH i cosH i cosH

tri−=+− ⇒ ( ) r cosH i cos H H

t0i 0r 0−=− ):

Eliminând

t0E între relaţiile (5.159) şi (5.164) , obţinem:

( ) ( ) r cos E E v

1 i cos E E v

1r 0i 0

22i 0r 0

11

+µ

−=−µ

⇒

( ) ( ) r cos E E i cos E E ZZ

r 0i 0i 0r 01

2 +−=− ⇒

( )[ ] ( )[ ] r cos i cos Z/Z E r cos i cos Z/Z E12i 012r 0

−=+ ⇒

r cos i cos ZZ

r cos i cos ZZ

EE

1

2

1

2

i 0

r 0

+

−

=⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.165)

Din relaţia (5.159) rezultă:

r cos i cos ZZ

r cos i cos ZZ

r cos i cos ZZ

E E r cos i cos

ZZ

r cos i cos ZZ

E E

1

2

1

2

1

2

i 0i 0

1

2

1

2

i 0 t0

+

−++

=

+

−

+= ⇒

r cos i cos ZZ

i cos ZZ

2

EE

1

2

1

2

i 0

t0

+

⋅⋅

=⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.166)

(5.165) şi (5.166) constituie a doua pereche de relaţii Fresnel. Pentru medii nemagnetice:

1

2

2

1

nn

rsin isin

ZZ

== (5.167)

În acest caz, relaţiile lui Fresnel (5.165) şi (5.166) devin:

- 72 -

r cos i cos nn

r cos i cos nn

EE

2

1

2

1

i 0

r 0

+⋅

−⋅

=⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.168)

r cos i cos nn

i cos nn

2

EE

2

1

2

1

i 0

t0

+⋅

⋅⋅

=⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.169)

sau:

r cos i cos i sinr sin

r cos i cos i sinr sin

EE

i 0

r 0

+⋅

−⋅=

⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

EE

i 0

r 0 =⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( )( )r isin

r isin +−

− (5.170)

r cos i cos i sinr sin

i cos i sinr sin2

EE

i 0

t0

+⋅

⋅⋅=

⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

EE

i 0

t0 =⊥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛( )r isin

i cosrsin 2+⋅⋅ (5.171)

Din relaţia (5.168) se constată că r 0

E şi i 0

E sunt în fază dacă:

r cos i cosnn

2

1 −⋅ > 0 ⇒ 2

1

nn

> 1 ⇒ 1

n > 2

n ⇒ i < r şi cos i > cos r (5.172)

Reflexia are loc cu un defazaj egal cu π dacă:

2

1

nn

< 1 ⇒ 1

n < 2

n ⇒ i > r şi cos i < cos r (5.173)

La acelaşi rezultat se ajunge oe baza relaţiei (5.170) . Din (5.169) sau din (5.171) se constată că unda transmisă este întotdeauna în fază cu unda incidentă. În figurile de mai jos sunt illustrate cele două situaţii.

Unda transmisă este parţial polarizată, oricare ar fi unghiul de incidenţă. Utilizarea

unui număr sufficient de mare de plăci dielectrice poate face ca unda transmisă să aibă un grad de polarizare foarte mare (intensitatea luminii transmise este mult mai mare decât intensitatea luminii reflectate). În cazul incidenţei pe suprafaţa aer – sticlă, reprezentarea grafică a rapoartelor ( ) ( )

⊥⊥ i 0 t0i 0r 0E/E , E/E în funcţie de unghiul de incidenţă i este în

accord cu relaţia (5.173) .

- 73 -

Pentru medii dielectrice pure ( 1

r=µ ⇒

0 µ=µ ) , intensităţile undelor incidente,

reflectate şi refractate se exprimă cu ajutorul relaţiei (5.66):

2

t00

2tt

2

r 00

1rr

2

i 00

1ii

E 21 S I , E

21 S I , E

21 S I ⋅

µ

ε==⋅

µ

ε==⋅

µ

ε==

rrr (5.174)

Fluxurile de energie medii în unitatea de timp şi pe unitatea de suprafaţă a interfeţei sunt:

i cos I uu I uu S iniiniii

=⋅=⋅=Φrrrrr

(5.175)

i cos I uu I uu S rnrrnrrr

−=⋅=⋅=Φrrrrr

(5.176)

r cos I uu I uu S tnttnttt

=⋅=⋅=Φrrrrr

(5.177)

(proiecţiile mediilor temporale ale vectorilor Poynting pe direcţia normalei la suprafaţa de separare), unde

nur este versorul normalei la suprafaţa de separare, de componente 0 , 0 , 1 ,

iar ( ) ( ) i cos 0, i,sin u , i cos 0, i,sin uri

−rr şi ( )r cos 0, r,sin u

t

r sunt versorii direcţiilor de

propagare a undelor. Se defineşte coeficientul de reflexie R şi coeficientul de transmisie T prin rapoartele:

R

i

r

Φ

Φ= ⇒

2

i 0

r 0

i

r

EE

II

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== (5.178)

T

i

t

Φ

Φ= ⇒

i cosr cos

EE

i cosr cos

II

T2

i 0

t0

1

2

i

t ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

ε=⋅= (5.179)

Deoarece: ( )

1

2

1r 0

2r 0

1

2

nn

5.70

=εε

εε=

ε

ε (5.180)

rezultă:

i cosr cos

EE

nn

T2

i 0

t0

1

2 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.181)

Întrucât am neglijat pierderile, energia totală se conservă, adică:

R + T = 1 (5.182)

- 74 -

Relaţiile (5.178) , (5.181) şi (5.182) sunt valabile atât pentru undele ale căror vectori intensitate de câmp electric sunt în planul de incidenţă, cât şi pentru undele la care vectorii

riE , Err

şi t

Er

sunt paraleli cu interfaţa.

Din figura de mai sus se constată că pentru unghiul Brewster 0 R , i

B=

⇓ şi 1 T =

⇓ ,

în acord cu figura de la pagina 69. În cazul incidenţei normale (i = r = 0) , cele două perechi de ecuaţii Fresnel sunt

identice (planul de incidenţă este nedefinit). În acest caz, din relaţiile (5.155) , (5.168) , (5.178) , (5.152) , (5.169) şi (5.181) obţinem:

211

2

i 0

r 0

1

2

1

2

2

1

2

1

i 0

r 0

1

2

1

2

i 0

r 0 n nn

; EE

nn

1

nn

1

1 nn

1 nn

EE

,

nn

1

nn

1

EE

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

−

=

+

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓⊥⇓

2

21

21

n 1n 1

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= (5.183)

EE

1

nn

2 1

nn

nn

2

EE

, 1

nn

2 EE

i 0

t0

1

2

2

1

2

1

i 0

t0

1

2i 0

t0

⇓⊥⇓⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

=

+

⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )221

21

1 n

4n T

+= (5.184)

( )( )( ) 1

1 n

1 n

1 n

4n n 2n 1 T R 2

21

2

212

21

21

2

2121 =+

+=

+

++−=+

La trecerea din aer în sticlă, 21

n = 1,5 , iar coeficientul de reflexie R calculate pe baza relaţiei (5.183) este destul de mare:

4% 0,04 2,50,5

1,5 11,5 1 R

22

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

- 75 -

Dacă lumina trece prin 5 lentile are loc o pierdere prin reflexie de 20% din intensitatea luminii incidente (vezi relaţia (5.178) ). Pentru a avea un coefficient de reflexive mic se impune ca

21n să fie cât mai aproape de 1 .

5.7.3. Reflexia totală

Pe baza relaţiilor (5.152) , (5.167) şi (5.181) obţinem:

r cosrsin i cosisin rsin i cos2

EE

i 0

t0

⋅+⋅⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

⇒ ( ) ( )r i cosr isin rsin i cos2

EE

i 0

t0

−⋅+⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

(5.185)

( ) ( ) i cosr cos

r icosr isinrsinicos4

rsin isin

i cosr cos

EE

nn

T 22

222

i 0

t0

1

2 ⋅−⋅+

⋅⋅⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇓⇓

⇒

( ) ( )r icosr isin2rsin 2i sin T 22 −⋅+

⋅=⇓

(5.186)

( ) i cosr cos

r isinicosrsin4

rsin isin

i cosr cos

EE

nn

T 2

222

i 0

t0

1

2 ⋅+⋅⋅⋅=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⊥⊥

⇒

( )r isin2rsin 2i sin T 2 +

⋅=⊥

(5.187)

Din relaţiile (5.186) şi (5.187) rezultă că pentru 2

r π= obţinem sin 2r = 0 şi deci

⊥⇓= T T = 0 . În acest caz, din (5.167) rezultă:

1

2C

nn

2sin

i sin=

π ⇒

1

2C n

n i sin = (5.188)

În cazul când 2

n < 1

n (ca exemplu se consideră trecerea radiaţiei din sticlă în aer),

pentru C

i i ≥ are loc fenomenul de reflexie totală (nu avem radiaţie transmisă). În acest caz:

1 isin nn

r sin2

1 ≥= (5.189)

La trecerea unei unde electromagnetice din sticlă în aer ( ) 1 n ; 1,5 n21== unghiul

critic de incidenţă C

i pentru care 2 / r π= este de 41,80. Pentru i = 600 rezultă sin r = 1,3.

Sinusul nu poate fi supraunitar decât pentru valori complexe ale argumentului r . Astfel, pentru i >

Ci nu există nici un unghi real după care să aibă loc refracţia luminii în cel de-al

doilea mediu. Deşi, pentru i > C

i , coeficientul de reflexie R este egal cu unitatea,

pătrunderea undei în cel de-al doilea mediu trebuie să aibă loc în orice caz pe o distanţă comparabilă cu lungimea de undă a radiaţiei, pentru a putea fi satisfăcută continuitatea componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului electric şi a celui magnetic. Unda care pătrunde în mediul al doilea se întoarce în primul mediu din diferite plane situate în imediata vecinătate a suprafeţei de separare Σ .

- 76 -

Mediul 2 acţionează ca o inductanţă pură alimentată de la o sursă de tensiune alternativă (puterea se scurge într-un sens, apoi în sens opus, astfel că valoarea medie a puterii scurse este zero).

Presupunem că r este o mărime complexă de forma:

r = A + i B (5.190)

Pe baza formulei:

i2

xi e xie x sin−−=

obţinem:

sin r = sin (A + i B) = ( ) ( )

i2 Be A i e B e A ie

i2

B i +A i e

B i +A ie −−−

=−

− (5.191)

Deoarece sin r este o mărime reală (conform relaţiei (5.189) ) vom lua A = 2/π . Rezultă:

r = 2π + i B (5.192)

B;ch 2

Be Be i 2

Bei Bei r sin =−+=+−

=

( ) ( )Bsh i

2

Be Bei

2

B i +Ai e

B i +Aie r cos −=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

=−

+=

(5.193)

( ) 1 r sin i 1 r sin rsin 1 r cos 222 −=−−±=−±= m ⇒

1 r sin i r cos 2 −−= (5.194)

Am ales semnul − în faţa radicalului din (5.194) pentru a fi în acord cu a doua

relaţie din (5.193) . Pentru i = 600 rezultă sin r = 1,3 ; B = 0,75 ; r = 2π + 0,75 i ;

cos r = − 0,83 i . Utilizând forma exponenţială a unui număr complex:

2 i

e b i a

ϕ±ρ=± , 22 b a +=ρ ,

ab

2 tg =ϕ

putem scrie relaţiile (5.151) , (5.168), (5.152) şi (5.169) sub forma:

⇓

⇓

⇓

⇓

ϕ=

ϕ−

ρ

ϕ

ρ=−−

−+=

+

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ie

2 i

e

2 i

e 1 r sin i i cos n

1 r sin i i cos n

r cos i cos nr cos i cos n

EE

2

21

2

21

21

21

i 0

r 0 (5.195)

( ) ( )⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

ϕ=

ϕ=

−−

−+

=+

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛i 0r 02

21

2

21

21

21

i 0

r 0 E i

e E ; i

e 1 r sini

ni cos

1 r sini n

i cos

r cos

ni cos

r cos n

i cos

EE

(5.196)

- 77 -

2 i

e1 r sin icosn

i cos 2 1 r sini i cosn

i cos 2 r cos i cosn

i cos 2 EE

222

21

2

2121i 0

t0

⇓⇓ϕ

−⋅−+

=−−

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛(5.197)

2 i

e1 r sin n

icos

ni cos 2

1 r sini

ni cos

ni cos 2

r cos

ni cosn

i cos 2

EE

22

21

2

21

2

21

21

21

21

i 0

t0

⊥⊥ϕ

−⋅−+

=−−

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.198)

unde:

21

2

21

2

ni cos

1 r sin 2

tg, i cosn1 r sin

2 tg −=

ϕ−=ϕ

⊥⇓ ⇒ 2

tgn 2

tg 2

21⇓⊥

ϕ=

ϕ (5.199)

Înlocuind sin r cu 21

ni sin (conform relaţiei (5.189) ) în (5.197) – (5.199) obţinem:

2 i

e 1

nisin icosn

i cos 2 EE

2

21

222

21i 0

t0

⇓

⇓

ϕ

⋅

⋅−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.200)

( )

2 i

en

nisinn icos

i cos 2 2 i

e1 r sinn icos

i cos 2 EE

2

212

21

22

21

222

21

2i 0

t0

⊥⊥

⊥

ϕ

⋅

−⋅+

=

ϕ

⋅−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒

( ) E t0

=⊥

( )⊥

⊥

⋅

ϕ

⋅− i 02

21

E2 i

en 1

i cos 2 (5.201)

i cosn

1 n

isin

2

tg21

2

21

2

−

=ϕ

⇓ ⇒ i cosn

n isin

2 tg 2

21

2

21

2

⋅

−=

ϕ⇓ (5.202)

i cos

1 n

isin n

2

tg2

21

2

21−

=ϕ

⊥ ⇒ i cos

n isin

2 tg

2

21

2 −=

ϕ⊥ (5.203)

Dacă în locul relaţiei (5.151) folosim relaţia (5.155) obţinem:

- 78 -

2e

2 i

e i cosn i 1 r sin

i cosn i 1 r sin

i cosn 1 r sini

i cosn 1 r sini

i cosn r cosi cosn r cos

EE

21

2

21

2

21

2

21

2

21

21

i 0

r 0 =ϕ′

ϕ′−

=+−

−−=

+−−

−−−=

+

−=′⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

⇓

⇓

= ⇓ϕ′− i

e ⇒ ⇓

⇓

ϕ ′′=′⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ie

EE

i 0

r 0 , ⇓⇓

ϕ′−=ϕ ′′ (5.204)

1 r sin

i cosn

2tg

2

21

−=

ϕ′⇓ ⇒

2

21

2

2

21

n isin

i cosn arctg 2

−

⋅−=ϕ ′′

⇓ (5.205)

=ϕ′

⋅+−

π

⋅⋅=+−

⋅⋅=′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓⇓

2 i

eicosn 1 r sin

2 i

e i cos2 i cosn i 1 r sin

i cos2i EE

22

21

221

2i 0

t0

= icosn r sin 1

2

2 i

e i cos 222

21

2 −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ π−ϕ ′′

⋅

⇓

(5.206)

Din (5.195) , (5.196) şi (5.204) rezultă:

1 EE

EE

Ri 0

r 0

i 0

r 0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.207)

adică reflexia totală are loc fără pierderi. Aşadar, deşi pătrunde şi în mediul al doilea, unda se reflectă totuşi în totalitate. Din

relaţiile (5.195) – (5.205) se constată că există un defazaj între amplitudinile undelor reflectate şi transmise faţă de amplitudinea undei incidente. Întrucât, în general, diferenţa de fază

⊥⇓ϕ−ϕ=ϕ dintre cele două unde polarizate în planuri perpendiculare are valori

diferite de πn , unda reflectată total este polarizată eliptic. Pentru i = 600 rezultă ⊥

ϕ = 95,70

( 1,5 / 1 n21= ) .

Din relaţiile (5.134) , (5.193) şi (5.194) obţinem:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−⋅−ω

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−ω

⋅=2

2

t02

t0t

v1 r sin z i r sin x t i

eE v

r cosz r sin x t ieE E

rrr ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅δ

−

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅

−ω−

⋅= 2z t0

22

2

t0t

vrsin x t i

e

z

eE v

rsin x t ie

v1 r sin z

eE Errr

(5.208)

unde z

δ este distanţa de atenuare în direcţia perpendiculară la interfaţă:

- 79 -

( )Bsh 2

Bsh k

1 5.58

Bsh

v

1 r sin

v 2

2

2

2

2z ⋅π

λ==⋅ω

=−ω

=δ (5.209)

Din relaţia (5.208) rezultă că în cazul unghiului de refracţie complex ( i > C

i ) unda

pătrunde în mediul al doilea, dar se atenuează rapid, amplitudinea ei scăzând exponenţial cu distanţa. Astfel această undă se propagă în lungul axei Ox şi este atenuată în lungul axei Oz. Unda descrisă de relaţia (5.208) care se propagă paralel cu suprafaţa de separare, pătrunzând în mediul al doilea numai pe o distanţă foarte mică (de ordinul lungimii de undă) se numeşte undă evanescentă. Pentru i = 600 , 1,5 / 1 n

21= , rezultă 2,5/

2zλ=δ .

Pentru a pune în evidenţă undele evanescente, se consideră un mediu cu indicele de refracţie

2n aflat între două piese cu indicele de refracţie

1n >

2n . Dacă grosimea mediului

intermediar d < λ , atunci unda pătrunde în cea de-a doua piesă (are loc fenomenul de reflexive totală frustată). Fenomenul este analog cu efectul tunel din mecanica cuantică (avem un efect tunel optic). Amplitudinea undei evanescente este maximă la unghiul critic (limită)

Ci .

În cazul în care una incidentă este polarizată cu

iEr

perpendicular pe planul de incidenţă, din relaţiile (5.113) , (5.141) , (5.163) , (5.201) , (5.208) şi (5.209) obţinem:

( )rsink r cosi v

E

0E0r cos0rsin

kji

v1

vE u

H22

t

t2222

ttt

⋅+⋅−µ

=µ

=µ

×=

rr

rrrrr

r (5.210)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅δ−

⋅⋅=⊥

2z t0t

vrsin x t i

e/z

ejE Err

(5.211)

( ) E t0

=⊥

( )⊥

⊥

⋅

ϕ

⋅−

⋅i 02

21

E2 i

en 1

i cos 2 ⇒ ( ) ( ) ( )2i 02

21

2

t0 t0E

n 1icos4 E E

⊥⊥⊥⋅

−⋅=∗ (5.212)

- 80 -

( ) ( )rsin k r cos i v

Evrsin x t i

e/z

ejE Re21 H E Re

21 S

22

t2z t0ttt

rrrrrr+−

µ

∗⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅δ−

⋅⋅=∗×=⊥

i k jrrr

=× , 2isin i cosi sin2n

isin r sin , k i j21

=⋅⋅⋅=−=×rrr

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω−

⋅δ−

⋅µ

∗⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−ω

⋅δ−

⋅= ⊥

⊥r sin

vrsin x t i

e/z

ev

Evrsin x t i

e/z

eERe21 S 2z

22

t02z t0t x

( ) , n1 v ,r sin

v1/z2

eEn 1

icos421 S

20

0

2

222

22

z2

i 02

21

2

t x⋅

ε

µ=

ε

µ=µ⋅

µ⋅

δ−⋅⋅

−⋅⋅=

⊥

( )1

1

2

2

21

2

212

0

0z2

i 02

21

2

t xn

nnn

nn

, n

i sinn/z2

eEn 1

icos2 S ==⋅⋅µ

ε⋅

δ−⋅⋅

−⋅=

⊥

( ) z2

i 02

21

1

0

0t x

/z2eE

n 1

2i sinicosn S

δ−⋅⋅

−

⋅⋅

µ

ε=

⊥ (5.213)

unde

=

−

=

−

=

−ω

=−ω

=δ 1

nisin

1

nisin k

1 1

nisin

v

1 r sin

v

2

21

2

2

2

21

2

22

21

2

2

2

2z

D

= 1

nisin n 2

1

nisin n 2

21

2

2

0

2

21

2

2

0

−π

λ=

−

D (5.214)

0 Szt = deoarece 1 r sin i r cos 2 −=∗ este o mărime complexă care face ca

zt S să

fie o mărime pur imaginară (partea reală lipseşte). Expresia lui Szt

este obţinută din St x

,

înlocuind sin r cu rcos∗ . Mărimea cos i este reală, pentru că şi i este real. Deoarece 0 S S

zt yt == rezultă că propagarea undei evanescente în mediul al

doilea are loc paralel cu interfaţa, în sensul pozitiv al axei Ox .

i S St x t

rr⋅=

⊥⊥ (5.215)

Din relaţia (5.210) obţinem:

2 i

e i , 1 r sin v

E i

vr cosE

H 2

22

t

22

tt x

π

=−⋅µ

=µ

−= (5.216)

- 81 -

0 Hyt = (5.217)

22

tzt v

r sinE Hµ

=

zt t xtu i u u rrr

+= (5.218)

Deoarece sin r este real şi pozitiv, iar cos r este imaginar şi negativ, există un defazaj egal cu 2/π între componentele x şi z ale lui

tHr

. De aceea vectorul t

Hr

se roteşte

cu viteza unghiulară ω . Din acest motiv 0 Szt = (componenta

zt S îşi schimbă sensul la

fiecare jumătate de perioadă). Astfel t

Hr

nu este transversal la direcţia de propagare a undei

evanescente neuniforme. Într-o undă plană neuniformă de forma (5.208) suprafeţele echifaze sunt plane, dar amplitudinea pentru o suprafaţă echifază dată nu este uniformă (propagarea are loc paralel cu axa x , iar atenuarea în lungul axei z ). Deoarece în unda transmisă planele echiamplitudine x = constant diferă de planele echifază z = constant , direcţia de propagare a planelor echiamplitudine diferă de direcţia de propagare a planelor echifază, aceste două direcţii făcând între ele un unghi de 900 (cazul reflexiei totale).

Aceste fenomene sunt importante, având aplicaţii în transmisia şi prelucrarea informaţiei cu ajutorul fibrelor optice, precum şi în optica integrată pe baza ghidurilor de undă optice planare (straturi dielectrice cu simetrie plană). O fibră optică este formată dintr-un miez cu indice de refracţie

1n şi un înveliş cu indicele de refracţie

2n <

1n . Lumina este

transmisă prin fibră prin refexii totale la suprafaţa dintre miez şi înveliş. Fibrele optice se asamblează în fascicule, protejate de o teacă elastică. Frecvenţele optice fiind de 106 ori mai mari decât cele radio, capacitatea de transmisie a informaţiei printr-un canal optic este mult mai mare. Pierderile într-o fibră optică sunt foarte mici (0,15 dB/km pentru m 1,5 µ=λ ). Diametrul unei fibre optice este sub 0,1 mm. O prismă cu reflexie totală permite schimbarea direcţiei unui fascicul.

5.7.4. Reflexia şi refracţia pe medii conductoare

Din relaţiile (5.134) şi (5.136) rezultă:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−ω

=

vr cos z

visin x t i

e E

vr cos z r sin x t i

e E E 21 t0

2 t0t

rrr

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅ω⋅ω−ω 2

21

2

21

t0

nisin 1 z

v isin x

v t i

e E

mr

Deoarece:

- 82 -

0

2

20

1

0

111

1

n

v ,

n

n2 n2

c2 n

c

v DD=ω=

λ

π=π⋅

πω=⋅ω=ω (*)

(ωπ=λ c2

0 este lungimea de undă în vid, iar πλ= 2/

00D ) , atunci

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅−ω

=2

21

2

0

2

0

1

t0t

nisin 1 z

n isin x

n t i

e E ED

mDrr

(5.219)

Presupunem că nn

n 1

221

= >> 1 . Această condiţie este îndeplinită la reflexia şi

refracţia undelor electromagnetice pe un mediu conductor ( ; 1,000268 aern n1

== 8

2101,1 ) MHz 1 ( cuprun n ⋅==ν= ). Desigur că mediul al doilea trebuie să fie un

conductor foarte bun ( 117 m 105,8 cupru−−Ω⋅=σ ).

Întrucât:

sin i < 1 ⇒ isin 2 << 1 ⇒ 2

21

2

nisin <<< 1

putem aproxima radicalul din relaţia (5.219) cu 1 . Atunci:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅−ω

=

z n

isin x n

t i

e E E 0

2

0

1

t0t

Dm

Drr (5.220)

Deoarece pentru ∞→ z trebuie ca 0 Et→ (unda transmisă este aproape uniformă,

dar este puternic atenuată) vom alege semnul − în faţa coeficientului lui z din (5.220) . În plus:

1 n

isin 1 r cos 2

21

2

≈−+= ⇒ 0 r ≈ (5.221)

(unghiul de refracţie este complex, dar la un conductor foarte bun partea imaginară a lui r este neglijabilă şi 0 r ≈ ). Rezultă:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−⋅−ω

=

z n

isin x n

t i

e E E0

2

0

1

t0t

DDrr (5.222)

Deoarece z x ≈ (de acelaşi ordin de mărime), sin i < 1 , 1

n << 2

n ⇒

1n sin i <<

2n ⇒ isin x

n

0

1 ⋅D

<< zn

0

2 ⋅D

rezultă:

( ) z k t ie E

z n

t i

e E E 2 t0

0

2

t0t

⋅∗−ω→

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−ω

=rDrr

(5.223)

unde:

- 83 -

( ) ( )δ−=−ωµσ=−=

∗→ω= i 1 i 1 2

b i a 5.107

k v

n

220

2

D (5.224)

(am folosit relaţia (*) şi am înlocuit indicele de refracţie 2

n cu mărimea complexă ∗2

n ,

astfel că în locul lui 2

k am pus ∗2

k ). Atunci (5.223) devine:

δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

δ−−ω

=

z z t ie E

z i 1 t i

e E E t0 t0t

rrr (5.225)

sau:

z t i

e z

e E E t0t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ−ω

⋅δ−

⋅=rr

(5.225’)

Se constată că unda transmisă în mediul conductor este puternic atenuată în direcţia axei z , iar direcţia de propagare este în lungul normalei la interfaţă, indiferent de unghiul de incidenţă. (Ţinând seama de aproximaţiile făcute, se spune că unda traversează într-o direcţie aproape perpendiculară pe suprafaţa de separare dintre dielectric şi metal). Pentru δ= z amplitudinea undei transmise scade de e ori.

În aproximaţia considerată ( n 2

>> n 1

, cos r ≈ 1 ) din relaţiile (5.152) , (5.155),

(5.168) şi (5.169) obţinem:

/2 i , n2

r cos i cosni cos2

EE

2121i 0

t0 π≠≈+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

(5.226)

/2 i , 1 i cosn r cosi cosn r cos

EE

21

21

i 0

r 0 π≠−≈+

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

(5.227)

1 r cos

ni cos

r cos n

i cos

EE

21

21

i 0

r 0 −≈+

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⊥

(5.228)

0 n

i cos2 r cos

ni cos

ni cos2

EE

21

21

21

i 0

t0 ≈≈+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⊥

valabile şi la suprafaţa de separare a doi dielectrici dacă

21n >> 1

(5.229)

Se constată că R este foarte apropiat de unitate ( 1,17 masuratcupruR = ). Într-un

supraconductor σ este real şi tinde la infinit, iar δ tinde la zero ( 1 R ≈ ). Chiar dacă fasciculul incident este plan polarizat, fasciculul reflectat şi cel transmis

sunt polarizate eliptic. Măsurând defazajul între componentele undei reflectate

⇓⊥ϕ−ϕ şi coeficientul de

reflexie R se poate determina partea reală şi partea imaginară a indicelui de refracţie complex.

- 84 -

5.8. Ghiduri de undă

Un ghid de undă este o structură tubulară cu pereţii metalici sau dielectrici, având o formă cilindrică sau rectangulară. În interiorul tubului se află mediul (neconductor) în care se propagă undele electromagnetice. La frecvenţe înalte, singurul mod practice de generare şi de transmisie a radiaţiei electromagnetice necesită folosirea unor ghiduri de undă a căror secţiune transversală este comparabilă cu lungimea de undă a radiaţiei.

Vom analiza propagarea undelor electromagnetice într-un ghid cu secţiunea rectangulară acând pereţii perfect conductori (metalici). Presupunem că mediul de propagare este omogen, izotrop, liniar, staţionar, neconductor, neutru din punct de vedere electric ( 0

lib=ρ ) şi fără pierderi. Pentru o undă care se propagă în sensul pozitiv al axei z putem

scrie: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zk t i

e ky ,xE jy ,xE iy ,xE zk t i

e E E zz oy o xo

z0

−ω++=

−ω=

rrrrr (5.230)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zk t ie ky ,xH jy ,xH iy ,xH

zk t ie H H z

z oy o xoz

0

−ω++=

−ω=

rrrrr (5.231)

Înlocuind Er

şi Hr

în ecuaţiile lui Maxwell obţinem:

0 j , tD j H

liblib=

∂∂+=×∇

rrrr(mediul de propagare este un dielectric, 0 E j 0,

lib=σ==σ

rr) ⇒

H =×∇r

E D , k y

H

x

H j

xH

z

H i

z

H

yH

xyzxyzrrrrr

ε=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

x0y 0zz 0 E i H k i

yH

εω=+∂

∂ (5.232)

y 0z 0

x0zE i

xH

H k i εω=∂

∂−− (5.233)

z 0 x0y 0 E i

yH

x

Hεω=

∂

∂−

∂

∂ (5.234)

H B , tB E

rrr

rµ=

∂∂−=×∇ ⇒

x0y 0zz 0 H i E k i

yE

µω−=+∂

∂ (5.235)

y 0z 0

x0zH i

xE

E k i µω−=∂

∂−− (5.236)

z 0 x0y 0 H i

yE

x

Eµω−=

∂

∂−

∂

∂ (5.237)

H B , 0 Brrr

µ==⋅∇ ⇒

0 H k i y

H

xH

z 0z

y 0 x0 =−∂

∂−

∂

∂ (5.238)

- 85 -

0 , Elib

lib =ρε

ρ=⋅∇

r ⇒

0 E k i y

E

xE

z 0z

y 0 x0 =−∂

∂+

∂

∂ (5.239)

Vom exprima componentele transversale y 0 x0y 0 x0

H , H , E , E faţă de direcţia axei z

în funcţie de componentele longitudinale z 0z 0

H , E . Astfel din relaţiile (5.232) şi (5.236)

eliminăm componenta y 0

H , iar din (5.233) şi (5.235) eliminăm x0

H :

x

E E k i z 0

x0z=

∂

∂−− ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−εωµω−

yH

E i k i i z 0

x0z

⇒

( ) yH

xE

k k E i z 0z 0z

2

z

2

x0 ∂

∂µω+

∂

∂=−εµω ⇒

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂µω+

∂

∂

−=

yH

x

E k

k k i1 E z 0z 0

z2

z

2 x0 (5.240)

y 0zz 0 E k i

yE

+∂

∂ = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εω−

∂

∂−µω− E i

xH

k i i

y 0z 0

z

⇒

( )x

H

yE

k k E i z 0z 0z

2

z

2

y 0 ∂

∂µω−

∂

∂=−εµω ⇒

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂µω−

∂

∂

−=

x

H

y

E k

k k i1 E z 0z 0

z2

z

2y 0 (5.241)

unde

D1 k =µεω= (5.242)

este mărimea vectorului de undă al unei unde plane uniforme, cu lungimea de undă λ , care ar traversa un mediu nelimitat de frontiere, iar

zk este mărimea vectorului de undă

corespunzător undei ghidate (z

k este real întrucât am presupus că nu există atenuare).

zzz

1 2 kD

=λπ= (5.243)

Înlocuind y 0

E din (5.241) în (5.235) obţinem x0

H :

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂µω−

∂

∂

−⋅+

∂

∂

µω−=

xH

y

E k

k k i1k i

yE

i

1 H z 0z 0z2

z

2zz 0

x0 ⇒

( ) x

H

k k i

k

k k

k 1

yE

i

1 H z 02

z

2z

2

z

2

2

zz 0 x0 ∂

∂⋅

−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

∂

∂

µω−= , µεω= k 22 ⇒

- 86 -

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂εω−

−=

xH

k y

E

k k i1 H z 0

zz 0

2

z

2 x0 (5.244)

Înlocuind x0

E din (5.240) în (5.236) obţinem y 0

H :

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂µω+

∂

∂

−⋅+

∂

∂

µω=

yH

x

E k

k k i1k i

xE

i

1 H z 0z 0z2

z

2zz 0

y 0 ⇒

( ) y

H

k k i

k

k k

k 1

xE

i

1 H z 02

z

2z

2

z

2

2

zz 0y 0 ∂

∂⋅

−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

∂

∂

µω= , µεω= k 22 ⇒

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂εω

−=

yH

k x

E

k k i1 H z 0

zz 0

2

z

2y 0 (5.245)

z 0E şi

z 0H se determină prin rezolvarea ecuaţiilor de undă (5.27) şi (5.28) , iar

zk

se obţine din condiţiile la limită. Deoarece H B , 0 j , 0 liblib

rrrµ===ρ , relaţiile (5.27) şi

(5.28), scrise pentru componentele longitudinale ( )[ ] zk t i expE Ezz 0z

−ω⋅= ,

( )[ ] zk t i expH Hzz 0z

−ω⋅= devin:

tj

tE E liblib2

2

∂

∂µ+

ε

ρ∇=

∂∂⋅εµ−∆

rrr

⇒ ( ) 2

zzz2z

2

zk k i k i , 0

t

E E −=−−=

∂

∂⋅εµ−∆ , ( ) 2 i i ω−=ωω

⇒ 0 E E k y

E

x

Ez 0

2

z 0

2

z2z 0

2

2z 0

2

=ωµε+−∂

∂+

∂

∂ , µεω= k 22 ⇒

( ) 0 E k k y

E

x

Ez 0

2

z

22

z 0

2

2z 0

2

=−+∂

∂+

∂

∂ (5.246)

lib2

2

j tB B

rrr

×∇µ−=∂∂⋅εµ−∆ ⇒ ( )H B , 0

t

H H 2

z

2

zµ==

∂

∂⋅εµ−∆ ⇒

( ) 0 H k k y

H

x

Hz 0

2

z

22

z 0

2

2z 0

2

=−+∂

∂+

∂

∂ (5.247)

Un câmp electromagnetic arbitrar într-un mediu omogen, izotrop, fără surse, poate fi considerat ca o suprapunere de câmpuri mai simple care poartă numele de moduri. Astfel pentru 0 E

z 0= avem un câmp transversal electric TE , pentru 0 H

z 0= avem un câmp

transversal magnetic TM , iar pentru 0 Ez 0= , 0 H

z 0= avem un câmp transversal electric şi

magnetic TEM . Întrucât un câmp electromagnetic oarecare dintr-o regiune omogenă, izotropă, fără surse, poate fi considerat ca o sumă de câmpuri TE şi TM în raport cu o axă arbitrară (axa z ) , se poate spune că acest câmp este constituit prin suprapunerea unor câmpuri TEM .

Ne vom ocupa numai de modurile transversal electrice TE , pentru care 0 Ez 0= . În

acest caz relaţiile (5.234) , (5.235) , (5.236) , (5.239) , (5.240) , (5.241) , (5.244) şi (5.245) devin:

- 87 -

y

H

x

H x0y 0

∂

∂=

∂

∂ (5.234’)

x0z

y 0H

k E ⋅µω−= (5.235’)

y 0z

x0H

k E ⋅µω= (5.236’)

y

E

xE y 0 x0

∂

∂−=

∂

∂ (5.239’)

( ) y

H

k k i E z 0

2

z

2 x0 ∂

∂⋅

−µω= (5.240’)

( ) x

H

k k i E z 0

2

z

2y 0 ∂

∂⋅

−µω−= (5.241’)

( ) x

H

k k i

k H z 0

2

z

2z

x0 ∂

∂⋅

−= (5.244’)

( ) y

H

k k i

k H z 0

2

z

2z

y 0 ∂

∂⋅

−= (5.245’)

Din relaţiile (5.235’) şi (5.236’) rezultă că ( )zk t i

e E E z x0x

−ω= şi

( )zk t ie H H z

y 0y

−ω= sunt în fază, iar

yE şi

xH sunt în opoziţie de fază. Din aceleaşi relaţii

obţinem:

0 HHk HH

k HE HE HE

y 0 x0z

x0y 0z

z 0z 0y 0y 0 x0 x0=⋅µω−⋅µω=++ (5.248)

adică părţile reale ale lui ⊥

E şi ⊥

H sunt ortogonale, având:

( ) ,

zk t ie E E z

0

−ω=

⊥⊥

rr ( ) ,

zk t ie H H z

0

−ω=

⊥⊥

rrjH iH H , jE iE E

y 0 x0 0y 0 x0 0

rrrrrr+=+=

⊥⊥

(5.249)

Din relaţiile (5.240’) , (5.241’) , (5.244’) , (5.245’) şi (5.249) rezultă:

( ) j x

H i

yH

k k i E z 0z 0

2

z

2 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂⋅

−µω=

⊥

rrr, ( ) j

yH

i x

H

k k i H z 0z 0

2

z

2 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂⋅

−µω=

⊥

rrr(5.250)

Din (5.235’) şi (5.236’) se constată că:

=µω=−= k

H

E

HE

z x0

y 0

y 0

x0 real (5.251)

- 88 -

( )x

y

y

x

H Re

E Re

H ReE Re

−= (5.252)

iar impedanţa undei

k

HE

Zz 0

0TE

µω==⊥

⊥ (5.253)

este o mărime reală pozitivă, dacă nu există pierderi. Relaţiile (5.250) se scriu compact sub forma:

( ) ( ) k H k k i

Ez 02

z

2 0

rr×∇⋅

−µω=

⊥ , ( ) z 02

z

2z

0H

k k i

k H

⊥⊥∇⋅

−=

r (5.254)

unde kr

este versorul axei Oz . În interiorul unui conductor perfect ( ∞=σ ) , intensitatea câmpului electric E

r este

nulă pentru orice tip de undă electromagnetică, deoarece ∞≠ jlib

r.

0

E

jlib

=⋅

∞=σ=

rr = finit (5.255)

Datorită continuităţii componentei tangenţiale a lui Er

la o interfaţă, rezultă că această componentă este nulă în imediata vecinătate a suprafeţei metalice perfect conductoare care constituie un perete al ghidului de undă.

Din ecuaţia a doua a lui Maxwell B i tB E

rr

rω−=

∂∂−=×∇ rezultă că în interiorul unui

conductor perfect 0 B =r

şi deci 0 H =r

, întrucât 0 E =r

conduce la 0 E =×∇r

. Datorită continuităţii componentei normale a lui B

r la o interfaţă, rezultă că această componentă este

nulă şi în imediata vecinătate a suprafeţei metalice perfect conductoare a ghidului. Datorită continuităţii componentei tangenţiale a lui H

r la suprafaţa de separare a două medii, rezultă

că această componentă este paralelă cu tangenta la suprafaţă în vecinătatea interfeţei, iar mărimea lui H

r tangenţial este egală cu densitatea de curent pe suprafaţă

Sjr

SSn j Hrrr

×= (5.256)

unde S

nr este versorul normalei la suprafaţă. Astfel densitatea de curent pe suprafaţă poate fi

diferită de zero pentru 0 E =r

şi ∞=σ . Din (5.254) rezultă că ⊥ 0

Er

este perpendicular pe

suprafaţă, iar z 0

H ∇ este tangent la suprafaţă (nu există o variaţie a lui z 0

H în direcţia

normală la suprafaţa metalică a ghidului, pe suprafaţă). Astfel condiţiile la limită pe suprafaţa unui conductor perfect al ghidului de undă sunt:

, 0 genttan

E =r

0 normal

B =r

, n j genttan

HSS

rrr×= z 0

H ∇ este tangent

(5.257)

- 89 -

În figura alăturată vectorii 0

Erşi Er

sunt

perpendiculari pe suprafaţa metalică zOx;

z 0H ∇ şi H

r sunt paraleli cu planul zOx; k

r

este versorul axei Oz ; sensul vectorilor 0

Erşi

HErr

× se determină pe baza regulii burghiului drept;

⊥ 0Er

din (5.254) coincide

cu Er

, având direcţia axei y . Am considerat numai modul transversal electric TE ce rezultă prin reflexia multiplă a unei unde plane pe feţele paralele cu planul yz. Unda se propagă în direcţia pozitivă a axei z, în urma acestor reflexii multiple de pereţii de sus şi de jos. i este unghiul de incidenţă dintre vectorul Poynting şi normala la faţa superioară.

Orientarea vectorilor Er

, Hr

şi HErr

× pentru unda reflectată se verifică prin rotirea planului haşurat din figura de mai sus. Presupunem că mediul de propagare este aerul (în locul lui k vom pune

0k ). Aplicând condiţiile la limită (5.257) la modul transversal electric

( TE ) , avem

0 E x0= ; 0 E

y 0≠ ; 0 E

z 0=

(componentă tangenţială) (componentă normală) (mod TE )

0 H x0≠ ; 0 H

y 0= ; 0 H

z 0≠

(componentă tangenţială) (componentă normală) (componentă longitudinală)

(5.258)

(5.259)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==∂

∂

==∂

∂

b , 0 y la 0 y

H

a , 0 x la 0 x

H

z 0

z 0

(nu există o variaţie a lui z 0

H în direcţia normală la

suprafaţa metalică a ghidului, pe suprafaţă, deoarece

z 0H ∇ este tangent)

(5.260)

;0 y

E x0 =

∂

∂ ;0

y

Ey 0 =

∂

∂ ;0

yE

z 0 =∂

∂ ;0

yH

x0 =∂

∂;0

y

Hy 0 =

∂

∂;0

yH

z 0 =∂

∂ ⇒ 0

y=

∂∂

( 0 E x0= ); (5.239’); ( 0 E

z 0= ); (5.234’); ( 0 H

y 0= ); (5.240’ , 0 E

x0= )

(5.261)

Folosind relaţia (5.261) , ecuaţia de undă (5.247) devine:

( ) 0 H k k x

Hz 0

2

z

2

02z 0

2

=−+∂

∂ (5.262)

sau:

0 H k x

Hz 0

2

x2z 0

2

=⋅+∂

∂ (5.263)

unde

- 90 -

2

z

2

0xk k k −= (5.264)

este o mărime reală dacă:

0k >

zk ⇒

0λ <

zλ (5.265)

adică lungimea de undă a unei unde plane în aer este mai mică decât lungimea de undă măsurată în lungul ghidului de undă care are ca mediu de propagare aerul. Soluţia ecuaţiei (5.263) este de forma:

xksin C x k cos C Hxxz 0

⋅′+⋅= (5.266)

Impunând prima condiţie la limită din relaţia (5.260) , obţinem:

a , 0 x la 0 x

Hz 0 ==

∂

∂ ⇒ 0 0 x xk coskC x k sinkC

xxxx==⋅⋅′+⋅⋅− ⇒

0 C =′ ⇒ x k cos C Hxz 0

⋅= ⇒ 0 ak sinkC ax x

Hxx

z 0 =⋅⋅−==

∂

∂ ⇒

0 ak sinx

= ⇒ π= n akx

, n = 1, 2, . . . ⇒ a

n kx

π= , n = 1, 2, . . . ⇒ (5.267)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π⋅= x

an cosC H

z 0 (5.268)

Introducând x

k din (5.267) în (5.264) , obţinem:

c k , k k

an

0

2

z

2

0

2 ω=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π ⇒

22

z an

c k ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω= (5.269)

Din relaţiile (5.258) , (5.259) , (5.241’) , (5.244’) , (5.264) şi (5.268) obţinem:

0 E x0= ; ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅π−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

µω−=

∂

∂⋅

−

µω−=

a xn sin

an C

an i

xH

k k i

E 2

0z 02

z

2

0

0y 0

⇒

axnsin C

n ia

E 0y 0

π⋅π

ωµ= ; 0 E

z 0= ; ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅π⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=∂

∂⋅

−=

axn sin

anC

an i

k

xH

k k i

k H 2

zz 02

z

2z

x0

⇒ a

xn sinCn i

ak H z

x0

π⋅⋅π

−= ; 0 Hy 0= ;

axn cosC H

z 0

π⋅= (5.270)

Pentru n = 1 avem modul 1

TE , pentru

n = 2 avem modul de propagare 2

TE , . . . .

Amplitudinea y 0

E pentru n = 1 , 2 are aspectul

din figura alăturată.

Din relaţiile (5.230) , (5.231) şi (5.270) rezultă:

( )zk t iej

a xnsin C

na

i E z0TE −ω⋅⋅π⋅⋅

π

µω−=

rr (5.271)

- 91 -

( )zk t ie k

a xn cosC i

a xn sinC

nak

i H zzTE −ω⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅π⋅+⋅π⋅⋅

π⋅=

rrr (5.272)

Din (5.271) rezultă că intensitatea câmpului electric formează unde staţionare de-a lungul axei x , iar din (5.272) se constată că intensitatea câmpului magnetic descrie o elipsă în planul y = constant. Exprimând sinusul sub forma exponenţială în (5.271) , obţinem:

2i

ix e ixe x sin−−= ⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π−ω

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π+ω

⋅π

ωµ−=

zk a

xn t ie

zk a

xn t ie

i21

naC

ji Ezz

0TErr

(5.273)

Primul termen din paranteza pătrată reprezintă o undă plană cu vectorul de undă

k k ; kk ia

n k01z1

rrrrr=⋅+⋅π−= (5.274)

Semnul − din faţa celui de-al doilea termen exponenţial din paranteza pătrată a ecuaţiei (5.273) arată că unda caracterizată prin vectorul de undă

k k ; kk ia

n k z 022

rrrrr=⋅+⋅=

π (5.275)

este defazată cu π faţă de unda cu vectorul de undă 1

kr

. Astfel factorul a

xnsin π din TEEr

explică formarea undei staţionare prin interferenţa dintre unda incidentă pe un perete al ghidului de undă şi unda reflectată de acel perete. Rezultă că oricare dintre cele două unde poate fi privită ca reflexia celeilalte pe peretele ghidului, adică unda TE se propagă în ghid prin reflexii succesive pe pereţii de sus şi de jos. În mod similar se poate exprima şi TEH

r. În

figurile de mai jos am reprezentat liniile de câmp electric, liniile de câmp magnetic şi vectorii

1kr

şi 2

kr

.

0

z

2

z

kk

k

k i sin == r (5.276)

Din ecuaţia (5.269) se constată că pentru pulsaţii inferioare unei valori critice date de

- 92 -

ac n

C

π=ω , (5.277)

mărimea z

k devine imaginară, astfel că nu există nici o undă, iar câmpul descreşte

exponenţial cu z . Din relaţia (5.277) putem obţine lungimea de undă critică C

λ şi frecvenţa

critică C

ν :

a

c n c 2

C

π=λπ ⇒

na 2

C=λ (5.278)

CC

c λ

=ν ⇒ a 2n c

C=ν (5.279)

Astfel o undă electromagnetică se propagă în lungul ghidului de undă, fără să fie atenuată, numai dacă

ω > C

ω sau ν > C

ν sau λ < C

λ (5.280)

Ghidul de undă acţionează ca un filtru care lasă să treacă numai undele a căror frecvenţă este mai mare ca

Cν , care depinde de a , însă nu depinde de b . Pentru ca în ghid

să existe modul 1

TE trebuie ca

λ < 2a 1a2 = , (5.281)

iar pentru ca să lipsească modul 2

TE vom impune

λ > a 2a 2 = (5.282)

Viteza de fază este ( )

isin c

i sink

276.5

k v

0zf

=⋅ω

=ω= > c (5.283)

Folosind expresia (5.269) putem determina viteza de grup:

=ω=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω⋅=

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=

ω

=ω= k c

c1

c 2

k 21

ddk

, a

n c

k ,

ddk

1 dkd v

z

2z

z22

zzz

g

( )isin c

1 i sinc

c 283.5

2 ⋅=

⋅= ⇒ isin c vg

⋅= < c (5.284)

Se constată că 2

gfc vv =⋅ (5.285)

Deoarece

kHE iHE

H0H

0E0kji

H Exyzy

zx

y=⋅∗−⋅∗=

∗∗=∗×

rr

rrr

rr

= ka xn sin

n

k C a i

a xn cos

a xn sin

n C a

i 222

z

22

0

2

0rr⋅π⋅

π⋅

µω+⋅π⋅π⋅

π

µω− ⇒

- 93 -

( ) ka xn sin

n

k C a H E Re 2

22z

22

0rrr⋅π⋅

π⋅

µω=∗×

atunci intensitatea undei transmise prin ghid este:

a xn sin

n

k C a H E Re

21 S I 2

22z

22

0 π⋅π⋅

µω=∗×==

rrr (5.286)

Intensitatea undei este independentă de y întrucât Er

şi Hr

, pentru modul TE considerat, nu depend de y . Dacă integrăm relaţia (5.286) peste secţiunea transversală a ghidului de undă obţinem:

22z

23

0

n 4

k C a b

b

0

a

0dydxI

π

µω=⋅⋅∫ ∫ (5.287)

unde am folosit formula:

42xsin

2x x sin 2 −=∫ ⇒

2a

a

0

4a xn 2sin

a2 xn

n a dx

a xn a

0sin 2 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ π

−ππ

=π∫

Astfel:

maxI2

b a a

0

b

0dxdy I ⋅=∫ ∫ (5.288)

( I este 0 la x = 0 , a unde Er

este 0 ; maxI corespunde lui 2 / a x = pentru n = 1 ).

Din (5.271) rezultă:

( )zk t sina xn sin

n C a

E Rez

0TE −ω⋅π⋅π

µω=

( )zk t sina xn sin

n 2

C a E Re

2 e

z

2222

2222

0020E

−ω⋅π⋅π⋅

ωµε=

ε=ρ (5.289)

a xn sin

n 4

C a e 2

22

2222

00E

π⋅π⋅

ωµε=ρ (5.290)

Se constată că pentru modul 1

TE ( n = 1 ) , densitatea de energie electrică medie este maximă la centrul ghidului ( x = a / 2) .

Relaţia (5.272) poate fi pusă sub forma:

( ) ( )[ ]zk t sin i zk t cos ka xn cosC i

a xn sinC

nak

i Hzz

zTE −ω⋅+−ω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅π⋅+⋅π⋅⋅

π=

rrr ⇒

( ) ( ) kzk t cosa xn cosC izk t sin

a xn sin

nC ak

H Rezz

zTErrr⋅−ω⋅π⋅+⋅−ω⋅π⋅

π−=

- 94 -

( ) ( ) zk t cosa xn cosC zk t sin

a xn sin

n

Cak

2 H Re

2 m

z

222

z

2222

222

z02TE0E ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−ω⋅π+−ω⋅π⋅

π⋅

µ=

µ=ρ

a xn cosC

a xn sin

n

Cak

4 m 222

22

222

z0E ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ π+π⋅π⋅

µ=ρ (5.291)

Integrând relaţiile (5,290) şi (5.291) peste secţiunea transversală a ghidului şi folosind relaţia (5.269) , obţinem:

2b a

n 4

C a

a

0

b

0dxdy e 22

2222

00E

⋅π

ωµε=ρ∫ ∫ (5.292)

42xsin

2x dx x cos ,

2b a C

n

Cak

4

a

0

b

0dxdy m 22

22

222

z0E

+=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

π⋅

µ=ρ ∫∫ ∫

2

22

2

22

z

2

an

c k ,

2a

a xn a

0cos π⋅−ω==π∫ ⇒

2b a 1

anna

cna

4C

2b a 1

n

ak

4C

a

0

b

0dxdy m 222

222

222

222

022

22

z

2

0E

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ππ−

π⋅ωµ

=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

π⋅

µ=ρ∫ ∫ ⇒

00

2222

222

0

E

1 c , 2b a

c n 4

C a

a

0

b

0dxdy m

µε=⋅

π

ωµ=ρ∫ ∫ ⇒

a

0

b

0dxdy e

E∫ ∫ρ = a

0

b

0dxdy m

E∫ ∫ρ (5.293)

Din relaţiile (5.287) şi (5.284) , obţinem:

a

0

b

0dxdy m 2

2b a

c n 2

C a

k c2b a

n 2

k C a v/

a

0

b

0dxdy I

E222

222

0

z

222z

22

0g ∫ ∫∫ ∫ ρ=⋅

π⋅

ωµ=ω⋅⋅

π⋅

ωµ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

a

0

b

0dxdy v/

a

0

b

0dxdy I

Eg ∫ ∫∫ ∫ ⋅ρ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ , m e

EEEρ+ρ=ρ (5.294)

unde 2

02222

z

2

g c 2 a c n

1 c a

c n 1 c a

n c

c k c

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

λπ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ωπ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ω=

ω= ⇒

2

0g a 2

n 1 c v ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−= (5.295)

sau

- 95 -

2

C

0g

1 c v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

λ−= (5.296)

Astfel energia transportată în unitatea de timp prin secţiunea transversală a ghidului este egală cu energia conţinută într-un volum al ghidului corespunzător unei lungimi egale cu viteza de grup

gv .

În cazurile reale, conductivitatea pereţilor ghidului este finită. Similar se tratează ghidurile de undă dielectrice la care reflexia totală apare în

interiorul unui dielectric mărginit de un alt dielectric cu indice de refracţie mai mic (drept exemplu se consideră fibra optică sau o peliculă din material transparent depusă pe un suport cu indice de refracţie mai mic).

5.9. Cavităţi rezonante

Prin închiderea la capete a unui ghid de undă se obţine o cavitate rezonantă. Cavităţile rezonante joacă, la frecvenţe înalte, acelaşi rol pe care îl are un circuit oscilant la frecvenţe

joase. Frecvenţa de rezonanţă a unui circuit oscilant LC2

1 π

=ν poate fi mărită prin

micşorarea inductanţei până când bobina se reduce la o singură spiră care leagă plăcile condensatorului plan. Dar inductanţa poate fi micşorată în continuare prin legarea în paralel a mai multor spire care unesc plăcile condensatorului la capete. Dacă înlocuim spirele cu o fâşie metalică se obţine o cavitate rezonantă prin modificarea unui circuit oscilant. În cazul laserului cu azot, pentru a asigura un puls de curent rapid în vederea creării inversiei de populaţie, se foloseşte un condensator plan format din două folii de cupru foarte apropiate între care se află textolit. Acest condensator are o inductanţă foarte mică.

Ecuaţia de undă (5.246) poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor. Se exprimă soluţia ecuaţiei ca un produs de două funcţii X(x) şi Y(y) , dependente fiecare nuai de câte o singură variabilă:

( ) ( ) ( )y Yx X y x, Ez 0

⋅= (5.297)

Impunând soluţiei (5.297) să verifice ecuaţia de undă (5.246) , obţinem:

( ) 0 Y X k k yYX

xXY 2

z

22

2

2

2

=−+∂∂⋅+

∂∂⋅ ⇒ (5.298)

0 k k yY

Y1

xX

X1 2

z

22

2

2

2

=−+∂∂⋅+

∂∂⋅ (5.299)

Variabilele x şi y fiind independente, primul termen al ecuaţiei (5.299) depinzând numai de x , iar al doilea termen depinzând numai de y , rezultă că această relaţie este satisfăcută numai dacă fiecare din aceşti termeni este egal cu o constantă, care trebuie să fie negativă, pentru a elimina cazurile banale în care soluţia este neperiodică. Deci:

22

2

M xX

X1 −=

∂∂⋅ , 2

2

2

N yY

Y1 −=

∂∂⋅ , 0 k k N M 2

z

222 =−+−− (5.300)

Rezultă ecuaţiile:

0 Y N yY , 0 X M

xX 2

2

22

2

2

=+∂∂=+

∂∂ (5.301)

Soluţiile acestor două ecuaţii sunt:

- 96 -

Ny cos B Ny sin B Y ,Mx cos A Mx sin A X2121

+=+= (5.302)

Pentru modurile TM (z 0

H = 0) , în cazul undelor progresive, soluţia generală pentru

( ) tz, y, x, Ez

este:

( ) ( )( ) ( )zk t ie Ny cosB Ny sin B Mx cosA Mx sin A tz, y, x, E z

2121z

−ω++=+ (5.303)

Din condiţiile la limită (componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului electric trebuie să se anuleze pe pereţi) rezultă:

( ) 0 0 x Ez

==+ ⇒ ; 0 A2= ( ) 0 0 y E

z==+ ⇒ ; 0 B

2= (5.304)

( ) 0 a x Ez

==+ ⇒ ; 0 Ma sin = ⇒ π= m Ma ⇒ a

m M π= , m = 0, 1, 2, . . . (5.305)

( ) 0 b y Ez

==+ ⇒ ; 0 Nb sin = ⇒ π= m Nb ⇒ a

n N π= , n = 0, 1, 2, . . . (5.306)

( )11

zz

BA C , zk t i

eb

y n sina

x m sinC E =−ω

⋅π

⋅π⋅= +++ (5.307)

0 k k b

n a m 2

z

222

=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π− ⇒ 2

z

2 k k − = 22 N M + (5.308)

În cazul undelor regresive, obţinem: ( )

zk t i

eb

y n sina

x m sinC E zz

−ω⋅

π⋅π⋅= −− (5.309)

Din relaţiile (5.307) , (5.309) , (5.240) , (5.241) , (5.244) şi (5.245) , obţinem (pentru unda regresivă

zk trece în

zk − ) :

( )( )

zk t i

eNy sinMx cosN M i

M Ck E z

22z

x

mω⋅⋅⋅

+

±=

±

± ; 2

z

2 k k − = 22 N M + (5.310)

( )( )

zk t i

eNy cosMx sinN M i

N Ck E z

22z

y

mω⋅⋅⋅

+

±=

±

± (5.311)

( )( )

zk t i

eNy cosMx sinN M i

N C H z22x

mω⋅⋅⋅

+εω−=

±± (5.312)

( )( )

zk t i

eNy sinMx cosN M iM C H z

22y

mω⋅⋅⋅

+εω=

±± (5.313)

0 Hz=± (am considerat numai modurile TM ) (5.314)

unde am folosit relaţia (5.308) . Prin suprapunerea undelor progresive peste undele regresive obţinem:

( )( ) ( )

zk t i

eC zk t i

eCNy sinMx cosN M i

Mk E E E zz

22z

xxx ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +ω−

−ω⋅⋅⋅

+=+= −+−+ (5.315)

( )( ) ( )

zk t i

eC zk t i

eCNy cosMx sinN M i

Nk E E E zz

22z

yyy ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +ω−

−ω⋅⋅⋅

+=+= −+−+ (5.316)

- 97 -

( ) ( )

zk t ieC

zk t ieCNy sinMx sin E E E zz

zzz ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +ω+

−ω⋅⋅=+= −+−+ (5.317)

0 H H Hzzz=+= −+ (5.318)

( )( ) ( )

zk t i

eC zk t i

eCNy cosMx sinN M iN H H H zz

22xxx ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +ω+

−ω⋅⋅⋅

+εω−=+= −+−+ (5.319

( )( ) ( )

zk t i

eC zk t i

eCNy sinMx cosN M i

M H H H zz22yyy ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +ω+

−ω⋅⋅⋅

+εω=+= −+−+ (5.320

Din condiţiile la limită impuse la z = 0, z = d , obţinem:

( ) 0 0 zEx

== ⇒ 0 C C =− −+ ⇒ −+ =C C

( ) 0 0 zEy

== ⇒ 0 C C =− −+ ⇒ C C C == −+

(5.321)

( ) 0 d zEx

== ⇒ 0 dki

e dki

e zz =−−

⇒

0 i 2

dk i e

dk ie zz

=−

− ⇒ 0 dk sinz= ⇒ π= p dk

z, p = 0, 1, 2, . . . ⇒

dp k

z

π= (5.322)

( ) 0 d zEy

== ⇒ 0 dki

e dki

e zz =−−

⇒ (5.322)

Folosind relaţiile (5.321) , (5.322) şi formula trigonometrică

zksin i 2

zk i e

zk ie

z

zz=

−− (5.323)

obţinem:

t iek sinNy sinMx coszkN MC M 2 E

zz22x

ω⋅⋅⋅⋅⋅+

−= (5.324)

t iek sinNy cosMx sinzkN MC N 2 E

zz22y

ω⋅⋅⋅⋅⋅+

−= (5.325)

t iezk cosNy sinMx sinC 2 Ezz

ω⋅⋅⋅⋅= (5.326)

( zk cos 2

zk i e

zk ie

z

zz=

−+ )

( ) t iezk cosNy cosMx sin

N M iC N 2 H

z22x

ω⋅⋅⋅⋅+εω−= (5.327)

( ) t iezk cosNy sinMx cos

N M iC M 2 H

z22y

ω⋅⋅⋅⋅+εω−= (5.328)

0 Hz= (5.329)

unde m = 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . . (5.330)

- 98 -

p = 0, 1, 2, 3, . . .

Nu luăm în considerare cazurile m = 0 , n = 0 , deoarece obţinem soluţia banală (toate componentele din (5.324) – (5.329) se anulează). Modul TM de ordinul cel mai mic este

110TM (m = 1, n = 1, p = 0).

Din relaţiile (5.242) , (5.305) , (5.308) şi (5.322) obţinem frecvenţele de rezonanţă ale modurilor TM din cavitate (în cavitate se formează unde staţionare tridimensionale):

νπ=ωεµω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π= 2 , k ,

d p

bn

a m k 22

2222 ⇒

d p

bn

a m

21

222

pn m⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅

εµπ=ν (5.331)

În cazul modurilor TE se obţine aceeaşi relaţie (5.331) dar 0 p ≠ , iar dacă m = 0 ,

atunci 0 n ≠ (pentru n = 0 trebuie ca 0 m ≠ ) . Astfel modurile TE de ordinul cel mai mic sunt

101TE şi

011TE (pentru d a ≥ > b modul cu frecvenţa cea mai mică este

101TE ).

În acest caz se obţin relaţiile:

t iek sinNy sinMx cosN M

C N 2 Ez22x

ω⋅⋅⋅⋅+µω−= (5.332)

t iek sinNy cosMx sinN M

C M 2 Ez22y

ω⋅⋅⋅⋅+µω= (5.333)

0 Ez= (moduri TE ) (5.334)

( ) t iezk cosNy cosMx sin

N M i

k C M 2 H

z22z

x

ω⋅⋅⋅⋅+

= (5.335)

( ) t iezk cosNy sinMx cos

N M i

k C N 2 H

z22z

y

ω⋅⋅⋅⋅+

= (5.336)

t iezk sinNy cosMx cosC 2i Hzz

ω⋅⋅⋅⋅⋅= (5.337) unde

m = 0, 1, 2, 3, . . . sau m = 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . . n = 0, 1, 2, 3, . . . (5.338) p = 1, 2, 3, . . .

Numărul de moduri TE este egal cu numărul de moduri TM (în relaţiile (5.330) şi (5.338) am explicitat 30 de moduri posibile TE şi 36 de moduri posibile TM ).

Undele staţionare se formează datorită reflexiilor de pereţi. Pentru a excita în mod eficient un mod de oscilaţie se foloseşte un câmp de probă care se aplică în locul unde este maximă intensitatea câmpului electric caracteristică modului de vibraţie considerat.

5.10. Dispersia undelor electromagnetice

Prin dispersie se înţelege dependenţa indicelui de refracţie al unui mediu de lungimea de undă a radiaţiei care se propagă în mediul considerat. Este evident că mărimea vectorului de undă k şi viteza de fază vor depinde şi ele de lungimea de undă (sau de frecvenţa

λ=ν c/ ) a radiaţiei. Astfel undele plane uniforme de frecvenţe diferite vor străbate un mediu

- 99 -

care prezintă pierderi (cazul mediului conductor) la viteze de fază diferite. Există structuri de transmisie (ghidurile de undă) care prezintă dispersie, deşi mediul de transmisie nu prezintă pierderi. Datorită fenomenului de dispersie, o prismă descompune lumina albă în componentele sale spectrale de la roşu la violet.

Considerăm un mediu dielectric ( 0 =σ ⇒ 0 E jlib

=σ= ) , neutru din punct de

vedere electric ( 0 lib=ρ ) , nemagnetic ( 1

r=µ ⇒ H B

0µ= ) . În acest caz ecuaţiile lui

Maxwell se scriu sub forma:

tD

tD j H

lib ∂∂=

∂∂+=×∇

rrrr (5.339)

tH

tB E

0 ∂∂µ−=

∂∂−=×∇

rrr

(5.340)

0 B =⋅∇r

⇒ 0 H =⋅∇r

(5.341)

0 E lib =ε

ρ=⋅∇

r (5.342)

unde P E D

0

rrr+ε= (5.343)

Putem obţine o relaţie între intensitatea câmpului electric Er

şi polarizaţia electrică a mediului P

r dacă aplicăm operatorul rotor la relaţia (5.340) şi folosim formulele (5.339) şi

(5.343).

( ) ( ) 2

2

00 tD H

t E

∂∂⋅µ−=×∇

∂∂µ−=×∇×∇

rr ⇒

( )00

22

2

02

2

00

1 c , t

P tE E

0 E

µε=

∂∂µ−

∂∂εµ−=∆−

=

⋅∇∇rr

r

43421

r ⇒ (5.344)

t

P c1

tE

c1 E 2

2

2

0

2

2

2 ∂∂⋅

ε=

∂∂⋅−∆

rrr

(5.345)

Polarizaţia electrică Pr

este o proprietate a mediului în care se propagă unda electromagnetică, ce nu poate fi determinată numai pe baza ecuaţiilor lui Maxwell. Pentru a explica fenomenul de dispersie vom folosi modelul clasic elaborat de Lorentz, în care se analizează din punct de vedere microscopic interacţiunea dintre radiaţia electromagnetică şi mediul în care aceasta se propagă.

Se presupune că în unitatea de volum avem N atomi identici distribuiţi haotic (fiecare atom este neutru din punct de vedere electric), iar în fiecare atom există un electron optic (care se află la distanţă mai mare de restul atomului) de sarcină electrică e şi masă m ce oscilează în jurul restului atomului (un electron dintr-un atom răspunde la interacţiunea cu o radiaţie luminoasă ca şi cum ar fi legat de atom printr-un resort elastic). Acest model de oscilator al electronului (modelul Lorentz) se referă la modul în care un atom răspunde la o perturbaţie (sub influenţa câmpului electromagnetic electronul este deplasat faţă de poziţia de echilibru, dar în acelaşi timp este atras de restul atomului). În cazul unui atom format dintr-un nucleu şi un electron, forţa de legătură n eF

r este suficient de puternică pentru a menţine

electronul la distanţe destul de mici faţă de nucleu (nucleul este considerat staţionar, deoarece are masa mult mai mare decât aceea a electronului, iar acceleraţia imprimată nucleului la interacţiunea cu radiaţia electromagnetică este neglijabilă). Întrucât fenomenele

- 100 -

optice nu implică particule relativiste, vom neglija contribuţia magnetică la forţa Lorentz care acţionează asupra electronului. Ecuaţia de mişcare a lui Newton pentru electron este:

( ) ( )n er n eF t,er E e dt

erdm 2

2rrrr

r

+=⋅ (5.346)

unde r nr errrr

+= (5.347)

Deoarece r ≤

r 10 Å , λ roşu ≈ 7800 Å, λ violet ≈ 4000 Å ,

2

2

2

2

dt

rd

dterd

rr

≈ ( nr este ≈ constant)

rezultă că intensitatea câmpului electric nu este sensibilă la variaţiile foarte mici ale lui r r astfel că

( ) ( ) ( ) t,R E t,nr E t,er Errrrrr

≈≈

unde Rr

se referă la poziţia nucleului presupus staţionar. Astfel ecuaţia (5.346) devine:

relastic

k E e dt

rdm 2

2 rrr⋅−=⋅ (5.348)

unde am înlocuit forţa de legătură a electronului cu o forţă de natură elastică, în acord cu modelul lui Lorentz. Notând cu

0ω pulsaţia proprie a electronului,

melastic

k 2

0=ω , (5.349)

obţinem ecuaţia findamentală a modelului Lorentz (5.348) sub forma

E me r

dtrd 2

02

2 rrr

⋅=⋅ω+ (5.350)

În timp ce relaţia (5.345) exprimă legătura între Er

şi Pr

, relaţia (5.350) arată dependenţa lui r

r de E

r. Formula polarizaţiei electrice

r e N p N Prrr

== (5.351) exprimă legătura între P

r şi rr . Soluţiile ecuaţiilor cuplate (5.345) şi (5.350) vor dovedi

prezicerile modelului Lorentz privind interacţiunea dintre radiaţia luminoasă şi sistemul atomic.

Presupunem că intensitatea câmpului electric al unei unde liniar polarizate în planul xy , care se propagă în lungul axei z , în zona atomului, este de forma:

( ) ( ) zk t ieE tz, E

0

−ω⋅=

rr (5.352)

Astfel ecuaţia (5.350) devine:

( ) zk t ieE m

e r dt

rd0

2

02

2 −ω⋅⋅=⋅ω+

rrr

(5.353)

Pentru timpi mult mai mari decât timpul de relaxare putem neglija soluţia ecuaţiei omogene, astfel că păstrăm numai soluţia particulară a ecuaţiei neomogene:

- 101 -

( ) zk t ie

mE e

r 22

0

0−ω

⋅ω−ω

=

r

r (5.354)

Rezultă:

( ) zk t ie

m

E e N

P 22

0

0

2

−ω⋅

ω−ω=

r (5.355)

Deoarece Er

din relaţia (5.351) nu depinde de x şi y , rezultă că

( ) ( ) ( ) ( ) 22

22 i i

t , k k i k i ω−=ωω→∂∂−=−−→∆

Impunând condiţia ca Er

din (5.352) şi Pr

din (5.355) să verifice ecuaţia (5.345) obţinem:

E

me N

c E

c k 22

0

2

2

0

2

2

22 rr

⋅ω−ω

⋅εω−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+−

sau:

( )2

2

2

22

00

2

2

22 n

c

me N 1

c k ⋅ω=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω−ωε+ω= (5.356)

unde:

( )22

00

2

me N 1 n

ω−ωε+= (5.357)

este indicele de refracţie al mediului pentru radiaţia de pulsaţia ω . Relaţiile (5.356) şi (5.357) exprimă dependenţa de pulsaţie a mărimii vectorului de

undă şi a indicelui de refracţie. De aceea oricare din aceste formule poate fi considerată ca o relaţie de dispersie. Viteza de fază depinde de ω pe baza relaţiei:

nc

k v

f=ω= (5.358)

unde n este dat de (5.357) . Dacă exprimăm polarizaţia electrică în funcţie de polarizabilitatea electronică α sau în funcţie de susceptibilitatea electrică eχ (vezi relaţiile (2.99) şi

(2.100)): E N p N Prrr

α== (5.359) Ee P

0

rr⋅ε⋅χ= (5.360)

atunci comparând (5.359) şi (5.360) cu (5.355) scrisă sub forma:

( ) E m

e N P 22

0

2 rr⋅

ω−ω= (5.355’)

obţinem:

( ) me 22

0

2

ω−ω=α (5.361)

- 102 -

( ) α⋅ε

=ω−ωε

=χ N m

e N e0

22

00

2

(5.362)

Din (5.357) şi (5.362) rezultă:

e 1 n χ+= (5.363)

Rezultatele obţinute sunt valabile în gaze rarefiate, unde indicele de refracţie este foarte apropiat de 1 . În medii condensate, solide sau lichide, trebuie să folosim un câmp

electric efectiv 0

3P E

efE

ε+=

rrr

, în care se ţine seama de polarizarea substanţei. În acest caz

se obţine:

3e

2 n1 n

2

2 χ=

+− (5.364)

Pentru n apropiat de 1 , 3 2 n 2 ≈+ , iar relaţia (5.364) este identică formulei (5.363).

Dacă într-un atom există Z electroni care răspund independent la un câmp electromagnetic, atunci în locul relaţiei (5.357) obţinem:

∑∑= λ−λ

λλ

ε⋅π+=

= ω−ωε+=

Z

1 i2

i

2

22

i2

0

2

2Z

1 i22

i0

2

cm 4e N 1

1

me N 1 n (5.365)

unde

ii

c 2 , c 2 λπ=ω

λπ=ω (5.366)

Dacă i

λ < λ , putem folosi dezvoltarea binomială

( ) ( ) . . . x1 m m 21 x m 1 x 1 2m +−++=+ (5.367)

care este valabilă pentru x < 1 . Obţinem:

2

2

i

1

2

2

i2

i

2

2

1 1

λ

λ+≈⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ−=

λ−λλ

−

( )∑∑= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ+λ

επ+≈

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ+λ

επ+=

Z

1 i2

2

i2

i2

0

2

221

Z

1 i2

2

i2

i2

0

2

2

1

c m 8e N 1

367.5

1

c m 4e N 1 n (5.368)

pentru cazul în care 1 n 2 − << 1 . Această relaţie se poate scrie şi astfel:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=− 2

B 1A 1 n (5.369)

unde A şi B sunt două constante care depind de natura mediului. Aceasta este formula lui Cauchy, care a fost determinată pe cale semiempirică în

1830, înainte de elaborarea teoriei electromagnetice a luminii. Conform acestei relaţii, indicele de refracţie creşte dacă lungimea de undă scade (la trecerea printr-o prismă radiaţia violetă este deviată mai mult decât radiaţia roşie).

Dacă 0

ω=ω , experienţa arată că n = 1 , în timp ce din formula (5.357) rezultă

∞= n , deci teoria anterioară este inaplicabilă.

- 103 -

Dacă se reprezintă grafic n în funcţie de

raportul 0

ωω se obţine o curbă de dispersie. Când

ω < 0

ω , n > 1 , în timp ce pentru ω >0

ω , n < 1

(nc v

f= > c). Porţiunea din vecinătatea lui

0ω în

care n scade odată cu creşterea pulsaţiei reprezintă dispersia anomală.

În cazul electronilor liberi, deoarece nu există forţe de legătură elastică, pulsaţiile de oscilaţie naturală

iω sunt nule, iar relaţia de dispersie devine mult mai simplă (folosim

(5.357)):

m

e N 1 n 2

0

2

ωε−= (5.370)

unde N este numărul de electroni din unitatea de volum. Acest caz se întâlneşte în straturile superioare ale atmosferei, unde radiaţia ultravioletă solară produce electroni liberi prin fotoionizare.

Radiaţiile X se propagă în sticlă cu viteza de fază f

v > c , la fel ca în cazul electronilor liberi, întrucât frecvenţele de oscilaţie naturale ale mediului sunt mult mai mici decât frecvenţele radiaţiilor incidente, astfel că n < 1 .

5.11. Absorbţia undelor electromagnetice

Culoarea unui obiect se explică pe baza absorbţiei selective a radiaţiilor de anumite frecvenţe şi împrăştierii sau transmiterii radiaţiilor corespunzătoare celorlalte frecvenţe din spectrul vizibil. Astfel un corp are culoarea verde dacă absoarbe toate radiaţiile din domeniul vizibil, cu excepţia radiaţiei verzi. Un corp este negru dacă absoarbe toate radiaţiile din domeniul vizibil. Absorbţia în lichide şi solide este mult mai complicată decât cea din gaze. Apa este transparentă în vizibil, dar absoarbe în infraroşul apropiat. Pulsaţia plasmei

0ω pentru electronii liberi din metale se situează de obicei în ultraviolet. De aceea radiaţiile

vizibile (ω < 0

ω ) nu pot penetra într-un metal, fiind complet reflectate, aşa cum undele radio

sunt reflectate de ionosferă. Această reflexie puternică explică luciul metalelor. Aurul are o culoare deosebită deoarece absorbţia se datorează electronilor legaţi în atom.

Prin introducerea unei forţe de frecare r F

f&r

rγ−= (5.371)

se elimină nedeterminarea pentru 0

ω=ω din relaţia (5.357) , se explică de ce nu luăm şi

soluţia corespunzătoare ecuaţiei omogene şi se evidenţiază mecanismul fizic al absorbţiei energiei electromagnetice. Forţa de frecare apare ca un efect al ciocnirilor dintre moleculele unui gaz. În locul ecuaţiilor (5.348) şi (5.353) vom scrie:

r relastic

k E e r m &rrr&&r γ−⋅−= (5.372)

( )zk t ieE

me r r 2 r

0

2

0

−ω⋅⋅=ω+δ+

rr&r&&r (5.373)

unde

m 2 γ=δ (5.374)

În regim staţionar, soluţia ecuaţiei (5.373) este de forma:

- 104 -

( )zk t ier r

0

−ω⋅=

rr (5.375)

Impunând soluţiei (5.375) să verifice ecuaţia (5.373) , obţinem:

00

2

000

22 Eme r r i 2 r , r r , r i r

rrrrr&&rr&r ⋅=ω+ωδ+ω−ω−=ω= ⇒

( )zk t ie

i 2

Eme

r , i 2

Eme

r 22

0

0

22

0

0

0

−ω⋅

ωδ+ω−ω

⋅=

ωδ+ω−ω

⋅=

r

r

r

r (5.376)

Am neglijat soluţia ecuaţiei omogene ( =ω+δ+ r r 2 r 2

0

r&r&&r 0 )

( ) t etsin b t cosa r00

δ−⋅ω′⋅+ω′⋅=′rrr

(5.377)

deoarece ea aduce o contribuţie tranzitorie de durată foarte scurtă. Această aproximaţie este valabilă pentru timpi mult mai mari decât timpul de relaxare

δ=τ′ 1 , deoarece în acest caz t e δ− << 1 (putem neglija soluţia (5.377) ). Pentru mediile

transparente la radiaţiile vizibile 1 1261 15

0s 10 10 ; s 10 , −− ÷≈δ≈ωω << ωω ,

0 astfel că

timpii care prezintă interes fizic sunt mult mai mari decât o perioadă optică

(t >>δ1 >>

ωω1 , 1

0

) . Rezultă că soluţia staţionară este valabilă pentru timpi mai mari decât

perioada vibraţiei oscilatorului (00

/ 2 T ωπ= ) şi cea a vibraţiei forţate ( ωπ= / 2 T ) care

este înlăturată la t = 0 , dar nu poate prezice răspunsul oscilatorului în interiorul primelor câteva cicluri după t = 0 . Restricţia cerută (t >> s 10 15− ) nu are semnificaţie reală în optică, deoarece sub s 10 13− nu există până în prezent posibilitatea de rezoluţie temporală.

Soluţia fizică este partea reală a lui rv din (5.376) :

Re rv = ( )

( ) ( ) ( ) ( ) zk t sin 4

f 2 zk t cos

4

f22222

0

0

22222

0

22

00 −ω⋅ωδ+ω−ω

ωδ+−ω⋅

ωδ+ω−ω

ω−ωrr

(5.378)

unde

00E

me f

rr⋅= (vezi FIZICA , vol. I , pag. 35) (5.379)

Astfel câmpul electric induce într-un atom un moment de dipol

Re pr

= r Re e r⋅ (5.380)

Datorită atenuării prin frecare, momentul de dipol nu oscilează în fază cu intensitatea câmpului electric aplicat (termenul proporţional cu ( )zk t sin −ω arată că există o întârziere de fază în răspunsul dipolului). De aceea se defineşte un moment de dipol complex

( )zk t ie

i 2

Eme

re p 22

0

0

2

−ω⋅

ωδ+ω−ω

⋅=⋅=

r

rr (5.381)

Deoarece α⋅ε

=χα=0

N e , E prr

, rezultă:

ωδ+ω−ω=α

i 2 me

22

0

2

, α⋅ε

=χ0

N e (5.382)

- 105 -

Impunând ca Er

din relaţia (5.352) şi

E i 2

me N

p N P 22

0

2

rrr⋅

ωδ+ω−ω==

să verifice (5.345) , obţinem:

E i 2

me N

c

E c

k 22

0

2

2

0

2

2

22 rr

⋅ωδ+ω−ω

⋅εω−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+− (5.383)

sau 22

22 n

c k ⋅ω= , unde

( ) i 2 me N 1 n 22

00

22

ωδ+ω−ωε+= (5.384)

În cazul mai multor electroni

ωδ+ω−ω==α ∑ i 2

me

j

22

j

2

Z

1j (5.385)

Deoarece polarizabilitatea este o mărime aditivă (conform relaţiei de mai sus), vom scrie separat contribuţia dipolilor nerezonanţi (indicele n ) şi a celor rezonanţi (indicele r ) în expresia lui 2n :

( ) =α⋅ε

+α⋅ε

+=α+αε

+=α⋅ε

+=χ+= ∑ N

N

1 N 1 N 1 e 1 nr

0

r

i in 0

in rn

00

2

= r

0

r2

n

N n α⋅ε

+ ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ε

α+=

0

2

n

rr2

n

2

n

N 1 n n (5.386)

Al doilea termen din paranteză este subunitar, deoarece concentraţia dipolilor rezonanţi este mică. Folosind dezvoltarea binomială (5.367) obţinem:

0n

rrn n 2

N n n

ε

α+≈ (5.387)

Dacă ω este destul de departe de pulsaţiile de rezonanţă j

ω , atunci putem lua 0 ≈δ

fără să afectăm în mod apreciabil rezultatul. Pentru orice pulsaţie de rezonanţă j

ω suntem

aproape la rezonanţă dacă

jj δ≤ω−ω (5.388)

Condiţia cerută pentru a fi departe de rezonanţă este:

jω−ω >>

jδ (5.389)

Presupunem că există o pulsaţie 0j

ω=ω destul de apropiată de ω pentru a satisface

condiţia (5.388) , iar celelalte pulsaţii satisfac condiţia (5.389) . Întrucât o contribuţie importantă la α provine numai de la rezonanţă (

0j ω=ω , δ=δ

j ) , putem scrie relaţia

(5.385) astfel:

- 106 -

ωδ+ω−ω⋅=α

i 2 1

me 22

0

2

r (5.390)

Dacă

0ω−ω << ωω ,

0 (în acord cu (5.388) ) (5.391)

atunci ( )( ) ( )ω−ωω≈ω+ωω−ω=ω−ω 2

000

22

0

( ) ωδ+ω−ωω⋅=α

i 2 21

me

0

2

r ⇒

δ+ω−ω⋅

ω=α

i 1

m 2e

0

2

r (5.392)

Înlocuind r

α în (5.387) , obţinem:

( ) n i n n ,

i m 2

en 2N

n n 22

0

02

0n

rn

′′−′=δ+ω−ω

δ−ω−ω⋅

ω⋅

ε+= (5.393)

unde:

( ) 22

0

0

0n

2

rn

mn 4

eN n n

δ+ω−ω

ω−ω⋅

ωε+′=′ (5.394)

( ) 22

00n

2

rn mn 4

eN n n

δ+ω−ωδ⋅

ωε+′′=′′ (5.395)

nnnnn ; n n n ′′′+′= >>

nn ′′ (5.396)

Folosind relaţia de dispersie şi definiţia indicelui de refracţie complex, putem scrie formula (5.352) sub forma:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′′−′−ω

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−ω

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ω

⋅=−ω

⋅=z

cn i n t i

eE z

cn t i

eE nz

c t i

eE kz t i

eE tz, E0000

rrrrr

⇒ ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′−ω

⋅⋅′′ω−

⋅=zc

n t ie

zcn

eE tz, E0

rr (5.397)

Se constată că unda electromagnetică este atenuată exponenţial în lungul direcţiei de propagare. Deoarece intensitatea undei este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului Er

rezultă:

( ) ( ) ( ) z a e0 I z

cn 2

e0 I z I −⋅=⋅′′ω−

⋅= (5.398) unde ( )0 I este intensitatea undei pentru 0 z = , iar a este coeficientul de absorbţie datorat rezonanţei la pulsaţia

0ω .

( ) 22

00n

2

rn mcn 2

eN a

cn 2 a

δ+ω−ωδ⋅

ε⋅+′′=′′ω= (5.399)

n c 2 a

n′′⋅ω=′′ (5.400)

na ′′ este coeficientul de absorbţie datorat atomilor nerezonanţi. Din relaţia (5.398) se constată că absorbţia undei este determinată de partea

imaginară a indicelui de refracţie.

- 107 -

Graficul funcţiei ( )ω′ n se numeşte curbă de dispersie, iar graficul funcţiei ( )ω′′ n este o curbă de absorbţie. Viteza de fază a undei (5.397) este n / c ′ . Drept “indice de refracţie” se consideră partea reală a indicelui de refracţie complex. Dispersia anomală (porţiunea BC a curbei de dispersie) este prezentă numai în apropierea benzilor de absorbţie.

AB , CD ⇒

ω′

dnd > 0 (dispersie normală)

BC ⇒ ω′

dnd < 0 (dispersie anomală)