Unde electromagneticeLa modul cel mai general, notiunea de unda poate fi definita n felul urmator: prin unda se ntelege un fenomen (o manifestare naturala) variabil n timp care se propagadinaproapenaproapentr-oregiunedataaspatiului. Acest fapt-prin modelare- se poate defini si astfel: n domeniul se propaga o unda a marimii de stare u daca o perturbare a lui u, existenta n punctul P n momentul t se regaseste n momentul t+ t n diverse puncte P' din vecinatatea lui P.n legatura directa cu aceasta definitie se introduc notiunile: front de unda si viteza frontului.Prinfrontul undeise ntelege suprafata ce separa, la unmoment dat, regiunea perturbata de cea neperturbata; ea evolueaza att n timp ct si n spatiu, ceea ce implica fenomenul de propagare a undei n domeniul .Viteza de propagare a frontului (ceea ce este tot una cuviteza de propagareaundei) sedefinestecafiindlimitadintredistanta pecareo parcurgeunpunctP'al frontului deunda(fatadepunctulPdinpunctul de perturbatie) n intervalul de timp t si acest interval de timp, atunci cnd t tinde catre zero, adica: , (7.1)careestetotdeaunafinita. Aceastacorespundefaptului esential canconceptia actuala a Fizicii nu exista dect efecte care se propaga prin "actiuni din aproape n aproape" (cunoscutateorieacontiguitatii) si cuvitezafinita. Defapt, aceasta conceptie (avnd totusi o origine mai veche: anul 1843, cnd M. Faraday a introdus termenii decmpsi decontiguitate) stalabazateoriei macroscopiceclasicea fenomenelorelectromagneticealeluiMaxwell. Teoriacontiguitatii consideraca purtatorul actiunilor electrice si magnetice dintre corpurile electrizate si magnetizate este cmpul electromagnetic care le transmite prin contiguitate (adica dinaproapenaproapenspatiusi timp)cuoanumitavitezafinita(darfoarte mare), astfel ca ele au nevoie de un anumit timp spre a se propaga. Actiunile prin contiguitate depind numai deevolutia pe care starile fizice au avut-o ntr-un timp orict descurt (caretocmai atrecut!) laodistantaorict demicadinjurulportiunii de corp asupra careia se exercita,de aici rezultnd imediat notiunea de unde electromagnetice, n forma din definitia data la nceput.17.1.1 Clasificarea si reprezentarea undelorExista diferite criterii de clasificare a undelor. Astfel, dupa natura fizica a marimii destareuconsiderata, sedistingundele:elastice, pentrucareuesteo deplasare sau o tensiune mecanica, ori o presiune etc. (din aceasta categorie fac parte, de exemplu, undele seismice, undele hidraulice, undele sonore s.a.), gravifice, magnetohidrodinamice, electromagnetice (la care marimile de stare sunt, n principal, intensitatea cmpului electric si intensitatea cmpului magnetic) etc.Iata doua exemple de unde:- undele superficiale care apar pesuprafataunui lacadnccnd, aceasta suprafata fiind perfect plana, ntr-un punctPal ei cade un obiect greu (o piatra). Acest eveniment duce la formarea pe suprafata apei a unor cercuri concentrice, care si maresc din ce n ce raza si care au centrul n punctul P n care a cazut obiectul greu. Daca se reprezinta suprafata apei n cteva momente succesive din figura 7.1, realizate n momentele t1, t2>t1 si t3>t2, se vede ca aceste "ondulatii" superficiale se propaga sub forma cercurilor din figura 7.1, pna cnd ajung la malul apei. n figura 7.2 este reprezentata o "sectiune" verticala prin apa lacului, la momentul t1 din care rezulta ca perturbatia produsa de obiectul cazut n punctul P se transmite n punctul P', prin modificarea nivelului h(P, t) al apei, fata de fundul lacului, datorita miscarilor moleculelor apei, sub influenta socului dat de obiectul cazut, al energiei primite prin acest soc de molecule si al frecarii dintre moleculele de apa etc.;- undele electromagneticepot fi produse asa ca n figura 7.3, de o sursa de energie electrica cu t.e.m. e alternativa (un oscilator electric - v. cursul "Dispozitive si circuite electronice") care ncarca si descarca alternativ, cusarcini electrice denume 2contrar, doua sfere metalice (v. fig. 7.3) situate la o distanta l foarte mica n raport cu un punct P'( ) unde se analizeaza cmpul electromagnetic produs de cele doua sfere prin marimile lui de staresi (v. 7.1.6). n repartitia lor instantanee, sarcinile electrice determina uncmpelectric care variaza ntimp: . Conform legii circuitului magnetic (1.88), un cmp electric care variaza n timp produce un cmp magnetic, care-datorita faptului ca- va varia si el, intensitatea lui fiind. Deoarece si cmpul magnetic variaza n timp, va produce -conformlegii inductiei electromagnetice (1.82), prin termenul - un nou cmp electric variabil n timp si asa mai departe. Rezultatul este aparitia unei succesiuni de fronturi ale cmpului electromagnetic (perturbat / ntretinut desursaalternativacut.e.m.e), carevariazantimpsi spatiu, deci formarea unei unde electromagnetice.Un alt criteriu de clasificare a undelor tine seama de felul de exprimare matematica a marimii de stareu, n functie de care exista unde: scalare, vectoriale si tensionale, reale sau complexe. Astfel, n cazul undelor elastice care se propagangaze, marimeadestareagazelor:presiuneap (care este un scalar) - constituie o unda scalara, iar viteza o unda vectorial 939b11j 9; (deoarece marimea fizica viteza se evalueaza printr-un vector ). n exemplul din figurile 7.1 si 7.2 (al undelor superficiale de pe luciul apei), marimeasuperficialadestarefiinddeplasarea (P, t)a nivelului suprafetei apei, deci un vector, undele au un caracter vectorial. n acest caz simplu, al transmiterii undelor elastice vectoriale de-a lungul unui corp (n exemplul considerat, suprafata apei), se disting doua varietati deundevectoriale, dupa cumdeplasareaeste paralelacudirectiade propagare sau perpendiculara pe ea. Primul caz, simplu de exemplificat prin ce se ntmpla cu un arc spiral (ca cel din figura 7.4) supus unei perturbari initiale de-a lungul axei sale, consta n aparitia uneiunde longitudinale, situatie n care perturbarea se transmite n lungul resortului, vectorul reprezentativ din acest caz, fiind forta(P,t) care este paralel cu axa resortului (fig. 7.4).n cazul perturbarii suprafetei apei (v. figurile 7.1 si 7.2), marimea care poate descrie acest fenomen este deplasarea (P,t)un vector perpendicular pe directia radiala (v. fig. 7.1) de propagare a undelor superficiale, ceea ce nseamna ca aici este vorba de o unda transversala.3n ceea ce priveste undele tensoriale, un exemplu din aceasta categorie este acela al undelor de presiune din fluide vscoase.Undele mai pot fi clasificate si dupa criterii geometrice, ca -de exemplu- numarul de dimensiuni care intervin n propagarea undei considerate. Tot un criteriu geometric de clasificare este acela care tine seama de forma suprafetelor pe care se afla la un moment dat perturbatiile. Dupa felul suprafetelor n ale caror puncte marimea de stare are aceleasi valori n momente succesive, exista undele: plane (fig. 7.5a), cilindrice (fig. 7.5b), sferice (fig. 7.5c) etc.. n exemplul dat n figura 7.1, al undelor superficiale de pe suprafata unui lac, din punctul de vedere geometric aceste unde sunt circulare, concentrice.Dupa caz, se pot folosi numeroasetipurigeometricede unda,darcele mai importantesunt totusi undeleplanesi sferice; celeplanepentrufaptul capeo portiune suficient de mica din spatiu, orice unda poate fi aproximata ca fiind plana (ceeacesimplifica studiul), iar undelesfericeprezintainteres deoarece -conform principiului lui Huygens (v.7.1.8)- orice punct de pe o suprafata de unda poate fi considerat ca o sursa a unei unde sferice.Undele se mai pot clasifica si dupa felul cum variaza n timp marimea de stare u. Dupa cum s-a mai aratat n general aceasta marime este o functie de punct, P sau P , si detimpt:u(P, t) sauu . nuneledinexempleledatepnan prezent (celeilustratenfigurile7.1, 7.2si 7.4), undelesedatoraufaptului ca perturbatia era de forma unei functii treapta (de soc), adica: la un moment dat, n punctul (sauP) apareabruscoperturbatie, caresepropagamai departen punctelevecine, (sauP'), faraamai reveni (sazicemperiodic). nastfel de cazuri, unda se numeste unda de soc.Dar exista si multe situatii (ca aceea din figura 7.3, unde sursa de perturbatii este o t.e.m. e alternativa), n care fenomenul perturbator revine periodic n timp si -n acest fel- produce ovariatie periodica a marimii de stare, adica: 4ceea ce nseamna a spune ca prin trece o unda periodica n timp, de perioada T. Revenindu-se la exemplul mai simplu de intuit si reprezentat, al undelor superficiale ce apar pe luciul unui lac atunci cnd ntr-un punct fix P obiectul greu loveste periodic apa, la intervale de timp T (perioada de repetitie), se va constata ca aspectul suprafetei lacului (vazuta de sus) este cel indicat n figura 7.6, adica niste grupuri de cercuri care se succedntimpcuperioadaTsi pe directia razei cercurilorcuintervalul . Acest interval dupacareperturbatiilesereiause numestelungime de unda (v. 7.1.3) si ea reprezinta n fapt distanta la care se propaga unda (frontul undei) n timpul unei perioade T. Daca propagarea undei se face cuviteza , atunci: = T.Deci, unei perturbatii periodice n timpi corespunde o unda periodica n timp si n spatiu. Acest caz este foarte utilizat n tehnicacomunicatiilorprinundeelectromagnetice; el afost numai prezentat ca exemplu n figura 7.3, dar asupra lui se va reveni n toate paragrafele ce vor urma.Un alt caz este acela n care n modelul marimii de stare u, variabilele si t apar separate, n forma:,care reprezinta modelul tipic al coardei vibrante. Vibratiile coardei sunt produse mecanic, de o doza Dcomandata periodic de un oscilator mecanic O, asa cum se arata n figura 7.7. n functie de tensiunea mecanica prin care este "ntinsa" coarda, apare un anumit numar de "maxime" (M) si de "minime" (m) care nu se deplaseaza n timp n lungul coardei; acest tip de unda se numeste unda stationara. n opozitie cu acestea, undele la care se constata o propagare a perturbatiilor se numesc unde progresive.Avndu-se n vedere definitia undelor, deoarece n cazul undelor stationare nu se observa o deplasare a perturbatiilor, vibratiile care apar nu pot fi incluse n categoriaundelor. Eleprezintatotusi interesnteoriaundelor deoareceanaliza 5fenomenelor vibratorii arata ca -n general- undele stationare pot fi considerate ca o suprapunere de unde progresive (v.7.1.3).Reprezentarea grafica a undelorReprezentarea grafica a proceselor ondulatorii trebuie sa redea ntr-o forma cantitativa modul cum este repartizata pe marimea de stare u(P,t) sau u-cu - astfel nct sarezulteesentaproprietatilor specificeundelor analizate. Folosindu-se performantele de grafica interactiva, de reprezentare n 3D (simulnd spatiul tridimensional) si facilitatile actuale ale tehnicilor de calcul automat, reprezentareadiverselor tipuri deundedevinefoartesimpla, putndreda-prin animatie- si evolutia n timp.n principiu (chir si atunci cnd se utilizeaza reprezentarea prin animatie), redarea grafica a propagarii undelor se face n doua moduri: 1o se reprezinta starea domeniului n care se propaga unda (n nodurile unei retele de discretizare care se aplica domeniului , n 3D sau -daca exista simetrii- n 2D) la diverse intervale de timp t suficient de mici pentru a se sesiza influenta timpului n mod fluent (pna la redarea animata, fireasca); 2ose reprezinta n mod continuu variatia n timp a marimii de stareu(P,t) Pacelasi, n anumite punctePale domeniuluiconsiderat etc.n cazul 10 de reprezentare, are importanta si alegerea sistemului de referinta (decoordonate), careseadoptanfunctiedenaturamatematicaamarimilorde stare, deformageometrica(posibila) aundelor, denumarul dedimensiuni al domeniului etc.Influenta mediului asupra propagarii undelorNatura mediului si cazurile de neuniformitate determina n mod hotartor fenomenul de propagare a undelor, att n ceea ce priveste amplitudinea undei si viteza de propagare, dar si aparitia unor efecte care sunt provocate direct de catre starea mediului.Astfel discontinuitatile mediului, atinse de catre o unda progresiva, produc aparitia unor noi unde cu centrul n punctele de discontinuitate.Daca perturbatiile dinmediusunt de dimensiuni mici ncomparatiecu lungimeadeunda(v.7.1.3)arelocunfenomendemprastiereaundelor(un 6astfel defenomenintervinefrecvent npropagareaundelorelectromagneticede radiofrecventa la distante foarte mari).Atunci cndmediulncaresepropagaundeleesteformatdinmaimulte zone, fiecare n parte uniforme dar cu marimidematerialdiferitedela zona la zona (care sunt separate, deci, prin suprafete de discontinuitate), se produc efecte de refractie a undelor(v. 7.4.2), n cazul n care undele ce traverseaza suprafetele de discontinuitate au lungimea de unda mult mai mica dect una din dimensiunile suprafetei. Suprafetele de discontinuitate dintre doua medii uniforme produc si fenomenul de reflexie (v. 7.4.2 si 7.4.3).Un alt fenomen, provocat de discontinuitatile din mediu, este difractia (v. 7.1.8). El seproducelatrecereaundelor pelngasuprafetelenlungul carora proprietatile de material ale mediului variaza discontinuu pe portiuni de dimensiuni mari n comparatie cu lungimea de unda, portiuni pe care se afla corpuri opace. Un exemplu clasic de mediu n care se produce difractia este mediul omogen n care se afla plasat un ecran opac (din punctul de vedere al propagarii undelor), semiinfinit sauperforat; nacest cazundele(caexemplu, tipicceleluminoase) difractala trecerea prin orificiul din ecran sau la marginea sa.Mediile la care viteza de faza (v.7.4.5) este independenta de frecventa se numesc medii nedispersive, iar cele la care aceasta viteza depinde de frecventa se numesc mediidispersive. Exemple tipice de medii dispersive sunt (pentru undele electromagnetice) ionosfera si ghidurile de unda (v.7.1.9).Mediilencareundelor cesepropagali semicsoreazaamplitudinean functie de distanta strabatuta (v. 7.2.1), adica mediile care atenueaza undele ce se propaga prin ele, se numesc medii disipative. n caz contrar (n care undele ce se propaga nu sunt atenuate), mediile se numesc nedisipative. Acest efect, de atenuare a undelor propagate, are o cauza energetica. Prin propagare unda transmite mediuluin careseafla oanumita energie(preluatade lasursa ce aprodus,ca element perturbator, unda) care prin diverse fenomene -n functie de natura fizica a sistemului (de exemplu prin frecare n cazul undelor elastice, prin efect Joule n cazul undelor electromagnetice din mediile conductoare - v. 7.3.1)- transforma energia, primita de la undele ce se propaga, n caldura (fapt dovedit de cresterea temperaturii mediului).Polarizarea undelor7ncazul undelor vectorialecaresepropagaprintr-unmediuoarecarese produce urmatorul fenomen: vectorului de stare a undei descrie,n timpul deplasarii frontului undei, ocurbaplana. Acest fapt este denumitpolarizarea undelorntr-un plan; daca -n particular- vectorul de staredescrie o dreapta, se spune ca unda este polarizata liniar (v.fig.7.8b).n cazul particular al undelor armonice (adica al undelor n care vectorul variaza sinusoidal n timp), unda vectoriala este ntotdeauna polarizata plan, vrful vectorului descriind o elipsa, spunndu-se ca unda estepolarizata eliptic. Aceasta este considerata situatia generala deoarece -dupa caz- elipsa poate degenera ntr-o dreapta sau ntr-un cerc.nlegaturacuacest fenomen, seenuntaurmatoareateorema: "oriceunda vectorial 939b11j 9; estepolarizataeliptic". Demonstratiaacestei teoremeeste relativsimpla. Fieux, uysiuzcomponentele vectorului de stare al undei, componente ce variaza armonic n timp, astfel ca vectorul:poate fi scris n forma:(P1) ,unde: si sunt vectori ale caror componente sunt constante n timp. Dupa cum se stie (v. Matematica) relatia (P1) reprezinta ecuatia vectoriala a unei elipse si atunci ecuatia data de produsul vectorial mixt:(P2) ,reprezinta ecuatia planului elipsei, plan ce are normala (deoarece ).Ecuatia (P1) arata ca orice unda vectorial 939b11j 9; poate fi considerata ca proveninddinsuprapunerea adoua unde vectoriale polarizate liniar: si , defazate ntimpcu , deoarece functiiletrigonometrice sin t si cos t sunt n cuadratura.8Cazurile tipice reprezentate de ecuatia (P2), ce reprezinta curba descrisa de vrful vectorului n timp, sunt elipsa (cazul general), cercul si dreapta. Dar, n cazul polarizarii eliptice si al celei circulare, sunt posibile doua situatii determinate de modul cum variaza n timp vectorul: cu succesiune n sensul acelor de ceas (care reprezintapolarizarea de dreapta) sau n sensul trigonometric (aceasta fiind polarizarea de stnga), situatii care se pot reprezenta grafic asa cum se arata n figura 7.8a.O reprezentare care sa indice polarizarea circulara de variatie a vectorului , att ntimp(dupauncerc)ctsi nspatiu(redndprocesul depropagare)este aratata n figura 7.9.7.1.2. Ecuatia undelor electromagneticePentru descrierea particularitatilor undelor electromagnetice se foloseste un model caresadeterminerelatiaexistentantremarimiledestarecaracteristice cmpului electromagnetic, si anume: intensitatea cmpului electric -vectorul si intensitatea cmpului magnetic (specifice celor doua aspecte ale acestui cmp), precumsi modul depropagareacmpului electromagneticprinunde, modelul indicnd si dependenta de punct si de timp ale acestor vectori de stare.n acest scop se folosesc legile generale ale teoriei macroscopice a cmpului electromagnetic sub forma lor locala (de punct) exprimata de ecuatiile de baza ale lui Maxwell: (1.105M1).(1.105M4) si ecuatiile de material (1.106M5).(1.106M7), care se refera la electrodinamica macroscopica a mediilor continue, netede (n care functiile sunt continue si derivabile) si imobile, adica n cazul unor medii n repaus (cu viteza ), liniare, omogene si izotrope, fara polarizatie electrica permanenta ( ), fara magnetizatie permanentasi fara cmp imprimat . Desi un astfel de domeniu este un caz particular, cu multe restrictii, a fost ales pentru ca reprezinta situatia cea mai raspndita n practica propagarii undelor electromagnetice radio, n aer sau n vid (n "eter"), att de utilizate n 9telecomunicatii. Cazurile de discontinuitate, neuniformitate, anizotropie etc., care genereaza efecte secundare, sunt tratate aparte n conditiile date (reflexie, refractie, difractie,radiatii -atuncicndsau /si ,efectul Doppler-Fizeau atunci cndexistavitezerelativentresurselederadiatii, observator, mediuetc.-deci cnd, atenuarea undelor n mediile disipative etc.).Reamintindu-se ecuatiile de baza ale lui Maxwell (prezentate n 1.4.1) si ecuatiile de material (din 1.4.2), adica:, (M1), (M2),(M3),(M4),(M5),(M6),(M7)ale caror simboluri sunt binecunoscute, se poate determina ecuatia undelor n felul urmator:i) introducndu-se expresiile lui , si , dinrelatiile (M5), (M6) si respectiv (M7), n relatiile (M1).(M4), n conditiile n care mediul este nencarcat electric(adicaqv[C/m3]=0), seobtinecuatiilenumaicuvariabilele si ale marimilor de stare ale undelor:, (U1), (U2), (U3)10; (U4)ii) folosindu-se aceste noi expresii (U1).(U4), se pot determina ecuatiile (cu derivatepartiale) pecarelesatisfac, noricepunct al mediului depropagare, marimile de stare si ale undelor electromagnetice, prin aplicarea operatorului rotor relatiei (U3):(U5) ,din care, nlocuindu-se cu expresia lui (U4), rezulta:,adica:(U6) ;iii) stiindu-se ca(v. 9.1.2), conform relatiilor (9.39) si avndu-se n vedere relatia (U1), se obtine din (U6):,si deci:(7.2) ,carearatacancazul domeniului , cumediul precizat anterior, intensitatea cmpului electric satisface o ecuatie cu derivate partiale de ordinul doi, n timp si n spatiu;iu) aplicndu-se si relatiei (U4) operatorul rotor se obtine:11,n care se nlocuieste cu expresia lui (U3), rezultnd:(U7) ,u) tinndu-se seama de egalitatea (9.39), a aplicarii repetate a rotorului, care arataca , si avndu-senvedereca, nconformitatecu relatia (U2),, atunci, astfel ca expresia (U7) devine:,de unde reiese expresia n:(7.3) ,adica un model formal identic cu (7.2), care arata ca n cazul domeniului , cu mediul precizat initial, intensitatea cmpului magnetic satisface tot o ecuatie cu derivate partiale de ordinul doi, n timp si n spatiu, ca si;ui) pentru simplificarea scrierii, cele doua ecuatii (7.2) si (7.3), se pot formula matricial, devenind:(7.4) ,care reprezinta ecuatia undelor electromagnetice.Dupa cum se constata, ecuatia matriceala (7.4), este formata din ecuatii cu derivatepartiale deordinuldoi detiphiperbolic,care descriu,prin marimile de stare si, repartitia cmpului electromagnetic n timp si n spatiu (ocupat de un mediu liniar, uniform, imobil, fara polarizatie electrica permanenta, fara magnetizatie permanenta si fara cmp imprimat, nsa disipativ - datorita prezentei parametrului de material =1/ ). De la Matematica se stie ca, asociindu-se cu 12ecuatia (7.4) conditii initiale si la limita adecvate problemei studiate, se obtine o solutien si care-ngeneral- esteosolutieondulatorie. Solutiile obtinute pentru ecuatia (7.4) nu sunt independente, deoarece ntre vectorii si existantotdeaunarelatii delegatura(U3) si (U4), astfel nct seobtinounda electrica si una magnetica strns legate ntre ele si care se conditioneaza reciproc ntr-o unda unica (rezultanta): unda electromagnetica.Ecuatia undei electromagnetice n medii izolanten cazul particular al mediilor izolante, pentru care practic conductivitatea electrica este =0, ecuatia (7.4) ia forma specifica acestor medii si anume:. (7.5)Deoarececonformrelatiei (1.54), alui Maxwell (v. .1.4.5), =1/c2 (undeceste viteza de propagare a undei n mediul izolant, caracterizat de parametrii si (v. 7.4.1 si 7.4.5), iar operatorul:,reprezintaoperatorul d'Alembert saud'alembertianul, rezultacaformaecuatiei undelor electromagnetice ce se propaga n medii izolante este: .(7.5A)Ecuatia undei electromagnetice n medii conductoaren mediile conductoare, care au 107 S/m si o permitivitate absoluta foarte mica,unde-deci- >>> ,ecuatia(7.4),ncarepractic 0nraportcu , devine:, (7.6)13care este o ecuatie de ordinul doiparabolica, ce descrie modul cum se propaga undele electromagnetice n mediile conductoare electrice.Ecuatiile undelor electromagnetice n medii cu sarcini electricen cazul n care n mediul n care se propaga undele electromagnetice exista punctePundedensitateadevolumasarcinii electriceqv[C/m3]estediferitade zero, sau exista corpuri punctiforme n domeniul ocupat de mediu care se deplaseaza cu viteza avnd (adica ), precum si variatia n timp a densitatii de volum a sarcinii electrice (deci ), prin urmare n cazul n care mediul are domenii pentru care:, (PE1)distributia qvsi pe fiind cunoscuta, ecuatiile (7.5) si (7.5A) nu pot duce la gasirea solutiei si a cmpului electromagnetic (pentru ca ele au fost determinate n conditiile - v relatia U1 si s-a considerat , deci tot ). Deaceea, ncazurileindicatede expresia (PE1), calculul cmpului electromagnetic se poate realiza mai simplu prin introducerea potentialelor electrodinamice (v. 7.1.4), ca potentiale (V si) ale undelor electromagnetice care permit si analiza fenomenelor de radiatie electrica (v. 7.1.6) si magnetica (v. 7.1.7). Aceste marimi se pot introduce n virtutea neunivocitatii potentialelor (v. 7.1.4).Dupa cum se stie, din legile circuitului magnetic (M1) si fluxului magnetic (M4) -indicatori folositi n paragraful 7.1.2- rezulta ca vectorul inductiei magnetice reprezinta un cmp solenoidal (v.cap.5), astfel nct se poate scrie:(PE2) ,ncare este-prindefinitie-potentialul electrodinamicvector(ncapitolul 5, referitor lacmpul magneticcvasistationar, afost numit potential magnetic vector). nlocuindu-sedin legea inductiei electromagnetice (M2 n 7.1.2) cu definitia anterioara (PE2) rezulta:14(PE3) .Din ultima relatie (PE3) rezulta ca termenul este irotational (deoarece rotorul sau este nul), astfel ca el poate fi exprimat printr-un gradient al unei marimi scalare (fie acesta V), adica:,de unde rezulta ca vectorul intensitatii cmpului electric poate fi scris n forma:(PE4) ,n care V este -prin definitie- potentialul electrodinamic scalar.Prinutilizarea potentialelor electrodinamice, siV, calculul cmpului electromagnetic se simplifica prin faptul ca n locul determinarii marimilor de stare vectoriale si (care se face prin 6 valori/componente scalare), trebuie determinate numai 4 valori/componente scalare: 3 pentru potentialul electrodinamic vector si una pentru potentialul electrodinamic scalar V.Folosindu-se aceste potentiale electrodinamice, ecuatiile undei electromagnetice devin:- se introduc relatiile (PE2) si (PE3) n forma locala a legii circuitului magnetic -(M1) din 7.1.2- n care si se nlocuiesc prin explicitarea lor din legile (M6) si (M5) din 7.1.2, rezultnd:(PE5) ;- deoarece , conformrelatiei (9.39), expresia (PE5) devine:(PE6) , 15adica:(PE7) ; - dupa cum s-a aratat n capitolul 5, un cmp vectorial poate fi definit n mod univoc numai daca se precizeaza simultan att rotorul ct si divergenta sa (la care se mai adauga -n functie de problema- conditiile initiale si la limita). Aici, prin definitia (PE2) s-a indicat valoarea rotorului vectorului , divergenta luiputnd fi determinata prin etalonare (de exemplu, n capitolul 5 s-a considerat div=0). n acest caz, cel mai potrivit -din punctul de vedere al modelarii- este ca div sa se etaloneze prin conditia lui Lorentz, adica:,(7.7)etalonare ce simplifica mult modelul (PE7);-princonditiadeetalonareLorentz(7.7)apotentialului electrodinamic vector, ecuatia (PE7) devine:,(7.8)adica:, (7.8')sau: , (7.8")carereprezintaonouaformaaecuatieiundelorelectromagneticenmediiunde exista puncte n care densitatea de curent este diferita de zero;- se introduce, n continuare, relatia (PE4) n legea fluxului electric -sub forma locala (M3) din 7.1.2- rezultnd:16,sau:,adica:; (PE8)-nlocuindu-se n ultima relatie (PE8) divprin conditia lui Lorentz (7.7) se va obtine:,adica:,sau ;(7.9)- ultima ecuatie (7.9) reprezinta o noua forma a ecuatiei undelor electromagnetice n medii unde exista puncte n care densitatea de volum a sarcinii electrice este diferita de zero. Deoarece ecuatia (7.9) se mai poate scrie si sub forma:, (7.9')folosindu-se operatorul lui d'Alambert mai rezulta si exprimarea: . (7.9")Prinurmare, potentialeleelectrodinamiceVsi , dinecuatiile(7.9") si (7.8"), reprezinta solutiile unor ecuatii d'Alambert:17 (7.10) ,care au fost scrise sub forma unui sistem, deoarece n (7.10) -cele doua solutii V si nu sunt independente pentru ca ele sunt legate prin conditia lui Lorentz (7.7), iar termenii dinmembrul drept sunt legati ntreei prinlegeaconservarii sarcinii electrice (1.92)- pentru medii n repaus (cu), adica:(7.11) .Dacamediul considerat: liniar, uniform, imobil, farapolarizatieelectrica permanenta, fara magnetizatie permanenta si n care nu exista sarcini electrice si curenti electrici (qv=0 si=0), mediul fiind izolant ( 0), descriem propagarea cmpului electromagnetic(ntimpsi spatiu)prinunadinmarimiledestareale multimii (7.12):(7.12) ,atunci forma generala a ecuatiilor electromagnetice este:(7.13) ,stiind ca marimile (si) f, pe de o parte, si (V si) f, pe de alta parte, sunt perechi legate prin relatiile (U3) si -respectiv- (7.11).7.1.3. Unda electromagnetica planaPrindefinitie (v. fig. 7.3), unda plana este uncaz particular al undelor electromagneticepentrucaremarimiledestare( si) depinddeosingura coordonata spatiala si de timp. n cazul exemplului ales in figura7.3, daca punctul P'(din spatiul n care se propaga undele electromagnetice) este extremde ndepartat desursadecmp(unoscilator electricdipolar delungimel), adica distanta r de la punctul considerat la sursa este foarte mare (mai precis r >>> l - v. fig. 7.3) atunci unda electromagnetica devine practicunda plana, acesta fiind cazul cel mai frecvent ncomunicatiileradiocuundeelectromagneticemodulate(v. cursul Teoria transmiterii informatiei).18Atunci, o unda electromagnetica plana ntr-un mediu dielectric cu 0 (vid, aer etc.), presupunnd axayca directie de propagare, a unui sistem de referinta cartezian Oxyzla care este raportat mediul, este determinata de marimile de stare:(7.14) unde-spresimplificareascrierii prinfsesubntelegeocomponentaoarecarea vectorilor de stare sau.n aceste conditii, n cazul undei plane, ecuatiile cmpului electromagnetic (7.5) si (7.5A) pot fi scrise sub forma: (7.15)care - pentru a fi rezolvata - se retranscrie sub alta forma si anume:(UP.1) Determinarea solutieiPentrurezolvareaacestei ecuatiicuderivatepartiale(UP.1)seintroducnoi variabile, adica: t-y/c = si t+y/c = (UP.2), astfel nct: t= (+)/2 si y=c (-)/2. (UP.3). Atunci: si(UP.4) astfel ca ecuatia (UP.1) pentru f capata forma:(UP.5)care prin integrare dupa - conduce la: (UP.6)19unde F() este o functie arbitrara. Integrndu -se nca odata, dupa , ecuatia (UP.6) se va gasi: f= f1()+f2() ,(UP.7)unde f1 si f2 sunt functii arbitrare. n acest fel, solutia ecuatiei (7.15) -rezultata din solutia (UP.7) n care s-au nlocuit si prin expresiile lor (UP.2)- este: f=f(y,t)= f1(t-y/c)+f2(t+y/c) ,(7.16)n care functiile arbitrare f1 si f2 se determina prin conditiile initiale si la limita (pe frontiera) ale problemei concrete date.Solutia (7.16) arata ca unda plana -solutie a ecuatiei (7.15)- rezulta din suprapunerea a doua unde, una zisa directa f1 (sau fd) si alta inversa f2 (sau fi ), care se propaga cu viteze egale (c) n sensuri opuse.ntr-adevar, presupunndu-se de exemplu- ca f2=0, solutia (7.16) devine f= f1(t-y/c),care are urmatoarea semnificatie: n fiecare plany=const. cmpul electromagneticvariazan timp, iar nfiecare momenttdatcmpulestediferit, pentru valorile luiydiferite. nsa este evident ca acest cmp are aceeasi valoare pentru coordonatele y si timpii t care satisfac relatia t-y/c=const., adica: y=const.+ctsauy-ct=const.(UP.8)Aceasta nseamna ca daca la un moment dat t=0, ntr-un anumit punct y al spatiului cmpului va avea o anumita valoare, dupa un anumit interval de timp T cmpul va avea aceeasi valoare la distanta =cT de-a lungul axei y de la locul initial. Aceasta distantareprezintalungimeadeunda(v. 7.4.5). Pentruaurmari ovaloare constanta data a undei directe f1()= f1(t-y/c),un obsevator ar trebui sa se deplaseze astfel nctsegmentulsauysafieconstant, conformrelatiei(UP.8), adicacu viteza:dy/dt= const.+ dy/dt=0+c dy/dt=c= .(7.17)Viteza (7.17) fiind pozitiva rezulta ca f1() se propaga n sensul crescator al axei y, fiind -prin urmareunda directa fd. Astfel, se poate afirma ca toate valorile cmpului electromagnetic se propaga n spatiu de-a lungul axei y cu viteza luminii n vid c (v. 7.4.5).20nmodsimilarsepoatearatacaundaf2()=f2(t+y/c)esteoundacarese propaga n sens opus lui f1 fd ,adica n sensul descrescator (negativ) al axei y, fiind astfel o unda inversa fi.ntr-adevar,f2()=const.f2(t+y/c) =const.(t+y/c)= const., cu viteza de deplasare dy/dt=d(const.-ct)/dt=-c, deci cu viteza luminiiccu semnul minus, adica n sens invers undei directe.n paragraful precedent s-a aratat ca potentialele electrodinamice (V si) ale undei electromagnetice pot fi alese astfel nct dacaV=0div =0, conform conditiei de etalonare a lui Lorenz (7.7). Se va considera -n continuareaceasta situatie, adicapotentialulelectrodinamicscalaralundeielectromagneticeplane este alesV=0, ceea ce implica -pentru potentialul electrodinamic vectorA- etalonarea div A=0. Conditia div=0 da n acest caz:Ay/y=0, (UP.9) deoarece n unda plana luata dupa directia y, toate marimile nu depind de xsiz, rezultnd relatia (UP.9). ntr-adevar: div =0(/x + /y+/z)(Ax+ Ay+ Az)= Ax /x +Ay /y +Az /z=0si cum daca marimile nu depind de xsi de z, nseamna ca Ax/x=0 si Az/z=0, ceea ce nseamna ca div =0 conduce si la Ay/y=0.Atunci, conform cu (7.15), n care f devine Ay, va rezulta si relatia:(UP.10) 2Ay/t2=0,adicaAy/t=const.nsa derivata A/t determina cmpul electric -vezi relatia (PE4) din paragraful 7.1.2- si atunci egalitatea (UP.10) arata ca o componentaAydiferita de zero ar nsemna-ncazul considerat-prezentaunuicmpelectriclongitudinalconstant: Ey=const. Deoarece un astfel de cmp nu apartine undei electromagnetice, se poate spune ca Ay =0. Asadar, potentialul electrodinamic vector al unei unde plane poate fi ales totdeauna perpendicular pe axa y, adica pe directia de propagare a acesteiunde. Daca se considera o unda plana care se propaga n sensul pozitiv al axeiy (undadirecta), -atuncinaceastaunda-toatemarimilef(nparticularsi )sunt functii numai de t-y/c, conform solutiei (7.16). Din formulele: 21si,care provin din relatia (PE4) din paragraful 7.1.2 cu conditia V=0, se obtine:(7.18) undeaccentul nseamnadiferentiereadupat-y/c, iar esteversorulde-alungul directiei de propagare a undei electromagnetice( ). ntroducndu-se prima relatie (7.18) n ultima se obtine:(7.19)care arata ca n cazul undei electromagnetice plane, cmpul electric si magnetic sunt orientate perpendicular pe directia de propagare a undei (a lui y). Din acest motivundeleelectromagneticeplanesenumesctransversale. Dinrelatia(7.19) rezulta, mai departe, capentruundaplana, cmpurileelectricsi magneticsunt perpendiculare ntre ele si egale n marime absoluta (de exemplu, Ez cu Hx si Ex cu Hz). Acest lucru se mai poate arata si astfel: i) n cazul (7.14) al undelor plane, rotorul si divergenta functiei f sunt:(UP.11)deoarece f depinde de o singura coordonata spatiala y si deci:iar: (UP.12)deoarece:.22Atunci, dacaf=sau , relatiile (UP.11) si (UP.12) arata ca:(7.20)(7.20') (7.21)(7.21')ii) comparndu-se, pe componente, relatiile (U3/ 7.1.2) cu (7.20) si (U4/ 7.1.2) cu (7.21) rezulta: ceea ce nseamna: (UP.13)precum si:ceea ce nseamna: (UP.14)iii) comparndu-se ntre ele ecuatiile (U1/ 7.1.2) cu (7.20') si (U2/ 7.1.2) cu (7.21') rezulta imediat:(UP.15)si .(UP.16)Din aceste relatii rezulta ca undele electromagnetice plane, transversale pe axa y, au caracteristicile:23j) componenteleEy siHynudepindnici deysi nici det, asacumarata ecuatiiledoi dinexpresiile(UP.13) si (UP.14), precumsi ecuatiile(UP.15) si (UP.16), ceea ce nseamna caele reprezinta o distributie statica uniforma,nelegata cauzal de procesul de propagare. Aceasta mai nseamna ca se pot lasa de-o parte componentele Ey siHy, ramnnd numai componentele Ez cu Hx- legate prin prima ecuatie din relatiile (UP.14), rezultnd ca vectorii si sunt perpendiculari pe directia axei y, fapt aratat si de relatia (7.19);jj) legaturadintrecomponente:Ez cuHx (asacanfigura7.10)siEx cuHzaratacan procesul de propagare al undelor electromagnetice plane apar doua unde transversale independente, una directa si alta inversa, care pot fi analizate separat, fapt precizat si anterior pin solutiile (7.16);jjj) derivndu-se prima ecuatie din (UP.13) n raport cu ysi ultima ecuatie din (UP.14) n raport cu t, se poate elimina termenul 2Hx/ty astfel:2Ez/y2= -2Hx/tysi-2Hx/ty= 2Ez/t2,care rezulta:2Ez/y2 = 2Ez/t2sau2Ez/y2=2Ez/t2, obtinndu-se ecuatia:2Ez/y2= 2Ez/t2, (7.22E) care este de forma (7.15), ecuatie ce a fost rezolvata -relatia (7.16)- avnd, n cazul componentei Ez, solutia:Ez(y,t)= Ed (t-y/c)+ Ei (t+y/c);(7.23E)24jv) pentrudeterminareacomponenteiHxsevaprocedalafel, adicaseva deriva prima ecuatie din (UP.13) nsa n raport cu t si ultima ecuatie din (UP.14 ) n raport cu y:2Ez/yt= -2Hx/t2 si-2Hx/y2= 2Ez/ty ,dintre care, eliminndu-se 2Ez/ty ,rezulta ecuatia: (7.22H) 2Hx/y2= 2Hx/t2,careestedeforma(7.15), ecuatieceafostrezolvataanterior-v. relatia(7.16)- avnd, n cazul componentei Hx , solutia: (7.23H) Hx(y,t)= Hd (t-y/c)+ Hi (t+y/c).Interpretarea solutieiAsacums-amaiaratatnrepetaterndurisicumodovedescaicirelatiile (UP.13) si (UP.14), cmpul magnetic nu este independent de cmpul electric, astfel nct undele Hd si Hidin solutia (7.23H) pot fi exprimate prin Ed si Eiale solutiei (7.23E).Astfel, din prima ecuatie a relatiilor (UP.13) si tinndu-se seama de schimbarile de variabila (UP.2) se va obtine:(UP.17) Hx/t= Ez/yde unde va rezulta, prin integrare, Hx . Astfel:Hx=- c(dEd/d + dEi/d)dt+Hx0(y)= - [Ed/t(/t)-1+ Ei/t(/t)-1]dt+Hx0(y)=(UP.18) = - dt+ Hx0(y),n care variabilele si s-au nlocuit prin expresiile lor n functie de t (UP.2). Va rezulta mai departe, prin introducerea lui -1 sub integrala (UP.18):25Hx =- dt+Hx0(y)= (7.24H)= [-Ed(-)+Ei(-)]+Hx0(y) sauHx= [Ed()- Ei()], din care lipseste constanta de integrareHx0(y), deoarece nu apartine undei electromagnetice pentru ca din ultima egalitate a relatiilor (UP.14), adica -Hx/y= 2Ez/t2, rezulta ca Hx0(y)=const. fiindca la t=0 , d Hx0/dy=0.Termenul 1/c din expresia (7.24H) poate fi scris si sub forma:(7.25)sicare are dimensiunea:[c]= [/]1/2=[[H] [m]-1/[F] [m]-1]1/2=[H/F] 1/2= = [[V] [s][A]-1/[A] [s][V]-1]1/2=[[V]2/[A]2] 1/2=[V]/[A]=[], adica de impedanta (v.cap.8).De aceea, ultimul termen al expresiei (7.25) se defineste ca fiind impedanta de unda (intrinseca)a mediului n care se propaga unda; ea se noteaza cu si este: (7.26)n care:este impedanta de unda relativa a mediului, este impedanta de unda a vidului.Atunci, solutiile generale ale ecuatiilor (7.22E) si (7.22H) se pot exprima si n urmatoarea forma:(7.27E) Ez(y,t)= Ed (t-y/c)+ Ei (t+y/c), 26Hx(y,t)=[ Ed (t-y/c)- Ei (t+y/c)] ,(7.27H) ncareintervinnumai douafunctii arbitrare,EdsiEi(cesepot determinadin conditiile initiale si la limita ale problemei date). Solutiile legate (7.27E) si (7.27H) pot fi reprezentategrafic, pentruuncazgeneral oarecare, asacanfigura7.11 (7.11a reprezinta undele directe si 7.11b -undele inverse).Transferul de energieUndele electromagneti-ce plane transversale, reali-zeaza un transfer de energie prin suprafata plana a undei, care se poate determina prin densitatea de suprafata a PUTERII electromagneticetransferate (fluxul de putere), adica prin calcularea vectorului Poyting (v. 1.5.3, unde a fost definit prin Astfel, pentru unda directa rezulta:(7.28) iar pentru unda inversa: (7.29) ambele exprimate n[W/m2].Din aceste expresii, (7.28) si (7.29), reiese ca transportul de energie electromagnetica se face n lungul axei y (ce are versorul), unda directa n sensul pozitiv al axei y (+ ) iar cea inversa n sensul negativ al lui (- ), cea ce nseamna ca propagarea undei electromagnetice plane se face transversal pe o singura directie (de exemplu y , asa cum s-a considerat initial).inndu-se cont de relatiile (7.27H) si (7.26) nseamna ca se mai poate scrie (de exemplu pentru unda directa):27(7.30)Densitatea de volum a energiei electromagnetice (v. 1.5.3) fiind:- pentru energia electrica - pentru energie magnetica ambele exprimabile n [Ws/m3], nseamna ca ridicndu-se la patrat ambii membri ai egalitatii (7.30), rezulta:sau (7.31)ceea ce exprima egalitatea dinte densitatea de volumenergiei electrice si energiei magnetice a undei directe.Atunci, valoareaabsolutaSdavectorului Poyting, pentruundadirecta, se poateexprimanfunctiededensitatiledevolumaleenergiei electromagnetice determinate n mediul n care se propaga unda astfel:(7.32)Relatia (7.32) conduce la urmatoarea interpretare fizica: energia transportata deundaelectromagneticantr-uninterval micdetimpt, printr-oportiunede suprafata cu aria A normala pe directia sa de propagare (deci pe directia vitezei de propagare c) este egala cu energia electromagnetica totala din cilindrul cu ariile frontaleAsi lungimeal=ct(adicaegalaculungimeacucares-apropagat suprafata An intervalul de timp t), asa cum se reprezinta schematic n figura 7.12.Mai rezulta si urmatoarele interpretari:- unda electromagnetica plana transporta cu ea o anumita putere, ceea ce nseamna ca prin propagarea ei, n timp si 28spatiu, unda electromagnetica propaga energie electromagne-tica, cu densitatea de volum data de relatiile (7.31);- unda electromagnetica plana exercita o anumita forta asupra peretilor ce o reflecta (nepermitnd ''trecerea'' ei mai departe).n legatura cu aceasta ultima interpretare se propune urmatoarea problema, devenita clasica.ProblemaSase determine fortacareactioneaza asupraunuiperetece reflecta(cuun coeficient de reflexie r) o unda electromagnetica plana, ce ''cade'' asupra peretelui.Rezolvare. Forta, n [N/m2], care actioneaza asupra unitatii de suprafata a peretelui este data de impulsul energiei electromagnetice al unitatii de volum, adica S/c=w, ceseexercitaasupraperetelui peunitateadesuprafatapedirectiade incidenta ( cu versorul ): n [N/m2] undeeste versorul normalei la suprafata peretelui, w' este densitatea de volum a energiei undei reflectate de perete pe o directie data de versorul care se determinacurelatiaw'=r w(cerezultachiar dindiferentacoeficientului de reflexie r).Introducndu-se unghiul de incidenta (care este egal si cu unghiul de reflexie) se obtin:- componenta normala a fortei (cunoscuta n Fizica sub numele de ''presiune luminoasa''):- componenta tangentiala a fortei: 7.1.4. Potentiale electrodinamice retardate29S-audefinit, nparagaful 7.1.2, potentialele electrodinamice vector si scalar (V) necesar studiului undelor electromagnetice n medii n care exista puncte undeqv0sau0,qvsiconstituindasa-numitelesurse decmp. nregim dinamic, valoareapotentialelor dint-unpunctP'(derazavectoare 'fatadeo origine de referinta O) si la un moment teste determinata de valoarea surselor de cmp (qv si) dintr-un punct P al domeniului (fig.7.13), la un moment anterior t=t'-R/c(unde R este valoarea absoluta razei vectoaresiceste viteza de propagare a undei electomagnetice), decalajul fiind egal cu timpul necesar undei electromagnetice sa se propage din punctulPn punctulP'(v. fig. 7.13), ceea ce este n acord cu conceptia actiunii din aproape n aproape. Datorita acestei ntrzieri a potentialelor electrodinamice fata de sursele cmpului electromagnetic, potentialul vector si cel scalarVpoarta denumirea depotentiale (electrodinamice) retardate.n continuare se va analiza acest proces al retardarii potentialelor electrodinamice.Mai nti se vor solutiona ecuatiile undelorelectromagneticenmedii cusarcini decmp(qvsi ), adicaecuatiile(7.8") si (7.9") n conditiile unui mediu omogen si infinit extins folosindu-se notatiile din figura 7.13. Prin procedeele clasice ale Teoriei ecuatiilor fizicii matematice, se determina solutiaecuatiei (7.8") -adica sub forma:(7.33)n caresiveste volumul domeniului n care sunt distribuite sursele de cmp electromagnetic: (densitatea de curent) si qv (densitatea de volum a sarcinii electrice), ambele ca functii de (de punct) si de timp t (v. fig. 7.13).Solutia ecuatiei (7.9") -adicaV= - qv/- este de forma: . (7.34)30n expresiile precedente, (7.33) si (7.34), marimileqvsi suntmarimiretardate , fapt care de obicei- se indica prin scrierea lor ntre paranteze drepte; astfel:si .Estederemarcat (v.cap.5sicap.2)casolutia(7.33)estesimilaraexpresiei determinata pentru potentialul magnetic vector definit pentru cmpul magnetic cvasistationar (n capitolul 5 s-aaratat ca iar solutia (7.34) este identica cu expresia determinata n capitolul 2 pentru calculul potentialului electrostatic(si anume, numai ncazul mediilor cudistributiede volum a sarcinii elastice:). De altfel, folosindu-se aceste expresii alelui si V, solutia(7.34)sestabilesteprinaplicareateoremei superpozitiei (mediul fiindliniar) nconditii desimetrieadistributiei devolumasarcinii electrice, n mediu omogen si izotrop. Solutia (7.33) se determina prin componentele lui (Ax, Ay ,Az), tot prin supozitie.Potentialele retardate si , precumsi marimile retardate -ca de exemplu [qv] si [ ]- intervin n studiul radiatiei undelor electromagnetice, produse de oscilatoare electrice si magnetice (asa cum se va arata n paragrafele 7.1.6 si 7.1.7).7.1.5. Potentialul vector a lui Hertzn unele cazuri, cum este acela al mediilor n care exista polarizatie electrica temporara variabila n timp sau magnetizatie temporara variabila n timp, n care aceste marimi pot produce unde electromagnetice, mediile numindu-se ereditare (deoarece prezinta fenomene de memorie, n sensul ca starea prezenta a mediului depind de starile trecute), studiul radiatiei si propagarii undelor electromagnetice se face mai simplu daca se utilizeaza metoda potentialului a luiHertz, care consta n introducereaunui vector de tip potential, numit vectorul luiHertz (sau potentialului lui Hertz), ce se noteaza cu.Potentialele electrodinamice,si, sunt -n buna masura- arbitrare; daca se utilizeazaconditiile de etalonare ale lui Lorentz (7.7), din care rezulta:31atunci sejustificaimediat definireapotentialului vectoralui Hertz, , dincare deriva si Vprin relatiile:(7.36') si(7.36'')unde verifica ecuatia neomogena an undelor: (7.37)n careeste vectorul polarizatiei temporare. ntr-adevar, conform ecuatiei (7.8'') si atunci, nlocuindu-seprin definiti lui(7.36') rezulta:(H1)Dar, asacums-aaratat nsubcapitolul 4.2, ncazul ncaresursadecmpvariaza n timp rezulta :(H2)adica densitatea curentului de deplasare. Darsi atunci:(H3) 32unde este densitatea curentului de polarizatie electrica. Daca n mediul considerat existanmodpermanent polarizatieelectricatemporaravariabilan timp (mediul ereditar), atunci componentaeste predominanta si nlocuindu-se n relatiile (H1) pe prin rezulta: ,adica ecuatianeomogena a undelor (7.37).Alegndu-se o solutie oarecare a ecuatiei vectoriale si neomogene a undelor (7.37) se poate construi de aici un cmp electromagnetic posibil (data fiind neunicitatea solutiilor ecuatiei luid'Alembert)adicaseidentifica aceea solutie a vectorului, determinndu-se apoi si . Cmpul astfel determinat este acceptabil daca verifica si conditia pe frontiera sau la infinit.Mai mult, se poate introduce si un asa-zis antipotential al lui Hertz, notat cu ', plecndu-sedelaformalocalaafluxuluielectric (valabilanumain medii faradensitatedevolumasarcini electrice, deci cu ). Scriindu-se ceeacecombinat cuformalocalaacircuitului magnetic da (presupunndu-se ca mediul este lipsit si de sursa de cmp densitate de curent , adica ):ceea ce conduce la:Deoarece, conformlegiiinductieielectromagnetice, siconform definitiei potentialului vector se scrie si , rezulta: adica Cmpul fiind irotational, poate fi exprimat ca uncmpde gradient si -ca urmare- vectorul intensitatii cmpului electric poate fi scrisn forma:(H4)33situatie n care, nconditia de etalonare Lorentz pentru antipotentiale lui Hertzprin relatiile :(H5)de unde rezulta: .(7.38)De aici reiese ca trebuie sa verifice ecuatia neomogena a undelor: = (7.39)unde este magnetizatia .La relatia (7.39) se ajunge n felul urmator :- deoarece n punctele lipsite de sursedar si fara polarizatie electrica, relatia (7.37 ) devine: =0dar si =0(H6)-atunci, din relatia (H6) combinata cu (H5) reiese : (H7)caci -darceea ce nsemna , din relatia (H7) case poate scrie : = ,34adicarelatia(7.39). Dimensional, seconstatacaatt relatia(7.37)ct si relatia (7.39) au aceleasi dimensiuni si anume.7.1.6. Radiatia oscilatorului electric elementarDacantr-undomeniu (fig.7.14), considerat liniar, uniform(omogensi izotrop) si infinit extins, ntr-un punct exista un oscilator electricelementar subforma unui dipol electric , ce are momentul electric(v.fig.7.14) carevariazantimp, deexemplualternativ: atunci se formeaza un oscilator electric elementar (cu foarte mic ) -de tipul celui din figura 7.3- care produce nun cmp electromagnetic radiant ce se propaga nsub forma unor undesferice(v. 7.1.1si fig.7.5c). Problemacare sepuneeste, evident, aceea a determinariiacestui cmpelectromagnetic radiat n de, prin calcularea marimilor de stare ale cmpului si ntr-unpunct situat la o distanta r fata de dipol, mult mai mare dect lungimea l a acestuia (r>>l), ceea ce se face prin determinarea-mai nti- a potentialelor electrodinamice.Din cauza simetriei si uniformitati, n toate puntelePsituate pe o suprafata sferica , aflatedecilaaceeasi distantar(P)de O(adica dep), conformschitei dinfigura 7.14, cmpul electromagnetic va avea intensitatile cmpului electric (pe de o parte)si a celui magnetic (pe de alta parte), de aceeasi valoare absoluta .Potentialele electrodinamiceAplicndu-se relatia (7.34), prin care se determina potentialul electrodinamic scalar retardatV, se va obtine pentru cazul din figura 7.14:(ROE1)35ncare estevolumul nchisdesuprafatasferica (luateastfel nct sa cuprinda ntreg dipolul ), iar si sunt sarcinile retardate, scrise conformconventieidenotatie(7.35)introdusanparagraful7.1.4. Esteprecizat faptul ca sarcinileale dipolului electricfiind pe corpuri punctiforme din , atunci DezvoltndnserieTaylor nraport cursi o variatieultimul termen al relatiei (ROE1), atunci -cu o aproximatie de ordinul 1(adicapastrndnumai primii doi termeni al seriei)-sevaobtine, din forma generala (ROE2) si:(ROE3) cu justificarea ca fiind foarte mic Din figura 7.14 rezultnd:(ROE4)(pentru ca) si introducndu-se relatia (ROE4) n (ROE3) si apoi rezultatul n (ROE1) se va obtine :semnul ' reprezentnd derivata dupa directia razei, astfel ca:36si, deoarece - momentul electric retardat, rezulta n definitiv :(7.40)unde semnificatia punctului este ceea a derivatei n raport cu timpul care se explica astfel: -la un dipol electric de lungime data, variatia n timpa momentului electric , nseamna -de fapt- variatia sarcinilor electrice n timp ;-variatia n timp a sarcinilorse produce printr-un transfer de sarcini electrice de-a lungul dipolului, printru-un canal cilindric cu aria transversala mica, ntre cele doua extremitati punctiforme, 1 si2 , ale dipolului(fig.7.15);-n acest fel, de-a lungul canalului asociat dipolului electric, apare un curent electric care (conform conventiei de semnedin figura7.15) si legii conservarii sarcinii electrice are intensitatea: (ROE5) avnd densitatea de curent.nceeaceprivestedeterminareapotentialului electrodinamicvector , se pleacadelaexpresia(7.33) apotentialului retardat care, ncazul oscilatorului electric elementar din figura 7.14 si cu notatiile din figura 7.15, da:care, pentru punctul P din figura 7.14, pentru care R=r, devine :37 . (7.41)Marimile de stare ale undei electromagnetice radiateAceste marimi sunt intensitatea cmpului electricsi intensitatea cmpului magnetic, pe care le vom determina pentru puntele, indicate n figura 7.14, prin intermediul potentialelor electrodinamice retardate (7.40) si (7.41), stabilite anterior .Cmpul electric.Expresia intensitatii cmpului electric pentrucazul din figura 7.14 se obtine utiliznd relatia (PE4)/7.1.2, adica: prin calcularea termenilor ei n conditiile date (oscilatorul electric elementar - v.fig.7.14):j) primul termen (adica derivata potentialului electrodinamic vector retardat n raport cu timpul t) este derivata n raportcu timpula relatiei (7.14):(ROE7) n care (derivataa doua n raport cu timpul t a momentului electric);jj) la doilea termen este grad V, adica aplicat relatiei (7.40):(ROE8)n carese poate calcula prin derivata dupa r, deci si numai dupa o singura axa x (v. fig.7.14) adica: 38(ROE9) .n mod asemanator :(ROE10) jjj) introducndu-se expresiile (ROE9) si (ROE10) n (ROE8) se obtine grad V :(ROE11)jv) revenindu-se (ROE7) cu (ROE11) se obtine expresia intensitatii cmpului electric, adica: (7.42)Seconstatacadacadipolul esteconstant, adica si atunci relatiile (7.40) si (7.42) reprezinta relatiile potentialului electrostaticsi -respectiv-intensitateacmpului electrostaticprodusdeundipol electric - v.subcap.3.6, aplicatia 3.6.2, relatiile (3.64) si respectiv (3.66').39Cmpul magnetic. Expresia intensitatii cmpului magneticpentru cazul din figura7.14seobtineutilizndrelatia(PE2)-7.1.2dedefinitieapotentialului electrodinamicvector, adica, stiindu-se ca n cazul mediului considerat initial si ca urmare:.(ROE12)Dar are -n acest- caz expresia (7.41) si atunci (ROE12) devine -conform celor aratate n 9.1.2, relatia (9.31)-:(ROE13)n care :(ROE14)astfel ca va rezulta, introducnd pe (ROE14) n (ROE13): (7.43)Impedanta de unda a mediului. Definita prin relatia (7.26), acest parametru, notat cu, poate fii calculat -asa cum arata expresia (7.27H)- si prin raportul dintre valorile intensitatilor cmpului electric si cmpului magnetic .Determinarea valorilor acestor intensitati prilejuieste constatarea ca marimile de stare, si , ale undelor electromagnetice radiate de oscilatorul electric elementar -determinat prin- au expresiile (7.42) si -respectiv- (7.43) formate din trei -respectiv- doi termeni aranjati dupa ordinul derivatei n raport cu timpul a 40momentului electric retardat, adica dupa . Dintre acestia, termenii ce contin derivata de ordinul doi variaza (scad) n spatiu (n raport cu distanta r de la dipolul electric la punctul) mult mai lent. Din aceasta cauza la distante r mari (att de mari nct sa ajunga n zona undelor din), cmpul electromagnetic este determinat n mod semnificativ numai de termenii de ordinul doi (notati cu ) adica de:(7.42') si(7.43') Aceste relatii arata (v.fig.7.14) ca liniile de cmp electrice sunt meridianele (adica cele pentru care unghiul ) si liniile de cmp magnetic sunt paralele (pentru care unghiul).Valorile absolute aleintensitatiilor cmpului electromagnetic rezultadin expresiile (7.42') si(7.43') fiind:(7.42') si:(7.43'')Cu aceste valori se pot determina, imediat, impedantade unda a mediului:41,adica exact definitia (7.26).Puterea radiataLa valori mari ale luir (adica n zona undelor), radiatia electromagnetica se face cu un transfer superficial de putere, n, dat de vectorul Poyting (definit, dupa cum se stie, prin), care se calculeaza -n aceasta zona- prin produsul dintre vectorii, dati relatiile (7.42') si (7.43') fiind:(7.44') un vector cu valoare absoluta :(7.44'')care fiind perpendicular pe planul format de (ambii acesti vectorii tangenti la sfera din figura 7.14) este orientat deci pe directia razei Aceasta nseamna ca transportul de energie electromagnetica se produce de la dipolul oscilator catre exterior, sub unghiul.De aceea, puterea instantanee totala, n [W], radiata de dipolul oscilatorului elementar, , se poate calcula ca fiind fluxul vectoruluiprin suprafata sferica (v. fig.7.14) ce nconjoara dipolul, adica (v. fig. 7.14):deoarece vectorii au aceeasi directie (si anume aceea a razei sferei ).42Va rezulta n final : .(7.45)Rezistenta de radiatieConsiderndu-se dipolul ca fiind o antena ce radiaza continuu unde electromagneticecudensitatedesuprafataaputerii radiate , vatrebui sase considere ca momentul electricvariaza sinusoidal n timp : (RA1)unde s-aconsiderat ca sarcinile electrice ale "capetelor" punctiforme ale dipolului (1 si 2 din figura 7.15) variaza sinusoidal ntre valorile, prin transfer desarcinaelectricade-alungul dipolului, cuoperioadaderepetitieT, ceeace presupune existenta unui curent alternativsinusoidalinlungul dipolului (v. fig.7.15) dat de :(RA2)ce are valoarea maxima si valoarea efectiva(v. cap.8).Unei perioadederepetitieTi corespunde, prindefinitie, ofrecventade oscilatie si o pulsatie (v. cap.8): (RA3)Deoarece, conform relatiei (ROE5), din primul subparagraf, (RA4)rezulta ca se poate scrie: (RA5)43si:(RA6) .Atunci expresia (7.45) a puterii instantanee,pr, radiata de dipolul oscilant (o antena de lungime l) este:(RA7)n relatiile (RA5), (RA6) si (RA7) s-a nlocuit cu si cu, adica nu s-a mai tinut seama de retardare, deoarece ea (retardarea) nu face altceva dect sa introduca modulele de defazaj, n functie de r (raza a sferei ), defazaj care nsa nu influenteaza valoarea medie a puterii disipate (care se obtine integrndu-se, astfel ca valoarea integralei nu este influentata de acest defazaj dat de retardare ).Puterea medie radiata, , se obtine -conformdefinitiei (v. cap.8)- prin integrare pe o perioada de timp T a puterii instantanee radiata, data de expresia (RA7):si deoarece lungimea de unda este determinata de frecventa oscilatiilor dipolului, f, prin relatia cunoscuta : atunci : (7.46)Deoarece, n cazul unui curent electric cu valoarea efectiva I, un rezistor cu rezistenta R disipa puterea (activa -v. cap.8):, rezulta faptul ca un rezistor ce disipa puterea (activa)P, la uncurent cuvaloarea efectivaIare rezistenta : . Cunoscndu-se aceasta expresie, rezulta ca rezistenta de radiatiei a unui dipol oscilant ,,se determina cu expresia :44(7.47)care s-a obtinut prin nlocuirea lui cu expresia sa (7.46).Asa cum se arata n manualul Preda, M s.a (1980), pentru oscilatorul dipolar elementar situat n vid (pentru care viteza de propagare este ) rezulta ca rezistenta de radiatie este:(7.47') . Din aceasta ultima relatie (7.47'), precum si din relatia (7.46), rezulta ca puterea radiatasi rezistenta de radiatie a antenei (asimilata dipolului oscilant ) au valorii semnificativenumai daca , adicalafrecventenalte:(cumic). Dar daca l(lungimea antenei de emisie) este mare, atunci antena nu mai poate fii considerata un dipol (pentru ca, prin definitie, si). n Preda,Ms.a(1980)se da urmatorul exemplu: de-alungul unei antene liniare cu naltimeh,alimentata n curent sinusoidal de nalta frecventa, valoare efectiva a curentului variaza n lungul antenei, adica I(x), asa ca n figura 7.16.Antena din figura 7.16 poate fi descompusa ntr-un sir de dipoli elementarii cu lungimea dxsi valoarea instantanee a curentuluii(x). Atunci, cmpul electromagnetictotal, radiat deantena, seobtineprinsuprapunereacmpurilor elementare produse de fiecare dipol elementar component. Figura 7.16 mai arata ca la antena reala trebuie sa se tina seama si de imaginea ei fata de suprafata pamntului (partea desenata cu linie ntrerupta n figura 7.16), care trebuie adaugata si ea. 7.1.7. Radiatia oscilatorului magnetic elementarntr-undomeniu , liniar, uniform(onogensi izotrop), extinslainfinit si lipsit desarcini electrice(avnddeci , n , noricepunct ), se presupune ca exista o bucla de curent (v. 1.1.2) sub forma unei spire conductoare 45filiforme (figura 7.17), circulara (cu raza a relativ mica fata de distantele la zona undelor, undese considera un punct), al carui curent i este variabil n timp, eventual periodic:. Dupa cum se stie (v. 1.1.2) o bucla de curent este caracterizatademomentulsaumagnetic, unvectordefinitprin , undeeste aria suprafeteinchisa de spira n planul ei si orientata perpendicular pe planul spirei, cu sensul asociat lui i dupa regula burghiului drept. Se considera un sistem de referinta cartezianOxyz, ca originea axelor n centrul spirelorO(pentru simplificarea scrierii ), asa ca n figura 7.17.n acest caz, si momentul magnetic are valoarea . Dacai=i(t), atunci m=m(t) , adica este variabil n timp, ceea ce face can , njurul spirei , sase produca un cmp electromagnetic, ce se propaga n , spira fiind considerata un oscilator magneticelementar(adicaavnda0. n acest fel rezultacanuesteposibil (asacums-aadmis initial) samai existe, 54aditional, si un cmpn ceea ce nseamna ca teorema de unicitate este demonstrata, pentru cazul sectiunilor Gcu conexiune simpla.n cazul n care G este cu conexiune multipla, de exemplu dubla, nseamna ca suprafataGvafi limitatadedouacontururiCi(ninterior)siCex(nexterior). Rationamentul aplicat ncazul luiGsimpluconex, vafivalabilsi dacaGeste dublu conex (sau multiplu conex), daca se va putea arata ca functiile si sunt monodrome (adica uniforme, n acceptiunea teoriei suprafetelor de acoperire si n teoria functiilor analitice cu valori n spatii Banach complexe). Functia satisface aceasta conditie, deoarece componenta tangentiala a luifiind nula pe Ci(adica ), circulatia ei pe acest contur este nula. Dar si functia este monotona, deoarece -conform legii circuitului magnetic- este nula caci |G =0 si|G =0 prin ipoteza teoremei.Concluziileteoremei lui DarioGraffi.Dinaceasta teoremadeunicitate rezultacantr-unghiddeundecusectiunetransversalasimpluconexaexista numai unde transversal-electrice (notate generic cu TE), caracterizate prin Ez=0 si Hz 0, sauundetransversal-magnetice(notatecuTM)carcterizateprinHz=0si Ez 0. n cazul sectiunilor multiplu conexe, cum este -de exemplu- un cablu coaxial (cu un conductor central izolat si nconjurat de o tresa cilindrica conductoare), potexista si unde TEM (adicatransversal-electromagnetice), caracterizate prin: Ez=0 si Hz=0. n toate cazurile, axa z coincide cu axa ghidului de unde.Teorema lui Graffi mai arata ca ntr-un ghid de unda cu dielectric cu pierderi, cmpul este determinat de componentele paralele cu versorulal axei z, n doua plane normale pe axa ghidului.n principiu, se pot da zsiz, cazul general (z 0 siz 0) obtinndu-se din suprapunerea cmpurilor ce corespund modurilor TE si TM.Propagarea undelor electromagnetice n ghiduriProcesul depropagareal undelorelectromagneticenghiduriledeundase faceprinintegrareaecuatiei undelor, scrisasubforma(7.5A), considerndu-se legile de material ca fiind liniare:55siadica un mediu uniform si liniar, iar conditiile pe frontiera presupunndu-se ghidul alcatuit dintr-un conductor perfect astfel ca aceste conditii pe suprafata interioara a ghidului capata forma:si(G6)undeeste versorul normalei la (conditii care nseamna:Et=0 siHn=0, adica cmpul electromagnetic are componentele tangentiala a intensitatii cmpului electric si normala a intensitatii cmpului magnetic nule).Dacadielectricul dininteriorul ghidului deundenuesteperfect (adicaare pierderi), se lucreaza cu permitivitatea absoluta complexa. Considerndu-se, totusi, =0 si nondu-se componentele cmpului electromagnetic cu, adica:,ecuatiaundelor (7.5.A) sescriesubforma , ceeacenseamnacafiecare componenta a fiecarui vector al cmpului electromagnetic satisface -n conditiile date- ecuatia undelor (7.5.A).n continuare se vor cerceta numai undele TM, ce sunt caracterizate prin aceea ca pretutindeni n ghid Hz=0, celelate unde (TEsiTEM) studiindu-se n acelasi mod.Pentru a se putea stabili o proprietate esentiala a ghidurilor de unde n mod TM (caz n care Ez 0) este necesar sa se porneasca de la ecuatia undelor referitoare la componenta Ez, adica de la:(G7)unde weste viteza de propagare a undelorTMpe directia axei ghidului, adica a axeiz. ninteriorul ghidului existauncmpcevariazasinusoidal ntimp, cu pulastia , carepropagndu-senghidaresolutia(nraport cuunsistemde referinta cartezian Oxyz) de forma (v. si 9.1.3): 56(G8) ,unde Re este operatorul ce exprima partea reala a reprezentarii n planul complex, este fazorul componentei dupa axa z a intensitatii cmpului magnetic din ghidul de unde (v. 9.1.3), j - unitatea imaginara (j2=-1) si este faza initiala (la t=0) a argumentuluifunctiei sinusoidaleprincaresepoateexprimacomponentaEz, cu nteles de viteza de faza n lungul axei z (exprimabila) n rad/m). Raportndu-se interiorul ghidului de unde la un sistemde coordonate cilindrice (Nicolau, Edm.,1972), ecuatia (G7) devine:(G9) , ce are conditiile pe frontiera:(G9') .Notndu-se cu h2=2/w2-2, ecutia (G9) devine:(G10) 2+h2=0. Integrareaecuatiei (G10) este echivalentacuproblemarezolvarii ecuatiei integrale:(G10') ,n care G este functia lui Green corespunzatoare problemei (G9) si (G9'), si sunt coordonatele cilindrice interioare, iar - sectiunea transversala prin ghidul de unde.nteoriaecuatiilorcuoperatori(v. Ecuatiilefiziciimatematice)searataca h2=k2-2 admite numai anumite valori proprii, rezultnd -n general- ca 2=2/w2-h2. Atunci, fie valoarea minima pe care o poate lua h2.Pentruaexistauntransport deenergieninteriorul ghidului deundeeste necesar ca sa fie real. Aceasta nseamna ca ghidul se comporta ca un filtru trece sus, neavnd loc la o transmitere de putere dect pentru >whm. Concluzia este ca 57ghidurile de unda excitate n mod TM se comporta ca un filtru trece sus, indiferentde forma sectiunii, pentru care frecventa:(7.54) fcr=whm/(2 ), se numeste frecventa critica a ghidului (la aceasta frecventa =0). n mod similar se arata ca si ghidurile de unda excitate n modul TE se comporta ca filtre trece sus, indiferent de forma sectiunii.Cunoscndu-se , prinrezolvareaecuatiei (G7), celelaltecomponentese calculeazacuajutorul ecuatiilor lui Maxwell -scrisepentruunsistemcartezian (tinnd seama de expresia fazorilor)- rezultnd:(G11) (G12) ,(G13) ,(G14) ,(G15) , (G16) , cu observatia ca unitatea imaginara j este, n planul complex, un operator de rotatie cu /2 (care face ca orice fazor pe care l nmulteste sa se roteasca cu /2 n sens trigonometric). Eliminndu-se ntre relatiile (G12) si (G14) se obtine:= jp /x, (7.55) /(2+h2)/ q.Eliminndu-se ntre relatiile (G11) si (G15) rezulta :=-j(/ q)/y.(7.56)58Expresia componentei rezulta din relatiile (G15) n care se nlocuieste cu termenul drept al egalitatii (7.56), adica:=sau=-j( ) /y,(7.57)iardinrelatia(G14), ncaresenlocuiestecutermenuldreptalprimeiegalitati (7.55), rezulta expresia lui si anume: sau(7.58)Se constata, deci, ca expresia lui -data de relatiile (G8) si (G10'), mpreuna cuformulele(7.55).(7.58)-permitsasedeterminetoatecomponentelecmpului electromagnetic din ghidul de unde, cu precizarea ca ele trebuie sa verifice conditiile la limita (G6). nsa, din contextul studiului, nu rezulta nici o situatie n care (7.55).(7.58) satisfac conditiile (G6), mai ales se stie ca nu n orice sectiune potexistaundeTEm,nsauTMm,n, pentruoriceversori (x,y)si (normaleila suprafetele plane ce limiteaza domeniul ghidului de unde).n tratatul Nicolau, Edm., 1972, se arata o conditie suficienta care conduce la solutii si (ce pot exista n ghidurile de unda), n sectiuni generale n care sa fie posibila existenta unor unde de tip TEm,nsau TMm,n. n acest scop se utilizeaza asa-numitele potentiale ale lui Borgnis (v. Nicolau, Edm.,1972) cu ajutorul carora seajungelaurmatoareaconditiesuficientadecompatibilitatecuconditiilepe frontiera (G6):"ntr-unghiddeundalacaresectiuneatransversala (normalapeaxaza ghidului) este limitata prin curbele Cj si Ck (la care versorii si sunt normali) o conditie suficienta pentru existenta n ghid a modurilor de unda TM este ca functia potentialelor lui Brognis sa fie separabila si pe frontiera trebuind ca potentialele Brognis sa fie nule (pe curbele Cj si Ck)".Solutiile(7.55)...(7.58)pentruundeleTM, launghiddeundacuhdat, cu dimensiunea[L]-1, vitezadefaza , cudimensiunea[rad/L], estenulapentru frecventa critica:59.(7.59)Aceleasi solutii arata ca pentru undeleTMghidul de unda cu sectiune transversalacirculara(laoarieasectiunii data) conducelaofrecventacritica minima.7.1.10. Cavitati rezonantePrincavitate rezonanta(numita siendovibratoar,rezonatorsau -nca- rumbatron)sentelegeoriceincintacenchidundomeniusimplusaumultiplu convex, marginita de un nvelis conductor, n care se pot ntretine oscilatii electromagnetice sub forma de unde spatiale stationare.Caracteristici generaleMediul din interiorul endovibratorului (n general aerul) fiind un foarte bun izolant, pierderiledeenergiealeundelorelectromagneticestationaresedatoresc exclusivconductivitatiifiniteaperetilorsisunt foartemici. Deaceea, cavitatea poate fi sediul unor oscilatii ntretinute suficient de intense numai pentru frecvente foarteapropiatedeanumitefrecventederezonanta, practicegalecufrecventele proprii ale oscilatiilor libere (mecanice) ale incintei.ntr-o cavitate data pot exista mai multe "configuratii" ale cmpului electric si magnetic(mai multe"moduri"deoscilatii -unde:100, 010, 001etc.)fiecareia corespunzndu-i o anumita frecventa proprie. Multimea frecventelor proprii alcatuieste un spectru discret, marginit inferior de o frecventa limita f0( frecventa fundamentala), fara ca frecventele ce alcatuiesc acest spectru sa fie neaparat multiplentregi alefrecventei fundamentale. Pentruformesimplealecavitatii, frecventele proprii (sau/si lungimea de unda, , corespunzatoare) se pot calcula cu mare precizie, presupunndnsa peretii perfect conductori si cautnd solutiile armonice n timp ale ecuatiilor lui Maxwell care satisfac conditiile la limita pe fata interioara a peretilor (adica anularea componentei tangentiale a intensitatii cmpului electric si a componentei normale a intensitatii cmpului magnetic).Notarea modurilor de oscilatii se face, de obicei, cu trei indici, fiecare dintre acestiaindicndnumaruldesemiundestationarecareexistanlungulcurbei de coordonatecorespunzatoare. Deexemplu, modulfundamentaleste100, 010sau 001.60Pentruntretinereaoscilatiilor cavitatii, aceastaseexcitadinexterior prin circuite electrice pulsatorii, linii sau ghiduri de unde, prin fluxuri de electroni etc.Determinarea cmpurilor (electric si magnetic) din cavitatile rezonanteSe presupune ca endovibratorul este delimitat de pereti conductori, iar spatiul interior este "umplut" cu un material de permitivitate absoluta si permeabilitate absoluta constante (care nu depind nici de punct si nici de timp). n plus, se mai considera ca mediul este izotrop, cu conductivitate electrica nula (= 0), lipsit de viscozitate electrica si de proprietati ereditare (se considera ca polarizatia electrica si magnetizatia temporare sunt liniare n raport cu intensitatile cmpului electric si -respectiv- magnetic). Oscilatiile ("vibratiile") cmpului electromagnetic din cavitate sunt considerate pur sinusoidale (armonice).nacesteconditii, fiecarecomponentaaintensitatii cmpului electricsi a intensitatii cmpului magnetic (ntr-un sistemde coordonate trirectangulare), consideratecaelementealeunei multimif, satisfaceecuatiaundelor (7.5A) si anumef=0. Astfel, n coordonate trirectangulare ( u1, u2, u3), ecuatiile cmpului electromagnetic iau forma cunoscuta din paragraful 1.4.3. - ecuatiile (1.105):,(CR 1), i,j,k ,n care h1,h2,h3sunt coeficientii lui Lam (unitati locale de lungime ce definesc distantaelementaradintredouapunctedincmpinfinitezimal vecine), iardaca a A D si dacaa=0 A B. Primele doua ecuatii din (CR 1) reprezinta, fiecare, cte trei ecuatii ce se obtin prin permutarea ciclica a indicilor i, j, k (ntre valorile 1, 2 si 3), ele fiind asa-numitele ecuatii de evolutie (v. 1.4.3), n timp ce a treia ecuatie din relatiile (CR 1) este o ecuatie de stare.Sevorconsideracmpurileelectromagneticecarepot existantr-ocavitate rezonanta caracterizata prin aceea ca toti coeficientii lui Lam (hi,i=1,2,3) sunt inependenti de coordonata u1, precum si componentele cmpului (Ej,Hj,j=1,2,3) 61sunt independente deu1. Atunci, se va cauta unastfel de cmpncavitatea rezonanta,considerata cilindrica, nct cmpul electric sa aiba o singura componenta si anume.n aceste conditii, prima ecuatie de evolutie din (CR1) conduce la rezultatul =0, celelalte doua componente fiind:CR2)Relatiile (CR2) verifica prima ecuatie de evolutie din (CR1), n care -daca se introduc expresiile lui H2 si H3- da:deoarece h1 si sunt suficient de regulati. A doua ecuatie de evolutie din (CR1) este si eaverificataprinaceea caprimul termendinmembrul stngestenul (deoarece nicih1, nici din D= E, si nici nu depind de coordonatau1), iar ceilalti doi termeni sunt nuli si ei (deoarece =0si =0). Atreiaecuatiede evolutiedin(CR1), ncaresenlocuiesc si cuexpresiilelordin(CR2), devine:(CR3)n care s-a utilizat notatia k2 = 2. Daca -n particular- se considera h1 = 1 (ceea ce corespunde unui sistem de coordonate cilindric - v. 1.4.3), atunci ecuatia care sa se exprime componenta 1 se reduce la forma: (7.60)unde 2 este laplaceanul bidimensional (pentru h2 si h3).Dinrelatia(7.60) rezultacancavitatilerezonantecilindrice(asacums-a considerat prin ipoteza) pot exista cmpuri electromagnetice ale caror componente 62electrice se reduc la una singura -si anume la luata de-a lungul axului cilindrului- si ale caror componente magnetice se reduc la doua: si ambele perpendicularepe axul cilindrului si perpendiculare ntre ele.Cmpul electricdincavitatearezonantacilindrica, , satisfaceecuatia (7.60), cuconditia pe frontiera (la limita) Cmpul magnetic, (unde versoriisi formeaza un plan perpendicular pe axa cilindrului rezonant), se deduce din prin formulele (CR2) si conditia pe frontiera adica unde este versorul normalei la suprafatasiHnestecomponentanormalaaintensitatii cmpului magneticn oricepunctPal acestei suprafete. Prinurmare, pentruadeterminacmpul electric si magnetic ntr-un caz (de cavitate rezonanta ) dat, se izoleaza ecuatia cu derivate partiale (7.60), n care cu conditia pe frontierasi apoi -prin ecuatiile (CR2)- se deduc si ramnnd sa se stabileasca daca,astfel dedus, cmpul magnetic satisface conditiile la limita pentru . n lucrarea Nicolau, Edm. 1972se demonstreaza ca solutiile date de ecuatiile (7.60) si (CR2) verifica ntotdeauna conditiile la limitasi daca sectiunea transversala a cavitatii rezonante este cilindrica sau dreptunghiulara.n continuare, se va considera o cavitate cilindrica cu volumul dat, adica v= Ah (unde A este aria unei baze si h naltimea cilindrului luata de-a lungul axei u1). Deoarece solutia ecuatiei (7.60) si apoi ale ecuatiilor (CR2) este independenta de valoarea lui h, atunci acesta se poate lua orict de mic, rezultnd -n consecinta- o arieAorict demare.Dar cresterea luiAextragedupa sinescadereafrecventei critice, nsa studiul problrmri este simplificat de faptul casatisface ecuatia care descrie si vibratia membranelor; spre exemplu, n cazul unei membrane circulare se poate scrie:(CR4) ncaremsinsunt ntregipozitivi,Jm(x)estefunctiaBessel despecianti, de ordinul m si de argument, n care r0 este raza cercului de baza al cavitatii rezonante cilindrice circulare, iareste nulul pozitiv de odinul n al functiei Bessel de specia nti si ordinul m.63Se poate demonstra ca n acest caz (CR4), ecuatia (7.60) este satisfacuta daca:(CR5)ceea ce nseamna ca daca se ia o cavitate cilindrica circulara de volum dat, prin miscarea naltimii sale aria bazei creste orict de mult si deci raza r0 poate fi orict demare, obtinndu-sepulsatii proprii 0orict demici. Rezulta, astfel, cala cavitatileacilindrice de volum dat, se pot obtine frecvente proprii de rezonanta f0 orict de mici prin simpla aplatisare (orict de mult) a cilindrului. n acest fel s-a ajuns la cavitatile rezonante acordabile (v. fig. 7.26).Proprietati deortogonalitatealecmpului electropmagneticedincavitatile rezonanteCmpul magnetic din cavitatile rezonante prezinta proprietatea ca ntre intensitatilecmpului electric si ,pedeoparte, si intensitatilecmpurilor magnetice si (pe de alta parte),carecorespund unorpulsatii de rezonanta diferite m si respectiv n , exista n orice punct al volumului nchis de cavitate, orelatie de ortogonalitate care se poateexprima prinurmatoarele modelecu produse scalare:(CR6)(CR7) si -n anumite situatii- exista ortogonalitate si ntre cele doua cmpuri, exprimabila prin:(CR8)indicii m si n aratnd ce pulsatii au cmpurile cu aceiasi indici.Pentru cavitatile la care forma lor este astfel nct sa aiba o pulsatie proprie de rezonanta m, starea electrica si magnetica a mediului este descrisa de forma locala alegilor inductiei electromagneticesi alecircuitului magnetic, scriesubforma reprezentarii n planul complex:64(CR9)(CR10) pentrusituatiancaremediul este izotropsi nedisipativ. Dacamediul estesi omogen, se poate separa cmpul electric de cel magnetic, rezultnd:(CR11) (CR12) n care s-a folosit notatia :Considerndu-se ca peretii (nvelisul interior al cavitatii vibratoare) reprezinta un conductor perfect (la care, deci, ), conditiile pe frontiera sunt:(CR13)unde esteversorul normalei lasuprafata =Fr , ceeacenseamnaca delimiteaza spatiul al cavitatii rezonante. Presupunndu-se ca rezonatorul admite doua frecvente proprii de rezonanta, m si n, atunci din relatia (CR9) rezulta (admitndu-se ):(CR14)unde v este volumul domeniului nchis de cavitatea rezonanta.Cunoscdu-se identitatea (v. 9.1.2):caresebazeazasi peamplicareaformulei lui Gauss-Ostrograski (9.20), relatia (CR14) devine:65(CR15) Ultimul termenal relatiei (CR15), continndundubluprodusvectorial, se poate scrie si n forma:(CR16)deoarece -conformprimei conditii la limita din (CR13)- produsul vectorial inndu-se seama de relatia (CR11) si de semnificatia lui , expresia (CR15), n conditiile date de (CR16), devine:. (CR17)Urmndu-se acelasi procedeu se obtine:(CR18)Deoarece produsul scalar este comutativ si mn(prin ipoteza) din compararea relatiilor (CR17) si (CR18) rezulta imediat: .adicatocmai conditiile(CR6) si (CR7) deortogonalitatentreeleacmpului electric la pulsatii diferite ( pe de o parte) si a celui magnetic ( la pulsatii proprii, de rezonanta, mn ), pe de alta parte.n ceea ce priveste conditia (CR8), de ortogonalitate ntre cele doua cmpuri ( la pulsatii mn ), ea poate fi demonstrata n mod similar. Astfel:66(CR19)Datoritaconditiei pefrontiera(CR13)-adouarelatie, al doileatermen-ce contine produsul scalar (care este egal cuzero) se anuleaza, astfel ca, introducndu-se n (CR19) expresia (CR12), va rezulta:(CR20)Prin comutarea produsului scalarrezulta din (CR20) ca (v. 9.1.2): (CR21).Comparndu-sentreeleultimeledouarelatii, (CR20)si (CR21), reieseca daca:(CR22) atunci:(CR23)care arata n ce conditii -si anume (CR22)- este valabila relatia (CR23), identica cu (CR8), de ortogonalitate ntre ele a cmpului electric si a celui magnetic la pulsatii proprii de rezonanta diferite (mn).Cavitati rezonante tipicen aplicatiile practice, cavitatile rezonante se folosesc ca circuite oscilante la frecventefoartenalte(mii degigaherti - undedecimetricesaumai scurte, la 67frecvente mai joase dimensiunile minime ale cavitatii -corespunzatoare frecventei fundamentale- fiindpreamari), undeprezintaavantajefatadealtecircuite(de exemplu circuite oscilanteR,L,C, cu bobine si condensatoare - v. 8.8.2): constructie simpla, factor de calitate Q (v. 8.7.2) mare, impedanta echivalenta (v. subcap. 8.5) mare etc. n practica se utilizeaza de obicei oscilatiile n mod fundamental ale cavitatii rezonante, deoarece la oscilatii de ordin superior diferenta fata de frecventele proprii este mica si pot aparea oscilatii parazite (modurile de ordin superior se utilizeaza atunci cnd corespund unor pierderi mai mici, adica unui factor de calitate mai mare). Eliminarea oscilatiilor nedorite se poate obtine prin masuri speciale de precautie ca, de exemplu: prin introducerea unor elemente disipative, de amortizare, dispuse n interiorul cavitatii astfel nct sa nu fie absorbita energia modului de oscilatie utilizat.Factorul de calitate (v. 8.8.2). La cavitatile rezonante, factorul de calitate Qse defineste, la frecventa proprie data,prin raportul (multiplicat cu 2) dintre energiacmpului electromagneetical rezonatorului si energiadisipatancursul unei perioade, fiindpracticegala(asacumsevaaratanparagraful 8.8.2) cu raportul dintrefrecventaderezonantasi largimeabenzii defrecventedatade scaderea amplitudinii ladin ceea maxima de la rezonanta, adica la 3dB (v. supcap. 8.8). Factorul de calitate al cavitatilor rezonante este foarte mare n raport cu cel al altor circuite, fiind de ordinul a 104 sau chiart 106 (la o cavitate cu nvelis de plumb, cufundata n heliu lichid) si este cu att mai mare cu ct este mai mare raportul dintre volumul cavitatii (v) si aria incintei ( = Fr ).Rezistenta echivalenta la rezonanta.Se noteaza cu R0si pentru o cavitate rezonanta data "privita" ntre doua puncte ale cavitatii (de alimentare) si o curba careleuneste(ngeneral oliniedecmpelectric), secalculeazaprinraportul dintre patratul tensiunii electrice nlungul acelei curbe (ntre puncte date) si puterea pierduta ncavitate. Ea are valori foarte mari (de ordinul zecilor de meghomi), fiind cu att mai mare cu ct factorul de calitate este mai mare.Formele cavitatilor rezonante.n practica se folosesc numeroase tipuri de rezonatoare n ceea ce priveste forma lor, dar care se pot grupa n doua: rezonatoare cu forma complexa (cu suprafete nchise sub formade: sfera, cilindru, elipsiod, prisma, tor s.a.) sirezonatoare cu adncituri(adica avnd una sau mai multe turtiri spre interior ale suprafetii), asa cum se arata n figura 7.23.68n aceasta figura, pertru fiecare forma, se indica si limitele de cmp: electric - prin linii subtiri continue si magnetic - prin linii ntrerupte, ambele corespunzatoare modulului de oscilatie fundanental (ele fiind ortogonale, cuEt=0siHn=0(asa cum s-a aratat n subcapitolul precedent). Formale tipice sunt: sferice(fig. 7.23a, indicat prin sectiune, deoarece sfera este un corp de rotatie ), cilindrice (fig. 7.23b, indicate tot prin sectiuni n lungul cilindrului:n una se reprezinta cmpul -prin linii, n a doua cmpul magnetic-prin urmele sale/puncte alevrfului vectoruli ),elipsoidale(fig. 7.23c),prismatice(fig. 7.23d),toroidale-sferice(fig. 7.23e, caresunt rezonatoarecudouaadncituri), toroidal- patratica(fig. 7.23f, un rezonator cu doua adncituri) sitoroidal-dreptundhiulara (fig. 7.23g, un rezonator cu o singura adncitura).Foarte raspndit n aplicatiile practice, mai ales la frecvente mai putin nalte, sunt cavitatile toroidale cu adncituri (figurile 7.23 e,f,g), la care cmpul electric este concentrat n special n zona adnciturilor, iar cea mai mare parte a cmpului magnetic este repartizata n restul rezonatorului (nconjurnd adnciturile). Datoritaconcentrarii energiei electricesi -separat- acelei magneticnportiuni diferitealecavitatii, rezonatorul toroidal seapropiecel mai mult decircuitele oscilante cu parametri concentrati (R,L,C) dar avnd un factor de calitate, Q, mult maimare (peste5000), careestetotusimai micdectal altor formedecavitati rezonante.n tabelul 7.1 sunt indicate caracteristicoile ctorva forme de cavitati rezonante, n care este rezistivitatea stratului interior al nvelisului ( de multe ori dinargint), =2festepulsatia(respectivfrecventa) oscilatiilor larezonantasi . Tabelul 7.1Caracteristicile unor cavitati rezonante uzualeForma cavitatii Lungime de undaFundamentala Factorul de calitate QRezistenta echivalenta R0[]690=c/f0Sfera cu raza a[cm](fig. 7.23a)0,0228 a 1,024 a/ 81,6 a/Cilindru circular cu:- raza r0[cm]- naltimeah [cm](fig. 7.23 b)0,0261 r01,414Forma cavitatii Lungime de undaFundamentala 0=c/f0Factorul de calitate QRezistenta echivalenta R0[]Prisma patrata cu:- latura a [cm]- naltimeah [cm](fig. 7.23 d)0,0283 aCuplajul electric cu exteriorul (adica introducerea ntr-un montaj a rezonatorului) se realizeaza n diverse moduri:- printrecerea unui fascicul de electroni prin interiorul cavitatii (fig. 7.24, n care s-a utilizat notatia:1- grile,2- fascicul de electroni), care este folosit n special la cuplajul cavitatiilor toroidale cu adncituri deoarece n acest mod de cuplaj trebuie ca timpul de trecere al electronilor prin rezonator sa fie scurt n comparatie cu perioada oscilatiilor (un astfel de cuplaj este folosit nvechile tuburi electronice numite cliston - v. cursul Microunde);70- cuplajul magnetic (inductiv) care poate fi realizat prin introduceerea n cutia rezonantaaunei bucleorientataastfel nct safiepasrcursadeliniiledecmp magnetic (fig. 7.25a);-cuplajul capacitiv care poate fi realizat cu ajutorul unei sonde (un electrod) indus n cavitate astfel nct componenta electrica a cmpului propriu al sondei sa fie pe directia liniilor de cmp din cavitate (fig. 7.25b). Ultimele doua moduri de cuplaj trebuie folosite ntotdeauna simultan (mpreuna), cuplajul putnd fi variat prin rotirea buclei sau modificarea patrunderii sondei.La frecvente mai mari se utilizeaza cuplajul cu un ghid de unde (prin difractie - v. 7.18), care se realizeaza cu ajutorul unei fante 1 prin care ghidul 2 comunica cu interiorul rezonantului 3 (fig. 7.25c).n practica sunt frecvent utilizate cavitatile rezonante acordabile, care sunt n special de forma cilindrica (fig. 7.26).Cavitatile rezonante acordabile sunt acele rezonatoare a caror frecventa fundamentalapoatefi variatadecatreunoperator. nacest scopsemodifica dimensiunilegeometricealecavitatii sauseintroduceundiscmetalicmobil n incinta rezonatorului. Pentru variatii mici ale frecventei este necesara o modificare mica a dimensiunilor rezonatorului, ceea ce se poate obtine usor prin executarea unuiadinperetiicavitatiisubformauneimembranecare, datoritaflexibilitatii, poate fi deplasata fin cu ajutorul unui surub. Pentru a se obtine variatii mai mari ale dimensiunii cavitatii se folosesc pistoane sau piese care, prinnsurubare mai profunda, micsoreaza volumul rezonatorului, asa cum se arata n figura 7.26 unde este redata schematic o sectiune printr-un rezonator cilindric cu acord prin piston de contact (n aceasta figura: 1 este incinta rezonatorului cilindric, 2 - un piston de tip plonjor, 3 - surub micrometric, uneori etalonat, si 4 - niste resoarte de contact).71NOTIUNI GENERALE DESPRE ANTENE RADIO1. STUDIUL ANTENELOR LINEARE1.1. DETERMINAREA CMPULUIELEMENTARRADIATUn conductor de lungime finit, care radiaz energie electro-magnetic, poate fi considerat ca fiind format dintr-o sum de dipoli electrici elementari. Intensitatea cmpului electric radiat, poate fi determinat prin integrarea de-a lungul conductorului aexpresiei intensitii cmpului electricradiat dedipolii electrici elementari .Intensitatea cmpului electric, radiat de un dipol electric elementar, se determin n funcie de curentul din dipol.Ca urmare, pentru rezolvarea problemei, este necesar ca n prealabil, s se determine distribuia curentului de-a lungul conductorului. Determinarea distribuiei curentului este ngreunat de faptul c aceasta i cmpul electric care ia natere n vecintatea conductorului sunt interdependente i determinarea lor separat, fr a ine seama de prezena celuilalt, nu este posibil.Calculele efectuate pe baza teoriei liniilor lungi, reprezint o rezolvare mai puin riguroas a problemei, dar acceptabil din punct de vedere practic. Relaiile obinute pot fiutilizatenbunecondiiunincalculele de proiectarea antenelor liniare .n calculele efectuate pe baza teoriei liniilor lungi se fac urmtoarele presupuneri: 72conductorul are impedana caracteristic constant pe toat lungimea sa; lungimea antenei (l) este finit i comparabil cu lungimea de und ( ); antenele sunt subiri , adic diametrul seciunii transversale a conductorului (d) este neglijabil fa de lungimea de und.Conformteoriei liniilor lungi, distribuia curentului de-a lungul unui conductor, avnd o impedan caracteristic constant pe toat lungimea lui, poate fi determinat cu ajutorul relaiei:) e k (e I Iz) l (2rzd z + , (3.1)n care Id este curentul de la un capt al conductorului (fig. 1.a), z este distana pn la elementul dz considerat, kr este coeficientul de reflexie al curentului, iar este constanta de propagare ( = +j ).Ladeducerearelaiei (3.1)s-ainut seamanumai dereflexiadelacaptul nealimentat al conductorului, deoarece celelalte reflexii pot fi neglijate, conductorul fiind n acest caz un element radiant. Dac se ine seama de relaia (3.1)iderelaiacare reprezintcmpul radiatde dipolul electricelementar, se obine pentru cmpul electric radiat de elementul dz, relaia:[ ] dz sin e e k er I 60j dEr) j( z) l (2rz d + t(3.2)dzlzl-z0IdkrIde-lzId-zexzlz drr0za) b)r0-z cos() Figura 3.1. Cmpul electric elementarDin figura 3.1b se vede c r = r0 z cos . Dac se face abstracie de factorul care depinde de timp(ej t ) i se ine seama de faptul c r0 >>z , se obine:73[ ] dz sin e e k erI 60j dE) cos z r ( j ) z l 2 (rz0d 0 + (3.3)Relaia (3.3) reprezint cmpul electric elementar radiat de ctre elementul dz. Dacseintegreazaceastexpresiede-alungul conductorului, seobinerelaia care reprezint cmpul electric radiat de conductorul rectiliniu.Integrarea relaiei (3.3) sub forma sa general este laborioas i nu prezint un interes practic. Este recomandabil studierea unor cazuri mai deosebite, particulare, care se ntlnesc n practic .3.1.2. CONDUCTOR PARCURS DE O UND PROGRESIV DE CURENT Dac conductorul se termin pe o impedan egal cu impedana sa caracteristic (conductorul considerat ca o linie lung ), n el apare un regim de und progresiv de curent. n acest caz coeficientul de reflexie este egal cu zero (kr=0), iar curentul undei incidente este egal cu curentul de la captul alimentat al conductorului (Id=I0). Dac se neglijeaz pierderile n conductor ( 0, j ), atunci relaia (3.3) devine:[ ] dz sin e erI 60j dE) cos z r ( j z j00 0 . (3.4)Dac se noteaz: sin erI 60j a0r j00atunci, dz ae dE) cos 1 ( z j , (3.5)iar l0) cos 1 ( z jdz e a E. (3.6)74Dac se rezolv integrala (3.6) se obine:) ( f e erI 60j E) ( j r j00 0 , (3.7)unde) cos 1 (2l) ( , (3.8)este funcia de faz , iar:1]1

) cos 1 (2lsincos 1sin) ( f , (3.9)este funcia de directivitate.Nu este greu de artat c) ( frI 60E00 . (3.10)n figura 3.2 sunt reprezentate caracteristicile de directivitate, corespunztoare funciei (3.9), pentrudiferite valori ale raportului l/ . Curbele obinute sunt simetrice fa de axa conductorului i asimetrice fa de normala dus la aceast ax. Cu ct raportul l/este mai mare, cu att este mai pronunat asimetria.Fig. 3.2. Caracteristicile de directivitate ale conductorului adaptat cu sarcinaO dat cu creterea raportului l/ se micoreaz unghiul dintre direciile de radiaie maxim i axa conductorului ( ) i de asemenea, se micoreaz i unghiul 75de deschidere al caracteristicii de directivitate. Odat cu creterea raportului l/ crete i numrul lobilor secundari.n figura 3.2.d este dat caracteristica de directivitate pentru cazul n care l=1,5i l 0,6. Valoarea produsului s-a luat n conformitate cu datele teoretice cunoscute n cazul atenurii n conductoarele n care s-a stabilit un regim de und progresiv de curent, considerndu-se impedana caracteristic egal cu 300 . Se poate constata c, n cazul n care pierderile nu sunt neglijabile, caracteristica de directivitate prezint o singur direcie de radiaie nul-direcia axei conductorului. Celelalte direcii de radiaie nul devin direcii de radiaie minim.3.1.3. CONDUCTOR N GOL LA UN CAPTnacest cazcoeficientul dereflexieestekr=1i estemai convenabil sse exprimeintensitatea cmpului electricprincurentul delacaptul alimentat al conductorului. Din relaia (3.1), pentru z=0, rezult:l sh 2e IIl0d, (3.11)sau dac se neglijeaz pierderile,l sin j 2e IIl j0d. (3.12)n aceste condiii relaia (3.3) devine:dz e e e e sinl sin j 2e Ir60j dE) cos z r ( j ) z l 2 ( j ) cos z r ( j z jl j000 01]1

+ .(3.13)Dac se noteaz: sinl sine Ir30B0r j00,atunci[ ] [ ]{ }+ lz l j z l jdz e e B E0cos 1 ( ) cos 1 ( . (3.14)Rezolvnd integrala (3.14), se obine:l sin 2) ( frI 60E00,(3.15)unde f( ) este funcia de directivitate i are expresia: [ ] { } + cos l sin ) cos l sin( j l cos ) cos l cos(sin1) ( f(3.16)Se constat c:) ( frI 60E100 , (3.17)76unde: l sin 2) ( f) ( f1 .n figura (3.3) sunt reprezentate caracteristicile de directivitate corespunztoare funciei (3.16), pentru diferite valori ale raportului l/ . Caracteristicile obinute sunt simetrice fa de axa conductorului i fa de normala dus la aceast ax. Aceast dubl simetrie era de ateptat, ntruct n cazul n care lipsete atenuarea, un conductor n gol la un capt este parcurs de dou unde de aceeai intensitate-unda direct i unda reflectat. Fiecrei unde de curent i corespundeocaracteristicdedirectivitateasimetricfadenormal, iar prin nsumare rezult o caracteristic simetric.Fig.3.3. Caracteristicile de directivitate ale conductorului n goln ceea ce privete celelalte concluzii referitoare la caracteristicile de directivitate ale conductorului n gol la un capt, sunt similare cu cele obinute n cazul conductorului parcurs de o und progresiv de curent.ANTENA CANAL DE UND (Uda Yagi)771. NOIUNI GENERALEExtensia spaial