CAPITOLUL 2

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

Constante fiziceSarcina electronului Permitivitatea spatiului liber Tensiune termica (T = 300 K) e = q = 1.6 10-19 C o = 8.86 10-14 F/cm kT Vth = = 0.0259 V q k T = 0.0259 eV mo = 9.11 10-31 Kg

Masa electronului liber in repaos

Proprietati importante ale principalelor materiale semiconductoareProprietatea Constanta retelei [A] Temperatura de topire [oC] Constanta dielectrica - r Largimea benzii interzise EG [eV] Densitatea efectiva de stari in banda de conductie NC [cm-3] Densitatea efectiva de stari in banda de valenta NV [cm-3] Concentratie intrinseca de purtatori ni [cm-3] Mobilitatea electronilor - n [cm2/V.s] Mobilitatea electronilor - p [cm2/V.s]Energii de ionizare ale impuritatilor [eV] Si 5.43 1415 11.7 1.12 2.8 1019 Ge 5.65 937 16.0 0.66 1.04 1019 GaAs 5.65 1238 13.1 1.42 4.7 1017

1.04 1019 1.45 1010 1350 480

6.0 1018 2.4 1013 3900 1900

7.0 1018 1.8 106 8500 400

Siliciu Germaniu

Donori Fosfor 0.045 0.012

Arsen 0.05 0.0127

Acceptori Bor 0.045 0.0104

Aluminiu 0.06 0.0102

2-1

CAPITOLUL 2

Relatii utile:Conditia de neutralitate: Echilibru termic: Legea lui Ohm: Ecuatiile de transport:

v = q( p 0 n 0 + N D N A ) = 0 B n 0 p 0 = n i2 = n i2 (T ) A exp T r r j = E = q (n n + p p ) r r r r jn = jn (drift ) + jn (dif ) = q n n E + qD n grad n r r r r jp = jp (drift ) + jp (dif ) = q p p E q D p grad p

Relatiile lui Einstein:

Dn = n

kT q

Dp = p

kT q

Ecuatiile de continuitate:

r dn 1 = div jn + g n U n dt q

r dp 1 = div jp + g p U p dt qLa nivel mic de injectie, vitezele nete de recombinare:

Up =

p 'p p

=

p p p pO p

Un =Distributia Fermi-Dirac:

n 'p n

n 1 f ( E) = E - EF 1 + exp kT E EV p 0 = N V exp F kT E EF p 0 = n i exp i kT

=

n p n pO

Concentratiile de purtatori la echilibru termic, in semiconductori nedegenerati:

E EF n 0 = N C exp C kT E Ei n 0 = n i exp F kT fd (E D ) =

Probabilitatea de ocupare cu un electron a unui nivel energetic donor:

1 E EF 1 1 + exp D 2 kT 1 E EF 1 + 4 exp A kT 2-2

Probabilitatea de ocupare cu un electron a unui nivel energetic acceptor:

fa (E A ) =

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

Aplicatii2.I. Campul electric intern intr-un semiconductor neuniform dopat. Se considera o bara semiconductoare dopata neuniform cu impuritati pe directia x (figura 2.1). Avem ND = ND (x) si NA = 0. Sa se calculeze campul electric intern la echilibru termic.Rezolvare. Nu se aplica tensiune din exterior si nu curge curent electric. Doparea neuniforma va provoca insa un curent de difuzie care trebuie sa fie echilibrat de un curent de cmp, deoarece fluxul net de purtatori nu poate fi dect nul. Va apare astfel un cmp electric intern care urmeaza sa fie calculat. Presupunem ca materialul este practic neutru si neglijam concentratia de goluri minoritare. Rezulta:

n (x ) N D (x )

E (a) N D (x)

electron

(b) x

Figura 2.1. (a) Directia campului electric intern, orientat in sensul pozitiv al axei x si efectul asupra unui electron. (b) Gradientul concentratiei de donori si efectul asupra unui electron. Curentii de electroni si respectiv, de goluri trebuie sa fie separat egali cu zero in conditii de echilibru termic (conform principiului echilibrului detaliat). In caz contrar ar trebui sa se admita o acumulare continua, neintrerupta, de purtatori la unul din capetele barei. Rezulta:

jn = q n n E + q D n E=

dn =0 dx

Ultimile doua relatii furnizeaza expresia cmpului electric intern:

kT 1 d n kT 1 d N D (x ) q n dx q N D (x ) d x

Pentru cazul reprezentat in fig. 2.1, E este pozitiv, indreptat in sensul pozitiv al axei x si determina deplasarea electronilor in sens opus. Driftul actioneaza in sens opus difuziei.

2-3

CAPITOLUL 2

2.II. Verificarea relatiei Einstein. Sa se verifice relatiile lui Einstein pentru un semiconductor nedegenerat, la echilibru termic.Rezolvare. Se pleaca de la relatia de echilibru pentru curentul de electroni:

r r jn = q n o n E + q D n grad n o = 0

Se inlocuieste:

r E = - grad

unde: - este potentialul electric macroscopic in structura. Se utilizeaza:

E EF n 0 = N C exp C kT La echilibru termic nivelul Fermi EF este constant in structura, deci:

q 1 grad n o = n o n o grad grad E c = + kT kT Facnd inlocuirile in prima relatie rezulta:

Dn = n

kT q

Relatia pentru goluri se obtine similar.

2.III. Diferenta interna de potential intr-o proba neomogena. Sa se determine diferenta interna de potential intre doua puncte ale unei probe semiconductoare nedegenerate de tip n cu dopare neuniforma, la echilibru termic.Rezolvare. In figura 2.6.a este prezentata distributia concentratiei de impuritati. Diagrama de benzi energetice va fi reflecta aceasta neuniformitate in dopare, dupa cum se arata in figura 2.6.b. Nivelul Fermi este constant la echilibru termic. Energia potentiala Ec = Ec (x) este variabila si toata diagrama de benzi energetice se curbeaza in consecinta. Si nivelul Fermi intrinsec, situat practic la jumatatea benzii interzise, devine functie de pozitie, Ei = Ei (x).

N D (x) (log) N D1 N D2

Energia electronului q F2 q F1 q

E c (x) EF E i (x) E v (x)

x

x

a) b) Figura 2.6 (a) Profilul de dopaj si (b) diagama de benzi energetice (orientativ) pentru o bara semiconductoare de tip n. 2-4

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

In cele doua puncte pozitia nivelului Fermi este data de::

F1 =

kT N D1 ln ; q ni

F2 =

kT N D 2 ln q ni

Curba benzilor corespunde unei diferente interne de potential:

= F1 - F 2 =

kT N D1 ln q N D2

Aceasta diferenta interna de potential apare cu plusul in stnga. Marimea lui este de circa 60 mV pentru fiecare ordin de marime diferenta intre ND1 si ND2. De exemplu, pentru ND1 = 1018 si ND2 = 1014 cm-3, este circa 0.24 V. Diferenta interna de potential evaluata mai sus corespunde cmpului electric intern calculat anterior, camp care contracareaza difuzia provocata de gradientul de concentratie.

Probleme propuse2.1. Un monocristal de material semiconductor cu concentratia intrinseca ni este dopat cu NA acceptori si ND donori pe cm3. Sa se calculeze concentratiile de purtatori mobili de sarcina, daca monocristalul se afla la echilibru termic, la temperatura camerei.Rezolvare. Se presupune valabila ipoteza ionizarii complete a atomilor de impuritate. Se utilizeaza conditia de neutralitate a sarcinii electrice si conditia de echilibru termic:

v = q( p 0 n 0 + N D N A ) = 0

n 0 p 0 = n i2Sistemul de doua ecuatii de mai sus are doua necunoscute. Presupunem un semiconductor de tip n (deci ND > NA). Rezulta:

n i2 n0 + N D N A = 0 n0Solutia generala a ecuatiei de gradul doi este:2

2 n 0 n 0 (N D N A ) n i2 = 0

ND NA N NA 2 D + ni 2 2 Semnul (+) corespunde purtatorilor majoritari si semnul (-) purtatorilor minoritari. Deci:

N NA N n0 = D + D 2 n i2 p0 = = n0 N N D A + 2

NA 2 + ni 2 n i2 ND NA 2 + ni 2 2

2

2

N NA N NA 2 p0 = D + D + ni 2 2 Cea de a doua relatie pentru p0 nu poate fi utilizata practic deoarece, in general, cele doua numere care se scad au valori foarte apropiate si eroarea cu care se obtine rezultatul este mare. 2-5

CAPITOLUL 2

In majoritatea cazurilor practice se indeplineste conditia ND NA >> ni si relatiile de mai sus devin:

n0 N D N A

n i2 p0 ND NA

In cazul unui semiconductor de tip p (deci ND < NA) se procedeaza similar. Daca NA ND >> nI se obtine:

p0 N A N D

n i2 n0 NA ND

2.2. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu ND = 1016 cm-3 donori si NA = 0 cm-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.Rezolvare. Se considera valabila ipoteza ionizarii complete. Deoarece ND >> ni = 1.45 1010 cm-3. Deci (problema 2.1): n0 = 1016 cm-3 p0 = 2.1 104 cm-3

2.3. Un monocristal de germaniu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu ND = 5.0 1013 cm-3 donori si NA = 0 cm-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.Rezolvare. In cazul germaniului ni = 2.4 1013 cm-3, deci trebuiesc utilizate relatiile exacte de calcul deduse in problema 2.1. Rezulta: n0 = 5.97 1013 cm-3 p0 = 9.66 1012 cm-3

2.4. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu ND = 1016 cm-3 donori si NA = 3 1015 cm-3 acceptori. Sa se calculeze concentratiile de electroni si goluri la T = 300 K.Raspuns. n0 = ND NA = 7 1015 >> ni. P0 = 3 10 4 cm-3 .

2.5. Sa se calculeze concentratiile de echilibru pentru electroni si goluri intr-un monocristal de siliciu la T = 300 K pentru care nivelul Fermi este situat la 0.25 eV sub marginea benzii de conductie.Rezolvare.

EG (E C E F ) = 0.31 eV 2 k T = 0.026 eV n i = 1.45 1010 cm 3 E F Ei =

E Ei 15 3 n 0 = n i exp F = 2.19 10 cm kT E EF 4 3 p 0 = n i exp i = 9.62 10 cm kT 2-6

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

BC 0.5 E G

Ec EF Ei Ev

BV

Figura 2.7. Diagrama de benzi energetice pentru problema 2.5.

2.6. Sa se calculeze concentratiile de purtatori la echilibru termic pentru germaniu, la T = 300 K, daca pozitia nivelului Fermi este EC EF = 0.195 eV.Raspuns. n0 = 4.32 1015 cm-3 p0 = 1.33 1011 cm-3.

2.7. Sa se calculeze concentratiile de purtatori la echilibru termic pentru siliciu, la T = 300 K, daca pozitia nivelului Fermi este EF EV = 0.22 eV.Raspuns. n0 = 3.03 104 cm-3 p0 = 6.93 1015 cm-3.

2.8. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic si este dopat cu ND = 1016 cm-3 donori si NA = 0 cm-3 acceptori. Sa se calculeze pozitia nivelului Fermi fata de marginea benzii de conductie la T = 300 K.Raspuns. EC EF = 0.21 eV

2.9. Un monocristal de siliciu de tip n se afla la echilibru termic. La T = 300 K sa se calculeze concentratia maxima de donori pana la care statistica Boltzmann ramane valabila. Se considera NA = 0 cm-3. Sa se repete calculul in cazul germaniu si GaAs.Rezolvare.

2-7

CAPITOLUL 2

BC 0.5 E G3kT

Ec EF Ei Ev

BVFigura 2.8. Diagrama de benzi energetice pentru problema 2.9. Intr-un semiconductor de tip n la cresterea concentratiei de impuritati nivelul Fermi EF se apropie de marginea benzii de conductie EC. Situatia limita de la statistica clasica (Boltzmann) nu mai este valabila este prezentata in figura 2.8. Rezulta (in conditiile aproximatiei de ionizare completa):

E Ei N D,MAX n 0 = n i exp F kT unde:

E F Ei =Deci:

EG 3k T 2-3

ND,MAX [cm ]

Si 1.63 1018

Ge 3.9 1017

GaAs 6.5 1016

Se observa ca GaAs ajunge in cazul semiconductorului degenerat la dopaje mult mai mici decat Si, ceea ce face mai dificil calculul concentratiilor de purtatori mobili de sarcina pentru dopajele uzuale din dispozitivele semiconductoare.

2.10. Un monocristal de siliciu aflat la T = 300 K contine initial numai impuritati acceptoare cu o concentratie NA = 5 1015 cm-3. Semiconductorul este impurificat in continuare cu impuritati donoare astfel incat nivelul Fermi ajunge la 0.215 eV sub marginea benzii de conductie. Sa se calculeze concentratia impuritatilor donoare.Raspuns. ND = NA + n0 = 1.34 1016 cm-3

2.11. Un monocristal de siliciu, impurificat cu fosfor, se afla la T = 300 K. Fosforul introduce un nivel donor in banda interzisa la EC ED = 0.045 eV. Sa se calculeze procentul de impuritati complet ionizate daca concentratia de donori este: a) ND = 1016 cm-3; b) ND = 1017 cm-3; c) ND = 1018 cm-3;Rezolvare. Se calculeaza in conditiile aproximatiei de ionizare completa a impuritatilor urmatoarele marimi: 2-8

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

1) Pozitia nivelului Fermi

N E F E i = k T ln D n i 2) Distanta de la nivelul Fermi la nivelul donor

a) 0.35 eV

b) 0.41 eV

c) 0.47 eV

ED EF =

EG (E C E d ) (E F E i ) 2 1 E EF 1 1 + exp D 2 kT

a) 0.165 eV

b) 0.105 eV

c) 0.045 eV

3) Probabilitatea de ocupare a nivelului donor

fd (E D ) =

a) 0.0035

b) 0.034

c) 0.262

4) Procentul de impuritati complet ionizate

Pd = 1 f d

a) 99.65 %

b) 96.6 %

c) 73.8 %

2.14. Sa se calculeze la temperatura camerei, in cazul semiconductorilor puri, rezistivitatea unui monocristal de: a) siliciu; b) germaniu c) GaAs.Rezolvare. Se utilizeaza relatia:

= q (n n + p p )

unde n = p = ni. Rezulta: a) = 4.25 10-6 -1 cm-1 b) = 2.23 10-2 -1 cm-1 c) = 2.56 10-9 -1 cm-1 Rezulta ca GaAs este practic un bun izolant (cu aplicatii in circuitele integrate).

2.15. Sa se calculeze tipul impuritatilor si concentratia lor pentru a obtine la temperatura camerei un monocristal de siliciu cu rezistivitate maxima.Rezolvare. Datorita diferentei dintre mobilitatile electronilor si golurilor, rezistivitatea maxima (deci conductivitatea minima) nu se obtine pentru semiconductorul intrinsec ci pentru un semiconductor de tip p usor dopat cu acceptori. La echilibru termic:

= q (n 0 n + p0 p )

n 0 p 0 = n i2

Rezulta urmatoarea functie de p0 pentru care trebuie gasit minimul prin derivare:

n i2 n = (p 0 ) = q ( + p0 p ) p0Solutia este:

d =0 d p0

p 0 = n i n = 4.1 1010 cm 3 p

n i2 n0 = = 5.16 10 9 cm 3 p0

Conductivitatea rezulta = 4.26 10-6 -1 cm-1 si rezistivitatea = 2.35 105 cm.

2.16. Un semiconductor din siliciu compensat de tip n are o conductivitate = 16 ( cm)-1 si o concentratie de impuritati acceptoare de NA = 5 1015 cm-3. Considerand mobilitatea independenta de concentratia de impuritati, sa se calculeze concentratia de impuritati donoare la temperatura camerei.2-9

CAPITOLUL 2

Rezolvare. Semiconductorul este de tip n deci ND > NA iar datorita faptului ca conductivitatea este mult mai mare decat cea a semiconductorului intrinsec rezulta ND NA >> ni. Deci, cu ipoteza ionizarii complete:

= q ( n 0 n + p 0 p ) q n 0 n = q (N D N A ) n

Rezulta: ND = 7.91 1016 cm-3.

2.17. Sa se determine, la temperatura camerei, campul electric indus intr-un semiconductor de tip n, neuniform dopat. Distributia de impuritati pentru 0 x 1 m (x este in cm) este: N D ( x ) = 1016 1019 x [cm -3 ] Care este diferenta interna de potential intre capetele intervalului ?Rezolvare. Aceasta este un exemplu numeric pentru aplicatia 2.I. A rezultat:

E=

kT 1 d n kT 1 d N D (x ) q n dx q N D (x ) d x

Cu expresia data pentru concentratia de impuritati, rezulta expresia campului electric intern:

E(x ) =

0.026 1019 1016

10 x19

[ V / cm]

Diferenta interna de potential se obtine fie prin integrarea in functie de x a relatiei de mai sus, fie utilizand rezultatele obtinute la aplicatia 2.V.:

kT N D (0) kT 1016 ln ln = = = 0.06 V q N D 10 4 cm q 1015

(

)

2.18. Intr-o proba de siliciu de tip n, aflata la temperatura camerei, coeficientul de difuzie al electronilor este Dn = 25 cm2/s. Dopajul variaza liniar cu distanta de la n(0) pentru x = 0 la 5 1014 cm-3 pentru x = 0.01 cm. Daca densitatea curentului de difuzie este Jn = 0.19 A/cm2, sa se calculeze n(0).Rezolvare.

n (x) n (0)

5 10

14

x 0 0.01 cmFigura.2.9. Distributia concentratiei de purtatori pentru problema 2.18.

2 - 10

ELEMENTE DE FIZICA SEMICONDUCTORILOR

Deoarece ND >> ni si la temperatura camerei ipoteza ionizarii complete este valabila, rezulta distributia concentratiei de electroni din figura 2.9. Expresia curentului de difuzie de electroni este:

5 1014 n (0) dn = 0.19 = q Dn jn (dif ) = q D n 0.01 0 dx

Rezolvand ecuatia de mai sus rezulta n(0) = 9.75 1014 cm-3.

2.19. Concentratia de electroni dintr-o proba de siliciu aflata la temperatura camerei este data de: x n( x ) = 1016 exp - [cm 3 ] 18 unde x este masurat in m si este cuprins in intervalul 0 x 25 m. Coeficientul de difuzie al electronilor este Dn = 25 cm2/s iar mobilitatea lor este n = 960 cm2/Vs. Densitatea totala a curentului de electroni este constanta in proba si este egala cu jn = - 40 A/cm2 si are atat componenta de difuzie cat si componenta de drift. Sa se calculeze distributia campului electric in functie de x in proba.Rezolvare. Expresia densitatii curentului total de electroni in proba este:

r r r r dn = const jn = jn (drift ) + jn (dif ) = q n n E + qD n dx dn jn qD n dx Expresia campului electric rezulta E( x ) = q nndn x = 5.56 1018 exp dx 18

Tinand cont de unitatea de masura a lui x (1 m = 10-4 cm) rezulta:

rezulta expresia campului electric:

x E( x ) = 14.44 26 exp 18

[ V / cm]

2.20. O proba de material semiconductor aflata la echilibru termic (curent total zero) are o concentratie de donori care variaza dupa legea: N D ( x ) = N D,O exp (- x )

unde 0 x 1/ si ND,O este o constanta. Sa se determine in functie de x distributia campului electric si diferenta de potential intre x = 0 si x = 1/.Rezolvare. Se lucreaza in conditiile aproximatiei ionizarii complete deci n0 = ND. La echilibru termic:

r r r r dn jn = jn (drift ) + jn (dif ) = q n n E + qD n dx

Rezulta: 2 - 11

CAPITOLUL 2

E=

kT 1 d N D (x ) kT d ln[N D (x )] kT = = = const. q N D (x ) d x q dx q

Calculul diferentei de potential poate fi facut cu rezultatele aplicatiei 2.V sau direct, tinand cont de campul electric constant:

=

kT q

2.21. Intr-o bara semiconductoare de tip p, concentratia de purtatori variaza liniar intre p(0) > p0 si p(W) = p0. Se considera: p(0) = 103 p0. a) Sa se calculeze expresia densitatii de curent de goluri de difuzie; b) Sa se calculeze, la temperatura camerei, diferenta interna de potential intre x = 0 si x = W.Raspuns. a) j p (dif ) = 999 b) = 0.18 V

q D p p0 W

2.22. La unul din capetele unei bare semiconductoare de tip n, semiinfinite, aflate intr-un circuit electric inchis, se injecteaza goluri astfel incat concentratia lor in sectiune de injectie se mentine constanta p(0). Ce conditie trebuie sa satisfaca campul electric din semiconductor, pentru ca componenta de camp a curentului de goluri sa fie neglijabila in raport cu componenta de difuzie ?

2 - 12