Filtrazione1

Le velocità v delle particelle d’acqua nei terreni sono talmente basse che

variabile ‘causa’ = quota piezometrica [L] =

g2

vuH

2

w

+γ

+ζ=

Hu

hw

≈γ

+ζ=

Approccio fenomenologico:

1. individuazione variabili fisiche ‘causa’ ed ‘effetto’ caratterizzanti il fenomeno(verifica analogie e differenze con il moto idraulico in condotte e canali)

2. studio legame fisico-meccanico tra cause ed effetti macroscopici

h = quota di risalita dell’acqua in un tubo (piezometro) inserito in un punto del sottosuolo

Moto dell’acqua nelle Terre: la quota piezometrica

Scelta della variabile ‘causa’

idraulica delle condotte ⇒ carico idraulico totale [L] =

0=ζ

w

u

γ

ζ

Filtrazione2

t

VQ

∂

∂=

)nA(

Q

A

Qv

nn

∂

∂≈

∂

∂=

Scelta della variabile ‘effetto’

idraulica delle condotte ⇒ portata filtrante [L3T-1]

Nel mezzo poroso si potrebbe considerare:

portata per sezione netta = velocità media [LT-1]

Scelta più pratica:

variabile ‘effetto’ = velocità di filtrazione [L3T-1]

v = portata filtrante attraverso una sezione unitaria di scheletro solido

nv

v

Moto dell’acqua nelle Terre: la velocità di filtrazione

nn

nvA

Qn

A

Qv =

∂

∂≈

∂

∂=

Piezometri (cenni)

Piezometri a tubo aperto ⇒ misura della quota piezometrica hCelle piezometriche ⇒ misura della pressione interstiziale u

Tubo piezometrico a tutta altezza

(per misure della superficie libera dellafalda, in sottosuolo omogeneo)

Presa localizzata(per misure locali di u, in sottosuolo

omogeneo o stratificato)

Filtrazione3

Al posto del tubo, è possibile disporre una

cella piezometrica (celleCasagrande, trasduttori di pressione, …) ubicata neltratto di misura isolato, … per ottenere ‘risposte’ più

‘pronte’

Filtrazione4 Esperienza di d’Arcy (o Darcy)

In condizioni di flusso stazionario e monodimensionale:

Q h

v k k iA L

∆= = =

k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [LT-1] (costante dipendente da caratteristiche del fluido e del mezzo poroso)rappresenta la facilità con la quale il fluido può muoversi nei vuoti interparticellari

i = gradiente idraulico (o cadente piezometrica) [adim.]

i 1

L

A

h∆

La legge di Darcy vale nella quasi totalità dei problemi geotecnici,ad eccezione i casi in cui il numero di Reynolds è molto alto (forti gradienti idraulici, porosità elevate; p. es. nelle rocce fratturate).

permeametroLes fontaines publiques de la ville de Dijon(Darcy, 1856)

Filtrazione5

Generalizzando nelle tre dimensioni, per un mezzo continuo ed anisotropo:

{ } [ ] { } [ ] ( ) v k i k grad h= = −

{v} = velocità di filtrazione (vettore)h = carico idraulico (scalare)

[k] = tensore delle permeabilità (matrice)(kij = componente di velocità lungo la direzione i prodotta da un gradiente unitario negativo lungo j)

j

3

1jiji

x

hkv

∂

∂−= ∑

=

• Sistema (x,y,z) = assi principali di permeabilità ⇒

∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂−=

z

hkv

y

hkv

x

hkv

zz

yy

xx

•mezzo isotropo (kx=ky=kz=k) ⇒⇒⇒⇒ { } ( ) grad v k h= −

⇔⇔⇔⇔

Filtrazione6 Equazione di continuità in un mezzo omogeneo e isotropo

Equazione di continuità della massa di fluido in un elemento di volume:

massa fluido che si accumula (o che abbandona) dV = variazione peso fluido in dV

( )dtdzdxdy

t

nSdtdxdydz

z

vdxdzdy

y

vdydzdx

x

v rwzyxw ⋅

∂

ρ∂=

⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂ρ−

Ipotesi del moto di filtrazione in regime ‘stazionario’ (o ‘permanente’): le variabili in gioco non dipendono dalla variabile tempo (t)

mezzo stabilmente saturo ⇒ Sr = 1

fluido incomprimibile ⇒ ρw = cost. ⇒ ©scheletro solido indeformabile ⇒ n = cost.

dz

dx

dy

dxx

vv x

x∂

∂+

dzz

vv z

z∂

∂+

dyy

vv

yy

∂

∂+

x

zy

zv

xv

yv

In genere:

massa d’acqua in ingresso≠

massa d’acqua in uscita

{ } 0vdiv =

Filtrazione7

Equazione di continuità + legame velocità-carico idraulico �{ }

{ }0

( )

div v

v k grad h

=

= − ⋅

Introducendo la nella : { } ⇒= 0)h(graddiv (equazione di Laplace)

La soluzione dell’equazione di Laplace è costituita da due famiglie di superfici.

Graficamente di moto di filtrazione è descritto da:

• Superfici isopieziche = superfici ‘equipotenziali’, dove h è costante

• Linee di flusso = curve inviluppo vettori velocità (ortogonali alle isopieziche se la permeabilità è isotropa)

Proprietà delle due famiglie di curve:

• la quota piezometrica decresce lungo una linea di flusso

• lungo un ‘tubo di flusso’ (superficie generata da linee di flusso) la portata è costante

• non c’è flusso lungo una superficie isopiezica

hh ∆+

hh ∆−

h.tcosAvq =∆⋅=

Filtrazione stazionaria in un mezzo omogeneo e isotropo

0h2 =∇

Filtrazione8 Moti di filtrazione modimensionali

Se è sufficiente una sola variabile geometrica per descrivere il fenomeno si parla di moti di filtrazione monodimensionali (o ‘uniformi’)

( )w

u hγ ζ= −

Sia s la variabile geometrica (direzione del flusso); l’eq. di Laplace si scrive allora:

2

20

d h

ds=

Il gradiente idraulico è costante.cosdh

i tds

= =

con le associate condizioni al contorno

h A Bs= + Il carico idraulico è funzione LINEARE di s; A e B costanti di integrazione.

La pressione del fluido è combinazione lineare di 2 funzioni lineari: è quindi lineare anche essa

Filtrazione9

zu

z

tLzu

h

zu

vv

satv

w

w

γσσ

γσ

ζγ

ζ

γ

′=−=′

=

==+=+=

=

.cos

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione

Gli effetti dei moti di filtrazione (nei terreni saturi) sono diversi a seconda del verso (concorde o discorde) del flusso rispetto alle azioni litostatiche

1. Fluido in quiete ⇔⇔⇔⇔ quota piezometrica costante

ζ

L

u,,σ′σ

u

vσ′

vσz

h

z

Filtrazione10

2. Filtrazione monodimensionale (1D) in un mezzo omogeneoh= A+Bz (integrazione eq. Laplace): andamento lineare del carico idraulicoFluido in moto verso il basso ⇔⇔⇔⇔ quota piezometrica decrescente con z

0>=−=′

+′=′

=

−=+−−=−=

<−=

izγ∆uσ∆

izγzγσ

zγσ

izγzγz)Liz(Lγζ)(hγu

LizLh

wv

wv

satv

wwww

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione

ζ

L

h∆

u,,σ′σ

uvσ′∆

vσzh∆

h

z

L

hi

∆=

Filtrazione11

3. Filtrazione monodimensionale in un mezzo omogeneoh= A+Bz (integrazione eq. Laplace): andamento lineare del carico idraulicoFluido in moto verso l’alto ⇔⇔⇔⇔ quota piezometrica crescente con z

0<−=−=′

−′=′

=

+=+−+=−=

>+=

izγ∆uσ∆

izγzγσ

zγσ

izγzγz)Liz(Lγζ)(hγu

LizLh

wv

wv

satv

wwww

Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione

ζ

L

h∆ u,,σ′σ

u

vσ′∆

vσz

La filtrazione in direzione verticale aggiunge alle tensioni efficaci litostatiche una variazione γwiz (forza di trascinamento) concorde con il verso del moto

h∆

h

z

L

hi

∆=

Filtrazione12

∫∫∫∫∫∆

+∆

=∆

−∆

−=∆

−=∆

==

212,

2

1,

1

2,1,000

2

'

L ed

w

ed

w

edL ed

L

ed

L

ed

v

L

zE

Lh

E

Lhdz

E

udz

E

udz

E

udz

Edzw

γγσε

Es.: subsidenza (cedimento del piano di campagna) indotta da emungimento da un acquifero

Fenomeni deformativi prodotti da moti di filtrazione: subsidenza

Le ‘forze di trascinamento’ indotte dai moti di filtrazione verso il basso producono:

• aumento delle tensioni efficaci (→ cedimenti)

1

2

1 2

h∆

h

z

u,,σ′σ

1

221 ≡

2u

hwv ∆⋅γ=σ′∆

1vσ′

1L

2L

Filtrazione13 Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtrazione:sifonamento

Le ‘forze di trascinamento’ indotte dai moti di filtrazione verso l’alto producono:• diminuzione delle tensioni efficaci (→ collasso)

ζ

L

h∆ u,,σ′σ

u

vσ′∆

vσzh∆

h

z

L

hi

∆=

ziziu

zizu

z

wwwsatvv

ww

satv

)'()('

γγγγγσσ

γγ

γσ

−=−−=−=

+=

=

Se σ’v=0 allo sbocco del moto di filtrazione:

( ' ) 0, , 0ww es crit v

w

hSe i ovvero i i per ogni z

L

γ γγ γ σ

γ

−∆′− = = = = =

SIFONAMENTOle sabbie mobili !!!

ies= gradiente idraulico di esercizioicrit= gradiente idraulico critico

Filtrazione14

bi

Problemi di filtrazione piana e reti idrodinamiche

In un problema piano (vy = 0):

• superfici → linee isopieziche• la soluzione dell’eq. di Laplace può essere ricercata per via grafica, disegnando la rete idrodinamica, costituita da due famiglie di curve (isopieziche e linee di flusso) tracciate rispettando le ‘condizioni al contorno’ per h e v e, che nel caso di isotropia della permeabilità sono tra loro ortogonali.

Nella maglia elementare ∆s ⋅ ∆a, la portata è data da

n i i

i

hq v a k i a k a

b

∆∆ = ∆ = =

(∆s = distanza tra due linee isopieziche, ∆a = distanza tra due linee di flusso = sezione tubo)

superficie piezometrica = 1a isopiezica

h+∆h

h-∆h

hai

v || superficie impermeabile

Filtrazione15 Calcolo di portata e pressioni interstiziali

Tracciando una rete a maglie con rapporto tra i lati costante (ai/bi=cost)e compatibile con le condizioni al contorno:

i

i

aq k h

b∆ = ∆ costante lungo ogni tubo di flusso

⇒ ∆q = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due isopieziche ⇒ ∆h = perdita di carico tra due isopieziche = costante nell’intera rete

∆H = variazione totale di carico idrauliconh = numero di campi tra le isopieziche (salti equipotenziali)

h

Hh

n

∆⇒ ∆ =

H

qi i iq q q

i h i h i

na a aQ n q n k h n k k H k H C

b n b n b

∆= ∆ = ∆ = = ∆ = ∆

)h(u w ζ−γ=

• Calcolo portata filtrante Q(nq = numero di tubi di flusso):

• Distribuzione pressioni interstiziali u:

H∆12

1

2

qn

hn

k

Filtrazione16 Tipologia dei problemi in relazione alla variabilità nel tempo

Nei problemi di filtrazione, l’analisi del problema idraulico è disaccoppiabile da quella statica

In base alla variabilità spazio-temporale delle condizioni al contorno, si classificano in:

• Flusso stazionario(condizioni al contorno e dominio di saturazione invariabili nel tempo)

• Flusso transitorio(condizioni al contorno e/o dominio di saturazione variabili nel tempo)

Es. aggottamento da fondo scavo

Es. risalita acqua in piezometro/pozzo

H = cost.

t

Filtrazione17

• Flusso non confinato(contorno variabile col dominio di saturazione)

• Flusso confinato(contorno indipendente dal dominio di saturazione)

Es. traversa in muratura

Es. diga in terra

H

Tipologia dei problemi in relazione alle condizioni al contorno

H

Filtrazione18

1u

1u

wγz)i'(z)i(u'

zizu

z

wwwsatvv

ww

satv

γ−γ=γ−γ−γ=−σ=σ

γ+γ=

γ=σ

wc

'ii

γ

γ==

sifonamento indotto da filtrazione lungo una palancola in un terreno a grana grossa

per

⇓collasso per sifonamento (/sollevamento)

⇓annullamento delle σ’ (σ’v=0 ∀z)

1

21 ≡

u,', vv σσ

2

0'v →σ

Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtrazione: sifonamento

Le ‘forze di trascinamento’ indotte dai moti di filtrazione verso l’alto producono:• diminuzione delle tensioni efficaci (→ collasso)

(gradiente idraulicocritico)

d

2

d

1

2

0h1 =

d

him

∆=hh2 ∆=

2u

2u

iwγ

verifica

w

cm

'ii

γ

γ=<

Filtrazione19 Il coefficiente di permeabilità

Il coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica k) non è un parametro ‘intrinseco’ del terreno

in quanto dipende anche dal fluido e dallo stato del terreno stesso.

In linea di principio k si potrebbe esprimere come:

= permeabilità assoluta, dipendente solo dal solido poroso

γw, µw= peso specifico e viscosità del fluido

I principali fattori che influenzano k sono quindi:

• per il fluido la temperatura (da cui dipendono γw e µw)• per il solido la granulometria (influenza dimensione e tortuosità degli interstizi)

k

w

wkkµ

γ=

L’ influenza della granulometria è riflessa dalla relazione empirica per sabbie uniformi:

(Hazen, 1911)

(k in cm/s, c=0.4 ÷ 1.2, D10 in mm)

che evidenzia la dipendenza di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini!

210Dck ⋅=

Filtrazione20 Valori tipici del coefficiente di permeabilità

Terreni sabbiosi

k > 10-4

cm/s

Terreni argillosi

k < 10-7 cm/s

Terreni limosi

10-7<k<10-4

cm/s

Filtrazione21

In ciascun tratto omogeneo: h= A+Bz: andamento lineare del carico idraulico

21

2

2

221

1

1121 ;

hhh

AL

hkA

L

hkqq

∆+∆=∆

∆=

∆=

Filtrazione in mezzi disomogenei

ζ

L

h∆

h∆

h

z

11

1

hi

L

∆=

1 1 1, ,L A k

2 2 2, ,L A k

Continuità della portata:

122

2111

1LAk

LAk

hh

+

∆=∆

La perdita di carico complessiva ∆h si ripartisce nei 2 mezzi in ragione dei contrasti di permeabilità, di area e di percorso (lunghezza) di filtrazione

22

2

hi

L

∆=

Filtrazione22

Ad es., se A1≅A2, L1≅L2 e k2=100k1 (contrasto di permeabilità tra una ghiaia e una sabbia) la continuità della portata comporta che:

∆h1=(100/101)∆h, ovvero ∆h1 ≅ ∆h∆h2=(1/101)∆h, ovvero ∆h2 ≅ 0Quindi, nel mezzo 2, di permeabilità maggiore, il fluido si muove con perdite di carico trascurabili,

che sono concentrate nel mezzo 1. Nel mezzo 2 la distribuzione dei carichi idraulici (e quindi delle pressioni interstiziali) è ‘sostanzialmente’ idrostatica.

Serbatoio di capacità infinita: un mezzo nel quale il fluido si muove con perdite di carico trascurabili

Filtrazione in mezzi disomogenei: esempio 1D

ζ

L

h∆

1 1 1, ,L A k

2 2 2, ,L A k

Per il sifonamento:se ∆h1 ≅ ∆h (e ∆h2 ≅ 0): verifica nel mezzo 1;

Se ∆h2 ≅ ∆h (e ∆h1 ≅ 0): ATTENZIONE !!!Infatti, in B σ’vB≠0 sempre (condizioni idrostatiche);Verifica da effettuare nel punto C, per il quale la pressione interstiziale (funzione di ∆h) può diventare maggiore della tensione totale verticale:SOLLEVAMENTO (DI FONDO SCAVO) e non SIFONAMENTO (che implicherebbe σ’v=0 per ogni z).

A

B

C

Filtrazione23

1. Esistono almeno due punti a carico idraulico diverso ?2. Sono connessi idraulicamente ?Se sì, siamo in presenza di un moto di filtrazione.3. Individuazione del dominio di filtrazione (ovvero delle zone nel quali il moto del fluido avviene

con perdite di carico apprezzabili), prestando attenzione al percorso della particella (quando possibile, la particella preferirà ‘muoversi’ nel mezzo più permeabile), ai contrasti di permeabilità (concentrazione delle perdite di carico) e ai rapporti tra le aree di filtrazione in gioco (continuità delle portate).

4. Definizione dei caratteri del moto nel dominio di filtrazione individuato (monodimensionale, bidimensionale) e delle condizioni al contorno.

5. Soluzione dell’eq. di Laplace (per via analitica se monodim., per via grafica se bidim.).

Filtrazione in mezzi disomogenei: procedura generale