Il criterio media-varianza

e il modello CAPM

Enrico Saltari

1

Il criterio media-varianza

• Se α1 è la quota della ricchezza destinata all’acquisto del titolo 1 e α2 è laquota impiegata nell’acquisto del titolo 2, il valore finale della ricchezza nellostato s è

ys =W [α1 (1 + r1s) + α2 (1 + r2s)] =W (α1R1s + α2R2s)

Per semplificare, supporremo che la ricchezza iniziale sia pari a 1, W = 1.

• Calcoliamo media e varianza di un portafoglio qualsiasi. Prendendo l’aspet-tativa

µ ≡ E (ys) = α1E (R1s) + α2E (R2s) = α1µ1 + α2µ2

Il rendimento medio di un portafoglio, µ, è perciò pari alla combinazionelineare dei rendimenti medi, µ1 e µ2, dei due titoli.

• La varianza del portafoglio, σ2, è

σ2 = E [α1R1s + α2R2s − (α1µ1 + α2µ2)]2 =⇒

2

σ2 = E [α1 (R1s − µ1) + α2 (R2s − µ2)]2

Svolgendo il quadrato, si ha

σ2 = α21E (R1s − µ1)2 + α22E (R2s − µ2)

2

+2α1α2E [(R1s − µ1) (R2s − µ2)]

= α21σ21 + α22σ

22 + 2α1α2σ12

σ21 e σ22 sono le varianze dei rendimenti dei due titoli e σ12 è la covarianza.

• Il criterio media-varianza afferma che le preferenze individuali sono caratte-rizzate soltanto da questi due parametri. Gli individui preferiscono quei por-tafogli che presentano un rendimento atteso maggiore a parità di rischiositàe, al tempo stesso, una rischiosità minore a parità di rendimento atteso

E (U) = V(µ, σ2

)

con ∂V∂µ > 0 e ∂V

∂σ2< 0.

3

• Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media,µA e µB, e da una varianza, σ2A e σ2B. Il portafoglio A è preferito o dominail portafoglio B se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e unavarianza uguale o minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore einsieme un rendimento atteso uguale o maggiore di B

µA > µB e σ2A ≤ σ2B

oppure

σ2A < σ2B e µA ≥ µB

Il criterio media-varianza e la teoria dell’utilità attesa

• In quali casi l’approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianzae quello dell’utilità attesa danno luogo alla medesima scelta?

4

• La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondatosull’utilità attesa dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dallaloro distribuzione di probabilità. Se una di queste due funzioni può esseredefinita in termini soltanto di media e varianza, i due criteri conducono allastessa scelta.

• Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un’espansione in serie diTaylor di questa funzione nell’intorno di E (ys) = µ

U (ys) = U (µ) + U′(µ) (ys − µ) +

1

2U′′(µ) (ys − µ)2 +

+1

3!U′′′(µ) (ys − µ)3 + · · ·

Prendendo l’aspettativa di questa espressione, otteniamo l’utilità attesa

E [U (ys)] = U (µ) + U′(µ)E (ys − µ) +

1

2U′′(µ)E (ys − µ)2 +

+1

3!U′′′(µ)E (ys − µ)3 + · · ·

= U (µ) +1

2U′′(µ)σ2 +

1

3!U′′′(µ)E (ys − µ)3 + · · ·

5

perché E (ys − µ) = E (ys)− µ = 0. In quali casi nell’espansione in seriedell’utilità attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sonodue.

Funzione di utilità quadratica

• Se la funzione di utilità è quadratica

U (ys) = c+ bys −1

2dy2s

dove c, b e d sono delle costanti positive, ovvero

U (ys) = ys −1

2ay2s

dove d/b = a. Prendendo l’aspettativa

E [U (ys)] = E (ys)−1

2aE

(y2s)= µ− 1

2a(σ2 + µ2

)

perché σ2 = E(y2s)− [E (ys)]2. L’utilità attesa dipende soltanto da media

e varianza, proprio come richiede il criterio M-V6

La forma delle curve di indifferenza. Differenziando

d {E [U (ys)]} = 0 = dµ− aµdµ− aσdσ =⇒

dµ

dσ=

aσ

1− aµ> 0

Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l’utilità attesa costante,ad un aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento delrendimento atteso. Derivando ulteriormente

d2µ

dσ2=a (1− aµ) + a2σ (dµ/dσ)

(1− aµ)2> 0

Le curve di indifferenza sono convesse, l’aumento di µ è più che proporzionalerispetto all’aumento di σ

7

A

B

C

µ

σ

µB

µA

σBσA

8

Lacune della funzione di utilità quadratica.

1. Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un puntodi massimo per ys = 1/a. Dopo questo punto l’utilità marginale divienenegativa, contraddicendo il requisito della monotonicità.

2. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio λ è

λ (ys) = −U′′(ys)

U′(ys)

=a

1− ays

Deriviamo λ rispetto a ys:

λ′(ys) =

a2

(1− ays)2 > 0

L’avversione assoluta al rischio è crescente, un’implicazione poco plausibile

9

Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli

• Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l’intera distribu-zione di probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momen-ti dispari intorno alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dallavarianza).

• Con l’ipotesi di normalità dei rendimenti l’utilità attesa è funzione soltanto dimedia e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogliseguono una distribuzione normale, l’utilità attesa è

E [U (ys)] =

+∞∫

−∞U (ys)

1

σ√2πexp

[

−(ys − µ)2

2σ2

]

dys

Ponendo

v =ys − µ

σe perciò dv =

1

σdys

10

e sostituendo, otteniamo

E [U (ys)] =

+∞∫

−∞U (µ+ vσ)

1√2πexp

(

−v2

2

)

dv

=

+∞∫

−∞U (µ+ vσ) g (v) dv

dove g(v) è la normale standardizzata e l’utilità attesa dipende solo da µ eσ.

• Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse.

• Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti?Il teorema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: ilrendimento di questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti deisingoli titoli, ciascun addendo essendo pesato con la quota della ricchezzarivolta all’acquisto dei titoli che entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il

11

rendimento di ogni titolo ha una distribuzione normale, anche il rendimentodel portafoglio seguirà una distribuzione normale perché una combinazionelineare di variabili normalmente distribuite ha anch’essa una distribuzionenormale.

• Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale.Ed è a questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite cen-trale. Questo teorema afferma che la somma di un dato numero di variabilicasuali ha una distribuzione che tende alla normale al crescere del numero divariabili casuali considerate. Quanto maggiore è il numero dei titoli che en-trano nel portafoglio tanto più la distribuzione del rendimento del portafoglioapprossima la normale.

• L’approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazionetra i rendimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore èl’approssimazione alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione deirendimenti dei singoli titoli approssima la distribuzione normale.

12

• La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell’utilità attesa.In primo luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stessointervallo di variazione di una variabile con una distribuzione normale, cioètra −∞ e +∞. Ma alcune funzioni di utilità non sono definite per valorinegativi: ad esempio, una funzione di utilità come la logaritmica: non siamoliberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle preferenze. In secondoluogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere valori negativie infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare che ilrendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilitàdi fallimento?

La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli ri-

schiosi)

• Costruiamo ora l’insieme dei portafogli disponibili, ossia l’insieme dei porta-fogli che possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo

13

a questo insieme il criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafoglirisultano dominanti ed altri sono dominati. I portafogli dominanti in base alcriterio media-varianza vengono definiti portafogli efficienti.

• Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogliche hanno la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengonodetti portafogli di varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con va-rianza minima è più ampio di quello dei portafogli efficienti. Un portafoglioefficiente ha una varianza minore di tutti gli altri portafogli che hanno lostesso rendimento atteso, ma non è necessariamente vero il contrario: unportafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente.

14

σ

µC

A

B

M

M ’

µ Α

µ Β

L’intera curva MM ′ (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontieradei portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di µ, su MM ′ trovia-mo il portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza,

15

minima. La parte AM non tratteggiata della curva, il tratto crescente diMM ′, è la frontiera dei portafogli efficienti.

• Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato deltitolo 2, µ1 > µ2, ma che sia anche più rischioso, σ1 > σ2. Il rendimentoatteso di un portafoglio è

µ = α1µ1 + α2µ2

mentre la varianza è

σ2 = α21σ21 + α22σ

22 + 2α1α2σ12 =⇒

σ2 = α21σ21 + α22σ

22 + 2α1α2ρσ1σ2

Il problema di minima varianza

minα1,α2

σ2 = α21σ21 + α22σ

22 + 2α1α2ρσ1σ2

sotto i vincoli che

µ = α1µ1 + α2µ2 e α1 + α2 = 116

• Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di α1 e α2.

µ = α1µ1 + (1− α1)µ2 = α1 (µ1 − µ2) + µ2 =⇒

α1 =µ− µ2µ1 − µ2

e α2 =µ1 − µ

µ1 − µ2

Sostituendo questi valori di α1 e α2 nell’espressione di σ2

σ2 = 1(µ1−µ2)2

[σ21 (µ− µ2)2 + σ22 (µ1 − µ)2 +

+2ρσ1σ2 (µ− µ2) (µ1 − µ)]

= 1(µ1−µ2)2

{(σ21 + σ22 − 2ρσ1σ2

)µ2 − 2[σ21µ2 + σ22µ1 −

−ρσ1σ2 (µ1 + µ2)]µ+(σ21µ

22 + σ22µ

21 − 2ρσ1σ2µ1µ2

)}

ovvero

σ2 =1

D

(Aµ2 − 2Bµ+C

)=

1

(µ1 − µ2)2

(Aµ2 − 2Bµ+C

)

doveA =1

∆

(σ21 + σ22 − 2ρσ1σ2

), B =

1

∆

(σ21µ2 + σ22µ1 − ρσ1σ2 (µ1 + µ2)

),

17

C =1

∆

(σ21µ

22 + σ22µ

21 − 2ρσ1σ2µ1µ2

), D = AC−B2 = 1

∆(µ1 − µ2)

2,

∆ = (σ1σ2)2(1− ρ2

).

• Questa è l’equazione di una parabola. Se prendiamo la radice quadrata

σ =1

µ1 − µ2

√Aµ2 − 2Bµ+C

otteniamo l’equazione di un’iperbole nel piano scarto quadratico medio-rendimento atteso

18

σ

µ

0 1

0

AA

M M

B B

(d )(c)

(a ) (b)

B

M

A

1

45°

σ 1

σ 2

σ

α1

σ

µ 1

µ 2α 1

µµ 1

µ 2σσ 1σ 2

19

La parte (a): il grafico dello scarto quadratico medio del portafoglio infunzione di α1

σ =√α21σ

21 + (1− α1)

2 σ22 + 2α1 (1− α1) ρσ1σ2

La parte (c): il grafico dell’equazione µ = α1 (µ1 − µ2) + µ2.La parte (b) è una retta inclinata a 45o

Perfetta correlazione positiva tra i rendimenti

• Se i rendimenti sono perfettamente correlati in senso positivo, tra i rendimentidei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare positiva,R1s = a+ bR2s, dove a e b sono delle costanti come pure tra i rendimentiattesi

µ1 =∑

πs (a+ bR2s) = a+ bµ2

20

• Lo scarto quadratico medio del titolo 1 è

σ1 =√E [(a+ bR2s)− (a+ bµ2)]

2 = bσ2

mentre per la covarianza

σ12 = E [(a+ bR2s)− (a+ bµ2)] [R2s − µ2] = bσ22

Il coefficiente di correlazione è

ρ =σ12σ1σ2

=bσ22bσ22

= 1

Se ρ = 1, la varianza del portafoglio è

σ2 = α21σ21 + (1− α1)

2 σ22 + 2α1 (1− α1) ρσ1σ2= [α1σ1 + (1− α1)σ2]

2

e perciò lo scarto quadratico medio del portafoglio è

σ = α1σ1 + (1− α1)σ2

Poiché µ = α1 (µ1 − µ2) + µ2, sostiuendo si ha

σ =µ− µ2µ1 − µ2

(σ1 − σ2) + σ221

La frontiera dei portafogli efficienti è una retta

22

σ

σ

µ µ

0 1

0

AA

B B

(d )(c)

(a ) (b)

B

A

1

45°

σ 1

σ 2

σ

α 1

µ 1

µ 2

µ 1

µ 2α 1

σ 2 σ 1 σ

23

• Unica differenza: nella parte (a) è rappresentata una retta invece che un’i-perbole. Se tra i rendimenti dei due titoli esiste una perfetta correlazionepositiva, ogni aumento di α1 comporta un aumento del rendimento attesodel portafoglio ma anche un aumento della variabilità

Perfetta correlazione negativa tra i rendimenti

• Tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazionelineare negativa, R1s = a− bR2s. Il rendimento atteso del titolo 1 è

µ1 =∑

πs (a− bR2s) = a− bµ2

mentre il suo scarto quadratico medio è

σ1 =√E [(a− bR2s)− (a− bµ2)]

2 = bσ2

La differenza importante rispetto all’altro caso polare è data dalla covarianza

σ12 = E [(a− bR2s)− (a− bµ2)] [R2s − µ2] = −bσ22 24

Quando il rendimento di un titolo si trova al di sopra della propria media, ilrendimento dell’altro titolo è minore della sua media.

• Il coefficiente di correlazione

ρ =σ12σ1σ2

=−bσ22bσ22

= −1

Se ρ = −1, la varianza del portafoglio è

σ2 = α21σ21 + (1− α1)

2 σ22 + 2α1 (1− α1) ρσ1σ2

= [α1σ1 − (1− α1)σ2]2

Dobbiamo prendere il valore assoluto del termine in parentesi. Per definizionelo scarto quadratico medio è positivo

σ = |α1σ1 − (1− α1)σ2|

Se α1σ1 − (1− α1)σ2 > 0 e perciò se

α1 >σ2

σ1 + σ225

lo scarto quadratico medio è

σ = α1σ1 − (1− α1)σ2 = (σ1 + σ2)α1 − σ2

mentre per valori di α1 <σ2

σ1+σ2, lo scarto quadratico medio è

σ = (1− α1)σ2 − α1σ1 = σ2 − (σ1 + σ2)α1

Queste due rette si trovano nella parte (a)

26

σ

µ

0 1

0

AA

B B

(d )(c)

(a ) (b)

B

A

1

45°M

M

0

M

σ 1

σ

σ 2

α 1σ

µ 1

µµ 1

µ 2µ 2

α 1 σ 2 σ 1σ

27

In questo caso è possibile ridurre a zero lo scarto quadratico medio delportafoglio. Il valore di α1 per cui ciò avviene è

σ2σ1 + σ2

La possibilità di azzerare la variabilità dei rendimenti è dovuta alla loro per-fetta correlazione negativa. Anche la parte (d) è costituita da una spezzatala cui equazione è

σ = |α1σ1 − (1− α1)σ2| =∣∣∣∣∣µ− µ2µ1 − µ2

(σ1 + σ2)− σ2

∣∣∣∣∣

La frontiera dei portafogli efficienti è data dal tratto continuo MB. Tutti icasi intermedi per cui −1 < ρ < 1 sono compresi tra i due analizzati.

28

σ

µ

A

B

Rµ

R

ρ = −1

ρ =

− 0,

5ρ

= 0

ρ =

0,5

ρ =

1

A mano a mano che la correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce,è possibile ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quantopiù i rendimenti dei due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relati-vamente alle rispettive medie, tanto più è possibile combinarli nel portafoglioin modo da attenuare la loro variabilità.

29

La frontiera dei portafogli con un titolo privo di

rischio

• La frontiera efficiente è una retta. Componiamo un portafoglio in cui unaquota α0 della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quotaresidua 1− α0 in un portafoglio A composto soltanto da titoli rischiosi

µ = α0R0 + (1− α0)µA

mentre il suo scarto quadratico medio è

σ =√(1− α0)

2 σ2A = (1− α0)σA

Dall’ultima equazione otteniamo un’espressione per la quota di ricchezzainvestita nei titoli rischiosi:

1− α0 =σ

σA

30

Se sostituiamo questa espressione nell’equazione del rendimento atteso

µ =

(

1− σ

σA

)

R0 +σ

σAµA =

= R0 +µA −R0

σAσ

In presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra µ e σ è una retta.

31

σ

T

µ

R0

AB

32

Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il tito-lo privo di rischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, A, B o T .L’equazione che prima abbiamo ricavato si riferisce alla retta R0A.

• Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che sitrovano lungo la retta R0B a quelli che si trovano sulla R0A

• Se indichiamo questo portafoglio con T , la frontiera efficiente in presenza diun titolo privo di rischio assume la seguente forma

µ = R0 +µT −R0

σTσ

L’equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare µT eσT , finché cioè non conosciamo la composizione del portafoglio di tangenza.

33

La derivazione formale della frontiera

• Se accanto ai due titoli rischiosi ce n’è un terzo che offre un rendimentocerto, R0, il rendimento atteso di un portafoglio è

µ = α0R0 + α1µ1 + α2µ2 = R0 + α1 (µ1 −R0) + α2 (µ2 −R0)

perché∑αi = 1.

• L’equazione della varianza rimane tuttavia inalterata perché la varianza deltitolo con il rendimento certo è ovviamente nulla.

• La ricerca del portafoglio con varianza minima a parità di rendimento attesosi traduce nella soluzione del seguente problema di minimo

minα1,α2

1

2σ2 =

1

2

(α21σ

21 + α22σ

22 + 2ρσ1σ2α1α2

)

con il vincolo

µ = α1 (µ1 −R0) + α2 (µ2 −R0) +R0 34

Formando il lagrangiano

L = 1

2σ2 + λ [µ− (α1 (µ1 −R0) + α2 (µ2 −R0) +R0)]

e derivando

∂L∂α1

= α1σ21 + ρα2σ1σ2 − λ (µ1 −R0) = 0

∂L∂α2

= ρα1σ1σ2 + α2σ22 − λ (µ2 −R0) = 0

Il portafoglio di tangenza

• Per determinare l’equazione della frontiera, sfruttiamo l’equazione della fron-tiera prima ottenuta

µ = R0 +µT −R0

σTσ

in cui il coefficiente angolare è dato dal rapporto µT−R0σT 35

• Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove α1+α2 =

1.

1. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per α1 e α2

α1 = λ[σ22 (µ1 −R0)− ρσ1σ2 (µ2 −R0)

]

α2 = λ[σ21 (µ2 −R0)− ρσ1σ2 (µ1 −R0)

]

dove ∆ = σ21σ22

(1− ρ2

).

Poiché nel portafoglio di tangenza α1 + α2 = 1, sommando le dueprecedenti soluzioni otteniamo

1 = λ (B −AR0)

sicché il λ del portafoglio di tangenza è

λ =1

B −AR0

36

2. Determiniamo il rendimento atteso per il portafoglio di tangenza. Sosti-tuiamo α1 e α2 nel rendimento atteso del portafoglio di tangenza

µT = α1µ1 + α2µ2 = α1 (µ1 − µ2) + µ2

= λ[σ22 (µ1 −R0)− ρσ1σ2 (µ2 −R0)

](µ1 − µ2) + µ2

=1

B −AR0

[σ22 (µ1 −R0)− ρσ1σ2 (µ2 −R0)

](µ1 − µ2) + µ2

=C −BR0B −AR0

=⇒ µT −R0 =AR20 − 2BR0 +C

B −AR0

3. Determiniamo la varianza del portafolglio di tangenza

(a) Moltiplichiamo la prima equazione per α1, la seconda per α2 e som-miamo

α21σ21+α

22σ22+2ρσ1σ2α1α2 = λ [α1 (µ1 −R0) + α2 (µ2 −R0)] =⇒

σ2 = λ (µ−R0) e perciò λ =σ2

µ−R0

37

(b) Uguagliando questa espressione per λ con quella prima ricavata otte-niamo

σ2TµT −R0

=1

B −AR0ovvero

µT −R0 = σ2T (B −AR0)

4. L’ultimo passo consiste nel porre in relazione l’eccesso di rendimento ela varianza del portafolglio di tangenza per determinare il coefficienteangolare della frontiera efficiente. Poiché

µT−R0 =A (R0)

2 − 2BR0 +C

B −AR0=⇒ B−AR0 =

A (R0)2 − 2BR0 +C

µT −R0

Sostituendo, otteniamo il coefficiente angolare

µT −R0 = σ2TA (R0)

2 − 2BR0 +C

µT −R0=⇒

µT −R0σT

=

√√√√A (R0)2 − 2BR0 +C

µT −R038

Perciò, l’equazione della frontiera è

µ = R0 ± σ√AR20 − 2BR0 +C

In presenza di un titolo privo di rischio, la frontiera dei portafogli con va-rianza minima è costituita da due rette che hanno una comune intercettapari a R0 e una pendenza che è pari al coefficiente di σ in valore assoluto.

σ

T

σTE

α 0 < 0µ

µT

R0

α 0 = 0

0 < α 0 < 1

α 0 = 1α 0 > 1

39

La frontiera di minima varianza è costituita dalle due retteR0T e R0E; dicui il tratto positivamente inclinato R0T costituisce la frontiera efficiente.

• Ogni portafoglio che appartiene a TR0E può essere visto come una combi-nazione lineare del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T . Inparticolare:

1. Nel punto T , tutta la ricchezza viene investita nei due titoli rischiosi (α0 =0);

2. In R0, tutta la ricchezza viene investita nel titolo privo di rischio (α0 = 1);

3. A destra di T , vi è una vendita allo scoperto del titolo privo di rischio(α0 < 0) il cui ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale,nel portafoglio rischioso T ;

40

4. Nel tratto R0E, vi è una vendita allo scoperto del portafoglio T , il cuiricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglioprivo di rischio (α0 > 1).

Il modello CAPM

• Passiamo dall’analisi delle scelte individuali all’analisi del funzionamento delmercato dei capitali esaminando l’equilibrio attraverso il modello CAPM.

• Il CAPM fa uso di ipotesi semplificatrici

1. Ogni investitore sceglie il proprio portafoglio massimizzando l’utilità

attesa. L’utilità attesa differisce da investitore a investitore ma dipende in

ogni caso soltanto da µ e σ2. Ciò equivale ad assumere che i rendimenti41

dei titoli seguano una distribuzione normale o che la funzione di utilità siaquadratica. Le scelte di portafoglio sono effettuate in base al criterio media-varianza.

2. Tutti gli investitori dispongono delle stesse informazioni e hanno le

stesse aspettative riguardo ai rendimenti futuri dei titoli e alla loro varia-bilità. Tutti gli investitori concordano sui rendimenti attesi dei titoli e sulleloro varianze e covarianze.

3. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale, ovvero tutte ledecisioni di acquisto e vendita dei titoli vengono prese nello stesso istante ehanno la medesima durata.

4. Tutti gli investitori assumono come dati i prezzi dei titoli.

5. Esiste un titolo non rischioso che può essere venduto o acquistato in

quantità illimitate.42

6. Non ci sono costi di transazione che gravano sugli scambi né imposte

(per esempio sui guadagni in conto capitale).

7. Le quantità disponibili di tutti i titoli sono fisse e, inoltre, ogni titolo èinfinitamente divisibile.

• Tralasciando la prima ipotesi, alle restanti molto spesso ci si riferisce dicendoche il mercato dei capitali, delle attività, è perfetto.

• Le prime due ipotesi dell’elenco precedente ci permettono di trarre l’impor-tante conclusione che i portafogli domandati da tutti gli individui si trovanosulla stessa frontiera efficiente, anche se naturalmente questi portafogli dif-feriscono tra loro.

43

µ

σ

1

2

3

P1

T

P3

LMC

R0

Benché le scelte di questi tre investitori siano diverse, tutte e tre si trovanosulla medesima frontiera. Questa conclusione discende dall’ipotesi aspetta-tive omogenee; poiché tutti gli investitori percepiscono lo stesso insieme di

44

opportunità e quindi lo stesso portafoglio di tangenza, la retta R0T è rap-presentativa dell’intero mercato e viene denominata linea del mercato deicapitali (lmc).

• Tutti i portafogli che si trovano sulla lmc possono essere rappresentati comecombinazioni lineari del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T.Ne discende che tutti gli investitori avranno la stessa composizione di por-tafoglio di titoli rischiosi. Tutti gli investitori distribuiranno la loro ricchezzatra i titoli rischiosi secondo le proporzioni fissate dal portafoglio di tangenza(Teorema di separazione)

• Poiché la domanda di titoli rischiosi di ciascun investitore riflette le pro-porzioni del portafoglio di tangenza, anche la domanda complessiva avrà lemedesime proporzioni. Domanda e offerta in equilibrio sono uguali; anchel’offerta avrà perciò in equilibrio la composizione del portafoglio di tangenza.Questa osservazione ci consente di derivare la relazione più importante delmodello capm.

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• Questa relazione determina il rendimento atteso di un qualsiasi titolo o por-tafoglio come somma del rendimento del titolo privo di rischio e di un premioper il rischio.

• Questa relazione è valida per tutte le attività, sia che appartengano alla lmcsia che non vi appartengano. In equilibrio tutti i titoli sono rappresentati neiportafogli individuali e quindi nel portafoglio di mercato, inteso come la mediadei singoli portafogli: se un titolo non venisse domandato, il suo prezzo ca-drebbe facendo salire il rendimento fino a che non divenisse sufficientementeattraente da venir incluso nel portafoglio di mercato.

Il portafoglio di mercato

• Definiamo con W i la ricchezza individuale dell’individuo i e con αij laproporzione di questa ricchezza investita nel titolo j.

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• La ricchezza totale, WM , è la somma delle ricchezze individuali

N∑

1

W i =WM

In equilibrio domanda e offerta di ciascun titolo debbono uguagliarsi. Se αMjè la quota del titolo j nella ricchezza totale, l’equilibrio di mercato per iltitolo j comporta

N∑

i=1

αijWi = αMj WM

I coefficienti αMj sono i pesi del portafoglio di mercato. Li scriviamo come

αMj =N∑

i=1

αijW i

WM

Il portafoglio di mercato è semplicemente la media ponderata dei portafogliindividuali, dove i pesi sono dati dalla ricchezza di ciascun investitore rispettoalla ricchezza totale.

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• Se sommiamo gli αMj

αM1 + αM2 =N∑

i=1

(αi1 + αi2)W i

WM=

N∑

i=1

(1− αi0)W i

WM=

= 1−N∑

i=1

αi0W i

WM

Il termine∑iαi0W

i rappresenta la domanda netta (cioè la somma algebricadelle domande individuali) del titolo non rischioso. Identificando questo titolocon i prestiti tra gli investitori, in equilibrio la sua domanda netta deve esserepari a zero perché vi è uguaglianza tra domanda e offerta di prestiti e perciòad ogni creditore corrisponde un debitore.

• In equilibrio deve essere

αM1 + αM2 = 1

Se poniamo pari a 1 la ricchezza totale esistente WM , la condizione diceche in equilibrio questa ricchezza viene domandata dagli investitori senza

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che si verifichino eccessi di domanda o di offerta. Gli αMj indicano in qualiproporzioni questa ricchezza viene ripartita tra i due titoli dall’insieme degliinvestitori ovvero la composizione del portafoglio di mercato.

• Nelle ipotesi del CAPM tutti i portafogli individuali sono formati allo stessomodo per ciò che riguarda i titoli rischiosi: in tutti i portafogli i titoli ri-schiosi entrano nelle stesse proporzioni e questa è anche la composizione delportafoglio di mercato.

• Il portafoglio di tangenza può differire da investitore a investitore perché di-pende dalle aspettative individuali sui rendimenti dei titoli rischiosi e sullaloro variabilità. Ma se, come nelle ipotesi del CAPM, tutti nutrono le stesseaspettative su rendimenti attesi, varianze e covarianze, il portafoglio di tan-genza risulterà uguale per tutti. Tutti gli investitori domanderanno i titolirischiosi nelle stesse proporzioni e in equilibrio, per l’uguaglianza di domandae offerta, questa sarà anche la composizione del portafoglio di mercato.

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• Qualunque siano le preferenze degli investitori, le proporzioni con cui i titolirischiosi entrano nei portafogli individuali rimangono invariate.

• Il problema di scelta del singolo investitore. In sintonia con l’analisi media-varianza, la sua funzione di utilità attesa dipenderà positivamente dal rendi-mento atteso e negativamente dalla varianza

E (U) = V(µ, σ2

)

= V [α1 (µ1 −R0) + α2 (µ2 −R0) +R0,

α21σ21 + α22σ

22 + 2α1α2ρσ1σ2]

Obiettivo dell’investitore è di massimizzare questa funzione scegliendo le due

quote di portafoglio α1 e α2. Le condizioni del primo ordine sono

∂V

∂α1= V1 (µ1 −R0) + 2V2

(α1σ

21 + α2ρσ1σ2

)= 0

∂V

∂α2= V1 (µ2 −R0) + 2V2

(α2σ

22 + α1ρσ1σ2

)= 0

50

Ricaviamo2V2V1

dalle due equazioni appena scritte

2V2V1

= − µ1 −R0α1σ

21 + α2ρσ1σ2

= − µ2 −R0α2σ

22 + α1ρσ1σ2

Risolvendo per il rapporto tra α1 e α2 , esso può essere scritto come

α1α2

=σ22 (µ1 −R0)− ρσ1σ2 (µ2 −R0)

σ21 (µ2 −R0)− ρσ1σ2 (µ1 −R0)

Il rapporto α1/α2 ci mostra qual è la composizione ottimale del portafogliodel singolo investitore: questa composizione non dipende dalla particolarefunzione di utilità, ossia dalla forma di V (·). Non dipende dal particolareatteggiamento del singolo verso il rischio. Per l’ipotesi di omogeneità delleaspettative, il rapporto α1/α2 è uguale per tutti gli investitori.

• Il rapporto α1/α2 conferma anche un altro risultato, che in equilibrio il

portafoglio di mercato ha la stessa composizione del portafoglio di

tangenza. Esso è identico a quello ricavato in base al criterio media-varianza.

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La linea di valutazione delle attività (SML)

• La conclusione appena raggiunta ha due corollari importanti.

• Il primo è che, siccome tutti gli investitori hanno la stessa composizione diportafoglio relativamente ai titoli rischiosi, ciò che distingue un investitoredall’altro è la ripartizione della ricchezza tra il titolo non rischioso e i titolirischiosi (teorema di separazione) .

• La scelta di portafoglio può essere separata in due stadi distinti:

1. trovare la composizione ottimale di portafoglio riguardo ai soli titoli rischiosi;questa scelta conduce agli stessi risultati per tutti gli investitori e perciò èindipendente dalle preferenze;

2. trovare la ripartizione ottimale della ricchezza tra titoli rischiosi e titolo nonrischioso; questa ripartizione dipende dalle preferenze individuali.

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• Il secondo corollario sfrutta di nuovo la conclusione che il portafoglio di mer-cato coincide in equilibrio con quello di tangenza per pervenire ad un’equa-zione che determina il tasso di rendimento atteso per tutti i titoli e nonsoltanto di quelli che appartengono alla lmc.

• Calcoliamo la covarianza tra il titolo 1 e il portafoglio di mercato

σ1M = E (R1 − µ1)[αM1 R1 + αM2 R2 −

(αM1 µ1 + αM2 µ2

)]=

= αM1 σ21 + αM2 ρσ1σ2

dove l’apice M ci ricorda che gli α sono riferiti al portafoglio di mercato.

• Utilizziamo le condizioni del primo ordine prima determinate

∂V

∂α1= V1 (µ1 −R0) + 2V2

(αM1 σ21 + αM2 ρσ1σ2

)= 0

∂V

∂α2= V1 (µ2 −R0) + 2V2

(αM2 σ22 + αM1 ρσ1σ2

)= 0

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Moltiplichiamo la prima per αM1 , la seconda per αM2 e sommiamo

V1 (µM −R0) + 2V2σ2M = 0 =⇒ V2

V1= −µM −R0

2σ2M

Sostituendo

E (Ri)−R0 = [E (RM)−R0]σiMσ2M

; i = 1, 2

Il rapporto σiM/σ2M è il coefficiente di regressione di Ri su RM ; lo indiche-remo con βi.

E (Ri) = R0 + [E (RM)−R0]βi

per i = 1, 2. Essa è nota come linea di valutazione delle attività (sml, Secu-rity Market Line).

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SML

E(R )

E(R )

R

1

E(R ) - R

β

M

i

0

i

M 0

• Essa afferma che il tasso di rendimento atteso di qualsiasi titolo o portafoglio

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titoli, sia efficiente che non efficiente, è pari in equilibrio al tasso di rendimentodel titolo non rischioso più un premio per il rischio.

• A sua volta il premio per il rischio è composto di due parti: l’eccesso deltasso di rendimento atteso del portafoglio di mercato e il coefficiente diregressione βi. Il primo termine è evidentemente uguale per tutti i titoli:corrisponde alla pendenza della sml. Il secondo varia da titolo a titolo; poichéβi = Cov (Ri, RM) /Var (RM), esso è tanto maggiore quanto più il tassodi rendimento del titolo considerato tende a muoversi in sincronia con il tassodi rendimento del portafoglio di mercato, ovvero quanto più forte e positivoè il “comovimento” tra i due tassi di rendimento.

• Un esempio. Due titoli, 1 e 2, che offrono lo stesso rendimento atteso inlivello (non come tasso), E (z1s) = E (z2s). Il titolo 1 ha un rendimento cheè positivamente correlato con quello del portafoglio di mercato, mentre quellodel titolo 2 è negativamente correlato con quello del portafoglio di mercato,cioè β1 > 0 e β2 < 0. Per rendere concretamente l’idea, si può pensare

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che il rendimento del titolo 1 è elevato quando l’economia è in espansionementre quello del titolo 2 è elevato quando l’economia è in depressione. Sesi valuta il rendimento in termini di utilità marginale, possiamo dire che unaunità addizionale del titolo 1 vale meno di una unità addizionale del titolo2 perché nel primo caso il rendimento del titolo è maggiore quando già ilreddito dell’economia è elevato.

• Siccome il titolo 2 vale di più, la sua domanda risulterà relativamente piùalta di quella del titolo 1 e il suo prezzo sarà maggiore, PA

2 > PA1 . Poiché i

due titoli hanno lo stesso rendimento atteso, ma il prezzo del titolo 2 è piùelevato, il tasso di rendimento del titolo 2 sarà minore di quello del titolo 1,E (z2s)

PA2

= E (R2s) < E (R1s) =E (z1s)

PA1

. Affinché tutti e due i titoli siano

domandati in equilibrio, occorre che il titolo 1 offra un tasso di rendimentoatteso più alto perché la sua struttura dei rendimenti è meno attraente diquella del titolo 2.

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Il mercato dei titoli

• La rischiosità di un titolo o di un portafoglio non può essere in generalemisurata dalla varianza o dallo scarto quadratico medio del rendimento ma daquanto questo rendimento tende a muoversi in sincronia con quello dell’interomercato, ovvero con il rendimento del portafoglio di mercato

• Due sono le relazioni principali del capm. La prima riguarda la linea delmercato dei capitali (lmc)

E (RP ) = R0 +E (RM)−R0

σMσP

dove P è un portafoglio efficiente, che giace cioè sulla lmc, M è il portafogliodi mercato e R0 è il rendimento del titolo non rischioso.

• L’altra relazione importante del capm è la linea di valutazione delle attività(sml)

E (RA) = R0 + [E (RM)−R0]βA 58

dove A è un titolo o portafoglio qualunque, sia esso efficiente o no. Possiamoriscrivere l’equazione della sml come

E (RA) = R0 +E (RM)−R0

σM

σAMσM

Le due equazioni presentano una struttura assai simile. In ambedue il rendi-mento atteso di una attività viene espresso come somma del rendimento deltitolo non rischioso e di un premio per il rischio.

• A sua volta il premio per il rischio può essere scomposto in due parti: una

prima parteE (RM)−R0

σM, uguale nelle due equazioni è abitualmente de-

nominata prezzo di mercato del rischio o premio per unità di rischio erappresenta di quanto aumenta il rendimento atteso dell’attività considerataquando viene aumentato di una unità il rischio; l’altra parte dà conto appun-to del rischio e differisce nelle due equazioni. Tutt’e due le equazioni hannouna struttura del tipo:

Rendim. atteso = Rendim. non rischioso+ Premio rischio59

dove

Premio rischio = Prezzo rischio× Ammontare rischio

Rimane da spiegare perché la definizione di rischio differisca nei due casi.

• Nel caso di attività efficienti la definizione di rischio coincide con lo scartoquadratico medio. Prendiamo ad esempio il portafoglio di mercato che èchiaramente efficiente (è identico al portafoglio di tangenza del singolo inve-stitore); se poniamo A =M, σAM diviene σ2M sicché la misura del rischio

è σAMσM

=σ2MσM

= σM . La stessa conclusione vale per tutti i portafogli effi-cienti: questi sono infatti formati per una quota α0 dal titolo privo di rischioe per la quota residua 1 − α0 dal portafoglio di mercato. Si conclude cheσAMσM

= (1− α0)σM , il rischio corrisponde cioè ad una quota dello scartoquadratico medio del portafoglio di mercato.

• Consideriamo ora un’attività qualsiasi, efficiente o meno che sia. Qual èla misura rilevante del rischio in questo caso? Siccome tutti gli investitori

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detengono il portafoglio di mercato il cui rischio è misurato dal relativo scartoquadratico medio, la misura appropriata del rischio di un’attività qualsiasi ècostituita dalla variazione che subisce σM quando si varia la detenzione diquesta attività.

• Se continuiamo a supporre per semplicità che vi siano solo due titoli rischiosi,σM è

σM =(α21σ

21 + α22σ

22 + 2α1α2σ12

)1/2

dove le quote α1 e α2 sono riferite al portafoglio di mercato.

• Se variamo la quota α1 del titolo 1 nel portafoglio di mercato, la variazione

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conseguente di σM è

∂σM∂α1

=∂(α21σ

21 + α22σ

22 + 2α1α2σ12

)1/2

∂α1=

=(1/2)

(2α1σ

21 + 2α2σ12

)

σM=

=σ1MσM

Il rischio complessivo σA attribuibile ad un’attività viene abitualmente sud-diviso in due parti: σAM

σMrappresenta il cosiddetto rischio sistematico o non

diversificabile, mentre il rischio residuo σA−σAMσM

viene detto non sistematicoo diversificabile.

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LMC

AP

σσΑ = σΖσΑΜσΜ

E(RA)=E(RP)

µ

E(R)=R0

= σP

σ

M

Z

E(R)

Figura 1:

L’attività A è chiaramente inefficiente perché si trova al di sotto della lmc.Non tutto il rischio σA viene remunerato dal mercato ma solo la componentesistematica. Viceversa, l’attività P è efficiente e tutto il rischio σP viene re-munerato. Se invece guardiamo alla linea di valutazione delle attività tutte e

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due le attività si trovano sulla sml . Il motivo è che in questo caso la variabilesull’asse delle ascisse βi =

σiMσ2M

è una misura del rischio sistematico, e le due

attività hanno lo stesso livello di rischio sistematico.

SML

P

βi

E (RA)= E (R

P)

E (RZ)= R 0

βA

=βP

E (Ri)

A

ME (R M)

1

Z

Sia la lmc che la sml ci dicono che soltanto la componente sistematica del64

rischio è rilevante ai fini della determinazione del rendimento (atteso) diun’attività. L’unica differenza è che nel grafico della lmc il rischio siste-matico di un’attività non è misurato da tutta l’ascissa ma solo dal trattoorizzontale che si trova tra il rendimento atteso dell’attività considerata e lalmc.

• Che la lmc e la sml forniscano lo stesso messaggio a proposito del rischio losi può verificare anche guardando alle due equazioni che le definiscono,

LMC =⇒ E (RP )−R0σP

=E (RM)−R0

σM

SML =⇒ E (RA)−R0σAM/σM

=E (RM)−R0

σM

Possiamo scrivere in forma compatta queste due equazioni nel seguentemodo:

E (RP )−R0σP

=E (RM)−R0

σM=E (RA)−R0σAM/σM

Per qualunque attività, efficiente o inefficiente, il mercato paga lo stessopremio per unità di rischio sistematico.

65

Il titolo con β = 0

• Guardiamo all’attività Z. Come risulta dal grafico, questa attività ha unrendimento uguale a quello del titolo non rischioso perché il suo rischio siste-matico è nullo. Siccome Z non ha rischio sistematico, può essere considerataequivalente ad un’attività priva di rischio. Sfruttando la presenza di attivitàcome Z, possiamo costruire una versione del CAPM in cui non vi è alcuntitolo che fornisce un rendimento certo pari a R0.

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B

σσΒσΖσΒΜσΜ

E(RB)

µ

E(RZ)

σΜ

M

Z

E(RM)

Sia M il portafoglio di mercato. Conducendo la tangente alla frontiera diminima varianza nel punto M e poi tracciando una retta orizzontale fino aincontrare di nuovo l’iperbole, si individua l’attività Z che ha correlazionezero con il portafoglio di mercato.

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• Siccome Z ha un rischio sistematico nullo, può di fatto svolgere lo stessoruolo del titolo privo di rischio; in particolare, il premio per il rischio deveessere calcolato rispetto a Z.

• Determiniamo in primo luogo il premio per unità di rischio per il portafogliodi mercato; questo può essere fatto calcolando la pendenza della E(RZ)Mnel punto M :

E (RM)−E (RZ)

σM

68

σ

µ

M

Z

1

2

P1

P 2

Prendiamo ora una qualsiasi attività come B; il premio per unità di rischio(sistematico) per questa attività equivale in termini grafici alla pendenza della

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E(RZ)M nel punto B

E (RB)−E (RZ)

σBM/σM

Uguagliando le ultime due espressioni:

E (RB)−E (RZ)

σBM/σM=E (RM)−E (RZ)

σM=⇒

E (RB) = E (RZ) +E (RM)−E (RZ)

σM

σBMσM

La relazione principale del capm è immutata anche in assenza di un titolocon un rendimento certo.

• È bene però sottolineare due punti che sono una conseguenza immediata delfatto che in questa versione del CAPM non vi è un titolo privo di rischio.Il primo è che la retta E(RZ)M non rappresenta l’insieme dei portafoglidisponibili agli investitori: laE(RZ)M non sostituisce la CML proprio perchénon vi è alcun titolo privo di rischio. Gli investitori scelgono piuttosto in base

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alle loro preferenze un’attività che si trova sul tratto crescente dell’iperbole,cioè sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi.

• La figura illustra la situazione di due individui: l’investitore 1 sceglie il por-tafoglio P1 avendo così una posizione lunga in M e Z; l’investitore 2 sceglieil portafoglio P2 con una posizione corta in Z e lunga in M .

• Si noti che ogni portafoglio può essere ottenuto combinando linearmente Me Z. Dalla precedente equazione, ricordando che βi =

σiMσ2M

E (RB) = (1− βB)E (RZ) + βBE (RM)

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σ

µ

M2

Z1

M1

Z2

Figura 2:

• Il secondo punto che va sottolineato è che abbiamo individuato l’attività Zassumendo che il portafoglio di mercato sia M. Questo modo di procedereè però rovesciato rispetto a quello che abbiamo prima seguito in presenza diun titolo privo di rischio. In quest’ultimo caso siamo partiti dal titolo privodi rischio per identificare il portafoglio di mercato. In assenza di un titolo

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privo di rischio, siamo invece partiti dal portafoglio di mercato per individuarel’attività Z con esso incorrelata: di conseguenza, esiste un’attività con unrischio sistematico nullo per ogni possibile portafoglio di mercato, ovvero perogni possibile portafoglio efficiente.

• Per esempio, al portafoglio di mercato M1 corrisponde l’attività Z1 e alportafoglio di mercato M2 corrisponde l’attività Z2. La versione del CAPMsenza un titolo privo di rischi soffre così di un’ambiguità che non può essereeliminata finché non siamo in grado di identificare il “vero” portafoglio dimercato.

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