Extremidade Sentido Direção -...

Matemática Aplicada II - 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑎 𝑅𝑖𝑡𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑣𝑎𝑙ℎ𝑜 33

α

vv

Origem

ExtremidadeSentido

Direção

Módulo ou tamanho

Capítulo 2 – Vetores

1 Grandezas Escalares e Vetoriais

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais.

As grandezas escalares são aquelas que ficam definidas por apenas um número real, acompanhado de uma unidade adequada. Exemplos:

comprimento (m), área (m2), massa (kg) e temperatura (oC).

O termo vetor é usado para indicar uma grandeza vetorial. Um vetor

é caracterizado por seu comprimento e sua direção, acompanhado de uma unidade adequada. Exemplos: deslocamento (m), velocidade (m/s) e força (kN).

O vetor é geralmente representado por um segmento orientado, isto é, escolhe-se um sentido de percurso considerado positivo o qual é indicado

por uma seta.

Vetor Nulo

O vetor nulo, 0 , tem comprimento zero e é o único vetor que não tem direção.

Notação

O nome do vetor em negrito(v)

seta acima do nome do vetor (𝑣 ).


2. Vetores Equivalentes

Vetores que possuem o mesmo comprimento e a mesma direção são vetores equivalentes. A diferença entre eles é o ponto de origem.

3. Vetor Posição

A representação particular de um vetor 𝑎 = 𝑂𝑃 da origem do

sistema de coordenadas O até o ponto 𝑃(𝑎1, 𝑎2) ∈ ℜ2 ou 𝑃(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ∈ ℜ3

é chamada de vetor posição do ponto 𝑃. As coordenadas do ponto 𝑃

são chamadas de componentes escalares do vetor 𝑎 e escrevemos

𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)

Exemplos

1) Localize os pontos 𝑃(−1 ,0,2) 𝑒 𝑄(0,3,2) no sistema de coordenadas 𝑥𝑦𝑧 e

determine os vetores posição destes pontos.

𝑂𝑃 = (−1 ,0,2)

𝑂𝑄 = (0,3,2)

v

x

y

a

b

𝑃(−1 ,0,2)

𝑄(0,3,2)

𝑂

𝑥

𝑦

𝑧

3

−1

2


4. Operações com Vetores

4.1. Soma

Suponha que uma partícula se move do ponto 𝑂 até o ponto 𝐴, então

seu descolamento é representado pelo vetor 𝑂𝐴 = 𝑎 , indicado na figura

abaixo. Depois, a partícula muda de direção e se move de 𝐴 até 𝐵, como

indicado pelo vetor 𝐴𝐵 = �� . A combinação dos efeitos destes deslocamentos

causa um deslocamento final na partícula de 𝑂 até 𝐵. O vetor resultante

𝑂𝐵 = 𝑎 + �� é chamado de soma dos vetores 𝑂𝐴 e 𝐴𝐵

4.2. Multiplicação por escalar

Se 𝑐 é um número real (grandeza escalar) e 𝑎 é um vetor, então o

múltiplo escalar 𝑐 𝑎 é um vetor de comprimentos |𝑐| vezes o comprimento

de 𝑎 , cuja direção é a mesma de 𝑎 se 𝑐 >0 e de direção oposta se 𝑐 <0. Se

c = 0 ou 𝑎 =0 , então 𝑐 𝑎 = 0 .

Multiplicação por escalar

Seja um vetor 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ∈ ℜ3 e c um número real. Define-se

𝑐 𝑎 = (𝑐 𝑎1 , 𝑐 𝑎2 , 𝑐 𝑎3)

Soma

Sejam dois vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) ∈ ℜ3, define-se

𝑎 + �� = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3)

𝑎

��

𝑎

��

𝑎 𝑐 𝑎 c >0

𝑐 𝑎 c <0

A

B


4.3. Subtração

Em particular, o vetor −�� = (−1) �� é um vetor de mesmo comprimento

de �� porém, com direção oposta e é chamado de negativo de �� . Assim o

vetor diferença de 𝑎 e �� significa: 𝑎 − �� = 𝑎 + (−�� )

Exemplos

1) Copie os vetores da figura abaixo e use-os para desenhar os seguintes

vetores:

a) �� + 𝑣 b) �� − 𝑣 c) 2𝑣 d) �� + 𝑣 + ��

Propriedades

Sejam 𝑎 , 𝑏 vetores em ℜ𝑛 e c e d escalares então:

1) 𝑎 + �� = �� + 𝑎 2) 𝑎 + (�� + 𝑐 ) = (𝑎 + �� ) + 𝑐

3) 𝑎 + 0 = 𝑎 4) 𝑎 + (−𝑎 ) = 0

5) 𝑐 (𝑎 + �� ) = 𝑐 𝑎 + 𝑐 �� 6) (𝑐 + 𝑑) 𝑎 = 𝑐 𝑎 + 𝑑 𝑎

7) (𝑐𝑑)𝑎 = 𝑐 (𝑑 𝑎 ) 8) 1 𝑎 = 𝑎

Subtração

Sejam dois vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) ∈ ℜ3, define-se

𝑎 − �� = (𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3)

𝑎

��

𝑎

�� 𝑎

−�� 𝑜𝑢


2) Dados os vetores 𝑎 = (1, 3,−1) e �� = (2, 0, −4) encontre o vetor

𝑐 = −3𝑎 + 0.5 ��

𝑐 = −3 (1, 3, −1) + 0.5(2,0,4) = (−3,9,3) + (1,0,2) = (−2, 9, 5)

3) Dados os vetores 𝑎 = (2,−1,1) e �� = (3, 2,0) encontre o vetor 𝑐 = 2(𝑎 − �� )

𝑐 = 2 [ (2, −1,1) − (3,2,0)] = 2[ (2 − 3,−1 − 2, 1 − 0)] = 2(−1,−3,1)

𝑐 = (−2 ,−6, 2)

5. Vetores entre Dois Pontos

Sejam dois pontos 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) ∈ ℜ3 e 𝑎 e �� seus respectivos vetores posição.

𝑂𝐴 = 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

𝑂𝐵 = �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)

𝐴𝐵 = 𝑐 = �� − 𝑎 = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑏1, 𝑐2 − 𝑐1)

Sejam dois pontos 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) ∈ ℜ3

O vetor 𝑐 = 𝐴𝐵 com origem em 𝐴 e extremidade em 𝐵 é o vetor dado

por

𝑐 = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑏1, 𝑐2 − 𝑐1)

A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é o comprimento do vetor 𝐴𝐵 , ou

seja,

|𝐴𝐵 | = |𝑐 | = √(𝑏1 − 𝑎1)2 + (𝑏2 − 𝑎2)

2 + (𝑏3 − 𝑎3)2

OBS: |𝑎 − �� | = |�� − 𝑎 | = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐴 𝑒 𝐵

z

x y

𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2, 𝑏3)

𝑐

𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3)

𝑎

��

O

z

x y

𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)

𝑐

𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) 𝑎

��

O

𝑂𝐴 = 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

𝑂𝐵 = �� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)

𝐴𝐵 = 𝑐 = �� − 𝑎 = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑏1, 𝑐2 − 𝑐1)


Exemplos:

1) Sejam os pontos 𝐴(0, 2, 3) 𝑒 𝐵 (1, 0, 3):

a) Determine o vetor 𝑣 com origem em A e extremidade em B

𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = ((1 − 0), (0 − 2), (3 − 3) ) = (1,−2, 0)

b) Determine o vetor �� com origem em B e extremidade em A

�� = 𝐵𝐴 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝐵 = ((0 − 1), (2 − 0), (3 − 3) ) = (−1, 2,0)

2) Dados dois pontos 𝐴 𝑒 𝐵 encontre o vetor 𝑎 = 𝐴𝐵 . Desenhe o vetor 𝐴𝐵 e um vetor equivalente a ele com extremidade na origem

a) 𝐴(2,3) 𝑒 𝐵(−2,1)

𝑎 = 𝐴𝐵 = (−2 − 2, 1 − 3)

𝑎 = (−4,−2)

b) 𝐴(−1,−1) 𝑒 𝐵(−3, 4)

𝑎 = 𝐴𝐵 = (−3 − (−1), 4 − (−1))

𝑎 = (−2, 5)

c) 𝐴(0, 3, 1) 𝑒 𝐵(2, 3, −1)

𝑎 = (2 − 0, 3 − 3,−1 − 1)

𝑎 = (2, 0 , −2)

d) 𝐴(4,0,−2) 𝑒 𝐵(4,2,1)

𝑎 = (4 − 4, 2 − 0, 1 − (−2))

𝑎 = (0, 2 , 3)


6. Decomposição de vetores

Exemplos:

1) Encontre as componentes escalares e vetoriais e o comprimento dos

vetores indicados na figura abaixo.

𝑎) 𝑎 = 𝐴𝐵 = (−4 + 2, 1 − 3) = (−2,−2)

𝑎𝑥 = (−2,0); 𝑎𝑦 = (0,−2); |𝐴𝐵 | = √(−2)2 + (−2)2 = √8

𝑏) �� = 𝐶𝐷 = (3 − 2, 1 − 3) = (1,−2)

𝑏𝑥 = (1, 0); 𝑏𝑦

= (0,−2); |𝐶𝐷 | = √(1)2 + (−2)2 = √5

Sejam os vetores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝑎𝑥 = (𝑎1, 0,0), 𝑎𝑦 = (0, 𝑎2, 0) e

𝑎𝑧 = (0,0, 𝑎3) ∈ ℜ3. Então

𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧

𝑎 = (𝑎1, 0,0) + (0, 𝑎2, 0) + (0,0, 𝑎3)

𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

Onde os vetores 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 são chamados de

componentes (vetoriais) do vetor 𝑎 nas

direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente.

𝑎𝑧

𝑎𝑦

𝑎

𝑥

𝑦

𝑧

𝑎𝑥


𝑐) 𝑐 = 𝐸𝐹 = (1 + 1, 3 − 2) = (2, 1)

𝑐𝑥 = (2,0); 𝑐𝑦 = (0,1); |𝐸𝐹 | = √(2)2 + (1)2 = √5

𝑑) 𝑑 = 𝐺𝐻 = (2 − 1, 4 − 4) = (1,0)

𝑑𝑥 = (1,0); 𝑑𝑦

= (0,0); |𝐺𝐻 | = √(1)2 + (0)2 = 1

𝑒) 𝑒 = 𝐼𝐽 = (1 − 1,−1 + 2) = (0, 1)

𝑒𝑥 = (0,0); 𝑒𝑦 = (0,1); |𝐼𝐽 | = √(0)2 + (1)2 = 1

𝑓) 𝑓 = 𝐾𝐿 = (−3 + 2, 0 + 2) = (−1,2)

𝑓𝑥 = (−1,0); 𝑓𝑦 = (0,2); |𝐾𝐿 | = √(−1)2 + (2)2 = √5

𝑔) 𝑔 = 𝑀𝑁 = (−1 − 0, 1 − 0) = (−1,1)

𝑔𝑥 = (−1,0); 𝑔𝑦 = (0,1); |𝑀𝑁 | = √(−1)2 + (1)2 = √2

2. Represente os vetores dados e suas componentes no sistema de

coordenadas cartesinas. Calcule o comprimento de cada um deles.

𝑎) 𝑂𝑃 = 𝑣 = (−5, 0,2) 𝑣𝑥 = (−5,0,0)

𝑣𝑦 = (0,0,0)

𝑣𝑧 = (0,0,2)

|𝑂𝑃 | = √(−5)2 + (0)2 + (2)2

|𝑂𝑃 | = √29

𝑏) 𝑂𝑃 = 𝑣 = (4, 5, −4) 𝑣𝑥 = (4,0,0)

𝑣𝑦 = (0,5,0)

𝑣𝑧 = (0,0, −4)

|𝑂𝑃 | = √(4)2 + (5)2 + (−4)2

|𝑂𝑃 | = √57

𝑐) 𝑂𝑃 = 𝑣 = (0,−5, 5) 𝑣𝑥 = (0,0,0)

𝑣𝑦 = (0,−5,0)

𝑣𝑧 = (0,0,5)

|𝑂𝑃 | = √(0)2 + (−5)2 + (5)2

|𝑂𝑃 | = √50


y

xa

a =(-3,-4)

-3

-4

b(-1,2,7)z

x

y

+7

-1

+2

y

x

1

-1

v =(1,-1)

z

x

y

3

V =(3, 0, -2)

-2

7. Módulo ou Norma Euclidiana

A norma ou módulo de um vetor 𝑎 é o comprimento (tamanho,

magnitude) de qualquer uma de suas representações e é denotado pelos

símbolos ||𝑎 || ou |𝑎 |.

Se 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) ∈ ℜ𝑛 então:

|𝑎 | = √𝑎12 + 𝑎2

2 + ⋯+ 𝑎𝑛2

Exemplos:

1. Desenhe os vetores indicados no sistema cartesiano e calcule seu

módulo: a) a =(-3,-4)

|a |=√(-3)2+(-4)2 = √9+16=√25 = 5

b) v = (3, 0, −2)

|v |=√32+02+(-2)2=√9+4

|v | = √13

c) b = (−1, 2,7)

|b |=√(-1)2+22+72 = √1+4+49

|b |=√54

d) v = (3,−1)

|v |=√12+(-1)2 = √2

vetores :𝑣 = 𝐴𝐵 𝑒 �� = 𝐵𝐴 2. Sejam os pontos 𝐴(0, 2, 3) 𝑒 𝐵 (1, 0, 3) e os

a) Calcule os módulos dos vetores 𝑣 e ��

|𝑣 | = |�� | = √(1)2 + (−2)2 + (0)2 = √5

b) Calcule a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵

|𝐴𝐵 | = |𝑣 | = √5

8. Vetor unitário


a

ua

S

Um vetor unitário �� é um vetor cujo módulo é igual a 1, ou seja, |�� | = 1.

Vetor Unitário na direção de um vetor qualquer:

Se 𝑎 é um vetor qualquer, sendo |𝑎 | ≠ 1 e 𝑎 ≠ 0 , então o vetor unitário

na direção de 𝑎 é dado por:

Exemplos:

1) Calcule o vetor unitário na direção do vetor indicado

𝑎) 𝑣 = (−3, 3,1) → |𝑣 | = √(−3)2 + (3)2 + (1)2 = √19

𝑢𝑣 = (−3

√19 ,

3

√19 ,

1

√19 )

𝑏) 𝑣 = (4, 0, 3) → |𝑣 | = √(4)2 + (0)2 + (3)2 = √25 = 5

𝑢𝑣 = (4

5, 0,

3

5)

𝑐) 𝑣 = (−√2 , √2 ) → |𝑣 | = √(√2)2+ (−√2)

2= √4 = 2

𝑢𝑣 = (−√2

2,√2

2 )

2) Encontre um vetor �� que tenha a mesma direção do vetor (−2,4,2) porém de comprimento 6.

|𝑎 | = √(−2)2 + 42 + 22 = √24 = √4.6 = 2√6

Um vetor unitário na direção (−2,4,2) é

𝑢𝑎 = (−2

2√6,

4

2√6,

2

2√6) = (−

1

√6,2

√6,

1

1√6)

�� = 6 𝑢𝑎 = (−6

√6,12

√6,6

√6) = (−√6, 2√6, √6)

9. Representação de Vetores na Base Canônica

|a |= s

a = s . ua

ua =a

s → ua =

a

|a |

ua =a

|a |=

(a1,a2,…,an)

|a |= (

a1

|a |,a2

|a |,…,

an

|a |)


Considere os vetores unitários 𝑖 , 𝑗 e �� com direções no sentido

positivo dos eixos 𝑥 , 𝑦 e z , respectivamente, então:

𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) �� = (0,0,1)

Os vetores 𝑖 e 𝑗 formam uma base no plano 𝑥𝑦 e os vetores 𝑖 , 𝑗 e �� uma base no espaço 𝑥𝑦𝑧. Estas bases são chamadas de bases canônicas em

ℜ2 𝑒 ℜ3, respectivamente.

Qualquer vetor 𝑎 pode ser escrito como uma combinação linear dos

vetores da base de seu espaço vetorial.

Exemplos:

Se 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ∈ ℜ3 então podemos escrever:

𝑎 = (𝑎1, 0,0) + (0, 𝑎2, 0) + (0,0, 𝑎3)

𝑎 = 𝑎1(1, 0,0) + 𝑎2(0,1,0) + 𝑎3(0,0,1)

𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 ��

Se 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2) ∈ ℜ2 então podemos escrever:

𝑎 = (𝑎1, 0) + (0, 𝑎2)

𝑎 = 𝑎1(1, 0) + 𝑎2(0,1)

𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2 𝑗


1. Represente os vetores 𝑎 = (1, 2, −3), �� = (4,0,7) e 𝑣 = 2 𝑎 + 3�� na base canônica

𝑎 = 𝑖 + 2 𝑗 − 3�� e �� = 4 𝑖 + 7 ��

𝑣 = 2 𝑎 + 3�� = 2( 𝑖 + 2 𝑗 − 3�� ) + 3(4 𝑖 + 7 �� )

𝑣 = 2𝑖 + 4 𝑗 − 6 �� + 12 𝑖 + 21 �� = (2 + 12)𝑖 + (4 + 0)𝑗 + (−6 + 21) ��

𝑣 = 14𝑖 + 4 𝑗 + 15 ��

2. Calcule o módulo e as componentes do vetor 𝐹 que tem origem no ponto

𝐴(1, 4, 0) e extremidade no ponto 𝐵(4, 0, 4):

𝐹 = 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = (4 − 1) �� + (0 − 4) �� + (4 − 0) 𝑘 = 3 𝑖 − 4 𝑗 + 4 ��

𝐹 = (𝐹𝑥 , 𝐹𝑦, 𝐹𝑧) = ( 3,−4, 4)

𝐹𝑥 = 3 𝐹𝑦 = −4 𝐹𝑧 = 4

|𝐹 | = √(3)2 + (−4)2 + (4)2 = √41

3. Dados os pontos 𝐴(−1, 3) e 𝐵 (3, 1) calcule a distância entre A e B (𝑑𝐴𝐵) e

determine o vetor unitário na direção de 𝑣 = 𝐵𝐴

𝑣 = 𝐵𝐴 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝐵 = (−1 − 3) �� + (3 − 1) �� = −4 𝑖 + 2 𝑗

|𝑣 | = √(−4)2 + (2)2 = √20

𝑑𝐴𝐵 = |𝑣 | = √20

𝑢𝑣 = −4

√20 𝑖 +

2

√20 𝑗

10. Ângulo entre dois Vetores, Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Ângulo entre dois vetores

O ângulo 𝜃 entre dois vetores não nulos 𝑎 = 𝑂𝐴 e �� = 𝑂𝐵 é o menor

ângulo formado pelos segmentos de reta 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 .

0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋


As componentes de um vetor ficam estabelecidas se forem

conhecidos seu módulo e seus cossenos diretores.

𝑎 = |𝑎 | cos(𝛼) 𝑖 + |𝑎 | cos(𝛽) 𝑗 + |𝑎 | cos(𝛾) ��

Exemplos:

1. Encontre os cossenos diretores dos vetores

a) 𝑎 = 2𝑖 + 2 𝑗 − ��

|𝑎 | = √22 + 22 + (−1)2 = √9 = 3

cos(𝛼) =𝑎1

|𝑎 |=

2

3 cos(𝛽) =

𝑎2

|𝑎 |=

2

3 cos(𝛾) =

𝑎3

|𝑎 |= −

1

3

𝛼 ≅ 48,19𝑜 𝛽 ≅ 48,19𝑜 𝛾 ≅ 109,47𝑜

2. Conhecidos o módulo e os cossenos diretores de um vetor, represente-o na base canônica e graficamente.

a) |𝑎 | =

√59, 𝛼 = 67,01𝑜; 𝛽 = 49,38𝑜; 𝛾 = 49,38𝑜

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

São chamados de ângulos diretores de um vetor 𝑎 , os ângulos 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾

formados entre os vetores unitários 𝑖 , 𝑗 e �� e o vetor 𝑎 , respectivamente. Os cossenos destes ângulos são chamados de

cossenos diretores do vetor 𝑎 .

Seja 𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 �� um vetor em ℜ3.

cos(𝛼) =𝑎1

|𝑎 |

cos(𝛽) =𝑎2

|𝑎 |

cos(𝛾) =𝑎3

|𝑎 |

cos2(𝛼) + cos2(𝛽) + cos2(𝛾) = 1


𝑎1 = |𝑎 | cos(𝛼) = √59 cos(67,01𝑜) ≅ 3

𝑎2 = |𝑎 | cos(𝛽) = √59 cos(49,38𝑜) ≅ 5

𝑎3 = |𝑎 | cos(𝛾) = √59 cos(49,38𝑜) ≅ 5

𝑎 = (3,5,5) → 𝑎 = 3𝑖 + 5 𝑗 + 5��

b) |𝑣 | = √50, 𝛼 = 115,104𝑜; 𝛽 = 55,55𝑜; 𝛾 = 135𝑜

𝑣1 = |𝑣 | cos(𝛼) = √50 cos(115,104𝑜) ≅ −3

𝑣2 = |𝑣 | cos(𝛽) = √50 cos(55,55𝑜) ≅ 4

𝑣3 = |𝑣 | cos(𝛾) = √50 cos(135𝑜) ≅ −5

𝑣 = (−3, 4, −5) → 𝑣 = −3𝑖 + 4 𝑗 − 5��

3. Duas forças 𝐹1 e 𝐹2 de magnitude 12 kN e 10 kN, respectivamente,

atuam num determinado ponto 𝑃 de uma estrutura, conforme indicado

na figura abaixo.

a) Calcule a força resultante 𝐹𝑅 que atua no ponto 𝑃, sabendo que a

força resultante é o somatório de todas as forças atuantes.

𝐹𝑅 = 𝐹1

+ 𝐹2

y

x

𝐹2 𝐹1

300 450


Força 𝐹1 : |𝐹1

| = 12; 𝛼 = 300 ; 𝛽 = 600

𝐹1 = (𝐹1𝑥, 𝐹1𝑦) = 𝐹1𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 𝑗

𝐹1𝑥 = |𝐹1 | cos(𝛼) = 12 cos(300) = 12

√3

2= 6 √3

𝐹1𝑦 = |𝐹1 | cos(𝛽) = 12 cos(600) = 12

1

2= 6

𝐹1 = (6 √3, 6) = 6 √3 𝑖 + 6 𝑗


| = 10; 𝛼 = 1800 − 450 = 1350; 𝛽 = 450

𝐹2 = (𝐹2𝑥, 𝐹2𝑦) = 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹2𝑦 𝑗

𝐹2𝑥 = |𝐹2 | cos(𝛼) = 10 cos(1350) = −10

√2

2= −5√2

𝐹2𝑦 = |𝐹2 | cos(𝛽) = 10 cos(450) = 10

√2

2= 5√2

𝐹2 = (−5√2, 5√2) = −5√2 𝑖 + 5√2 𝑗

Força resultante: 𝐹𝑅 = 𝐹1

+ 𝐹2

𝐹𝑅 = (6 √3 𝑖 + 6 𝑗 ) + (−5√2 𝑖 + 5√2 𝑗 )

𝐹𝑅 = (6 √3 − 5√2) 𝑖 + (6 + 5√2) 𝑗 ≅ 3,32 𝑖 + 13,07 𝑗

b) Determine a magnitude (módulo) e a direção da força resultante 𝐹𝑅.

Represente graficamente.

𝐹𝑅 = (6 √3 − 5√2) 𝑖 + (6 + 5√2) 𝑗 ≅ 3,32 𝑖 + 13,07 𝑗

|𝐹𝑅 | = √(6 √3 − 5√2)

2+ (6 + 5√2)

2 ≅ 13,48 𝑘𝑁

cos(𝛼) =𝐹𝑅𝑥

|𝐹𝑅 |

=6 √3 − 5√2

13,48≅ 0,24629

𝛼 = cos−1(0,24629) ≅ 75,740

y

x

|𝐹𝑅 | = 13,48 𝑘𝑁

75,740

|𝐹𝑅𝑦 | = 13,07 𝑘𝑁

|𝐹𝑅𝑥 | = 3,32 𝑘𝑁


c) Qual a força de reação �� que deve atuar na estrutura para que o

ponto 𝑃 esteja em equilíbrio?

Para que um ponto esteja em equilíbrio o somatório das forças neste ponto deve ser nulo.

𝐹1 + 𝐹2

+ �� = 0 → 𝐹𝑅 + �� = 0 → �� = −𝐹𝑅

�� = −𝐹𝑅 ≅ − 3,32 𝑖 − 13,07 𝑗

4. Determinar os esforços de tração 𝐹1 e 𝐹2 nas barras 1 e 2 do tirante,

representado na figura abaixo, que suporta um peso 𝑊 = 300 𝑘𝑁.

Para o ponto 𝑃 estar em equilíbrio, o somatório de forças neste ponto

deve ser nulo:

𝐹1 + 𝐹2

+ �� = 0


|; 𝛼 = 450 ; 𝛽 = 450

𝐹1 = (𝐹1𝑥, 𝐹1𝑦) = 𝐹1𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 𝑗

𝐹1𝑥 = |𝐹1 | cos(𝛼) = |𝐹1

| cos(450) = |𝐹1 |

√2

2

𝐹1𝑦 = |𝐹1 | cos(𝛽) = |𝐹1

| cos(450) = |𝐹1 |

√2

2

𝐹1 = (|𝐹1

|√2

2, |𝐹1 |

√2

2) = |𝐹1

|√2

2 𝑖 + |𝐹1

|√2

2 𝑗


|; 𝛼 = 1800 − 450 = 1350; 𝛽 = 450

𝐹2 = (𝐹2𝑥, 𝐹2𝑦) = 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹2𝑦 𝑗

𝐹2𝑥 = |𝐹2 | cos(𝛼) = |𝐹2

| cos(1350) = −|𝐹2 |

√2

2

𝐹2𝑦 = |𝐹2 | cos(𝛽) = |𝐹2

| cos(450) = |𝐹2 |

√2

2

𝐹2 = (−|𝐹2

|√2

2, |𝐹2 |

√2

2) = −|𝐹2

|√2

2 𝑖 + |𝐹2

|√2

2 𝑗

Força �� : |�� | = 300; 𝛼 = 900; 𝛽 = 1800

y

𝐹2 𝐹1

300 300 𝑃

450 450 Barra 1 Barra 1 x

�� W


�� = (𝑊𝑥 ,𝑊𝑦) = 𝑊𝑥 𝑖 + 𝑊𝑦 𝑗

𝑊𝑥 = |�� | cos(𝛼) = |�� | cos(900) = 0

𝑊𝑦 = |�� | cos(𝛽) = |�� | cos(1800) = −300

�� = (0,−300) = −300 𝑗

𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃: 𝐹1 + 𝐹2

+ �� = 0

(|𝐹1 |

√2

2 𝑖 + |𝐹1

|√2

2 𝑗 ) + (−|𝐹2

|√2

2 𝑖 + |𝐹2

|√2

2 𝑗 ) + (−300 𝑗 ) = 0 𝑖 + 0 𝑗

Normalmente em problema de engenharia o equilíbrio das forças é feito separadamente por direção, ou seja:

∑𝐹𝑥 = 0 𝑒 ∑𝐹𝑦 = 0

∑𝐹𝑥 = 0 → Somatório das forças em 𝑥 deve ser nulo

𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 = 0

|𝐹1 |

√2

2 − |𝐹2

|√2

2 = 0 → |𝐹1

| = |𝐹2 |

∑𝐹𝑦 = 0 → Somatório das forças em y deve ser nulo

𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + 𝑊𝑦 = 0

|𝐹1 |

√2

2 + |𝐹2

|√2

2 − 300 = 0

|𝐹1 |

√2

2 + |𝐹1

|√2

2= 300

|𝐹1 | = 150 √2 𝑘𝑁 ≅ 212,13 𝑘𝑁

|𝐹2 | = 150 √2 𝑘𝑁 ≅ 212,13 𝑘𝑁


11. Produto Interno ou Produto Escalar

Sejam 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) e �� = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) dois vetores em ℜ𝑛. O

produto escalar dos vetores 𝑎 e �� o número real 𝑎 . �� dado por:

𝑎 . �� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑏𝑛

𝑆𝑒 0 ≤ θ <𝜋

2 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos(𝜃) > 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 . �� > 0

𝑆𝑒 𝜋

2< 𝜃 < 𝜋 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos(𝜃) < 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 . �� < 0

𝑆𝑒 θ =𝜋

2 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos(𝜃) = 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 . �� = 0 (𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)

𝑆𝑒 θ = 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos(𝜃) = 1 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 . �� = |𝑎 ||�� | (𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜)

𝑆𝑒 θ = 𝜋 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos(𝜃) = −1 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 . �� = |𝑎 ||�� | (𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎)

Interpretação Geométrica

Seja 𝜃 é o ângulo formado entre dois vetores 𝑎 e �� ,

𝑎 . �� = |𝑎 | |�� | cos (𝜃)

cos(𝜃) =𝑎 . ��

|𝑎 | |�� | → θ = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (

𝑎 . ��

|𝑎 | |�� |)

Propriedades do Produto interno

Sejam 𝑎 𝑒 �� dois vetores e 𝑐 um escalar, então:

1) 𝑎 . 𝑎 = |𝑎 |2 2) 𝑎 . �� = �� . 𝑎

3) 0 . 𝑎 = 0 4) 𝑎 . (�� + 𝑐 ) = 𝑎 . �� + 𝑎 . 𝑐

5) (𝑐 𝑎 ). �� = 𝑐 (𝑎 . �� ) = 𝑎 . (𝑐 𝑏 )


Exemplos:

1) Calcule o produto interno dos vetores indicados:

𝑎) 𝑎 = 2𝑖 + 4 𝑗 e �� = 3𝑖 − 𝑗

𝑎 . �� = (2.3) + (4. (−1)) = 6 − 4 = 2

𝑏) 𝑎 = −𝑖 + 7 𝑗 + 4 �� e �� = 6𝑖 + 2 𝑗 −1

2 ��

𝑎 . �� = (−1 . 6) + (7 . 2) + (= 4.1

2) = −6 + 14 − 2 = 6

𝑐) 𝑎 = (0, 1) e �� = (−1,−1)

𝑎 . �� = (0. (−1)) + (1 . (−1)) = 0 − 1 = −1

2) Calcule o produto interno dos vetores indicados:

𝑎) |𝑎 | = 12 , |�� | = 15 e o ângulo formado entre eles é 𝜋/6

𝑎 . �� = |𝑎 | |�� | cos(𝜃) = (12)(15) cos (𝜋

6) = 90 √3 ≈ 155,9

𝑏) |𝑎 | = 4 , |�� | = 10 e o ângulo formado entre eles é 120𝑜

𝑎 . �� = |𝑎 | |�� | cos(𝜃) = (4)(10) cos(120𝑜) = 40(−0,5) = −20

𝑐) |𝑎 | = 4 , |�� | = 6 e o ângulo formado entre eles é 𝜋/3

𝑎 . �� = |𝑎 | |�� | cos(𝜃) = (4)(6) cos(𝜋/3) = 24(0,5) = 12

3) Encontre o ângulo formado entre os vetores

a) 𝑣 = (3, 4), �� = (5, 12)

|𝑣 | = √32 + 42 = 5 , |�� | = √52 + 122 = 13

𝑣 . 𝑢 = (3). (5) + (4). (12) = 63

cos(𝜃) =𝑣 . ��

|�� | |𝑣 |=

63

5 .13=

63

65 → θ = cos−1 (

63

65) ≈ 14°

b) 𝑣 = 𝑗 + �� , �� = 𝑖 + 2 𝑗 − 3��

|𝑣 | = √02 + 12 + 12 = √2, |�� | = √12 + 22 + (−3)2 = √14

𝑣 . 𝑢 = (0). 1 + (1). (2) + (1). (−3) = −1

cos(𝜃) =𝑣 . ��

|�� | |𝑣 |=

−1

√2. √14=

−1

√28 → θ = cos−1 (

−1

√28) ≈ 101°


4) Determine se os vetores indicados são paralelos, perpendiculares ou nenhuma das duas opções

a) 𝑎 = 2𝑖 + 2 𝑗 − �� e �� = 5𝑖 − 4 𝑗 + 2 ��

𝑎 . �� = (2 . 5) + (2 . (−4) ) + (−1 . 2) = 10 − 8 − 2 = 0

Se 𝑎 . �� = 0, o coseno do ângulo formado entre eles é 0, logo o ângulo é 90º, portanto os vetores são perpendiculares.

b) 𝑎 = (−2, 4) e �� = (1,−2)

𝑎 . �� = (−2)(1) + (4)(−2) = −2 − 8 = −10

|𝑎 | = √20 |�� | = √5 → cos(𝜃) =−10

√5.20= −1

São paralelos (vetor 𝑎 é múltiplo escalar de �� )

c) 𝑎 = (−5, 3, 7) e �� = (6,−8, 2)

𝑎 . �� = (−5)(6) + 3(−8) + (7)(2) = −30 − 24 + 14 = −40

|𝑎 | = √83 |�� | = √104 → cos(𝜃) =−40

√83 . 104= −0.43

Não são ortogonais, nem paralelos.

12. Produto Interno : Problemas Aplicados

O trabalho 𝑊 realizado por uma força 𝐹 para produzir em uma partícula um

deslocamento �� é dado por:

𝑊 = 𝐹 . ��

Exemplos:

1. Uma força, representada pelo vetor 𝐹 = 10 𝑖 + 18 𝑗 − 6 �� , move um objeto

ao longo de uma linha reta do ponto A=(2,3,0) ao ponto B=(4,9,15). Encontre o trabalho realizado por esta força para produzir este

deslocamento, sendo o deslocamento medido em metros(m) e a força em Newton (N).

𝑊 = 𝐹 . �� → 𝐹 = 10 𝑖 + 18 𝑗 − 6 �� 𝐸 �� = 𝐴𝐵

�� = 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = (4 − 2)𝑖 + (9 − 3)𝑗 + (15 − 0)�� = 2 𝑖 + 6 𝑗 + 15 ��

𝑊 = 𝐹 . �� = (10 𝑖 + 18 𝑗 − 6 �� ) . ( 2 𝑖 + 6 𝑗 + 15 �� )

𝑊 = (10. 2) + (18 . 6) + (−6 .15) = 20 + 108 − 90 = 38 𝑁.𝑚 = 38 𝐽 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)


2. Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade para que um bloco de 1,5 kg escorregue 6 metros sobre um plano inclinado de 30º em

relação à horizontal.

�� = 𝑚 𝑔 (𝑝𝑒𝑠𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎. 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)

�� = 1,5 . 10 (𝑘𝑔 .𝑚

𝑠2) = 15 𝑁 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛) →

|�� | = 15 𝑁 𝑒 |�� | = 6 𝑚

𝜃 = 60𝑜

𝑊 = �� . �� = |�� || �� | cos(𝜃) = 15 .6 . cos(60𝑜) = 90 . 0,5 = 45 𝐽

13. Produto Vetorial

Sejam 𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 �� e �� = 𝑏1𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 �� dois vetores em ℜ3.

Chama-se produto vetorial dos vetores 𝑎 e �� tomados nesta ordem e

representado por 𝑎 × �� ao vetor dado por:

𝑎 × �� = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2) 𝑖 + (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3) 𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1) ��

Para facilidade de memorização denotaremos a definição anterior da

forma:

6 m

30o

P = 15 N

��

60o


Exemplos

1) Encontre o vetor 𝑣 obtido pelo produto vetorial dos vetores 𝑎 𝑒 �� indicados:

a) 𝑎 = (1, 3, 4) 𝑒 �� = (2, 7, −5)

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

1 3 42 7 −5

]

𝑣 = −15 𝑖 + 8 �� + 7 �� − (6 �� + 28 𝑖 − 5 𝑗 ) = −43 𝑖 + 13 �� + ��

b) 𝑎 = (1, 2, 0) 𝑒 �� = (0, 3, 1)

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

1 2 00 3 1

]

𝑣 = 2 𝑖 + 0 �� + 3 �� − (0 �� + 0 𝑖 + 1 𝑗 ) = 2 𝑖 − �� + 3 ��

Interpretação Geométrica

Se 𝜃 é o ângulo formado entre dois vetores 𝑎 e �� , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, então

|𝑎 × �� | = |𝑎 | |�� | sen (𝜃)

|𝑎 × �� | é a área do paralelogramo

determinado pelos vetores 𝑎 e ��

Vetor Resultante 𝑎 × ��

O vetor resultante 𝑎 × �� é um vetor

ortogonal a ambos os vetores 𝑎 e �� , portanto é perpendicular ao plano que

passa por 𝑎 e �� , ou seja,

(𝑎 × �� ) . �� = 0

Sua direção pode ser determinada pela regra da mão direita, isto é, se os dedos da

mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação (através do ângulo

menor que 180o) de 𝑎 até �� , então o polegar

estendido apontará a direção de 𝑎 × ��


c) 𝑎 = 2 𝑖 + �� − �� 𝑒 �� = �� + 2 ��

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

2 1 −10 1 2

]

𝑣 = 2 𝑖 + 0 �� + 2 �� − (0 �� − 1 𝑖 + 4 𝑗 ) = 3 𝑖 − 4 �� + 2 ��

d) 𝑎 = 𝑖 − 2 �� 𝑒 �� = �� + ��

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

1 0 −20 1 1

]

𝑣 = 0 𝑖 + 0 �� + �� − (0 �� − 2 𝑖 + 𝑗 ) = 2 𝑖 − �� + ��

2) Encontre dois vetores perpendiculares ao plano que passa pelos pontos

𝑃(1, 4, 6), 𝑄(−2, 5, −1) e 𝑅(1,−1, 1)

O vetor 𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 é perpendicular aos vetores 𝑃𝑄 e 𝑃𝑅 e, portanto

perpendicular ao plano que contém os pontos 𝑃, 𝑄 e 𝑅.

𝑃𝑄 = (−2 − 1) 𝑖 + (5 − 4) 𝑗 + (−1 − 6) �� = −3 𝑖 + 𝑗 − 7 ��

𝑃𝑅 = (1 − 1) 𝑖 + (−1 − 4) 𝑗 + (1 − 6) �� = −5 𝑗 − 5 ��

𝑣1 = 𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 = [𝑖 𝑗 ��

−3 1 −70 −5 −5

]

𝑣1 = 𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 = −5𝑖 + 0 𝑗 + 15 �� − (35 𝑖 + 15 𝑗 + 0 �� ) = −40 𝑖 − 15 𝑗 + 15 ��

𝑣2 = 𝑃𝑅 × 𝑃𝑄 = − 𝑣1 = 40 𝑖 + 15 𝑗 − 15 ��

3) Encontre dois vetores unitários perpendiculares aos vetores 𝑎 e �� dados:

a) 𝑎 = (1 , −1, 1) e �� = (0, 4 , 4)

Sabe-se que o vetor 𝑎 × �� é um vetor perpendicular a ambos os vetores

𝑎 e �� , assim

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

1 −1 10 4 4

] = −4𝑖 + 0 𝑗 + 4 �� − (4 𝑖 + 4 𝑗 + 0 �� )

𝑣 = −8 𝑖 − 4 𝑗 + 4 ��

Um vetor unitário na direção de 𝑣 é:

𝑢1 =(−8 ,−4 , 4)

√64 + 16 + 16=

(−8 ,−4 , 4)

√96=

(−8 , −4 , 4)

4 √6= (−

2

√6,−

1

√6,1

√6)

O outro vetor unitário tem direção oposta

𝑢2 = −𝑢1 = (2

√6,

1

√6,−

1

√6)


b) 𝑎 = 𝑖 + 𝑗 + �� e �� = 2𝑖 + ��

Sabe-se que o vetor 𝑎 × �� é um vetor perpendicular a ambos os vetores

𝑎 e �� , assim

𝑣 = 𝑎 × �� = [𝑖 𝑗 ��

1 1 12 0 1

] = 1 𝑖 + 2 𝑗 + 0 �� − (0 𝑖 + 1 𝑗 + 2 �� )

𝑣 = 𝑖 + 𝑗 − 2 ��

Um vetor unitário na direção de 𝑣 é:

𝑢1 =(1, 1 , −2)

√1 + 1 + 4=

(1, 1, −2)

√6= (

1

√6,

1

√6, −

2

√6) =

1

√6 𝑖 +

1

√6 𝑗 −

2

√6 ��

O outro vetor unitário tem direção oposta

𝑢2 = −𝑢1 = (−1

√6,−

1

√6,

2

√6) = −

1

√6 𝑖 −

1

√6 𝑗 +

2

√6 ��

4) Encontre a área do paralelogramo de vértices 𝐴(−2, 1), 𝐵(0, 4), 𝐶(4, 2) e

𝐷(2,−1).

Plotando os pontos dados, observa-se que o paralelogramo é determinado

pelos vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷 .

Sabe-se que a área do paralelogramo é o módulo do vetor obtido pelo produto vetorial entre eles.

𝐴𝐵 = ( 0 − (−2) ) �� + (4 − 1)𝑗 = 2 �� + 3 𝑗

𝐴𝐷 = ( 2 − (−2) ) �� + (−1 − 1)𝑗 = 4 �� − 2 𝑗

𝑣 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 = [𝑖 𝑗 ��

2 3 04 −2 0

] = 0 𝑖 + 0 𝑗 − 4 �� − (0 𝑖 + 0 𝑗 + 12 �� )

𝑣 = −16 ��

Á𝑟𝑒𝑎 = |𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 | = | 𝑣 | = √0 + 0 + ( −16)2 = |−16| = 16 u.a (unidade de área)


5) Encontre a área do triângulo de vértices 𝑃(1, 0, 0), 𝑄(0, 2, 0), e 𝑅( 0, 0, 3).

Observe que a área do triângulo determinado pelos pontos 𝑃, 𝑄 e 𝑅 é a

metade da área do paralelogramo formado por estes pontos. A área do

paralelogramo determinado pelos vetores 𝑃𝑄 e 𝑃𝑅 é dada por:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = |𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 |

𝑃𝑄 = ( 0 − 1 ) �� + (2 − 0)𝑗 + (0 − 0)�� = − �� + 2 𝑗

𝑃𝑅 = ( 0 − 1 ) �� + (0 − 0)𝑗 + (3 − 0)�� = − �� + 3 ��

𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 = [𝑖 𝑗 ��

−1 2 0−1 0 3

] = 6 𝑖 + 0 𝑗 + 0 �� − (0 𝑖 − 3 𝑗 − 2 �� ) = 6 𝑖 + 3 𝑗 + 2 ��

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = |𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 | = √62 + 32 + 22 = √36 + 9 + 4 = 7 𝑢. 𝑎

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =|𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 |

2=

7

2= 3,5 𝑢. 𝑎

14. Produto Vetorial: Problemas Aplicados

Seja 𝐹 uma força atuando num corpo rígido em um determinado

ponto 𝐴 de vetor posição 𝑟 = 𝑂𝐴 , indicado na figura abaixo. Chama-se

torque ou momento da força 𝐹 em relação ao ponto 𝑂 ao produto vetorial

do vetor posição e o vetor força.

A magnitude do torque é dada por:

|�� | = |�� × �� | = |�� | |�� | 𝒔𝒆𝒏(𝜽)

A direção do vetor torque é dada pela regra da mão direita. O vetor

torque é perpendicular ao plano formado pelos vetores 𝑟 e 𝐹 .

�� = �� × �� = 𝑶𝑨 × ��

��

��

𝑶

𝑨

𝜽

��

𝒙

𝒚

𝒛


Numa linguagem mais informal, podemos dizer que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo

gire.

Observe que a única componente da força �� que pode causar torque

(rotação) é a componente perpendicular ao vertor �� .

Na figura abaixo, por exemplo, a magnitude do torque da força 𝐹 , aplicada no ponto 𝐴, em torno do ponto 𝑂 é:

|𝜏 | = |�� × �� | = |𝑟 | |𝐹 | 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

onde |�� | = |𝑂𝐴 | e |𝐹𝑦 | = |𝐹 | 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

logo

|𝜏 | = |𝑟 | |𝐹𝑦 |

A rotação da força 𝐹𝑦 em torno do ponto 𝑂 é no sentido anti-horário,

portanto, pela regra da mão direita, o vetor torque 𝜏 está no sentido

positivo do eixo 𝑧.

Na engenharia o torque é chamado de momento. Sua magnitude é geralmente calculada com a decomposição da força.

De acordo com o eixo de rotação o momento pode ser um momento torsor ou um momento fletor.

Momento torsor: quando a rotação se dá em torno do eixo da peça

.

z

y

x ��

𝜃

𝜃

�� 𝑭𝒚

𝑭𝒙

𝑶

𝑨

��

��

��

��

𝜽


Momento fletor: quando a rotação se dá em torno de um dos eixos da seção transversal da peça.

14. Produto Misto

Produto Misto – Interpretação Geométrica

x

y

Seção transversal em equilíbrio

x

y

y

x z

y

x z

��

��

Seção transversal fletida


Paralelismo e Perpendicularismo

𝑖) 𝑆𝑒 𝑎 × �� = 0 𝑎 𝑒 �� 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 (𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0 → 𝜃 = 0 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋)

𝑖𝑖) 𝑆𝑒 𝑎 . �� = 0 𝑎 𝑒 �� 𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 (cos(𝜃) = 0 → 𝜃 =𝜋

2)

𝑖𝑖𝑖) 𝑆𝑒 𝑎 . ( �� × 𝑐 ) = 0 𝑎 , �� 𝑒 𝑐 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠

Extremidade Sentido Direção -...

Documents

Transcript of Extremidade Sentido Direção -...