E.O.K
21
1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ (E.O.K.) Έχουμε ότι Χ τ.μ. με συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) ( ) ( ) 1 2 , , , ,..., s f x ∂∂=∂∂ ∂ . Θα λέμε ότι η κατανομή αυτή ανήκει στην Εκθετική Οικογένεια Κατανομών (ΕΟΚ), αν: 1) Το στήριγμα (πεδίο Ορισμού) ( ) { } : , 0 f S x f x θ =∈ > ℝ της τ.μ. Χ, δεν θα πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραμέτρους ( ) 1 2 , ,..., s ∂∂ ∂ . 2) μπορεί να γραφεί στη μορφή: α) ( ) ()() ()() 1 , exp s i i i f x T X B hx θ ηθ θ = = − ∑ ή εναλλακτικά σε μια από τις παρακάτω μορφές: β) ( ) ()() () () 1 , exp s i i i f x T X B H x θ ηθ θ = = − + ∑ γ) ( ) ()() ()() 1 , exp s i i i f x T X hx θ ηθ βθ = = ∑ δ) ( ) ()() () () 1 , exp s i i i f x T X H x θ ηθ βθ = = + ∑ , Όπου (.), (.), (.), (.), (.), (.) i T B H h η β είναι πραγματικές συναρτήσεις. Εξυπακούε- ται ότι ( ) 0, hx x >∀∈ ℝ και ( ) 0, βθ θ >∀ . Κανονική Μορφή Οι παραπάνω τύποι αποτελούν τη Γενική μορφή, της Ε.Ο.Κ.. Υπάρχει και η κανονική μορφή, που δίνεται από τον παρακάτω τύπο: ( ) () () () 1 , exp s i i i f x T X A hx η η η = = − ∑ Από τη γενική μορφή μπορούμε να μεταπέσουμε στην κανονική μορφή, ως εξής: Στη γενική μορφή θέτουμε: ( ) i i ηθη = , οπότε από την οποία προκύπτει: ( ) i i θθη = και ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ,..., i s ηηθηθ ηθ = , τότε η ( ) B θ παίρνει τη μορφή: ( ) A η και η συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) γίνεται: ( ) () () () 1 , exp s i i i f x T X A hx η η η = = − ∑ Να παρατηρήσουμε ότι οι ( ) i T X και ( ) hx δεν μεταβάλλονται. Γιατί κανονική μορφή; Διότι από την κ.μ. προκύπτουν άμεσα καλές ιδιότητες (που δεν προκύπτουν από την πρώτη μορφή).
description
i i i βθ θ : , 0 h x x T X και () S x ή εναλλακτικά σε µια από τις παρακάτω µορφές : β ) η η θ η θ η θ > ∀ . Κανονική Μορφή Οι παραπάνω τύποι αποτελούν τη Γενική µορφή , της Ε . Ο . Κ .. Υπάρχει και η κανονική µορφή , που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : , exp , exp , exp , exp , exp , exp η θ η > ∀ ∈ ℝ και ( ) 0, ∑
Transcript of E.O.K
1
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
ΜΕΡΟΣ ΙΙ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ (E.O.K.)
Έχουµε ότι Χ τ.µ. µε συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.)
( ) ( )1 2, , , ,..., sf x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . Θα λέµε ότι η κατανοµή αυτή ανήκει στην Εκθετική
Οικογένεια Κατανοµών (ΕΟΚ), αν:
1) Το στήριγµα (πεδίο Ορισµού) ( ) : , 0f
S x f x θ= ∈ >ℝ της τ.µ. Χ,
δεν θα πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραµέτρους ( )1 2, ,..., s∂ ∂ ∂ .
2) µπορεί να γραφεί στη µορφή:
α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X B h xθ η θ θ=
= −
∑
ή εναλλακτικά σε µια από τις παρακάτω µορφές:
β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X B H xθ η θ θ=
= − +
∑
γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X h xθ η θ β θ=
=
∑
δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X H xθ η θ β θ=
= +
∑ ,
Όπου (.), (.), (.), (.), (.), (.)iT B H hη β είναι πραγµατικές συναρτήσεις. Εξυπακούε-
ται ότι ( ) 0,h x x> ∀ ∈ℝ και ( ) 0,β θ θ> ∀ .
Κανονική Μορφή
Οι παραπάνω τύποι αποτελούν τη Γενική µορφή, της Ε.Ο.Κ.. Υπάρχει
και η κανονική µορφή, που δίνεται από τον παρακάτω τύπο:
( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X A h xη η η=
= −
∑
Από τη γενική µορφή µπορούµε να µεταπέσουµε στην κανονική µορφή,
ως εξής:
Στη γενική µορφή θέτουµε: ( )i iη θ η= , οπότε από την οποία προκύπτει:
( )i iθ θ η= και ( ) ( ) ( )( )2, ,...,
i sη η θ η θ η θ= , τότε η ( )B θ παίρνει τη µορφή:
( )A η και η συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) γίνεται:
( ) ( ) ( ) ( )1
, exps
i i
i
f x T X A h xη η η=
= −
∑
Να παρατηρήσουµε ότι οι ( )iT X και ( )h x δεν µεταβάλλονται.
Γιατί κανονική µορφή; ∆ιότι από την κ.µ. προκύπτουν άµεσα καλές ιδιότητες
(που δεν προκύπτουν από την πρώτη µορφή).
2
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα 1
∆ιωνυµική Κατανοµή: (θέµα Ιούνιος 2009)
∆ίνεται ότι Χ~διωνυµική (ν, p), (ν γνωστό).
Να εξετασθεί αν ( ) ( ), 1 , 0,1,2,0 1v xx
vf x p p p x p
x
− = − = ≤ ≤
, ανήκει στην
ΕΟΚ.
Στήριγµα ( ) : , 0 0,1,2,...,f
S x f x p v= ∈ > =ℝ , δηλαδή ανεξάρτητο του p.
( ) ( ), 1v xx
vf x p p p
x
− = − =
( )11
x
vv pp
x p
− = −
( )exp ln ln 11
v px v p
x p
+ − −
, άρα ανήκει στην ΕΟΚ, µε:
1s = , ( ) ln1
pp
pη
= −
, ( )T x x= , ( ) lnB p v p= − και ( )v
h xx
=
.
Κανονική µορφή: Θέτουµε ( ) ln1
pp
pη η
= = ⇒ −
1
pe
p
η= ⇒−
( )1p p eη= − ⇒ p e pe
η η= − ⇒ p pe eη η+ = ⇒ ( )1p e e
η η+ = ⇒ 1
ep
e
η
η=+
( ), exp ln 11
v ef x x v
x e
η
ηη η
= + − = +
1exp ln
1
v e ex v
x e
η η
ηη + −
+ = +
1exp ln
1
vx v
x eηη
+ = + ( ) exp ln 1
vx v e
x
ηη
− +
, δηλ.
( ) ( )ln 1A v eηη = + .
Προσοχή! Η ∆ιωνυµική κατανοµή δεν ανήκει στην ΕΟΚ αν είναι γνωστό το p
και άγνωστο το ν!
Παράδειγµα 2
Κανονική Κατανοµή:
( ) ( )1
22
2
2 2
1| , exp
2 2
xf x
µµ σ
πσ σ
− = − =
, µ−∞ < < +∞ , x−∞ < < +∞
( ) 2: | , 0fS x f x µ σ= ∈ > =ℝ ( ),−∞ +∞ , ανεξάρτητο των 2,µ σ .
3
α) µ άγνωστο, σ2 γνωστό.
( ) ( ) ( )212 2
2, 2 exp
2
xf x
µµ πσ
σ
− − = − =
( )
12 22 2
2
2exp 2
2
x xµ µπσ
σ
− − +− =
( )12 2
2 22 2 2
exp exp 22 2
x xµ µπσ
σ σ σ
− − −
. Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
( ) 2
µη µ
σ= , ( )T x x= (
1), ( )
2
22B
µµ
σ= και ( )
12
2
2 2
1exp
2 2
xh x
σ πσ = −
.
Κανονική µορφή:
( ) 2
µη µ η
σ= = ⇒ 2µ σ η= ⇒ ( )
2
22B
µµ
σ= =
( )22
22
σ η
σ=
4 2
22
σ ησ
= 2 2
2
σ η= ( )A η ,
οπότε, η σ.π.κ. γίνεται:
( )1
2 2 22
2 2
1, exp exp
2 2 2
xf x x
σ ηη η
σ πσ = − −
β) µ γνωστό, σ2 άγνωστο.
( ) ( )1
22
2
2 2
1, exp
2 2
xf x
µσ
πσ σ
− = − =
( )2
2 2
1 1 1exp ln
2 2 2
x µσ σ π
− − + =
( ) ( )2
2
2
1 1exp ln
2 2 2
x µσ
σ π
− − −
.
Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
( )2
2
1
2η σ
σ= − , ( ) ( )2
T x x µ= − , ( ) ( )21ln
2B µ σ= και ( ) 1
2h x
π= .
Κανονική µορφή:
( )2
2
1
2η σ η
σ= − = ⇒
2 1
2σ
η= − , οπότε η σ.π. γίνεται:
( ) ( )22 1 1 1, exp ln
2 2 2f x xσ η µ
η π
= − − − =
( ) ( ) ( )2 1 1exp ln 2 ,
2 2x f xη µ η η
π − + − =
1 Θα µπορούσε να ληφθεί και ( )η µ µ= και ( )
2
xT x
σ= , αλλά επιδιώκουµε πάντα οι ( )i
T x να είναι όσο
το δυνατό απλούστερες, ει δυνατόν απλές δυνάµεις του x . Ο λόγος θα γίνει κατανοητός στα επόµενα κεφάλαια.
4
δηλ. ( ) ( )1ln 2
2A η η= − −
γ) µ, σ2 άγνωστα. ( )2s = .
( ) ( )1
22
2
2 2
1; , exp
2 2
xf x
µµ σ
πσ σ
− = − =
( )2 2
2
2
2 1 1exp ln
2 2 2
x xµ µσ
σ π − +− − =
( )2 2
2
2 2 2
1 1exp ln
2 2 2 2
x xµ µσ
σ σ σ π −− − − − ⇒
( ) ( )2
2 2 2
2 2 2
1 1 1| , exp ln
2 2 2 2f x x x
µ µµ σ σ
σ σ σ π
= − + − +
.
Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
( )2
1 2
1,
2η µ σ
σ= − ,
2
1T x= ,
( )2
2 2,
µη µ σ
σ= , 2T x= ,
( ) ( )2
2 2
2
1, ln
2 2B
µµ σ σ
σ= + και ( ) 1
2h x
π=
Κανονική µορφή:
( )2
1 12
1,
2η µ σ η
σ= − = ⇒
2
1
1
2σ
η= −
( )2
2 22,
µη µ σ η
σ= = ⇒
2
2µ η σ= ⇒ 22
1 1
1
2 2
ηµ η
η η
= − = −
, οπότε:
( )
2
22
2 2 11
1
1 1 1
21 1 1 12| , exp ln
2 2 21 1 12 2
2 2 2
f x x x
ηηηη
µ ση π
η η η
− − = − + − + − ⇒ − − −
( )2
2 1 21 2 1 2 2
1 1
1 1 1; , exp ln
4 2 2 2f x x x
ηηη η η η
η η π
= + − − + − =
( )2
2 21 2 1
1
1 1exp ln 2
4 2 2x x
ηη η η
η π
+ − − − −
, δηλαδή ( ) ( )
2
21
1
1ln 2
4 2A
ηη η
η= − − −
5
Ροπογεννήτριες: Ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τ.µ. Χ, ορίζεται ως η αναναµενόµενη τιµή:
( ) ( )( )
( ) ( )
,
, ,
, ,
xu
uX XX
xu
e P X x ή ί
M u E e x u
e f x dx X x ή ί
διακριτ περ πτωση
συνεχ ς περ πτωση
=
= ∈ = ∈ =
∑
∫ℝ ℝ
∆ιδιάστατη:
( ) ( )1 1 2 2
1 2, 1 2,x u x u
X XM u u E e+=
Πολυδιάστατη:
( ) 1
v
i i
i
x u
XM u E e =
∑ =
Θεώρηµα:
Ν.δ.ό. ( ) ( )
0
X
u
dM uE x
du=
=
Απόδειξη:
α) ∆ιακριτή Περίπτωση:
( ) ( )1
nxu
X
i
M u e P X x=
= = ⇒∑
( ) ( )1
nxuX
i
dM u de P X x
du du =
= = =∑ ( )1
nxu
i
de P X x
du=
= =∑ ( )1
nxu
i
xe P X x=
= ⇒∑
( ) ( )1 00
nxuX
i uu
dM uxe P X x
du = ==
= = =∑ ( )0
1 0
nx
i u
xe P X x⋅
= =
= =∑
( ) ( )1
n
i
x P X x E x=
⋅ = =∑
Γενικά:
( ) ( )0
k
k X
k
u
d M uE x
du=
=
β) Συνεχής Περίπτωση:
( )XM u = ( )uxe f x dx
∞
−∞
=∫ ( )2 2 3 3
1 ...2 3!
u x u xux f x dx
∞
−∞
+ + + + =
∫
( ) ( ) ( )2 2
...2
u xf x dx uxf x dx f x dx
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
+ + + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2
2 ...2
uf x dx u xf x dx x f x dx
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
+ + + ⇒∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 3
2 31 ...2 3!
ux
X
u uM u E e uE x E x E x = = + + + + ροπογεννήτρια.
6
Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 3
00
...2!
x
uu
dM u uE x uE x E x E x
du==
= + + + =
και
( ) ( ) ( ) ( )2
2 3 2
20
0
...x
uu
d M uE x uE x E x
du ==
= + + =
………………………..
( ) ( ) ( ) ( )1
00
...
k
k k kx
ku
u
d M uE x uE x E x
du
+
==
= + + =
Παραδείγµατα
Χ~Poisson(λ)
( ) ux
XM u E e = = ( )0
ux
x
e P X x∞
=
= =∑ 0 !
xux
x
e ex
λ λ∞−
=
⋅ =∑ ( )
0 !
xu
x
ee
x
λλ∞
−
=
=∑
( )1u
u u ee ee e e e
λλ λ λ λ −− −⋅ = = ⇒ ( ) ( )1ue
XM u eλ −
=
( )0
0
ue uX
uu
dM ue e
du
λ λ λ−
==
= ⋅ = 0e eλ λ λ λ− ⋅ =
Χ~∆ιωνυµική(n,p)
( ) ( )0
nxu
X
i
M u e P X x=
= = =∑ ( )0
1n
n xxu x
i
ne p p
x
−
=
− ⇒
∑ ( ) ( )
0
1n
x n xu
i
npe p
x
−
=
− =
∑
( )( )1n
upe p+ − = ( )n
upe q+ ⇒
( ) ( )( )( )1n
uXdM u dpe p
du du= + − =
( )( )( ) ( )( ) 1
1 1n n
u u udpe p n pe p pe
du
−+ − = + −
( ) ( )( ) 1
00
1n
u uX
uu
dM un pe p pe
du
−
==
= + − = ( )( ) 1
0 01n
n pe p pe−
+ − =
( ) 11
nn p p p
−+ − = [ ]np E x=
7
Θεώρηµα:
Για την κανονική µορφή της Ε.Ο.Κ. ισχύουν:
α) Αναµενόµενη τιµή: ( ) ( )i
i
A nE T X
n
∂= ∂
.
β) Συνδιακύµανση: ( ) ( ) ( )2
,i j
i j
A nCov T X T X
n n
∂ = ∂ ∂
.
γ) Ροπογεννήτρια: ( ) ( ) ( ) ( ) 1
exp exps
T i i
i
M u E u T X A u n A n=
= = + −
∑
Απόδειξη:
α) ( ), 1f x n dx
∞
−∞
= ⇒∫ ( ) ( ) ( )1
exps
i i
i
nT x A n h x dx
∞
=−∞
− =
∑∫
( ) ( ) ( )1
exp exp 1s
i i
i
A n nT x h x dx
∞
=−∞
− = ⇒
∑∫
( ) ( ) ( )1
exp exps
i i
i
nT x h x dx A n
∞
=−∞
=
∑∫ .
Παραγωγίζοντας ως προς in , παίρνουµε:
( ) ( ) ( ) 1
exp exps
i i
ii i
nT x h x dx A nn n
∞
=−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂
∑∫
και, αλλάζοντας τη σειρά «παραγώγιση - ολοκλήρωση» παίρνουµε:
( ) ( ) ( ) ( )1
exp exps
i i
ii i
A nnT x h x dx A n
n n
∞
=−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
exp exps s
i i i i
i ii i
A nnT x nT x h x dx A n
n n
∞
= =−∞
∂∂ = ⇒ ∂ ∂
∑ ∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exp *s
i i i
i i
A nT x nT x h x dx A n
n
∞
=−∞
∂ = ⇒ ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exps
i i i
i i
A nA n T x nT x h x dx
n
∞
=−∞
∂ − = ⇒ ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exps
i i i
i i
A nT x nT x A n h x dx
n
∞
=−∞
∂ − = ⇒ ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exps
i i i
i i
A nT x nT x A n h x dx
n
∞
=−∞
∂ − = ⇒ ∂
∑∫ ( )( ) ( )i
i
A nE T x
n
∂=
∂
β) Παραγωγίζουµε την (*) ως προς j
n .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exps
i i i
ij j i
A nT x nT x h x dx A n
nη η
∞
=−∞
∂∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∂
∑∫
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
expexp exp
s
i i i
ij j i i j
A nA n A nT x nT x h x dx A n
n n n n n
∞
=−∞
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
1
exp exp exps
i i i
ij i j i j
A nA n A nT x nT x h x dx A n A n
n n n n n
∞
=−∞
∂ ∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1
exp exps
i j i i
i j i j i
A n A nA nT x T x nT x h x dx A n
n n n n
∞
=−∞
∂ ∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
1
exps
i j i i
i j i j i
A n A n A nT x T x nT x A n h x dx
n n n n
∞
=−∞
∂ ∂ ∂ − = + ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
i j i j
j i
A nE T x T x E T x E T x
n n
∂ − = ⇒ ∂ ∂
( ) ( ) ( )2
,i j
j i
A nCov T x T x
n n
∂ = ∂ ∂
διότι, ως γνωστόν: [ ] [ ] [ ] [ ],Cov X Y E X Y E X E Y= ⋅ −
γ) ( )( )
( ) ( )1
1
exp ;
s
i i
i
su T x
T i i
i
M u E e u T x f x n dx=
∞
=−∞
∑ = = =
∑∫
( ) ( ) ( ) ( )1 1
exp exps s
i i i i
i i
u T x nT x A n h x dx
∞
= =−∞
− =
∑ ∑∫
(και, προσθαφαιρώντας το ( )A u n+ )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exp exps
i i i
i
A n A u n u n T x A u n h x dx
∞
=−∞
− + + − + =
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
exp exps
i i i
i
A u n A n u n T x A u n h x dx
∞
=−∞
+ − + − + ⇒
∑∫
( ) ( ) ( ) expT
M u A u n A n= + −
διότι: ( ) ( ) ( ) ( )1
exp 1s
i i i
i
u n T x A u n h x dx
∞
=−∞
+ − + =
∑∫
Συνοπτικά:
( )( ) ( )i
i
A nE T x
n
∂=
∂ ( ) ( ) ( )2
,i j
j i
A nCov T x T x
n n
∂ = ∂ ∂
( ) ( ) ( ) expT
M u A u n A n= + −
και για 1s = (ειδική περίπτωση)
( )( ) ( )AE T x
ηη
∂=
∂ ( ) ( ) ( ) ( )2
2,
ACov T x T x V T x
ηη
∂= = ∂
( ) ( ) ( ) expT
M u A u Aη η= + −
9
Ασκήσεις
Έστω ~X Poisson
( );!
x
f x ex
λ λλ −= = ( ) ( ) 1exp exp log
!
x
xλ λ− = ( ) 1
exp log!
x
xλ λ− =
1exp log
!x
xλ λ− . Άρα ανήκει ΕΟΚ µε:
( ) logn λ λ= , ( )T x x= , ( )B λ λ= − , ( ) 1
!h x
x=
Κανονική µορφή:
( ) logn nλ λ= = ⇒ neλ =
( ) 1; exp log
!f x x
xλ λ λ= − ⇒ ( ) 1
; exp!
f x x ex
ηη η= − , δηλαδή ( )A eηη .
( ) ( ) ( )A nE T x E x
n
∂= = = ∂
( )n
ne
en
λ∂
= =∂
( ) ( ) ( ) ( )2
2,
A nCov T x T x V T x
n
∂= = = ∂
( )2
2
n
ne
en
λ∂
= =∂
( )TM u = ( ) ( ) exp A u n A n+ − = exp u n ne e
+ − = ( ) exp 1n u
e e − =
( ) exp 1u
eλ −
Άσκηση: ( )~ ,X Binomial v p• ν γνωστό, p άγνωστο.
( ) ( ), 1v xx
vf x p p p
p
− = − =
( )11
x
vv pp
x p
− = −
( )exp ln ln 11
v px v p
x p
+ − −
άρα ανήκει στην ΕΟΚ, µε ( )v
h xx
=
, ( )T X x= , ( ) ln1
pn p
p=
− και
( ) ( )ln 1B p v p= − −
Μετατρέπουµε σε κανονική µορφή: ( ) ( ) ( ) ( )exp n p T x A n h x− − , θέτοντας:
( ) ln1
pn p n
p= = ⇒
− 1
npe
p= ⇒
− n np e pe= − ⇒ n n
p pe e+ = ⇒
( )1 n np e e+ = ⇒
1
n
n
ep
e=
+
10
( ), exp ln 11
n
n
v ef x n xn v
x e
= + − = +
1
exp ln1
n n
n
v e exn v
x e
+ −+ = +
1exp ln
1n
vxn v
x e
+ = + ( ) exp ln 1 n
vxn v e
x
− +
, δηλαδή
( ) ( )ln 1 nA n v e= +
( ) ( ) ( )E T X E X A nn
∂= = = ∂
( )( )ln 1 nv e
n
∂+ =
∂
1
1
n
nv e
e=
+ vp
( ) ( ) ( ),Cov T X T X V X= = ( )2
2A n
n
∂=
∂
1
n
n
ev
n e
∂= ∂ +
( )( )2
1
1
n n n n
n
e e e ev
e
+ −=
+
( )( ) ( )2 2
1
1 1
n n n n
n n
e e e ev
e e
+ − = + +
2
1 1
n n
n n
e ev
e e
− = + +
( )2v p p− = ( )1vp p−
( ) ( ) ( ) expT
M u A u n A n= + − = ( ) ( ) exp ln 1 ln 1u n n
v e v e++ − + =
( ) ( ) exp ln 1 ln 1v v
u n ne e
++ − + = 1
exp ln1
vu n
n
e
e
+ + = +
1
1
vu n
n
e
e
+ += +
11
11
v
u pe
p
p
p
+ −=
+ −
1
1
vup pe
p p
− += − +
( )vuq pe+ .
Άσκηση 1 (Θέµα Σεπτέµβριος 2009)
Έστω 1 2,X X τ.µ. από τριωνυµική κατανοµή µε σ.π.:
( )( )
( ) 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
!, , , 1
! ! !
N x xx xNf x x p p p p p p
x x N x x
− −= − −
− −, µε
1 2 1 2, 0,1,..., , ,x x N x x N= + ≤ 1 20 , 1p p< < και 1 2 1p p+ < .
α) να δειχθεί ότι ανήκει στην Ε.Ο.Κ.
β) να µετατραπεί στην κανονική µορφή,
γ) να βρεθούν οι ( ) ( ), , 1,2j jE X V X j = και ( )1 2,Cov X X .
Λύση:
α) Στήριγµα ( ) 1 2 1 2: , , , 0 0,1,2,...,
fS x f x x p p N= ∈ > =ℝ , δηλαδή ανεξάρ-
τητο των παραµέτρων 1 2,p p .
( )( )
( ) 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
!, , , 1
! ! !
N x xx xNf x x p p p p p p
x x N x x
− −= − − =
− −
( )( )( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1!
! ! ! 1
N
x x
x x
p pNp p
x x N x x p p+
− −=
− − − −
11
( ) ( ) ( )( )
1 2
1 2
1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
!1
! ! ! 1 1
x xN
x x
N p pp p
x x N x x p p p p− − =
− − − − − −
( )( )
1 2
1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
!1
! ! ! 1 1
x x
NN p pp p
x x N x x p p p p
− − = − − − − − −
( )( )
1 2
1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
!exp log log log 1
! ! ! 1 1
x x
NN p pp p
x x N x x p p p p
+ + − − = − − − − − −
( )( )
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
!exp log log log 1
1 1 ! ! !
p p Nx x N p p
p p p p x x N x x
+ + − − = − − − − − −
( )( )
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
!exp log log log 1
1 1 ! ! !
p p Nx x N p p
p p p p x x N x x
+ + − − − − − − − −
άρα ανήκει στην Ε.Ο.Κ. µε:
( ) 11 1 2
1 2
, log1
pp p
p pη
= − −
, ( )1 1 2 1,T x x x= ,
( ) 22 1 2
1 2
, log1
pp p
p pη
= − −
, ( )2 1 2 2,T x x x= ,
( ) ( )1 2 1 2, log 1B p p N p p= − − − και ( )( )1 2
1 2 1 2
!,
! ! !
Nh x x
x x N x x=
− −
β) Κανονική Μορφή:
( ) 11 1 2 1
1 2
, log1
pp p
p pη η
= = ⇒ − −
11
1 21
pe
p p
η= ⇒− −
1 1 1
1 1 2p e e p e pη η η= − − ⇒
1 1 1
1 1 2p e p e e pη η η+ = − ⇒ ( )1 1 1
1 21p e e e pη η η+ = − ⇒
1 1
1
21
1
e e pp
e
η η
η
−=
+(1)
( ) 22 1 2 2
1 2
, log1
pp p
p pη η
= = ⇒ − −
22
1 21
pe
p p
η= ⇒− −
2 2 2
2 1 2p e e p e pη η η= − − ⇒ 2 2 2
2 2 1p e p e e pη η η+ = − ⇒ ( )2 2 2
(1)
2 11p e e e pη η η+ = − ⇒
( )1 1
2 2 2
1
22 1
1
e e pp e e e
e
η ηη η η
η
−+ = − ⇒
+
( )( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1
2 21 1 1p e e e e e e e pη η η η η η η+ + = + − − ⇒
( )1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 21p e e e e e e e e e e e pη η η η η η η η η η η+ + + = + − + ⇒
( )1 2 1 2 2 1 2
2 2 21p e e p e e e e e pη η η η η η η+ + + = + ⇒ ( )1 2 2
2 1p e e eη η η+ + = ⇒
2
1 22
1
ep
e e
η
η η=+ +
(2)
12
(1),(2)⇒
2
1 1
1 2
11
1
1
ee e
e epe
ηη η
η η
η
−+ += =+
( )
( )( )1 1 2 1 2
1 1 2
1
1 1
e e e e e
e e e
η η η η η
η η η
+ + −=
+ + +
( )( )1 1 1 2 1 2
1 1 2
2
1 1
e e e e e e
e e e
η η η η η η
η η η
+ + −=
+ + +
( )( )( )
1 1
1 1 2
1
1 1
e e
e e e
η η
η η η
+=
+ + +
1
1 21
e
e e
η
η η+ +
Άρα η σ.π. γίνεται:
( )( )
1 2
1 2 1 21 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
!, , , exp log 1
1 1 ! ! !
e e Nf x x x x N
e e e e x x N x x
η η
η η η ηη η η η
= + + − − = + + + + − −
( )1 2 1 2
1 21 1 2 2
1 2 1 2
1 !exp log
1 ! ! !
e e e e Nx x N
e e x x N x x
η η η η
η ηη η + + − −
+ + = + + − −
( )1 21 1 2 2
1 2 1 2
1 !exp log
1 ! ! !
Nx x N
e e x x N x xη ηη η
+ + = + + − −
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
!, , , exp log 1
! ! !
Nf x x x x N e e
x x N x x
η ηη η η η= + − + +− −
,
άρα ( ) ( )1 2
1 2, log 1A N e eη ηη η = + +
γ) ( ) ( )1 2,, 1,2j
j
AE x j
η ηη
∂= = ⇒
∂ ( )
( )1 2log 1
j
j
N e eE x
η η
η
∂ + + = =∂
1 2
1
1
jN ee e
ηη η =
+ +
1 2 1 2
1 2 1 2
1
11
1 1
jp
Np p p p
p p p p
=− −+ +
− − − −
1 2 1 2 1 2
1 2
1
1 1
1
jp
Np p p p p p
p p
=− − + + − −
− −
1 2
1 2
1
1 1
1
jp
Np p
p p
=− −
− −
j
Np ⇒
( ) , 1,2j jE x Np j= =
( ) ( )2
1 2
1 2
1 2
,, , 1,2
ACov X X j
η ηη η
∂= = ⇒
∂ ⋅∂ ( ) ( )1 2
1 2
2 1
,,
ACov X X
η ηη η
∂ ∂= = ∂ ∂
1
1 2
2
1
1N e
e e
ηη ηη
∂ = ∂ + +
( )2
1
1 22
1
1
eNe
e e
ηη
η η
⋅ − = + +
( )1 2
1 22
1
Ne e
e e
η η
η η− =
+ +
13
1 2
1 2 1 22
1 2
1 2 1 2
1 1
11 1
p p
p p p pN
p p
p p p p
− − − −− =
+ + − − − −
( )
1 22
1 2
2
1 2 1 2
1 2
1
1
1
p p
p pN
p p p p
p p
− −− =
− − − + − −
( )1 2
2
1 2
2
1 2
1
1
1
p p
p pN
p p
− −− =
− −
1 2Np p− ⇒
( )1 2 1 2,Cov X X Np p= −
( ) ( ), , 1,2j j jV x Cov x x j= = ⇒ ( ) ( ) ( )2
1 2
2
,,j j j
j
AV x Cov x x
η ηη
∂= = =
∂
( )1 2,
j j
A η ηη η
∂∂=
∂ ∂
1 2
1
1i
j
N ee e
ηη ηη
∂ = ∂ + +
1 21
i
j
eN
e e
η
η ηη ∂
= ∂ + +
( )( )
1 2
1 22
1
1
i i ie e e e eN
e e
η η ηη η
η η
+ + − ⋅=
+ +
2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2
1 2 1 2
11 1 1 1
11 1
j jp pp p
p p p p p p p pN
p p
p p p p
+ + − − − − − − − − − = + + − − − −
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 2
1
1 1 1
1
1
j jp pp p p p
p p p p p pN
p p p p
p p
− − + +− − − − − − − =
− − + + − −
( )
2
2
1 2 1 2 1 2
2
1 2
1
1 1 1
1
1
j jp p
p p p p p pN
p p
− − − − − − − =
− −
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2
2
1 2
1 1
1
1
j jp p
p p p pN
p p
−− − − −
= − −
( )2
j jN p p− = ( )1j jNp p− ⇒
( ) ( )1j j jV x Np p= −
Άσκηση (Θέµα Σεπτέµβριος 2005)
τ.µ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); expf x n T x B h xθ θ θ= − .
Να δειχθεί ότι:
14
α) ( ) ( )( )'
'
BE T X
n
θθ
= και ( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
β) Έστω 1 1, ,..., vX X X τ.δ. από κατανοµή µε σ.π.π.
( ) 1; , 0, 0, 0
kk xf x kx e x k
θθ θ θ− −= > > >
Να εξετασθεί αν ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και να βρεθούν τα kE x και kV x .
Απόδειξη:
α) ( ); 1f x dxθ∞
−∞
= ⇒∫ ( ) ( ) ( ) ( )exp 1n T x B h x dxθ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( )exp exp 1n T x B h x dxθ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) exp expn T x h x dx Bθ θ∞
−∞
= ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) exp expn T x h x dx Bθ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp ' expn T x h x dx B Bθ θ θθ
∞
−∞
∂= ⇒ ∂
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' exp ' exp *n T x n T x h x dx B Bθ θ θ θ∞
−∞
= ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' exp exp 'n B T x n T x h x dx Bθ θ θ θ∞
−∞
− = ⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'
exp'
BT x n T x B h x dx
n
θθ θ
θ
∞
−∞
− = ⇒∫ ( ) ( )( )'
'
BE T x
n
θθ
=
Παραγωγίζουµε την ( )* ως προς θ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' exp ' expn T x n T x h x dx B Bθ θ θ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' exp ' expn T x n T x h x dx B Bθ θ θ θθ θ
∞
−∞
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
'' exp ' expT x h x n n T x n n T x T x dxθ θ θ θ∞
−∞
+ = ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' exp ' exp 'B B B B Bθ θ θ θ θ+ ⇒
15
( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' expn T x n T x h x dxθ θ∞
−∞
+∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
' expn T x n T x h x dxθ θ∞
−∞
= ∫ ( ) ( ) ( ) 2
exp '' 'B B Bθ θ θ + ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' expn T x n T x B h x dxθ θ θ∞
−∞
− +∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
' expn T x n T x B h x dxθ θ θ∞
−∞
− = ∫ ( ) ( )2
'' 'B Bθ θ+ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
'' ' '' 'n E T x n E T x B Bθ θ θ θ + = + ⇒
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
'' ' ''
'
B B n E T xE T x
n
θ θ θ
θ
+ − = ⇒
( ) ( ) ( )2
2V T X E T X E T X = − =
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
'' ' '' '
''
B B n E T x B
nn
θ θ θ θθθ
+ − − =
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2
'' ' '' '
' '
B B n E T x B
n n
θ θ θ θ
θ θ
+ − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2
'' ' '' '
'
B B n E T x B
n
θ θ θ θ
θ
+ − − =
( ) ( ) ( )( )
( ) 2
''' ''
'
'
BB n
n
n
θθ θ
θ
θ
−
=
( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
' '' '' '
'
n B n B
n
θ θ θ θ
θ
−=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
' '' '' ' 1
''
n B n B
nn
θ θ θ θθθ
−=
( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
∆είχθηκε λοιπόν ότι:
( ) ( )( )'
'
BE T x
n
θθ
= και ( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
β) ( ) 1; , 0, 0, 0
kk xf x kx e x k
θθ θ θ− −= > > >
1) ( ) ( ) 0, : 0f
S x P X x= ∈ ∞ = > = ( )0,∞ άρα ανεξάρτητο του θ.
2) ( ) 1;
kk xf x kx e
θθ θ− −= = ( )1 kk xkx e θθ− − = ( ) 1 exp lnkk xkx e θθ− − =
1exp ln k kx kxθ θ −− = 1exp lnk kx kxθ θ −− +
16
Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
( )n θ θ= − , ( ) kT X x= , ( ) lnB θ θ= − και ( ) 1kh x kx −=
Μετατρέπουµε σε κανονική µορφή:
( )n nθ θ= − = ⇒ nθ = − και ( ) ( ) ( )lnA n B n nθ= = − −
Εποµένως:
( ) ( ) ( )k A nE T X E x
n
∂= = = ∂
( )ln n
n
∂ − − =∂
( )11
n− − =−
1 1
n θ− = και
( ) ( ) ( )2
2
k A nV T X V x
n
∂= = = ∂
2
1 1
n n n
∂ − = = ∂ ( )2
1
θ=
−
2
1
θ
Προηγούµενη Άσκηση Ένας άλλος τρόπος για την περίπτωση α)
τ.µ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); expf x n T x B h xθ θ θ= − .
Να δειχθεί ότι:
α) ( ) ( )( )'
'
BE T X
n
θθ
= και ( ) ( )( ) ( )' 1
'' '
BV T X
n n
θθ θ
=
Απόδειξη:
Από προηγούµενο Θεώρηµα, έχουµε:
( ) ( )A nE T X
n
∂= ∂
, ( ) ( )2
2
A nV T X
n
∂= ∂
.
Ως γνωστόν, η κανονική µορφή µιας εκθετικής κατανοµής προκύπτει από τη γε-
νική µε την αντικατάσταση:
( )n nθ = από την οποία υπολογίζουµε την ( ) ( )1n n nθ θ −= =
Οπότε ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1A n B B n B n nθ θ −= = = και εποµένως:
( ) ( )A nE T X
n
∂= = ∂
( )( )1B n nn
−∂=
∂ ( )( ) ( )( )1 1'B n n n n
n
− −∂=
∂
( ) ( )( )1' 'B n nθ − (1)
Αλλά οι συναρτήσεις ( )n nθ = και ( ) ( )1n n nθ θ −= = είναι αντίστροφες, οπότε:
( )( )( ) ( )( )1
1 1'
''n
nn nθ
θ−= = , εποµένως η (1) γίνεται:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 '' '
'
BE T X B n n
n
θθ
θ−= =
( ) ( )2
2
A nV T X
n
∂= = ∂
( )A n
n n
∂ ∂= ∂ ∂
( )( )'
'
B
n n
θθ
∂=
∂
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
' ' ' '
'
B n B nn n
n
θ θ θ θ
θ
∂ ∂− ∂ ∂ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
'' ' ' ' '' '
'
B n n B n n
n
θ θ θ θ θ θ
θ
−=
17
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) 2
'' ' ' ''
' '
'
B n B n
n n
n
θ θ θ θθ θ
θ
−
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
'' ' ' '' 1
''
B n B n
nn
θ θ θ θθθ
−=
( )( ) ( )' 1
'' '
B
n n
θθ θ
18
Πολυδιάστατη Κατανοµή Θεώρηµα
Αν 1 2, ,..., vX X X τ.δ., όπου η κατανοµή κάθε iX ανήκει στη µονοδιάστατη s-
παραµετρική Ε.Ο.Κ. µε ( )1 2, ,..., sT T T T= , τότε το ( )1 2, ,..., vX X X X= ανήκει σε
πολυδιάστατη s-παραµετρική Ε.Ο.Κ. µε διάνυσµα συναρτήσεως
( )1 2* *, *,..., *sT T T T= , όπου ( )1
* , 1,2,..., , 1,2,...,v
i i j
j
T T X i s j v=
= = =∑ (ν-διάστατη
κατανοµή µε s παραµέτρους.
*τ.δ. σηµαίνει ανεξάρτητες και ισόνοµες.
Απόδειξη:
Έστω ( ),jXf x θ η σ.π.π. της τ.µ. , 1,2,...,
jX i v= και επίσης ότι f EOK∈ , θα
έχουµε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
, exp , 1j X j
s
X i i j j j f
i
f x n T x h x x Sθ β θ θ=
= ∀ ∈
∑ .
Έστω ( ),Xf x θ η από κοινού σ.π.π. του τυχαίου διανύσµατος
( )1 2, ,..., vX X X X= .
1 2
...X X X Xv
f f f fS S S S= × × ×
( ) ( )1
, ,v
X X j
j
f x f xθ θ=
=∏ , λόγω της ανεξαρτησίας των 1 2, ,..., vX X X .
Και από την (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
, expv s
X i i j j
ij
f x n T x h xθ β θ θ==
= =
∑∏
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
expvv s
v
i i j j
j i j
n T x h xβ θ θ= = =
=
∑ ∑ ∏
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
expvs v
v
i i j j
i j j
n T x h xβ θ θ= = =
=
∑ ∑ ∏
( ) ( ) ( ) ( )* * *
1
exps
i i
i
n T x h xβ θ θ=
∑ ,
όπου: ( ) ( )*
1
v
i i j
j
T x T x=
=∑ , ( ) ( )* v
β θ β θ= και ( ) ( )*
1
v
j
j
h x h x=
=∏ ,
άρα η κατανοµή του X είναι ν- διάστατη, s- παραµετρική και ανήκει στην
ΕΟΚ.
19
Παράδειγµα
Έστω 1 2, ,..., vX X X τ.δ. από κανονική κατανοµή ( )2,N µ σ , µε 2,µ σ άγνωστα,
Ν.δ.ό. η από κοινού σ.π.π. του τ.δ. ( )1 2, ,..., vX X X X= ανήκει στη ν-διάστατη
και διπαραµετρική ΕΟΚ και να υπολογιστούν τα εξής:
2
1
v
j
j
E x=
∑ ,
1
v
j
j
E x=
∑ και 2
1 1
,v v
j j
j j
Cov x x= =
∑ ∑ .
Απόδειξη:
κατά τα γνωστά θα έχουµε: ( ) ( )2
2
22
1; , exp ,
22
j
j f
xf x x S
µµ σ
σπσ
− = − ∈ =
ℝ
2 22
2 2 2
1 2 1exp ln
2 2 2 22
x xµ µσ
σ σ σπ
= − − + − =
2 22
2 2 2
2 1 1exp ln
2 2 2 2 2
x xµ µσ
σ σ σ π
= − − − =
22 2
2 2 2
1 1 1exp ln
2 2 2 2j jx x
µ µσ
σ σ σ π
= − + − −
,
22 2
2 2 2
1 1 1exp ln
2 2 2 2j jx x
µ µσ
σ σ σ π
= − + − −
( )2
1 2
1,
2n µ σ
σ= − , ( ) 2
1 j jT x x= , ( )2
2 2,n
µµ σ
σ= , ( )2 j jT x x= ,
( )2
2 2
2
1, exp ln
2 2
µβ µ σ σ
σ
= − −
, ( ) 1
2jh x
π=
Από το θεώρηµα έχουµε ότι:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 * 2 2 * *
1
; , , exp ,s
X i i
i
f x n T x h xµ σ β µ σ µ σ=
=
∑ ,
όπου:
( ) ( )* 2 2, ,
v
β µ σ β µ σ = = 2
2
2
1exp ln
2 2
v
µσ
σ
− − =
2
2
2
1exp ln
2 2v vµ
σσ
− −
( ) ( )* 2
1 1
1 1
v v
j j
j j
T x T x x= =
= =∑ ∑ ,
( ) ( )*
2 2
1 1
v v
j j
j j
T x T x x= =
= =∑ ∑
και ( ) ( )*
1
v
j
j
h x h x=
= =∏ 1
2
v
π
=
( ) 22v
π−
20
Μετατροπή σε κανονική µορφή:
Κατά τα γνωστά:
( )2
1 12
1,
2n nµ σ
σ= − = ⇒
2
1
1
2nσ = −
( )2
2 22,n n
µµ σ
σ= = ⇒ 2
2nµ σ= ⇒ 2
1
1
2n
nµ
= − ⇒
2
12
n
nµ = −
( ) ( ) ( )( )2
1 2 1 2 1 2, , , ,A n n B n n n nµ σ= = 2
2
2
1ln
2 2v vµ
σσ
+ =
2
2
1
1
1
2 1 1ln
2 212
2
n
nv v
n
n
− + − = −
2
2
2
1
1
1
1 14ln
1 2 2
n
nv v
n
n
+ − =
− ( )
2
1 212
1
ln 24 2
vn n vn
n− − − =
( )2
21
1
ln 24 2
vn vn
n− − − =
2
2
2
2
1ln 2
1 2 24
2
vv
µσ
σσ
− − − − = −
2
4
2
2
1ln
4 2
vv
µσ
σσ
− =
( )2
2
2ln
4 2
v vµσ
σ+
2
1
v
j
j
E x=
=
∑ ( )*
1E T x = ( )1 2
1
,A n n
n
∂=
∂ ( )
2
21
1 1
ln 24 2
vn vn
n n
∂− − − = ∂
( )2
2
2
1 1
12
4 2 2
vn v
n n− − =
−
2
2
2
1 14 2
vn v
n n− =
2
2
2
22
11 2422
vv
µσ
σσ
− =
−−
2
42
4
1
v
v
µσ σ
σ
+ =
2 2v vµ σ+
1
v
j
j
E x=
=
∑ ( )*
2E T x = ( )1 2
2
,A n n
n
∂=
∂ ( )
2
21
2 1
ln 24 2
vn vn
n n
∂− − − = ∂
2
1
24
vn
n− =
2
12
vn
n− =
2
2
12
2
vµσ
σ
− =
−
vµ
21
2
1 1
,v v
j j
j j
Cov x x= =
=
∑ ∑ ( ) ( )* *
1 2,Cov T x T x = ( )2
1 2
1 2
,A n n
n n
∂=
∂ ∂
( )1 2
1 2
,A n n
n n
∂ ∂= ∂ ∂
2
1 12
vn
n n
∂− = ∂
2
2
12
vn
n=
2
2
2
12
2
vµσ
σ
=
−
2
4
12
4
vµσ
σ
= 2
4
1
2
vµσ
σ
= 4
2
2vµ σσ
= 22vµσ
