SEMANA 4

RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS AGUDOS II 1. En la Figura, S: Área. Halle “ sen θ ”

A) 2626

B) 26

C) 5 2626

D) 265

E) 15

RESOLUCIÓN

Del Gráfico:

S = S

( ) ( ) ( ) ( )k 13 2k 2 1k 2ksen

2 2θ =i

→ 26

1=θSen

∴ 26

26=θSen

RPTA.: A

2. En la figura, halle: Senα;

Si: AD

BM MC3

= =

A) 1

10 B)

2

10 C)

1

10

D) 1

10 E)

2

10

RESOLUCIÓN

Si kAD

MCBM ===3

( )( )5222

1kkS = Senα

( )( )kkS 22

1=

De donde:

Senα 10

1=

RPTA.: A

3. Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12. Halle la altura de dicho trapecio si el producto de sus diagonales es 80. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

θ

α

θ

13K

22K

α

22K

K 5

RESOLUCIÓN

Dato: 8021 =d.d Se pide:

S= 212

1dd Sen90º

S= ( )h1242

1 +

De donde: 80 =16h h=5

RPTA.: D

4. El área de un triángulo ABC es 264µ , se prolongan AB y BC

hasta los puntos D y E respectivamente de tal manera que AD =3 AB ∧ CE = 4BC . Halle el área de la región triangular DBE A) 2638µ B) 2640µ C) 2642µ

D) 2644µ E) 2650µ

RESOLUCIÓN

Si: S=64

1

acSen 642

α = → acSenα = 128

Se pide:

( ) ( )1

1S 2c 5a Sen

2= α

α= acSen5 ∴ S1 2640= µ

RPTA.: B

5. En la figura mostrada, evaluar el área de la región triangular AOB en términos de θ A) θSen4 B) θ28Sen C) θ22Cos D) θSen5 E) θ23Cos RESOLUCIÓN

De la figura: S ( ) ( )14 4Sen2

2= θ

( ) 2S 8Sen 2∴ = θ µ

RPTA.: B

6. Si ABCD es un cuadrado, donde:

CD 3ED= y además: m BEA = θ∢ , Calcule: Cscθ

A) 1103

B) 1214

C) 1309

D) 14510

E) 16012

θ

B

44Aθ

o

1d2d

1Sα

4A

S

θ

θ

4Sen2θ

4

2θo

RESOLUCIÓN

( )( )2

933

2

1 2aaaS == …(1)

También:

( ) ( )1S 13a 10a Sen

2= θ …(2)

(1) = (2)

130 Sen 9θ =i

9 130

Sen Csc9130

θ = → θ =

RPTA.: C

7. En la figura ABCD es un cuadrado,

M y N son puntos medios. Determine "cot "θ .

A) 2 B) 1 C) 3

D) 2

1 E)

3

1

RESOLUCIÓN

De la figura: 3=θCot

RPTA.: D

8. Del gráfico, halle “x”, en términos de “α”.

A) 3cos 2Senα − α B) 2cos 3Senα − α C) 2sen 3cosα + α D) 3sen 2cosα − α E) 2sen 3cosα − α RESOLUCIÓN

∴ α−α= CosSenx 23

θ

α

θ

13a 10a θ

2a 2a

2aa2

a

α

α

α

αSen3

αCos2

RPTA.: D

9. En la figura, halle “X” en términos

de ”α”, “β ” y “m”.

A) ( )β+α tgctgm

B) ( )m tg ctgα + β

C) ( ) 1−β+α tgctgm

D) ( ) 1−β+α ctgtgm E) β+α tgctg.m

RESOLUCIÓN

Del grafico: mxtgxCtg =β+α

( )x Ctg tg mα + β =

∴ ( ) 1−β+α= tgctgmx

RPTA.: C

10. En la figura, halle el perímetro del

rectángulo OABC si se conoce “θ ”, y el radio del cuadrante MON es “r”. A) ( )2r sen cosθ + θ

B) ( )r csc senθ + θ

C) ( )r sen cosθ + θ

D) ( )2r csc secθ + θ

E) 2r sec cscθ θi i

RESOLUCIÓN

∴ Perímetro del rectángulo

OABC= ( )2R csc secθ + θ

RPTA.: D

11. En la figura halle DE en términos de “m” y “α”. A) m sen cscα αi i

B) m cos senα αi i

C) 2 2m cos senα αi i

D) 2m cos senα αi i

E) 2m cos senα αi i

θ

m

β

α

X

A

m

α

B

E

D

m

X

β

α

αxctg βxtg

r

A

Cθ

B

θ

θ

r Csc θ

r Secθ r Sec θ

r Csc θ

RESOLUCIÓN ABC = AB = mCCosα ADB = BD = mCosα . Senα

∴ BED: DE= αα 2Sen.Cos.m

RPTA.: E

12. A partir de la figura mostrada, se

pide determinar M, si:

α−αβ−β

=TagCot

TagCotM

4

9 y S

representa área

A) 2

1 B)

3

2 C)

5

1

D) 2

3 E)

4

1

RESOLUCIÓN

( )14S 3Ctg (3)

2= β …

( )1S Cot (1)

2= α …

en

β=α Cot)(Cot. 32

3

2

4

→ 4Cotα=9Cotβ

Tanα= βtan.9

4

)Tan(Cot

TanCotM

β−β

β−β=

9

4

4

94

9

M = 9 Cot Tan 3

2 26 Cot Tan3

β − β=

β − β

RPTA.: D

13. Una hormiga observa lo alto de un

poste con un ángulo de elevación “α”, si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle: “tgα”.

A) 5 12+

B) 5 12−

C) 5 + 1 D) 5 − 1

E) 5 RESOLUCIÓN Del gráfico: Hctgα = H + Htgα → H ( )ctg Hα = ( )1 tg+ α

→ 1

1 tgtg

= + αα

→ 1 = tgα + tg²α

→ 1 + 14

= tg²α + tgα + 14

→ 2

5 1tg

4 2 = α +

→ 5 1 5 1

tg tg2 2 2

−= α + → α =

RPTA.: B

αβ

A C

m

α

B

E

D

α

3S

2

1SαβαCot

3Cotβ

1

2

2

1

θ α

14. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º . Nos acercamos una distancia “x” y el ángulo de elevación tiene por tangente 4. Si la altura del edificio es “h”.

Halle: hx

(Tomar: sen 37º = 0,6)

A) 1,213⌢

B) 1,082⌢

C) 1,083⌢

D) 2,132⌢

E) 3,015⌢

RESOLUCIÓN Dato: 4=αtg

3k

44k x

=−

3k 16k 4x= − 4x 13k=

Se pide: �x 4x 13k

1,083h 4h 4(3k)

= = =

RPTA.: C

15. Desde un punto de tierra se ve lo

alto de una torre con un ángulo de elevación “ θ ”. Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: θctg

(Tomar: sen37º = 0,6)

A) 53

B) 43

C) 73

D) 3 E) 2

RESOLUCIÓN

Se pide: 3

7

3

7 ==θkk

ctg

RPTA.: D

16. Una antena de radio de 15m. de

longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “α” y “β ”

respectivamente. Si: tanα = 0,76 y tanβ =0,19, determinar (en m)

la altura del edifico. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN

θ

α βa

tanα=0,76 tanβ =0,19 → tanα=4tanβ 15+H =atanα H= a tanβ

→ 415 =

βα=+

tantan

HH

→ 15+H = 4H. ∴ H = 5m

RPTA.: B

17. Un avión que esta por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra, si ve el extremo más alejado con ángulo de depresión de 22º30’ .Calcule con que ángulo observa el otro extremo. A) 22º30’ B) 67º30’ C) 90º D) 60º E) 120º

RESOLUCIÓN

FE 2m=

FEA 22º30'=

AGE: GE=mctg 22º30’

⇒

( )

( ) ( )

GE m 2H

GF GE FE

GF m 2H 2m m 2 1

=

= −

= − = −

AGF cotθ = mGE

AG=

( )2 1

m

−

cotθ = 2 − 1 θ = 67º 30

RPTA.: D

18. Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol? A) 43,6 B) 30,6 C) 34,6 D) 36,4 E) 38,4

RESOLUCIÓN ºSenADh 60=

40== ABAD

m.hh 6342

340 =⇒=

RPTA.: D

19. Subiendo por un camino inclinado

un ángulo de 37º respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a 20m del punto de observación; ¿Cuál es la altura del poste? A) 2m B) 3m C) 6m D) 4m E) 8m

θ

θ

´

RESOLUCIÓN Del gráfico: h 12 16+ = h 4m∴ =

RPTA.: D

20. Halle “ Cscθ ” del gráfico:

(Tomar sen 37º = 0,6)

A) 5665

B) 3365

C) 6556

D) 6533

E) 1514

RESOLUCIÓN

Del gráfico: S = S ( ) ( ) ( ) ( )14 12 13 15

Sen2 2

= θi

56Sen

65θ =

∴ 65

Csc56

θ =

RPTA.: C

θ

45º

12m

16m

h=?

20m

37º

37º

45º53º

Punto de observación

Poste

12µ12µ

5µ 9µ

14µ

37º

53ºθ

12µS