14.31)

Un bloque cubico de madera de 10 cm por lado flota en la interfaz entre aceite y agua

con su superficie inferior 1.5 cm bajo la interfaz. La densidad del aceite es de 790

kg/m3,

a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie superior del bloque?

𝜌a= 790𝑘𝑔/𝑚3

𝜌𝑣 = 1000𝑘𝑔/𝑚3

𝑕𝑎 = 10 𝑐𝑚 = 0.10𝑚

𝑕𝑤 = 10𝑐𝑚 = 0.10𝑚

Sea ρa la densidad del aceite, ρa= 790 kg/m3

Sea ρm la densidad del mercurio,

Pms la presión manométrica superior y Pmi la presión manométrica inferior

Pms= ρagh= (790 kg/m3)*(9.8 m/s2)*(0.015m) = 116 Pa

𝜌𝑚𝑠 = 𝜌𝑎𝑔𝑕1 =790𝑘𝑔

𝑚3×

9.8𝑚

𝑠2 × 0.015𝑚 = 116𝑘𝑔/𝑚𝑠2 = 116𝑝𝑎

b) ¿Y en la cara inferior?

𝜌𝑚𝑖 = 𝜌𝑎𝑔𝑕𝑎 + 𝜌𝑤𝑔𝑕2 =790𝑘𝑔

𝑚3×

9.8𝑚

𝑠2× 0.1𝑚 +

1000𝑘𝑔

𝑚3×

9.8𝑚

𝑠2× 0.015𝑚 =

921𝑘𝑔/𝑚𝑠2 = 921𝑝𝑎

c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque?

𝐹 = 0

𝐹𝑓𝑎 + 𝐹𝑓𝑤 −𝑚𝑔 = 0

𝑚 =𝜌𝑎𝑣0𝑔+𝜌𝑤𝑣0𝑔

𝑔

𝑚 =790𝑘𝑔

𝑚3× 8.5 ∗ 10−4𝑚3 +

1000𝑘𝑔

𝑚3

′× 1.5 ∗ 10−4𝑚3 = 0.822𝑘𝑔

𝜌𝑜𝑏 =𝑚

𝑣=

0.822𝑘𝑔

0.001𝑚3 = 822𝑘𝑔/𝑚3

14.57)

Un tubo en forma de U abierto por ambos extremos contiene un poco de mercurio. Se

vierte con cuidado un poco de agua en el brazo izquierdo del tubo hasta que la altura

de la columna de agua es de 15 cm.

a) Calcule la presión manométrica en la interfaz agua-mercurio.

b) Calcule la distancia vertical h entre la superficie del mercurio en el brazo derecho

del tubo y la superficie del agua en el brazo izquierdo.

𝜌𝑤 = 1000𝑘𝑔/𝑚3

𝜌𝑚 = 13.6 ∗ 103𝑘𝑔/𝑚3

p1 = p2

𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑤𝑔 0.15𝑚 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑚𝑔 0.15𝑚 − 𝑕

0.15𝑚 − 𝑕 =𝜌𝑤𝑔(0.15𝑚)

𝜌𝑚𝑔

𝑕 = 0.15𝑚 −𝜌𝑤 (0.15𝑚)

𝜌𝑚

0.15𝑚 − 1∗103𝑘𝑔

𝑚3 (0.15𝑚)

(13.6∗103𝑘𝑔𝑚3 )

= 0.139𝑚 = 13.9𝑐𝑚

14.84)

Un recipiente cilíndrico con un liquido incompresible de densidad p gira con rapidez

angular constante w alrededor de su eje de simetría q tomamos como eje y. demuestre

q la presión a una altura dad dentro del fluido aumenta en la dirección radial (hacia

fuera desde el eje de rotación) de acuerdo con la ecuación derivada parcial p / б r=

ᵨw2 r.

Integre esta ecuación diferencial parcial para determinar la presión como función de

la distancia del eje de rotación a largo de una línea horizontal en y=0.

c. combine el resultado del inciso b con la ecuación (p2-p1=-ᵨg(y2-y1)) para demostrar

q la superficie del liquido en rotación tiene forma parabólica, es decir, la altura del

liquido está dada por h(r)=w2r2/2g

a) cuando un fluido rota con movimiento de vórtice forzado, es decir, que el líquido gira con

rapidez angular constante alrededor de un eje de simetría, se mueve como un sólido después de

cierto intervalo de tiempo, no existen esfuerzos cortantes en el líquido ni fricción viscosa.

Punto 1

Punto 2

a) b)

Si tomamos como punto 1 el líquido en reposo y punto 2 el líquido girando sobre el eje y de

rotación a velocidad constante tenemos que:

𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑕1 +1

2𝜌𝑣12 = ( 𝑝𝑜 − 𝑝) + 𝜌𝑔𝑕2 +

1

2𝜌𝑣22

Pero en 1 la altura y la velocidad son cero entonces tenemos:

𝑝 = 𝜌𝑔𝑕2 +1

2𝜌𝑣22

Sabemos que v=wr, entonces remplazamos:

𝑝 = 𝜌𝑔𝑕2 +1

2𝜌𝑤2 𝑟2 (1)

Ahora bien, p depende de h y r, entonces si derivamos parcialmente en r tenemos;

𝜕𝑝

𝜕𝑟= 𝜌𝑤2 𝑟

b) Al integrar desde po a p en la parte izquierda y desde r=0 a r en la parte derecha tenemos:

𝜕𝑝𝑝

𝑝𝑜

= 𝜌𝑤2 𝜕𝑟𝑟

𝑟𝑜

𝑝 − 𝑝𝑜 =1

2𝜌𝑤2 𝑟2

𝑝 = 𝑝𝑜 +1

2𝜌𝑤2 𝑟2

c) si derivamos (1) con respecto a h tenemos que:

𝜕𝑝

𝜕𝑕= 𝜌𝑔

Y si integramos de po a p, y de h=0 a h tendríamos:

𝑝 = 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑕 (2)

Al igualar (1) y (2) tenemos que:

𝑝𝑜 + 𝜌𝑔𝑕 = 𝑝𝑜 + 1

2𝜌𝑤2 𝑟2

Despejando h:

𝑕 =𝑤2 𝑟2

2𝑔

así vemos que describe una parábola.

14.92)

El tubo horizontal de la figura tiene una transversal de 40 cm2 en la parte más ancha y

de 10cm2 en la construcción. Fluye agua en el tubo cuya descarga es de 6*10-3 m3/s

𝐴1 = 40𝑐𝑚2 = 4 ∗ 10−3𝑚2

𝐴2 = 10𝑐𝑚2 = 1 ∗ 10−3𝑚2

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 6 ∗ 10−3𝑚3/𝑠

a. Calcule la rapidez de flujo en las porciones anchas y angostas.

𝐴1𝑉1 = 𝐴2𝑉2 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑉1 = 𝐴2𝑉2

𝐴1=

6 ∗ 10−3 𝑚3

𝑠

4 ∗ 10−3𝑚2=

6

4𝑚

𝑠

𝑉2 = 𝐴1𝑉1

𝐴2=

6 ∗ 10−3 𝑚3

𝑠

1 ∗ 10−3𝑚2= 6𝑚

𝑠

b. Calcule la diferencia de presión entre estas porciones.

𝑝1+𝜌𝑔𝑦1 +1

2𝜌𝑉1

2 = 𝑝2+𝜌𝑔𝑦2 +1

2𝜌𝑉2

2

𝑝1 − 𝑝2 =1

2𝜌(𝑉2

2 − 𝑉12)

𝑝1 − 𝑝2 =1

21 ∗ 103𝑘𝑔/𝑚3((6𝑚/𝑠)2 − (

6

4𝑚/𝑠)2)

𝑝1 − 𝑝2 = 16875 𝑝𝑎

c. Calcule la diferencian de altura ente las columnas de mercurio en tubo con

forma de u.

𝑝1 + 𝜌𝑤𝑔𝑕 = 𝑝2 + 𝜌𝑚𝑔𝑕

𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑚𝑔 − 𝜌𝑤𝑔 𝑕

𝑕 =𝑝1 − 𝑝2

𝑔(𝜌𝑚 − 𝜌𝑤 )=

16875𝑘𝑔/𝑚𝑠2

9.8𝑚/𝑠2(13.6 ∗ 103𝑘𝑔/𝑚3 − 1 ∗ 103𝑘𝑔/𝑚3)= 0.136𝑚

𝑕 ≈ 14𝑐𝑚

14.95)

Suponga q un trozo de espuma de poliestireno, 𝜌= 180 kg/m3. Se mantiene

totalmente sumergido en agua.

a) calcule la tensión en la cuerda usando principio de Arquímedes.

b) use p= Po + 𝜌gh para calcular directamente la fuerza que ejerce sobre el agua

sobre los dos lados inclinados y la base del trozo de poliestireno; luego demuestre que

la suma vectorial de estas fuerzas es la fuerza de flotación.

a)

V =L ∗ L ∗ L

2=

0.2 ∗ 0.2 ∗ 0.5

2m3 = 0.01m3

Equilibrando el sistema tenemos que:

𝐹𝑒 − 𝑇 −𝑚𝑔 = 0

De donde:

𝐹𝑒 −𝑚𝑔 = 𝑇

𝜌𝑤𝑉𝑔 − 𝜌𝑜𝑉𝑔 = 𝑇

𝑇 = 𝑉𝑔(𝜌𝑤 − 𝜌𝑜)

Remplazando datos:

𝑇 = 0.01𝑚3 1000𝐾𝑔

𝑚3− 180

𝐾𝑔

𝑚3 9.8 𝑚/𝑠2

T=80.36N

b) como el triangulo creado por los lados de el objeto es isósceles entonces el ángulo

entre la base y cualquiera de los lados es 45 =θ

θ

Como la fuerza siempre es perpendicular al área de sección entonces tenemos:

F1 F2

F3

Las componentes en x de la fuerza en x de F1 y de F2 son de igual magnitud (f1i=f2i)

pero de signos opuestos. Las componentes en y tienen igual magnitud y dirección. La

F3 no tiene componente en x.

𝐹1 = 𝑓𝑥1𝑖 − 𝑓𝑦1𝑗

𝐹2 = −𝑓𝑥1𝑖 − 𝑓𝑦1𝑗

𝐹3 = 𝑓𝑦3𝑗

Haciendo la sumatoria vectorial de fuerza.

Fuerza neta=(f1i-f1i)+(-f1j-f1j+f3j)= f3j-2f1j(a)

h

x

la base del triangulo es 𝑙 2 , luego A1=Ll 2

f3j=PA1

𝑓3𝑗 = ρ𝑔𝑕𝐿𝑙 2(b)

f1j=PA2Sen(45)

A2=Ll

𝑓1𝑗 = 𝑆𝑒𝑛(45)ρ𝑔(𝑕 − 𝑙 2 2 )𝐿𝑙 (c)

Sustituyendo b y c en a tenemos:

𝐹 = 𝜌𝑔𝑕𝐿𝑙 2 − 2𝑆𝑒𝑛 45 ρ𝑔 𝑕 − 𝑙 2 2 𝐿𝑙

𝐹 =𝜌𝑔𝐿𝑙

2= 𝜌𝑔𝑉 = 𝐹𝑓𝑙𝑜𝑡

PREGUNTAS

1. ¿Por qué al poner en un recipiente agua y glicerina, no se mezclan?

La explicación de por qué no se mezclan tiene que ver con la estructura molecular de

los líquidos y su densidad.

Si los extremos de las moléculas de un líquido son afines con los del otro, se atraerán,

“se pegarán” unas a otras formando una mezcla, como pasa con el alcohol y el agua, en

cambio, si no hay atracción, las moléculas no se unen y el líquido menos denso

quedará sobre el más denso, como en el caso del agua y el aceite.

Pero en el caso de la glicerina es infinitamente soluble en agua pues establece muchas

interacciones intermoleculares (tipo puente de hidrogeno) con el agua, es por esto

que el fenómeno observado es producto de las diferencias de densidad, ya que la

glicerina tiene una densidad relativa de 1,26x103 kg/m3, mientras que el agua tiene

una densidad 1x103 kg/m3 de esta manera tenemos que el líquido menos denso

quedará sobre el más denso en este caso el agua quedara sobre la glicerina. Pero al

agitarlos la mezcla será homogénea.

Otra de las razones fue la forma en que la glicerina fue arrojada en el agua, primero

fue con mucho cuidado y segundo el agua se encontraba girando a velocidad angular

constante haciendo un movimiento de vórtice forzado, es decir todas las partículas

van a la misma velocidad angular y el liquido, en este caso agua, actúa como un sólido.

2. ¿Por qué al girar un recipiente se forma un menisco cóncavo?

En el experimento, los líquidos estaban en un movimiento de vórtice forzado, giraban

a una velocidad angular constante. Cuando el fluido comienza a girar, debido a la

aceleración radial o centrifuga, las partículas se van acercando al borde del recipiente,

acumulándose muchas partículas en la pared del recipiente y pocas en el centro; como

el líquido tiene gran fuerza de adhesión con el recipiente, se va haciendo una

curvatura en forma de U (cóncava). El líquido del fondo se mueve bajo esos mismos

parámetros y como también tiene gran fuerza de adhesión, la curvatura de éste es en

forma de U. si el líquido del fondo tiene poca fuerza de adhesión, durante el proceso

de aceleración hará en su superficie una curvatura convexa debido a la columna de

líquido que hace el fluido de arriba en los bordes.

3. Al llenar el recipiente se forma un menisco convexo, ¿Cuál es la explicación?

Debido a que ya no existe pared a donde adherirse, el fluido queda en gran parte bajo

la fuerza de cohesión, que no es más que la fuerza de atracción entre las partículas del

mismo liquido, esta fuerza permite que el liquido no se derrame y formando así un

menisco convexo.