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ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONUTICOS

Mecnica de Fluidos II Examen 280602

Una esfera de radio R y peso W cae por el eje de un tubo vertical de radio R + h0 (h0 R) lleno de un lquido dedensidad y viscosidad . Se trata de calcular la velocidad lmite de cada de la esfera, U , suponiendo que los efectos

viscosos son dominantes en el movimiento del lquido en la ranura axilsimtrica que queda entre la esfera y el tubo.

Para obtener la solucin conviene usar un sistema de referencia ligado a la esfera, como se muestra en la figura, y

proceder como sigue:

1.- Mostrar que el espesor de la ranura entre esfera y tubo es

h = h0 +x2

2Rpara distancias x tales que h R.

Obsrvese que h es del orden de h0 cuando x es del orden deRh0.

2.- Estimar el orden de magnitud del cociente uc/U , donde uc es la velocidad caracterstica del lquido en la ranura.

3.- Estimar, en trminos de U , el orden de magnitud de la variacin de presin p1 p2 en la ranura, de longitudcaracterstica

Rh0. Mostrar que p1 p2 es mucho mayor que las variaciones de presin en el resto del campo fluido

(longitud caracterstica R).

4.- Estimar, en trminos de U , el orden de magnitud de los esfuerzos viscosos sobre la pared de la esfera.

5.- Estimar el orden de magnitud de la contribucin a la fuerza vertical sobre la esfera de la variacin de presin y

de los esfuerzos viscosos en la ranura (x Rh0) estimados en los apartados 3 y 4 respectivamente. Comprobar que

esta contribucin es pequea comparada con la debida a la diferencia de presiones p1 p2 actuando sobre el resto dela superficie de la esfera.

6.- Calcular la diferencia de presiones p1 p2 en funcin de la velocidad U .

7.- Calcular la velocidad U de cada de la esfera.

8.- Dar el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en el movimiento del lquido en la ranura. Comprobar

si el criterio se cumple cuando el peso de la esfera es de 1 gramo, la relacin h0/R 103 y el lquido es agua.

p1

2 ( R+h0 )

R

U

x

g p2

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID



Una carcasa cilndrica de radio R y longitud L (L R) rodea a un buln infinitamentelargo de radio R1 (R R1 R). La distancia entre los ejes paralelos de la carcasa ybuln es e (RR1). El buln se desplaza longitudinalmente respecto a la carcasacon velocidad U . En la pelcula entre carcasa y buln hay un lquido de densidad yviscosidad . La carcasa est tapada en sus extremos, permitiendo el deslizamiento delbuln pero evitando la salida del lquido.

Se pide:

1.- Escribir la ecuacin diferencial y condiciones de contorno que permiten determinar ladistribucin de presiones, p (, x), en la capa lquida entre buln y carcasa, suponiendoque los efectos viscosos son dominantes.

2.- Obtengan la solucin, p0 (x), cuando la excentricidad es nula (e = 0).

3.- A partir de la ecuacin y condiciones de contorno del apartado 1, obtengan la ecuaciny condiciones de contorno que permiten determinar la correccin a la solucin del apartado2 cuando la excentricidad es pequea pero no nula; e/ (RR1) 1.

4.- Obtengan la solucin del problema simplificado del apartado anterior.

L

x

R1 U R

R1

e

h




Un disco de radio R gira con velocidad angular constante 0. Concntrico con l hay otro disco del

mismo radio, separado una distancia h R, y que inicialmente est parado. Entre ambos discos hayun lquido de densidad y viscosidad . Como consecuencia del arrastre generado por el giro del

primer disco, el segundo va adquiriendo una velocidad angular (t) que se pretende determinar. Para

ello supongan:

- El movimiento del lquido entre ambos discos es con efectos

viscosos dominantes.

- La presin en el contorno exterior de los discos,(r = R),

es la presin ambiente pa.

- La distancia entre ambos discos es una funcin conocida

del tiempo h = h (t) R.

- El efecto de las fuerzas msicas es despreciable en el mo-

vimiento del lquido.

- El momento de inercia alrededor del eje de giro del segundo

disco es I.

Para el desarrollo del ejercicio, determinen:

1.- Velocidad circunferencial v del lquido entre los discos.

2.- Velocidad radial vr del lquido en funcin de p/r.

3.- Distribucin de presiones p (r, t).

4.- Par con respecto al eje de giro, que ejercen los esfuerzo viscoso en el segundo disco, arrastrado por

el primero.

5.- Velocidad angular (t) del segundo disco. El resultado lo pueden dejar en forma de una integral.

6.- Den la distribucin de presiones, p (r, t), y la velocidad angular (t) cuando h (t) = h0 constante.

NOTA 1.- Tengan en cuenta que el problema admite la solucin con p independiente de .

NOTA 2.- Consideren que la coordenada y = 0 esta en el primer disco (el de velocidad 0) e y = h en

el segundo disco (de velocidad ).




1. Un lquido de densidad y viscosidad uye por efecto de la gravedad alrededor de un hilovertical de radio a. El lquido forma una capa de radio exterior R sobre el hilo. Suponiendoque el movimiento del lquido est dominado por la viscosidad, se pide:

(a) Distribucin de velocidad y caudal Q en funcin de R y los dems parmetros delproblema.

(b) Simplicar la expresin del caudal admitiendo que R a.

2. Los resultados anteriores son vlidos para un movimiento casi-unidireccional, para el queel caudal, y con ello R, no son estrictamente constantes y uniformes. Procediendo poranaloga con la teora de pelculas delgadas dominadas por la viscosidad, se pide:

(a) Escribir la ecuacin de continuidad para un volumen de control limitado por dossecciones horizontales innitamente prximas de la capa de lquido.

(b) Sustituir en esta ecuacin la expresin simplicada del caudal para R a y obtenerla ecuacin hiperblica que satisface R(x; t).

(c) Como aplicacin de la ecuacin anterior, determinar la solucin para el caso en queel caudal se disminuya bruscamente desde un valor Q1 a un valor Q2 < Q1, de formaque los radios exteriores de la pelcula estacionaria lejos aguas arriba y aguas abajode la transicin sean R1 y R2 < R1.

a

R

r

x

g




Un depsito muy grande contiene un lquido de viscosidad cinemtica . El lquido estlimitado por una pared vertical que est inicialmente en reposo y empieza a moverseverticalmente hacia arriba con una velocidad V constante a partir de un cierto instante.El movimiento de la pared arrastra lquido del depsito, que forma una pelcula delgadasobre la pared. Se pide estudiar el flujo en la pelcula suponiendo que es aplicable la teorade la lubricacin. Para ello:

1. Escribir la ecuacin de Reynolds para el espesor h(x, t) de la pelcula en un sistemade referencia ligado a la pared mvil. Aqu x es la distancia vertical medida haciaabajo desde el punto de la pared que inicialmente coincide con la superficie dellquido.

2. Mostrar, sustituyendo en la ecuacin del apartado anterior, que existe una solucinde semejanza del problema, de la forma h(x, t) = f(), con = x/t.

3. Determinar la funcin f() e interpretar esta solucin en trminos de las caracters-ticas en el plano (x, t),

4. Calcular el espesor mximo de la pelcula.

t = 0

g

t > 0

g

V

Vt

x

h(x,t)




Un lquido de densidad y viscosidad constantes, que est en presencia de un gas a la presin

constante pg, fluye sobre una superficie troncocnica de ecuacin R (z) = R0 + z sen (con 1), tal como se muestra en la figura. La superficie gira con velocidad angular constante,alrededor de su eje. El lquido forma sobre la superficie una pelcula delgada de espesor h (z),

con h (0) = h0 R0, que se trata de determinar. Para la obtencin de h (z) supongan unos ejes(y, z, ) ligados a la superficie, tal como se muestra en la figura. Supongan adems que

h20

1 ; vzch

20

R0 1,

de modo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento de la pelcula lquida (en la

expresin anterior vzc es la velocidad caracterstica segn z). Las fuerzas msicas, en ausencia

de gravedad, pueden escribirse en la forma

~fm = "2 (R(z) ycos)2

2

# 2~ ~v,

donde ~v es la velocidad del lquido. Se pide:

1.- Admitiendo que las fuerzas msicas de Coriolis son despreciables frente al resto, obtener:

. 1.1.- Ecuaciones de cantidad de movimiento segn ejes z e y, con v = 0 en esta aproximacin.

. 1.2.- Determinen la presin motriz p+ U en la capa lquida como funcin de h (z).

. 1.3.- Orden de magnitud de la velocidad caracterstica segn el eje z, vzc.

2.- En los puntos anteriores se ha supuesto que la aceleracin de Coriolis es despreciable, sin

embargo, segn el eje es del orden de vz y segn el eje z del orden de v , introduciendo

trminos de segundo orden que se pretenden estimar.

. 2.1.- Orden de magnitud de v como consecuencia de la fuerza de Coriolis y mostrar que es

pequea frente a vz.

. 2.2.- Mostrar que la contribucin de las fuerzas de Coriolis segn el eje z es despreciable frente

al resto de las fuerzas msicas.

3.- Escriban la ecuacin de Reynolds y obtengan la distribucin de espesores de la capa h (z).

R0

2 R0

p g

z

y y

h(z)




La figura representa un depsito cilndrico que contiene lquido (densidad y viscosidad cinemtica ) en

condiciones de ingravidez. Con respecto a ejes inerciales, el depsito est girando alrededor de su eje con

velocidad . El lquido se encuentra inicialmente en reposo con respecto al depsito, ocupando una capa

alrededor de su superficie de espesor h0 (h0/R 1). En el instante inicial se abre una vlvula que deja salirun gasto volumtrico, por unidad de longitud, de valor 2q constante. Se trata de estudiar el movimiento de

la capa lquida en ejes ligados al cilindro. Para ello se supone que los efectos viscosos son dominantes, que la

aceleracin de Coriolis es despreciable frente a la centrfuga y que el parmetro adimensional = 3q/h20

2es muy pequeo. Se pide:

1.- Aplicar la ecuacin de la continuidad en forma integral para determinar la evolucin con el tiempo del

volumen, V , del lquido de la capa. Determinar tambin el tiempo, td, de descarga.

2.- Escriban la ecuacin diferencial, condicin inicial y condiciones de contorno que permiten determinar el

espesor h (x, t) de la capa de lquido, donde la coordenada x se define como x = R.

3.- Deriven con respecto a x la ecuacin diferencial del apartado anterior para obtener una ecuacin para

h/x.

4.- A la vista de la condicin de contorno en x = 0, muestren que si h/h0 1 se obtiene h/x h0/R 1y, como consecuencia de ello, escriban h/x = (h0/R) con 1. Sustituyan este valor de h/x en laecuacin del apartado 3 y muestren que los dos trminos ms importantes son los proporcionales a /t y

a 2/x2.

5.- Escriban la ecuacin simplificada, condicin inicial y condiciones de contorno que permiten determinar

. Escriban esta ecuacin en forma adimensional utilizando las variables = t/td, = x/R y = h/h0 y

simplifquenla para 1.

6.- Dado que (R/h0) (h/x) 1, determinen la variacin con el tiempo del espesor de la capa h (0, t) enx = 0. Obtengan la solucin de la ecuacin simplificada e indiquen el orden de magnitud de los periodos de

tiempo para los que esta solucin no es vlida.



Un depsito cilndrico de radio de la base R, contiene un lquido de densidad y viscosidad . Inicialmente el depsito

est lleno hasta una altura H0. En su base tiene una matriz porosa de espesor h y permeabilidad K. A su vez, la parte

exterior de la matriz porosa est tapada con un disco de radio R, que en el instante inicial se separa, paralelamente

a s mismo, una distancia h de la matriz porosa, descargndose el lquido al exterior por la zona que queda entre el

medio poroso y el disco. Supongan que se puede aplicar la ley de Darcy en el medio poroso y que los efectos viscosos

son dominantes a travs de la capa lquida (supongan H0 R, h R y KR2/h4 1). Se pide:

1.- Orden de magnitud de las velocidades en el depsito y en la matriz porosa, relativas a la velocidad caracterstica

en la capa lquida inferior.

2.- Estimar el orden de magnitud de los incrementos de presin motriz en el depsito, mostrando que son pequeos

frente a los incrementos de presin en la matriz porosa y en la capa lquida.

3.- Orden de magnitud de los incrementos espaciales de presin en la matriz porosa (tanto radiales como verticales) y

en la capa lquida.

4.- Orden de magnitud de la velocidades radial y vertical en la capa lquida y en la matriz porosa.

5.- Mostrar que las variaciones de velocidad vertical en la matriz porosa son pequeas frente a esta velocidad vertical.

Determinar esta velocidad vertical en la matriz porosa, vpz, en funcin de la presin, p, en la capa lquida.

6.- Ecuacin diferencial y condiciones de contorno que determinan la distribucin de presiones en la capa lquida.

Observen que esta ecuacin se reduce a una que da = (), siendo

p pf = gH () con = rR

, siendo pf la presin en el fondo del depsito.

Escribir la ecuacin diferencial que determina () y sus condiciones de contorno.

7.- Determinar la altura H de lquido en el depsito en funcin del tiempo. Que necesitara conocer de la funcin

() para determinar por completo H (t)?.

8.- Den el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en la capa lquida.

g

h

R

pa

pa

pf

h

H



A travs de un tapn poroso de radio R y longitud 5R, pasa aire a una cavidad cilndrica (deradio 2R y longitud tambin 2R). Desde esta cavidad el aire sale al exterior por una ranura enforma de corona circular de altura h R, como puede observarse en la figura adjunta.

La presin a la entrada del tapn poroso es p0 y a la salida de la ranura anular es pa < p0. Parael movimiento del aire en el tapn poroso supondremos que es aplicable la ley de Darcy y enla ranura anular los efectos viscosos son dominantes.

La temperatura de las paredes, del tapn poroso y del aire es constante e igual a Ta. Laviscosidad del aire es y la permeabilidad del tapn poroso es K.

Se pide:

1.- Muestren, por estimaciones de rdenes de magnitud, que las variaciones espaciales de lapresin en la cavidad son pequeas frente a las que se van a encontrar a lo largo de la ranuraanular (donde los efectos viscosos son dominantes) y, como consecuencia de ello, la presin p1en la cavidad puede considerarse uniforme. Muestren tambin que la cada de presin en eltapn poroso es comparable a la de la ranura anular si el parmetro RK/h3 es de orden unidad.

2.- Analizando el proceso en el tapn poroso, obtengan la relacin existente entre p0, la presinen la cavidad p1, el gasto de aire G y las dems magnitudes que intervienen en el problema.

3.- Obtengan la relacin existente entre p1, pa, G y las dems magnitudes que intervienen enel problema, analizando el proceso en la ranura anular.

4.- Determinen la presin p1 en la cavidad y el gasto de aire G.

4R

po p1

5R2R

R

2R

h

pa




Un recipiente cilndrico de radio de la base R y altura tambin R, tiene la pared lateral y la base

superior de un material poroso de espesor e R y permeabilidad K. La base del cilindro no es porosa.El recipiente tiene inicialmente una altura de agua (densidad y viscosidad ) igual a 3R/4 y el resto

es aire (a, a ) a la presin ambiente pa.

A partir de un cierto instante, que consideraremos como inicial, el agua se derrama por la pared lateral

porosa bajo la accin de la gravedad, permitiendo la entrada de aire por el resto de las paredes porosas.

Suponiendo que en el medio poroso es aplicable la ley de Darcy y que el aire en el interior del depsito

se mantiene a la presin ambiente, se pide:

1.- Orden de magnitud de las variaciones radiales y verticales de la presin motriz en la pared porosa

lateral donde hay agua.

2.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad radial y vertical del agua en la matriz porosa lateral.

Muestren que a una altura z constante, la velocidad radial del agua apenas cambia al atravesar dicha

pared porosa.

3.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad del aire al atravesar la pared porosa. Muestren que las

variaciones de presin del aire al atravesar la pared porosa son pequeas frente a gR, lo que justica

la armacin anterior de que la presin del aire en el interior del depsito es la ambiente en primera

aproximacin.

4.- Teniendo en cuenta las estimaciones de los apartados anteriores, determinen la velocidad radial del

agua a travs de la pared porosa lateral, en funcin de la altura de agua H en el interior del depsito

y de la coordenada vertical z.

5.- Determinen la evolucin con el tiempo de la altura H del agua en el interior del depsito.




Un disco de radio R est separado de un medio poroso, de permeabilidad K, radio R y espesor e, una distancia h (e

y h son muy pequeos frente a R). El conjunto est sumergido en un lquido de densidad y viscosidad . El lquido

se mueve en la ranura existente entre disco y medio poroso, y a travs del medio poroso como consecuencia de que h

vara con el tiempo siguiendo la ley h = h0 (1 + cost)con < 1.

Suponiendo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento del lquido por la ranura y que en el medio

poroso es aplicable la ley de Darcy, se pide:

1.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad radial del lquido en la ranura.

2.- Estimen el orden de magnitud de los incrementos radiales de presin en la ranura.

3.- Estimen el orden de magnitud de las velocidades radial y transversal al medio poroso. Estimen tambin el orden

de magnitud de las variaciones de velocidad transversal.

4.- Supuesta conocida la presin p (r, t) en la ranura, determinen la velocidad transversal vp al medio poroso.

5.- Escriban la ecuacin de Reynolds, y las condiciones de contorno, que permiten determinar la distribucin de

presiones, p (r, t), en la ranura.

6.- Se sabe que el parmetro adimensional = KR2/eh30 es pequeo. Cuando 1 un trmino de la ecuacin obtenidaen el apartado 5 es despreciable frente al resto. Cual es el significado fsico de esta simplificacin?. Obtengan la

solucin de la ecuacin simplificada.

r

h

e

Ry pa

pa

pa pa



Por una ranura bidimensional de altura h constante y longitud L, se mueve un gas (de viscosidad ) como consecuencia

de que la presin aguas arriba de la ranura es pe y aguas abajo ps (pe > ps), ambas constantes.

La base de la ranura es una pared porosa de permeabilidad K y espesor e. Se supone que e h L y que K eh.La presin en la cara del medio poroso opuesta a la capa de gas es tambin ps (vase figura adjunta).

Suponiendo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento del gas por la ranura; que en el medio poroso es

aplicable la ley de Darcy, y que la temperatura del gas y la de las paredes es T0 constante; se pide:

1.- Escriban la ecuacin que determina la distribucin de presiones en el medio poroso y simplifquenla estimando el

orden de magnitud de cada uno de sus trminos y comparndolos entre s. Determinen la distribucin de presiones en

el medio poroso, pp (x, y), en funcin de la coordenada y y en funcin de x a travs de la presin p (x) en la capa de

gas.

2.- Determinen el gasto msico por unidad de rea a travs del medio poroso, vp, en funcin de la presin p (x) en la

capa de gas de la ranura.

3.- Ecuacin y condiciones de contorno que determinan la presin p (x) a lo largo de la capa de gas. Adimensionalicen

esta ecuacin utilizando las variables = p/ps y = x/L.

4.- Obtengan, en primera aproximacin, la solucin () y vp () cuando el parmetro adimensional

=12KL2

eh3,

es muy pequeo. Determinen el gasto por la capa de gas y el gasto a travs de la pared porosa (gastos por unidad de

longitud ya que el problema es bidimensional). Expliquen el significado fsico de esta solucin.

5.- En el lmite opuesto, 1, la solucin es = 1 en la mayor parte de la distancia L, excepto en una pequearegin en las proximidades de x = 0. Estimen el orden de magnitud de esta distancia y comprueben que sigue siendo

grande frente a h.

e

L y

x

h

vp

pe

ps

ps


ESCUELA DE INGENIERA AERONUTICA Y DEL ESPACIO


Un pistn cilndrico de radio R est situado a una distancia h (t)conocida de una supercie horizontal.

El pistn est limitado por un anillo de material poroso de radio R, espesor e y permeabilidad K e2.Se sabe que e h R, y que el parmetro adimensional eh2/KR es de orden unidad.

Tanto en la cavidad de espesor h (t), como en el medio poroso y en el exterior hay un lquido de

densidad y viscosidad constantes y la presin en el exterior es la ambiente pa.

Como consecuencia del movimiento del

pistn, el lquido es forzado a atrave-

sar el anillo poroso. Suponiendo que los

efectos viscosos son dominantes en el

movimiento del lquido en la capa de

espesor h, que en el medio poroso es

aplicable la ley de Darcy y que los efec-

tos de las fuerzas msicas son despreciables, se pide:

1.- Orden de magnitud de la velocidad radial en la capa lquida y en el medio poroso.

2.- Orden de magnitud de las variaciones radiales de presin en la capa lquida.

3.- Orden de magnitud de los incrementos de presin a travs del medio poroso.

4.- Distribucin de presiones, p (r, t), en la capa lquida, en funcin de la presin en el centro p (0, t).

5.- Gasto volumtrico por unidad de longitud circunferencial en la capa lquida.

6.- Distribucin de presiones en el medio poroso, pp (x, t) en funcin de p (0, t). La distancia x est

medida en el medio poroso tal que x = r R, de modo que vara entre 0 y e.

7.- Determinen la presin en el centro p (0, t).

(Nota: den las estimaciones de rdenes de magnitud con dh/dt en lugar de poner una altura caracte-

rstica dividida por un tiempo caracterstico)

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ESCUELA DE INGENIERIA AERONAUTICA Y DEL ESPACIO Mecnica de Fluidos II Examen 16-01-2013 La figura muestra el corte transversal del sistema de drenaje de una pista de aterrizaje sobre la que est lloviendo con intensidad q0 (caudal por unidad de superficie horizontal). El drenaje desde el plano de simetra vertical de la pista puede modelarse como un medio poroso de porosidad K, con espesor H y longitud L (H/L


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Por una placa bidimensional de espesor e, inclinada un ngulo 1, discurre una capa de un lquido dedensidad y viscosidad bajo la accin de la gravedad. El movimiento de la capa lquida es con efectos

viscosos dominantes.

A partir de una cierta seccin, que tomaremos como x = 0, la placa es porosa de permeabilidad K e2,permitiendo que el lquido se ltre. Se supone que es aplicable la ley de Darcy en el medio poroso. Para x < 0

la placa no es porosa y el espesor de la capa lquida es h0 e. La presin del aire en la entrefase de la capalquida y por la parte inferior de la placa es pa. Los efectos de tensin supercial son despreciables.

Para x > 0 el espesor de la capa lquida va disminuyendo como consecuencia de su ltracin a travs del

medio poroso, de modo que a una distancia x = ` e la capa lquida desaparece. Se pide:

1.- Orden de magnitud de los incrementos de presin motriz, (p+ U), a lo largo de la capa lquida y a

travs de la misma.

2.- Orden de magnitud de los incrementos de presin motriz en el medio poroso.

3.- Orden de magnitud de la velocidad longitudinal en la capa lquida.

4.- Orden de magnitud de la velocidad longitudinal en la pared porosa

5.- Orden de magnitud de la velocidad transversal a la pared porosa, mostrando que la velocidad transversal

apenas vara en el espesor e.

6.- Orden de magnitud de la longitud `, mostrando que es grande frente a e.

7.- Velocidad de ltrado a travs del medio poroso en funcin de h (x).

8.- Caudal en la capa lquida en funcin de h (x).

9.- Ecuacin de Reynolds que permite determinar el espesor h (x) de la capa lquida.

10.- Determinar h (x) y por lo tanto `.

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Capitulo II y III - Mecanica de Fluidos

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Tema3 Dinámica de fluidos

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