Física de Fluidos (2011-2012)

José Carlos Pérez Fuentes

Mª del Rocío Calero Fernández-Cortés

25. La función corriente de un �ujo irrotacional y plano en coordenadas polares es

ψ = C θ −K ln r

donde C y K son constantes. Determinar el potencial de velocidades.

Veamos que, al existir función corriente, el �ujo es incompresible (∇·~v = 0) y además, por ser elcampo de velocidades irrotacional, puede de�nirse una función potencial φ que llamaremos potencialde velocidades:

∇× ~v = 0⇒ ~v = ∇φ

La forma de proceder para la resolución es la inversa a la llevada a cabo en el ejercicio 24, ya que eneste caso tenemos que hallar el potencial de velocidades partiendo de la función de corriente. Para ello,volvemos a considerar un �ujo plano donde las coordenadas de interés son (r, θ).

La función corriente y el potencial de velocidades están ligados a través del vector velocidad, así quehallaremos éste mediante la condición que dedujimos en el problema anterior para obtener la ecuaciónde Navier-Stokes en ψ:

vr =1

r

∂ψ

∂θ, vθ = −

∂ψ

∂r

Derivando la función corriente:

vr =C

r, vθ =

K

r

~v =C

rr̂ +

K

rθ̂

Y utilizando la condición de que el campo de velocidades es conservativo ~v = ~∇φ, se tiene que:

~v =C

rr̂ +

K

rθ̂ =

∂φ

∂rr̂ +

1

r

∂φ

∂θθ̂ (1)

∂φ

∂r=C

r;

∂φ

∂θ= K (2)

Física de Fluidos. Problema 25

Separando variables en la primera ecuación de (2), se obtiene:

φ(r, θ) = C ln r + f(θ)

Derivando esta expresión con respecto a θ y comparándola con la obtenida de la expresión de ~v dadapor (1):

∂φ

∂θ=∂f

∂θ= K

Finalmente, separando variables aquí, deducimos f(θ):

f(θ) = K θ + cte

por lo que el potencial de velocidades φ(r, θ) se expresa como:

φ(r, θ) = C ln r +K θ + cte

La descripción del movimiento del �uido que encontramos a través de este potencial de velocidades esindiferente a cual sea la constante de integración, puesto que ~v, la variable que nos interesa, es funciónúnicamente de las derivadas de φ. Por tanto, en aras de simpli�car la expresión, podemos elegir laconstante como 0.

φ(r, θ) = C lnr +K θ

Puesto que ~v = ~∇φ, podemos ver que las partículas de �uido se moverán hacia las regiones de mayorpotencial, haciéndose la velocidad nula en los máximos de φ. Así, el potencial de velocidades resultaútil a la hora de encontrar puntos de equilibrio del movimiento del �uido. En este ejemplo en parti-cular no encontramos ningún máximo, pero podemos ver que la corriente se alejará del origen (o seacercará, según el signo de C) así como del eje OX, con un movimiento en espiral en sentido horario(o antihorario).

Cabe mencionar la singularidad en la velocidad que tiene lugar en el eje OX, debida al término aditivoCθ en la función corriente. Al ser ψ discontinua (θ salta de 2π a 0 al cruzar el eje) la componente vr,que es proporcional a ∂ψ

∂θ , se hace in�nita, por lo que no tenemos una buena descripción del movimientodel �uido en esta frontera.

Podemos realizar una representación grá�ca en tres dimensiones, tal y como hicimos en el problema24, para vislumbrar que las funciones corriente y los potenciales de velocidades son perpendicularesentre sí.

-3-2-1

01

-3 -2 -1 0 1

-30

-20

-10

0

-3

-2

-1

0

1

-3

-2

-1

0

1

-30

-20

-10

0

Figura 1. Líneas de corriente y super�cie equipotencial en representación 3D

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Física de Fluidos. Problema 25

Para visualizar de una forma más clara la perpendicularidad de ambas funciones, hagamos una repre-sentación en dos dimensiones en un sistema de ejes cartesianos (x, y) dado por la siguiente �gura:

Figura 3. Líneas de corriente y super�cie equipotencial en representación 2D

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