TAREA Nº 2

Mayo 2014

PROBLEMAS

Solución analítica

Dada la ecuación:

ddx ( ρuϕ−Γ dϕdx )=S

Se desarrolla lo siguiente:

ddx

( ρuϕ )− ddx (Γ dϕdx )=S

Siendo ρu, Γ y S constantes se puede llevar a la siguiente expresión:

ρudϕdx

−Γ d2ϕdx2 =S

Dividiendo la ecuación por -Γ se tiene

ρu−Γ

dϕdx

+−Γ−Γ

d2ϕdx2 = S

−Γ

d2ϕdx2 − ρu

Γdϕdx

=−SΓ

Ya que, hasta este punto se ha obtenido una ecuación de segundo orden, se procede a realizar un cambio de variable a fin de convertir la ecuación en una ecuación lineal de primer orden. Para esto, se aplica lo siguiente:

ω=dϕdx

Realizando el cambio de variable se tiene que:

dωdx

− ρuΓω=−S

Γ

Ya que la ecuación diferencial no es exacta, se utiliza el siguiente factor integrante en función de X:

μ ( x )=e∫−ρu

Γdx

=e−ρuΓx

Multiplicando toda la ecuación por el factor integrante se tiene que:

dωdxe

−ρuΓx− ρuΓω e

−ρuΓx=−SΓe

− ρuΓx

ddx

(ωe−ρuΓx)=−S

Γe−ρuΓx

Integrando se tiene:

ωe−ρuΓx

=∫−SΓe

−ρuΓx

dx=−SΓ ∫ e

−ρuΓx

dx=−SΓe

−ρuΓx

−ρuΓ

+c1

ωe−ρuΓx

=S e

−ρuΓx

ρu+c1

ω= Sρu

+c1 eρuΓx

Devolviendo el cambio de variable ω=dϕdx

se obtiene lo siguiente:

dϕdx

= Sρu

+c1 eρuΓx

Integrando la ecuación en función de ϕ se obtiene:

ϕ=∫ Sρudx+∫ c1 e

ρuΓx

dx=Sρux+c1

eρuΓx

ρuΓ

+c2

ϕ= Sxρu

+Γ c1

ρueρuΓx+c2ecuacion1

Las condiciones de borde según el problema son:

ϕ=ϕ0 enx=0ϕ=ϕLen x=L

Para ϕ=ϕ0 enx=0

ϕ0=S(0)ρu

+Γc1

ρueρuΓ

(0)+c2=

Γc1

ρu+c2

ϕ0=Γc1

ρu+c2 ecuacion2

Para ϕ=ϕLen x=L

ϕ L=SLρu

+Γ c1

ρueρuΓL+c2

Restando las condiciones de borde se obtiene lo siguiente:

ϕ L−ϕ0=( SLρu+ Γ c1

ρueρuΓL+c2)−( Γc1

ρu+c2)

Simplificando:

ϕ L−ϕ0=SLρu

+Γ c1

ρu[e ρuΓ L−1]

Despejando c1 tenemos:

ρuΓ [ϕL−ϕ0−

SLρu ]

[e ρuΓ L−1]=c1

Sustituyendo c1 en la ecuación 2:

ϕ0=Γρu

ρuΓ [ϕL−ϕ0−

SLρu ]

[ e ρuΓ L−1]+c2

ϕ0=ϕL−ϕ0−

SLρu

eρuΓL−1

+c2

Despejando c2 tenemos:

c2=ϕ0−ϕL−ϕ0−

SLρu

eρuΓL−1

Sustituyendo c2 en la ecuación 1 tenemos:

ϕ= Sxρu

+

ρuΓ [ϕL−ϕ0−

SLρu ]

[e ρuΓ L−1]ΓρueρuΓx+ϕ0−

ϕL−ϕ0−SLρu

eρuΓL−1

ϕ−ϕ0=Sxρu

+ϕ L−ϕ0−

SLρu

eρuΓL−1

eρuΓx

−ϕ L−ϕ0−

SLρu

eρuΓL−1

ϕ−ϕ0=Sxρu

+[ϕL−ϕ0−

SLρu ][ e

ρuΓx

−1]eρuΓL

−1

Dividiendo la ecuación anterior por ϕ L−ϕ0, tenemos que:

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

= Sxρu (ϕL−ϕ0 )

+[ϕL−ϕ0−

SLρu ] [e

ρuΓx

−1]

(ϕL−ϕ0 )(eρuΓL−1)

Multiplicando LΓ

y ΓL

por el primer término después de la igual por y Γ

S L2 por el segundo

término tenemos que:

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

= ΓL

Sxρu (ϕL−ϕ0 )

LΓ

+

ΓS L2 [ϕL−ϕ0−

SLρu ] [e

ρuΓx

−1]ΓS L2 (ϕL−ϕ0 ) (e

ρuΓL

−1)

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

= ΓρuL

SxLΓ (ϕL−ϕ0 )

+[ Γ (ϕL−ϕ0 )

S L2 − ΓρuL ] [e ρuΓ x−1]

Γ (ϕ L−ϕ0)S L2

(eρuΓL−1)

ecuacion3

Una vez obtenida la ecuación se procede a asignar los siguientes valores según lo establecido por el problema:

ρuLΓ

=1

( S L2

Γ )(ϕL−ϕ0 )

=2

Además se procede a asignar los siguientes valores para x, donde se estudiaran los siguientes puntos X=L/7, X=2L/7, X=3L/7, X=4L/7, X=5L/7 y X=6L/7Para X=L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

= ΓρuL

SxLΓ (ϕL−ϕ0 )

+[ Γ (ϕL−ϕ0 )

S L2 − ΓρuL ] [e ρuΓ x−1]

Γ (ϕ L−ϕ0)S L2

(eρuΓL−1)

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

= ΓρuL7

S L2

Γ (ϕL−ϕ0 )+[ 12−1] [e

ρuLΓ 7 −1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=17

2+[12−1][ e

17−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=27+

[ 12−1] [e

17−1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0,1963430357

Para X=2L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=27

2+[ 12−1][ e

27−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=47+

[12−1][e

27−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0.3789617758

Para X=3L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=37

2+[ 12−1][ e

37−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=67+[12−1] [e

34−1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0,545748649

Para X=4L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=47

2+[ 12−1] [e

47 −1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=87+

[12−1] [e

47−1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0,6942724348

Para X=5L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=57

2+[ 12−1][ e

57−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=107

+[12−1] [e

57 −1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0,821728562

Para X=6L/7

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=67

2+[ 12−1][ e

67 −1]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=127

+[ 1

2−1][ e

67−1 ]

12

(e1−1 )

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=0,924881776

Para:ϕ L=1 ϕ0=0

ϕ−ϕ0

ϕL−ϕ0

=ϕ−01−0

=ϕ

Soluciones analíticas obtenidas:

Para X=L/70,1963430357

Para X=2L/7 0.3789617758

Para X=3L/7 0,545748649

Para X=4L/7 0,6942724348

Para X=5L/7 0,821728562

Para X=6L/70,924881776

Solución numérica utilizando esquema exponencial

La formulación discretizada general de convección difusión está representado por:

aPϕP=aEϕE+aW ϕW+b ecuacion4

Donde:

aE=De A (|Pe|)+⟦−F e ,0 ⟧

aW=Dw A (|Pw|)+⟦Fw ,0⟧

aP=aE+aW−SP∆ x+(Fe−Fw )

b=SC∆ x

Donde la función A (|P|) para el esquema exponencial es:

|P|/¿

Los términos De ,Fe y Pe, son:

F e=( ρu )e

De=Γ e

(δ x )e

Pe=FeDe

Los términos Dw ,Fw y Pw, son:

Fw=( ρu )w

Dw=Γw

(δ x)w

Pw=FwDw

Para este problema tenemos que

SC=S

SP=0

Además se tiene que Utilizando (δ x)e=(δ x )w=δ x

Por tanto para 6 celdas se tiene que:

δ x=L /7 y ∆ x=L /7

Ya que ρu, Γ y S son constantes

F e=Fw=ρu

Γ e=Γw=Γ

Por lo tanto

aP=aE+aW−SP∆ x

De=Dw=7 ΓL

Pe=Pw=ρuL7 Γ

Finalmente desarrollando los términos de la ecuación 4 tenemos que:

aE=7 ΓL

|ρuL7 Γ |e|ρuL7 Γ |

−1

+⟦−ρu ,0 ⟧= ρu

eρuL7 Γ−1

aW=7 ΓL

|ρuL7 Γ |e|ρuL7Γ |

−1

+ ⟦ρu ,0 ⟧= ρu

eρuL7 Γ −1

+ ρu= ρu eρuL7Γ

eρuL7Γ −1

b=S L7

aP=ρu

eρuL7 Γ −1

+ρu e

ρuL7Γ

eρuL7Γ −1

=ρu [1+e

ρuL7Γ ]

eρuL7Γ −1

Por tanto la ecuación, queda como:

ρu [1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕP=ρu

eρuL7 Γ−1

ϕE+ρue

ρuL7 Γ

eρuL7 Γ −1

ϕW+SL7

Multiplicando la ecuación anterior por L/Γ

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕP=

ρuLΓ

eρuL7Γ −1

ϕE+

ρuLΓeρuL7Γ

eρuL7Γ −1

ϕW+ SL2

7 Γ

Además tenemos que:ϕ L−ϕ0=1

Por los que la ecuación anterior resulta como:

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕP=

ρuLΓ

eρuL7Γ −1

ϕE+

ρuLΓeρuL7Γ

eρuL7Γ −1

ϕW+ SL2

7 Γ (ϕL−ϕ0)ecuacion5

La ecuación 5 se desarrollara para cada nodo, entonces:

NODO 1

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ1=

ρuLΓ

eρuL7 Γ −1

ϕ2+

ρuLΓeρuL7 Γ

eρuL7 Γ−1

ϕ0+SL2

7 Γ (ϕL−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ1=1

e17−1

ϕ2+0+17

14,02380143ϕ1=6,511900715 ϕ2+17

NODO 2

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ2=

ρuLΓ

eρuL7 Γ −1

ϕ3+

ρuLΓeρuL7 Γ

eρuL7 Γ−1

ϕ1+SL2

7 Γ (ϕL−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ2=1

e17−1

ϕ3+e

17

e17−1

ϕ1+17

14,02380143ϕ2=6,511900715 ϕ3+7,511900715 ϕ1+17

NODO 3

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ3=

ρuLΓ

eρuL7 Γ −1

ϕ4+

ρuLΓeρuL7Γ

eρuL7Γ −1

ϕ2+SL2

7 Γ (ϕ L−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ3=1

e17−1

ϕ4+e

17

e17 −1

ϕ2+17

14,02380143ϕ3=6,511900715 ϕ4+7,511900715 ϕ2+17

NODO 4

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ4=

ρuLΓ

eρuL7Γ −1

ϕ5+

ρuLΓeρuL7Γ

eρuL7Γ −1

ϕ3+SL2

7Γ (ϕ L−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ4=1

e17 −1

ϕ5+e

17

e17 −1

ϕ3+17

14,02380143ϕ4=6,511900715ϕ5+7,511900715 ϕ3+17

NODO 5

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ5=

ρuLΓ

eρuL7 Γ −1

ϕ6+

ρuLΓeρuL7 Γ

eρuL7 Γ −1

ϕ4+SL2

7 Γ (ϕL−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ5=1

e17−1

ϕ6+e

17

e17−1

ϕ4+17

14,02380143ϕ5=6,511900715 ϕ6+7,511900715ϕ4+17

NODO 6

ρuLΓ

[1+eρuL7 Γ ]

eρuL7Γ −1

ϕ6=

ρuLΓ

eρuL7 Γ −1

ϕ L+

ρuLΓeρuL7 Γ

eρuL7 Γ −1

ϕ5+SL2

7 Γ (ϕL−ϕ0)

[1+e17 ]

e17−1

ϕ6=6,511900715(1)+e

17

e17 −1

ϕ5+17

14,02380143ϕ6=6,511900715+7,511900715 ϕ5+17

14,02380143ϕ6=7,511900715 ϕ5+6,654757858

Las ecuaciones obtenidas son:

14,02380143ϕ1−6,511900715 ϕ2=17

−7,511900715 ϕ1+14,02380143ϕ2−6,511900715 ϕ3=17

−7,511900715 ϕ2+14,02380143ϕ3−6,511900715 ϕ4=17

−7,511900715 ϕ3+14,02380143ϕ4−6,511900715 ϕ5=17

−7,511900715 ϕ4+14,02380143ϕ5−6,511900715 ϕ6=17

−7,511900715 ϕ5+14,02380143ϕ6=6,654757858

Desarrollando matricialmente tenemos:

14,02380143-

6,5119007150 0 0 0 ϕ1

=

17

−7,51190071514,02380143−6,511900715 0 0 0 ϕ217

0 −7,51190071514,02380143−6,511900715 0 0 ϕ317

0 0 −7,51190071514,02380143−6,511900715 0 ϕ417

0 0 0 −7,51190071514,02380143−6,511900715 ϕ517

0 0 0 0 −7,51190071514,02380143 ϕ6 6,654757858

Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante software computacional se obtiene la siguiente solución:

ϕ1=0,1427

ϕ2=0,2855

ϕ3=0,4282

ϕ4=0,5710

ϕ5=0,7139

ϕ6=0,8569

Tabla 1. Comparación resultados analíticos Vs. numéricos

Variable Resultado Analítico Resultado Numérico

ϕ1 0,1963 0,1427

ϕ2 0,3789 0,2855

ϕ3 0,5457 0,4282

ϕ4 0,6942 0,5210

ϕ5 0,8217 0,7139

ϕ6 0,9248 0,8569

Graficando conjuntamente las soluciones analítica (rojo) y numérica (rosado) obtenemos:

Comparación Grafica resultados analíticos Vs. numéricos

Conclusiones

Analizando los resultados obtenidos, se obtuvieron resultado similares entre las soluciones analíticas y numéricas para los puntos estudiados sin embargo estos no son perfectamente coincidentes. Esto se debe a varios factores como la presencia de una fuente S para el desarrollo tanto de la solución exacta como de solución numérica, la linealizacion de la ecuación de según orden, la consideración de cifras significativas en los cálculos realizados y el método numérico aplicado para la solución del sistema de ecuaciones.